17 bài tập mặt cầu, hình cầu, khối cầu (phần 3) file word có lời giải chi tiết

17 bài tập - Mặt cầu, Hình cầu, Khối cầu (Phần 3) - File word có lời giải chi tiết
Câu 1. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) ; đáy ABC là tam giác cân tại A có BAC = 120° ; BC = 3a .
Gọi M là trung điểm của BC, biết góc giữa SM và mặt đáy bằng 45°. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp chóp
S.ABC.
17 51π a 3
A. V =
2

125 3π a 3
B. V =
432

5 39π a 3
C. V =
14

5 39π a 3
D. V =
12

Câu 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a. Các mặt bên đều tạo với mặt đáy một
góc 60°. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
343a 3π
A. V =
48

7 7π a 3
B. V =
12

5 7π a 3

C. V =
6

5 7π a 3
D. V =
24

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a. Các cạnh bên đều tạo với mặt đáy một
góc 60°. Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.
A. V =

4 2π a 3
3

B. V =

4 2π a 3
9

C. V =

32π a 3
3

D. V =

8 2π a 3
9

Câu 4. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ) , góc giữa SC và đáy bằng 60°. Biết tam giác

ABC là tam giác đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC?
A.

5a 3
8

B.

a 39
3

C.

a 39
6

D.

5a 3
12

Câu 5. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ) , góc giữa SB và đáy bằng 45°. Biết tam giác
BAC là tam giác đều cạnh 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC?
A.

a 21
6

B.

a 7
3

C.

a 21
7

D.

a 21
3

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với ( ABC ) , góc giữa ( SBC ) và đáy bằng 60°. Biết tam
giác ABC là tam giác đều cạnh a 3 . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC?
A.

3a 3
8

B.

a 43
4

C.

a 43
12

D.

a 43
8

Câu 7. Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với ( ABC ) , góc giữa SA và đáy bằng 60°. Biết tam giác
ABC là tam giác vuông cân tại A với AB = 2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC?
A. a 3

B. a 5

C.

2a
5

D.

2a
3


Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có SB vuông góc với ( ABC ) , góc giữa SA và đáy bằng 60°. Biết tam giác
ABC là tam giác vuông cân tại A. Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC bằng

a 15
. Tính thể
2

tích của khối chóp đã cho.

A.

2a 3
3

B.

5a 3
6

C.

3a 3
4

D.

3a 3
2

Câu 9. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với ( ABCD ) , ABCD là hình vuông cạnh a, góc giữa SD
và đáy bằng 60°. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD?
A.

a 3
2

B.

a 5

2

C.

a 5
4

D.

a 6
2

Câu 10. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với ( ABCD ) , ABCD là hình vuông cạnh 4a, góc giữa

( SBC )
A.

và đáy bằng 60°. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD?
2a 5
5

B.

4a 3
3

C. 2a 3

D. 2a 5

Câu 11. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với ( ABCD ) , ABCD là hình chữ nhật với AB = a ;
AD = 2a . Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD bằng

3a
. Tính thể tích khối chóp đã cho
2

theo a?
A.

3a 3
4

B.

4a 3
3

C.

3a 3
8

D.

2a 3
3

Câu 12. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với ( ABCD ) , ABCD là hình chữ nhật với AB = a ;
AD = 2a . Biết góc giữa mặt phẳng ( SCD ) và ( ABCD ) bằng 45°; R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối

chóp S.ABCD. Tính tỉ số
A.

1
2

R
?
3a
B.

1
3

C.

3
4

D.

3
2

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có độ dài đường chéo là a 5 . Cạnh bên
SA = 2a và SA vuông góc với đáy. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
A.

2 14

a
7

B.

a 6
3

C.

2 3
a
11

D.

a 21
2

Câu 14. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA = 2a và SA vuông góc với đáy.
Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.


A.

2 14
a
7

B.

a 6
3

C.

2a
3

D.

a 21
2

Câu 15. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, đáy lớn AD = 2a , AB = BC = CD = a .
Cạnh bên SA = 2a và vuông góc với đáy. Gọi R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD. Tỉ số
R
nhận giá trị nào sau đây?
h
A. a 2

B. a

C. 1

D.

2

Câu 16. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, AD = a . Cạnh bên SA

vuông góc với đáy và góc giữa SC với đáy là 45°. Gọi N là trung điểm SA, h là chiều cao của khối chóp
S.ABCD và R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp N.ABC. Biểu thức liên hệ giữa R và h là
A. 4 R = 5h

B.

5 R = 4h

C. R =

4
5 5

h

D. R =

5 5
h
4

Câu 17. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên
mặt phẳng ( ABC ) là trung điểm H của cạnh BC. Góc giữa đường thẳng SA và mặt phẳng ( ABC ) bằng
60°. Gọi G là trọng tâm tam giác SAC, R là bán kính mặt cầu có tâm G và tiếp xúc với mặt phẳng ( SAB ) .
Đẳng thức nào sau đây sai?
A. R = d G , ( SAB ) 

B. 3 13R = 2 SH

C.

