OXY PHƯƠNG PHÁP TOẠ độ TRONG mặt PHẲNG (lý thuyết + bài tập ứng dụng có lời giải) file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG
§1. PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT CỦA ĐƯỜNG THẲNG
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng :
r r
a. Định nghĩa : Cho đường thẳng D . Vectơ n¹ 0 gọi là vectơ pháp tuyến
r
(VTPT) của D nếu giá của n vuông góc với D .
Nhận xét :
r
r
- Nếu n là VTPT của D thì kn( k¹ 0) cũng là VTPT của D .
b. Phương trình tổng quát của đường thẳng
r
Cho đường thẳng D đi qua M 0(x0 ; y0 ) và có VTPT n = (a; b) .
uuuuur r
uuuuur r
Khi đó M (x; y) Î D Û MM 0 ^ n Û MM 0.n = 0 Û a(x- x0 ) + b(y - y0 ) = 0
Û ax + by + c = 0 (c =- ax0 - by0 )

(1)

(1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng D .
Chú ý :
r
- Nếu đường thẳng D : ax + by + c = 0 thì n = (a; b) là VTPT của D .
c) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát
• D song song hoặc trùng với trục Ox Û D : by + c = 0
• D song song hoặc trùng với trục Oy Û D : ax + c = 0
• D đi qua gốc tọa độ Û D : ax + by = 0

x y
• D đi qua hai điểm A ( a;0) , B( 0; b) Û D : + = 1 với ( ab¹ 0)
a b
• Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y = kx + m với k = tan a , a là
góc hợp bởi tia Mt của D ở phía trên trục Ox và tia Mx
2. Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Cho hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2y + c2 = 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

• d1 cắt d2 khi và chỉ khi
• d1 / / d2

khi và chỉ khi

a1 b1
¹ 0
a2 b2

a1 b1
b c
a b
= 0 và 1 1 ¹ 0 , hoặc 1 1 = 0 và
a2 b2
b2 c2
a2 b2

c1 a1
¹ 0

c2 a2
• d1 º d2 khi và chỉ khi

a1 b1
b c
c a
= 1 1 = 1 1 =0
a2 b2
b2 c2
c2 a2

Chú ý: Với trường hợp a2.b2.c2 ¹ 0 khi đó
+ Nếu

a1 a2
¹
thì hai đường thẳng cắt nhau.
b1 b2

+ Nếu

a1 a2 c1
= ¹
b1 b2 c2

thì hai đường thẳng song song nhau.

+ Nếu

a1 a2 c1

= =
b1 b2 c2

thì hai đường thẳng trùng nhau.

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
• Để viết phương trình tổng quát của đường thẳng D ta cần xác định
- Điểm A(x0 ; y0 ) Î D
r
- Một vectơ pháp tuyến n( a; b) của D
Khi đó phương trình tổng quát của D là a( x- x0) + b( y- y0) = 0
Chú ý:
o Đường thẳng D có phương trình tổng quát là ax + by + c = 0, a2 + b2 ¹ 0
r
nhận n( a; b) làm vectơ pháp tuyến.
o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì VTPT đường thẳng này
cũng là VTPT của đường thẳng kia.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
o Phương trình đường thẳng D qua điểm M ( x0 ; y0 ) có dạng
D : a( x- x0) + b( y - y0 ) = 0 với a2 + b2 ¹ 0
hoặc ta chia làm hai trường hợp
+ x = x0 : nếu đường thẳng song song với trục Oy
+ y - y0 = k( x- x0) : nếu đường thẳng cắt trục Oy
o Phương trình đường thẳng đi qua A ( a;0) , B( 0; b) với ab¹ 0 có dạng
x y
+ =1

a b
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết A ( 2;0) , B( 0;4) , C(1;3) . Viết phương trình tổng
quát của
a) Đường cao AH
A. x- 2y - 2 = 0

B. x- y - 3= 0

C. x- y - 4 = 0

D. x- y - 2 = 0

B. x- y + 3 = 0

C. x- y + 5 = 0

D. x- y + 4 = 0

B. 2x + y - 3 = 0

C. 2x + y - 5 = 0

D. 2x + y - 4 = 0

b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC .
A. x- y + 6 = 0
c) Đường thẳng AB.
A. 2x + y - 14 = 0

d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB.

A. 2x + y - 5 = 0

B. 2x + y - 4 = 0

C. 2x + y - 6 = 0

D. 2x + y - 7 = 0

Lời giải:
uuu
r
a) Vì AH ^ BC nên BC là vectơ pháp tuyến của AH
uuu
r
uuu
r
Ta có BC ( 1;- 1) suy ra đường cao AH đi qua A và nhận BC là vectơ pháp
tuyến có phương trình tổng quát là 1.( x- 2) - 1.( y - 0) = 0 hay x- y - 2 = 0 .
b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm BC và nhận vectơ
uuu
r
BC làm vectơ pháp tuyến.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

Gọi I là trung điểm BC khi đó xI =

æ1 7ö
xB + xC 1

y + yC 7
= , yI = B
= Þ Iç
; ÷
÷
ç
ç
÷
2
2
2
2
è2 2ø

Suy ra phương trình tổng quát của đường trung trực BC là
æ 1ö
æ 7ö
1.ç
x- ÷
y- ÷
÷- 1.ç
÷= 0 hay x- y + 3 = 0
ç
ç
ç
÷ è
ç 2ø
÷
è 2ø
c) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB có dạng

x y
+ = 1 hay
2 4

2x + y - 4 = 0 .
r
d) Cách 1: Đường thẳng AB có VTPT là n( 2;1) do đó vì đường thẳng cần tìm
r
song song với đường thẳng AB nên nhận n( 2;1) làm VTPT do đó có phương
trình tổng quát là 2.( x- 1) + 1.( y - 3) = 0 hay 2x + y - 5 = 0.
Cách 2: Đường thẳng D song song với đường thẳng AB có dạng 2x + y + c = 0.
Điểm C thuộc D suy ra 2.1+ 3+ c = 0 Þ c =- 5.
Vậy đường thẳng cần tìm có phương trình tổng quát là 2x + y - 5 = 0.
Ví dụ 2: Cho đường thẳng d : x- 2y + 3 = 0 và điểm M ( - 1;2) . Viết phương
trình tổng quát của đường thẳng D biết:
a) D đi qua điểm M và có hệ số góc k= 3
A. 3x- y + 6 = 0

