BT TP LINH

Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================

Chuyên đề: TÍCH PHÂN
A.

TÓM TẮT KIẾN THỨC

I. Bảng tính nguyên hàm cơ bản:
Bảng 1

Bảng 2

Hàm số f(x)

Họ nguyên hàm F(x)+C

Hàm số f(x)

Họ nguyên hàm F(x)+C

a ( hằng số)

ax + C
x 1
C
 1

(ax  b)

1 (ax  b) 1
C
a
 1
1
ln ax  b  C
a



x

1
x
ax

1
ax  b

ln x  C

ex

ax
C
lna
ex  C

eaxb

sinx

-cosx + C

sin(ax+b)

cosx

sinx + C

cos(ax+b)

1
cos2 x

tanx + C

1
cos (ax  b)

1
tan(ax  b)  C
a

1
sin2 x

-cotx + C

1
sin (ax  b)

1
 cot(ax  b)  C
a

u'(x)
u(x)

ln u(x)  C

1
x  a2

1
x a
ln
C
2a x  a

tgx

 ln cosx  C

1

ln x  x2  a2  C

1 axb
e
C
a

2

2

2

2

2

x a
cotgx



1
cos(ax  b)  C
a
1
sin(ax  b)  C
a

ln sinx  C

II. ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

1. Định nghĩa:
Cho hàm số y=f(x) liên tục trên  a; b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì:
b

b

f (x)dx  F (x) a F (b)  F (a)

( Công thức NewTon - Leiptnitz)

a

2. Các tính chất của tích phân:

1


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
a



f (x)dx  0
�

Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác định tại a thì :

a

b



a

f (x)dx  f (x)dx

Tính chất 2:

a

b

b



Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên  a; b thì: cdx c(b  a)
a

b



Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên  a; b và f (x) 0 thì

f (x)dx 0
a



Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên  a; b và f (x) g(x) x   a;b thì
b

b

f (x)dx g(x)dx
a



a

hai ha�
ng so�
) thì
Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên  a; b và m�f (x) �M ( m,M la�
b

m(b  a) f (x)dx M (b  a)
a



Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên  a; b thì
b

b

b

 f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx
a



a

a

Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên  a; b và k là một hằng số thì
b

b

k. f (x)dx k.f (x)dx
a



a

Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên  a; b và c là một hằng số thì
b

c

b

f (x)dx f (x)dx  f (x)dx
a



a

c

Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên  a; b cho trước không phụ thuộc vào biến số ,
b

b

b

f (x)dx f (t)dt f (u)du ...

nghĩa là :

a

a

a

B. CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

I. Phương pháp phân tích.
* Nội dung: Sử dụng các phép biến đổi đại số kết hợp với các tính chất của tích phân đưa tích phân
cần tìm về các tích phân có trong bảng nguyên hàm sau đó áp dụng định nghĩa.
II. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ :
b
'
1) DẠNG 1: Tính I = f[u(x)].u(x)dx bằng cách đặt t = u(x)
a

Công thức đổi biến số dạng 1:

b

u (b )

a

u (a)

 f  u ( x ).u ' ( x)dx   f (t )dt (1)

Cách thực hiện:

2


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
t u ( x)  dt u ' ( x) dx
x b
t u (b)

Bước 2: Đổi cận :
x a
t u (a )
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
Bước 1: Đặt

b

u (b )

a

u(a)

I   f  u ( x).u ' ( x) dx   f (t ) dt (tiếp tục tính tích phân mới)
1
,ln x) thì đặt t = lnx.
x
+, Khi f(x) có chứa n u(x) thì thường đặt t = u(x).
+, Khi f(x) có mẫu số thì thường đặt t = mẫu.
Nhìn chung là ta phải nắm vững công thức (1) và vận dụng hợp lý.
CHÚ Ý:

+, Khi gặp dạng f(x) có chứa (

b

2) DẠNG 2: Tính I = f(x)dx bằng cách đặt x =  (t)
a

Công thức đổi biến số dạng 2:

b



a



I   f ( x)dx   f   (t ) ' (t )dt

Cách thực hiện:
x  (t )  dx  ' (t )dt
x b
t 

Bước 2: Đổi cận :
x a
t 
Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được
Bước 1: Đặt

b



a



I   f ( x)dx   f   (t ) ' (t )dt (tiếp tục tính tích phân mới)
Chú ý:
* Nếu f(x) có chứa:
- p p�
�
+, (a2 - x2)n thì đặt x = a .sin t với t �� ; �
, hoặc x = a .cost với t �[ 0; p] .
�2 2�
- p p�
�
�
; �, hoặc x = a .cot t với t �( 0; p) .
+, (a2 + x2)n thì đặt x = a .tant với t ��
�
�2 2�
a
a
n
2
2
+, ( x - a ) thì đặt x =
hoặc x =
.
sint

cost
III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN:
* Kiến thức:
Cho hàm số y = f(x) xác định trên tập D vi phân của hàm số ký hiệu:
dy = f '(x).dx hay d(f(x)) = f '(x).dx.
* Để tính được nhanh các em cần nhớ những công thức sau:
d(a.x + b)
(a � 0) .
+, d(a.x + b) = a.dx � dx =
a
d(aex + b)
x
x
d(ae
+
b)
=
ae
.dx
�
dx
=
+,
.
a.ex

3


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
d(sinx)
d(cosx)
; d(cosx) = - sinx.dx � dx =
.
cosx
- sinx
dx
dx
1 d(a.x + b) 1
.
=
= ln(a.x + b) .
+, d(lnx) =
x
a.x + b a a.x + b
a
x.dx
2
2
+, d( x + a ) =
.
x2 + a2
VI. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần:
+, d(sinx) = cosx.dx � dx =

b

b

u ( x).v' ( x)dx  u ( x).v( x) a  v( x).u ' ( x) dx
b

a

a

b

b

udv  u.v  a  vdu

Hay:

b

a

a

Cách thực hiện:
Bước 1: Đặt

u u ( x)
du u ' ( x)dx


dv v' ( x)dx
v v ( x )
b

b

Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : udv  u.v  a  vdu
b

a

Bước 3: Tính  u.v  ba

a

b

và vdu
a

Chú ý:
b

Giả sử cần tính tích phân

�f(x)g(x)dx ta thực hiện
a

Đặt u = f(x), dv = g(x)dx (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm v(x) và vi phân

b
/

du = u (x)dx không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân

�vdu phải tính được.
a

Đặc biệt:
b

i/ Nếu gặp

b

b

�P(x) sinaxdx, �P(x) cosaxdx, �e

ax

a
b

ii/ Nếu gặp

a

a

�P(x) ln xdx thì đặt u = ln x .
a
b

iii/ Nếu gặp

.P(x)dx với P(x) là đa thức thì đặt u = P(x) .

b

�e

ax

a

.sinaxdx ,

�e

ax

.cosaxdx thì ta tính hai lần từng phần bằng cách đặt u = eax .

a

C. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG
a

Bài 1: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

f(x)dx 0

a

4


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
a

a

f(x)dx 2f(x)dx .

