TÍCH vô HƯỚNG một số ỨNG DỤNG của TÍCH vô HƯỚNG file word

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
Tích vô hướng có rất nhiều ứng dụng trong giải toán. Sau đây chúng ta tiếp cận
những ứng dụng của nó trong giải các bài toán hình học.
I. CHỨNG MINH TÍNH VUÔNG GÓC VÀ THIẾT LẬP ĐIỀU KIỆN VUÔNG GÓC.
1. Phương pháp giải.

r

r

rr

Sử dụng điều kiện a ^ b Û ab
. =0

uuur uuu
r

uuur uuu
r

Chú ý: Ta có AB ^ CD Û AB .CD = 0 , để chứng minh AB .CD = 0 thông

uuur uuu
r

thường chúng ta phân tích AB, CD qua hai vectơ không cùng phương.
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD . Chứng minh rằng hai đường chéo AC và BD vuông

góc với nhau khi và chỉ khi AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2
Lời giải
Ta có AB 2 + CD 2 - BC 2 - AD 2

uuu
r uur 2
uuu
r uur
= CB - CA + CD 2 - BC 2 - CD - CA
uuu
r uur
uuu
r uur
uur uuu
r uuu
r
= - 2CB .CA + 2CD.CA = 2CA CD - CB
uur uuur
= 2CA.BD

(

)

(

(

)

)

2

Do đó đường chéo AC và BD vuông góc với nhau khi và chỉ khi

uur uuur
CA.BD = 0 Û AB 2 + CD 2 = BC 2 + AD 2
Ví dụ 2 Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi M, N thuộc cạnh AB và AD sao cho

AM = DN = x .
a) Chứng minh rằng CN vuông góc với DM.

1


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

uuu
r

uuur

b) Giả sử P là điểm được xác định bởi BP = yBC tìm hệ thức liên hệ của x, y
và a để MN vuông góc với MP.
Lời giải (hình 2.11)

uuur

a) Ta có DN = -

r
x uuur uuuu
x uuur
AD , AM = AB
a
a

uuur
uuu
r uuur
uuur x uuur
Suy ra CN = CD + DN = - AB AD
a
uuuu
r

uuu
r

uuuu
r

và DM = DA + AM =

uuuu
r uuur

x uuur uuur
AB - AD

a

æx uuur

uuur öæ uuur

Hình 2.11

x uuur ö

ç
AB - AD ÷
- AB - AD ÷
÷
÷
Suy ra DM .CN = ç
ç
ç
÷
÷
ç
ç
a
èa
øè
ø
=-

x uuur2 x uuur 2 x2 uuur uuur uuur uuur
AB + AD - 2 AB .AD + AB .AD

a
a
a
uuur uuur

Vì ABCD hình vuông nên AB .AD = 0

uuuu
r uuur

Do đó DM .CN = - ax + ax = 0
Vậy CN vuông góc với DM.

uuuu
r

uuur

uuuu
r

b) Ta có MN = AN - AM =

a - x uuur x uuur
AB - AD ;
a
a

uuur
uuur uuu

r a - x uuur
uuur
MP = MB + BP =
AB + yAD
a
uuuu
r uuur

Suy ra MN ^ MP Û MN .MP = 0

2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

uuur ö
æ
a - x uuur x uuur öæ
a - x uuur
÷
÷
ç
Û ç
AB
AD
AB
+
yAD
÷
÷

ç
֍
÷= 0
ç a
ç a
a
è
øè
ø

Û

( a - x)
2

a

2

uuur2 x uuur 2
.AB - .y.AD = 0 Û
a

( a - x)

2

= axy

Ví dụ 3: Cho tam giác đều ABC . Lấy các điểm M, N thỏa mãn

uuur
1 uuur uuur
1 uuur
BM = BC , AN = AB . Gọi I là giao điểm của AM và CN. Chứng minh rằng
3
3
BI ^ IC .
Lời giải

uur

uuuu
r

Giả sử AI = kAM . Ta có

uur uur uuur
uuuur uuur
uuur uuur
uuur
æuuur 1 uuur ö uuur
CI = AI - AC = kAM - AC = k AB + BM - AC = k ççAB + BC ÷
÷
÷- AC
çè
3 ø

