HUONG DAN ON TAP CHUONG i HINH 11 năm 2012 2013

CHƯƠNG I HÌNH HỌC 11 (12 – 13)
I. Phép biến hình: * Nếu phép biến hình là F thì viết F(M) = M �hay M �
= F(M), ta gọi M �là ảnh của
điểm M qua phép biến hình F
* Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép đồng nhất
II. Phép tịnh tiến:
1. Lý thuyết:
uuuuu
r r
uuuuur uuuu
r
N
* Nếu Tvr (M)  M �� MM �
* Nếu Tvr (M)  M �và Tvr (N)  N�� M ��
v
N  MN � MN  M ��
x
�x�

* Phép tịnh tiến theo vectơ – không chính là phép đồng nhất tức là �
y
�y�
r
u
r
* Tvr (d)  d � v và v�cùng phương
r
x  xM  a
�
với v  (a;b)
yM � yM  b

�

M�
* Biểu thức tọa độ: Nếu Tvr (M)  M �� M �
(xM + a; yM + b) hoặc M �
=�

* Phép tịnh tiến: + Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó
+ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó
+ Biến tam giác thành tam giác bằng nó
+ Biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính
2. Bài tập mẫu:
Bài 1: uCho
tam giác ABC có G là trọng tâm. Xác định ảnh của u
tam
giác ABC qua phép tịnh tiến theo
uur
uur
vectơ AG . Xác định điểm D sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AG biến D thành A.
uuur (B)  B�
Giải: * Dựng hình bình hành AB B�
G � TAG
D
u
u
u
r
�
T
(C)


C
�
Dựng hình bình hành AC C�
G
AG
uuur (A)  G
uuur (ABC)  GB��
A
TAG
C
. Vậy: TAG
u
u
u
r
u
u
u
r
uuur (D)  A �
* Ta có: TAG
DA  AG . Dựng điểm D sao cho A
G
là trung điểm của DG.
C
B
Bài 2: Tìm ảnh của các điểm A(0; 2), B(1; 3) qua phép
tịnh tiến Tvr trong các trường hợp sau:
r

r
r
C'
B'
a) v  (1;1)
b) v  (2;1)
c) v  (0;0)
(1;3)
(2;3)
(0;2)
Giải: a) Tvr (A)  A �
b) Tvr (A)  A �
c) Tvr (A)  A �
(2;4)
(1;4)
(1;3)
a) Tvr (B)  B�
b) Tvr (B)  B�
c) Tvr (B)  B�
Bài 3: Cho điểm A(1; 4). Tìm tọa độ của điểm B sao cho A  Tvr (B) (tức là A là ảnh của B), biết:
r
r
r
a) v  (2; 3)
b) v  (3;1)
c) v  (0;0)
r
x  xA  a
�
với v  (a;b)

yB  yA  b
�

B
Giải: Ghi nhớ: A  Tvr (B) � B(xA – a; yA – b) hay B  �

a) A  Tvr (B) � B(-1; 7)
b) A  Tvr (B) � B(4; 3)
c) A  Tvr (B) � B(1; 4)
r
 Tvr (M) , biết:
Bài 4: Tìm tọa độ của vectơ v sao cho M �
a) M(-1; 0), M �
(3; 8)
b) M(-5; 2), M �
(4; -3)
c) M(-1; 2), M �
(4; 5)
r
r (M) � v  (x
�
M

T
Giải: a) Ghi nhớ:
v
M � xM ;yM � yM )
r
r
r

a) v  (4;8)
b) v  (9; 5)
c) v  (5;3)
Bài 5: ra) Tìm tọa độ của C” là ảnh của điểm C(3; -2) bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo
vectơ v  (2;4) và phép vị tự tâm O, tỉ số 2
r
b) Tìm tọa độ ảnh của điểm D(-5; 1) bằng cách thực hiện liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v  (3;2)
và phép quay tâm O, góc 900.
1


c) Tìm tọa độ của E” là ảnh của điểm E(5; 2) bằng cách thực hiện liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số -3 và
phép quay tâm O, góc - 900.
�
(1;2) và V(O,2) (C�
)  C�
( 2; 4)
Giải: a) Gọi C” là điểm cần tìm. Ta có: Tvr (C)  C�
�
)  D�
(3; 2)
(2;3) và Q(O,90 ) (D�
b) Gọi D” là điểm cần tìm. Ta có: Tvr (D)  D�
0

�
)  E�
(6;15)
(15; 6) và Q(O,90 ) (E�
c) Gọi E” là điểm cần tìm. Ta có: V(O,3) (E)  E�

r
Bài 6: Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo v , biết:
r
r
a) d: x + 3y – 1 = 0 với v  (2; 1)
b) d: 2x – y – 1 = 0 với v  (2; 1)
Giải: a) * Cách 1: Gọi Tvr (d)  d�
. Khi đó d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x + 3y + C = 0
(3; 1) �d’ nên 3 – 3 + C = 0 � C = 0. Vậy: d’: x + 3y = 0
Chọn A(1; 0) � d. Khi đó: Tvr (A)  A �
(3; 1) �d’ và chọn B(-2; 1) � Tvr (B)  B�
(0;0) �d’
* Cách 2: Chọn A(1; 0) � d � Tvr (A)  A �
0

x  xA � x  yA�
x 3 y1

�

xB� xA � yB� yA �
0 3 0 1
� x – 3 = -3y – 3 � x + 3y = 0
 x 2
x  x�
2
�x�
�
�
� �

* Cách 3: Gọi M(x; y) �d, Tvr (M)  M �
 y 1
y  y�
1
�y�
�
’
’
’
Ta có: M �d � x + 3y – 1 = 0 � x – 2 + 3y + 3 – 1 = 0 � x + 3y’ = 0 � M’ �d’: x + 3y = 0
b) * Cách 1: Gọi Tvr (d)  d�
. Khi đó d’ // d nên PT đt d’ có dạng: 2x – y + C = 0

Đt d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên PT đt d’ là:

(2; 2) �d’ nên 4 + 2 + C = 0 � C = -6. Vậy: d’: 2x – y – 6 = 0
Chọn A(0; -1) � d. Khi đó: Tvr (A)  A �
(2; 2) �d’ và chọn B(1; 1) � Tvr (B)  B�
(3;0) �d’
* Cách 2: Chọn A(0; -1) � d � Tvr (A)  A �
x  xA � x  yA�
x 2 y 2

�

xB� xA � yB� yA �
3 2 0  2
� 2x – 4 = y + 2 � 2x – y – 6 = 0
 x 2
x  x�

2
�x�
�
�
� �
* Cách 3: Gọi M(x; y) �d, Tvr (M)  M �
 y 1
y  y�
1
�y�
�
’
’
Ta có: M �d � 2x – y – 1 = 0 � 2x – 4 – y – 1 – 1 = 0 � 2x’ – y’ – 6 = 0 � M’ �d’: 2x –ry – 6 = 0
r
Bài 7: Tìm PT đt d qua phép tịnh tiến theo v : d biến thành d’, biết: d’: 2x + 3y – 1 = 0 với v  (2; 1)
Giải: * Cách 1: Gọi Tvr (d)  d�
. Khi đó d // d’ nên PT đt d có dạng: 2x + 3y + C = 0

Đt d’ đi qua 2 điểm A’ và B’ nên PT đt d’ là:

Chọn A’(2; -1) � d’. Khi đó: Tvr (A)  A �� A(4; 0) �d nên 8 + 0 + C = 0 � C = -8
Vậy: d: 2x + 3y – 8 = 0
* Cách 2: Chọn A’(2; -1)�d’, Tvr (A)  A �� A(4; 0)�d và chọn B’(-1; 1)�d’, Tvr (B)  B�� B(1; 2)�d
x  xA
x  yA
x 4 y 0

�


Đt d đi qua 2 điểm A, B nên PT đt d là:
xB  xA yB  yA
1 4 2  0
� 2x – 8 = -3y � 2x + 3y – 8 = 0
x  x�
2 �
x�
 x 2
�
��
y  y�
1
y�
 y1
�
�
’� ’ �
’
’
Ta có: M d
2x + 3y – 1 = 0 � 2x – 4 + 3y – 3 – 1 = 0 � 2x + 3y – 8 = 0
� M �d: 2x + 3y – 8 = 0
r
Bài 8: Tìm tọa độ vectơ v sao cho Tvr (d)  d�với d: 3x – y + 1 = 0 và d’: 3x – y – 7 = 0
r
� v  (0; 8)
Giải: Chọn A(0; 1)�d và B(0; -7)�d’. Khi đó: Tvr (d)  d�
r
)
Bài 9: Tìm tọa độ vectơ v sao cho Tvr (C)  (C�

* Cách 3: Gọi M’(x’; y’)� d’, Tvr (M)  M �� M = �

a) (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 và (C’): (x + 5)2 + (y – 1)2 = 4
b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 và (C’): x2 + y2 + 4x – 6y + 10 = 0
Giải: a) Từ (C), ta có: tâm I(2; -3) và từ (C’), ta có: tâm I’(-5; 1)
2


r

) � v  (7;4)
Khi đó: Tvr (C)  (C�
b) Từ (C), ta có: tâm I(1;r -2) và từ (C’), ta có: tâm I’(-2; 3)
) � v  (3;5)
Khi đó: Tvr (C)  (C�
r
Bài 10: Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo v , biết:
r
r
a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 với v  (3; 4)
b) (C): (x + 3)2 + (y – 1)2 = 4 với v  (3;1)
Giải: a) * Cách 1: (C) có tâm I(2; -1) và bán kính R = 8
(5; 5) và R’ = R = 8 . Vậy: Tvr (C)  (C') :(x  5)2  (y  5)2  8
Khi đó: Tvr (I)  I �
x�
 x 3 �
x  x�
3
�

��
y�
 y 4 �
y  y�
4
�
2
2
’
2
’
Ta có: M �(C) � x + y – 4x + 2y – 3 = 0 � (x – 3) + (y + 4)2 – 4x’ + 12 + 2y’ + 8 – 3 = 0
2
2
2
2
� x�
 6x�
 9  y�
 8y�
 16  4x�
 12 2y�
 8 3  0 � x�
 y�
 10x�
 10y�
 42  0
�
* Cách 2: Gọi M(x; y) �(C), Tvr (M)  M �

� M’ �(C�
) : x2 + y2 – 10x + 10y + 42 = 0

b) * Cách 1: (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 2
(6;2) và R’ = R = 2. Vậy: Tvr (C)  (C'):(x  6)2  (y  2)2  4
Khi đó: Tvr (I)  I �
x�
 x  3 �x  x�
3
�
��
y�
 y1
1
�
�y  y�
) : (x + 6)2 + (y – 2)2 = 4
Ta có: M �(C) � (x’ + 3 + 3)2 + (y’ – 1 – 1)2 = 4 � M’ �(C�
�
* Cách 2: Gọi M(x; y) �(C), Tvr (M)  M �

r
Bài 11: Phép tịnh tiến theo vectơ v  (3;m) . Tìm m để đt d: 4x + 6y – 1 = 0 biến thành chính nó qua
r
phép tịnh tiến theo vectơ v
r
Giải: Từ đt d � VTCP của d là: u  (6;4)
r
r
3 m

 � 12 = -6m � m = -2
Để Tvr (d)  d � v cùng phương u �
6 4
3. Bài tập tự luyện:
uuur
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD. Dựng ảnh của tam giác ABC qua phép tịnh tiến theo vectơ AD .
uuur
Xác định điểm F sao cho phép tịnh tiến theo vectơ AC biến F thành A.
Bài 2: Cho hình chữ nhật ABCD . Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD,
MN. Hãy tìm một phép tịnh tiến biến  AFM thành  ENF
r
Bài 3: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biết:
r
r
a) A(2; -3) với v  (7;2) . ĐS: A’(9; -1)
b) B(8; 2) với v  (7;4) . ĐS: B’(1; 6)
r
r
c) C(1; 2) với v  (4;3) . ĐS: C’(-3; 5)
d) D(-5; -6) với v  (4; 9) . ĐS: D’(-1; -15)
r
Bài 4: a) Tìm tọa độ của điểm C sao cho A(3; 5) là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (1;2)
r
b) Tìm tọa độ của điểm M qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (3; 5) , biết Tvr (M)  N và N(-7; 2)
c)
r Cho điểm D(-5; 6). Tìm tọa độ của điểm E sao cho D là ảnh của E qua phép tịnh tiến theo vectơ
v  (2; 8)
r
d) Cho điểm A(1; 4). Tìm tọa độ điểm B sao cho A  Tvr (B) với v  (3;9)
ĐS: a) C(4; 3)

b) M(-10; 7)
c) E(-3; 14)
d) B(4; -5)
r
r
Bài 5: Tìm tọa độ của vectơ v sao cho Tv (A)  B , biết:
a) A(-10; 1), B(3; 8)
b) A(-5; 2), B(4; -3)
c) A(-1; 2), B(4; 5)
d) A(0; 0),
B(-3;
4)
e)
A(5;
-2),
B(2;
6)
f)
A(2; 3), B(4; -5)
r
r
r
ĐS: a) v  (13;7)
b) v  (9; 5)
c) v  (5;3)
r
r
r
d) v  (3;4)
e) v  (3;8)

f) v  (2; 8)
3


r
Bài 6: a) Cho đt d: 2x – y + 5 = 0. Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (4; 3)
r
b) Cho đt d: x – 4y – 2 = 0. Tìm PT đt d’ sao cho Tvr (d)  d�
với v  (2;5)
r
c) Cho đt d: 5x + 3y + 5 = 0. Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (2; 1)
r
d) Tìm ảnh của đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v  (3;7) , biết: đt d: 4x – y – 3 = 0
ĐS: a) 2x – y – 6 = 0
b) x – 4y – 20 = 0 r c) 5x + 3y + 18 = 0
d) 4x – y – 8 = 0
’
Bài 7: Tìm đt d qua phép tịnh tiến theo vectơ v : d biến thành d :
r
r
a) d’: 2x + 3y – 1 = 0 với v  (2; 1)
b) d’: 2x – 4y – 1 = 0 với v  (3; 1)
r
r
c) d’: x – 6y + 2 = 0 với v  (2;4)
d) d’: 5x – 3y + 5 = 0 với v  (2; 3)
ĐS: a) 2x +3y – 8 = 0
b) 2x – 4y + 9 = 0
c)r x – 6y – 24 = 0
d) 5x – 3y + 4 = 0

Bài 8: Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v , biết:
r
a) (C): x2 + y2 – 4x + 2y – 3 = 0 với v  (3; 4) . ĐS: (x – 5)2 + (y + 5)2 = 8
r
b) (C): x2 + y2 + 6x – 4y + 1 = 0 với v  (3; 5) . ĐS: (x + 6)2 + (y + 3)2 = 12
r
c) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 16 với v  (1;4) . ĐS: (x – 1)2 + (y + 1)2 = 16
r
d) (C): (x + 4)2 + (y – 1)2 = 9 với v  (5;3) . ĐS: (x – 1)2 + (y – 4)2 = 9
r
) , biết:
Bài 9: Tìm tọa độ của vectơ v sao cho Tvr (d)  d�và Tvr (C)  (C�
’
a) d: 3x – 2y + 1 = 0 và d : 3x – 2y – 4 = 0
b) d: 2x + y – 5 = 0 và d’: 2x + y + 3 = 0
c) (C): (x + 3)2 + (y – 2)2 = 4 và (C’): (x – 5)2 + (y – 7)2 = 4
2
2
’
2
2
d) (C): (x
r – 5) + (y + 4) = 8 và (Cr): (x + 2) + (y – 9) = 8 r
r
ĐS: a) v  (1; 4)
b) v  (0; 8)
c) v  (8;5)
d) v  (7;13)
r
Bài 10: Phép tịnh tiến theo vectơ v  (3m; 6) . Tìm m để đt d: 4x + 2y – 7 = 0 biến thành chính nó

r
qua phép tịnh tiến theo vectơ v . ĐS: m = -4
III. Phép quay
x�
 y
y�
x
�
x�
y
�
* Phép quay tâm O, góc -900: Q(O,900 ) (M)  M �
=�
y�
 x
�

�
1. Lý thuyết: * Phép quay tâm O, góc 900: Q(O,90 ) (M)  M �
=�
0

2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc 900, biết:
a) A(3; -4)
b) B(-2; 1)
c) C(4; 5)
d) D(-2; -3)
e) E(0; -5)
�

�
Q
(A)

A
Q
(B)

B
Giải: a) (O,90 )
(4; 3)
b) (O,90 )
(-1; -2)
c) Q(O,90 ) (C)  C�
(-5; 4)
d) Q(O,90 ) (D)  D�
(3; -2)
e) Q(O,90 ) (E)  E�
(5; 0)
0

0

0

0

0

Bài 2: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết:

a) A(2; 5)
b) B(-4; 2)
c) C(-3; -1)
�
Q
(A)

A
Q
(B)

B�
Giải: a) (O,90 )
(5; -2)
b) (O,90 )
(2; 4)
c) Q(O,90 ) (C)  C�
(-1; 3)
Bài 3: Tìm tọa độ của điểm A sao cho Q(O,90 ) (A)  B , biết:
0

0

0

0

a) B(3; -5)
b) B(-2; 7)
Giải: a) Q(O,90 ) (A)  B � A(-5; -3)

c) Q(O,90 ) (A)  B � A(-1; 3)
0

0

c) B(-3; -1)
d) B(4; 6)
b) Q(O,90 ) (A)  B � A(7; 2)
d) Q(O,90 ) (A)  B � A(6; -4)
0

0

Bài 4: Tìm tọa độ của điểm C sao cho D là ảnh của C qua phép quay tâm O, góc quay -90 0, biết:
a) D(-5; 1)
b) D(-4; -7)
c) D(2; 3)
d) D(4; -8)
Giải: a) Q(O,90 ) (C)  D � C(-1; -5)
b) Q(O,90 ) (C)  D � C(7; -4)
0

0

4


c) Q(O,90 ) (C)  D � C(-3; 2)
d) Q(O,90 ) (C)  D � C(8; 4)
Bài 5: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết đt d: 5x – 2y – 2 = 0

Giải: * Cách 1: Gọi Q(O,90 ) (d)  d�
0

0

0

Chọn A(0; -1) �d � Q(O,90 ) (A)  A �
(1; 0)�d’ và B(2; 4) � Q(O,90 ) (B)  B�
(-4; 2)�d’
x  xA � y  yA �
x1 y 0

�
� 2x + 5y – 2 = 0

Đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:
xB� xA � yB� yA �
4  1 2  0
� d  d�
* Cách 2: Gọi Q(O,90 ) (d)  d�
nên PT đt d’ có dạng: 2x + 5y + C = 0
Chọn A(0; -1) �d � Q(O,90 ) (A)  A �
(1; 0)�d’. Khi đó: 2 + C = 0 � C = -2. Vậy: d’: 2x + 5y – 2 = 0
0

0

0

0

x�
 y �
x  y�
�
��
�
* Cách 3: Gọi M(x; y)�d � Q(O,90 ) (M)  M �
y�
x
y  x�
�
�
’
’
’
Ta có: M �d: 5x – 2y – 2 = 0 � 5y – 2(-x ) – 2 = 0 � 2x + 5y’ – 2 = 0
� M’�d’: 2x + 5y – 2 = 0
Bài 6: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết đt d: 2x – 5y + 1 = 0
Giải: * Cách 1: Gọi Q(O,90 ) (d)  d�
Chọn A(2; 1)�d � Q(O,90 ) (A)  A �
(1; -2)�d’ và B(-3; -1) � Q(O,90 ) (B)  B�
(-1; 3)�d’
0

0

0

0

x  xA � y  yA �
x1 y 2

�
� 5x + 2y – 1 = 0

xB� xA � yB� yA �
1 1 3 2
� d  d�
* Cách 2: Gọi Q(O,90 ) (d)  d�
nên PT đt d’ có dạng: 5x + 2y + C = 0
Chọn A(2; 1)�d � Q(O,90 ) (A)  A �
(1; -2)�d’. Khi đó: 5 – 4 + C = 0 � C = -1
Đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:
0

