TAI LIEU ON THI TOT NGHIEP MON TOAN NAM 2014

__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014

CẤU TRÚC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP THPT MÔN TOÁN
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm).
Câu
Nội dung kiến thức
 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số
 Các bào toán liên quan đến ứng dụng của đạo hàm và đồ thị của hàm
số: Chiều biến thiên của hàm số; cực trị; tiếp tuyến; tiệm cận (đứng và
I
ngang) của đồ thị hàm số. Tìm trên đồ thị những điểm có tính chất
cho trước; tương giao giữa hai đồ thị (một trong hai đồ thị là đương
thẳng)...
 Hàm số, phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit.
 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
II
 Tìm nguyên hàm, tính tích phân.
 Bài toán tổng hợp.
Hình học không gian (tổng hợp): Tính diện tích xung quanh của hình nón
III
tròn xoay, hình trụ tròn xoay; tính thể tích khối lăng trụ, khối chóp, khối nón
tròn xoay, khối trụ tròn xoay; tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.
II. PHẦN RIÊNG (3.0 điểm).
Thí sinh học chỉ được chọn một trong hai phần sau: (phần 1 hoặc phần 2)

Điểm

3.0

3.0

1.0

1). Theo chương trình chuản:
Câu

VI.a

V.a

Nội dung kiến thức
Phương pháp tọa độ trong không gian:
+ Xác định tọa độ của điểm, vectơ
+ Mặt cầu.
+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
+ Tính góc; khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng. Vị trí tương đối của
đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu.
 Số phức: Mô đun của số phức, các phép toán trên số phức.
Căn bậc hai của số phức âm. Phương trình bậc hai với hệ số thực
và có biệt thức Δ âm.
 Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối
nón tròn xoay.

Điểm

2.0

2.0

2). Theo chương trình nâng cao:
Câu

VI.b

V.b

Nội dung kiến thức
Phương pháp tọa độ trong không gian:
+ Xác định tọa độ của điểm, vectơ
+ Mặt cầu.
+ Viết phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
+ Tính góc; khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, mặt phẳng; Khoảng
cách giữa hai đường thẳng. Vị trí tương đối của đường thẳng, mặt phẳng,
mặt cầu.
 Số phức: Mô đun của số phức, các phép toán trên số phức.
Căn bậc hai của số phức âm. Phương trình bậc hai với hệ số phức.
Dạng
lượng giác của số phức.
ax 2  bx  c
 Đồ thị của hàm số phân thức hữu tỉ dạng: y 
và các
px  q
yếu tố liên quan.
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

Điểm

2.0

2.0

1


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
 Sự tiếp xúc của hai đường cong.
 Hệ phương trình mũ và lôgarit.
 Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng, thể tích khối
nón tròn xoay.

-----------------Hết----------------MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LƯỢNG GIÁC
I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT SỐ CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT:


2
5


3
0
Cung/góc
6
3
3
6
4
2
4
GTLG
 00   300   450   600   900   1200   1350   1500 
sin

0

cos

1

tan

0

cot

P

1
2
3
2
3
3
3

2
2
2
2

3
2

1
2

1

3

1

3
3

II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
1. Công thức cộng:
o cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
o cos(a  b)  cos a cos b  sin a sin b
o sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b
o sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b
tan a  tan b

o tan(a  b) 
, (a, b �  k ; k ��)
1  tan a tan b
2
tan a  tan b

o tan(a  b) 
, (a, b �  k ; k ��)
1  tan a tan b
2

4. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1
o cos a cos b   cos( a  b)  cos( a  b) 
2
1
o sin a sin b   cos( a  b)  cos( a  b) 
2
1
o sin a cos b   sin( a  b)  sin( a  b) 
2
1
o cos a sin b    sin( a  b)  sin( a  b) 
2
6. Các hằng đẳng thức lượng giác:
o sin 2 a  cos 2 a  1
1

o1  tan 2 a 
( a �  k , k ��)
2
cos a
2

3
2
1

2

2

2
2

2

P

 3

1

0



3
3

1

1
0

1
2



 180 
0

0

3
2
3

3

1

 3

P



0

2. Công thức nhân đôi:
o sin 2a  2sin a cos a
o cos 2a  cos 2 a  sin 2 a  2 cos 2 a  1  1  2sin 2 a
2 tan a
o tan 2a 
1  tan 2 a
3. Công thức hạ bậc:
1  cos 2a
2 tan a
o cos 2 a 
o tan 2 a 

2
1  tan 2 a
1  cos 2a
o sin 2 a 
2
5 Công thức biến đổi tổng thành tích:
ab
a b
o cos a  cos b  2 cos
.cos
2
2
ab
ab
o cos a  cos b  2sin
.sin
2
2
a b
a b
o sin a  sin b  2sin
.cos
2
2
ab
a b
o sin a  sin b  2 cos
.sin
2
2

sin( a  b)
o tan a  tan b 
cos a cos b
sin( a  b)
o tan a  tan b 
cos a cos b

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

2


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
1
(a �k , k ��) b 2  4ac
2
sin a
k
o tan a.cot a  1, (a � , k ��)
2
o1  cot 2 a 

III. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN:
Phương trình sin x  a
Phương trình cos x  a
o cos x  a  cos  � x  �
  k 2 , (k ��)
x    k 2
�
o sin x  a  sin  � �

, ( k ��)
o cos x  a � x  �acr cos a  k 2 , (k ��)
x      k 2
�
x  acr sin a  k 2
�
o sin x  a � �
, ( k ��)
x    acr sin a  k 2
�

Phương trình tan x  a ( Dk : x �  k , k ��)
2
o tan x  a  tan  � x    k , ( k ��)
o tan x  a � x  acr tan a  k , (k ��)

Phương trình cot x  a ( Dk : x �k , k ��)
o cot x  a  cot  � x    k ,(k ��)
o cot x  a � x  acr cot a  k , (k ��)

IV. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP:
1. Phương trình dạng: asinx + bcosx = c.
a
b
c
a
�
a sin x  b cos x  c �
sin x 
cos x 

cos 
�
a 2  b2
a2  b2
a2  b2
a 2  b2
�
; Trong đó: �
c
b
�
� sin  x    
s in =
�
a 2  b2
a 2  b2
�
2. Phương trình dạng: asin2x + bsinx.cosx + ccos2x = d.
Phương pháp:
+ Kiểm tra với cos x = 0 có phải là nghiệm của phương trình không?
+ Nếu cos x �0 , chia 2 vế của phương trình cho cos2x , ta được: atan2x + btanx + c = d(1 + tan2x)

IV. MỘT SỐ CÔNG THỨC HAY DÙNG:
� �
� �
� 1
�
o sin x  cos x  2 sin �x  � 2cos �x  �
o sin 3 x  cos3 x  (sin x  cos x) �
1  sin 2 x �

� 4�
� 4�
� 2
�
2
2
2
2
o cos 4 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1  1  2sin 2 x o sin 4 x  cos 4 x  1  1 sin 2 2 x
2
2
o  sin x �cos x   1 �sin 2 x
4
4
2
o sin x  cos x  sin x  cos 2 x
1
�
�
o sin 3 x  cos 3 x  (sin x  cos x) �
1  sin 2 x �
3
o sin 6 x  cos6 x  1  sin 2 2 x
� 2
�
4

BẢNG ĐẠO HÀM

 

'

o x   .x 1

o  sin x   cos x
'

 

'

o u   .(u ) '.u  1

o  sin u   u '.cos u
'