(

)

uur
uuur
æuuur 1 uuur 1 uuur ÷
ö uuur
ö
2k uuur æ
k
÷
ç
ç
- AC = AB + ç - 1÷AC
Hay CI = k çAB + AC - AB ÷
÷
÷
ç
ç3
3
3
3
è
ø
è
ø
uuur
uuur uuur
1 uuur uuur
Mặt khác CN = AN - AC = AB - AC
3

uur uuur

Vì CI , CN cùng phương nên 2k = 1 -

k
3
Þ k=
3
7

uur 3 uuuur 3 uuur uuur
3æuuur 1 uuur 1 uuur ö
2 uuur 1 uuur
÷
AI = AM = AB + BM = ç
AB
+
AC
AB
=
÷
ç
÷ 7AB + 7AC
7
7
7ç
3
3
è
ø

(

uur

uur

)

uuur

Suy ra BI = AI - AB =

2 uuur 1 uuur uuur
5 uuur 1 uuur
AB + AC - AB = - AB + AC
7
7
7
7

uur
uuur uur
uuur æ2 uuur 1 uuur ö
2 uuur 6 uuur
÷
IC = AC - AI = AC - ç
AB
+
AC

=
AB + AC
÷
ç
÷
ç
7
7
7
è7
ø

3


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

uur uur

æ 5 uuur 1 uuur öæ
2 uuur 6 uuur ö
ç
AB + AC ÷
AB + AC ÷
÷
÷
֍
÷
ç 7
7

7
è 7
øè
ø

Do đó BI .IC = ç
ç
ç
=

uuur2
uuur 2
uuur uuur ö
1æ
ç
10
AB
+
6
AC
32
AB
.AC ÷
÷
ç
÷
è
ø
49ç
uuur uuur

1
2

Vì tam giác ABC đều nên AB = AC , AB .AC = AB .AC .cos A = AB 2

uur uur

Suy ra BI .IC = 0
Vậy BI ^ IC
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm tam
giác ACM , I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng GI
vuông góc với CM
Lời giải (2.12)

uuur

r uuur

r

Đặt AB = x; AC = y và : AB = AC = a . Ta có :

uuur
uuuu
r uuur
1 uuur uuur
1r r
CM = AM - AC = AB - AC = .x - y (1)
2

2
Gọi J là trung điểm CM, ta có :

uuur
r
r uuur
2 uuu
1 uuuu
AG = AJ = (AM + AC )
3
3
1 1 uuur uuur
1 r 1r
= ( AB + AC ) = x + y
32
6
3

Hình 2.12

Mặt khác

ìï uur r a2
uur uuur
ïï AI .x =
ìï IA 2 = (IA + AB )2
ìï IA2 = IB 2
ìï IA = IB
ï
ïí

ï
ï
2
uur uuur Þ íï uur
Þ í 2
Þ í
ïï IA = IC
ïï IA = IC 2
ïï I A 2 = (IA + AC )2
ïï
r a2
î
î
ïî
ïï AI .y =
î
2
Từ (1) và (2) ta có :

4

(2)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

uuur uur
uuur uur uuur
uur 1 r 1 r ö
æ1 r r öæ

÷
ç
CM .GI = CM . AI - AG = ç
x
y
AI
- .x - .y ÷
÷
÷
ç
֍
÷
ç2
ç
6
3 ø
è
øè

(

)

1 r uur r uur
1 2 1 r r 1r r 1 2
= x.AI - y.AI .x + .x.y - x.y + .y =
2
12
6
6

3
a2 a2 a2 a2
=
+
= 0.
4
2 12 3
Suy ra GI vuông góc với CM
3. Bài tập luyện tập:
Bài 2.96: Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa mãn hệ thức

AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 . Chứng minh rằng AB ^ CD
Bài 2.97 : Cho hình vuông ABCD , M là điểm nằm trên đoạn thẳng AC sao cho

