02 1 huong dan giai

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài toán 01: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ TRÊN TẬP XÁC ĐỊNH.
Bài 1: Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 với giá trị cực đại của hàm số là
y(0) = −1 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2 với giá trị cực tiểu của hàm
số là y(2) = 3 .
Bài 2:
1. Hàm số đạt cực tiểu tại x = − 2 ,yCT = y ( −2) = −9 ; hàm số đạt cực đại tại
x = 1, yCĐ = y ( 1) =

9
.
2

2. Ta có: y' = 3x2 + 6x + 3 = 3(x + 1)2 ≥ 0 ∀x ⇒ Hàm số không có cực trị.
3. Hàm số đạt cực đại tại x = 1;y ( 1) =

29
14
và đạt cực tiểu tại x = 2;y ( 2) =
.
6
3

Bài 3:
1. Cách 1 (dùng định lý 2, xét dấu y’)
Hàm số đạt cực đại tại các điểm x = ±1 với giá trị cực đại của hàm số là
y(±1) = 2 và hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 với giá trị cực tiểu của hàm
số là y(0) = 1.
Cách 2 (dùng định lý 3 ).
y'' = −12x2 + 4 = −4(3x2 − 1)

y''( ±1) = −8 < 0 suy ra x = ±1 là điểm cực đại của hàm số và yCĐ = 2
y''( 0) = 4 > 0 suy ra x = 0 là điểm cực đại của hàm số và yCT = 1

2. Hàm đạt cực đại tại x = −2 với giá trị cực đại của hàm số là y(−2) = 25 ,
hàm số không có cực tiểu.
 y'(1) = 0
Nhận xét .Trong bài toán này, vì 
do đó định lý 3 không khẳng
 y''(1) = 0
định được điểm x = 2 có phải là điểm cực trị của hàm số hay không
15
3. Điểm cực đại của hàm số là x = −1, yCĐ =
4
 y'(2) = 0
Nhận xét .Trong bài toán này, vì 
do đó định lý 3 không khẳng
 y''(2) = 0
định được điểm x = 2 có phải là điểm cực trị của hàm số hay không.
4. Hàm đạt cực đại tại x = −2 , y ( −2) = 25, hàm số không có cực tiểu.
Bài toán 02: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ CỦA HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ
TUYỆT ĐỐI, CHỨA CĂN THỨC.
Bài 1:

37


2
1. Ta có y = 1+ (x − 1) ⇒ y' =

x−1
(x − 1)2

. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1,yCÑ = 1.

2. Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm x = 0,y ( 0) = 0 , hàm số đạt điểm cực
tiểu tại điểm x = 1,y ( 1) = −2 .
Bài 2:
1.

2.

x− 2

x2 − 4x + 6 − (x − 2)
y' =

x2 − 4x + 6

x2 − 4x + 6
2x x + 1 − (x2 + 20)

y' =

x+1

=

2
2

x − 4x + 6(x − 4x + 6)

> 0,∀x ∈ ¡ .

1

2
2
2 x + 1 = 4x(x + 1) − (x + 20) = 3x + 4x − 20
2x x + 1
2x x + 1

x > −1
y' = 0 ⇔  2
⇔ x= 2
3x + 4x − 20 = 0
Bài 3:
1. Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 2 , y

(

2

)

( 2) = 2 và đạt cực tiểu tại điểm

x = − 2, y − 2 = −2 .
2. Ta có: y' = 2 −

x
2

x −3

=

2 x2 − 3 − x
2

x −3

⇒ y' = 0 ⇔ 2 x2 − 3 = x

x ≥ 0
⇔ 2
⇔ x = 2 và hàm số không có đạo hàm tại x = ± 3 .
2
4(x − 3) = x
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2, y(2) = 3 , hàm số không có cực đại
Bài 4:
1. Hàm số đạt điểm cực đại tại điểm x = 0,y ( 0) = 0 , hàm số đạt điểm cực
tiểu tại điểm x = 1,y ( 1) = −2 .