B. 3x- y + 7 = 0

C. 3x- y + 5 = 0

D. 3x- y + 4 = 0

b) D đi qua M và vuông góc với đường thẳng d
A. 2x + y + 4 = 0

B. 2x + y + 3 = 0

C. 2x + y + 2 = 0

D. 2x + y + 1= 0

c) D đối xứng với đường thẳng d qua M
A. x- 2y + 4 = 0

B. x- 2y + 5 = 0

C. 2x- 2y + 7 = 0 D. x- 2y + 7 = 0

Lời giải:
a) Đường thẳng D có hệ số góc k= 3 có phương trình dạng y = 3x + m. Mặt
khác M Î D Þ 2 = 3.( - 1) + mÞ m= 5


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng D là y = 3x + 5 hay 3x- y + 5 = 0.
1
3
b) Ta có x- 2y + 3 = 0 Û y = x + do đó hệ số góc của đường thẳng d là
2
2
1
kd = .
2
Vì D ^ d nên hệ số góc của D là kD thì F1F2 = 2c( c> 0)
Do đó a> c , MF1 + MF2 = 2a
Suy ra phương trình tổng quát đường thẳng F1 , F2 là F1F2 = 2c hay 2x + y + 2 = 0
.

x2 y2
c) Cách 1: Ta có F1 ( - c;0) , F2 ( c;0) do đó M ( x; y) Î ( E) Û 2 + 2 = 1 ( 1) vì vậy
a
b
đường thẳng b2 = a2 - c2 đối xứng với đường thẳng F1 ( - c;0) qua M sẽ song
song với đường thẳng A1 ( - a;0) , A2 ( a;0) , B1 ( 0;- b) , B2 ( 0; b) suy ra đường thẳng
A1A2 = 2a có VTPT là B1B2 = 2b.
Ta có A ( 1;2) Î d, gọi A ' đối xứng với M ( xM ; yM ) qua
c
c
MF1 = a+ exM = a+ xM , MF2 = a- exM = a- xM khi đó a, b
a
a
Ta có M là trung điểm của AA ' .
xA + xA '
ïìï
ïï xM =
ìï x = 2x - x = 2.( - 1) - 1=- 3
M
A
2
Þ ïí
Þ íï A '
Þ A '( - 3;2)
ïï
yA + yA ' ïïî yA ' = 2yM - yA = 2.2- 2 = 2
ïï yM =
2
ïî
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng D là 1.( x + 3) - 2( y - 2) = 0 hay

x- 2y + 7 = 0 .
Cách 2: Gọi A ( x0 ; y0) là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d, A '( x; y) là điểm
đối xứng với A qua M .


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
Khi đó M là trung điểm của AA ' suy ra
ìï
ïï x = x0 + x
M
2 Û
ïïí
ïï
y +y
ïï yM = 0
2
îï

ìï
ïï - 1= x0 + x
2 Û
ïïí
ïï
y +y
ïï 2 = 0
2
îï

ì
ïíï x0 =- 2- x

ïïî y0 = 4- y

Ta có A Î d Þ x0 - 2y0 + 3= 0 suy ra ( - 2- x) - 2.( 4- y) + 3= 0 Û x- 2y + 7 = 0
Vậy phương trình tổng quát của D đối xứng với đường thẳng d qua M là
x- 2y + 7 = 0 .
Ví dụ 3: Biết hai cạnh của một hình bình hành có phương trình x- y = 0 và
x + 3y - 8 = 0, tọa độ một đỉnh của hình bình hành là ( - 2;2) . Viết phương trình
các cạnh còn lại của hình bình hành.
A. x- y + 4 = 0

B. x + 3y - 3 = 0

C. x + 3y - 2 = 0

D. x- y - 1= 0

Lời giải:
Đặt tên hình bình hành là ABCD với A ( - 2;2) , do tọa độ điểm A không là
nghiệm của hai phương trình đường thẳng trên nên ta giả sử BC : x- y = 0 ,
CD : x + 3y - 8 = 0
uuur
Vì AB / /CD nên cạnh AB nhận nCD ( 1;3) làm VTPT do đó có phương trình là
1.( x + 2) + 3.( y - 2) = 0 hay x + 3y - 4 = 0
Tương tự cạnh AD nhận

x2 y2
+ = 1( a> b> 0) làm VTPT do đó có phương trình
a2 b2

là 1.( x + 2) - 1.( y - 2) = 0 hay x- y + 4 = 0

Ví dụ 4: Cho điểm M ( 1;4) . Viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt cắt
x2 y2
+ = 1, tia 0; 5 tại A và B sao cho tam giác b= 5 có diện tích
9
5
nhỏ nhất .
hai tia

A. 4x + y - 6 = 0

(

)

B. 4x + y - 2 = 0

C. 4x + y - 4 = 0

Lời giải:

D. 4x + y - 8 = 0


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
æ4 10
ç
;Giả sử A ( a;0) , B( 0; b) với M ç
ç
ç
è 5

ö
÷
1÷
. Khi đó đường thẳng đi qua A, B có
÷
÷
÷
ø

160 1
x2 y2
2
+ = 1Þ a = 8 . Do
dạng
+ = 1 nên F1(25a2 5
8
5

3;0)

1
1
Mặt khác SOAB = OA.OB = ab.
2
2
Áp dụng BĐT Côsi ta có a2 = b2 + c2 = b2 + 3
Suy ra M (1;

1 4

1 4
4 33
1 528
) Î (E) Þ 2 +
= 1 nhỏ nhất khi = và + = 1 do đó
2
a b
a b
5
a 25b

a= 2; b= 8
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là

x y
+ = 1 hay 4x + y - 8 = 0
2 8

 DẠNG 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
1. Phương pháp giải:
Để xét vị trí tương đối của hai đường thẳng
d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2y + c2 = 0 .
ïì a1x + b1y + c1 = 0
Ta xét hệ ïí
(I)
ïïî a2x + b2y + c2 = 0
+ Hệ (I) vô nghiệm suy ra d1 / / d2 .
+ Hệ (I) vô số nghiệm suy ra d1 º d2
+ Hệ (I) có nghiệm duy nhất suy ra d1 và d2 cắt nhau và nghiệm của hệ là tọa
độ giao điểm.