AM =

AC
, N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Chứng minh rằng BMN là tam
4

giác vuông cân.
Bài 2.98: Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Trên các cạnh AB, BC, CA ta lấy
các điểm M, N, E sao cho

AM
BN
CE
.
=
=

MB
NC
EA

Chứng minh rằng AN ^ ME .
Bài 2.99: Cho tam giác đều ABC , độ dài cạnh là 3a . Lấy M, N, P lần lượt nằm
trên các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = a, CN = 2a, AP = x . Tính x để AM
vuông góc với PN.
Bài 2.100: Cho hình chữ nhật ABCD . Kẻ BK ^ AC . Gọi M, N lần lượt là trung

·
điểm của AK và CD. Chứng minh rằng BMN
= 900
5


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Bài 2.101: Cho hình thang vuông ABCD có đường cao AB = 2a , đáy lớn

BC = 3a , đáy nhỏ AD = a . I là trung điểm của CD. Chứng minh rằng
AI ^ BD .
Bài 2.102: Cho tứ giác lồi ABCD , hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi H
và K lần lượt là trực tâm các tam giác ABO và CDO. Và I, J lần lượt là trung điểm AD
và BC. Chứng minh rằng HK vuông góc với IJ.
Bài 2.103: Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H là trung điểm của BC. D là hình
chiếu của H lên AC, M là trung điểm của HD. Chứng minh rằng AM vuông góc với

DB
Bài 2.104: Cho tam giác ABC không cân. Đường tròn tâm I nội tiếp tam giác

ABC tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại A', B' và C'. Gọi P là giao điểm
của BC với B'C'. Chứng minh rằng IP vuông góc AA'.

µ = 600 . Lấy điểm E
Bài 2.105: Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 8 và A
uuur

uuur

trên tia AC và đặt AE = kAC . Tìm k để BE vuông góc với trung tuyến AF của
tam giác ABC .
Bài 2.106: Cho tam giác ABC có BC = a,CA = b, AB = c và G là trọng tâm ,
I là tâm đường tròn nội tiếp. Tìm điều kiện của a, b, c để IG vuông góc với IC .
Bài 2.107 : Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M,
P là trung điểm của đoạn thẳng AD. Chứng minh rằng :

uuur uuur
uuur uuur
MP ^ BC Û MA.MC = MD.MB

Bài 2.108: Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Qua A
vẽ các đường thẳng song song với BE, CF lần lượt cắt các đường thẳng CF, BE tại P
và Q. Chứng minh rằng PQ vuông góc với trung tyến AM của ABC .

III. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM CỰC TRỊ BIỂU

6

– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

THỨC HÌNH HỌC.
1. Phương pháp giải.
Sử dụng các bất đẳng thức

r r

•

Cho a, b bất kì. Khi đó ta có

rr
r r
r r
r r
. £ a . b dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi cos a, b = 1 hay a; b cùng
+ ab

( )

hướng.

rr
r r
r r
r r
ab
.
³

a
.
b
cos
a
, b = - 1 hay a; b
+
dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

( )

ngược hướng.

r
r
r2
u ³ 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u = 0

•

• Bất đẳng thức cổ điển (Cauchy, Bunhiacopxki...)
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có trọng tâm G và M là một điểm bất kỳ. Chứng minh
rằng

MA 2 + MB 2 + MC 2 ³ MAGA
. + MB .GB + MC .GC ³ GA 2 +GB 2 +GC 2
Lời giải

uuur uuur

(

uuur uuur

)

Ta có MA.MG = MA.MG .cos MA; MG £ MA.MG

uuur uuu
r

uuur uuur

Tương tự MB .GB ³ MB .GB ; MC .GC ³ MC .GC

uuur uuu
r

uuur uuu
r

uuur uuur

Suy ra MAGA
.
+ MB .GB + MC .GC ³ MAGA
.
+ MB .GB + MC .GC
Mặt khác

uuur uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
MAGA
. + MBGB
. + MC .GC = ( MG +GA ) GA + ( MG +GB ) .GB + ( MG +GC ) .GC
uuur uuu
r uuu
r uuur
= MG ( GA +GB +GC ) +GA 2 +GB 2 +GC 2 = GA 2 +GB 2 +GC 2
Suy ra MAGA
.
+ MB .GB + MC .GC ³ GA 2 +GB 2 +GC 2 (*)