'
'
o  cos x    sin x
o  cos u   u '.sin u
1
�1 �
�1 � u '
o � �  2
o � �  2
1
u'
'
'

�x � x
�u � u
o  tan x  
o  tan u  
2
'
'
cos x
cos 2u
1
u'
o x 
o u 
2 x
2 u
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam
3

 

'

 

'


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
o  cot x   
'

 
o a 

'

o ex  ex
x '

1
o  ln x  
x
1
x.ln a

'

'

o  u.v   u '.v  v '.u
'

o  k .v   k .u '
'

u'

u

o  log a u  

'

'

 a u .ln a.u '

o  ln u 

'

o  log a x  

u '

o  cot u   
o  u �v   u '�v '

'

o eu  eu .u '

 a x .ln a

'

 
o a 

1

sin 2 x

'

u'
u.ln a

u'
sin 2 u

ax  b
cx  d
a.d  c.b
� y' 
2
 cx  d 
oy 

�u � u '.v  v '.u
o � �
v2
�v �

PHẦN GIẢI TÍCH
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

4


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

Chương I:

I. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ BẬC 3; BẬC 4.
1. Các bước khảo sát hàm số:
+ Tập xác định: D  �.
+ Tính đạo hàm y ' , giải phương trình y '  0 và tìm các điểm cực trị của hàm số.
+ Tính các giới hạn lim y ; lim y .
x ��

x ��

+ Lập bảng biến thiên, nhận xét về tính đơn điệu và cực trị của đồ thị hàm số.
+ Vẽ đồ thị: ( Tìm các điểm đặc biệt, tâm đối xứng của đồ thị, các giao điểm với truc Ox, trục Oy)
2. Các dạng đồ thị:
Hàm số bậc 3
Hàm số bậc 4
Có điểm cực đại và cực tiểu
Có điểm cực đại và cực tiểu
a0
a0
a0
a0
y
y

y

y

x

x

x
O

O

O

a0
y

x
O

Không có cực trị

a0
y

x
O

a0
y

x
O

Không có cực trị

a0
y

x
O

x
O

3. Các ví dụ:
Hàm số bậc 3

Hàm số bậc 4

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

5


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số: y  x 3  3x 2  4 .
Giải
* Tập xác định: D  �.
* Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  3 x( x  2) .

x  0 � y  4
�
* Cho y '  0 � 3 x( x  2)  0 � �
x  2 � y  0
�
* Giới hạn: lim y  �; lim y  �
x ��

* Bảng biến thiên:
x �
–2
y’
+ 0
0
y
�

x ��

–

0
0

�

+

�

–4

* Nhận xét:
+ Hàm số đồng biến trên (�; 2) và (0; �) ,
nghịch biến trên (2;0) .
+ Hàm số đạt cực đại tại: x  2 � ycd  0 .
+ Hàm số đạt cực tiểu tại: x  0 � yct  4 .
*Đồ thị:
+ Đồ thị nhận điểm I (1; 2) làm tâm đối
xứng.
+ Cho x  1 � y  0 .
+ Cho x  3 � y  4 .

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của
hàm số: y  x 4  2 x 2  3 .
Giải
* Tập xác định: D  �.
* Đạo hàm: y '  4 x 3  4 x  4 x( x 2  1) .
* Cho
x  �1 � y  4
�
y '  0 � 4 x( x 2  1)  0 � �
x  0 � y  3
�
* Giới hạn: lim y  �; lim y  �
x ��

* Bảng biến thiên:
x �
–1

y’
– 0
�
y
–4

x ��

0
+ 0
–3

1
0

–

�

+

�

–4

* Nhận xét:
+ Hàm số đồng biến trên (1;0) và (1; �) ,
nghịch biến trên (�; 1) và (0;1) .
+ Hàm số đạt cực đại tại: x  0 � ycd  3 .
+ Hàm số đạt cực tiểu tại: x  �1 � yct  4 .

*Đồ thị:
+ Cho x  2 � y  5 .
+ Cho x  2 � y  5 .

ax  b �
d�
; �x � �
cx  d �
c�
Ví dụ
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
x 1
(C) của hàm số: y 
.
x 1
Giải
* Tập xác định: D  �\  1 .

II. KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC y 
Các bước khảo sát
�d�
* Tập xác định: D  �\ � �.
�c
ad  bc
2 .
* Tính đạo hàm: y ' 
 cx  d 
* Giới hạn; các đường tiệm cận:

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

6


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
lim  y  ?; lim  y  ? �

d
c
a
a
a
lim y  ; lim y  � Tiệm cận ngang: y  .
x ��
x
�

�
c
c
c
* Bảng biến thiên:
+TH: y '  0
�
d / c
x �
y’
+
+
a

�
c
a
�
y
c
+TH: y '  0
�
d / c
x �
y’
–
–
a
�
c
a
�
y
c
* Đồ thị:
+ Tìm các điểm đặc biệt với trục Ox, Oy.
y' 0
y' 0
x �

d
c

x �

d
c

Tiệm cận đứng: x  

* Tính đạo hàm: y '  

2

 x  1

2

 0, x �D .

* Giới hạn; các đường tiệm cận:
x 1
x 1
 �; lim
 �
+Ta có: o lim
x �1 x  1
x �1 x  1
� Tiệm cận đứng: x  1
x 1
 1 � Tiệm cận ngang: y  1 .
+ o lim
x ��� x  1
* Bảng biến thiên:

�
x �
1
y’
–
–
�
1




�
y
1
* Nhận xét:
+ Hàm số luôn nghịch biến trên các khoảng
(�;1) �(1; �) .
+ Hàm số không có cực trị.

* Đồ thị:
+ Cho x  0 � y  1
+ Cho y  0 � x  1

 : Chú ý:
�a d�
+ Đồ thị nhận điểm I � ;  �làm tâm đối
�c c�
xứng.

BÀI TẬP
Bài tập 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
1. y  x 3  3x 2  1
5. y  2 x 3  3x 2
9. y   x3  3 x 2  1
2. y  x 3  3x 2  1
6. y  x3  6 x 2  9 x
10. y   x 3  3x  2
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

7


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
3. y  x 3  3x 2
7. y   x3  3 x 2
11. y   x3  3 x 2  2
4. y  x 3  3x 2  2
8. y  2 x 3  3x 2  1
12. y   x 3  3x 2  4
Bài tập 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
x4
3
4
2
4
2
y

x


2
x

1
y

2
x

4
x

1
1.
4.
7. y   x 2 
2
2
2
4
4
2
4
2
2. y  2 x  x
5. y  x  2 x  2
8. y   x  4 x
1 4
2

3. y   x  2 x  1
6. y  x 4  2 x 2  1
4
Bài tập 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
x 1
2x  3
3x  5
2 x  1
1. y 
4. y 
7. y 
10. y 
x2
x 1
2x  2
x2
x 1
x3
3x  2
2x 1
2. y 
5. y 
8. y 
11. y 
x2
x 1
x 1
x2
2x 1
3x  1

2x 1
x2
3. y 
6. y 
9. y 
12. y 
x 1
x 1
x2
x 1
x 1
13. y 
x2
------------------------------------

CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐÉN KHẢO SÁT HÀM SỐ
BÀI TOÁN 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp
Ví dụ
+ Tìm tập xác định.
Ví dụ: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm
1 3 1 2
x
y
'

f
'(
x
)

+ Tính đạo hàm
. Tìm các điểm i
số: y  x  x  2 x  2 .
3
2
( i = 1,…,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc
Giải
không xác định.
* Tập xác định: D  �.
+ Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần
x  1
�
2
và lập bảng biến thiên.
* Đạo hàm: y '  x  x  2; y '  0 � �
.
x2
+ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến
�
nghịch biến ( Hàm số đồng biến trên khoảng * Bảng biến thiên:
�
x �
–1
2
mà f '( x)  0 và ngược lại)
y’
+ 0
–
0
+

�
y
�
* Kết luận:
+ Hàm số đồng biến trên các khoảng (�; 1) và
(2; �) và nghịch biến trên (1; 2) .
Bài tập: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số: y  x 3  3x  1 (TN THPT 2007 – lần 2).
BÀI TOÁN 2: Định giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên tập xác định .
1. Định lí về dấu của tam thức bậc 2:
Cho tam thức bậc 2: f ( x)  ax 2  bx  c ( a �0) có   b 2  4ac . Khi đó:
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

8


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
-

Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x ��.