Chú ý: Với trường hợp a2.b2.c2 ¹ 0 khi đó
+ Nếu

a1 b1
¹
thì hai đường thẳng cắt nhau.
a2 b2

+ Nếu

a1 b1 c1
= ¹
a2 b2 c2

thì hai đường thẳng song song nhau.


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

+ Nếu

a1 b1 c1
= =
a2 b2 c2

thì hai đường thẳng trùng nhau.

2. Các ví dụ:
Ví dụ 1: Xét vị trí tương đối các cặp đường thẳng sau
a) D 1 : x + y - 2 = 0;

D 2 : 2x + y- 3= 0

A. D 1 cắt D 2

B. D 1 trùng D 2

C. D 1 / /D 2

D. Không xác định được

b) D 1 : - x- 2y + 5= 0;

D 2 :2x + 4y - 10 = 0

A. D 1 cắt D 2

B. D 1 trùng D 2

C. D 1 / /D 2

D. Không xác định được

c) D 1 : 2x- 3y + 5 = 0;

D 2 : x- 5 = 0

A. D 1 cắt D 2

B. D 1 trùng D 2

C. D 1 / /D 2

D. Không xác định được

d) D 1 : 2x + 3y + 4 = 0;

D 2 : - 4x- 6y = 0

A. D 1 cắt D 2

B. D 1 trùng D 2

C. D 1 / /D 2

D. Không xác định được
Lời giải:

a) Ta có

1 1
¹
suy ra D 1 cắt D 2
2 1

b) Ta có

- 1 - 2
5
=

=
suy ra D 1 trùng D 2
2
4 - 10

c) Ta có

1
0
¹
suy ra D 1 cắt D 2
2 - 3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

d) Ta có

- 4 - 6 0
=
¹
suy ra D 1 / /D 2
2
3
4
2

x2 ( 3xM )
5
Ví dụ 2: Cho tam giác M +

có phương
= 1Û 26xM2 = 25 Û xM = ±
25
9
26
æ5
15 ö
÷
÷
;
trình các đường thẳng M 1 ç
ç
là
÷
ç
÷
è 26 26ø
AB : 2x- y + 2 = 0 ; BC : 3x + 2y + 1= 0 ; CA : 3x + y + 3 = 0 .
Xác định vị trí tương đối của đường cao kẻ từ đỉnh A và đường thẳng
D : 3x- y - 2 = 0
A. cắt

B. trùng

C. Song song

D. Không xác định được
Lời giải:

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ a= 5, b= 3,c = a2 - b2 = 4

c
4
Ta xác định được hai điểm thuộc đường thẳng BC là MF1 = a+ xM = 5+ xM
a
5
Đường cao kẻ từ đỉnh A vuông góc với BC nên nhận vectơ
MF2 = a-

c
4
xM = 5- xM làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là
a
5

æ 4 ö
4
2( x + 1) - 3y = 0 hay 5+ xM = 2ç
5- xM ÷
÷
ç
÷
ç
5
è 5 ø
Ta có Û xM =

25
suy ra hai đường thẳng cắt nhau.
12

Ví dụ 3: Cho hai đường thẳng

æ25 119ö
÷
ç
25 yM2
119
÷
ç ;
M
và
.
÷
+
= 1Û yM = ±
1ç
÷
ç
÷
144 9
4
è12 4 ø

a) Xác định vị trí tương đối và xác định giao điểm (nếu có) của D 1 và
uuuu
r
uuuu
r
F1 ( - 4;0) , F2 ( 4;0) Þ MF1 ( xM + 4; yM ) , MF2 ( xM - 4; yM ) trong các trường hợp
· MF = 600

F
1
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. D 1 cắt D 2

B. D 1 trùng D 2

C. D 1 / /D 2

D. Không xác định được

uuuu
r uuuu
r
MF
.
MF
xM2 + yM2 - 16
cos600 = uuuu
r1 uuu2u
r =
b) Tìm
4 öæ
4 ö để hai đường thẳng song song
MF1 . MF2 æ
ç
5+ xM ÷

5- xM ÷
֍
÷
ç
ç
֏
÷
ç
ç 5 ø
è 5 ø
với nhau.
A. m= 2

B. m= 5

C. m= 4

D. m= 3

Lời giải:
1æ 16 2 ö
xM2
57 yM2
2
2
25xM ÷
÷
a) Với Û xM + yM - 16 = ç
xét
hệ

suy ra
ç
=
÷
ç
2è
25 ø
25 66 33
yM 2
57 yM2
3 3
5 13
cắt xM = ±
tại điểm có tọa độ
+
= 1Þ yM = ±
66 33
9
4
4
æ5 13 3 3ö
÷
÷
ç
M 1ç
;
÷
ç
÷
ç 4

4 ø
÷
è
æ 5 13 3 3ö
æ5 13
æ 5 13
3 3ö
3 3ö
÷
÷
÷
çç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
;
,
M
;
M
;
Với M 2 ç
xét
hệ
suy ra D 1 cắt
÷
÷

