Lời giải các bài toán về thể tích khối đa diện

BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài 1: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có khoảng cách giữa hai đường
thẳng AB và A1D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5.
a) Hạ AK ⊥ A1 D ( K ∈ A1 D) . Chứng minh AK = 2
b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1.
Giải:
A

x

B

x

x
2

D

C
x
K

h
5
A1

D1

B1

a) Chứng minh AK = 2:
AB ⊥ (ADD1A1) ⇒ AB ⊥ AK và Gt: AK ⊥ A1D
⇒ AK là đoạn vuông góc chung của AB và A1D
Vậy AK = d ( AB, A1D ) ⇒ AK = 2
b) Tính thể tích V của khối lăng trụ ABCD.A1B1C1D1:
Đặt h = AA1 là chiều cao của khối lăng trụ; x là cạnh
đáy hình vuông.
Gt AK = 2; A1D = 5
∆DAA1 vuông tại A có AK là đường cao nên:
AK.A1D = AD.AH ⇔ 10 = x.h và
2
2
2
2
AD2 + AA1 = A1 D ⇔ x + h = 25
 x + h = 3 5
 x 2 + h 2 = 25 ( x + h) 2 = 45
⇔
⇔
Giải hệ: 
 xh = 10
 xh = 10
 xh = 10
 x = 2 5; h = 5 ⇒ V = x 2 h = 20 5
⇔
 x = 5; h = 2 5 ⇒ V = x 2 h = 10 5

C1

·
Bài 2: Cho khối lăng trụ đứng ABCD.A 1B1C1D1 có đáy là hình bình hành và BAD
= 450
Các đường chéo AC1 và DB1 lần lượt tạo với đáy những góc 45 0 và 600. Hãy tính thể
tích của khối lăng trụ nếu biết chiều cao của nó bằng 2.

Giải:
D1

A1

· AC
Gt: (AC1, (ABCD)) = 450 = (AC1,AC) = C
1
· DB
(DB1, (ABCD)) = 600 = (DB1, DB) = B
1
µ = 1v ⇒ AC = CC .cot C
· AC = 2.cot 450 = 2
∆ACC1 , C
1
1

C1
B1

µ = 1v ⇒ BD = BB .cot B
· DB = 2.cot 600 = 2 3
∆DBB1 , B
1

1
3

Đặt AD = BC = x ; AB = DC = y
2
D

C

A

B

∆ADC có : AC 2 = AD 2 + DC 2 − 2. AD.DC .cos ·ADC
⇔ 4 = x 2 + y 2 − 2 xy cos1350 = x 2 + y 2 + 2 xy cos 450 (1)
·
∆BCD có : BD 2 = BC 2 + CD 2 − 2.BC.CD.cos BCD

4
= x 2 + y 2 − 2 xy cos 450 (2)
3
16
8
2
2
2
2
Từ (1) và (2) ⇒ = 2( x + y ) ⇒ x + y = thay
3
3

⇔

83

Nguyễn Công Mậu


BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

vào (2) có:

4 8
2
4
= − 2 xy.
⇔ xy =
3 3
2
3 2

1
xy 2
4
2 2
S ABCD = 2.S BCD = 2. BC.CD.sin C = xy.sin 450 =
=
.
=
2
2

3
3 2 2
2
4
Vậy V = SABCD. CC1= .2 =
(đvdt)
3
3

Bài 3: Cho khối lăng trụ ABC.A 1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh
huyền AB = 2 . Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 =
3 , góc ·A1 AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (A1AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. Hãy
tính thể tích của khối lăng trụ.
Giải:
A1

B1

C1
3

h

cũng vuông cân tại K ⇒ AH = HK . 2 =

h 2
3

µ = 1v ⇒ A H 2 + HA2 = A A2
∆A1 HA, H

1
1

H
K
C

2h 2
3
= 3 ⇔ 5h 2 = 9 ⇔ h =
3
5
1
1
3 3CA2
V = S ABC . A1 H = CA.CB.h = CA2 .
=
2
2
5 2 5
∆ACB có : AC 2 + CB 2 = AB 2 ⇔ 2 AC 2 = 2
3
(đvdt)
⇔ AC 2 = 1 . Vậy V =
2 5
⇔ h2 +