7


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Theo bất đẳng thức Cauchy ta có

MA2 + MB 2 + MC 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 ³ 2MAGA
. + 2MB .GB + 2MC .GC
Kết hợp (*) suy ra

MA2 + MB 2 + MC 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 ³ MAGA
. + MBGB
. + MC .GC +GA 2 +GB 2 +GC 2
hay MA 2 + MB 2 + MC 2 ³ MAGA
. + MB .GB + MC .GC

Vậy ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:

2
2
2
ma, GB = mb, GC = mc
3
3
3
4
1
Þ GA 2 + GB 2 + GC 2 = ( ma2 + mb2 + mc2 ) = ( a2 + b2 + c2 )
9
3

•

Ta có GA =

Suy ra với mọi điểm M thì

ma .MA + mb.MB + mc.MC ³

1 2
( a + b2 + c2 )
2

3( MA 2 + MB 2 + MC 2 ) ³ a2 + b2 + c2
3( MA 2 + MB 2 + MC 2 ) ³ 2( ma .MA + mb.MB + mc .MC )

Đặc biệt
•

Với M º O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, ta có
2

OA + OB 2 + OC 2 ³ OAGA
.
+ OB .GB + OC .GC ³ GA 2 + GB 2 + GC 2
Mặt khác ta có OA = OB = OC = R , ta có

R ( GA + GB + GC ) £ 3R 2 hay ma + mb + mc £
1
1
1
2
+
+
³
ma mb mc
R
8

9
R suy ra
2


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

R ( GA + GB + GC ) ³ GA 2 + GB 2 + GC 2 hay

ma2 + mb2 + mc2
3R
£
ma + mb + mc
2

3R 2 ³ GA 2 + GB 2 + GC 2 hay ma2 + mb2 + mc2 £

27 2
R ,
4

9R 2 ³ a2 + b2 + c2
•

Với M º I tâm đường tròn nội tiếp tam giác, ta có

IAGA
.
+ IB .GB + IC .GC ³ GA 2 + GB 2 + GC 2
r
r
r
IA =
, IB =
, IC =
Mặt khác
A

B
C do đó ta có
sin
sin
sin
2
2
2
ma
mb
mc
a2 + b2 + c2
+
+
³
A
B
C
2r
sin
sin
sin
2
2
2
•

Với M º H ta được 3( HA 2 + HB 2 + HC 2 ) ³ a2 + b2 + c2 .

Xét tam giác ABC nhọn khi đó ta có

HC =

CA '
CA '
AC .cosC
=
=
= 2R cosC .
sinCHA ' sin B
sin B

Tương tự ta cũng có: HB = 2RcosB, HC = 2RcosC
2

æp ö

÷
Do đó cos2 A + cos2 B + cos 2C ³ ç
÷
ç
÷
è3R ø
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC và điểm M bất kỳ. Chứng minh rằng

A
B
C
a +b + c
cos .MA + cos .MB + cos .MC ³

2
2
2
2
Lời giải (2.13)
Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

9


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Ta có

Vì

A
B
C
cos uur cos uur cos uur r
uur
uur
uur r
2 IA +
2 IB +
2 IC = 0
a.IA + bIB
. + cIC
. = 0Þ
IA

IB
IC

A
A
cos
cos uuur uur , tương tự ta có
A
2
2 .MA.IA
cos .MA =
.MA.IA ³
2
IA
IA

B
cos uuur uur và
B
2 .MB .IB
cos .MB ³
2
IB
C
cos uuur uur
C
2 .MC .IC
cos .MC ³
2
IC

Mà

A
B
C
uuur uur cos uuur uur cos uuur uur
2 .MA.IA +
2 .MB .IB +
2 .MC .IC
IA
IB
IC