R2
S ∆ABC

=

4 3
39

D.

R
= 13
a


HƯỚNG DẪN GIẢI
Câu 1. Chọn đáp án B
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M là trung
điểm của SA.
Qua N, H lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với SA và
( ABC ) cắt nhau tại I ⇒ I là bán kính mặt cầu ngoại tiếp
·
Do BAC
= 120°; BC = 3a ⇒ AB = AC = a 3
⇒ S ABC =

1
3a 2 3
AB. AC.sin120° =

2
4

Mà S ABC =

AB.BC. AC
4 S ABC
a 3
⇒R=
=
= HA
4R
AB.BC.CA
3

Ta có SM ∩ ( ABC ) = { M } và SA ⊥ ( ABC )
·
⇒ (·SM , ( ABC ) ) = (·SM , MA ) = SMA
= 45°
Ta có AM = AB 2 − BM 2 =

a 3
a 3
a 3
⇒ SA = AM .tan 45° =
⇒ MA =
2
2
4

5a 3
4
125π a 3 3
3
Ta có IA = IN + NA =
⇒ V = π .IA =
12
3
432
2

2

Câu 2. Chọn đáp án A
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, N là trung điểm
của SH ⇒ SH ⊥ ( ABC ) . Qua N kẻ đường thẳng vuông góc với
SB cắt SH tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
 AC ⊥ BM
⇒ AC ⊥ ( SBM ) ⇒ AC ⊥ SM
Ta có 
AC
⊥
SH

Ta có ( SAC ) ⊥ ( ABC ) = AC và AC ⊥ ( SBM )
·
⇒ (·
= 60°
( SAC ) , ( ABC ) ) = (·SM , HM ) = SMH
Ta có BM =

3a 3
1
a 3
3a
⇒ HM = BM =
⇒ SH =
2
3
2
2

Ta có BH =

2
a 21
BM = a 3 ⇒ SB = SH 2 + BH 2 =
3
2

SN SI
SN .SB 7a
4
343a 3π
3
=
⇒ SI =
=
⇒ V = π .SI =
Ta có ∆SNI ~ ∆SHB ⇒

SH SB
SH
4
3
48


Câu 3. Chọn đáp án C
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp
∆ABC ⇒ SH ⊥ ( ABC )
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và SA, qua N kẻ đường
thẳng vuông góc với SA cắt SH tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại
tiếp khối chóp S.ABCD ⇒ R = SI
Ta có SA ∩ ( ABC ) = { A} và SH ⊥ ( ABC )
·
⇒ (·SA, ( ABC ) ) = (·SA, AH ) = SAH
= 60°
Ta có AM =

3a 3
2
⇒ AH = AM = a 3 ⇒ SH = 3a
2
3

Ta có SA = SH 2 + HA2 = 2a 3 ⇒ SN = a 3
Do ∆SNI ~ ∆SHA ⇒

SN SI
SN .SA

=
⇒ R = SI =
= 2a
SH SA
SH

32π a 3
⇒V =
3
Câu 4. Chọn đáp án C
Ta có SC ∩ ( ABC ) = { C} và SA ⊥ ( ABC )
·
⇒ (·SC , ( ABC ) ) = (·SC , AC ) = SCA
= 60°
·
=
Ta có tan SCA

SA
·
⇒ SA = AC.tan SCA
=a 3
AC

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M, N lần
lượt là trung điểm của BC và SA
Qua N, H lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với SA, AM
nhau tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
Ta có AM =

a 3
2
a 3
⇒ AH = AM =
2
3
3

Ta có IA = NA2 + AH 2 =

a 39
6

cắt


Câu 5. Chọn đáp án D
Ta có SB ∩ ( ABC ) = { B} và SA ⊥ ( ABC )
·
⇒ (·SB, ( ABC ) ) = (·SB, AB ) = SBA
= 45°
·
=
Ta có tan SBA

SA
·
⇒ SA = AB.tan SBA
= 2a
AB

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M, N lần lượt
là trung điểm của BC và SA.
Qua N, H lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với SA, AM
cắt nhau tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
Ta có AM = a 3 ⇒ AH =

2
2a 3
AM =
3
3

Ta có IA = NA2 + AH 2 =

a 21
3

Câu 6. Chọn đáp án B
 BC ⊥ AM
⇒ BC ⊥ ( SAM ) ⇒ BC ⊥ SM
Ta có 
 BC ⊥ SA
Ta có ( SBC ) ∩ ( ABC ) = BC và BC ⊥ ( SAM )
·
⇒ (·
= 60°
( SBC ) , ( ABC ) ) = SMA
Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, M, N lần
lượt là trung điểm của BC và SA.