÷
3ç
4ç
ç
÷
÷
÷
ç
ç
ç
4
4
÷
4
4
÷
4
4
÷
è
ø
è
ø
è
ø
r
n( - 1;1) tại gốc tọa độ
- xM + yM
1
1

1
2
= - xM + yM theo
b) Với - x + y = 0 hoặc SOAM = OA.d( M ;OA ) =
2
2
2
2
câu a hai đường thẳng cắt nhau nên không thỏa mãn
Với SOAM

æx 2 y 2 ö
xM
yM
1
1
34
M
÷
= - 5.
+ 3.
£ .34.ç
ç
+ M ÷
=
và m¹ 1 hai đường thẳng
÷
ç
÷
ç

2
5
3
2
9 ø 2
è 25

song song khi và chỉ khi
m- 3 2
m2 - 1
= ¹
Û m= 2
- 1
m ( m- 1) 2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ìï
ïï xM =- 25
ï
34
Vậy với ïí
thì hai đường thẳng song song với nhau.
ïï
9
y
=
ïï M
34
ïî

æ25
;ç
Ví dụ 4: Cho tam giác M 1 ç
ç
è 34

9 ö
÷
÷
, tìm tọa độ các đỉnh của tam giác
÷
÷
34 ø

trong trường hợp sau
a) Biết A ( 2;2) và hai đường cao có phương trình d1 : x + y - 2 = 0
; d2 :9x- 3y + 4 = 0 .
æ 13ö
1; ÷
÷
A. B( - 2;4) và C ç
ç
ç
÷
è 3ø

æ 22ö
2; ÷
÷
B. B( 0;2) và C ç

ç
ç
÷
è 3ø

æ2 4 3ö
÷
ç ;
÷
C. B( - 1;3) và Bç
÷
ç
÷
ç
÷
è7 7 ø

æ 31ö
3; ÷
÷
D. B( 1;1) và C ç
ç
÷
ç
è 3ø

b) Biết A(4;- 1) , phương trình đường cao kẻ từ B là A , B ; phương trình trung
tuyến đi qua đỉnh C là ABC
æ 2ö
æ 2ö

1; ÷
Cç
1;- ÷
÷
÷
A. Bç
và
ç
ç
÷
÷.
ç
ç
è 3ø
è 3ø

æ 4ö
2; ÷
÷
B. Bç
ç
÷và C ( 6;- 4) .
ç
è 3ø

æ1 1ö
æ 4ö
; ÷
Cç
2;- ÷

÷
÷
C. Bç
và
ç
ç
÷
÷.
ç
ç
3ø
è2 3ø
è

D.

x2 y2
+ = 1( a> b> 0) và C ( 6;- 4) .
a2 b2

Lời giải:
a) Tọa độ điểm A không là nghiệm của phương trình A ( x0 ; y0) suy ra A , B nên
ta có thể giả sử B Î d1 , C Î d2
Ta có AB đi qua A và vuông góc với A Î ( E) nên nhận
làm VTPT nên có phương trình là

x02 y02
x02
2
+ = 1Û y0 = 14

1
4


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
2

2

2

ABC hay AB2 = AC 2 ị ( - 2y0 ) = ( 2- x0) +( - y0 ) ; AC i qua 3y02 = 4- 4x0 + x02
ổ x2 ử
ỗ1- 0 ữ
ữ
= 4- 4x0 + x02 7x02 - 16x0 + 4 = 0
v vuụng gúc vi 3ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
4
ố
ứ

ộx0 = 2
ờ
ờ
nờn nhn
ờx0 = 2

ờ
7
ở

x0 = 2 lm VTPT nờn cú phng trỡnh l y0 = 0 hay A C
B l giao im ca x0 =

y0 =

2
v AB suy ra ta ca B l nghim ca h
7

4 3
7

ổ2 4 3ữ
ử
ỗ ;
ữ
Tng t ta C l nghim ca h A ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố7 7 ữ
ứ
ổ2 4 3ử
ữ
ỗ ;

ữ
Vy A ( 2;2) , B( - 1;3) v Bỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
7
7
ữ
ố
ứ
b) Ta cú AC i qua Oxy v vuụng gúc vi 9x2 + 25y2 = 225 nờn nhn F1 lm
VTPT nờn cú phng trỡnh l
3( x- 4) + 2( y + 1) = 0 hay 3x + 2y - 10 = 0
ỡù 3x + 2y - 10 = 0

Suy ra to C l nghim ca h ùớ
ùùợ 2x + 3y = 0

ỡù x = 6
ùớ
ị C ( 6;- 4)
ùùợ y =- 4

Gi s B( xB ; yB ) suy ra trung im A ( 0;3) ca AB thuc ng thng B, C do
ú

( E) :

x2 y2

+ = 1 hay 2xB + 3yB + 5 = 0 (1)
9
3

Mt khỏc Bẻ D suy ra 2xB - 3yB = 0 (2)
ổ 5 5ữ
ử
- ;- ữ
T (1) v (2) suy ra Bỗ
ỗ
ữ
ỗ
ố 4 6ứ


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
x2 y2
Vậy A(4;- 1) , 2 + 2 = 1( a> b> 0) và C ( 6;- 4) .
a
b
§2. PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ CỦA ĐƯỜNG THẲNG
1. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng :
a. Định nghĩa vectơ chỉ phương :
r r
Cho đường thẳng D . Vectơ u¹ 0 gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường
thẳng D nếu giá của nó song song hoặc trùng với D .
Nhận xét :
r
r
- Nếu u là VTCP của D thì ku( k¹ 0) cũng là VTCP của D .

