ĐẠO hàm KHÁI NIỆM đạo hàm và các PHƯƠNG PHÁP TÍNH đạo hàm file word

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
TẬP 1. KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM


Mục Lục
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM..................................................................2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP......................................................................4
CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM.......................................................9
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP....................................................................13
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP....................................................................29
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP....................................................................33
ĐẠO HÀM TỔNG HỢP.................................................................38

CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM
KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM
1. Đạo hàm tại một điểm
Hàm số y = f (x) liên tục trên (a; b) , được gọi là có đạo hàm tại x0 ∈ (a; b) nếu
giới hạn sau tồn tại (hữu hạn): lim
x→ x
0

f (x) − f (x0 )
và giá trị của giới hạn đó gọi là
x − x0

giá trị đạo hàm của hàm số tại điểm x0 .Ta kí hiệu f '(x0 ) .
f (x) − f (x0 )
Vậy f '(x0 ) = lim

x→ x0
x − x0
2. Đạo hàm bên trái, bên phải
f (x) − f (x0 )
f (x) − f (x0 )
f '(x0+ ) = lim+
f '(x0− ) = lim−
.
.
x→ x0
x→ x0
x − x0
x − x0
2


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
Hệ quả : Hàm f (x) có đạo hàm tại x0 ⇔ ∃ f (x0+ ) và f '(x0− ) đồng thời
f '(x0+ ) = f '(x0− ) .
3. Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn
• Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên (a; b) nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm thuộc (a; b) .
• Hàm số f (x) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [a; b] nếu nó có đạo hàm
tại mọi điểm thuộc (a; b) đồng thời tồn tại đạo hàm trái f '(b− ) và đạo hàm
phải f '(a+ ) .
4. Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục
Định lí: Nếu hàm số f (x) có đạo hàm tại x0 thì f (x) liên tục tại x0 .
Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại
điểm x0 nhưng hàm đó không có đạo hàm tại x0 .
Chẳng hạn: Xét hàm f (x) = x liên tục tại x = 0 nhưng không liên tục tại điểm

đó.
f (x) − f (0)
f (x) − f (0)
= 1, còn lim−
= −1.
Vì lim+
x→ 0
x→ 0
x
x
Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Phương pháp:
f (x) − f (x0 )
• f '(x0 ) = lim
x→ x0
x − x0
• f '(x0+ ) = lim+

f (x) − f (x0 )
x − x0

• f '(x0− ) = lim−

f (x) − f (x0 )
x − x0

x→ x0

x→ x0

• Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm x = x0 ⇔ f '(x0+ ) = f '(x0− )
• Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó.
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ:
 x3 + x2 + 1 − 1

khi x ≠ 0
1. f (x) = 2x3 + 1 tại x = 2 3. f (x) = 
tại x = 0
x
0
khi x = 0

2. f (x) = x2 + 1 tại x = 1
Lời giải:
3


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

1. Ta có lim
x→ 2

f (x) − f (2)
2x3 − 16
= lim
= lim2(x2 + 2x + 4) = 24 ⇒ f '(2) = 24 .
x
→
2

x→ 2
x− 2
x− 2
f (x) − f (1)
x2 + 1 − 2
= lim
x→1
x→1
x− 1
x− 1
(x − 1)(x + 1)
1
= lim
=
.
x→1
2
(x − 1)( x2 + 1 + 2)

2. Ta có : f '(1) = lim

3. Ta có f (0) = 0, do đó: lim
x→0

Vậy f '(0) =

f (x) − f (0)
x3 + x2 + 1 − 1
x+ 1
1

= lim
= lim
=
2
x
→
0
x
→
0
3
2
x
x
x + x + 1+ 1 2

1
.
2

Ví dụ 2. Chứng minh rằng hàm số f (x) =
không có đạo hàm tại điểm đó.

2x2 + x + 1
x− 1

liên tục tại x = −1 nhưng

Lời giải:
f

(
x
)
Vì hàm
xác định tại x = −1 nên nó liên tục tại đó.
f (x) − f (−1)
2x
= lim+
=1
Ta có: f '(−1+ ) = lim+
x→−1
x→−1 x − 1
x+ 1
f (x) − f (−1)
f '(−1− ) = lim−
= lim− 2 = 2
x→−1
x→−1
x+ 1
+
−
⇒ ff'(−1 ) ≠ '(−1 ) ⇒ f (x) không có đạo hàm tại x = −1.
 x2 − 1
khi x ≠ 1

Ví dụ 3. Tìm a để hàm số f ( x) =  x − 1
có đạo hàm tại x = 1
a
khi x = 1


Lời giải:
Để hàm số có đạo hàm tại x = 1 thì trước hết f (x) phải liên tục tại x = 1
x2 − 1
Hay lim f (x) = lim
= 2 = f (1) = a .
x→1
x→1 x − 1
x2 − 1
−2
f (x) − f (1)
Khi đó, ta có:
.
x
−
1
lim
= lim
=1
x→1
x→1
x− 1
x− 1
Vậy a= 2 là giá trị cần tìm.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra
Câu 1. f (x) = 2x + 1 tại x0 = 1
4


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

A.2

B.3

C.4
Lời giải:

D.5

C.3
Lời giải:

D.4

Ta có: f '(x0 ) = 2
Câu 2. f (x) =
A. −2

x+ 1
tại x0 = 2
x− 1
B.2

f '(x0 ) = −2
Câu 3. f (x) = x2 + x + 1 tại điểm x0 = 2
A. 2

B.

5

2 7

C.

8

D. 41

3

Lời giải:
f '(2) = lim
x→ 2

x + x + 1− 7
(x − 2)(x + 3)
5
= lim
=
x
→
2
2
x− 2
(x − 2)( x + x + 1 + 7) 2 7
2

π
2
B.1

Câu 4. f (x) = sin2 x tại x =
A. 0

C.2

D.3

Lời giải:
π
f '( ) = 0
2
 x3 − 2x2 + x + 1 − 1

khi x ≠ 1
Câu 5. f (x) = 
tại điểm x0 = 1.
x− 1
0
khi x = 1

1
1
1
A.
B.
C.
3
5
2

Lời giải:

D.