2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì :

a

0

Ví dụ: Tính tích phân
p
2

I=

�cosx.ln(x +

x2 + 1)dx

- p
2

Bài 2: 1) CMR nếu f(x) là một hàm số liên tục trên đọan [-a; a] với a > 0 thì:
a

a

�f(x).dx = �(f(x) +f(- x)).dx .
- a

0

Ví dụ: Tính tích phân
Cho f (x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn f (x) + f (- x) =

2 - 2.cos2x .

3p
2

Tính tích phân I =

�f(x).dx

- 3p
2

a

Bài 3: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [ 0; a] với a > 0, thì

a

�f(x)dx = �f(a 0

x).dx .

0

Bài 4: Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và thoả mãn f(x) = f( a +b - x) thì
b
b
a+b
�x.f(x)dx = 2 .�f(x).dx
a
a
Hệ quả:


2


2

0

0

a) f(sinx)dx  f(cosx)dx






b) xf(sinx)dx 
0


f(sinx)dx .
2
0

Ví du: Tính tích phân

p
2

p

1
b)J = �
( 2
- tan2(sinx)).dx .

cos
(cosx)
0
0
Bài 5: Nếu f (x) là hàm số liên tục, tuần hoàn có chu kỳ T thì :
x.sinx.cos2x.dx ;
a) I = �

a+T

T
2

T

�f(x)dx = �f(x)dx = �f(x)dx, " a �R .
a

0

- T
2

Ví dụ: Tính các tích phân
2p

ln(sinx + 1+ sin2 x)dx;
a) I = �

2008p

b) J =

0

�sin

2007

x.dx .

0





f (x)
i   R+ vaøa >0 ; a �1
Bài 6:CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì  x dx f (x)dx vôù
a 1

0
Ví dụ : Tính các tích phân sau:

1
1
sin2 x
x4
1 x2

dx
dx
dx
a)  x
b) 
c)  x
3 1
2 1
1 2x

1
1

5


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
D. PHÂN LOẠI MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN
I.TÍCH PHÂN LƯỢNG GIÁC
1. Dạng bậc lẻ với hàm sin.
Phương pháp chung: Đặt t = cosx khi đó dt = - sinx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
sin2 x = 1- cos2x = 1- t2.
Chú ý:
(sinx)2n+1 = (sin2 x)n.sinx = (1- t2)n.sinx
Ví dụ 1 (bậc sin lẻ). Tính tích phân I =

p
2

�cos

2

x sin3 xdx .

0

Giải
Đặt t = cosx � dt = - sin xdx
p
x = 0 � t = 1, x = � t = 0
2
p
2

0

0

1

1

1

�t3 t5 �
�
2
2
2
2
2
� =
(t
t
)dt
=
=
.
�
�I =�
cos x(1 - cos x) sin xdx = - �
t (1 - t )dt �
�
�
�3
5 �0
15
0
2

Vậy I =

4

2
.
15

2. Dạng bậc lẻ với hàm cos.
Phương pháp chung: Đặt t = sinx khi đó dt = cosx.dx, sau đó đưa tích phân ban đầu về tích phân
theo biến t.
cos2 x = sin2 x = 1- t2.
Chú ý:
(cosx)2n+1 = (cos2 x)n.cosx = (1- t2)n.cosx
Ví dụ 2 (bậc cosin lẻ). Tính tích phân I =

p
2

�cos

5

xdx .

0

Giải
Đặt t = sin x � dt = cosxdx
p
x = 0 � t = 0, x = � t = 1
2
p
2

p
2

1

�I =�
cos xdx = �
(1 - sin x) cosxdx =
5

0

2

2

0

Vậy I =

1

� 2t3
�
t5 �
8
2 2
�
(1

t
)
dt
=
t
+
.
�=
�
�
�
�
3
5 �0
15
0

8
.
15

3. Dạng bậc chẵn với hàm sin và cos.
Phương pháp chung: Sử dụng công thức hạ bậc
1+ cos2x
1- cos2x
1
cos2 x =
;sin2 x =
;sinx.cosx = sin2x
Chú ý:

2
2
2
Ví dụ 3 (bậc sin và cosin chẵn). Tính tích phân I =

p
2

�cos

4

x sin2 xdx .

0

Giải
p
2

I =

�cos

4

0

p
2

x sin2 xdx =

p
2

p
2

1
1
1
cos2 x sin2 2xdx =
(1 - cos4x)dx + �
cos2x sin2 2xdx
�
�
4 0
16 0
40

6


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
p

2

p
2

0

0

p

2
�x
1
sin3 2x �
p
1
1
2
�
� .
=
sin
4x
+
=
=
(1
cos4x)dx
+

sin
2xd(sin2x)
�
�
�
�
16 64
24 �0
32
16 �
8�

Vậy I =
Nhận xét:
Ví dụ 4. Tính tích phân I =

p
2

p
.
32

dx

�cosx + sin x + 1 .
0

Giải
x

1 2x
2dt
Đặt t = tg � dt = tg + 1 dx � dx = 2
2
2
2
t +1
p
x = 0 � t = 0, x = � t = 1
2

(

1

�I=

1

�1 0

2

t
2t
+
2
1+ t
1 + t2

)

2dt
.
1 + t2 =
+1

1

dt

�t + 1 = ln t + 1

1
0

= ln2 .

0

Vậy I = ln2 .
4. Dạng liên kết

p

Ví dụ 5. Tính tích phân I =

xdx

�sin x + 1 .