-

Nếu   0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x �� trừ tại x  

-

b
.
2a
Nếu   0 , giả sử f(x) có 2 nghiệm x1 , x2 ( x1  x2 ) ta có bảng xét dấu:

x
f(x)

�

x1

x2

cùng dấu a 0

trái dấu a 0

2. Định giá trị của m:
Đối với hàm bậc 3
y  ax3  bx 2  cx  d (a �0)
+ Tập xác định: D  �.
+ Đạo hàm: y '  3ax 2  2bx  c
+ y đồng biến trên D
۳�
y' 0 , x D

+ y nghịch biến trên D

ۣۣ
�y ' 0 , x D

a0
a0

�
�
��
��
 �0
 �0
�
�
Ví dụ: Định m để hàm số:
1
y  x3  mx 2  (m  6) x  (2m  1)
3
đồng biến trên tập xác định.
Giải
* Tập xác định: D  �.
* Đạo hàm: y '  x 2  2mx  m  6
Ta có:  '  m 2  1.(m  6)  m 2  m  6
* Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì:
1
�
a 0
�a  0
�
��
� 2 �m �3
3
�
2
� �0
�

m  m  6 �0
�

�
cùng dấu a

ax  b �
d�
; �x � �
cx  d �
c�
a.d  b.c
�d�
2 .
+TXĐ: D  �\ � �.Đạo hàm: y ' 
 cx  d 
�c

Đối với hàm nhất biến: y 

+ y đồng biến trên
từng khoảng D
۳�
y' 0 , x D
� a.d  b.c �0

+ y nghịch biến trên
từng khoảng D
ۣ
ۣ�y ' 0 , x D

� a.d  b.c �0

Ví dụ: Định m để hàm số: y 
đồng biến trên tập xác định.

(2m  1) x  3
.
xm

Giải
* Tập xác định: D  �\   m .
* Ta có: y ' 

(2m  1) m  3

 x  m

2



2m 2  m  3

 x  m

2

.

* Để hàm số đồng biến trên tập xác định thì:

m �1
�
2
�
y ' �0 � 2m  m  3 �0 �
3
�
m�
� 2
BÀI TẬP
3
2
y

x

(
m

2)
x

(
m

1)
x
 2 (1) . Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập xác
1. Cho hàm số:
định của nó.

2. Cho hàm số: y  2 x3  3x 2  2mx  1 (1) . Định m để hàm số (1) đ.biến trên tập xác định của nó.
1 2
3
2
3. Cho hàm số: y  (m  1) x  ( m  1) x  2 x  1 (1) . Định m để hàm số (1) đồng biến trên tập
3

xác định của nó.
BÀI TOÁN 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số trên đoạn [a;b] .
Cho hàm số y  f ( x) xác định trên đoạn  a; b 
Phương pháp
* Tính đạo hàm y '.
* Giải pt: y '  0 , tìm các nghiệm
x1 , x2 ... �(a; b) .
* Tính các giá trị y ( a); y( x1 ); y( x2 )... y(b)

Ví dụ
Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
y  x 3  3x 2  2 trên đoạn  1;1
Giải
2
* Đạo hàm: y '  3x  6 x  3 x( x  2)

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

9


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
* Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong

các số ở trên. Khi đó:
max y  M
min y  m
 a ;b 

 a ;b 

x  0 (N )
�
* Cho y '  0 � 3x( x  2)  0 � �
x  2 ( L)
�
* Ta có: y ( 1)  4; y (0)  2; y (1)  0
* Vậy: max y  4 đạt được tại x  1
 1;1

min y  0 đạt được tại x  1
 1;1

BÀI TẬP
1. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 3  3x 2  1 trên đoạn  0; 2 (TN THPT 2007)
2. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 4  2 x 2  1 trên đoạn  0; 2 (TN THPT 2008 – lần 1)
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  2 x 3  6 x 2  1 trên đoạn  1;1 (TN THPT 2008 – lần
2)
1 3
2
4. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x  2 x  3 x  7 trên đoạn  0; 2
3
5. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 2  ln(1  2x) trên đoạn  2;0 (TN THPT 2009)
6. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  (3  x)e x trên đoạn  3;3

7. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x  e 2x trên đoạn  1;0

8. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 2  3  x ln x trên đoạn  1; 2 (TN THPT 2013)
x  m2  m
9. Tìm các giá trị của tham số m để GTNN của hàm số f ( x) 
trên đoạn
x 1
 0;1 bằng 2 . (TN THPT 2012).

10. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f ( x )  x 2  2 x  5 trên đoạn  0;3 (TN BT năm 2012).
9
11. Tìm GTLN, GTNN của hàm số y  x 
trên đoạn  1; 2 (TN Bổ túc 2013)
x2
Giải:
1. + Đạo hàm: y '  3x 2  6 x  3 x( x  2)
x  0 (N )
�
+ Cho y '  0 � 3 x( x  2)  0 � �
x  2 (N)
�
+ Ta có: y (0)  1; y (2)  3
Vậy: max y  2 đạt được tại x  0
 0;2

min y  3 đạt được tại x  2
 0;2

2. + Đạo hàm: y '  4 x3  4 x  4 x( x 2  1)

x  0 (N )
�
�
2
x  1 (N)
+ Cho y '  0 � 4 x( x  1)  0 � �
�
x  1( L)
�
+ Ta có: y (0)  1; y(1)  0; y (2)  9
Vậy: max y  9 đạt được tại x  2
 0;2

min y  1 đạt được tại x  0
 0;2

3. + Đạo hàm: y '  6 x 2  12 x  6 x( x  2)
x  0 (N )
�
+ Cho y '  0 � 6 x( x  2)  0 � �
x  2 ( L)
�
+ Ta có: y (1)  7; y (0)  1; y (1)  3
Vậy: max y  1 đạt được tại x  0
 1;1

min y  7 đạt được tại x  1
 1;1

4. + Đạo hàm: y '  x 2  4 x  3

x  1 (N )
�
2
+ Cho y '  0 � x  4 x  3  0 � �
x  3 ( L)
�
17
19
; y (2) 
+ Ta có: y (0)  7; y (1) 
3
3
17
Vậy: max y 
đạt được tại x  1
3
 0;2
min y  7 đạt được tại x  0
 0;2