r
- VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu D có VTCP u = (a; b) thì
r
n = (- b; a) là một VTPT của D .
b. Phương trình tham số của đường thẳng :
r
Cho đường thẳng D đi qua M 0(x0 ; y0 ) và u = (a; b) là VTCP.
uuuuur
r ìï x = x + at
0
t Î R . (1)
Khi đó M (x; y) Î D . Û MM 0 = tu Û ïí
ïïî y = y0 + bt
Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng D , t gọi là tham số
Nhận xét : Nếu D có phương trình tham số là (1) khi đó
A Î D Û A(x0 + at; y0 + bt)
2. Phương trình chính tắc của đường thẳng.
r
Cho đường thẳng D đi qua M 0(x0 ; y0 ) và u = (a; b) (với a¹ 0, b¹ 0) là vectơ chỉ
phương thì phương trình

x- x0 y - y0
được gọi là phương trình chính tắc của
=
a
b

đường thẳng D .
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
 DẠNG 1: Viết phương trình tham số và chính tắc của đường

thẳng.
1. Phương pháp giải:


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

• Để viết phương trình tham số của đường thẳng

13 ta cần xác định
3

- Điểm A(x0 ; y0 ) Î D
r
- Một vectơ chỉ phương u( a; b) của D
Khi đó phương trình tham số của D là

x2 y2
= 1.
a2 b2

• Để viết phương trình chính tắc của đường thẳng b2 = c2 - a2 ta cần xác
định
- Điểm A(x0 ; y0 ) Î D
r
- Một vectơ chỉ phương u( a; b) , ab¹ 0 của D
Phương trình chính tắc của đường thẳng 2b= 28 Þ b2 = 7, a2 = c2 - b2 = 9 là
x2 y2
=1
9 7
(trường hợp 2c = 10 Þ a2 + b2 = 25 thì đường thẳng không có phương trình

chính tắc)
Chú ý:
o Nếu hai đường thẳng song song với nhau thì chúng có cùng VTCP và
VTPT.
o Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì VTCP của đường thẳng này là
VTPT của đường thẳng kia và ngược lại
4
b 4
16
o Nếu y = ± x có VTCP = thì b2 = a2 là một VTPT của
3
a 3
9
16
a2 + a2 = 25 Û a2 = 9 Þ b2 = 16 .
9
2. Các ví dụ:
x2 y2
13
. Viết phương trình tham số của đường
= 1 và
9 16
3
thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
Ví dụ 1: Cho điểm


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
a) c = 13 Û
a

3
tuyến

r
a2 + b2
13 đi qua
n
và
nhận
vectơ
A
( 1;2) làm vectơ pháp
=
a
3

ìï x =- 2- 2t
A. D : ïí
ïïî y = 3+ t

ìï x = 1- 1t
B. D : ïí
ïïî y =- 3+ 2t

ïì x = 1- 2t
C. D : ïí
ïïî y =- 3- t

ïì x = 1- 2t
D. D : ïí

ïïî y =- 3+ t

b) D đi qua gốc tọa độ và song song với đường thẳng AB
ïì x = 1- t
A. D : ïí
ïïî y = 2t

ïì x =- 2t
B. D : ïí
ïïî y = 2t

ïì x =- 4t
C. D : ïí
ïïî y = 2t

ïì x =- t
D. D : ïí
ïïî y = 2t

c) D là đường trung trực của đoạn thẳng AB
ìï
ïï x =- 1 - 2t
D
:
A.
í
2
ïï
y
=

2
t
ïî

ìï
ïï x =- 1 - t
D
:
B.
í
2
ïï
y
=
1
+
2t
ïî

ìï
ïï x =- 1 - t
D
:
C.
í
2
ïï
y
=
3

+
2t
ïî

ìï
ïï x =- 1 - t
D
:
D.
í
2
ïï
y
=
2
t
ïî
Lời giải:

r
r
a) Vì D nhận vectơ n( 1;2) làm vectơ pháp tuyến nên VTCP của D là u( - 2;1) .
ïì x = 1- 2t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng D là D : ïí
ïïî y =- 3+ t
uuu
r
r
b) Ta có AB( - 3;6) mà D song song với đường thẳng AB nên nhận u( - 1;2)
làm VTCP

ìï x =- t
Vậy phương trình tham số của đường thẳng D là D : ïí
ïïî y = 2t


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
uuu
r
c) Vì D là đường trung trực của đoạn thẳng AB nên nhận AB( - 3;6) làm VTPT
và đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB.
r
æ1 ö
- ;0÷
÷
u
Ta có I ç
và
nhận
D
ç
( - 1;2) làm VTCP nên phương trình tham số của
÷
ç 2 ø
è
ìï
ïï x =- 1 - t
đường thẳng D là D : í
2 .
ïï
ïî y = 2t

Ví dụ 2: Viết phương trình tổng quát, tham số, chính tắc (nếu có) của đường
thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm A ( 3;0) và B( 1;3)
A. 3x + 2y - 6 = 0

B. 3x + 2y - 7 = 0

C. 3x + 2y - 9 = 0

D. 3x + 2y - 8 = 0

ìï x = 1- 3t
b) ∆ đi qua N ( 3;4) và vuông góc với đường thẳng d': ïí
.
ïïî y = 4+ 5t
A.

x- 3 y + 4
=
5
- 3

B.

x + 3 y- 4
=
- 5
- 3

C.

x + 3 y- 4
=
5
- 3

D.

x- 3 y - 4
=
- 5
- 3

Lời giải:
uuu
r
a) Đường thẳng ∆ đi qua hai điểm A và B nên nhận AB= ( - 2;3) làm vectơ chỉ
phương do đó
ìï x = 3- 2t
x- 3 y
= ;
phương trình tham số là ïí
; phương trình chính tắc là
ïïî y = 3t
- 2
3
phương trình tổng quát là 3( x- 3) =- 2y hay 3x + 2y - 9 = 0
b) D ^ d' nên VTCP của d' cũng là VTPT của D nên đường thẳng D nhận
r
r

u( - 3;5) làm VTPT và v( - 5;- 3) làm VTCP do đó đó phương trình tổng quát là


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ìï x = 3- 5t
- 3( x- 3) + 5( y - 4) = 0 hay 3x- 5y + 11= 0; phương trình tham số là ïí
;
ïïî y = 4- 3t
phương trình chính tắc là

x- 3 y - 4
=
- 5
- 3

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có A ( - 2;1) , B( 2;3) và C ( 1;- 5) .
a) Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC của tam giác.
ìï x = 2- 3t
A. ïí
ïïî y = 3- 8t