1
4

f (x) − f (1)
x3 − 2x2 + x + 1 − 1
x
1
= lim
= lim
=
. lim
2
x→1
x
→
1
x
→
1
3
2
x− 1
(x − 1)
x − 2x + x + 1 + 1 2
1
Vậy f '(1) = .

2
Bài 2 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại điểm chỉ ra
π
Câu 1. f (x) = sin2x tại x0 =
2
A. −1
B. 2
C. 3
D. 4
5


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
Lời giải:
π

π

π
Ta có: f (x) − f ( ) = sin2x − sin π = 2cos x + ÷sin  x − ÷
2
2
2



π

π
π

cos x + ÷.sin  x − ÷
f (x) − f ( )
2
2


2 = 2lim
⇒ lim
= −2
π
π
π
π
x→
x→
x−
x−
2
2
2
2
π
Vậy f ' ÷ = −1.
 2
π
4
B. 4

Câu 2. f (x) = tan x tại x =
A. 2

C. 5

D. 31

Lời giải:
π
π

π
Ta có f (x) − f  ÷ = tan x − tan = ( 1+ tan x) .tan  x − ÷
4
4
 4


π
π
(1+ tan x)tan  x − ÷
f (x) − f ( )
4

4 = lim
Suy ra lim
=2
π
π
π
π
x→

x→
x−
x−
4
4
4
4
π
Vậy f ' ÷ = 2.
 4
 2
1
 x sin khi x ≠ 0
Câu 3. f (x) = 
tại x = 0 .
x
0
khi x = 0
1
2
A. 0
B.
C.
2
3
Lời giải:
f (x) − f (0)
1
= lim xsin = 0
Ta có: lim

x→0
x
→
0
x
x
f
'(0)
=
0
Vậy
.

D. 7

Bài 3 Tính đạo hàm các hàm số sau tại các điểm chỉ ra
Câu 1. f (x) = x3 tại x0 = 1
A. 4
B. 3
C. 5
D.6
Lời giải:
6


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
Ta có: f (x) − f (1) = x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1)
f (x) − f (1)
= lim x2 + x + 1 = 3
Suy ra: lim

x→1
x→1
x− 1
Vậy f '(1) = 3 .

(

)

 2x + 3
khi x ≥ 1
 3
Câu 2. f (x) =  x + 2x2 − 7x + 4
tại x0 = 1.
khi
x
<
1

x− 1

A. 0
B. 4
C. 5
Lời giải:
Ta có lim+ f (x) = lim+ ( 2x + 3) = 5
x→1

D. Đáp án khác

x→1

x + 2x2 − 7x + 4
lim− f (x) = lim−
= lim(
x2 + 3x − 4) = 0
−
x→1
x→1
x→1
x− 1
f (x) ≠ lim− f (x) ⇒ hàm số không liên tục tại x = 1 nên hàm số không
Dẫn tới lim
x→1+
x→1
3

có đạo hàm tại x0 = 1.
 sin2 x

Câu 3. f (x) =  x
 x + x2

A.1

khi x > 0
khi x ≤ 0
B.2

tại x0 = 0

C.3
Lời giải:
2
sin x
 sin x

= lim+ 
.sin x÷ = 0
Ta có lim+ f (x) = lim+
x→ 0
x→ 0
x→0
x
 x


(

D.5

)

lim− f (x) = lim− x + x2 = 0 nên hàm số liên tục tại x = 0
x→ 0
x→ 0
f (x) − f (0)
sin2 x
= lim+
= 1 và

x→ 0
x→ 0
x
x2
f (x) − f (0)
x + x2
lim−
= lim−
=1
x→ 0
x→ 0
x
x
Vậy f '(0) = 1.
lim+

Câu 4. f (x) =
A.2

x2 + x + 1
x

tại x0 = −1.
B.0

C.3
Lời giải:
Ta có hàm số liên tục tại x0 = −1 và

D.đáp án khác

7


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
2
f (x) − f (−1) x + x + x + 1
=
x+ 1
x(x + 1)

f (x) − f (−1)
x2 + 2x + 1
= lim+
=0
Nên lim+
x→−1
x→−1
x+ 1
x(x + 1)
f (x) − f (−1)
x2 − 1
lim
= lim−
=2
x→−1−
x→−1 x(x + 1)
x+ 1
f (x) − ff(−1)
(x) − f (−1)

≠ lim−
Do đó lim+
x→−1
x→−1
x+ 1
x+ 1
Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 = −1.
Nhận xét: Hàm số y = f (x) có đạo hàm tại x = x0 thì phải liên tục tại điểm đó.
Bài 4
2
 x + x khi x ≥ 1
Câu 1. Tìm a, b để hàm số f (x) = 
có đạo hàm tại x = 1.
 ax + b khi x < 1
 a = 23
A. 
 b = −1

a = 3
B. 
b = −11

 a = 33
C. 
b = −31
Lời giải:
2
ax + b) = a+ b
f (x) = lim(
x + x) = 2 ; lim− f (x) = lim(