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

10


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014

BÀI TOÁN 4: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến (PTTT) của đồ thị hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) tại điểm
M 0 ( x0 ; y0 ) �(C ) và

có hệ số góc k  f '( x0 ) là:
y  y0  k ( x  x0 )  f '( x0 )( x  x0 )
Các dạng toán thường gặp: Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị của ham số (C).
1). Tại điểm có hoành độ x0 ( tung độ y0 ) cho trước.
* Cách giải: + Thay x0 vào đồ thị (C) và rút ra y0 � M ( x0 ; y0 )
+ Thay y0 vào đồ thị (C) và rút ra x0 � M ( x0 ; y0 )
* Lưu ý: + Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung. Ta có: x0  0 � y0
+ Tại giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành. Ta có: y0  0 � x0
2). Có hệ số góc k cho trước:
* Phương pháp: Giải pt: f '( x)  k tìm nghiệm x0 … từ đó rút ra y0 .
3). Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y  ax  b .
* Phương pháp: Vì tiếp tuyến // d � k  a , từ pt: f '( x)  a ta tìm x0 , rồi thay x0 vào
đồ
thị của hàm số để rút ra y0 .
4). Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): y  ax  b .
1
* Phương pháp: Vì tiếp tuyến vuông góc với d nên k .a  1 � k   , từ pt:
a
1
f '( x)   ta tìm x0 , rồi thay x0 vào đồ thị của hàm số để rút ra
a
y0 .
x 1
Ví dụ 1:Cho hàm số y 
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết PTTT với đồ thị (C).
x2
1. Tại điểm có hoành độ bằng –1.
2. Tại điểm có tung độ bằng 2.
3. Tại giao điẻm của đồ thị với trục hoành.
4. Tại giao điẻm của đồ thị với trục tung.

Giải
'
3
�x  1 � 1.2  1.(1)
Ta có: y '  �

�
2
( x  2) 2
�x  2 � ( x  2)
3
1  1
3
 2 . Hệ số góc: k  y '(1) 
1. Theo y/cầu b.toán, ta có: x0  1 � y0 
(1  2)2
1  2
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  2  3( x  1) hay y  3x  1 .
3
1
x0  1

� x0  5 . Hệ số góc: k  y '( 5) 
2. Theo y/cầu bài toán, ta có: y0  2 � 2 
x0  2
(5  2) 3
1
x 11
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  2  ( x  5) hay y   .
3

3 3
3
1
x0  1

� x0  1 . Hệ số góc: k  y '(1) 
3. Theo y/cầu bài toán, ta có: y0  0 � 0 
3
x0  2
(1  2)
2

2

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

11


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
1
x 1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y  ( x  1) hay y   .
3
3 3
3
3
0 1
1


  . Hệ số góc: k  y '(0) 
4. Theo y/cầu b.toán, ta có: x0  0 � y0 
2
(0  2)
4
02
2
1 3
3
1
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y   ( x  0) hay y  x  .
2 4
4
2
2x
Ví dụ 2: Cho hàm số y 
, gọi đồ thị của hàm số là (C). Viết phương trình tiếp tuyến với đồ
x 1
thị (C).
1. Tại điểm có hệ số góc bằng –2.
1
2. Biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y   x .
2
9
3. Biết tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): y  x  1 .
2
Giải
2
* Ta có: y ' 
.

( x  1) 2
x0  0
�
2
 2 � ( x0  1) 2  1 � �
1. Theo yêu cầu bài toán, ta có: k  y '( x0 )  2 �
2
x0  2
( x0  1)
�

+ Với x0  0 � y0  0 . Suy ra PTTT cần tìm là: y  0  2( x  0) hay y  2 x
+ Với x0  2 � y0  4 . Suy ra PTTT cần tìm là: y  4  2( x  2) hay y  2 x  8
1
1
2. Vì tiếp tuyến đó song song với đường thẳng (d): y   x nên hệ số góc: k  y '( x0 )  
2
2
x0  1
�
1
2
1
  � ( x0  1) 2  4 � �
Ta có: y '( x0 )   �
2
x0  3
2
( x0  1)
2

�
1
x 1
+ Với x0  1 � y0  1 . Suy ra PTTT cần tìm là: y  1   ( x  1) hay y   
2
2 2
1
x 9
+ Với x0  3 � y0  3 . Suy ra PTTT cần tìm là: y  3   ( x  3) hay y   
2
2 2
9
2
3. Vì tiếp tuyến đó vuông góc với đường thẳng (d): y  x  1 nên hệ số góc: k  y '( x0 )  
2
9
x0  2
�
2
2
2
  � ( x0  1) 2  9 � �
Ta có: k  y '( x0 )   �
2
x0  4
9
( x0  1)
9
�
4

4
2
2
8
+ Với x0  2 � y0  . Suy ra PTTT cần tìm là: y    ( x  2) hay y   x 
3
3
9
9
9
2
2
32
+ Với x0  3 � y0  3 . Suy ra PTTT cần tìm là: y  3   ( x  3) hay y   x 
9
9
9
BÀI TẬP
2x  3
1. Viết PTTT với đồ thị hàm số y 
tại điểm có hoành độ x0  3 (TN THPT 2006).
x 1
4
2
2. Cho hàm số y  x  2 x  1 có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm cực đại (TN THPT 2007).
3x  2
3. Cho HS y 
có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm có tung độ bằng –2 .(TN THPT
x 1
2008).

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

12


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
2x 1
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5
x2
(TN THPT 2009).
1 4
3
2
5. Cho HS y  x  3x  có đồ thị (C).Viết PTTT với (C) tại điểm hoành độ bằng 2.
4
2
2x  3
6. Cho HS y 
có đồ thị (C). Viết PTTT với (C), biết tiếp tuyến đó song song voái
1 x
đường thẳng y   x  3 .
4.

Cho HS y 

BÀI TOÁN 5: Dùng đồ thị (C): y = f(x) biện luận theo m số nghiệm của phương trình f(x;m)
=0 .
* Phương pháp:
+ Biến đôi và đưa phương trình về dạng: f ( x)  f (m) (1).

(C )
+ Đặt: y  f ( x)
y  f ( m)
(d ) : là đường thẳng song song với trục Ox.
+ Số nghiệm của phương trình (1) bằng số giao điểm của (C) và (d). Dựa vào đồ thị, ta
có:
Hàm số bậc ba: y  ax3  bx 2  cx  d
Hàm số bậc bốn: y  ax 4  bx 2  c
Đồ thị
Biện luận
Đồ thị
Biện luận
y
* m  yct � (1) vô nghiệm
m  ycd
�
*�
� (1) có 1
* m  yct � (1) có 2 nghiệm
m  yct
�
* yct  m  ycd � (1) có 4
nghiệm.
m  ycd
nghiệm
�
x
*�
� (1) có 2
* m  ycd � (1) có 3 nghiệm

O
m  yct
�
* m  ycd � (1) có 2 nhiệm
nghiệm.
* yct  m  ycd � (1) có
3 nghiệm.
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
3
(C) của hàm số: y  x  3x . Dựa vào đồ thị hàm số: y  x 4  2 x 2  1 . Dựa vào đồ thị (C), hãy
(C), hãy biện luận theo m số nghiệm của
biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
phương trình:
x4  2 x2  m  1  0 .
x3  3x  1  m  0 .
Giải
Giải
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
số: (Học sinh tự làm)
hàm số: (Học sinh tự làm)
* Đồ thị:
* Đồ thị:
y=m–1

y=m–2

*Ptrình: x 4  2 x 2  m  1  0 � x 4  2 x 2  1  m  2 (1)
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