0

Giải
Đặt x = p - t � dx = - dt
x = 0 � t = p, x = p � t = 0
0

(p - t)dt
� I =- �
=
sin(p - t) + 1
p

p

�( sin t + 1 p

0

p

p

p
dt
= �
t
t
2 0
sin + cos

2
2

(

)

2

)

t
dt
sin t + 1

p

dt
p
dt
= p�
- I �I = �
sin t + 1
2 0 sin t + 1
0
t p
p
p
d p
dt

p
2 4 = p tg t - p
= �
4 0 cos2 t - p = 2 �
p
2
2 4
2 t
0 cos
2 4
2 4
Vậy I = p .

(

Tổng quát:

p

(

)

(

)

)

(

)

p

= p.

0

p

p
xf(sin x)dx = �
f(sin x)dx .
�
2 0
0
Ví dụ 6. Tính tích phân I =

p
2

sin2007 x
�sin2007 x + cos2007 x dx .
0
Giải
p
Đặt x = - t � dx = - dt
2
p

p
x = 0� t = , x = � t = 0
2
2

7


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
sin2007

0

� I =-

�sin

2007

p
2

Mặt khác I + J =

p
2

( p2 - t ) + cos ( p2 - t )

�dx =
0

Tổng quát:

( p2 - t )

p
2

2007

sin x
dx =
�
sin x + cosn x
0
n

+, I - 3J =

p
6

p
2

cosn x
p
dx = , n �Z+ .
n
�
sin x + cos x
4
0
n

sin x
dx và J =
�
sin
x
+
3cosx
0
2

p
6

sin2 x - 3cos2 x
dx =
�
sin x + 3cosx
0

+, I + J =

dx

�sin x +
0

� I +J =

p
6

cos2 x
dx .
�
sin
x
+
3cosx
0

Giải

p
6

�(sin x -

3cosx)dx

0

= ( - cosx p
6

cos2007 t
�sin2007 t + cos2007 t dx = J (1).
0

p (2). Từ (1) và (2) suy ra I = p .
4
2
n

Ví dụ 7. Tính tích phân I =

dx =

p
2

3sin x )

p
6
0

= 1-

3 (1).

p
6

1
dx
�
2 0 sin x + p
3cosx
3
p
Đặt t = x + � dt = dx
3
p
p
p
x = 0� t = , x = � t =
3
6
2
dx =

(

p
2

p
2

p

2

3

3

3

)

p
2

(

)

d(cost)
1
dt
1 sin tdt 1
1
1
1
= � 2 = � 2
= �
d(cost)
�
2 p cos t - 1 4 p cost - 1 cost + 1
2 p sin t 2 p sin t

=

1 cost - 1
ln
4 cost + 1

3
p
2
p
3

=

1
ln 3 (2).
4

�
3
1- 3
I - 3J = 1 - 3
�
�
I =
ln 3 +
�
�
4
� 16

��
Từ (1) và (2) � �
.
�
1
�
�
1
1- 3
�I + J = ln 3
�
�
�
4
�J = 16 ln 3 4
3
1- 3
1
1- 3
Vậy I = ln 3 +
.
, J = ln 3 16
4
16
4
1
ln(1 + x)
dx .
Ví dụ 8. Tính tích phân I = �
1 + x2

0

p
4

Giải
Đặt x = tgt � dx = (1 + tg2t)dt
p
x = 0 � t = 0, x = 1 � t =
4

ln(1 + tgt)
�I =�
( 1 + tg2t ) dt =
2
1
+
tg
t
0

p
4

�ln(1 + tgt)dt .
0

8

Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
p
- u � dt = - du
4
p
p
t = 0� u = , t = � u = 0
4
4
Đặt t =

p
4

0

p
4

=

)

u �
du
�

�

p
4

1 - tgu �

�

� 2

�

�
�
1+
du = �
ln �
du
�
�
�ln �
�
�
� 1 + tgu �
�
1 + tgu �
0
p
4

p
4

0

0

0

p

I.

�ln2du - �ln ( 1 + tgu ) du = 4 ln2 Vậy I =
p
4

Ví dụ 9. Tính tích phân I =

�

p
4

0

=

p

1 + tg( �ln(1 + tgt)dt = - �ln �
�
4

�I =

p
ln2 .
8

cosx
dx .
x
+1

�2007

-

p
4

Giải
Đặt x = - t � dx = - dt
p
p
p
p
x=� t= , x= � t=4

4
4
4
-

� I =-

p
4

p
4

cos(- t)
dt =
- t
�
+1
p 2007

2007t cost
t dt
�
p 1 + 2007

-

4
p
4

=

(1 + 2007t ) - 1
costdt =
�
1 + 2007t
p

-

=

4
p
4

�costdt -

Tổng quát:

p
4

p
4

�( 1 -

-

p
4

p
4

I �I =

4

1
costdt =
2�
p
-

4

)

1
costdt
2007t + 1
p
4

�costdt =
0

2
.
2

Với a > 0 , a > 0, hàm số f(x) chẵn và liên tục trên đoạn [ - a; a ] thì
a
a
f(x)
f(x)dx .
�ax + 1dx = �
- a
0

Ví dụ 10. Cho hàm số f(x) liên tục trên � và thỏa f(- x) + 2f(x) = cosx .
p
2

Tính tích phân I =

�f(x)dx .
-

p
2

Giải

9

Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
p
2

Đặt J =

�f(- x)dx , x = - t � dx = - dt
-

p
p
p
p
� t= , x= � t=2
2
2
2

x=p
2

�I=

p
2

�f(- t)dt = J

p
2

� 3I = J + 2I =

p
2

�[ f(- x) + 2f(x) ] dx
-

p
2

=

p
2

p
2

�cosxdx = 2�cosxdx = 2.
-

p
2

0

Vậy I =

2
.
3

Vậy I =

p
.
2

Chú ý:
Đôi khi ta phải đổi biến số trước khi lấy tích phân từng phần.
Ví dụ 4. Tính tích phân I =

p2
4

�cos

xdx .

0

Giải
Đặt t = x � x = t2 � dx = 2tdt
p2

p
x = 0 � t = 0, x =
�t=
4
2
p
2

� I = 2�
t costdt = 2( tsint + cost )

p
2
0

= p - 2.