ìï x = 2- 4t
B. ïí
ïïî y = 3- 8t

ìï x = 2- t
C. ïí
ïïî y = 3- 2t

ìï x = 2- t

D. ïí
ïïî y = 3- 8t

b) Viết phương trình đường thẳng chứa đường trung tuyến AM.
ìï
ïï x =- 3+ 7 t
A. í
2
ïï
ïî y = 1- 2t

ìï
ïï x =- 2- 7 t
B. í
2
ïï
ïî y = 1+ 2t

ìï
ïï x =- 2+ 7 t
C. í
2
ïï
ïî y =- 1- 2t

ìï
ïï x =- 2+ 7 t
D. í
2
ïï

ïî y = 1- 2t

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm D, G với D là chân đường
phân giác trong góc A và G là trọng tâm của D ABC .
ìï
ïï x =ï
A. í
ïï
ïï y =ïî

1
+ 9t
3
1
+ 2t
3

ìï x = 1+ 9t
B. ïí
ïïî y =- 1+ 2t

ìï
ïï x =ï
C. í
ïï
ïï y =ïî

1
+ 19t
3

1
+ 2t
3

ìï
ïï x = 1 + 19t
ï
3
D. í
ïï
1
ïï y =- + 2t
3
ïî

Lời giải:
uuu
r
a) Ta có BC ( - 1;- 8) suy ra đường thẳng chứa cạnh BC có phương trình là
24 2
5
æ3
;b) M là trung điểm của BC nên M ç
ç
ç
è2
uuuu
ræ
7
;trung tuyến AM nhận AM ç

ç
ç
è2

ö
1÷
÷
÷do đó đường thẳng chứa đường
ø

ìï
ïï x =- 2+ 7 t
ö
÷
2÷
2
÷làm VTCP nên có phương trình là íï
ø
ïï y = 1- 2t
î

c) Gọi D(xD ; yD ) là chân đường phân giác hạ từ A của tam giác ABC


Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht
uuu
r AB uuur
DC
Ta cú BD =
AC

M a2 = 9, b2 = 6 v
a= 3, b= 6,c = a2 + b2 = 15 suy ra
ỡù
ùù xD - 2 = 2 (1- xD )
ù
3

ớ
ùù
2
ùù yD - 3 = (- 5- yD )
3
ợù
trng tõm ca tam giỏc ABC
uuu
r AB uuur 2 uuur
BD =
DC = DC
AC
3

ỡù
ùù xD = 8
1 1ử
ù
5 ị D( 8 ;- 1) Gổ
ỗ
;- ữ
ữ
ớ

ỗ
ữl
ỗ3 3ứ
ùù
- 1
5 5
ố
ùù yD =
5
ợù

uuur ổ 19
2ử
12
ữ
;ữ
Ta cú DGỗ
suy
ra
ng
thng
DG
nhn
lm VTCP nờn
ỗ
y
=

ữ
M

ỗ 15 15ứ
ố
5
ổ 63 12 ử
ữ
ỗ
ữ
;
cú phng trỡnh l M 1 ỗ
.
ữ
ỗ
ữ
ỗ
5ứ
ữ
ố 5
ổ 63 12ử
ổ 63
ữ
ỗỗ
ữ
ỗ
;
M
;Vớ d 4: Cho tam giỏc M 2 ỗ
bit
ữ
3ỗ
ỗ

ữ
ỗ
ỗ
5ứ
ữ
ố 5
ố 5

12 ử
ữ
ữ
, AC : x- y + 3 = 0 v
ữ
ữ
5ứ
ữ

trng tõm G( 1;2) . Vit phng trỡnh ng thng cha cnh BC.
ỡù x = 2
A. ùớ
ùùợ y =- 1- 6t

ỡù x = 4
B. ùớ
ùùợ y =- 1+ 6t

ỡù x = 2
C. ùớ
ùùợ y =- 1+ 5t

ỡù x = 2
D. ùớ
ùùợ y =- 1+ 6t

Li gii:
ộ
xM = 0(l)
ờ
15
x ờ
Ta cú ta im 3 = 3+
ờx = - 18 ị y = 210 l nghim ca h
3 M
M
ờM
5
ờ
15
ở
ổ 18
ổ 18
210ử
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ỗM 1ỗ
;
M
;ữ

2ỗ
ỗ
ữ
ỗ 15 5 ứ
ỗ 15
ữ ố
ố
Gi d1 : y =

210ử
ữ
ữ
ữ
ữ
5 ứ
ữ

6
6
24 2
x; d2 : y =x l trung im ca
3
3
5


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
6
x - yM
3 M

Vì G là trọng tâm nên

1+
Û

( *) Û
Û

(

6xM - 3yM

)(

2
3

+

6
x + yM
3 M
1+

2
3

=

24 2

5

6xM - 3yM + 6xM + 3yM =

,

24 30
( **)
5

)

6xM + 3yM = 54> 0 suy ra

6xM - 3yM + 6xM + 3yM =

24 30
12
Û xM = ±
5
5

æ12 330ö
÷
ç
330
÷
ç ;
M
do

đó
÷
Þ yM = ±
1ç
÷
ç
5
÷
5
è 5
ø
æ12
ç
M2ç
;ç
ç
5
è

330 ö
÷
÷
do đó C ( xC ; xC + 3)
÷
÷
5 ø
÷

Mà M là trung điểm của

x2 y2
= 1 nên ta có A ( 3;2) , B( 0;1)
7
4

x2 y2
Vậy C Î ( H ) suy ra phương trình đường thẳng D ABC là
= 1.
4 12
 DẠNG 2. Xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng.
1. Phương pháp giải.
Để xác định tọa độ điểm thuộc đường thẳng ta dựa vào nhận xét sau:
• Điểm A thuộc đường thẳng 4x2 + 6y2 = 24 ( hoặc AB= 2) có dạng y2 = 2px
2
• Điểm A thuộc đường thẳng M ( xM ; yM ) (ĐK: M Î ( P) Û yM = 2pxM ) có dạng