13


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của đồ
*Ptrình: x3  3x  1  m  0 � x3  3x  m  1 (1)
thị (C) với đường thẳng y  m  2 . Dựa vào đồ thị
* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm
(C), ta có:
của đồ thị (C) với đường thẳng y  m  1 .
+ Nếu m  2  2 thì phương trình (1) vô nghiệm.
Dựa vào đồ thị (C), ta có:
+ Nếu m  2  2 � m  0 thì phương trình (1) có
m 1  2
m3
�
�
��
+ Nếu �
thì phương
2 nghiệm.
m  1  2
m  1
�
�
+ Nếu 2  m  2  1 � 0  m  1 thì phương
trình (1) có 1 nghiệm.
trình (1) có 4 nghiệm.
m 1  2
m3

�
�
+ Nếu m  2  1 � m  1 thì phương trình (1) có
��
+ Nếu �
thì phương
3 nghiệm.
m  1  2
m  1
�
�
+ Nếu m  2  1 � m  1 thì phương trình (1) có
trình (1) có 2 nghiệm.
2 nghiệm.
+ Nếu 2  m  1  2 � 1  m  3 thì
phương trình (1) có 3 nghiệm.
Chú ý: Phương trên chỉ áp dụng cho trường hợp hàm số bậc ba hoặc bậc bốn có cả điểm cực đại
và cực tiểu.
1 4
Ví dụ: Cho hàm số: y   x 3  3x 2  2 , gọi đồ thị
2
Ví dụ: Cho hàm số: y   x  2 x , gọi đồ
4
của hàm số là (C).
thị của hàm số là (C).
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
1).Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số.
hàm số.
2). Tìm các giá trị của tham số m để phương

3
2
trình x  3x  m  3  0 có 3 nghiệm phân biệt. 2). Tìm các giá trị của tham số m để phương
1 4
2
Giải
trình  x  2 x  2m  1  0 có 4 nghiệm
4
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
phân biệt.
hàm số: (Học sinh tự làm)
Giải
* Đồ thị:
1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của
hàm số: (Học sinh tự làm)
* Đồ thị:

2). Tìm các gí trị của m để ……
x 3  3 x 2  m  3  0 �  x3  3 x 2  2  m  1 (1)
2). Tìm các gí trị của m để ……
* Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của đồ * Số nghiệm của Pt (1) bằng số giao điểm của
thị (C) với đường thẳng y  m  1 . Để phương
đồ thị (C) với đường thẳng y  2m  1 . Để
trình có 3 nghiệm phân biệt thì:
phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì:
2  m  1  2 � 3  m  1
1
5
0  2m  1  4 �  m 
2

2
BÀI TẬP
3
2
y

2
x

3
x

1
Bài 1. Cho hàm số
có đồ thị (C). Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của
3
2
phương trình 2 x  3x  1  m ( TN THPT năm 2008 – lần 1).
Bài 2. Cho hàm số y  x 3  6 x 2  9 x  1 có đồ thị (C). Tìm giá trị m để phương trình
x 3  6 x 2  9 x  m  0 có 3 nghiệm phân biệt.
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam
14


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
Bài 3. Cho hàm số y   x 4  2 x 2 có đồ thị (C). Tìm giá trị m để phương trình x 4  2 x 2  m  2  0
có 4 nghiệm phân biệt.
BÀI TOÁN 6: Định m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu ( Đối với HS bâc ba y  ax 3  bx 2  cx  d )
Phương pháp
Ví dụ:

2
* Dấu của y’ là dấu của: 3ax  2bx  c  0 .
Ví dụ: Định m để hàm số y  x3  (m  1) x 2  x  2
* Hàm số có cực đại, cực tiểu y '  0 có 2 nghiệm có cực đại, cực tiểu.
Giải
a �0
�
2
phân biệt: �
Tính đạo hàm: y '  3x  2(m  1) x  1
 y'  0
�
Ta có:  '  (m  1)2  3.1  m 2  2m  2
Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì:
�
a  1 �0
m  1 3
�
��
�
2
 '  m  2m  2  0
m  1 3
�
�
BÀI TẬP
1 3
2
2
1). Cho hàm số y  x  (m  1) x  (3m  4m  1) x  m . Xác định m để :

3
a. Hàm số có cực đại và cực tiểu
(Đáp số: 0  m  1 )
b. Hàm số luôn đồng biến trên �.
(Đáp số: m �0 hoặc m �1 )
3
2
2). Cho hàm số y  (m  2) x  3x  mx  5 . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
2). Cho hàm số y  mx3  3x 2  (2m  2) x  2 . Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
4). Cho hàm số y  x 4  2(m  1) x 2  m . Xác định m để hàm số có 3 cực trị..
5). Cho hàm số: f ( x)  x  2 x 2  12 . Giải bất phương trình: f '( x) �0 . (TN THPT 2010)
BÀI TOÁN 7: Định m để hàm số nhận điểm x0 làm điểm cực đại (cực tiểu).
Phương pháp
Ví dụ:
Ví
dụ:
Định
m
để
hàm
số
�y '( x0 )  0
*Điểm x0 là điểm cực đại � �
m
y  x 3  (m  1) x 2  (3m 2  4m) x  m  9 nhận điểm x0  1
�y ''( x0 )  0
3
�y '( x0 )  0 làm điểm cực đại.
*Điểm x0 là điểm cực tiểu � �
Giải

�y ''( x0 )  0
2
Ta có: y '  mx  2(m  1) x  3m2  4m
Để hàm số nhận điểm x0  1 làm điểm cực đại thì:
2
�
m  1 �m  
2
�
�
3m  m  2  0
�y '(1)  0
2
�
3
��
��
�m
�
1
3
4m  2  0
�y ''(1)  0
�
�
m
� 2
BÀI TẬP
3
2

1). Cho hàm số y  x  ( m  3) x  mx  5 . Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại
x0  2
1 3
2
2
2). Cho hàm số y  x  mx  (m  m  1) x  1 . Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại x0  1
3
3). Cho hàm số y  x 3  3mx 2  ( m 2  1) x  2 . Xác định các giá trị của m để hàm số đạt cực đại tại
x0  2
4). Xác định giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  2 x 2  mx  1 đạt cực tiểu tại x  1 . (TN 2011)
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

15


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
BÀI TOÁN 8: Chứng minh hàm số y = f(x,m) luôn có cực trị với mọi giá trị của tham số m
Phương pháp
Ví dụ
*Chứng tỏ f’(x,m) luôn có nghiệm và đổi Ví dụ: Chứng minh rằng đồ thị hàm số:
dấu khi x đi qua các nghiệm đó.
y  x 3  mx 2  2 x  1 luôn có một điểm cực đại và một điểm
+ Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y’ = 0 có cực tiểu với mọi giá trị của m.
 y '  0 m .
Giải
+
Tập
xác
định:
D


�
.
+ Với hàm số bậc bốn, tùy theo yêu cầu
của bài toán để tìm giá trị của m sao cho + Đạo hàm : y '  3x 2  2mx  2
y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có ba nghiệm). + Ta có:  '  m2  3.(2)  m 2  6  0, m ��. Suy ra, y’ = 0
có 2 nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu (có thể lập bảng xét dấu
với 2 nghiệm x1 ; x2 ) khi x đi qua hai nghiệm đó.
* Vậy, hàm số đã cho luôn có một điểm cực đại và một cực
tiểu với mọi m.
ĐỀ THI TN THPT CÁC NĂM (PHẦN KHẢO SÁT HÀM SỐ).
Bài 1: (Đề thi TN THPT 2003)
 x 2  4x  5
Cho hàm số y 
x 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
 x 2  ( m  4) x  m 2  4 m  5
2. Xác định m để đồ thị hàm số y 
có các tiệm cận trùng với
xm 2
các tiệm cận tương ứng của hàm số ở trên.
Bài 2: (Đề thi TNBT 2004)
Cho hàm số y  x 3  3mx 2  4m 3 có đồ thị (Cm); (m là tham số).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C1) khi m = 1.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C1) tại điểm có hoành độ x 1 .
3. Xác định m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị (Cm) đối xứng nhau qua đường thẳng
y x .
Bài 3. (Đề thi TNTHPT 2004)
1 3
2