0

Vậy I = p - 2.

e

Ví dụ 5. Tính tích phân I =

�sin(ln x)dx .
1

Giải
Đặt t = ln x � x = et � dx = et dt

x = 1 � t = 0, x = e � t = 1
1

�I =

�et sintdt =

( sint - cost ) et

0

Vậy I =

2

1

=
0

(sin1 - cos1)e + 1
.
2

(sin1 - cos1)e + 1
.
2

II. TÍCH PHÂN CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
Phương pháp giải toán

1. Dạng 1
b

Giả sử cần tính tích phân I =

�f(x) dx , ta thực hiện các bước sau
a

Bước 1. Lập bảng xét dấu (BXD) của hàm số f(x) trên đoạn [a; b], giả sử f(x) có BXD:

10


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
a

x
f(x)

+

b

Bước 2. Tính I =

x1

0

x1

x2
0

-

+

x2

b

b

�f(x) dx = �f(x)dx - �f(x)dx + �f(x)dx .
a

a

x1

x2

2

Ví dụ 1. Tính tích phân I =

�x

2

- 3x + 2 dx .

- 3

Giải
Bảng xét dấu

x
x - 3x + 2
2

- 3
+

1

I =

1
0

2
0

2

�( x

2

- 3x + 2) dx -

- 3

�( x

2

- 3x + 2) dx =

1

Vậy I =
Ví dụ 2. Tính tích phân I =

-

p
2

59
.
2

59
.

2

4cos2 x - 4sin xdx .

� 50

Giải

p
2

I =

� 4sin

2

p
2

x - 4sin x + 1dx =

0

Bảng xét dấu

I =-

p
6

0

0

2sin x - 1

�( 2sin x -

1 dx .

0

x
p
6

�2sin x -

p
2

+

p
2

( 2sin x - 1) dx = 2 3 - 2 1) dx + �
p
6

0

Vậy I = 2 3 - 2 -

p
.
6

p
.
6

2. Dạng 2
b

Giả sử cần tính tích phân I =

�[ f(x)

� g(x) ] dx , ta thực hiện

a

Cách 1.
b

Tách I =

�[ f(x)

b

� g(x) ] dx =

a

b

�f(x) dx � �g(x) dx rồi sử dụng dạng 1 ở trên.
a

a

Cách 2.
Bước 1. Lập bảng xét dấu chung của hàm số f(x) và g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2. Dựa vào bảng xét dấu ta bỏ giá trị tuyệt đối của f(x) và g(x).
2

Ví dụ 1. Tính tích phân I =

�( x

- x - 1 ) dx .

- 1

Giải

11

Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
Cách 1.
2

I =

2

�( x

- x - 1 ) dx =

- 1
0

=-

2

�x dx - �x - 1

2

1

�xdx + �xdx + �(x - 1

x2
=2

0

0

- 1

1)dx -

- 1

2

x2
+
2

0

1 dx

- 1
2

�(x -

1)dx

1

1

2

�x2
�
+�
- x�
�
�
�
�2
�- 1

�x2
�
� - x�
= 0.
�
�
�
�2
�1

Cách 2.
Bảng xét dấu

x
x
x–1

–1

0
0

–
–

0

I =

1
+
–

0

2
+
+

1

�

( - x + x - 1) dx +

- 1

2

�

( x + x - 1) dx +

0

=- x

0
- 1

�( x -

x + 1) dx

1

1

+ ( x - x ) 0 + x = 0.
Vậy I = 0 .
2

2

1

3. Dạng 3
b

Để tính các tích phân I =

b

�max { f(x),

g(x) } dx và J =

a

�min { f(x),

g(x) } dx , ta thực hiện các

a

bước sau:
Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số h(x) = f(x) - g(x) trên đoạn [a; b].
Bước 2.
+ Nếu h(x) > 0 thì max { f(x), g(x) } = f(x) và min { f(x), g(x)} = g(x) .
+ Nếu h(x) < 0 thì max { f(x), g(x)} = g(x) và min { f(x), g(x) } = f(x) .
4

�max { x

2

Ví dụ 1. Tính tích phân I =

+ 1, 4x - 2} dx .

0

Giải
2
( 4x - 2) = x2 - 4x + 3 .
h(x)
=
x
+
1
(
)
Đặt

Bảng xét dấu
x
h(x)

0

1
0

+

1

I =

3

�( x

2

0

–

3
0

4
+
4

( 4x - 2) dx + �
+ 1) dx + �
( x2 + 1) dx =
1

3

Vậy I =

80
.
3

80
.
3

2

Ví dụ 2. Tính tích phân I =

�min { 3 ,
x

4 - x } dx .

0

Giải
x
x
Đặt h(x) = 3 - ( 4 - x ) = 3 + x - 4.
Bảng xét dấu
x

0

1

2

12


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
h(x)
1

I =

–

0

2

�3x dx + �( 4 - x ) dx =
0

1

Vậy I =

+

1

2

�
3
x2 �
2
5
�
+�
4x
=
+ .
�
�
�
�
�
ln 3 0
2 1
ln 3 2
x

2
5
+ .
ln 3 2

III. TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ DẠNG HÀM VÔ TỈ.

1.Tích phân dạng:

dx



ax 2  bx  c

(với a 0)

Cách làm:
Biến đổi ax 2  bx  c về một trong các dạng ,sau đó thực hiện phép đổi biến tương ứng ta
sẽ đưa về việc tính tích phân của hàm hữu tỉ.
� p p�
- ; �
�
a) a 2  t 2 Đặt t = a.tgu (hoặc a.cotgu) với u ��
�
�(hoặc u  ( 0;p) ).
�
� 2 2�
�p p�
� ; �(hoặc u �[ 0;p] .
b) a 2  t 2 Đặt t = a.Sinu(hoặc a.Cosu) với u ��
� 2 2�
�
�p�
�p p�
a
a

� ; �
c) t 2  a 2 Đặt t =
(hoặc t =
) với u �[ 0;p] - �
-  0 )
��
�(hoặc u ��
�
Cosu
Sinu
�
�2�
� 2 2�
�
Chú ý công thức:
dx
(C là hằng số tuỳ ý)
 x 2  a = ln x  x 2  a +C
Chứng minh:

t.dx
x 
dx =
Đặt t = x + x 2  a  dt 1 

x2  a
x2  a 

dt
dx

dx
dt
2

Từ đó ta có :
Vậy
:
=  ln t  C ln x  x  a  C (ĐPCM)

