Đề thi HSG olympic toán 11 trại hè hùng vương lần thứ 8 2016 2017 giải chi tiết

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII
TUYÊN QUANG 2017

ĐỀ THI OLYMPIC MÔN TOÁN
LỚP 11
Ngày thi: 29 tháng 7 năm 2017
Thời gian làm bài:180 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề thi có 01 trang)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  2 và (n  1)un 1un  nun2  1 với mọi số
nguyên dương n .
a) Chứng minh rằng:

1 1
1
 L 
 2018u2018  2.
u1 u2
u2017

b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho un �c với mọi số nguyên dương n .
� �1200 ) , về phía ngoài tam giác ABC
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB  AC và BAC
dựng các tam giác đều ABB ', ACC ' . Gọi M , N , P, M ', N ', P ' theo thứ tự lần lượt là trung điểm
của các đoạn thẳng BC , CA, AB, B ' C ', C ' A, AB ' . Chứng minh rằng:
a) Các tam giác MN ' P ', M ' NP là các tam giác đều.

b) MM ', NN ', PP ' đồng quy.
Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : �� � thoả mãn
f ( x) �( x 2  y 2 ) f ( y )
với mọi số thực x, y .
Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên ( xn ) xác định bởi: x0  0 , x1  1 và xn  2  3 xn 1  xn với
mọi số tự nhiên n .
a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4.
b) Chứng minh rằng xn 100 �xn (mod 101) với mọi số tự nhiên n .
Câu 5 (4,0 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con
A1 ,�, A2017 của tập {0,1,�,102017  1} (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng k
phần tử và mỗi phần tử của tập {0,1,�,102017  1} đều biểu diễn được dưới dạng x1  x2  L  x2017
trong đó xi �Ai với i  1,�, 2017 . Hãy xác định giá trị bé nhất của k .
-----HẾT----Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ................................................... Số báo danh: .............................

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


HƯỚNG DẪN CHẤM THI OLYMPIC TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ XIII
MÔN TOÁN 11
(Hướng dẫn này có 04 trang)
----2
Câu 1 (4,0 điểm) Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  2 và (n  1)un 1un  nun  1 với mọi số nguyên
dương n .

a) Chứng minh rằng:

1 1
1
 L 

 2018u2018  2.
u1 u2
u2017

b) Tìm số thực c lớn nhất sao cho un �c với mọi số nguyên dương n .
(Dựa trên đề đề xuất của THPT chuyên Lào Cai)
Điểm

Hướng dẫn chấm
a) Từ giả thiết suy ra un  0 và
Do đó:

4,0

1
 ( n  1)un 1  nun , n ��* (1).
un

1 1
1
  ... 
 (2u2  u1 )  ...  (2018u2018  2017u2017 )  2018u2018  2.
u1 u2
u2017

1,0
1,0

b) Ta chứng minh c  1 .
*

Trước hết ta chứng minh un  1, n �� (2) bằng quy nạp.

Với n  1, 2 thì hiển nhiên (2) đúng.
Giả sử (2) đúng với n  k (k �2) . Khi đó: uk 1  1 
k 1
1
u k�
Mặt khác: uk � �
1
k
kuk 1

2

k 1
k2

2
k

1
uk

� 1�
1
(uk  1) �
k  �(a).
k 1
� uk �
k

, k
2

1,0

2 (b).

� 1 �
1
(uk  1) �
k  � 0 � uk 1  1 . Vậy (2)
k 1
� uk �
đúng với n  k  1 . Theo nguyên lí quy nạp thì (2) đúng.
Từ (a), (b) và giả thiết quy nạp ta được uk 1  1 

0,5

Vậy c �1.
Từ uk 1  1 

� 1�
1
k
1
1
(uk  1) �k  � 0 � uk 1  1 
(uk  1) nên | un  1|� (u1  1)  .
k 1
k 1

n
n
� uk �

0,5

Suy ra lim uk  1 . Do đó c �1. Vậy c  1 (đpcm).
Chú ý. Nếu học sinh chỉ chứng minh được lim uk  1 mà chưa chứng minh được c �1 thì cho
1 điểm.

� �1200 ) , về phía ngoài tam giác ABC dựng
Câu 2 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC ( AB  AC và BAC
các tam giác đều ABB ', ACC ' . Gọi M , N , P, M ', N ', P ' theo thứ tự lần lượt là trung điểm của các đoạn
thẳng BC , CA, AB, B ' C ', C ' A, AB ' . Chứng minh rằng:
a) Các tam giác MN ' P ', M ' NP là các tam giác đều.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


b) MM ', NN ', PP ' đồng quy.
(Đề xuất của Tổ ra đề)
Hướng dẫn chấm

Điểm
4,0

a) Xét thế hình như hình vẽ (Học sinh chỉ dựa vào thế hình chứng minh thì vẫn cho điểm tối
đa)
Cách 1. Xét phép quay véc tơ ngược chiều kim đồng hồ. Ta có
uuuur

r
uuu
r
uuuu
r
r uuuur
1 uuur uuuu
1
1 uuur uuu
Q 60�( MN ')  Q 60�( ( BA '  CC '))  ( Q 60�( BA)  Q 60�(CC '))  ( BB '  CA)  MP '.
2
2
2
Suy ra tam giác MN ' P ' đều. Tương tự, tam giác M ' NP đều.

2,0

Cách 2. Chứng minh các tam giác P ' AN ', P ' PM và MNN ' bằng nhau. Suy ra tam giác
MN ' P ' đều. Tương tự, tam giác M ' NP đều.
b) Vì й BAC 1200 nên các đường thẳng MM ', NN ', PP ' không song song.