0

Vậy: d’: 5x + 2y – 1 = 0
x�
y
x  y�
�
�
��
�
* Cách 3: Gọi M(x; y)�d � Q(O,90 ) (M)  M �
y�

 x �
y  x�
�
’
’
’
Ta có: M �d: 2x – 5y + 1 = 0 � 2(-y ) – 5x + 1 = 0 � –5x – 2y’ + 1 = 0
� M’�d’: 5x + 2y – 1 = 0
Bài 7: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết
a) (C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9
b) x2 + y2 – 4x + 2y – 4 = 0
Giải: a) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -5) và bán kính R = 3
) : (x – 5)2 + (y – 2)2 = 9
Khi đó: Q(O,90 ) (I)  I �
(5; 2) và bán kính R’ = R = 3. Vậy: Q(O,90 ) (C)  (C�
x�
 y �
x  y�
�
��
�
* Cách 2: Gọi M�(x; y)�(C) � Q(O,90 ) (M)  M �
y�
x
y  x�
�
�
Ta có: M �(C): (x – 2)2 + (y + 5)2 = 9 � (y’ – 2)2 + (-x’ + 5)2 = 9 � (x’ – 5)2 + (y’ – 2)2 = 9
� M’�(C’): (x – 5)2 + (y – 2)2 = 9
b) * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(2; -1) và bán kính R = 3

Khi đó: Q(O,90 ) (I)  I �
(1; 2) và bán kính R’ = R = 3. Vậy: (x – 1)2 + (y – 2)2 = 9
x�
 y �
x  y�
�
��
�
* Cách 2: Gọi M�(x; y)�(C) � Q(O,90 ) (M)  M �
y�
x
y  x�
�
�
2
2
’
2
’
2
’
Ta có: M �(C): x + y – 4x + 2y – 4 = 0 � (y ) + (-x ) – 4y + 2(-x’) – 4 = 0
2
2
� x�
 y�
 2x�
 4y�
 4  0 � M’�(C’): x2 + y2 – 2x – 4y – 4 = 0
Bài 8: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết: (x + 4)2 + (y – 1)2 = 16

Giải: * Cách 1: Từ (C), ta có tâm I(-4; 1) và bán kính R = 4
) : (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16
Khi đó: Q(O,90 ) (I)  I �
(1; 4) và bán kính R’ = R = 4. Vậy: Q(O,90 ) (C)  (C�
0

0

0

0

0

0

0

0

5


x�
y
x  y�
�
�
��
�

* Cách 2: Gọi M�(x; y)�(C) � Q(O,90 ) (M)  M�
y�
 x �
y  x�
�
2
2
’
2
’
2
Ta có: M �(C): (x + 4) + (y – 1) = 16 � (–y + 4) + (x – 1) = 16 � (y’ – 4)2 + (x’ – 1)2 = 16
� M’�(C’): (x – 1)2 + (y – 4)2 = 16
Bài 9: Cho tam giác ABC, trọng tâm G
a) Tìm ảnh của điểm B qua phép quay tâm A góc quay 900
C"
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm A góc quay 900
0
A
c) Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay tâm G góc quay 90
Giải: a) Dựng AB = AB’ và (AB, AB’) = 900
Khi đó: B’ là ảnh của điểm B qua phép quay tâm A, góc quay 900
b) Dựng AC = AC’ và (AC, AC’) = 900
B'
’ ’
0
B
Khi đó: B C là ảnh của BC qua phép quay tâm A, góc quay 90
G
c) Dựng GA = GA’và (GA, GA’) = 900, GB = GB”

A'
và (GB, GB”) = 900, GC = GC” và (GC, GC”) = 900
Khi đó: Tam giác A’B”C” là ảnh của tam giác ABC qua
phép quay tâm G, góc quay 900
B"
C
0
Bài 10: Cho  ABC đều có tâm O và phép quay tâm O, góc quay 120 .
a) Xác định ảnh của các đỉnh A, B, C qua phép quay Q(O,120 )
b) Tìm ảnh của  ABC qua phép quay Q(O,120 )
0

C'

0

0

OA  OB
�
� Q(O,120 ) (A) = B;
Giải: a) Ta có: �
0
(OA,OB)

120
�
OB  OC
OC  OA
�

�
� Q(O,120 ) (B) = C; �
� Q(O,120 ) (C) = A
�
0
(OB,OC)  120
(OC,OA)  1200
�
�
b) Vậy: Q(O,120 ) (  ABC) =  BCA

A

0

0

120 O120
120

0

0

Bài 11: Cho hình vuông ABCD tâm O
a) Tìm ảnh của điểm C qua phép quay tâm A, góc quay 900
b) Tìm ảnh của đường thẳng BC qua phép quay tâm O, góc quay 900
Giải:
a) Dựng AE = AC và (AE, AC) = 900
Vậy: Q(A ,90 ) (C) = E

b) Ta có: Q(O,90 ) (B) = C; Q(O,90 ) (C) = D

B

C

D

E

C

O

0

0

0

B

A

Vậy: Q(O,90 ) (BC) = CD
Bài 12: Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA. Tìm ảnh của
A
M
 AMN qua phép quay tâm O, góc quay 900.
B

’
’
Giải: Gọi M , N lần lượt là trung điểm của OA và OD
Ta có: Q(O,90 ) (A) = D; Q(O,90 ) (M) = N
M'
Q(O,90 ) (M’) = N’
N
0

0

0

0

O

Vậy: Q(O,90 ) (  AMN) =  DM’N’
0

N'
D

F

C

Bài 13: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đườngAtròn ngoại tiếp của nó. Tìm
ảnh của  OAB qua phép dời hình cóuuđược
bằng cách thực hiện liên tiếp phép quay tâm O, gócEquay

u
r
600 và qua phép tịnh tiến theo vectơ OE
O
Giải: Ta có: * Q(O,60 ) (O) = O; Q(O,60 ) (A) = B; Q(O,60 ) (B) = C
D
6
B
0