Qua N, H lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với SA, AM
cắt nhau tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
Ta có AM =

3a
2
3a 3
⇒ AH = AM = a; SA = AM .tan 60° =
2
3
2

Ta có IA = NA2 + AH 2 =

a 43
4


Câu 7. Chọn đáp án B
Gọi H là trung điểm BC ⇒ H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác ABC, M là trung điểm của SA
Qua M, H lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với SA, BC cắt
nhau tại I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp
Ta có SA ∩ ( ABC ) = { A} và SB ⊥ ( ABC )
·
⇒ (·SA, ( ABC ) ) = (·SA, AB ) = SAB
= 60° ⇒ SB = 2a 3
Ta có BC = AB 2 + AC 2 = 2a 2 ⇒ BH = a 2
Ta có IB = MB 2 + BH 2 = a 5
Câu 8. Chọn đáp án D

Gọi O là trung điểm của cạnh SC
⇒ R = OA = OB = OC = OS ⇒ SO =
Ta có tan 60° =
⇒

a 15
⇒ SC = a 15
2

SB
BC
⇒ SB = AB 3 =
. 3
SA
2

3
BC 2 + BC 2 = SC 2 = 15a 2 ⇒ BC = a 6
2

⇒ AB = AC = a 3 và SB = 3a
1
1 2 3a 3
⇒ V = .3a. .3a =
.
3
2
2
Câu 9. Chọn đáp án B
Gọi O là trung điểm của cạnh SC

⇒ R = SO = OA = OB = OC = OD =
Ta có tan 60° =

1
SC
2

SA
⇒ SA = a 3
AD

⇒ SC 2 = SA2 + AC 2 = 3a 2 + 2a 2 ⇒ SC = a 5 ⇒ R =

a 5
2


Câu 10. Chọn đáp án D
Gọi O là trung điểm của cạnh SC
⇒ R = SO = OA = OB = OC = OD =
Ta có tan 60° =

1
SC
2

SA
⇒ SA = 4a 3
AB

⇒ SC 2 = SA2 + AC 2 = 48a 2 + 32a 2
⇒ SC = 4a 5 ⇒ R = 2a 5
Câu 11. Chọn đáp án B
Gọi O là trung điểm của cạnh SC
⇒ R = SO = OA = OB = OC = OD =

1
3a
SC =
⇒ SC = 3a .
2
2

Cạnh AC = AB 2 + AD 2 = a 5 ⇒ SA = SC 2 − AC 2 = 2a
1
4a 3
⇒ V = .2a.a.2a =
3
3
Câu 12. Chọn đáp án A
Gọi O là trung điểm của cạnh SC
⇒ R = SO = OA = OB = OC = OD =
Ta có tan 45° =

1
SC
2

SA
⇒ SA = 2a .

AD

Cạnh AC = AB 2 + BC 2 = a 5 ⇒ SC = SA2 + AC 2 = 3a
⇒R=

3a
R 1
⇒
=
2
3a 2

Câu 13. Chọn đáp án D
2

h
Gọi rđ là bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy, ta có R = rđ2 +  ÷
2

2

 a 5   2a  2 a 21
Rõ ràng đường chéo đáy là đường kính đường tròn ngoại tiếp đáy nên R = 
÷ + ÷ =
2
 2   2 
Câu 14. Chọn đáp án C


2

2
 a 3   2 a  2 2a
a 3 2 a 3
h

Ta có R = r +  ÷ , trong đó rd =
nên R = 
. =
÷ + ÷ =
2 3
3
3
2
 3   2 
2
đ


Câu 15. Chọn đáp án D
Gọi O là trung điểm của cạnh SỬ DỤNG
⇒R=

1
R
SD = SA2 + AD 2 = 2a 2 ⇒ = 2
2
h

Câu 16. Chọn đáp án A

Gọi O là trung điểm của cạnh NC
⇒ R = ON =

1
NC ⇒ NC = 2 R
2

Ta có tan 45° =

SA
⇒ AC = SA = h
AC

2

5
h 5
1 
⇒  h ÷ + h2 = 4 R 2 ⇒ h2 = 4R 2 ⇒ R =
4
4
2 
Câu 17. Chọn đáp án D
Ta có R = d ( G; ( SAB ) ) =

2
d ( P; ( SAB ) )
3

1
2
2
= d ( C ; ( SAB ) ) = d ( H ; ( SAB ) ) = d
3
3
3
Lại có tan 60° =
⇒

SH
a 3
3a
⇒ SH = HA 3 =
. 3=
HA
2
2

1
1
1
1
1
1
1
52
=
+
+

=
+
+
= 2
2
2
2
2
2
2
2
d
SH
HA
HB
9a
 3a   a 3   a 
 ÷ 

÷
2
 2   2 ÷
  

⇒d =

3a
3
3a
a

R
2
⇒ R=
⇒R=
⇒
=
2
SH 3 13
2 13
2 13
13


Cạnh S ABC =

a2 3
R2
4 3
⇒
=
4
S ABC
39