2,0

� �
�  .
Gọi Q là giao điểm của NN ', PP ' . Đặt MPN
ANP   ; �
APN  MNP
Ta có các điều kiện sau tương đương:
1) MM ', NN ', PP ' đồng quy.

2) M , M ', Q thẳng hàng.
3) P( NMM ' Q)  N ( PMM ' Q) .

2,0

4) P( NMM ' P ')  N ( PMM ' N ') .
5)

�' PN sin P
�' PN
�' NP sin N
�' NP
sin M
sin M
:

:
.
�' PM sin P
�' PM sin M
�' NM sin N
�' NM
sin M

6)

sin 60�
sin(60�  )
sin 60�
sin(60�  )

:

:
.
sin(60�  ) sin(60�    ) sin(60�  ) sin(60�    )

7) sin(60�  ) sin(60�  )  sin(60�  ) sin(60�  ) (luôn đúng).
Câu 3 (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : �� � thoả mãn
f ( x) �( x 2  y 2 ) f ( y )

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất


với mọi số thực x, y .
(Đề xuất của Tổ ra đề)
Điểm

Hướng dẫn chấm

4,0

Theo giả thiết ta có f ( x) �( x  y ) f ( y ) với mọi x, y.
2

2

2
2
2
Đổi vai trò x, y được f ( y ) � x  y  f ( x). Do đó f ( y ) � x 2  y 2  f ( x) � x 2  y 2  f ( y ) .

1,5

Cho x  2 thì f ( y ) �(4  y 2 ) 2 f ( y ) . Suy ra f ( y ) �0 với mọi y .

1,0

Mặt khác x  y  0 ta được f (0) �0 . Vậy f (0)  0 .
Cho y  0 ta được f ( x) �0 với mọi x . Vậy f �0 .

0,5
1,0

Câu 4 (4,0 điểm) Cho dãy số nguyên ( xn ) xác định bởi: x0  0 , x1  1 và xn  2  3xn1  xn với mọi số tự
nhiên n .
a) Tìm số dư của x2017 khi chia cho 4.
b) Chứng minh rằng xn 100 �xn (mod 101) với mọi số tự nhiên n .
(Đề đề xuất của Tổ ra đề)
Điểm

Hướng dẫn chấm

4,0

a) Ta có xn �xn 3 (mod 4) . Suy ra x2017 �x1 (mod 4) , do đó x2017 �1 (mod 4) .

1,0

b) Cách 1.
Ta chỉ ra x100 �0 (mod101) và x101 �1 (mod101) . Đầu tiên ta có

n

n

�3  5 � �3  5 �
�
� �
�
2
2 �
�
�
�
xn 
.
5

Khai triển Newton cho ta:

�C

2 xn 
n

k
n

n k

1,0

k 1
2

3 5 .

k 0, n
2�
k

Ta có 452 �5 (mod101) . Suy ra

2 xn ��C 3
n

k
n

n k

45

k  0, n
2�
k

k 1

 3  45


n

  3  45 

n

45

48n  (42) n
�
(mod101) .
45

1,5

24n  ( 21)n
Hay xn �
(mod101) .
45
Áp dụng định lý Fermat nhỏ ta được: x100 �0 (mod101) và x101 �1 (mod101) . Do công thức
truy hồi, suy ra xn 100 �xn (mod101) với mọi số tự nhiên n .
Cách 2. Học sinh có thể xét tìm dãy các số dư của xn modulo 101. Danh sách các số dư của
dãy khi chia cho 101 như dưới đây:
[0, 1, 3, 8, 21, 55, 43, 74, 78, 59, 99, 36, 9, 92, 65, 2, 42, 23, 27, 58, 46, 80, 93, 98, 100, 0, 1,

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

0,5
2,0

3, 8,….].
Sau đó học sinh giải thích do tính truy hồi nên dãy các số dư tuần hoàn. Suy ra đpcm.
1,0
Chú ý. Với cách 2, nếu học sinh chỉ tìm một vài số dư mà chưa ra đến số dư lặp (chu kỳ) thì
không cho điểm.
Câu 5 (4 điểm) Xét k là số nguyên dương thỏa mãn tính chất: Tồn tại 2017 tập con A1 , �, A2017 của tập
{0,1, �,102017  1} (không nhất thiết phân biệt) sao cho mỗi tập có đúng k phần tử và mỗi phần tử của
{0,1, �,102017  1} đều biểu diễn được dưới dạng x1  L  x2017 trong đó xi �Ai với i  1, �, 2017 . Hãy
xác định giá trị bé nhất của k .
(Đề đề xuất của Tổ ra đề)
Điểm

Hướng dẫn chấm

4,0

Ta kí hiệu A1  L  A2017 là tập tất cả các số có dạng x1  L  x2017 trong đó xi �Ai với mọi
i  1, �, 2017 . Ta có A1  L  A2017  k 2017 . Thành thử k 2017 �102017 hay k �10 .

1,5

Ta chỉ ra 10 chính là giá trị bé nhất có thể của k .
Với mọi số nguyên không âm m ta có thể viết
1,5

m  as 10s  L  a110  a0 ,

, as {0,1,

trong đó s là số tự nhiên và a0 , �μ
Với mỗi số m  {0,1,

,9} và as �0 .

,102017 1} thì s  2017 vì nếu s �2017 thì m �as 10 s �102017 , mâu

thuẫn.
j 1
Với mỗi j  1, �, 2017 ta đặt Aj  {10 t : t  0,�,9}. Khi đó với mọi m  {0,1,

,102017 1} ,

j 1
thì m  x1  L  x2017 , trong đó x j  10 a j 1 , j  1, 2,..., s  1 và x j  0, j  s  2,..., 2017 .

-----Hết----Ghi chú: Học sinh có thể làm theo nhiều cách khác nhau. Nếu giải đúng thì cho điểm tối đa.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1,0