2. Hàm số có điểm cực đại tại x = 0 , y ( 0) = 3 3 .
Bài 5:
1. Ta có: y' =

2x − 1

+

2x + 1

,y' = 0 ⇔ x = 0
2 x2 − x + 1 2 x2 + x + 1

3
−x + 2
2
2. y' = − x + 4x − 3 +  x + ÷
2  −x2 + 4x − 3


3
9
−x2 + 4x − 3 +  x + ÷(−x + 2)
−2x2 + x
2


2
=
=
, x ∈ (1;3)
2
2
− x + 4x − 3
−x + 4x − 3

38


x ∈ (1;3)
x ∈ (1;3)
9


y' = 0 ⇔ 
⇔

9⇔ x=
2 9
4
−2x + x = 0 x = 0 ∨ x =

2

4
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 9 , y = 15 15
CĐ
4
16
Bài toán 03: TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC.
Bài 1:
π
π
+ k ,k ∈ ¢
4

2
π
π
π
 −8 khi k = 2n
y'' = −8sin2x ⇒ y'' + k ÷ = −8sin  + kπ ÷ = 
2
4
2
 8 khi k = 2n + 1

1. Ta có : y' = 4cos2x ⇒ y' = 0 ⇔ cos2x = 0 ⇔ x =

Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm x =
tại x =

π
+ nπ ,
4

π

y  + nπ ÷ = −1 và đạt cực đại
4


π
π π
π
+ ( 2n + 1) , y  + ( 2n + 1) ÷ = −5 .

4
2 4
2
3

3

3


x 
x

x
x
x
x
2. sin + cos
=  sin2 ÷ +  cos2 ÷ =  sin2 + cos2 ÷ − 3sin2 cos2
4
4 
4 
4
4
4
4
4

3
x

3 1− cosx 5 + 3cosx
= 1− sin2 = 1− .
=
4
2
4
2
8
 x = 2kπ
3
y' = − sinx ⇒ y' = 0 ⇔ sinx = 0 ⇔ 
,k ∈ ¢ .
8
 x = (2k + 1)π
6x

6x

3
3
3
y'' = − cosx,y''(2kπ) = − cos(2kπ) = − < 0
8
8
8
Suy ra hàm số đạt cực đại tại các điểm x = 2kπ ,k ∈ ¢ ,yCĐ = 1.
3
3
y''[(2k + 1)π] = − cos π = > 0
8

8
Bài 2:
1. Ta có : y' = − sinx sinx +

cosx

.cosx =

1− 3sin2 x

.
2 sinx
2 sinx
  π
x ∈  0; ÷
 π
2  ⇔ sinx = 1 *
( )
Trên khoảng  0; ÷: y' = 0 ⇔  
3
 2
sin2 x = 1

3
1
Tồn tại góc β sao cho sin β =
, khi đó ( *) ⇔ x = β .
3

39

Với sin β =

1

6
và y ( β ) = cosβ sinβ =
3

thì cosβ =

3

Suy ra hàm số đạt cực đại tại x = β , y ( β ) =

4 12

3

4 12

3

với sin β =

1
3

.

2. y = cos3 x+sin3 x + 3sin2x = ( cosx + sinx) ( 1− cosx.sinx) + 3sin2x Vì
1
1
( 2− 2cosx.sinx) = 2( 2− sin2x) > 0
2
Nên y = cosx + sinx ( 1− cosx.sinx) + 3sin2x

1− cosx.sinx =

2
Đặt t = cosx + sinx ⇒ cosx.sinx = t −1,0 ≤ t ≤

2

2

1
3
3
3
Khi đó y = f ( t) = − t3 + t2 + t −
, 0≤ t ≤ 2
2
2
2
2
3
3
2

Ta có : y' = −t2 + 2t + 1 =  2 − ( t − 1)  > 0,∀t ∈ 0; 2 , suy ra hàm số không



2
2 
có cực trị .
Bài toán 04: TÌM ĐIỂM LIÊN QUAN ĐẾN CỰC TRỊ CỦA SỐ HÀM SỐ
Bài 2:
uuuu
r uuu
r
AM = NB
Cách 1: 
AM = AN
Cách 2: ( d ) cần tìm đi qua trung điểm AB và vuông góc AB

(

)

Dạng 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Bài toán 01: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ HOẶC KHÔNG CÓ CỰC
TRỊ.
Bài 1:
1. Ta có: y' = 3mx2 + 6mx − m + 1. Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm nên x0
là điểm cực trị của hàm số thì đạo hàm tại đó phải bằng 0.
Vậy hàm số có cực trị khi và chỉ khi y' = 0 phải có nghiệm và y' đổi dấu
qua nghiệm đó.
* Nếu m = 0 ⇒ y' = 1 > 0 ∀x ∈ ¡ ⇒ hàm số không có cự trị

* Nếu m ≠ 0 . Khi đó y' là một tam thức bậc hai nên y' = 0 có nghiệm và
đổi dấu khi qua các nghiệm ⇔ y' = 0 có hai nghiệm phân biệt hay m < 0
1
hoặc m > .
4
2. Ta có y' = 4mx3 − 2( m − 1) x và y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc 2mx2 + m − 1 = 0 ( *)
Hàm số chỉ có một cực trị khi phương trình y' = 0 có một nghiệm duy nhất
và y' đổi dấu khi x đi qua nghiệm đó .Khi đó phương trình