Hình 2.13

cos

æ A
ö
B
C
cos uur cos uur cos uur ÷
uuu
rç
ç
A
B
C
÷
2 IA +

2 IB +
2 IC ÷
÷
= MI ç
+ cos .IA + cos .IB + cos .IC
ç
÷
ç
÷
IA
IB
IC
2
2
2
ç
÷
ç
÷
è
ø
A
B
C
a +b + c
= cos .IA + cos .IB + cos .IC = AE + BF +CD =
2
2
2
2

Do đó cos

A
B
C
a +b + c
.MA + cos .MB + cos .MC ³
2
2
2
2

Tổng quát
Cho đa giác lồi A1A2...An ( n ³ 3 ) ngoại tiếp đường tròn tâm J. Chứng minh rằng
n

với điểm M bất kỳ thì

å

i=1

cos

Ai
.( MAi - J Ai ) ³ 0
2

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Qua điểm O bất kỳ nằm trong tam
giác kẻ đường thẳng song song với GA, GB, GC tương ứng cắt CA, AB, BC tại các

điểm A', B', C'.

10


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Xác định vị trí điểm M để maMA '+ mbMB '+ mcMC ' đạt giá trị nhỏ nhất
Lời giải

3
2

Ta có ma .MA ' = GA.MA ' ³

Tương tự mb.MB ' ³

r uuuur
r uuur uuur
3 uuu
3 uuu
GA.MA ' = GA. MO + OA '
2
2

(

)

r uuur uuur

r
3 uuu
3 uuur uuur uuuu
GB . MO + OB ' , mc.MC ' ³ GC . MO + OC '
2
2

(

)

(

)

Suy ra

ma.MA '+ mb.MB '+ mc.MC ' ³

3 uuur uuur uuur 3 uuur uuur uuur uuur uuur uuuur
GA + GB + GC + GAOA
. ' + GB .OB ' + GC .OC '
2
2

(

) (

)

'+ mOB
'+ mOC
'
Hay ma .MA '+ mb.MB '+ mc.MC ' ³ mOA
a
b
c
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi M trùng với O.
Vậy với M trùng với O thì maMA '+ mbMB '+ mcMC ' đạt giá trị chỏ nhất.
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC và và ba số thực x, y, z .
Chứng minh rằng x2 + y2 + z2 ³ 2yz cos A + 2zx cos B + 2xy cosC
Lời giải
Gọi ( I ; r ) là đường tròn nội tiếp ∆ ABC, tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt
tại M, N, P.

(

uuu
r

uur

uur

Khi đó x.IM + yIN
. + z.IP

)

2

³ 0

uuu
r uur
uur uur
uur uuu
r
Û x2.IM 2 + y2.IN 2 + z2.IP 2 + 2xyIM .IN + 2yzIN .IP + 2zxIP .IM ³ 0
Û ( x2 + y2 + z2 ) r 2 + 2r 2 [ xy cos ( 1800 - C ) + yz cos ( 1800 - A ) + zx cos ( 1800 - B ) ] ³ 0

Û x2 + y2 + z2 ³ 2yz cos A + 2zx cos B + 2xy cosC đpcm.
11


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Nhận xét:
+ Khi chọn x = y = z = 1 ta có: cos A + cos B + cosC £

3
.
2
1
2

+ Khi chọn y = z = 1 ta có cos A + x ( cos B + cosC ) £ 1+ x2
3. Bài tập luyện tập.

Bài 2.109: Cho tam giác ABC và ba số thực x, y, z . Chứng minh rằng:

yz cos 2A + zx cos 2B + xy cos 2C £ -

1 2
( x + y2 + z2 )
2

Bài 2.110: Cho tam giác ABC không đều nội tiếp đường tròn (O). Tìm trên đường
tròn điểm M để có tổng bình phương khoảng cách từ đó đến ba đỉnh tam giác là
nhò nhất, lớn nhất.
Bài 2.111: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi là góc a giữa hai trung tuyến BD và
CK. Tìm giá trị nhỏ nhất của cos a
Bài 2.112: Cho M là một điểm bất kì nằm trong mặt phẳng tam giác ABC. Tìm giá trị
nhỏ nhất của T =