2
2
t
t
x a
x a
du
ln u  u 2  a  C (*)Trong đó u = u(x).
Với hàm hợp:  2
u a
3
2

Ví dụ 1:Tính I =


1

I =

3

2

dx
2x  x 2

dx



1  ( x  1) 2
Đặt x-1 = Sint . Khi
1

x =1  t = 0
3
p
x=  t=
2
6

và : dx Costdt
vậy I =


6

cos tdt

 1  sin
0


6

2

t

 dt t
0


6

0

=

p
6

13


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
3

Ví dụ 2:Tính J =

dx



2

4x  4x  3
2
Thông thường với tích phân dạng (a) và (c) ta sử dụng công thức (*) thì lời giải sẽ dễ dàng và
ngắn gọn hơn.
3
3
dx
dx
áp dụng công thức (*) ta có: J = 
=

( 2 x  1) 2  3
4x 2  4x  3
2
2
3
3
1
d (2 x  1)
1
1  7  45 

2
.
ln
2
x

1

4
x

4
x

3
ln
= 
=
=
2 2 (2 x  1) 2  4
2
2  5  21 
2
1 2
2

dx



Ví dụ 3: Tính K =

1 2
2

2

4x  4x  3

1
2

=


1
2

dx
(2 x  1) 2  2

Cách 1: Áp dụng công thức (*) ta có:
1 2
2

K=

1
ln 2 x  1  4 x 2  4 x  3
=

2
2
( 2 x  1)  2
dx


1
2

1 2
2
1
2

= ln 1  2 .

Cách 2: Đặt 2x - 1 = 2 tan t
Chú ý:
Nếu mẫu thức có thể khai căn được thì ta có thể giải bài toán một cách đơn giản hơn như sau:
0
dx
Ví dụ 4:Tính M = 
2
 2 4x  4x 1
0

M=

dx

2x  1 =

2

0

0

0
dx
1 d (1  2 x)
1
1




ln
1

2
x
= - ln 5


1  2x
2  2 1  2x
2
2
2

2
( Ax  B )dx
2.Tích phân dạng: 
Với a.A 0
ax 2  bx  c
Cách làm:
Tách tích phân đã cho thành hai tích phân có chung mẫu là ax 2  bx  c ,một tích phân có tử
là đạo hàm của tam thức bậc hai,một tích phân có tử là hằng số.
( Ax  B )dx
2ax  b
M .dx
dx  
Tức là tách: 
=

ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
ax 2  bx  c
( x  4)dx
Ví dụ 1:Tính I =  2
x  2x  3

1  (2 x  2)dx
6dx
1 (2 x  2)  6 dx

Ta có: I =  2
=  2
=
2  x  2x  3

2
x  2x  3
x 2  2x  3 

=

x 2  2 x  3  3 ln x  1  x 2  2 x  3  C

=
0

Ví dụ 2:Tính J =



1

( x  2)dx
x 2  2x  2

14


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
0

Ta có: J =



1

=

1
2

0



1

0

( x  2)dx

1
=
2
2
x  2x  2
(2 x  2)dx
x 2  2x  2



1

0

+
1

(2 x  2)  2
x 2  2x  2

dx

dx
x 2  2x  2
0

2
2
=  x  2 x  2  ln x  1  x  2 x  2  = 2  1  ln(1  2)

 1
dx
3.Tích phân dạng: 
(Với  .a 0 )
(x   ) ax 2  bx  c
1
Cách làm: Đặt x    chuyển tích phân cần tính về tích phân dạng (a).
t
1

dx
Ví dụ 1:Tính I = 
2
0 ( x  1) x  2 x  2
1
Đặt x  1 = Khi
x = 0 t = 1
t
1
x=1  t=
2

dt
Và dx = - 2 .Ta có: I =
t
3

Ví dụ 2:Tính J =

1

t
1
2

dt
2

1

2
= ln t  t  1

1
1
2

= ln

2(1  2)
1 5

dx

( x  1)

x2 1
1
t 1
Đặt x-1 =  x =
t
t
Khi
2

x = 2 thì t=1
1
x = 3 thì t =
2
dt

và dx = - 2
t
1
dt
 2
1
2
1
dt
t
Tích phân cần tính là: I = 
= 2 2
2
1
t  t  12
1 1  t 1
2

 1
t  t 
 1
dt  
1
1
1
 2
1
1
1  3  10 
2

1

ln
t


t

t

ln
=

=
=
2
2

2 1  1
1
2
2
2
2

5
1


t



2
2


4
 2
ln 2

Ví dụ 3:Tính K =

(1  e

e x dx

) 1  e x  e2x
Đặt t = ex  dt = exdx.Khi : x = 0  t = 1
x = ln2  t = 2
2
dt
Ta có: K = 
2
1 (1  t ) 1  t  t
0

x

15

Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
Đặt

u=

1

Vậy K =

3

1

du  
2


1
2


1
3

dt

1

ta có: du 
(1  t ) 2
1 t

1
1

u   
2  12


2

Ví dụ 4:Tính N =



Ta có : N =


6

1
1
1

ln u    u   
2

2  12
3



2

cot gxdx

=N=

2

Sin x  2


6

Sin 2 x  2

dt

1

ln u  u 2 

4.Tích phân dạng: 

1
2

2
1

=

2


2
1

2

2

3
ln 3
6

cos xdx

Sinx

1
Đặt t = Sin x thì : N =  2
Lại đặt u = thì N =
1 t t 2
t
1

1
3

=

Sin 2 x  2

1

=

1
2

cot gxdx




6

2

2

1

=

2

du
u2
1
t 1
u

dt 

du
u2 

1 =
2

 2 2 3 

ln
2  2  3 

1

f ( x)dx

Với a 0 bậc f(x) 2,f(x) là đa thức.
ax 2  bx  c
f ( x)dx
dx
Cách làm:Tách 

= g(x). ax 2  bx  c +  
2
2
ax  bx  c
ax  bx  c
Với g(x) là đa thức , bậc g(x)+1 = bậc f(x).
Tìm các hệ số của g(x) và số  bằng phương pháp hệ số bất định.
( x 2  1)dx
Ví dụ 1:Tính M = 
x 2  2x  3
dx
( x 2  1)dx
2