Cho hàm số y  x  x có đồ thị (C).
3
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) đi qua điểm A(3;0)
3. Tính thể tích của vật thể tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi (C) và các đường thẳng
y 0 , x 0 , x 3 quay quanh trục Ox.
Bài 4: (Đề thi TNTHPT 2005)
2x 1
Cho hàm số y 
có đồ thị (C).
x 1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục tung, trục hoành và đồ thị (C)
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm A( 1;3)
Bài 5: (Đề thi TNTHPT phân ban 2006)
Cho hàm số y  x 3  3x 2 có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Dựa vào đò thị (C), biện luận theo m nghiệm của phương trình  x 3  3 x 2  m 0
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

16


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Bài 6: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2006)
Cho hàm số y  x 3  6 x 2  9 x có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị (C).
3. Với giá trị nào của tham số m, đường thẳng y  x  m 2  m đi qua trung điểm của đoạn

thẳng nối hai diểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C).
Bài 7: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2006)
Cho hàm số y  x 3  3x 2 có đồ thị (C).
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C).
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và các đường thẳng
x  2 , x   1 .
Bài 8: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007)
3x  4
Cho hàm số y 
có đồ thị (C).
2x  3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm M ( 1;7) .
Bài 9: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007)
2
Cho hàm số y  x  1 
có đồ thị (H).
2x  1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (H) tại điểm A(0;3) .
Bài 10: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007)
Cho hàm số y  x 4  2 x 2  1 , gọi đồ thị của hàm số là (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số .
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C).
Bài 11: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2007) lần 2.
Cho hàm số y  x 3  3 x  2 có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm A(2;4)
Bài 12: (Đề thi TNTHPT phân ban 2007) lần 2.
x 1

Cho hàm số y 
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
x2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.
Bài 13: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2007) lần 2.
Cho hàm số y  x 3  3 x  2 có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm uốn của (C).
Bài 14: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008).
Cho hàm số y  x 3  3 x 2  1 có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x 3 .
Bài 15: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008)
Cho hàm số y  x 4  2x 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x  2 .
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

17


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
Bài 16: (Đề thi TNTHPT phân ban 2008)
Cho hàm số y 2 x 3  3 x 2  1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
2. Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình 2 x 3  3x 2  1 m
Bài 17: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2008) lần 2.
2x  1
Cho hàm số y 

, gọi đồ thị của hàm số là (C).
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;3)
Bài 18: (Đề thi TNTHPT phân ban 2008) lần 2.
3x  2
Cho hàm số y 
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng –2
Bài 19: (Đề thi TNTHPT không phân ban 2008) lần 2.
Cho hàm số y  x 3  3x 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3  3 x 2  m 0 có ba nghiệm phân biệt.
Bài 20: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2009)
Cho hàm số y  x 3  3 x 2  4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
2. Tìm tọa độ các giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y 4 .
Bài 21: (Đề thi TN THPT 2009)
2x 1
Cho hàm số y 
, gọi đồ thị của hàm số là (C).
x 2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng –5
Bài 22: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2010)
3x  1
Cho hàm số y 
x2

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x  1 .
Bài 23: (Đề thi TN THPT 2010)
1 3 3 2
Cho hàm số y  x  x  5
4
2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho
2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình x 3  6 x 2  m 0 có ba nghiệm phân biệt.
Bài 24: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2011)
Cho hàm số y 2 x 3  6 x  3
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của đồ thị (C) với trục tung.
Bài 25: (Đề thi TN THPT 2011)
2x 1
Cho hàm số y 
2x  1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Xác định tọa độ giao điểm của đồ thị (C) với đường thẳng y x  2 .
Bài 26: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2012)
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

18


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
2x 1
x 1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng 5.

Bài 27: (Đề thi TN THPT 2012)
1 4
2
Cho hàm số y  f ( x)  x  2 x
4
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0. biết f ''( x 0 )  1
Bài 28: (Đề thi TN Bổ túc THPT 2013)
Cho hàm số y  2 x 3  3 x 2  1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

Cho hàm số y 

Bài 29: (Đề thi TN THPT 2013)
Cho hàm số y  x 3  3x  1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết hệ số góc của tiếp tuyến đó bằng 9.
--------------------------------------------------------------------------------------Hết Chương I----------------------------------

Chương II:

HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ
LÔGARITH

1. Lũy thừa với số mũ nguyên: (a �0; m , n��)
* a 0  1( a �0)
* a m .a n  a m  n

* ( a m ) n  a m. n

* (a.b) m  a m .bm

m

m
1
am
�a � a
*a  n
* n  a mn
* � � m
a
a
�b � b
2. Căn bậc n:
* Định nghĩa: Cho số thực b và số nguyên dương * Tính chất: ( a, b  0 ; m , n �� )
n �2
n
a na
n
n
n
n
o

o
a
.
b


ab
Số a được gọi là căn bậc n của số b, nếu : a  b
n
b
b
* Kí hiệu: a  n b
m
o n a  n am
o n m a .  n.m a
+ Nếu n lẻ, và b ��: tồn tại duy nhất n b
n

 

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

19


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
m
+ Nếu n chẳn:  b < 0 : không tồn tại căn bạc n của b.
n m
n
o
a

a
b=0: n 0 0

 b > 0 : tồn tại 2 căn bạc n của b là:
n
b ; n b
3. Lũy thừa với với số mũ thực: ( a  0;  ,  ��)
o Nếu a  1 thì a  a  �   

o a .a   a   o  a.b   a .b
o Nếu 0  a  1 thì a  a  �   



a
�a � a
o   a  
o� �  
a
�b � b

 

o a



o n .m a m  a

 a . 

4. lôgarith.


a. Định ngĩa: Cho a, b > 0 , a �0 , ta có: log a b   � a  b
b. Công thức: Cho a  0; a �1, M , N  0.
o log a 1  0
o log a ( M .N )  log a M  log a N
M
o log a a  1
o log a
 log a M  log a N
N
o log a a M  M
o log a b M  M log a b
1
o log a b  log a b
o a log M  M

1
o log a b 
log b a
a

c. Công thức đổi cơ số: Cho a, b, c  0; a �1, c �1 . Ta luôn có: log a b 

log c b
log c a

d. So sánh lôgarit: Cho a  0; a �1
: log a M  log a N � M  N
+ Nếu a  1
+ Nếu 0  a  1 : log a M  log a N � M  N
n

� 1�
1  � �2, 718281828459045
e. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên: Số e  lim �
x ��
� n�
* Lôgarit thập phân: log10 x  log x  lg x
* Lôgarit tự nhiên: log e x  ln x
5. Giải PT, BPT mũ và Lôgarit.
Phương trình mũ
Phương trình lôgarit
a. Phương trình mũ cơ bản:
a. Phương trình lôgarit cơ bản:
x
log a x  b , ( a  0, a �1)
a  b , ( a  0, a �1)
Dạng:
Dạng:

+ với b > 0, ta có: a  b � x  log a b
+ với b < 0, suy ra: phương trình vô nghiệm
b. Phương pháp giải PT mũ thường gặp:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ (t  a x , t  0)
+ Lôgarit hóa.
x