MA MB MC
+
+
a
b
c

Bài 2.113: Cho tam giác ABC ABC. Tìm điểm M sao cho biểu thức sau đạt giá trị

A
2

nhỏ nhất: T = 2.cos .MA + MB + MC
Bài 2.114: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng

a) ama2 + bmb2 + cmc2 ³

9
abc
4

b) ambmc + bmcma + cmamb ³

12

9
abc
4


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

c)

ma2 mb2 mc2 9 a3 +b3 + c3
+
+
³ .
a
b
c
4 ab + bc + ca

Bài 2.115: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng
a) a2 + b2 + c2 £ 9R 2

b) R ³ 2r

c) R 2 + a2 + b2 ³ c2

d) 4S £ ( ab + bc + ca )

2

2

abc
a + b3 + c3
3

2

e) ( a - b) + ( b - c ) + ( c - a ) £ 8R ( R - 2r )
Bài 2.116: Cho tam giác ABC , O là điểm bất kỳ trong tam giác. Qua O kẻ đường
thẳng song song với AB, BC, CA cắt BC, CA, AB tại A', B', C'. Chứng minh rằng với
mọi điểm M ta có cMA '+ aMB '+ bMC ' ³ cOA '+ aOB '+ bOC '
Bài 2.117: Cho tam giác ABC nhọn. Tìm điểm M sao cho

MA + 2MB + 3MC đạt giá trị nhỏ nhất.
ur

Bài 2.118: Cho đa giác lồi A1A2...An ( n ³ 3 ), e,
i = 1, n , O là điểm bất kỳ nằm
i
trong đa giác.Gọi Bi là hình chiếu điểm O lên AiAi+1 . Chứng minh rằng với mọi điểm

n

M ta có

å

Ai Ai +1 ( MBi - OBi ) ³ 0

i =1

Bài 2.119: Cho đa giác đều A1A2...An . Tìm điểm M sao cho tổng

MA1 + MA2 + ... + MAn nhỏ nhất.
Bài 2.120: Cho tam giác ABC; O là điểm trong tam giác, đặt

·
·
·
BOC
= a,COA
= b, AOB
= g . Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có
MA sin a + MB sin b + MC sin g ³ OA sin a + OB sin b + OC sin g
Bài 2.121: Cho tam giác ABC , tìm vị trí điểm M để
2
P = a.MA 2 + bMB
.
+ c.MC 2 đạt giá trị nhỏ nhất.Biết:

a) M là điểm bất kì

13


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

a) M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
c) M nằm trên đường thẳng d bất kỳ
Bài 2.122: Cho n điểm A1A2...An , và n số dương a1, a2,..., an .O là điểm thoã mãn
n

å

uuur
r
ai OAi = 0 . Chứng minh rằng với mọi điểm M ta có bất đẳng thức

i =1
n

å

n

ai .MAi2 ³

i =1

å

n

aiOAi .MAi ³

i =1

å

aiOAi2

i =1

Bài 2.123: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Xác định điểm M sao cho biểu
thức sau đạt giá trị nhỏ nhất.
a)

b) 2 2MA + 10( MB + MC )

2MA + MB + MC

Bài 2.124: Chứng minh rằng trong tam giác nhọn ABC ta luôn có

cos2 A + cos2 B + cos2C ³ 6cos A.cos B .cosC
Bài 2.125: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng :
a) sin2A + sin2B + sin2C £

c) sinA.sinB.sinC £

e) cos

3 3
8

9
4

b) sinA + sinB + sinC £

d) cos2

3 3
2

A
B
C
9
+ cos2 + cos2 £
2
2
2 4

A
B
C
3 3 f)
A
B
C
3 3

+ cos + cos £
cos .cos .cos £
2
2
2
2
2
2
2
8

IV. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TÍCH CỦA MỘT ĐIỂM TỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG.

1. Phương pháp giải.
a) Bài toán: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định. Một đường thẳng
thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Chứng minh rằng
uuur uuur
MA.MB = MO 2 - R 2 .
14


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

uuur
Chứng minh: Vẽ đường kính BC của đường tròn (O;R). Ta có MA là hình
uuur
chiếu của MC lên đường thẳng MB. Theo công thức hình chiếu ta có

Hình 2.14

uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur uuu
r
MA.MB = MC .MB = MO + OC . MO + OB
uuur uuu
r uuur uuu
r
= ( MO - OB ) .( MO +OB ) = MO 2 - OB 2 = MO 2 - R 2 .