æ
- bt - c ö
; t÷
÷với a¹ 0
xM , yM với Oxy hoặc A ç
ç
ç
÷
è a
ø
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : 4x- 3y + 5 = 0
a) Tìm tọa độ điểm A thuộc M ( xM ; yM ) Î ( P) và cách gốc tọa độ một khoảng
bằng bốn

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
A. A1 ( 4;0)

æ
- 28 - 96ö
÷
;
÷
B. A2 ç
ç
ç
÷
è 25 25 ø

æ
- 28 - 96ö
÷
;
÷
C. A1 ( 4;0) và A2 ç
ç
ç
÷
è 25 25 ø

D. A1 ( 0;- 3)

b) Tìm điểm B thuộc yM2 = 8xM và cách đều hai điểm E( 5;0) , F ( 3;- 2)

A. B( 4;0)

æ
- 28 - 96ö
÷
;
÷
C. Bç
ç
ç
÷
è 25 25 ø

B. B( 0;- 3)

æ24 3ö
;- ÷
÷
D. Bç
ç
ç
÷
7ø
è7

c) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm M ( 1;2) lên đường thẳng D
A. H ( 4;0)

æ
æ

- 28 - 96ö
76 18ö
÷
÷
ç
;
H
;÷
÷
C. H ç
D.
ç
ç
÷
÷
ç 25 25 ø
ç
è
è25 25ø

B. H ( 0;- 3)

Lời giải:
r
a) Dễ thấy M ( 0;- 3) thuộc đường thẳng M 1 1;2 2 , M 2 1;- 2 2 và u( 4;3) là

(

)

(

)

ïì x = 4t
một vectơ chỉ phương của D nên có phương trình tham số là ïí
.
ïïî y =- 3+ 3t
Điểm A thuộc D nên tọa độ của điểm A có dạng A ( 4t;- 3+ 3t) suy ra

OA = 4 Û

ét =1
ê
( 4t) +( - 3+ 3t) = 4 Û 25t - 18t - 7 = 0 Û êê - 7
t=
ê
ë 25
2

2

2

æ
ö
- 28 - 96÷
;
÷
Vậy ta tìm được hai điểm là A1 ( 4;0) và A2 ç

ç
ç
è 25 25 ÷
ø
b) Vì BÎ D nên B( 4t;- 3+ 3t)
Điểm B cách đều hai điểm E( 5;0) , F ( 3;- 2) suy ra
2

2

2

2

EB2 = FB2 Û ( 4t - 5) +( 3t - 3) = ( 4t - 3) +( 3t - 1) Û t =

6
7


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
æ24 3ö
;- ÷
÷
Suy ra Bç
ç
ç
÷
7ø
è7

c) Gọi H là hình chiếu của M lên D khi đó H Î D nên H ( 4t;- 3+ 3t)
r
uuuu
r
Ta có u( 4;3) là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với HM ( 4t - 1;3t - 5) nên
uuuu
rr
19
HM .u = 0 Û 4( 4t - 1) + 3( 3t - 5) = 0 Û t =
25
æ
76 18ö
÷
;÷
Suy ra H ç
ç
ç
÷
è25 25ø
ïì x =- 1- t
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng D : x- 2y + 6 = 0 và D ' : ïí
.
ïïî y = t
a) Xác định tọa độ điểm đối xứng với điểm A ( - 1;0) qua đường thẳng D
A. A '( - 2;4)

B. A '( - 3;5)

C. A '( - 2;5)

D. A '( - 3;4)

b) Viết phương trình đường thẳng đối xứng với D ' qua D
ìï x =- 1+ t
A. ïí
ïïî y = 4- 7t

ìï x =- 3+ 2t
B. ïí
ïïî y = 4- 7t

ìï x =- 3+ 5t
C. ïí
ïïî y = 4- 7t

ìï x =- 3+ t
D. ïí
ïïî y = 4- 7t

Lời giải:
a) Gọi H là hình chiếu của A lên D khi đó H ( 2t - 6;t)
r
uuur
Ta có u( 2;1) là vectơ chỉ phương của D và vuông góc với AH ( 2t - 5;t) nên
uuur r
AH .u = 0 Û 2( 2t - 5) + t = 0 Û t = 2 Þ H ( - 2;2)
A' là điểm đối xứng với A qua D suy ra H là trung điểm của AA' do đó
ìï xA ' = 2xH - xA
ìï x =- 3
ïí

Û ïí A '
ïîï yA ' = 2yH - yA
ïïî yA ' = 4
Vậy điểm cần tìm là A '( - 3;4)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
ìï x =- 1- t
5
b) Thay ïí
vào phương trình D ta được - 1- t - 2t + 6 = 0 Û t = suy ra
ïïî y = t
3
æ 8 5ö
- ; ÷
÷
giao điểm của D và D ' là K ç
ç
ç
÷
è 3 3ø
Dễ thấy điểm A thuộc đường thẳng D ' do đó đường thẳng đối xứng với D '
uuuur æ1 7ö 1
;- ÷
÷= ( 1;- 7) nên có
qua D đi qua điểm A' và điểm K do đó nhận A ' K = ç
ç
ç
÷ 3
è3 3ø

ìï x =- 3+ t
phương trình là ïí
ïïî y = 4- 7t
Nhận xét: Để tìm tọa độ hình chiếu H của A lên D ta có thể làm cách khác
r
như sau: ta có đường thẳng AH nhận u( 2;1) làm VTPT nên có phương trình là
ïì x- 2y + 6 = 0
2x + y + 2 = 0 do đó tọa độ H là nghiệm của hệ ïí
Þ H ( - 2;2)
ïïî 2x + y + 2 = 0
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông ở A. Biết A ( - 1;4) , B( 1;- 4) , đường thẳng BC
æ
7 ö
÷
đi qua điểm K ç
÷
ç
÷. Tìm toạ độ đỉnh C.
ç3 ;2ø
è
A. C ( - 2;4)

