Đề thi HSG lớp 10, trại hè hùng vương lần VIII, năm học 2012 – 2013

(Đề thi HSG lớp 10, trại hè Hùng Vương lần VIII, năm học 2012 – 2013)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (5 điểm)
2
2
Giải phương trình sau: ( 3 x + 1) 2 x − 1 = 5 x +

3x
−3
2

Câu 2 (5 điểm)

(1 −

Giải hệ phương trình: 
(1 −

Câu 3 (3 điểm)

12
) x =2
y + 3x
12
) y =6
y + 3x

4
4
4
2

2
2
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: 9 ( a + b + c ) − 25 ( a + b + c ) + 48 = 0

Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =

a2
b2
c2
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b

Câu 4. (5 điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, phân giác trong AD, Đường tròn đường kính AD cắt đường thẳng BC
tại H, cắt đường thẳng AB tại M và cắt đường thẳng AC tại N. Chứng minh rằng các đường thẳng CM,
BN, AH đồng quy.
Câu 5. (1 điểm)
Chứng mih rằng trong dãy 9; 99; 999;9999;... có vô số số hạng chia hết cho 17.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


Đáp Án
Câu 1. Điều kiện: x ≥

2
2

Phương trình tương đương với: 2 ( 3 x + 1) 2 x 2 − 1 = 10 x 2 + 3 x − 6
⇔ 4 ( 2 x 2 − 1) − 2 ( 3 x + 1) 2 x 2 − 1 + 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 (1)

Đặt

2 x 2 − 1 = t ( t ≥ 0 ) khi đó phương trình (1) trở thành:

4t 2 − 2 ( 3x + 1) t + 2 x 2 − 3 x − 2 = 0 (2) phương trình (2) có nghiệm:

∆ ' = ( 3 x + 1) − 4 ( 2 x 2 + 3x − 2 ) = ( x − 3 ) phương trình (2) có nghiệm:
2

2

 3 x + 1 − ( x − 3) x + 2
x+2
=
= 2 x2 − 1
t =

4
2
2

⇒
 3 x + 1 − ( x − 3) 2 x − 1  2 x − 1
= 2x2 −1
=
t =


 2

4
2
  x ≥ −2
 2

2 ± 60
7 x − 4 x − 8 = 0
x =
7
⇔ 
⇔
(thoả điều kiện )
 x ≥ 1

2 ± 60

2
x =
7

 2
 4 x + 4 x − 5 = 0
Vậy phương trình có 2 nghiệm x =
Câu 2. Điều kiện: x ≥ 0; y ≥ 0;; y + 3 x ≠ 0.
+ Nhận xét x ≠ 0, y ≠ 0

2 ± 60

2 ± 60
,x=
7
7

12
2

12



1 − y + 3 x = x
(1 − y + 3 x ) x = 2



⇔
⇔
+ Với x ≠ 0, y ≠ 0 
(1 + 12 ) y = 6
1 + 12 = 6


 y + 3 x

y + 3x
y

1 9

−12
y
y
− =
⇒ y 2 + 6 xy − 27 x 2 = 0 ⇒ ( ) 2 + 6( ) − 27 = 0 ⇔
x y y + 3x
x
x
2
2
y
Với = 3 ⇔ y = 3 x suy ra x = 1 + 3 ; y = 3 1 + 3
x
4
4
4
2
2
2
Câu 3. Từ giả thiết 9 ( a + b + c ) − 25 ( a + b + c ) + 48 = 0

(

)

(

1
3
−

=1
x
y
1
3
−12
−
=
x
y y + 3x
y
y
= 3; = −9 (loại)
x
x

)

⇒ 25 ( a 2 + b 2 + c 2 ) = 48 + 9 ( a 4 + b 4 + c 4 ) ≥ 48 + 3 ( a 2 + b 2 + c 2 )

2

⇒ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) − 25 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 48 ≤ 0 ⇒ 3 ≤ a 2 + b2 + c 2 ≤
2