2

A

Gt: ( A1 AB) ⊥ ( ABC ) . Từ A1 dựng A1H vuông
góc AB tại H thì A1 H ⊥ ( ABC ) ⇒ A1 H là chiều
cao lăng trụ. Đặt A1H = h
Dựng HK ⊥ AC tại K (HK // BC) . ∆ AKH

B

Bài 4: (Dự bị B2-2006) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều,
cạnh đáy AB = a, cạnh bên AA’ = b. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và
(A’BC). Tính tan α và tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C.
Giải:
* Tính tan α :
+ Gọi H là tâm tam giác đều ABC. Do A’.ABC là hình chóp tam giác đều nên hình chiếu
vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với H.
+ Gọi M là giao điểm của AH với BC thì AM ⊥ BC.
Mặt khác: A’B = A’C = A’A = b ⇒ A ' M ⊥ BC
·
Vậy góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC) là: α = AMA'
∆ A’HM vuông tại H (vì A’H ⊥ (ABC))
A'H
·
⇒ tan α = tan AMA
'=
MH
84

Nguyễn Công Mậu

BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

C’
A’

∆ ABC đều có cạnh a nên AM = a
⇒ AH =

B’
b

A’H =

2
a 3
1
a 3
;
AM =
; MH = AM =
3
3
3
6
a2
3b 2 − a 2
A ' A2 − AH 2 = b 2 −
=
3
3

Vậy tan α =

A
C
a

3
2

3b 2 − a 2 a 3 2 3b 2 − a 2
:
=
3
6
a

* Tính thẻ tích V của khối chóp A’.BB’C’C:

H
M
B

V = VA ' B 'C '. ABC − VA'. ABC

V=

a 2 3b 2 − a 2
6

1
2
2  1 a 3  3b 2 − a 2
= S ABC . A ' H − S ABC . A ' H = S ABC . A ' H =  a.
÷.
3
3
32
2 ÷
3


(đvtt)

· B = 2ϕ .
Bài 5: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có chiều cao bằng h và góc AS
Hãy tính thể tích khối chóp.

Giải:
S

A
C
H
M

Tính VS.ABC :
+ Gọi H là hình chiếu của S trên (ABC).
Vì: SA = SB = SC ⇒ HA = HB = HC → H là tâm của tam
giác đều ABC.

+ Gọi M là giao điểm của CH và AB thì M là trung điểm
của AB và SM ⊥ AB.
+ Đặt AB = 2x ⇒ AM = BM = x (x > 0)
· B = 2ϕ ⇒ ASM
·
·
+ gt: AS
= BSM
= ϕ (00 < ϕ < 900 )
¶ = 1v ⇒ SM = AM cot AS
· M = x cot ϕ
+ ∆ASM, M

MH =
B

1
1
3 1
3 x 3
CM = AB.
= .2 x.
=
3
3
2 3
2
3
2

µ = 1v ⇒ SH 2 + MH 2 = SM 2 ⇔ h 2 + x = x 2 cot 2 ϕ
+ ∆SHM, H
3

⇒x=

2

3h
3cot 2 ϕ − 1

1
11
1
2x 3
3
3h3

VS . ABC = S ABC .SH =  AB.CM ÷.h = h.2 x.
= x 2 h.
=
(đvtt)
3
3 2
6
2
3 3cot 2 ϕ − 1


Bài 6: Khối chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C và SA ⊥ ( ABC ) , SC

= a. Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích khối chóp lớn nhất.
Giải: Tìm góc giữa hai mặt phẳng (SCB) và (ABC) để thể tích S.ABC lớn nhất:
85

Nguyễn Công Mậu


BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

+ gt: SA ⊥ ( ABC ) & AC ⊥ CB ⇒ SC ⊥ CB
·
(00 < α < 900 )
+ Gọi α = ( ( SCB), ( ABC ) ) ⇒ α = SCA

S

a
A

B
C

·
 SA = SC.sin SCA
= a sin α
µ
∆
SAC
,
A

=
1
v
⇒
+

·
= acosα
 AC = SC.cos SCA
1
1 1
1 2 2
2
+ VS . ABC = S ABC .SA = . AC .SA = a cos α .a sin α
3
3 2
6
1
VS . ABC = a 3cos 2α .sin α
6
+ Xét hàm số: f (α ) = cos 2α .sin α , 00 < α < 900

f '(α ) = −2 cos α .sin α + cos3α = −2 cos α (1 − cos 2α ) + cos 3α = 3cos 3 α − 2 cos α = cos α
2