B. C ( 3;5)

C. C ( - 2;5)

D. C ( - 3;4)

Lời giải:
uuu

r æ4 ö
r
÷
;6
÷
u
Ta có BK ç
suy
ra
đường
thẳng
BC
nhận
ç
( 2;9) làm VTCP nên có phương
÷
ç
è3 ø
ìï x = 1+ 2t
trình là ïí
ïïî y =- 4+ 9t
C Î BC Þ C ( 1+ 2t;- 4+ 9t)
uuu
r
uuur
uuu
r uuur
Tam giác ABC vuông tại A nên AB.AC = 0, AB( 2;- 8) , AC ( 2+ 2t;- 8+ 9t) suy ra
2( 2+ 2t) - 8( 9t - 8) = 0 Û t = 1
Vậy C ( 3;5)

Website chuyờn thi, ti liu file word mi nht

Vớ d 4: Cho hỡnh bỡnh hnh

x-

5
=0
. Bit x- 5 = 0 l trung im ca cnh
1
5

ổ 3ử
ã
3; ữ
ữv ng phõn giỏc gúc BAC
CD, D ỗ
cú phng trỡnh l D : x- y + 1= 0 . Xỏc
ỗ
ỗ
ữ
ố 2ứ
nh ta nh B.
A. B( - 2;4)

B. B( 3;5)

C. B( - 2;5)

D.

x2 y2
=1
5 4

Li gii:

(

Cỏch 1: im I l trung im ca CD nờn F1 -

Vỡ

x+

7
17
7

=0

nờn ta im A cú dng x+

)

17;0

7

17

=0

uuur uuur
Mt khỏc F2 17;0 l hỡnh bỡnh hnh tng ng vi DA , DC khụng cựng
uuu
r uuur
phng v AB = DC

(

uuu
r uuur
AB = DC

)

ỡù xB - a= 4- 3
ùù

ớ
ùù yB - a- 1= 7 - 3
ùợ
2 2

ỡù xB = a+ 1
ị B( a+ 1; a+ 3)
ớù
ùùợ yB = a+ 3

ổ9 ữ
ử
9
Fỗ
;0ữkhụng cựng phng khi v ch khi x+ = 0
ỗ
ỗ
ữ
ố2 ứ
2
r
ng thng F ( - 1;1) l phõn giỏc gúc M ( 1;1) nhn vect u= ( 1;1) lm vec t
ch phng nờn
uuu
rr
uuu
r r
uuur r
ABu
.
cos AB;u = cos AC;u uuu
r r =
AB u

(

)

Cú d( M ;D ) =

(

)

3+ 4- 5
32 + 42

=

2
nờn
5

uuur r
AC.u
uuur r (*)
AC u


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất
MF
= 5> 1
d( M ;D )
Vậy tọa độ điểm

Cách 2: Ta có

x2 y2
=1

5 4

x2 y2
+ = 1.
10 3

Đường thẳng y2 = 8x đi qua C vuông góc với F ( 1;1) nhận M ( 1;3) làm vectơ
pháp tuyến nên có phương trình là D : 3x- 4y - 5 = 0 hay F ( 1;2)
Tọa độ giao điểm H của M ( 0;1) và D : x- y- 1= 0 là nghiệm của hệ:
D : x- y + 1= 0
Gọi C' là điểm đối xứng với C qua F ( 1;0) thì khi đó C' thuộc đường thẳng chứa
cạnh AB và H là trung điểm của CC' do đó F
Suy ra đường thẳng chứa cạnh AB đi qua C' và nhận D làm vectơ chỉ phương
nên có phương trình là e= 3
Thay x, y từ phương trình đường thẳng chứa cạnh AB vào phương trình đường
thẳng e=

1
ta được
2

e= 1 suy ra M ( x; y)
ABCD là hình bình hành nên

Suy ra MF =

( 1- x)

2

MF
= eÛ MF = ed
. ( M ;D )
d( M ;D )

+ y2

Chú ý: Bài toán có liên quan đến đường phân giác thì ta thường sử dụng nhận
xét " d( M ;D ) =

x- y + 1
2

là đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word mới nhất

cắt nhau e= 3 và ( *) Û

( 1- x)

2

+ y2 = 3.

x- y + 1
2

khi đó điểm đối xứng với

điểm M Î D 1 qua 2x2 + y2 - 6xy + 10x- 6y + 1= 0 thuộc e=
Ví dụ 5: Cho đường thẳng ( *) Û

( 1- x)

2

1 x- y + 1
+ y2 = .
và 2 điểm
2
2

Û 4( x2 - 2x + 1+ y2 ) = x2 + y2 + 1- 2xy + 2x- 2y

và B( 3;4) . Tìm tọa độ điểm M

Û 3x2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0
uuur
uuur
trên d sao cho MA + 2MB là nhỏ nhất.
æ 1÷
ö
1;- ÷
A. M ç
ç
÷
ç
è 2ø

B. M ( 0;- 1)

1
"
2

C. M ( 2;0)

æ
ö
16 3÷
; ÷
D. M ç
ç
÷
ç
è 5 5ø

Lời giải:
uuur
uuur
M Î d Þ M ( 2t + 2;t) , MA ( - 2t - 2;1- t) , MB( 1- 2t;4- t) do đó 2xy - 4x + 2y = 0

(

)

Suy ra A 0; 3

uuur
uuur
æ
16 3ö
3
MA + 2MB nhỏ nhất khi và chỉ khi t = do đó M ç
; ÷
÷
ç
÷là điểm cần tìm.
ç
è 5 5ø
5