16
3

Biến đổi
P=

a2
b2
c2
+
+
b + 2c c + 2a a + 2b

a 2 + b2 + c2 )
(
a4
b4
c4
= 2
+
+
≥
a ( b + 2c ) b 2 ( c + 2a ) c 2 ( a + 2b ) a 2b + b 2 c + c 2 a + 2 ( a 2 c + b 2 a + c 2b )
2

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


Lại có: a 2b + b2 c + c 2 a = a.ab + b.bc + c.ca ≤
⇒ a b+b c+c a ≤ a +b +c
2

2

2

2

2

(a

2

2

+ b2

(a
+c )

+ b 2 + c 2 ) ( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 )

2

2 2

3

Tương tự ⇒ a 2 c + b 2 a + c 2b ≤ a 2 + b 2 + c 2

(a

2

+ b2 + c 2 )

2

3

a 2 + b2 + c 2
≥1
3
Dấu bằng xảy ra khi a = b = c =1. GTNN của P = 1
Câu 4. Cách 1
MA HB NC
.
.
(1)
Xét tích T =
MB HC NA
DB AB
¼
=
(2)
Do AD là phân giác của BAC
nên
DC AC
Do tứ giác AMDN nội tiếp nên ta có
BM .BA = BH .BD, CN .CA = CD.CH
BA BH CD CN
⇒

=
,
=
(3)
BD BM CA CH
¼
Do AD là phân giác của MAN
và AD là đường kính nên
AM = AN (4)
Thay (2), (3), (4) vào (1) ta được
Từ đó P ≥

MA HB NC
BA CD BA CD
.
.
= 1.
.
=
.
=1
NA MB HC
BD CA CA BD
Do đó các đường thẳng CM, BH, AH đồng quy.
Cách 2
Ta chứng minh bài toán cho cả elip và đường tròn như sau: “Elip hoặc đường tròn (E) cắt cạnh BC, CA, AB
của ∆ABC ở A1,A2; B1,B2; C1,C2. Chứng minh rằng nếu AA1, BB1, CC1 đồng quy thì AA2, BB2, CC2 cũng
vậy”
Thật vậy, áp dụng định lý carnaot: “Cho đường cong bậc hai:
F ( x, y ) = ax 2 + 2bxy + cy 2 + 2dx + 2ey + f = 0 ( C )

T=

Ai, Bi, Ci (i = 1, 2) lần lượt chia cạnh BC, CA, AB của
∆ABC theo tỉ số α i , βi , γ j (Ai, Bi, Ci ≠ đỉnh). Vậy thì: Ai, Bi, Ci ∈
(C) ⇔ α1α 2β1β2 γ1γ 2 = 1 " , ta có:
AA1 , BB1 , CC1
⇒
đồng quy

α1β1γ1 =

-1

nên

từ

α1α 2β1β2 γ1γ 2 = 1 ⇒ α 2β2 γ 2 = −1 ⇒ AA 2 , BB2 , CC 2 đồng quy.
Quay trở lại bài toán trên, ta thấy đường tròn đường kính AD cắt ba cạnh của tam giác ABC tại 6 điểm H, D;
N,A; A,M mà AD, BA, CA đồng quy tại A nên AH, BN, CM đồng quy.
Câu 5. Vì (17, 10) = 1 (1) và 17 là số nguyên tố nên theo định lý Fecma nhỏ ta có:
(2)
( 1017 − 10 ) M17 ⇒ 10 ( 1016 − 1) M17
16
17 ⇒ 1016 ≡ 1( mod17 )
Từ (1) và (2) suy ra 10 − 1M
16.n

Do đó, với mọi n nguyên dương thì 10

≡ 1( mod17 ) ⇒ 1016.n − 1M
17

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3


16.n

Mặt khác 10

− 1 = 99...9
{
n.16

Vậy có vô số số hạng của dãy 9; 99; 999;9999;... chia hết cho 17

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

4