TỔNG HỢP CÔNG THỨC TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC

/>
TỔNG HỢP CÔNG THỨC TÍCH PHÂN + LƯỢNG GIÁC+ DÃY SỐ (P1)
GV: NGUYỄN BÁ TUẤN

Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp

1)

 k.dx  k.x  C

3)

x

5)

 (ax  b)

7)

 sin x.dx   cos x  C

9)

 sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  C

11)

 cos

13)

 cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  C

1

1

1

dx  

1
C
a(n  1)(ax  b) n 1

2

x

1

1



a





 x dx 

4)

 x dx  ln x  C

6)

 (ax  b) dx  a ln ax  b  C

8)

 cos x.dx  sin x  C

1

1

1

1

10)

 cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  C

12)

 sin

14)

 sin

dx   (1  tan 2 x).dx  tan x  C

2

a

16)

n

1
C
x

1

a

15)

dx  

2

x 1
 C    1

 1

2)

1
2

2

x

dx   1  cot 2 x  dx   cot x  C

1
1
dx   cot(ax  b)  C
(ax  b)
a

a

f ( x)dx  2  f ( x)dx nếu f(x) là hàm lẻ trên  a; a 
0

f ( x)dx  0 nếu f(x) là hàm lẻ trên  a; a 

a

1
a

18)

1 (ax  b)n 1
n
(ax

b)
.dx

.
 C (n  1)

a
n 1

ax
C
ln a

20)

x

2

22)

x

2

17)  e(ax  b) dx  e(ax  b)  C
19)  a x dx 
21)

x

1
1 x 1
dx  ln
C
1
2 x 1

2

1
dx  arctan x  C
1
1
1
x
dx  arctan  C
2
a
a
a
Trang|1

Facebook: www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan


/>
23)

x

25)



27)



29)



2

1
1
x a
dx  ln
C
2
a
2a x  a

1
a2  x2
1
x2  

dx  arcsin

x
C
a

dx  ln x  x    C

x 2  a 2 dx 

2

1

24)



26)

 tan xdx   ln cosx  C;  cot xdx  ln sin x  C

28)

x 2
a2
x
2
a  x dx 
a  x  arcsin  C
2
2
a



1 x2

2

dx  arcsin x  C

2

x 2 2 a2
x  a  ln x  x 2  a 2  C
2
2

Trang|2
Facebook: www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan


/>

BẢNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
GV: NGUYỄN BÁ TUẤN

1) Công lượng lượng giác cơ bản
sin x
cos x
;cot x 
cos x
sin x

sin 2 x  cos 2 x  1

tan x 

tan x.cot x  1

1  tg 2 x 

1
1
;1  cot g 2 x 
2
cos x
sin 2 x

2) Các cung liên quan đặc biệt
2.1 Hai cung đối nhau
cos( x)  cos x
sin( x)   sin x
tan( x)   tan x

cot( x)   cot x

2.2 Hai cung bù nhau
sin(  x)  sin x; cos(  x)   cos x; tan(  x)  tgx; cot(  x)   cot x

2.3 Hai cung phụ nhau









sin(  x)  cos x; cos(  x)  sin x; tan(  x)  cot x; cot(  x)  tan x
2
2
2
2

2.4 Hai cung hơn kém nhau
sin(  a)  sin a
cos(  a)   cos a
tan(  a)   tan a
cot(  a)   cot a

3. Công thức cộng
sin( x  y)  sin x cos y  sin y cos x
cox( x  y )  cos x cos y sin x sin y

tan( x  y) 

tan x  tan y
1 tan x tan y

Trang|3
Facebook: www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan


/>
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
1
cos x.cos y   cos( x  y )  cos( x  y )
2
1
sin x sin y   cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
1
sin x cos y  sin( x  y )  sin( x  y ) 
2

5. Công thức hạ bậc
1  cos 2 x
cos 2 x 
2
1  cos 2 x
sin 2 x 
2
3cos x  cos 3 x

cos3 x 
4
3sin x  sin 3x
sin 3 x 
4
6. Công thức nhân đôi, nhân ba
sin 2 x  2sin x cos x

cos 2 x  2 cos 2 x  1  1  2sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x
2 tan x
tan 2 x 
1  tan 2 x
sin 3x  3sin x  4sin 3 x
cos 3 x  4 cos3 x  3cos x
3 tan x  tan 3 x
1  3 tan 2 x
7. Công thức nghiệm
tan 3x 

Trang|4
Facebook: www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan


/> x  u  k 2
sin x  sin u  
 k  Z
 x    x  k 2
 x  arcsin m  k 2
sin x  m  
( m  1)

 x    arcsin m  k 2
sin x  1  x 


2

 k 2

sin x  1  x  
sin x  0  x  k


2

 k 2

 x  u  k 2
cos x  cos u  
(k  Z)
 x  u  k 2
 x  arccos m  k 2
cos x  m  
( m  1)
 x   arccos m  k 2

cos x  1  x  k 2 (k  Z )
cos x  1  x    k 2 (k  Z )



k ( k  Z )
2
tan x  tan u  x  u  k (k  Z )
cot x  cot u  x  u  k (k  Z )

cos x  0  x 

8. Công thức cộng

x y
x y
cos
2
2
x y
x y
cos x  cos y  2sin
sin
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2sin
cos
2
2
x y
x y
sin x  sin y  2 cos
sin