0

0

C


� Q(O,60 ) (  OAB) =  OBC
uuur
uuur
uuur
* TOE
(O) = E; TOE
(B) = O; TOE
(C) = D
uuur 
Vậy: TOE
( OBC) =  EOD
0

Bài 14: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. I là
trung điểm của AB.
F
Q
a) Tìm ảnh của  AIF qua phép quay (O,120 )
A
E
b) Tìm ảnh của  AOF qua phép quay Q(E,60 )
0

0

Giải: a) Gọi J là trung điểm của CD
Ta có: Q(O,120 ) (A) = C; Q(O,120 ) (I) = J; Q(O,120 ) (F) = B
Vậy: Q(O,120 ) (  AIF) =  CJB
0

0

I
O

0

D

B

0

J

b) Ta có: Q(E,60 ) (A) = C; Q(E,60 ) (O) = D; Q(E,60 ) (F) = O
Vậy: Q(E,60 ) (  AOF) =  CDO
0

0

0

C

0

Bài 15: Cho hai hình vuông vuông ABCD và BEFG (hình bên). Tìm ảnh của  ABG trong phép quay
tâm B, góc quay -900.
C
D
Giải:
Ta có: Q(B,90 ) (A) = C; Q(B,90 ) (B) = B; Q(B,90 ) (G) = E
G
F
Vậy: Q(B,90 ) (  ABG) =  CBE
0

0

0

0

A

E

B

Bài 16: Cho hình lục giác đều ABCDEF theo chiều dương, O là tâm đường tròn ngoại tiếp của nó. Tìm
F
một phép quay biến  AOF thành  CDO
EA  EC
�
A
E
� Q(E,60 ) (A) = C
Giải: Ta thấy: * �
0
(EA, EC)  60
�
0

EO  ED
EF  EO
�
�
� Q(E,60 ) (O) = D; * �
� Q(E,60 ) (F) = O
*�
0
0

(EO,
ED)

60
(EF,
EO)

60
�
�
B
Q
(

AOF)
Vậy: (E,60 )
=  CDO
0

O

0

D

0

C

Bài 17: Cho hai tam giác đều ABD và CBE (hình bên). Tìm một phép quay biến  ACD thành  BCE.

BA  BC
�
C
� Q(B,60 ) (A) = C
Giải: Ta thấy: * �
0
(BA, BC)  60
�
0

BD  BE
�
� Q(B,60 ) (D) = E
*�
0
(BD,
BE)


60
�
Vậy: Q(B,60 ) ( ABD) =  CBE
A
3. Bài tập tự luyện:
0
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc 90 , biết:
a) A(4; -2)
b) B(-5; 3)
c) C(-6; -7)
d) D(2; 9)

’
’
’
ĐS: a) A (2; 4)
b) B (-3; -5)
c) C (7; -6)
d) D’(-9; 2)
Bài 2: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép quay tâm O, góc -900, biết:
a) E(3; 5)
b) F(-4; 6)
c) M(7; -2)
d) N(-3; -8)
* Q(B,60 ) (B) = B
0

D

0

0

7

B

E


ĐS: a) E’(5; -3)
b) F’(6; 4)

c) M’(-2; -7)
d) N’(-8; 3)
Bài 3: Tìm tọa độ của điểm M sao cho Q(O,90 ) (M)  N , biết:
a) N(-3; 2)
b) N(4; -7)
c) N(-5; -1)
d) N(5; 9)
ĐS: a) M(2; 3)
b) M(-7; -4)
c) M(-1; 5)
d) M(9; -5)
Bài 4: Tìm tọa độ của điểm E sao cho F là ảnh của E qua phép quay tâm O, góc quay -90 0, biết:
a) F(4; 7)
b) F(3; -2)
c) F(5; -6)
d) F(-3; -8)
ĐS: a) E(-7; 4)
b) E(2; 3)
c) E(6; 5)
d) E(8; -3)
Bài 5: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết :
a) d: 2x – 3y + 2 = 0
b) d: 3x + y = 0
c) d: y – 3 = 0
d) d: x + 1 = 0
e) d: – 4x + 2y + 3 = 0
f) d: 2x + 5y – 2 = 0
g) d: x – 7y – 3 = 0
ĐS: a) d’: 3x + 2y + 2 = 0
b) d’: x – 3y = 0

c) d’: x + 3 = 0
d) d’: y + 1 = 0
e) d’: 2x + 4y – 3 = 0
f) d’: 5x – 2y – 2 = 0
g) d’: 7x + y – 3 = 0
0
Bài 6: Tìm ảnh của đt d qua phép quay tâm O, góc quay -90 , biết :
a) d: x + 3y – 1 = 0
b) d: 2x – y + 5 = 0
c) d: 3x – 2y = 0
ĐS: a) d’: 3x – y – 1 = 0
b) d’: x + 2y – 5 = 0
c) d’: 2x + 3y = 0
Bài 7: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900, biết
a) (C): (x + 1)2 + (y – 1)2 = 9
b) (C): x2 + (y – 2)2 = 4
2
2
c) (C): x + y – 4x – 2y – 4 = 0
d) (C): x2 + y2 + 2x – 4y – 11 = 0
ĐS: a) (C’): (x + 1)2 + ( y + 1)2 = 9
b) (C’): (x + 2)2 + y2 = 4
c) (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 = 9
d) (C’): (x + 2)2 + (y + 1)2 = 16
Bài 8: Tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép quay tâm O, góc quay -900, biết
a) (C): (x – 3)2 + (y + 5)2 = 16
b) (C): (x + 3)2 + y2 = 25
c) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0
d) (C): x2 + y2 + 10x – 8y – 8 = 0
ĐS: a) (C’): (x + 5)2 + (y + 3)2 = 16