0
0
Vì: 0 < α < 90 ⇒ cosα > 0 ⇒ cosα

(

)

(

3cosα − 2

)(

3cosα + 2

)

3cosα + 2 > 0

Do đó: f '(α ) = 0 ⇔ 3cosα − 2 = 0 ⇔ cosα =

2
⇔ α = β;
3

0
0
Lập bảng biến thiên hàm số f( α ) trên khoảng ( 0 ; 90 ) :
α
β
00
900
P
f’( α ) P

+
0
fmax
f( α )
P0
0P


 cosβ =



2 0
; 0 < β < 900 ÷
÷
3


2
Ta có f( α ) lớn nhất ⇔ cosα =
.
3

2
Vậy thể tích S.ABC lớn nhất ⇔ f( α ) lớn nhất ⇔ cosα =
.
3

Bài 7: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD mà khoảng cách từ đỉnh A đến mp(SBC)
bằng 2a. Với giá trị nào của góc giữa mặt bên và mặt đáy của khối chóp thì thể tích của

khối chóp nhỏ nhất ?
Giải: Tìm góc giữa mặt bên và mặt đáy để thể tích S.ABCD nhỏ nhất:
S
+ Gọi O là tâm hình vuông ABCD thì SO vuông góc
với (ABCD) và SO là chiều cao của khối chóp
S.ABCD.
+ Gọi MN là đường trung bình của hình vuông ABCD
với M∈ CD và N ∈ AB.
+ CD ⊥ (SMN), trong (SMN) vẽ NK ⊥ SM, khi đó NK
⊥ CD ⇒ NK ⊥ (SCD). Vậy NK = d ( N , ( SCD) )
K
+ Vì AB//CD ⇒ AB//(SCD)
B ⇒ A, ( SCD)
) = NK = 2a.
d(
C
Ta có: SM ⊥ CD và MN ⊥ CD
·
⇒ SMN
= α = ( ( SCD), ( ABCD ) )
N
M
O
µ = 1v ⇒ MN = NK = 2a ⇒ OM = a
∆NKM , K
A
D
·
sin α
sin α

sin NMK
86

Nguyễn Công Mậu


BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

µ = 1v ⇒ SO = OM tan α = a
+ ∆SOM , O

cosα
1
1
1 4a 2
a
4a 3
2
=
+ VS . ABCD = S ABCD .SO = MN .SO = . 2 .
3
3
3 sin α cosα 3sin 2 α cosα
Vậy VS . ABCD nhỏ nhất ⇔ f (α ) = sin 2 α cosα lớn nhất, với 00 < α < 900
f '(α ) = 2 cos 2 α .sin α − sin 3α = 2sin α (1 − sin 2α ) − sin 3α = 2sin α − 3sin 3 α

 2
 2

= 3sin α 

+ sin α ÷
− sin α ÷
÷
÷
 3
 3

2
2
2
f '(α ) = 0 ⇔
− sin α = 0 ⇔ sinα =
⇔ α = arcsin
3
3
3
0
0
Lập bảng biến thiên hàm số f( α ) trên khoảng 0 ; 90 :

(

α

00

f’( α )
f( α )

arcsin

P

+

2
3

0

)

900
-

P

fmax
P0

0P

2
Ta có f( α ) lớn nhất ⇔ α = arcsin
.
3

2
Vậy thể tích S.ABCD nhỏ nhất ⇔ f( α ) lớn nhất ⇔ α = arcsin
.

3

Bài 8: Khối chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) ; đáy là ∆ABC cân tại A, độ dài trung tuyến AD
= a, cạnh SB tạo với đáy một góc α và tạo với mặt (SAD) góc β . Tính thể tích khối
chóp.
Giải: Tính thể tích khối chóp S.ABC:
+ SA ⊥ (ABCD) nên AB là hình chiếu SB trên (ABC)
⇒ ·ABS = α = ( SB, ( ABC ) )
+ BC ⊥ AD và BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAD) nên SD là hình
·
= β = ( SB, ( SAD) )
chiếu của SB trên (SAD) ⇒ BSD

S

+ ∆SAB, µA = 1v ⇒ AB = SB.cosα
µ = 1v ⇒ BD = SB.sinβ
+ ∆SDB, D
µ = 1v ⇒ AD 2 = AB 2 − BD 2
+ ∆ADB, D