Ta có:

log a x  b � x  a b

b. Phương pháp giải PT lôgarit thường gặp:
+ Đưa về cùng cơ số.
+ Đặt ẩn phụ (không cần đặt điều kiện cho ẩn
phụ)
+ Mũ hóa.
* Chú ý: Cần nắm thật vững hai phương pháp (pp đưa về cùng cơ số và pp đặt ẩn phụ để giải PT,
BTP
mũ và lôgarit). Còn pp thứ 3 tương đối khó,chỉ nên tham khảo thêm.
Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam
20


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
6. Một số phương trình (Bất phương trình) mũ và lôgarit thường gặp:
a. Các dạng cơ bản:
a  0; a �1
a 1
0  a 1
* Phương trình mũ:
* Bất phương trình mũ:
* Bất phương trình mũ:
f ( x)
g ( x)
f ( x)
g (x)
a
a
� f ( x)  g ( x )
a

a
� f ( x)  g ( x )
a f ( x )  a g ( x ) � f ( x)  g ( x )
* Phương trình lôgarit:
* Bất phương trình lôgarit:
*Bất
phương
trình
lôgarit:
g
(
x
)

0
�
�f ( x)  0
log a f ( x)  log a g ( x) � �
�
log a f ( x)  log a g ( x) � �g ( x)  0
�f ( x)  g ( x)
log a f ( x )  log a g ( x )
�f ( x)  g ( x)
�
�f ( x )  0
��
�f ( x )  g ( x)
b. Vận dụng:
Dạng toán
Dạng 1: Phương trình mũ bậc 2.

m.a 2 x  n.a  p  0 (1).
Phương pháp:
+ Đặt t  a x , (t  0). Ta được pt:
m.t 2  n.t  p  0
+ Giải pthương trình trên tìm nghiệm t (đk: t
> 0)
x
+ Giải phương trình: t  a � x  log a t .
+ Kết luận nghiệm của phương trình (1).

Ví dụ
Ví dụ: Giải phương trình: 32 x +1  4.3x  1  0
Giải:
2 x +1
x
Ta có: 3  4.3  1  0 � 3.32 x  4.3x  1  0
Đặt: t  3x (t  0) , ta được phương trình:
t 1
�
2
�
3.t  4.t  1  0 �
1
�
t
� 3
x
+ Với t  1 � 3  1 � x  log 3 1  0
1
1

1
x
+ Với t  � 3  � x  log 3  1
3
3
3
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm: x = 0; x = –1.
Dạng
2: Ví dụ: Giải phương trình: 6 x  61 x  5  0 .
n
Giải:
m.a x  n.a  p  0 hay : m.a x  x  p  0
6
a
x
1 x
x
Ta có: 6  6  5  0 � 6  x  5  0
Phương pháp:
6
x
1
1
x
Đặt: t  6 (t  0) , ta được phương trình:
+ Đặt t  a x , (t  0). Khi đó: a  x 
a
t
t  6 (nhan)
�

6
t   5  0 � t 2  5t  6  0 � �
+ Thay vào pt đã cho, giải tìm t (t > 0). Rồi
t  1 (loai )
t
�
tìm x.
x
+ Với t  6 � 6  6 � x  log 6 6  1
+ Kết luận nghiệm của phương trình.
Vậy PT đã cho có 1 nghiệm: x = 1.
f ( x)
g (x)
1
�a
(1)., (0  a �1).
Dạng 3: BPT mũ a
x 3 x
�
Ví dụ: Giải bất phương trình: 2
4
Phương pháp:
Giải:
+ Nếu 0 < a < 1: thì pt (1) ۳ f ( x) g ( x)
1
x 3 x
(BPT đổi chiều).
��2 x 3 x 2 2
x 2 3x
2

Ta có: 2
ۣ

f
(
x
)
g
(
x
)
4
+ Nếu a > 1: thì pt (1)
� x 2 3 x 2� 0 1� x 2
- Đối với BPT: a f ( x ) �c .
+ Nếu 0 < a < 1, ta có f ( x) �log a c (BPT đổi Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là:  1; 2
chiều).
+ Nếu a > 1, ta có f ( x ) �log a c .
x

x

2

2

2

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

21


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
Dạng 4: Biến đổi đưa phương trình về dạng: Ví dụ: Giải phương trình: log 3 (9 x)  log9 x  5 .
log a f ( x)  log a g ( x) (lô ga rít hóa
Giải:
2 vế)
�x  0
� x  0 . Khi đó:
Điều kiện: �
Phương pháp:
9x  0
�
+ Dùng các công thức tính toán, cộng, trừ
log3 (9 x )  log 9 x  5 � log 3 32  log 3 x  log 3 x  5
lôgarit để biến đổi.
1
3
+ Cần chú ý đến điều kiện của các biểu thức
� 2  log 3 x  log 3 x  5 � log 3 x  3
dưới dấu lôgarit.
2
2
2
� log3 x  2 � x  3  9.
Vậy PT đã cho có nghiệm: x = 9.
Dạng 5: Phương trình bậc hai chứa dấu Vídụ: Giải PT: 4 log 22 x  3log 2 x  10  0 .
lôgarit
Giải:

m.log 2a f ( x)  n.log a f ( x)  p  0
ĐK: x > 0.
Phương pháp:
Đặt t  log 2 x , ta được: 4t 2  3t  10  0 .
+ ĐK: f(x) > 0.
5
t

2;
t


Giải
pt
ta
tìm
được:
t

log
f
(
x
)
+
Đặt
,
ta
được:
a

4
2
m.t  n.t  p  0 . Giải phương trình tìm t.
t

2
�
log
x

2
�
x

4
*Với
2
t
5
+Giải pt: log a f ( x )  t � f ( x )  a để tìm x.

5
5
*Với t   � log 2 x   � x  2 4
+ Kết luận nghiệm của PT.
4
4
2

Dạng 6: Bất phương trình lôgarit.

Ví dụ: Giải các bất phương trình sau.
log a f ( x)  log a g ( x),(0  a �1).
a). log 2 x �log 2 (3 x  1).
Phương pháp:
b). log 1 (2 x  1)  log 1 ( x  2).
3
3
�f ( x)  0
+ ĐK: �
Giải:
�g ( x )  0
x

0
�
1
� x  . Khi đó:
+ Nếu 0  x  1 ,ta có: f ( x)  g ( x) (BPT đổi a). ĐK: �
3x  1  0
3
�
chiều).
1
+ Nếu a  1 , ta có: f ( x)  g ( x )
log 2 x -�log
۳-2 
(3
 x 1)
x 3x 1 x
.

2
- Đối với BPT: log a f ( x)  c .
�1 1 �
+ Nếu 0  x  1 ,ta có: f ( x)  a c (BPT đổi Kết hợp với ĐK, ta được tập nghiệm là: T  � ; �
�3 2 �
chiều).
2x 1  0
�
1
+ Nếu a  1 , ta có: f ( x)  a c .
� x  . Khi đó:
b). ĐK: �
2
�x  2  0
log 1 (2 x  1)  log 1 ( x  2) � 2 x  1  x  2 � x  3 .
3

3

�1 �
Kết hợp với ĐK, ta được tập nghiệm là: T  � ;3 �
�2 �

BÀI TẬP
Bài tập 1: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy tính:
0,75

1�
a). �
� �

16 �
�
(42

3

4

3 1

).22



4

�1 �3
� �
�8 �

b). 223 5.8

5

2

c). (0, 04) 1,5 .(0,125)  3

d).