Ta có: lim
x→1
x→1−
x→1+
x→1+

a = 3
D. 
 b = −1

Hàm có đạo hàm tại x = 1 thì hàm liên tục tại x = 1 ⇔ a+ b = 2 (1)
f (x) − f (1)
x2 + x − 2
lim+
= lim+
= lim(
x + 2) = 3
x→1
x→1
x→1+
x− 1
x− 1
f (x) − f (1)
ax + b− 2
ax − a
lim−
= lim−
= lim−
= a(Do b = 2 − a)
x→1

x
→
1
x
→
1
x− 1
x− 1
x− 1
a = 3
Hàm có đạo hàm tại x = 1 ⇔ 
.
b = −1
2
khi x ≥ 0
 x + 1
Câu 2. Tìm a,b để hàm số f (x) =  2
có đạo hàm trên ¡ .
 2x + ax + b khi x < 0
A. a = 10, b = 11
B. a = 0, b = −1
C. a = 0, b = 1
D. a = 20,b = 1
Lời giải:
f
(
x
)
Ta thấy với x ≠ 0 thì
luôn có đạo hàm. Do đó hàm số có đạo hàm trên ¡

khi và chỉ khi hàm có đạo hàm tại x = 0 .
Ta có: lim+ f (x) = 1; lim− f (x) = b⇒ f (x) liên tục tại x = 0 ⇔ b = 1.
x→ 0

x→ 0

f (x) − ff(0)
= 0;
x→0
x
⇒ ff'(0+ ) = '(0− ) ⇔ a = 0.
Khi đó: ff'(0+ ) = lim+

'(0− ) = lim−
x→0

(x) − f (0)
=a
x

8


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
Vậy a = 0, b = 1 là những giá trị cần tìm.
 x2 + 1
khi x ≥ 0

Câu 3. Tìm a, b để hàm số f (x) =  x + 1
có đạo hàm tại điểm x = 0 .

ax + b khi x < 0

A. a = −11, b = 11

B. a = −10,b = 10
C. a = −12,b = 12
Lời giải:
f (x) = 1 = ff(0);lim− (x) = b
Ta có lim
x→ 0+
x→0

D. a = −1, b = 1

Hàm số liên tục tại x = 0 ⇔ b = 1
f (x) − f (0)
f (x) − f (0)
x− 1
lim+
= lim+
= −1, lim−
= lim− a = a
x→ 0
x→ 0 x + 1
x→ 0
x→0
x
x
Hàm số có đạo hàm tại điểm x = 0 ⇔ a = −1
Vậy a = −1, b = 1 là giá trị cần tìm.

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM
1. Quy tắc tính đạo hàm
1.1. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của hàm số
• (ku
. (x))' = ku
. '(x)
• (u1 ± u2 ± ... ± un )' = u1' ± u2' ± ... ± un'
• (uvw)' = u' vw + uv' w + uvw'

• (un (x))' = nun−1(x).u'(x)

'

 c 
cu
. '(x) .
 u(x)  u'(x)v(x) − v'(x)u(x)
•
•
'
=
−

÷
÷=
u2(x)
v2(x)
 u(x) 
 v(x) 

1.2. Đạo hàm của hàm số hợp
Cho hàm số y = f (u(x)) = f (u) với u = u(x) . Khi đó y'x = y'u .u'x .
2. Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản
(c)' = 0
(x)' = 1

Đạo hàm

(xα )' = αxα−1
1
x '=
2 x
1
n
x '=
nn xn−1
(sin x)' = cos x
(cos x)' = − sin x

( )
( )

Hàm hợp

( u ) ' = αu
α

α−1

.u'

( u) ' = 2u'u
( u) ' = n uu'
n

n

n−1

(sin u)' = u'.cosu
(cosu)' = −u'sin u

9


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
1
cos2 x
1
(cot x)' = −
sin2 x

( tan u) ' = cosu' u

(tan x)' =

2

( cot u) ' = − sinu' u
2

Vấn đề 1. Tính đạo hàm bằng công thức
Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm
Các ví dụ
Ví dụ 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = x3 − 3x2 + 2x + 1
x4
− x2 + 1
4
2x + 1
5. y =
x− 3

3
4. y = −2x4 + x2 + 1
2
2
x − 2x + 2
6. y =
x+ 1
Lời giải:

3. y =

(
2. Ta có: y' = ( − x

)
+ 3x + 1)

2. y = − x3 + 3x + 1

'

1. Ta có: y' = − x3 + 3x + 1 = 3x2 − 6x + 2
3

'

= −3x2 + 3

'

 x4

3. Ta có: y' =  − x2 + 1÷ = x3 − 2x
 4

'


3

4. Ta có: y' =  −2x4 + x2 + 1÷ = −8x3 + 3x
2


(2x + 1)'(x − 3) − (x − 3)'(2x + 1)
−7
=

5. Ta có: y' =
2
(x − 3)
(x − 3)2
6. Ta có: y' =

(x2 − 2x + 2)'(x + 1) − (x2 − 2x + 2)(x + 1)'
(x + 1)2
=

(2x − 2)(x + 1) − (x2 − 2x + 2) x2 + 2x − 4
=
.
2
(x + 1)2
( x + 1)

ad − bc
ax + b
ta có: y' =
.
(cx + d)2
cx + d
Ví dụ 2. Giải bất phương trình f '(x) ≥ 0 biết:
Nhận xét: Với hàm số y =

1. f (x) = x 4 − x2

2. f (x) = x − 2 x2 + 12

3. f (x) = x2 − x + 1 + x2 + x + 1

4. f (x) = 4 x2 + 1 − x
10


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
Lời giải:
1. TXĐ: D = −
 2;2
x2

2
Ta có: f '(x) = 4 − x −

4 − x2

=

4 − 2x2
4 − x2

Do đó: f '(x) ≥ 0 ⇔ 4 − 2x2 ≥ 0 ⇔ − 2 ≤ x ≤ 2 .
2. TXĐ: D = ¡
Ta có: f '(x) = 1−

2x
x2 + 12

x2 + 12 − 2x

=

x2 + 12

Suy ra: f '(x) ≥ 0 ⇔ x2 + 12 ≥ 2x (1)
• Với x < 0 thì (1) luôn đúng
 x ≥ 0
• Với x ≥ 0 thì (1) ⇔  2
⇔ 0≤ x ≤ 2
2
 x + 12 ≥ 4x
Vậy bất phương trình f '(x) ≥ 0 có nghiệm x ≤ 2 .
3. TXĐ: D = ¡
2x − 1
2x + 1
+
Ta có: f '(x) =
2
2 x − x + 1 2 x2 + x + 1