A

C
D

⇔ a 2 = SB 2 (cos 2α − sin 2 β ) ⇒ SB =

Vậy BD =

a
cos 2α − sin 2 β

a sin β
cos 2α − sin 2 β

B

SA = SB sin α =

a.sin α
cos 2α − sin 2 β
87

Nguyễn Công Mậu


BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

VS . ABC

1
1 AD.BC
1
= .S ABC .SA = .
.SA = . AD.BD.SA
3
3
2
3

1
a sin β
a sin α
1 a 3 sin α sin β
= a.
.
= .
2
2
3
cos 2α − sin 2 β cos 2α − sin 2 β 3 cos α − sin β

(đvtt)

Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A trên SB và SD. Mặt
phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ .
Giải: Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’:
+ Trong (SBD) gọi I là giao điểm của B’D’ và SO.
Trong (SAC), gọi C’ là giao điểm của AI với SC thì:
C’là giao điểm của (AB’D’) với SC
+ ∆SAB = ∆SAD ⇒ SB = SD

S

+ SB ' =

2a
C’

D’

SA2 SA2
SB ' SD '
=
= SD ' ⇒
=
(*)
SB
SD
SB SD

+ VS,AB’C’ + VS.AC’D’ = VS.AB’C’D’
1
1
VS.ABCD = V (đặt VS.ABCD = V)
2
2
SB ' SC '
2V
SB ' SC '
=
.
.
hay: S . AB 'C ' =
SB SC
V
SB SC

+ VS,ABC = VS.ACD =

I
B’
A

D
O

B

a
C

VS . AB 'C '
VS . ABC

Tương tự:
2VS . AC ' D ' SD ' SC ' SB ' SC '
=
.
=
.
(do SD = SB )
V
SD SC
SB SC
SB '.SC '
SB '.SC ' 2a 3
⇒ 2VS . AB 'C ' D ' = 2
.V = 2.

.
SB.SC
SB.SC 3

SB '.SC ' 2a 3
⇒ VS . AB 'C ' D ' =
.
SB.SC 3
SA2
SB ' SA2
4a 2
4a 2
4
⇒
= 2 = 2
=
=
Vì: SB ' =
2
2
2
SB
SB SB
SA + AB
4a + a
5
+ ta có: BC ⊥ AB & BC ⊥ SA ⇒ BC ⊥ (SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' . Mặt khác: SB ⊥ AB '
Vậy AB ' ⊥ ( SBC ) ⇒ AB ' ⊥ SC ; tương tự: AD ' ⊥ SC ⇒ SC ⊥ ( AB ' D ') ⇒ SC ⊥ AC '

Tam giác SAC vuông tại A và AC’ là đường cao nên:

SC ' SA2
4a 2
4a 2
2
=
=
=
=
2
2
2
2
2
SC SC
SA + AC
4 a + 2a
3
3
3
4 2 2a 16a
= . .
=
5 3 3
45

SC’.SC = SA2 ⇒
⇒ VS . AB 'C ' D '

Bài 10: Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông cân với cạnh
huyền AB = 2 . Cho biết mặt phẳng (AA1B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1 =

88

Nguyễn Công Mậu


BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

3 , góc ·A1 AB nhọn, góc giữa mặt phẳng (A1AC) và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. Hãy

tính thể tích của khối lăng trụ.
Giải: Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1B1C1
+ Gt: ( A1 AB) ⊥ ( ABC ) . Từ A1 dựng A1H ⊥ AB tại H
A1
B1
2
⇒ A1 H ⊥ ( ABC ) ⇒ A1H là chiều cao lăng trụ.
Đặt A1H = h
+ Dựng HK ⊥ AC tại K (HK//BC) thì ∆ AKH cũng
vuông cân tại K.
C1
HK là hình chiếu của A1K trên (ABC) mà AC ⊥ HK
nên AC ⊥ A1K.
h
3
Vậy ( ( A1 AC ), ( ABC ) ) = ·A1 KH = 600 .
∆ A1HK vuông tại H:
A

H

B

h
⇒ HK = A1 H .cot ·A1 KH = h cot 600 =
3
∆ AHK vuông cân tại K ⇒ AH = HK 2 =

K
C

h 2
3

2
2
2
∆ A1HK vuông tại H ⇒ A1 H + HA = A1 A

⇔ h2 +

2h 2
3
= 3 ⇔ 5h 2 = 9 ⇒ h =
3
5

1
1
3
V = S ABC . AH = .CA.CB.h = CA2 .