Tách : 
=
+
(
Ax

B
)
x

2
x

3
x 2  2x  3
x 2  2x  3

Lấy đạo hàm hai vế ta có:
x 2 1

 A. x 2  2 x  3 +

( Ax  B )( x  1)

+



x 2  2x  3
x 2  2x  3
1
3
Đồng nhất hệ số ta có : A  ; B  ;  1
2
2
dx
x 3 2
x  2x  3 +  2
Vậy M =
2
x  2x  3
x 3 2
x  2 x  3 + ln x  1  x 2  2 x  3  C
=
2
x3  x 1
dx

Ví dụ 2:Tính N =  2
x  2x  2
x 2  2x  3

16


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
Ta có :

x3  x 1



dx = ( Ax 2  Bx  C ) x 2  2 x  2 +  

x 2  2x  2
Lấy đạo hàm hai vế của (1) và quy đồng ta có:
x3-x +1 = (2A.x+B)(x2+2x+2) +(Ax2+Bx+C)(x-1) +D
Đồng nhất hệ số ta có:

3A = 1

dx
x 2  2x  2

(1)

1
3
5
B= 6
1
C=
6
5
D=
2
dx
A=

5A+2B =0



4A+3B+C =-1
2B +C+D =1

1
5
2x 2  5x  1 x 2  2 x  2
+
 x 2  2x  2
6
2
1

5
2
2
2
= 2 x  5 x  1 x  2 x  2 + ln x  1  x  2 x  2  C
6
2
0
x x  1 ( x  1)
dx
Ví dụ 3:Tính P =  2
x

2
x

2
1
Để áp dụng được ví dụ 2 ta làm như sau:Tách tích phân cần tính thành hiệu của hai tích phân:
0
0
x x  1 ( x  1)
x3  x
dx
dx =
P=  2
=  2
x  2x  2
1
 1 x  2x  2



Vậy có: M =





0

P=





0

x3  x 1

dx -



0

dx

x  2x  2



1

=N-



dx

=
x  2x  2
 1 x  2x  2
0
1
3
2 x 2  5 x  1 x 2  2 x  2  ln x  1  x 2  2 x  2  =
=
6
2
1
1
4 3
2   ln 1  2 .
=
6
3 2
dx
*

5.Tích phân dạng: n
m
2 n  m với m, n  N , a.c  0
(ax  b) (cx  d )
1

2

2

2



m

ax  b 
Cách làm:Đặt t n 
 ta sẽ đưa về tính tích phân của hàm hữu tỉ.
 cx  d 
1

Ví dụ :Tính I =


0

dx
(3 x  1) 3 (5 x  4)

Ta thấy m 3; n 2 đặt t =

 3x  1 


 5x  4 

3

 3x  1 
 t 2 

 5x  4 

3

2
dx
2dt
7dx
 3x  1 

 3
 2tdt 3.
 .
2
2
( 5 x  4)
21 t
 5 x  4  (5 x  4)

1
Khi x 0  t 
8
8
x 1  t 
27

17


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
1
1



Vậy ta có: I =

0

dx
(3 x  1) 3 (5 x  4)
8
27



=

0

1
8

8

6.Tích phân dạng:



ax  b
dx
cx  d

 5 x  4

8
27

4


2
2
3
t

dt =  3
=

21 1
7 t

8
27

dx

=

Với

2

 3x  1 


 5x  4 

3

=

2dt

21t.
1

8

3

t

=

1
7

 a.c 0

ax  b
cx  d
Cách 2: Đặt t  cx  d
Với cách đặt trên ta sẽ đưa tích phân cần tính thành tích phân đơn giản hơn.
1
1 x
dx
Ví dụ :Tính J = 
3 x
0
dx
Ta thực hiện theo cách đặt 2: Đặt t  3  x  dt 
2 3 x
dx

 2dt
3 x

Khi đó x  t 2  3  1  x  4  t 2
Cách làm: Cách 1: Đặt t 

1

Vậy J =


0

2

1 x
dx =  2  4  t 2 dt
3 x
3

Đặt t 2 Siny

t 3 y

Khi


3

t 2 y


4


4

dt 2.Cosydy Vậy : J =  2  4  4Sin 2 y .2Cosydy =

3


3


3



4

4

3
1  Cos 2 y

dy =  4 y  2Sin 2 y  =
 3 2
= 4. 2Cos ydy 8 

2
3



2

4

7.Tích phân dạng:

R x;

n



u ; m u dx

Cách làm: Đặt t k u Với k là BCNN của m và n.
0

1

x 1

dx
x

1
1
Đặt t 6 x  1  t 6  x  1(t 0)  6t 5 dt dx

Ví dụ1 :Tính I =

0

1 

3

1

1 t3
dt
dx = 6t
I=  3
1 t2
x 1
0
 11 
1

x 1

5

18


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
1

6t
6 

6
4
3
2
 2
 dt
=   6t  6t  6t  6t  6t  6  2
t 1 t 1
0
Tích phân này dễ dàng tính được.
3
x 1  2
dx
Ví dụ2 :Tính J =  2
x 1 1
0 x  2x 
Đặt t  x  1  2tdt dx
3

J=

2

x 1  2

2(t  2)tdt
dx =  4
=

2
t t
x 1 1
0 x  2x 
1

2

2t  4
dt
3
1

t
1

2

Bt  C 
 A
 2
= 
 dt
t 1 t  t 1
1

Đồng nhất hệ số ta có: A  2; B 2; C  2
2

2

Vậy J =  2 ln t  1 
1

t
1

2t  2
dt =
 t 1

2

 1
dt  
2
2
d (t  t  1)
2  = 2 ln  ln t 2  t  1  L
=

2 ln   2
 2
3
3 1 t  t 1
1 t  t 1

4

1
3
Tính L bằng cách đặt t   tgu Ta có đáp số là: I = ln 
.
3 3 3
2
2
2

2

2

r
p q
8.Tích phân dạng: x (a  bx ) dx (p,q,r là các phân số)
a)Nếu q nguyên đặt x= ts với s là BCNN của mẫu số r và p.
r 1
b)Nếu
nguyên đặt a  bx p t s với s là mẫu của phân số q.
p
r 1
c) Nếu
+q nguyên đặt ax  p  b t s với s là mẫu số của phân số q.
p
dx
Ví dụ1 :Tính I =  4
x ( x  1) 3

dx

1
2

3

1


4 

x

1

x
Viết tích phân cần tính ở dạng sau: I =  4
3 = 

 dx
x ( x  1)