40


2mx2 + m − 1 = 0

( *)

vô nghiệm hay có nghiệm kép x = 0

m = 0
m = 0
m ≤ 0

⇔  m ≠ 0
⇔
⇔
m
<
0
∨
m

≥
1
m ≥ 1
 ∆ ' = −2m ( m − 1) ≤ 0 



y ′= 2x3 − 2mx = 2x(x2 − m) và y ′= 0 ⇔ x = 0 hoặc x2 = m
Đồ thị của hàm số đã cho có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ phương trình
y ′= 0 có 1 nghiệm ⇔ m ≤ 0
Bài 2:

Bài 3:
1. Hàm số có cực trị ⇔ y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' = m2 − 4m + 5 > 0
đúng với mọi m. Vậy hàm số luôn có cực trị với mọi m.
1
2. • Với m = 0 ta có y = −x2 + x − 1, ta thấy hàm số đạt cực đại tại x = .
2
Suy ra m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.
• m ≠ 0 , ta có: y' = 0 ⇔ mx2 − 2x + 1− 2m = 0 (*)
Hàm số đã cho có cực trị khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm
∆ ' = 1− m(1− 2m) > 0
1

⇔ 1
⇔ 2m2 − m + 1 > 0 đúng với mọi m.
phân biệt khác
m
−
+

1
−
2m
≠
0

 m
3. Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ phương trình x2 + 2mx + m2 − 2m + 3 = 0 có
∆ ' = 2m − 3 > 0
3
⇔ m> .
hai nghiệm phân biệt khác − m ⇔ 
2
−2m + 3 ≠ 0
4. + Nếu m = 0 thì y = x2 − 2 ⇒ hàm số có một cực trị
1
. Hàm số có cực trị khi phương trình
m
1− m2 > 0

1
⇔
⇔ −1< m < 1.
mx2 − 2x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác
1
m
≠0
m −

m

+ Nếu m ≠ 0 hàm số xác định ∀x ≠

Bài 4: f '(x) = x2 + 2x + 3a ; g'(x) = x2 − x + a . Ta cần tìm a sao cho g′ (x) có 2
nghiệm phân biệt x1 < x2 và f ′ (x) có 2 nghiệm phân biệt x3 < x4 sao cho
∆1′ = 1− 3a > 0 ; ∆ 2 = 1− 4a > 0 a < 1
 x1 < x3 < x2 < x4
4
⇔
⇔
(*)


′
′
x
<
x
<
x
<
x
f
x
f
x
<
0
(
)
(

)

1
4
2
1
2
 3
′
′

f
x
f
x
<
0
(
)
(
)
1
2


Ta có: f′ ( x1 ) f′ ( x2 ) < 0 ⇔ g′ ( x1 ) + 3x1 + 2a g′ ( x2 ) + 3x2 + 2a < 0 ⇔

< a< 0
( 3x1 + 2a) ( 3x2 + 2a) < 0 ⇔ 9x1x2 + 6a( x1 + x2 ) + 4a2 = a( 4a + 15) < 0 ⇔ − 15
4

Bài 6:

41


b ≠ 0
 b2 − a2b
=0


 y'(0) = 0  b2
a ≠ − b
⇒ 2
⇒ 2 2
1. Điều kiện cần : 
2
2
 y'(1) = 0  a + 2ab + b − a b = 0  b − a b = 0

a2 + 2ab + b2 − a2b = 0
(a + b)2


b ≠ 0
b ≠ 0
b ≠ 0

1




a= −
a
≠
−
b
a
≠
−
b

a
≠
−
b




2.
⇒
⇒
⇒
⇒
2
2
2
b
−

a
=
0
b
=
a
1

b = a

b =
a2 + 2ab = 0 a + 2b = 0 a + 2a2 = 0 
4



 y'(0) = 0
c = 0
c = 0
a = 1




 y(0) = 2
d = 2
d = 2
 b = −3
⇒
⇒

⇒
2. 



y'(2)
=
0
12a
+
4b
+
c
=
0
3a
+
b
=
0



c = 0
 y(2) = −2 8a + 4b + 2c + d = −2 8a + 4b + 2 = −2 d = 2




a

=
1,b
=
−
3,c
=
0
,d
=
2
Kiểm lại : Khi
thỏa mãn bài toán.
Bài toán 02: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ TẠI ĐIỂM .
Bài 1:
1. y' = 0 ⇔ x = m hoặc x = m + 2, y ( m) = m và y ( m + 2) = m − 4
Gọi A ( m;m) , B( m + 2;m − 4) , suy ra AB = 4 + 16 = 2 5 = hằng số.
2. M(−2; −3 + m) , N(0;m + 1) với mọi m ⇒ MN =

( 0 + 2) 2 + ( m + 1+ 3 − m) =

20 .