3

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

22


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
5

4

� 25 � � 34 �
e). �
5 � �
0, 2 �
� � � �
i). 83 2 .41 2..24 2

j). 102 2log

k). 92log

m). 4log

n). 81log

o). 7 log

3

f). 31 2 2 : 9

3

9

10 7

2 32

2

6

4

g). 8 7 : 87  35 .35

2

23

102 

h).

3 2  4log 81 2

22 7 .51

l). 3log

49 15

p).

65 

Bài tập 4: Giải các phương trình sau:

d).



g ). log 2 ( x  2)  log 2 ( x  3)  1

b). log 2 ( x  1)  1  log 2 x

h).log 2 x  log 2 ( x  1)  1

c). log 4 x  log 2 (4 x)  5
d ). log 3 (9 x)  log 9 x  5

i ). log 6 ( x  4)  log 1 ( x  1)  1

e). log 3 ( x  2)  log 3 ( x  2)  log 3 5

j ). log 4 ( x  3)  log 4 ( x  1)  2
1

o). log 2 x  1 
log 2 x

6

k ).log 2 (log 3 (log 4 x))  0
l ). log 1 (3x  1)  log 4 (2  3x )

p ). log 24 x  2 log 4 x  1  0

4

m).log 3 (9  1)  log 3 (2.3  1)  log 3 2
x

q ). log 22 x  log 2 x 3  4  0

n). log 1 ( e  5)  2 log 4 (e  1)  0
x

5

f ).log 2 ( x  2)  log 2 ( x  3)  log 2 12

a ). log 4 (5  2 x)  log 4 ( x  3)

x

20

42 5.91

2

 

7

9 27

Bài tập 2: Giải các phương trình sau:
a). 2 x 3 x  2  4
b). (0.5) x 3 .(0.5)1 2 x  2
c). 32 x 1  32 x  108
2 x 1  2 x 1  2 x  28
Bài tập 3: Giải các phương trình sau:
a ). 3.9 x  3x  2  0
i ). 32 x 1  9.3x  6  0
o). 3x 1  5.33 x  12
b). 22 x  2  9.2 x  2  0
j ). e6 x  3.e3 x  2  0
3x
x 1
1 � �1 �
�
q ). � �  � �  128  0
c ). 9 x 1  36.3x 1  3  0
k ). 3x  33 x  12  0
�4 � �8 �
x

x 1
x 1
3 x
x
x
d ). 4  10.2  24
l ). 5  5  26
r ). 2  3  2  3  14
2 x 1
x 1
x
1 x
e). 5  5  250
m). 2  2  3  0
s ). 31 x  3x  2  0 (tn 2013)
2 x6
x 7
f ).2
 2  17  0
n).6 x  61 x  5  0



7

x

r ). log 22 x  3log 2 x  10  0

4

Bài tập 5: Giải các bất phương trình sau:
x2

a ). 7

2 x 2 3 x  2

b). 2 x

2

3 x

�1 �
� �
�7 �

2 x 1

3 x  2

�2 �
�5 �
d ). � �  � �
�5 �
�2 �
x2 3 x

1

�
4

�1 �
e). � �
�3 �
1
x

�1 �
c). 5 x 1  � �
�25 �

�9

f ). 7 x  2 x  2 �5.7 x 1  2 x 1
g ). 2 x

2

1

2

 3x  3 x

2

1

 2x

2

2

h). 9 x  3x  2 �0
i ). 49 x  6.7 x  7  0
j ). 52 x 1  5 x  4

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

23


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
Bài tập 6: Giải các bất phương trình sau:
a). log 2 x �log 2 (3 x  1)
b). 2 log 2 ( x  1)  log 2 (5  x)  1 �0
c). log 2 ( x  2)  log 1 (3  x) �0
2

i ). log 1 ( x 2  6 x  5)  2 log 2 (2  x) �0
2

j ). log 1 x  log 5 ( x  2)  log 1 3
5

d ). log 1 (2 x  4) �1

k ). log 1 (2

2

e). log 1 (2 x  1)  log 1 ( x  2)

5
3 x 5

 15)  0

2

g ). 2 log 2 ( x  1)  log 2 (5  x)  1 �0

� �2 1 �
�
l ). log 3 �
log 1 �x  �
� 1
� 2 � 16 �
�
2
m). log 4 ( x  2 x)  log 4 ( x 2  4)

h). log 2 ( x  2)  log 1 (3  x) �4

n). log 32 2 x  5log 3 2 x  4  0

3

3

f ). log 2 x �log 2 (3 x  1)

2

--------------------------Hết chương II----------------------------

Chương III:

NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN, ỨNG DỤNG

1. Định nghĩa nguyên hàm:
Cho hàm số f(x) xác định trên K.
Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu F’(x) = f(x) với mọi x �K .
2. Bảng nguyên hàm:
Hàm số sơ cấp
Nguyên hàm bổ sung
o �
dx  x  C
x 1
 C , ( �1;  ��)
 1
1
1
1
o �2 dx    C
o � dx  x  C
x

x
2 x
o

x dx 
�

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

24


__ Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2014
o
o

cos xdx  sin x  C a
�
sin xdx   cos x  C
�

2

 b2

o
o

1
o �

(1  tan x)dx  � 2 dx  tan x  C
cos x
1
o �
(1  cot 2 x)dx  � 2 dx   cot x  C
sin x
1
o �dx  ln x  C
x
2

o

e x dx  e x  C
�

o

a x dx 
�

o
o
o
o

ax
C
ln a

o

1 1
dx  .
(ax  b) 1  C
a  1
1
e ax b dx  e ax b  C
�
a
1
1
dx  ln ax  b  C
�
ax  b
a
1
cos(ax  b)dx  sin(ax  b)  C
�
a
1
sin( ax  b)dx   cos(ax  b)  C
�
a
s in x
tan xdx  � dx   ln cos x  C
�
cos x
cos x
cot xdx  � dx  ln sin x  C

�
sin x


(ax  b)
�

3. Định nghĩa tích phân:
Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn  a; b  . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn
 a; b  .
b

Hiệu: F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) .Kí hiệu:

f ( x)dx
�
a

b

Công thức:

f ( x )dx  F ( x )
�

b
a

 F (b )  F ( a )

a

4. Các bài toán đổi biến số:
Bài toán

Ví dụ

2

b

f  u ( x)  .u '( x )dx
�

Bài toán 1:

a

Phương pháp: + Đặt t  u ( x) � dt  u '( x )dx
xa �
t 
�
��
+ Đổi cận: �
xb �
t
�
+ Thế:
b



a



f  u ( x)  .u '( x )dx  �
f (t )dt
�

Ví dụ: Tính I  esin x .cos xdx
�
0

Giải
Đặt t  sin x � dt  cos xdx
x  0�t  0
�
�
Đổi cận:

�
x  � t 1
� 2
1

1

�I �
et dt  et  e1  e 0  e  1

0

0

b

Bài toán 2:

�u ( x).u '( x)dx
a

Phương pháp: + Đặt t  u ( x) � t  u ( x)
2

1

x x 2  1dx
Ví dụ: Tính I  �
0

Giải
Đặt t  x  1 � t  x 2  1 � 2tdt  2 xdx
� tdt  xdx
x  0 �t 1
�
Đổi cận: �
x 1� t  2
�
2

� 2tdt  u '( x )dx
t 
xa �
�
�� 1
+ Đổi cận: �
xb �
t  1
�
+ Thế:

2

Tổ Toán – Tin _ Trường THPT Nguyễn Văn Trỗi, Quảng Nam

25