4
3
Vì q=-3 nguyên nên đặt x= t ta có dx=4t dt
tdt
4t 3 dt

I = 2
=
3 =4 
(t  1) 3
t (t  1)


 1
1
1 


= 4 
 dt =
3
2
t  1
(t  1)
 (t  1)


1
1

 ln t  1   C .
= 4 
2
t1
 2(t  1)


x 5 dx

Ví dụ 2 :Tính J = 
(a  x 2 ) a  x 2
Ta có: J =

5

2

x (a  x )

3
2

 a  0

dx Vì

r 1 5 1

3 nguyên nên đặt a-x2 = t2
p
2

19


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
 x 4 (a  t 2 ) 2   2 xdx 2tdt  xdx  tdt

a  t  tdt
2 2

Vậy J = 



t 4  2at 2  a 2
= -
dt
t3

t3
1 3
a2
=  t  2at 
C .
3
t
Ví dụ 3 :Tính N =  3 ax  x 3 dx
Ta có: N =



ax  x dx =

3

3

x

1
3

1
2 3

( a  x ) dx

r 1
1
1
 q 1 nguyên nên ta đặt ax  2  1 t 3 hay
Do r  ; p 2; q 
vì
p
3
3.
a
a
3at 2 dt
3
2
2


1

t

x


dx


x2
t 3 1
(t 3  1) 2
1 3 a
1 
3at 2 
3a
t 3 dt
2

1
dx
t

dt

=
=
=



2  x2
2   (t 3  1) 2 
2 (t 3  1) 2

Vậy N =

at
a
dt
a
 1 
 3
td  2
 =
(Tích phân này dễ dàng tính được).
2

2(t  1) 2 t  1
2
 t 1 
9.Các phép thế Euler:
a) Đặt ax 2  bx  c = ± a.x  t Nếu a >0
b) Đặt ax 2  bx  c = x.t ± c
Nêú c>0
=

c) Đặt

ax 2  bx  c

1

Ví dụ 1 :Tính M =


0

= t ( x  x0 )

Nếu x0 là nghiệm của TTB2

dx
x 2  6x  5

a=1 >0 Sử dụng phép thế thứ nhất đặt

x 2  6 x  5  a .x  t  x  t

t2  5
 x  6 x  5 ( x  t )  x 
2t  6
2
2( t  6t  5)
dx 
dt
Suy ra:
(2t  6) 2
2

2

x 2  6x  5 
Với

x 0  t  5
x 1  t 2 3  1
2 3 1

Ta có:

I=

 t 2  6t  5
 2t  6


5

dt
 t 3
2

x

= - ln  t  3

(Chú ý rằng x  t  0 )
2 3 1
5

 3 5 

ln

2
3

2



x 2  3x  2

dx
x 2  3x  2
Tam thức bậc hai x2+3x+2 có nghiệm là -1.Theo phép thế thứ ba,đặt
x 2  3x  2 t ( x  1) ; t 0x    2; 1

Ví dụ 2 :Tính P =

x 

5

 x  2 t 2 ( x  1)  x 

 t2  2
t2  1

vậy dx 

 2tdt
(t 2  1) 2

20


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
2

Khi đó: P =

x 

 2t 2  4t
dx =  (t  2)(t  1)(t  1) 3 dt
3

x 2  3x  2

5

1
=
3

0

x 2  3x  2

x
0

dt
 (t  1) 3 + 5
3
18

2



2

0

dt
 (t  1) 2 - 17
3
108

2

0

dt

 t  1 dt + 3
3
4

2

0

dt
 t  1 dt - 16
3
27

2

 1

5
17
3
16


ln t  1  ln t  1  ln t  2 
= 
2
18(t  1) 108
4
27
 6(t  1)





Ví dụ 3 :Tính L =

7
2



3
2
0

0

dt

t  2

dt

3

2

.

dx



 x 2  3x  4
Vì c = 4 >0 có thể sử dụng phép thế thứ hai.
Đặt  x 2  3x  4  xt  c  xt  2
3

0

Chuyển việc tính tích phân trên về việc tính tích phân

t

1

dt
1

2

10.Một số bài toán khác:
Ngoài các dạng trên thì có những bài có thể áp dụng trực tiếp công thức tích phân,hoặc sử
dụng một số phép biến đổi đơn giản.Sau đây là một số ví dụ:
3
dx
Ví dụ 1: Tính I1 = 
Đặt t  1  x
8 x 1 x
1

Ví dụ 2: Tính I2 =

x

3

x  1dx Đặt t 3 x  1

0

Ví dụ 3: Tính I3 =

7
2



3

0

dx
2x  1

Đặt t 3 2 x  1
7
2

1


3

Có thể trình bày như sau: I3 = 1 (2 x  1) d (2 x  1) =
2
0
1

Ví dụ 4: Tính I4 =


0

3

(2 x  1) 2
3

7
2
0

=

9
4

dx
x 1 

1

x

2
Ta có : I4 = ( x  1  x )dx = 
3
0

 x  1 3  2

1
x3  = 4 2
3
0
3

1

Ví dụ 5: Tính

 4

x 2 dx

0

Cách1: Sử dụng phương pháp lấy tích phân từng phần
Đặt u  4  x 2
dv dx

Cách 2: Đặt x =2Sint (Vì đây là tích phân dạng 1-b)
Đáp số: 3 

2
3

21


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================
n

x

Ví dụ 6: Tính

2

 a 2 dx

m

Dùng phương pháp lấy tích phân từng phần với u  x 2  a 2 ; dv dx .
x 2
n
a2

2

x

a

ln x  x 2  a 2 
Ta có kết quả là : 
2
2
m
dx
 0  a 1
Ví dụ 7: Tính 
1 ax
dx
2
dt
2
x


ln t  1  t 2  C
Đặt t a  2 ta có: 
=

x
2
ln
a

ln
a
1 a
1 t
x.e x dx

 1 e

Ví dụ 8: Tính

x

 t  1
Đặt t  1  e x
x.e x dx
2ln(t 2  1)dt 2ln(t  1)dt  2ln(t  1)dt
Ta có: 
x
1 e
2(t  1) ln(t  1)  2(t  1) ln(t  1)  4t  C
Vậy :

x.e x dx

 1 e

Ví dụ 9: Tính

= 2( x  2) 1  e x  4 ln(1  1  e x )  2 x  C

x

x 2 n 1 dx

 1

x2

 x  1
Đặt t  1  x 2
n
x 2 n 1 dx 1 x 2 n dx 2
2 n


(
1

t
)
dt


(  1) k C nk t 2 k dt =
Ta có: 