Suy ra f '(x) = 0 ⇔ ( 1− 2x) x2 + x + 1 = ( 1+ 2x) x2 − x + 1
(1− 2x)(1+ 2x) ≥ 0

2
2

⇔
2 
1  3

1  3
2 
(1− 2x)  x + 2 ÷ + 4 = ( 1+ 2x)  x − 2 ÷ + 4







 1
1
− ≤ x ≤
⇔ 2
⇔ x = 0.
2
2
2
(1− 2x) = (1+ 2x)

4. TXĐ: D =  0; +∞ )
Ta có: f '(x) =

x
24 (x + 1)
2

3

−

1
2 x

.

f '(x) ≥ 0 ⇔ x x ≥ 4 (x2 + 1)3 ⇔ x6 ≥ (x2 + 1)3
⇔ x2 ≥ x2 + 1 bất phương trình này vô nghiệm
Ví dụ 3. Tính đạo hàm các hàm số sau:
1. y = 2x2 + 3x + 1

2. y =

5

2x2 + 1 + 3x + 2

11


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

3. y = 2sin2(2x − 1) + cos x

4.

y = tan(sin2 3x) + cot2(1− 2x3) + 3
5. y = 3 sin(tan x) + cos(cot x)
Lời giải:
(2x + 3x + 1)'

4x + 3
=
1. Ta có: y' =
.
2
2 2x + 3x + 1 2 2x2 + 3x + 1
1
( 2x2 + 1 + 3x + 2)'
2. Ta có y' = 5
5. ( 2x2 + 1 + 3x + 2)4
2

1

=

(

5. ( 2x + 1 + 3x + 2)
2

5

4

2x
2x2 + 1

+ 3) .

2sin(4x − 2) −

1

sin x
2 x
3. Ta có: y' = (2sin (2x − 1) + cos x)' =
2 2sin2(2x − 1) + cos x 2 2sin2(2x − 1) + cos x
2

=

4 x sin(4x − 2) − sin x
4 2x sin2(2x − 1) + x cos x

2
2
2
4. Ta có: y' = [1+ tan (sin 3x)](sin 3x)'+

= 3[1+ tan2(sin2 3x)]sin6x +
5. Ta có: y' =

.
[cot2(1− 2x3) + 3]'
2 cot2(1− 2x3) + 3

6x2[1+ cot2(1− 2x3)]cot(1− 2x3)
cot2(1− 2x3) + 3

.

[sin(tan x) + cos(cot x)]'
3 [sin(tan x) + cos(cot x)]2

=

(1+ tan2 x)cos(tan x) + (1+ cot2 x)sin(cot x)
3 [sin(tan x) + cos(cot x)]2

Ví dụ 4. Tính đạo hàm các hàm số sau :
2
 x − 3x + 1 khi x > 1
1. f (x) = 
khi x ≤ 1
 2x + 2

.

2.

 2
1
khi x ≠ 0
 x cos
f (x) = 
2x
0
khi x = 0
Lời giải:

1. Với x > 1⇒ f (x) = x − 3x + 1⇒ f '(x) = 2x − 3
Với x < 1⇒ f (x) = 2x + 2 ⇒ f '(x) = 2
2

12


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

(

)

f (x) = lim+ x2 − 3x + 1 = −1 ≠ f (1) ⇒ hàm số không liên tục tại
Với x = 1 ta có: lim
+
x→1
x→1
x = 1, suy ra hàm số không có đạo hàm tại x = 1
 2x − 3 khi x > 1
Vậy f '(x) = 
.
khi x < 1
2
1
1 1
1
2. Với x ≠ 0 ⇒ f (x) = x2 cos ⇒ f '(x) = 2x cos − cos
2x
2x 2

2x
f (x) − f (0)
1
= lim xcos = 0 ⇒ f '(0) = 0
Với x = 0 ta có: lim
x→0
x
→
0
x
2x

1
1
khi x ≠ 0
 2x − ÷cos
2
2x
Vậy f '(x) = 
.
0
khi x = 0


CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau
Câu 1. y = x4 − 3x2 + 2x − 1
A. y' = 4x3 − 6x + 3

B. y' = 4x4 − 6x + 2 C. y' = 4x3 − 3x + 2 D. y' = 4x3 − 6x + 2

Lời giải:

Ta có: y' = 4x3 − 6x + 2
Câu 2. y = −

x3
+ 2x2 + x − 1
3

1
A. y' = −2x2 + 4x + 1 B. y' = −3x2 + 4x + 1 C. y' = − x2 + 4x + 1
3
2
y' = − x + 4x + 1
Lời giải:
2
Ta có y' = − x + 4x + 1
Câu 3. y =
A. −

2x + 1
x+ 2
3

( x + 2)

2

B.

3
( x+ 2)

C.

3

( x+ 2)

2

D.

D.

2

( x+ 2)

2

Lời giải:
(2x + 1)'(x + 2) − (x + 2)'(2x + 1)
3
=
Ta có y' =
2
(x + 2)
(x + 2)2
13

CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
x2 − x + 1
x− 1
2
x − 2x

Câu 4. y =
A.

( x − 1)

B.

2

x2 + 2x

( x − 1)

C.

2

x2 + 2x

( x + 1)

D.

2

−2x − 2

( x − 1)

2

Lời giải:
(2x − 1)(x − 1) − (x − x + 1) x2 − 2x
y
'
=
=
Ta có
(x − 1)2
(x − 1)2
2

Câu 5. y =
A.

ax + b
, ac ≠ 0
cx + d

a
c

B.

ad − bc

( cx + d)

C.