(

)(

)

Từ bài toán trên ta có định nghĩa sau:
b) Định nghĩa: Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
Một đường thẳng thay đổi đi qua M cắt đường tròn tại hai điểm A, B. Khi đó
uuur uuur
MA.MB = MO 2 - R 2 là đại lượng không đổi được gọi là phương tích của
điểm M đối với đường tròn (O;R), kí hiệu là PM / ( O )
Chú ý: Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT. Khi đó
PM / ( O ) = MT 2 = MO 2 - R 2
c) Các tính chất:
• Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M. Điều kiện cần và đủ
để bốn điểm A, B , C , D nội tiếp được đường tròn là

Hình 2.15

•

uuur uuur uuur uuur
MA.MB = MC .MD (hay MA.MB = MC .MD ).
Cho đường AB cắt đường thẳng D ở M và điểm C trên đường thẳng
D ( C ¹ M ) . Điều kiện cần và đủ để D là tiếp tuyến của đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC tại C là MA.MB = MC 2 .
15


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Hình 2.16
2. Các ví dụ.
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA', BB', CC' cắt nhau
tại H. Chứng minh rằng HA.HA ' = HB .HB ' = HC .HC '
Lời giải(hình 2.17)
· 'C = BC
· 'C = 900 suy ra tứ giác
Ta có BB
BCB 'C ' nội tiếp trong đường tròn (C) đường kính
BC. Do đó HB .HB ' = HC .HC ' (vì cùng bằng
phương tích từ điểm H tới đường tròn (C)) (1)
Tương tự tứ giác ACA 'C ' nội tiếp được nên
HA.HA ' = HC .HC ' (2)
Từ (1) và (2) suy ra
HA.HA ' = HB .HB ' = HC .HC ' .
Hình 2.17
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O;R) và một điểm P cố
định ở bên trong đường tròn đó. Hai dây cung thay đổi AB và CD luôn đi

qua điểm P và vuông góc với nhau.
a) Chứng minh rằng AB 2 +CD 2 không đổi.
b) Chứng minh rằng PA2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 không phụ thuộc vị trí điểm P.
Lời giải(hình 2.18)
a) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB,
CD suy ra OE ^ AB và OF ^ CD
2
2
Ta có AB 2 +CD 2 = ( 2AE ) + ( 2CF )

= 4( AO 2 - OE 2 ) + 4( CO 2 - OF 2 )
= 4[ 2R 2 - ( OE 2 +OF 2 ) ] = 4( 2R 2 - OP 2 )
Suy ra AB 2 +CD 2 không đổi.

Hình 2.18

b)
2

2

PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 = ( PA + PB ) + ( PC + PD ) - 2PA.PB - 2PC .PD
16


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

uuu
r uuu
r

uuur uuu
r
= AB 2 +CD 2 + 2PA.PB + 2PC .PD
2
2
2
2
Mặt khác theo câu a) ta có AB +CD = 4( 2R - OP ) và

uuu
r uuu
r uuur uuur
PP (O ) = PA.PB = PC .PD = PO 2 - R 2

2
2
2
2
2
2
2
2
2
Suy ra PA + PB + PC + PD = 4( 2R - OP ) + 4( PO - R ) = 4R

Vậy PA 2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 không phụ thuộc vị trí điểm P.
Ví dụ 3: Cho đường tròn đường kính AB và đường thẳng D vuông góc với AB ở H

( H ¹ A, H ¹ B ) . Một đường thẳng quay quanh H cắt đường tròn ở M, N và các
đường thẳng AM, AN lần lượt cắt D ở M', N'.

a) Chứng minh rằng bốn điểm M, N, M', N' thuộc một đường tròn (C) nào đó.
b) Chứng minh rằng các đường tròn (C) luôn đi qua hai điểm cố định
Lời giải(hình 2.19)

· ' HB = M
· ' MB = 900 nên tứ giác BHM ' M nội tiếp được suy ra
a) Vì M
uuur uuur uuuur uuuu
r
AH .AB = AM '.AM (1).
· ' HB = N
· ' NB = 900 nên tứ giác
Tương tự Vì N
HBN ' N nội tiếp được suy ra
uuur uuur uuuur uuur
AH .AB = AN '.AN (2).
uuuur uuuu
r

uuuur uuur

Từ (1) và (2) suy ra AM '.AM = AN '.AN

Suy ra bốn điểm M, N, M', N' thuộc một đường
tròn.