b) (C’): x2 + (y – 3)2 = 25
’
2
2
c) (C ): (x + 2) + (y + 3) = 16
d) (C’): (x – 4)2 + (y – 5)2 = 49
Bài 9: Cho tam giác ABC và điểm O. Xác định ảnh của tam giác đó qua phép quay tâm O góc 60 0.
Bài 10: Cho hình bình hành ABCD và tâm O.
a) Tìm ảnh của OC qua phép quay tâm B, góc quay 900
b) Tìm ảnh của  AOB qua phép quay tâm O, góc quay -900
Bài 11: Cho hình vuông ABCD có tâm O theo chiều âm
a) Tìm ảnh của điểm A qua phép quay tâm C, góc quay -900
b) Tìm ảnh của đường thẳng AD qua phép quay tâm O, góc quay 900
Bài 12: Cho tam giác đều ABC, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm một phép quay
biến  ABC thành chính nó.
Bài 13: Cho hình vuông ABCD tâm O. Tìm một phép quay biến hình vuông ABCD thành chính nó.
Bài 14: Cho  ABC. Về phía ngoài tam giác, dựng ba tam giác đều BCA1, ACB1, ABC1
a) Tìm một phép quay biến  AC1C thành  ABB1
b) Tìm một phép quay biến  ACA1 thành  B1CB
IV. Phép vị tự:
1. Lý thuyết:
x�
 kx
�
�
a) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến điểm M thành điểm M’. Ký hiệu: V(O,k) (M)  M �
y�
 ky
�
)

b) Phép vị tự tâm O, tỉ số k biến đường tròn (C) thành đường tròn (C’). Viết: V(O,k) (C)  (C�
Gọi I, R và I’, R’ lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C) và (C’)
Khi đó: V(O,k) (I)  I �và R’ = k R
0

2. Bài tập mẫu:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
8


a) A(-3; 4), k = -2

b) B(2; -6), k =

1
2

c) C(4; 5), k = 3

Giải: a) V(O,2) (A)  A�
(6; -8)

b)

c) V(O,3) (C)  C�
(12; 15)

d)

V

(B)  B�
(1; -3)

V

(D)  D�
(2; 8)

1
(O, )
2

2
(O,  )
3

d) D(-3; -12), k = 

2
3

Bài 2: Tìm tọa độ của điểm A sao cho B là ảnh của A qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
1
1
a) B(-2; 6), k = 2
b) B(0; 3), k =
c) B(3; -1), k = -3
d) B(-5; -2), k = 
3

2
V
(A)

B
� A(0; 9)
Giải: a) V(O,2) (A)  B � A(-1; 3)
b) (O, 1 )
3

1
V
(A)  B �
c) V(O,3) (A)  B � A(-1; )
d) (O, 1 )
A(10; 4)
2
3
Bài 3: Tìm tỉ số k, biết V(O,k ) (A)  A�
:
’
a) A(-2; 4), A (1; -2)
b) A(4; 5), A’(-8; -10)
c) A(-3; -8), A’(-9; -24)
1
�k = 
� k = 2
�k = 3
Giải: a) V(O,k ) (A)  A�
b) V(O,k ) (A)  A�

c) V(O,k ) (A)  A�
2
Bài 4: Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
1
a) d: 4x – 3y + 1 = 0, k = -3
b) d: x – 4y + 2 = 0, k =
2
’
’
� d // d nên PT đt d có dạng: 4x – 3y + C = 0
Giải: a) * Cách 1: Gọi V(O,3) (d)  d�
Chọn A(2; 3)�d � V(O,3) (A)  A�
(-6; -9) �d’. Khi đó: -24 + 27 + C = 0 � C = -3
Vậy: PT đt d’ là: 4x – 2y – 3 = 0
* Cách 2: Chọn A(2; 3)�d � V(O,3) (A)  A�
(-6; -9) �d’ và B(-1; -1) �d � V(O,3) (B)  B�
(3; 3) �d’
x  x A� y  y A�
x 6 y9

�
� 12x – 9y – 9 = 0

PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:
x B� x A� y B� y A� 3  6 3  9
� 4x – 3y – 3 = 0
V (d)  d�
� d’ // d nên PT đt d’ có dạng: x – 4y + C = 0
b) * Cách 1: Gọi (O, 1 )
2

V (A)  A�
Chọn A(-2; 0) �d � (O, 1 )
(-1; 0) �d’. Khi đó: -1 + C = 0 � C = 1
2

’