2

ad + bc

( cx + d)

2

D.

ad − bc
( cx + d)

Lời giải:
Ta có

y' =

a
c

b

d

ad − cb
=
(cx + d)2 (cx + d)2

ax2 + bx + c
Câu 6. y =
, aa' ≠ 0 .
a' x + b'
aa' x2 + 2ab' x + bb'− a' c
A. =
(a' x + b')
C. =

aa' x2 − 2ab' x + bb'− a' c
(a' x + b')2

B. =

aa' x2 + 2ab' x + bb'− a' c
(a' x + b')2

D. =

aa' x2 + 2ab' x − bb'− a'c
(a' x + b')2

Lời giải:
(2ax + b)(a' x + b') − a'(ax + bx + c)

Ta có: y' =
(a' x + b')2
2

=

aa' x2 + 2ab' x + bb'− a' c
.
(a' x + b')2

Bài 2 Tính đạo hàm các hàm số sau
Câu 1. y = x x2 + 1
A.

2x2 + 1
2 x2 + 1

B.

x2 + 1
x2 + 1

C.

4x2 + 1
x2 + 1

D.

2x2 + 1

x2 + 1

Lời giải:

14


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

2
Ta có: y' = x' x + 1 +

)

(

x2 + 1 ' x = x2 + 1 +
x2

= x2 + 1 +

Câu 2. y =
A. −

x2 + 1

3
(2x + 5)2
12

( 2x + 5)

B.

4

2x2 + 1

=

x2 + 1

2 x2 + 1

.x

.

12

( 2x+ 5)

(x2 + 1)'

C. −

3

6

( 2x + 5)

3

D. −

12

( 2x + 5)

3

Lời giải:
'

3(2x + 5) 
12(2x + 5)
12
Ta có: y' = − 
=−
=−
4
4
(2x + 5)
(2x + 5)
(2x + 5)3
2

2 − 2x + x2
Câu 3. y =

x2 − 1
2x2 + 6x + 2
2
A.
x2 − 1

(

)

B.

2x2 − 6x + 2

(x

2

)

−1

4

C.

2x2 − 6x − 2

(x

2

)

−1

2

D.

2x2 − 6x + 2

(x

2

)

−1

2

Lời giải:
(2x − 2)(x − 1) − 2x(x − 2x + 2) 2x2 − 6x + 2
=
Ta có y' =
(x2 − 1)2
(x2 − 1)2
2

2

Câu 4. y = 3x + 2tan x
A.

5+ 2tan2 x
2 3x + 2tan x

B.

5− 2tan2 x

C.

−5+ 2tan2 x

2 3x + 2tan x
2 3x + 2tan x
Lời giải:
(3x + 2tan x)' 3+ 2(1+ tan2 x)
5+ 2tan2 x
y
'
=
=
=
Ta có:
2 3x + 2tan x 2 3x + 2tan x 2 3x + 2tan x

D.

−5− 2tan2 x
2 3x + 2tan x

Câu 5. y = sin2(3x + 1)
A. 3sin(6x+ 2)

B. sin(6x+ 2)
C. −3sin(6x + 2)
D. 3cos(6x+ 2)
Lời giải:
'
Ta có: y' = 2sin(3x + 1). sin(3x + 1) = 2sin(3x + 1).3cos(3x + 1) = 3sin(6x + 2) .
Câu 6. y = (x + 1) x2 + x + 1 .

15


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

A.

4x2 − 5x + 3

B.

4x2 + 5x − 3

4x2 + 5x + 3

C.
2 x2 + x + 1
x2 + x + 1
Lời giải:
2x + 1
4x2 + 5x + 3
2
=
Ta có y' = x + x + 1 + (x + 1)
2 x2 + x + 1 2 x2 + x + 1
2 x2 + x + 1

D.

4x2 + 5x + 3
2 x2 + x + 1

Bài 3. Tính đạo hàm các hàm số sau

(

)

Câu 1. y = x7 + x

2

A. y' = (x7 + x)(7x6 + 1)

B. y' = 2(x7 + x)

C. y' = 2(7x6 + 1)

D. y' = 2(x7 + x)(7x6 + 1)
Lời giải:

.Đáp án D

(

)(

2
2
Câu 2. y = x + 1 5− 3x

A. y' = − x3 + 4x

)

B. y' = − x3 − 4x
C. y' = 12x3 + 4x
Lời giải:

D. y' = −12x3 + 4x

. Ta có: Đáp án D
2x
x −1
2

2x − 2
A. 2
(x − 1)2

Câu 3. y =

2

−2x2 + 343
−2x2 − 2
C.
(x2 − 1)2
(x2 + 1)2
Lời giải:
2
2
2(x − 1) − 2x.2x −2x − 2
y' =
= 2
(x2 − 1)2
(x − 1)2
B.

D.

−2x2 − 2
(x2 − 1)2

2
Câu 4. y = x ( 2x + 1) ( 5x − 3)

A. y' = 40x2 − 3x2 − 6x
y' = 40x + 3x − 6x

B. y' = 40x3 − 3x2 − 6x

C.