2
2
sin( x  y )
tan x  tan y 
cos x cos y
sin( x  y )
tan x  tan y 
;
cos x cos y
sin( x  y )
cot x  cot y 
sin x sin y
sin( x  y )
cot x  cot y 
sin x sin y
cos x  cos y  2 cos

Trang|5
Facebook: www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan


/>9. Công thức đặc biệt
x
2t
1 t2
2t
t  tan  sin x 
;cos
x


; tan x 
2
2
2
1 t
1 t
1 t2





sin x  cos x  2 sin( x  )  2 cos( x  )
4
4





sin x  cos x  2 sin( x  )   2 cos( x  )
4
4
2
1  sin 2 x  (sin x  cos x)
u  sin x  cos x, v  sinx  cosx  sin x cos x 

u 2 1 1  v2

2

2

10. Điều kiện có nghiệm:
Phương trình: a sin x  b cos x  c có nghiệm khi và chỉ khi a 2  b 2  c 2 và vô nghiệm khi a 2  b 2  c 2

PHẦN II: CÁC ĐỊNH LÍ VỀ GIẢI TAM GIÁC
1. Định lí côsin:
Trong tam giác ABC với BC

a2

b2

c2

2

2

2

b

c

a

a , AC

b và AB

2bc.cos A

A

2ca.cos B

c 2 a2 b2 2ab.cos C
Hệ quả:
b2 c 2 a2
cos A
2bc
2
c
a2 b2
cos B
2ca
2
a b2 c 2
cos C
2ab
2. Định lí sin :
Trong tam giác ABC với BC

c ta có :

b

c

B

C

a
Hình 2.6

a , AC

b , AB

c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ta có :

a
b
c
2R
sin A sin B sin C
3. Độ dài trung tuyến
Cho tam giác ABC với ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C ta có :

ma2
mb2
mc2

2(b2
2( a2
2( a2

c 2 ) a2

4
c 2 ) b2
4
b2 ) c 2
4
Trang|6

Facebook: www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan


/>4. Diện tích tam giác
Với tam giác ABC ta kí hiệu ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA,
AB; R, r
lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác; p

a

b
2

c

là nửa chu vi tam giác; S là

diện tích tam giác. Khi đó ta có:
1
1
1
bhb
ch

S = aha
2
2
2 c
1
1
1
ca sin B
ab sin C
= bc sin A
2
2
2
abc
=
= pr
4R
= p( p a)( p b)( p c) (công thức Hê–rông)

CÁC KHÁI NIỆM VỀ DÃY SỐ
1. Khái niệm dãy số
Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u : *  , n  u(n)
Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n :
u(1), u(2), u(3),..., u(n),...
 Ta kí hiệu u( n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số, u1 được gọi là số
hạng đầu của dãy số.
 Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1 , u2 ,..., un ,... hoặc dạng rút gọn (un ) .
2.Cách tạo ra dãy số
Người ta thường cho dãy số theo các cách:
 Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

 Cho bằng công thức truy hồi, tức là:
* Cho một vài số hạng đầu của dãy
* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứng trước nó.
 Cho ở dạng mô tả: Dạng này liên quan nhiều đến các bài toán thực tế. Dãy số sẽ được mô tả để tìm
được các số hạng một cách chính xác hoặc tìm được một số các số hạng đầu sau đó có chỉ dẫn để tìm
chính xác được các số hạng còn lại của dãy.
3. Dãy số tăng, dãy số giảm
 Dãy số (un ) gọi là dãy tăng nếu un  un1 n  *
 Dãy số (un ) gọi là dãy giảm nếu un  un1 n 

*
Trang|7

Facebook: www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan


/>4. Dãy số bị chặn
 Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn trên nếu có một số thực M sao cho un  M n  * .
 Dãy số (un ) gọi là dãy bị chặn dưới nếu có một số thực m sao cho un  m n 

*.

 Dãy số vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn, tức là tồn tại số thực dương M sao
cho un  M n  * .

Cấp số cộng.
1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng  un+1 = un + d, n  N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát: un  u1  (n  1)d với n  2
4. Tổng n số hạng đầu tiên Sn  u1  u2  ...  un 
3. Tính chất các số hạng: uk 

uk 1  uk 1
với k  2
2

n(u1  un ) n  2u1  (n  1)d 

2
2

Cấp số nhân.
1. Định nghĩa: (un) là cấp số nhân  un+1 = un.q với n  N* (q: công bội)
2. Số hạng tổng quát: un  u1.q n1 với n  2
3. Tính chất các số hạng: uk2  uk 1.uk 1 với k  2

 Sn  nu1
4. Tổng n số hạng đầu tiên: 
u (1  q n )
Sn  1

1 q

q 1
q 1

u1 (1  q n )
5. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn q  1 Sn 
1 q

Trang|8

Facebook: www.facebook.com/NguyenBaTuan.gvToan