2 2
2

k 0
1 x
1 x
n

=

k
   1 C nk
k 0

t 2 k 1
C =
2k  1

n

 ( 1)
k 0

k 1

2 k 1
C nk
2
(1  x ) 2  C ./
2k  1

E. 200 BÀI TẬP TÍNH TÍCH PHÂN






Câu 1: Tính 2 sinx xsinx  x2cosx dx
�
0

22


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================

 x  3x  3 dx
Câu 2: Tính �
 x  3x  2
2

1

0

2

2







Câu 3: Tính 2 x cos2x  xsinxcosx dx
�
0

5x  13 �

1�

(x2  x)e2x  2
Câu 4: Tính �
�dx
0�
x  5x  6�
�



e



2
Câu 5: Tính �x lnx  lnx dx

1

1�

Câu 6: Tính �
0� 2

x1

�x  4x  4



e

x�

 xe

dx
�
�



Câu 7: Tính �x3 lnx 2lnx  1 dx
1

�cosx  sinxcosx sinx
�

 e sin2x �
dx
� 2  sinx
�



2
Câu 8: Tính �
0 �







Câu 9: Tính 2 x5cosx 3cosx  xsinx dx
�
0

�sinx



2
e
Câu 10: Tính �
0�

�

e

sin2x 

sinx  cosx �
dx
�
sinx  cosx  2 �





Câu 11: Tính �xln3 x lnx  2 dx
1

�sinx
sinx  sin3x �
e sin2x 
dx
Câu 12: Tính �
�
�
0�
cos2x  7 �
�
�


2



e



Câu 13: Tính �x5 ln3 x 3lnx  2 dx
1

� cosx
1 �

dx
�
�
�
2
cosx

2
� 7  cos x
�



2
Câu 14: Tính �
�

0

Câu 15: Tính


2 x9sin2x
0

�

 5sin x  xsin2xdx
2



1



3
3
2 �

x
1

x
dx
�
�x  x2  1

�

1�

Câu 16: Tính �
0� 4






Câu 17: Tính 2 x17cos3x 9cosx  2xsinx dx
�
0


2�
esinx cosx 
0�

Câu 18: Tính �

�

1
�
dx
3cosx  4sinx  5�
�

23


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================






Câu 19: Tính 3 2 x5sin3x sin3x  xcos3x dx
�
0

x

1�

Câu 20: Tính �
0�



2

�4  x

1

�
dx
�
x  4x  3�
4

2




2



Câu 21: Tính �sin3 xcosx 1 3sin2xcos2x  sin4x dx
0

2
e (lnx  1) �

1 ln2 x �
dx
Câu 22: Tính �
�
1
x

x2 �
�
� 2
�
x5 5x2  3 �
3
7 � x dx

dx
Câu 23: Tính �
3 �
0 �
3
3
2
1

x
�
x 1 �
�
�
1
�
�
�













1  x2

x 1  1 2x e x dx

4�
e

x

e
Câu 24: Tính �
0

2

� 
Câu 25: Tính �
1 � x
�

lnx 1 lnx �

�
dx
�
x3
�

1

Câu 26: Tính �
x5(1 x3)6dx
0
1

Câu 27: Tính �
(2x x  1)6
Câu 28: Tính

0

2
0

� 1 sin x
2

x dx

2





�
�
dx

�2
3
x  1 x 1 3x
�

Câu 29: Tính �
3
1� 4
x

1
x4  1
�
�
27
dx
2



Câu 30: Tính

�

1



�
�
�

2

�
1 �
3 1
x x.�
3 �
�
x�
�
�
3


6 cotx.ln sinx

2

3 tanx.ln cosx
0

3 1 dx


sin2x
4

Câu 31: Tính

�



 dx

Câu 32: Tính

�



 dx

Câu 33: Tính

�
27

Câu 34: Tính



sin2x 3 2sin2x dx

�
1

dx
�
1 �
3 1
x3 x �
3 �
�
x�
�
�
24


Giáo viên: Lê Văn Linh

TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG – KRÔNG NÔ - ĐĂKNÔNG

=================================================================

6 cotx. �
1 ln sinx �
�
�dx

2


3 tanx. �
1 ln2 cosx �dx
0
�
�

ln tanx  2cos2x
3
dx

sin2x
4

Câu 35: Tính

�

Câu 36: Tính

�

Câu37: Tính

�

Câu 38: Tính 81











1
4
x
dx
4
x x

3 1

�
1


6 cotx. �
1 ln4 sinx �dx

�
�
2

3 tanx. �
1 3 ln2 cosx �
dx

0
�
�
�
�

Câu 39: Tính

�

Câu 40: Tính

�

Câu 41: Tính











 2
ln tanx  2cos2x
3
dx


sin2x
4
 5 4
ln tanx  2cos2x
3
dx

sin2x
4

3 tanx. �
1 ln4 cosx �
dx
0
�
�

4
6
 cotx.ln sinx dx
2



�

Câu 42: Tính

�

Câu 43: Tính

�

Câu 44: Tính

�















1
4
x dx
4
x x

1

Câu 45: Tính 81

�
1

Câu 46: Tính


6 cotx. �
1 ln2

�
2

�
27

1

dx
 sinx �
�

dx

Câu 47: Tính �3 1 3 . 3
1
x x x


6 cotx. �
1 ln3 sinx �
dx

�
�
2

3 tanx. �
1 ln cosx �
�
�dx
0

Câu 48: Tính

�

Câu 49: Tính

�









25