D. y' = 40x − 3x − x
Lời giải:
4
3
2
3
2
y = 10x − x − 3x ⇒ y' = 40x − 3x − 6x
3

2

3

2

3


5
Câu 5. y =  4x + 2 ÷
x 



16


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
2

2


10 
5
A. y' = 3 4 + 3 ÷ 4x + 2 ÷
x 
x 

2


10 
5
B. y' = 3 4 − 3 ÷ 4x − 2 ÷
x 
x 


2



5
C. y' =  4x + 2 ÷
x 



10 
5
D. y' = 3 4 − 3 ÷ 4x + 2 ÷
x 
x 

Lời giải:
2


10 
5
y' = 3 4 − 3 ÷ 4x + 2 ÷
x 
x 


Câu 6. y = (x + 2)3(x + 3)2
A. y' = 3(x2 + 5x + 6)3 + 2(x + 3)(x + 2)3

B. y' = 2(x2 + 5x + 6)2 + 3(x + 3)(x + 2)3

C. y' = 3(x2 + 5x + 6) + 2(x + 3)(x + 2)
D. y' = 3(x2 + 5x + 6)2 + 2(x + 3)(x + 2)3

Lời giải:
2
2
3
y' = 3(x + 5x + 6) + 2(x + 3)(x + 2)
Câu 7. y = x3 − 3x2 + 2
A. y' =
y' =

3x2 − 6x

x3 − 3x2 + 2
3x2 − 6x

B. y' =

3x2 + 6x
2 x3 − 3x2 + 2

C. y' =

3x2 − 6x

D.

2 x3 − 3x2 − 2

2 x3 − 3x2 + 2
Lời giải:

y' =

3x − 6x
2

2 x3 − 3x2 + 2

Câu 8. y = x2 + x x + 1
A. y' = 2x + x + 1 −
C. y' =

x
2 x+ 1

x
2 x+ 1

B. y' = 2x − x + 1 +
D. y' = 2x + x + 1 +

x
2 x+ 1
x
2 x+ 1

Lời giải:
y' = 2x + x + 1 +

Câu 9. y =

x
2 x+ 1

x
a2 − x2
17


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
a2

A. y' = −

(a2 − x2 )3

2a2

C. y' =

(a2 + x2 )3
Lời giải:

(a2 − x2 )3

D. y' =

a2
(a2 − x2 )3

x2

a2 − x2 +

2

a
a2 − x2 =
2
2
(a − x )
(a2 − x2 )3

y' =

Câu 10. y =

1

x x
3 1
A. y' =
2 x2 x

y' = −

B. y' = −

1
2

x

C. y' =

x
Lời giải:

1
2

x

D. y' = −

x

3 1
2 x2 x

(x x)'
3 1
=−
3
2 x2 x
x

Câu 11. y =
A. y' =
y' =

a2

B. y' =

1+ x
1− x
1− 3x
(1− x)3

B. y' =

1− 3x
3 (1− x)3

1
C. y' = − 3

1− 3x
2 (1− x)3

D.

1− 3x
2 (1− x)3
Lời giải:
1− x −

y' =

1+ x

2 1− x = 1− 3x
1− x
2 (1− x)3

Câu 12. y = sin2 3x
A. y' = sin6x
y' = 3sin6x

B. y' = 3sin3x
C. y' = 2sin6x
Lời giải:

D. y' = 3sin6x

Câu 13. y = 3tan2 x + cot2x
A. y' =

3tan x(1+ tan2 x) − (1+ cot2 2x)
3 3tan2 x + cot2x

B. y' =

3tan x(1+ tan2 x) − (1+ cot2 2x)
2 3tan2 x + cot2x

18


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

C. y' =

3tan x(1+ tan2 x) + (1+ cot2 2x)
3tan2 x + cot2x

D. y' =

3tan x(1+ tan2 x) − (1+ cot2 2x)
3tan2 x + cot2x

Lời giải:
y' =

3tan x(1+ tan x) − (1+ cot 2x)
2

2

3tan2 x + cot2x

π
Câu 14. y = 3 x3 + cos4(2x − )
3
π
π
π
π
3x2 + 8cos3(2x − )sin(2x − )
3x2 − 8cos3(2x − )sin(2x − )

4
4
4
4
y' =
y' =
A.
B.
3
3

π 

π 
33  x3 + cos4(2x − ) ÷
43  x3 + cos4(2x − ) ÷
3
3


π
π
π
π
6x2 − 8cos3(2x − )sin(2x − )
3x2 − 8cos3(2x − )sin(2x − )
4
4
4
4

y' =
y' =
C.
D.
3
3

π 

π 
33  x3 + cos4(2x − ) ÷
33  x3 + cos4(2x − ) ÷
3
3


Lời giải:
π
π
3x2 − 8cos3(2x − )sin(2x − )
4
4
y' =
3


π 
33  x3 + cos4(2x − ) ÷
3


(

)

2
Câu 15. y = 2sin x + 2

A. y' = x cos(x2 + 2)

B. y' = 4cos(x2 + 2)

C. y' = 2x cos(x2 + 2)

D.

y' = 4x cos(x2 + 2)
Lời giải:
y' = 4x cos(x + 2)
2

(

)

2
3
Câu 16. y = cos sin x

A. y' = − sin(2sin3 x)sin2 x cos x

C. y' = −7sin(2sin3 x)sin2 xcos x

B. y' = −6sin(2sin3 x)sin2 x cos x
D. y' = −3sin(2sin3 x)sin2 xcos x
Lời giải:

y' = −3sin(2sin3 x)sin2 xcos x

19


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
x
sin x
sin x − cos x
A. y' =
sin2 x
sin x − x cos x
y' =
sin2 x

Câu 17. y =

y' =

B. y' =

sin x − x cos x
sin x + cos x
C. y' =

D.
sin x
sin x

Lời giải:

sin x − x cos x
sin2 x

cos x 4
+ cot x
3sin3 x 3
A. y' = cot3 x − 1
B. y' = 3cot4 x − 1
C. y' = cot4 x − 1
Lời giải:
1
4
1
y = − cot x(1+ cot2 x) + cot x = − cot3 x + cot x
3
3
3
2
2
2
4
Suy ra y' = cot x(1+ cot x) − 1− cot x = cot x − 1
Câu 18. y = −

D. y' = cot4 x

 3
1
 x sin khi x ≠ 0
Câu 19. f (x) = 
x
0
khi x = 0
 2
1
1
khi x ≠ 0
 x sin − x cos
A. f '(x) = 
x
x
0 khi x = 0