Vậy: PT đt d là: x – 4y + 1 = 0

V (A)  A�
V (B)  B�
* Cách 2: Chọn A(-2; 0)�d � (O, 12 )
(-1; 0) �d’ và B(6; 2) �d � (O, 12 )
(3; 1) �d’
x  x A� y  y A�
x 1 y  0

�
� x – 4y + 1 = 0

x B� x A� y B� y A� 3  1 1  0
Bài 5: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
1
a) (C): (x – 2)2 + (y + 4)2 = 1, k = 
b) (C): x2 + y2 – 6x + 4y – 3 = 0, k = 4
2
V
(C)  (C�
)

Giải: a) Gọi (O, 1 )
. Từ (C), ta có: tâm I(2; -4) và bán kính R = 1
PT đt d’ đi qua 2 điểm A’, B’ là:

2

1
1
1
(I)  I�
(-1; 2) và bán kính R’ =  R = . Vậy: (C’): (x + 1)2 + (y – 2)2 =
2
2
4
) . Từ (C), ta có: tâm I(3; -2) và bán kính R = 4
b) Gọi V(O,4) (C)  (C�
Khi đó: V(O,4) (I)  I�
(12; -8) và bán kính R’ = 4 R = 16. Vậy: (C’): (x – 12)2 + (y + 8)2 = 256
Bài 6: Cho tam giác ABC. Tìm ảnh của B, C qua phép vị tự tâm A, tỉ số k, biết:
Khi đó:

V

1
(O,  )
2

9

a) k =

1
2

2
3
V 1 (C)  E

c) k = 

b) k = 2

M

uuur 1 uuur uuur 1 uuur
V (B)  D
B
Giải: a) Dựng AD  AB , AE  AC � (A ,21)
và (A ,2)
2
D
uuur 2
uuuu
r
uuur uuur
b) Dựng AM  2AB , AN  2AC
A
P
C

E
� V(A ,2) (B)  M và V(A ,2) (C)  N
Q
uuur
r
2 uuur uuu
2 uuur
V
(B)  Q
V
(C)  P
c) Dựng AQ   AB , AP   AC � (A , 23)
và (A , 23)
3
3
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD (theo chiều âm) có tâm O. Tìm ảnh của hình bình hành ABCD qua
phép vị tự tâm O, tỉ số k = 2
uuuu
r
uuur
A'
B'
Giải: a) Dựng OA �
 2OA � V(O,2) (A)  A �
A
uuur
uuur
u
u
u

u
r
u
u
u
r
; OC�
B
OB�
 2OB � V(O,2) (B)  B�
 2OC � V(O,2) (C)  C�
O
uuuu
r
uuur
.
C
D
OD�
 2OD � V(O,2) (D)  D�
D'
C'
Vậy: A’B’C’D’ là ảnh của hình bình hành ABCD qua phép vị
tự tâm O, tỉ số k = 2
3. Bài tập tự luyện
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) A(-3; 5), tỉ số k = -3
b) B(4; -1), tỉ số k = 2
c) C(-1; 3), tỉ số k = 4
1

2
1
d) D(-2; -8), tỉ số k = 
e) E(3; 9), k =
f) F(3; -7), tỉ số k =
2
3
3
7
ĐS: a) A’(9; -15) b) B’(8; -2)
c) C’(-4; 12)
d) D’(1; 4)
e) E’(2; 6)
f) F’(1;  )
3
Bài 2: Tìm tọa độ của điểm E sao cho F là ảnh của E qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
1
1
a) F(-2; 8), tỉ số k = 2
b) F(3; -2), tỉ số k =
c) F(5; 1), tỉ số k = 
2
4
ĐS: a) E(-1; 4)
b) E(6; -4)
c) F(-20; -4)
Bài 3: Tìm ảnh của các đt d sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) d: 5x – 2y + 2 = 0, tỉ số k = 3
b) d: 3x + y – 4 = 0, tỉ số k = -2
1

2
c) d: 4x – y = 0, tỉ số k 
d) d: x + 3y – 2 = 0, tỉ số k = 
3
3
’
’
’
ĐS: a) d : 5x – 2y + 6 = 0
b) d : 3x + y + 8 = 0
c) d : 4x – y = 0
d) d’: 3x + 9y + 4 = 0
Bài 4: Tìm ảnh của các đường tròn (C) sau qua phép vị tự tâm O, tỉ số k, biết:
a) (C): (x – 3)2 + (y + 1)2 = 4, tỉ số k = -3
b) (C): x2 + y2 – 2x + 6y – 2 = 0, tỉ số k = 4
1
1
c) (C): (x + 2)2 + (y – 8)2 = 9, tỉ số k =
d) (C): x2 + y2 + 6x – 18y + 3 = 0, tỉ số k = 
2
3
’
2
2
’
2
2
ĐS: a) (C ): (x + 9) + (y – 3) = 4
b) (C ): (x – 4) + (y + 12) = 12
c) (C’): (x + 1)2 + (y – 4)2 = 9

d) (C’): (x – 1)2 + (y + 3)2 = 87
Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm của tam giác. Tìm ảnh của tam giác ABC qua
1
phép vị tự: a) Tâm G, tỉ số k =
b) Tâm G, tỉ số k = 2
c) Tâm A, tỉ số k = -2
2
Bài 6: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm tam giác. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh
1
BC, CA, AB. Xác định ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự tâm G, tỉ số k =
2

10

N