2
2
5
2
2
2
µ = 1v ⇒ AC + CB = AB ⇔ 2 AC 2 = 2 ⇒ AC = 1
∆ABC , C
3
Vậy V =
(đvtt)
2 5

Bài 11. (DB A1-08PB) Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại đỉnh B,
BA = BC = 2a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng đáy (ABC) là trung điểm E
của AB và SE = 2a. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của EC, SC. M là điểm di động trên tia
∧
đối của tia BA sao cho ECM = α (α < 90 0 ) và H là hình chiếu vuông góc của S trên MC. Tính
thể tích của khối tứ diện EHIJ theo a; α và tìm α để thể tích đó lớn nhất.
Giải:
* Tính thể tích của khối tứ diện EHIJ:
+ Gọi V là thể tích khối tứ diện EHIJ. Ta có:
1
S .h , với S là diện tích ∆IHE và h là chiều cao của khối tứ diện.
3
1
1
+ GT suy ra IJ// SE và IJ= SE = .2a = a ; Vì SE ⊥ ( ABC ) ⇒ IJ ⊥ ( IHE ) . Vậy h = IJ = a
2
2

1
∆ EBC vuông tại B có EB = AB = a; BC = 2a nên EC = BC 2 + BE 2 = (2a) 2 + a 2 = a 5
2
+ Vì SE ⊥ (ABC) nên HE là hình chiếu của SH trên
S
mặt phẳng (ABC), do SH ⊥ CM nên EH ⊥ CM. Vậy
·
·
tam giác CHE vuông tại H và có ECH
= ECM
=α

V=

89

Nguyễn Công Mậu


BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

J

C

A
I

·
⇒ CH = CE.cos ECH

= a 5.cosα
1
1
⇒ S ∆ECH = CE.CH .sin α = .a 5.a 5cosα .sin α
2
2
2
5a
=
.sin 2α
4

Do I là trung điểm của CE

H

E
B

1
5a 2
S ∆ECH =
.sin 2α
2
8
5a 3
.sin 2α
Vậy V =
24
* Tìm α để thể tích V của khối tứ diện EHIJ lớn

nên S =

nhất:

M

5a 3
5a 3
.sin 2α ≤
(do sin 2α ≤ 1) .
24
24
Vậy V lớn nhất ⇔ sin 2α = 1 ⇔ 2α = 900 ⇔ α = 450
Ta có: V =

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a, SA = a 3 và SA
vuông góc với mặt phẳng đáy, gọi M là trung điểm của SD. Tính theo a thể tích khối tứ diện
SAMC và côsin của góc giữa hai đường thẳng SB, AC.
Giải:
S

* Tính thể tích của khối tứ diên SAMC:
+ Gọi V, V1, V2 lần lượt là thể tích của khối tứ
diện SAMC, khối chóp S.ACD, M.ACD , ta
có: V = V1 - V2
+ SA ⊥ (ABCD) nên SA là chiều cao của khối
chóp S.ACD.

M

Vậy V1 =

1
1
1
a3 3
SA.S ACD = .a 3. AD.DC =
3
3
2
6

Gọi H là trung điểm của AD thì MH//SA nên
A

H

1
3
SA = a
2
2
1
1
3 1
a3 3
V2 = MH .S ACD = .a . AD.DC =
3
3 2 2

12
3
3
3
a 3 a 3 a 3
Vậy V =
−
=
6
12
12

MH ⊥ (ABCD) và MH =

D

O
B

C

* Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng
SB, AC:
Ta có: MO là đường trung bình của tam giác SBD nên:
1
2

MO = SB =

1

1
SA2 + AD 2 =
3a 2 + a 2 = a và MO//SB nên góc giữa SB và AC là góc giữa
2
2

OM và AC
1
2

OA = AC =

a 2
3a 2 a 2
; AM = AH 2 + MH 2 =
+
=a
2
4
4
90

Nguyễn Công Mậu


BÀI TẬP THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

a2
+ a2 − a2
2

2
2
OA
+
OM
−
AM
1
= 2
=
Trong tam giác OAM có: cos ·AOM =
2.OA.OM
a 2
2 2
2.
.a
2
1
Vậy cos ( SB, AC ) = cos ( OM , OA ) =
2 2

91

Nguyễn Công Mậu