 2
1
1
khi x ≠ 0
3x sin − xcos
B. f '(x) = 
x
x
0 khi x = 0
 2
1

1
 2
1
1
khi x ≠ 0
khi x ≠ 0
3x sin + xcos
 3x sin − cos
C. f '(x) = 
D. f '(x) = 
x
x
x
x
0 khi x = 0
0 khi x = 0
Lời giải:
1
1
x ≠ 0 ⇒ f '(x) = 3x2 sin − x cos
x
x
f (x) − f (0)
=0
Với x = 0 ⇒ f '(0) = lim
x→ 0
x
 2
1
1

khi x ≠ 0
 3x sin − x cos
x
x
Vậy f '(x) = 
.
0 khi x = 0

20


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

Bài 4. Tính

f '( 1)

ϕ '( 0)

πx
.
2

f '(1)
f '(1) 4
2
=
=
C.
ϕ '(0) 8 + π

ϕ '(0) π
Lời giải:
π
πx
π
. f '(x) = 2x ⇒ f '(1) = 2; ϕ '(x) = 4 + cos ⇒ ϕ '(0) = 4 +
2
2
2
f '(1)
4
Suy ra ϕ '(0) = 8 + π .
A.

f '(1)
4
=
ϕ '(0) 8 − π

. Biết rằng : f (x) = x2 và ϕ(x) = 4x + sin
B.

D.

f '(1)
4
=
ϕ '(0) 8 + π

Bài 6. Tìm m để các hàm số

Câu 1. y = (m− 1)x3 − 3(m+ 2)x2 − 6(m+ 2)x + 1 có y' ≥ 0, ∀x ∈ ¡
A. m≥ 3

B. m≥ 1

C. m≥ 4
Lời giải:
2
. Ta có: y' = 3(m− 1)x − 2(m+ 2)x − 2(m+ 2)

D. m≥ 4 2

Do đó y' ≥ 0 ⇔ (m− 1)x2 − 2(m+ 2)x − 2(m+ 2) ≥ 0 (1)
• m= 1 thì (1) ⇔ −6x − 6 ≥ 0 ⇔ x ≤ −1 nên m= 1 (loại)
a = m− 1 > 0
• m≠ 1 thì (1) đúng với ∀x ∈ ¡ ⇔ 
∆ ' ≤ 0
m> 1
⇔
⇔ m≥ 4
(
m
+
1)(4
−
m
)
≤
0


Vậy m≥ 4 là những giá trị cần tìm.
mx3
Câu 2. y =
− mx2 + (3m− 1)x + 1 có y' ≤ 0, ∀x ∈ ¡ .
3
A. m≤ 2
B. m≤ 2
C. m≤ 0
Lời giải:
2
Ta có: y' = mx − 2mx + 3m− 1

D. m< 0

Nên y' ≤ 0 ⇔ mx2 − 2mx + 3m− 1≤ 0 (2)
• m= 0 thì (1) trở thành: −1≤ 0 đúng với ∀x ∈ ¡
 a = m< 0
• m≠ 0, khi đó (1) đúng với ∀x ∈ ¡ ⇔ 
∆ ' ≤ 0
 m< 0
 m< 0
⇔
⇔
⇔ m< 0
m(1− 2m) ≤ 0 1− 2m≥ 0
Vậy m≤ 0 là những giá trị cần tìm.
21


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau
 2
1
 x sin khi x ≠ 0
Câu 1. f (x) = 
x
0
khi x = 0

1
1

1
1
 x sin − cos khi x ≠ 0
 x sin − x cos khi x ≠ 0
A. f '(x) = 
B. f '(x) = 
x
x
x
x
0

khi x = 0
khi x = 0
0

1
1


1
1
2xsin − xcos khi x ≠ 0
 2x sin − cos khi x ≠ 0
C. f '(x) = 
D. f '(x) = 
x
x
x
x
0

khi x = 0
khi x = 0
0
Lời giải:
1
1
Với x ≠ 0 ta có: f '(x) = 2x sin − cos
x
x
f (x) − f (0)
1
= lim xsin = 0
Tại x = 0 ta có: lim
x→0
x→0
x
x


1
1
 2x sin − cos khi x ≠ 0
Vậy f '(x) = 
.
x
x
0
khi x = 0
 x2 + x + 1 khi x ≤ 1
f
(
x
)
=
Câu 2.

 x − 1 + 3 khi x > 1
 2x khi x < 1

A. f '(x) =  1
khi x > 1

 2 x− 1
2x + 1 khi x < 1

C. f '(x) =  1
khi x > 1


 x− 1

2x + 1 khi x < 1

1
B. f '(x) = 
khi x > 1
−
 x− 1
 2x + 1 khi x < 1

D. f '(x) =  1
khi x > 1

 2 x− 1
Lời giải:

Với x < 1 ta có: f '(x) = 2x + 1
1
Với x > 1 ta có: f '(x) =
2 x− 1
Tại x = 1 ta có:
f (x) − f (1)
x2 + x − 2
lim−
= lim−
=3
x→1
x→1
x− 1

x− 1
f (x) − f (1)
x− 1
lim+
= lim+
= +∞ suy ra hàm số không có đạo
x→1
x→1 x − 1
x− 1
hàm tại x = 1