3. A(m;2m3 + 3m2 + 1), B(m + 1;2m3 + 3m2) ⇒ AB = 2 .
Bài 2:
1. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 là
y'(2) = 0 ⇒ 4 + 4(2m − 1) + m − 9 = 0 ⇒ m = 1 .
Kiểm lại . Ta có y'' = 2x + 2(2m − 1) .Khi m = 1 thì y'' = 2x + 2, suy ra
y''( 2) = 6 > 0 .

2. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1⇒ y'(1) = 0 ⇔ 6m − 6 = 0 ⇔ m = 1

Khi đó y''(1) = 10m − 4 = 6 > 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
1
1
1
⇒ y' = 1−
3. Ta có: y = x +
và y'' =
2
x+ m
(x + m)
(x + m)3
Cách 1: Vì hàm số có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ − m nên để hàm đạt cực
1
= 0 ⇔ m = 0;m = −2 .
tiểu tại x = 1 thì trước hết y'(1) = 1−
(1+ m)2
* m = 0 ⇒ y''(1) = 1 > 0 ⇒ x = 1 là điểm cực tiểu ⇒ m = 0 thỏa yêu cầu bài toán.
* m = −2 ⇒ y'(1) = −1 < 0 ⇒ x = 1 là điểm cực đại ⇒ m = −2 không thỏa yêu cầu
bài toán.
Cách 2: Bài toán khẳng định được y''(1) ≠ 0 nên ta có thể trình bày:

42


 y'(1) = 0
⇒ m= 0
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇔ 
 y''(1) > 0
4. Hàm số đạt cực đại tại x = −1⇒ y'(−1) = 0 ⇔ 1+

m− 3
(m − 1)2

=0

⇔ m2 − m − 2 = 0 ⇔ m = −1,m = 2 .
• m = −1⇒ y''(−1) = −1< 0 ⇒ x = −1 là điểm cực đại
• m = 2 ⇒ y''(−1) = 2 > 0 ⇒ x = −1 là điểm cực tiểu.
Bài 3:
2
1
1. d = 2 m2 − m + 1 = 2  m − 1 ÷ + 3 ⇒ mind = 3 ⇔ m = .
2

2
4

2. Yêu cầu bài toán ⇔

2m + m + 1− 2
5

= 5 ⇔ 3m − 1 = 5 ⇔ m = 2,m = −

4
3

3. Gọi A ,B là các điểm cực trị ta có : A(1− m; −2 − 2m3); B(1+ m; −2 + 2m3)
.Điểm O cách đều hai điểm A ,B ⇔ OA = OB ⇔ 8m3 = 2m ⇔ m = ±
Bài 4: Đường thẳng ( d ) qua 2 cực trị có phương trình

1
( m ≠ 0) .
2

2( m − 9) x − 3y + 4( m − 3) = 0

(

)

d A ,( d ) =

2( m − 9) 1− 3.( −4) + 4( m − 3)
2

 2( m − 9)  + ( −3)

(

)

Theo bài toán d A ,( d ) =

12
265

2

⇔

=

6m − 18
4m2 − 72m + 333
m− 3

4m2 − 72m + 333

=

2
265

2

Bình phương hai vế, rút gọn ta được: 249m − 1302m + 1053 = 0

Bài 5: g ( x) = x2 − 2x + m2 − 3m + 3 . Hàm số có cực đại , cực tiểu khi phương
trình g ( x) = 0,x ≠ 1 có hai nghiệm phân biệt x1,x2 khác 1
∆
 '> 0
⇔
⇔ 1< m < 2 .
g ( 1) ≠ 0
 x = 1− − m2 + 3m − 2,y = 1− m + 2 − m2 + 3m − 2
1
1
Khi đó y' = 0 ⇔ 


2
2
 x2 = 1+ − m + 3m − 2,y2 = 1− m − 2 −m + 3m − 2
2

4
7
y1.y2 = 5 m − 7 ÷ − 4 ≥ − 4 ⇒ min y1.y2 = − khi m = .
5
5
5
5
5

1
Bài 6: Ta có: y' = m + 2 ⇒ đồ thị hàm số có hai cực trị ⇔ m < 0
x

43


A(−

44

 1

;2 −m), B
; −2 −m ÷ , AB2 = 4 + 16(− m) ≥ 2 4 .16(−m) = 16
−m

−m
−m
 −m

1