Đề thi HSG, lớp 10,trại hè hùng vương, lầm XI , năm học 2015 – 2016

(Đề thi HSG, lớp 10,Trại hè Hùng Vương, lầm XI , năm học 2015 – 2016)
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1 (4 điểm)
Giải phương trình sau trên tập số thực

x 3 + x 2 + 3x − 1 + x 3 + 6 x + 2 = 5

Câu 2 (4 điểm)
Cho ∆ABC có ba góc nhọn và nội tiếp đường tròn (O). Goin H là trực tâm ∆ABC và P là điểm trên đoạn
BC (P ≠ B; P ≠ C). Đường thẳng AH cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BHC tại T (T ≠ H). Đường thẳng TP
cắt đường tròn ngoại tiếp ∆BHC tại K (K ≠ T). Giả sử BK cắt AC tại M; CK cắt AB tại N. Gọi X, Y lần
lượt là trung điểm của BN, CM
a) chứng minh rằng tứ giác ANKM nội tiếp.
b) chứng minh rằng ·XPY có số đo không đổi khi P di động trên BC
Câu 3 (4 điểm)
1 1 1
Xét các số thực dương x,y và z thỏa mãn + + = 3 .
x y z
Chứng minh rằng:
x
y
z
3
+ 4
+ 4
≤
4
x + 1 + 2 xy y + 1 + 2 yz z + 1 + 2 zx 4
Câu 4. (4 điểm)
Với tam thức bậc hai a 2 + bx + c cho phép thực hiện các phép biến đổi sau:
(i)

Đổi chỗ a và c cho nhau hoặc,
(ii)
Thay đổi x bởi x + t với t là một số thực bất kì.
Bằng cách lặp lại các phép biến đổi trên có thể biến đổi tam thức x 2 + 8 x − 2015 thành tam thức
2016 x 2 + 8 x − 1 hay không?
Câu 5. (4 điểm)
Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số n 7 − n5 + 2n 4 + n3 − n 2 + 1 có đúng một ước số nguyên tố.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

1


Đáp Án
Câu 1.

(1)

x 3 + x 2 + 3x − 1 + x 3 + 6 x + 2 = 5

⇒ ( x 3 + x 2 − 1 − 2) + ( x 3 + 6 x + 2 − 3) = 0
⇔
⇔

x 3 + x 2 + 3x − 5
x 3 + x 2 + 3x − 1 + 2

x3 + 6 x − 7
x3 + 6 x + 2 + 3

=0

( x − 1) ( x 2 + 2 x + 5) ( x − 1) ( x 2 + x + 7 )
x 3 + x 2 + 3x − 1 + 2

x3 + 6 x + 2 + 3

=0


x 2 + 2 x + 5)
x2 + x + 7 ) 
(
(
 = 0 ⇔ x =1
⇔ ( x − 1) 
 x 3 + x 2 + 3 x − 1 + 2 x3 + 6 x + 2 + 3 
Thử lại x = 1 thỏa mãn (1). Vậy phương trình có nghiệm x = 1.
·
Câu 2. a) Dễ thấy: BHC
= 1800 − µA
·
·
·
Từ đó suy ra MKC
= 1800 − BKC
= 1800 − BHC
= µA
·
Do đó NKM

= 1800 − µA suy ra tứ giác ANKM nội tiếp

·
·
·
b) Ta có BTC
nên T đối xứng với A qua BC.
= 1800 − BHC
= BAC
·
·
µ , suy ra tứ giác PKB nội tiếp.
Do đó PKC
= TBC
= ·ABC = B
Tương tự ta có tứ giác PKMC nội tiếp.
·
·
µ = PBN
·
·
·
·
Do đó PMC
= PKC
=B
; MKC
= NKB
= NPB
⇒ ∆PBN : ∆PMC

·
Vì X, Y là hai trung điểm tương tự của BN, CM nên ·XPB = MPY
, từ đó suy ra
0
0
0
·XPB = BPM
·
·
·
= 180 − MPY
= 180 − MKC
= 180 − µA không đổi.
4
2
4
Câu 3. Ta có x + 1 ≥ 2 x ⇒ x + 1 + 2 xy ≥ 2 x ( x + y ) . Do đó
x
1
≤
x + 1 + 2 xy 2 ( x + y )
y
1
z
1
≤
≤
Tương tự 4
; 4
y + 1 + 2 yz 2 ( y + z ) z + 1 + 2 zx 2 ( z + x )

4

x
y
z
1 1
1
1 
+ 4
+ 4
≤ 
+
+
÷ (*)
x + 1 + 2 xy y + 1 + 2 yz z + 1 + 2 zx 2  x + y y + z z + x 
1 1
4
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc + ≥
x y x+ y
Do đó

4

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

2


1
1

1
11 1 1 1 1
1 3
+
+
≤  + + + + + + ÷=
(**)
x+ y y+ z z+x 4 x y y z z
x 2
Từ (*) và (**) suy ra điều phải chứng minh.
2
Câu 4.Với tam thức f(x) = ax 2 + bx + c , kí hiệu biệt thức của f(x) alf ∆ F = b − 4ac. Với phép biến đổi (i).
⇒

ax 2 + bx + c biến đổi thành cx 2 + bx + a , suy ra chúng có cùng biệt thứ ∆ = b 2 − 4ac.
Với phép biến đổi (ii), gọi x1, x2 là nghiệm của f1(x) = ax 2 + bx + c suy ra x1 + t; x2 + t là nghiệm của
f2(x) = a(x + t)2 + b(x + t) + c.
b
c
Vì x1 + x2 = − ; x1x2 =
nên
a
a
2

2
c
2
2 b
∆ f1 = b − 4ac = a  ÷ − 4  = a 2 ( ( x1 + t ) − ( x2 + t ) ) = ∆ f2

a 
 a 

Tức là phép biến đổi này không làm thay đổi biệt thức của tam thức. Do đó, các phép biến đổi trên không
làm thay đổi biệt thứ ∆ của tam thứ (*)
Mặt khác, các tam thức x 2 + 8 x − 2015 , 2016 x 2 + 8 x − 1 có biệt thức ∆ là 8124; 8128.
Do đó, từ (*) suy ra yêu cầu bài toán là không thể thực hiện được.
Câu 5. +) Với n = 0, ta có n 7 − n5 + 2n 4 + n3 − n 2 + 1 = 1 (không thỏa mãn)
+) Với n = 1, ta có n 7 − n5 + 2n 4 + n3 − n 2 + 1 = 3 thỏa mãn)
4
3
2
3
Xét n ≥ 2 ta có n + n + 1 = n ( n − n + 1) + ( n + 1) > n − n + 1 > 1 suy ra tồn tại các số nguyên dương s, t sao
 n 4 + n + 1 = p s
cho s > t và  3
t
 n − n + 1 = p

2
4
3
s
t
Ta có n + 1 = ( n + n + 1) − n ( n − n + 1) = p − np suy ra n 2 + 1 ≥ p t

⇒ n 2 + 1 ≥ n3 − n + 1 ⇒ n ( n 2 − n − 1) < 0 . Vô lý.
Vậy tất cả các giá trị cần tìm cua rn là n = 1.

– Website chuyên đề thi – tài liệu file word mới nhất

3