22


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
 2x + 1 khi x < 1

Vậy f '(x) =  1
.
khi x > 1

 2 x− 1
Bài 8. Tìm a, b để các hàm số sau có đạo hàm trên ¡
2
 x − x + 1 khi x ≤ 1
Câu 1. . f (x) =  2
 − x + ax + b khi x > 1
 a = 13
A. 
 b = −1

 a = 23
a = 3
C. 
D. 
b = −21
 b = −1
Lời giải:
Với x ≠ 1 thì hàm số luôn có đạo hàm
Do đó hàm số có đạo hàm trên ¡ ⇔ hàm số có đạo hàm tại x = 1.
Ta có lim− f (x) = 1; lim+ f (x) = a+ b− 1
x→1

a = 3
B. 
b = −11

x→1

Hàm số liên tục trên ¡ ⇔ a+ b− 1 = 1 ⇔ a+ b = 2
f (x) − f (1)
= 1;
Khi đó: lim−
x→1
x− 1
f (x) − f (1)
− x2 + ax + 1− a
lim+
= lim+
= a− 2

x→1
x→1
x− 1
x− 1
 a+ b = 2  a = 3
⇔
Nên hàm số có đạo hàm trên ¡ thì 
.
a
−
2
=
1

 b = −1
 x2 + x + 1
khi x ≥ 0

Câu 2. f (x) =  x + 1
.
 x2 + ax + b khi x < 0

A. a = 0, b = 11
B. a = 10, b = 11
C. a = 20,b = 21
Lời giải:
a
=
0,
b

=
1
. Tương tự như ý 1. ĐS:
.

D. a = 0, b = 1

Bài 9. Tính đạo hàm các hàm số sau
Câu 1. y = (x3 + 2x)3
A. y' = (x3 + 2x)2(3x2 + 2)

B. y' = 2(x3 + 2x)2(3x2 + 2)

C. y' = 3(x3 + 2x)2 + (3x2 + 2)

(

)

D. y' = 3(x3 + 2x)2(3x2 + 2)
Lời giải:

'

Ta có: y' = 3(x3 + 2x)2 x3 + 2x = 3(x3 + 2x)2(3x2 + 2)

23


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.

Câu 2. y = (x2 − 1)(3x3 + 2x)
A. y' = x4 − 3x2 − 2

B. y' = 5x4 − 3x2 − 2

C. y' = 15x4 − 3x2

D.

y' = 15x − 3x − 2
4

2

Lời giải:
Ta có: y' = 2x(3x + 2x) + (x − 1)(9x + 2) = 15x4 − 3x2 − 2
3

2

2

2


2 
Câu 3. y =  x + 2 ÷
3x 



2 
4 
A. y' =  x + 2 ÷ 1− 3 ÷
3x   3x 



2 
4 
B. y' = 2 x + 2 ÷ 1+ 3 ÷
3x 
3x 


2 
4 
D. y' = 2 x + 2 ÷ 1− 3 ÷
3x  3x 

Lời giải:


2 
4 
C. y' =  x + 2 ÷ 1+ 3 ÷
3x 
3x 


2 

4 
Ta có: y' = 2 x + 2 ÷ 1− 3 ÷
3x 
3x 


Câu 4. y = 2sin3 2x + tan2 3x + x cos4x

(
)
B. y' = 12sin 2x cos2x + 6tan3x( 1+ tan 3x) + cos4x − xsin4x
C. y' = 12sin 2x cos2x + tan3x( 1− tan 3x) + cos4x − 4xsin4x
D. y' = 12sin 2x cos2x + 6tan3x( 1+ tan 3x) + cos4x − 4xsin4x

2
2
A. y' = 12sin 2x cos2x + 6tan3x 1+ 2tan 3x + cos4x − 4xsin4x
2

2

2

2

2

2

Lời giải:

2
Ta có: y' = 12sin 2x cos2x + 6tan3x 1+ tan 3x + cos4x − 4xsin4x
2

(

)

sin 2x
x
−
x
cos3x
2x cos2x + sin2x cos3x + 3x sin3x
−
A. y' =
B.
x2
cos2 3x
2x cos2x + sin2x cos3x + 3xsin3x
y' =
+
C.
x2
cos2 3x
2x cos2x − sin2x cos3x + 3x sin3x
y' =
−
D.
x2

cos2 3x
2x cos2x − sin2x cos3x + 3xsin3x
y' =
+
x2
cos2 3x

Câu 5. y =

24


CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM – TẬP 1.
Lời giải:
'

'

 sin2x  2xcos2x − sin2x  x  cos3x + 3x sin 3x
Ta có: 
, 
÷=
÷=
x2
cos2 3x
 x 
 cos3x 
2x cos2x − sin2x cos3x + 3xsin3x
−
Nên y' =

.
x2
cos2 3x
Câu 6. y = x sin2x + x3 + x2 + 1
A. y' = sin2x − 2xcos2x +
C. y' = sin2x + 2x cos2x −

Ta có: y' = sin2x + 2x cos2x +

3x2 + 2x
2 x3 + x2 + 1
3x2 + 2x

B. y' = sin2x + 2x cos2x +

3x2 + 2x
x3 + x2 + 1
3x2 + 2x

D. y' = sin2x + 2x cos2x +
2 x3 + x2 + 1
2 x3 + x2 + 1
Lời giải:
2
3x + 2x

2 x3 + x2 + 1

Câu 7. y = 2sin2 x + x3 + 1
A. y' =

y' =

y' =

2sin2x + 3x2

B.

2sin2 x + x3 + 1
2sin2x + 3x2

2 2sin2 x + x3 + 1
sin2x + 3x2
y
'
=
C.
2sin2 x + x3 + 1
2sin2x − 3x2

D.

2 2sin2 x + x3 + 1
Lời giải:

Ta có: y' =

2sin2x + 3x

2

2 2sin2 x + x3 + 1

Câu 8. y =
A.

y' =

C.

y' =

x2 + 1 + 2x − 1
x + 2 x2 + 1
(x2 + 1)

(

x + x2 + 1
2 (x2 + 1)

)

x2 + 1 + 2x − 1

(

)

x2 + 1 + 2x − 1

B.

y' =

D.

y' =

x + x2 + 1
(x2 + 1)

(

x + 2 x2 + 1
2 (x2 + 1)

)

x2 + 1 + 2x − 1

(

)

x2 + 1 + 2x − 1

25