Hình 2.19

b) Gọi P, Q lần lượt là các giao điểm của đường
tròn (C) với đường thẳng AB và E, F lần lượt là giao điểm của D với đường tròn

đường kính AB.

uuur uuur

uuuu
r uuuur

uuur uuur

Khi đó ta có AP .AQ = AM .AM ' = AH .AB

17


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

uuur uuur

(

uuur

uuur uuur

)

uuur uuur

(

uuu
r

)

2
Mặt khác AH .AB = AE + EH AB = AE . AE + EB = AE và

uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uuur uuu
r
AH .AB = ( AF + FH ) AB = AF .( AF + FB ) = AF 2
uuur uuur

Suy ra AP .AQ = AE 2 = AF 2
Do đó P, Q thuộc đường tròn (S) tiếp xúc với AE, AF ở E, F.
Vì (S) là đường tròn cố định nên P, Q cố định thuộc đường tròn (C).

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) bán kính R. Giả sử M
là điểm di động trong đường tròn (O). Nối AM, BM, CM lần lượt cắt (O) tại
MA
MB
MC
+
+
= 3.
A', B', C'. Tìm tập hợp điểm M sao cho
MA ' MB ' MC '
Lời giải(hình 2.20)
MA 2

MB 2
MC 2
Ta có ĐT Û
+
+
=3
MA '.MA MB '.MB MC '.MC
MA 2
MB 2
MC 2
Û - uuuu
r uuur - uuuur uuur - uuuur uuur = 3 (*)
MA '.MA MB '.MB MC '.MC
Mặt khác

PM /(O )

uuuu
r uuur uuuur uuur uuuur uuur
= MA '.MA = MB '.MB = MC '.MC = MO 2 - R 2 Suy ra

Hình 2.20

(*) Û MA2 + MB 2 + MC 2 = - 3( MO 2 - R 2 ) (1)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC , I là trung điểm GO. Ta có:

uuur uuu
r 2
uuur uuu
r 2

uuur uuur 2
MA 2 + MB 2 + MC 2 = ( MG +GA ) + ( MG +GB ) + ( MG +GC )
uuur uuu
r uuu
r uuur
= 3MG 2 + 2MG ( GA +GB +GC ) +GA2 +GB 2 +GC 2
= 3MG 2 +GA 2 +GB 2 +GC 2 (2)
2
2
2
2
2
2
Từ (1) và (2) ta có 3MG +GA +GB +GC = - 3( MO - R )

18


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

1
( GA2 +GB 2 +GC 2 )
3
uuu
r uur 2
uuu
r uur 2
( MI + IG ) + ( MI + IO ) = R 2 - 13( GA2 +GB 2 +GC 2 )
1
2MI 2 + 2IO 2 = R 2 - ( GA 2 +GB 2 +GC 2 )

3
1
1
MI 2 = R 2 - ( GA 2 +GB 2 +GC 2 ) - IO 2
2
6
MI = k

Û MG 2 + MO 2 = R 2 Û
Û
Û
Û

1
2

Trong đó k2 = R 2 -

1
( GA2 +GB 2 +GC 2 ) - IO 2
6

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = k .

3. Bài tập luyện tập.
Bài 2.126: Trong đường tròn tâm (O;R) cho hai dây cung AA' và BB' vuông góc với
nhau tại S. Gọi M là trung điểm của AB. Chứng minh rằng SM ^ A ' B ' .
Bài 2.127: Cho hai đường tròn (O) và (O'); AA', BB' là các tiếp tuyến chung ngoài
của chúng. đường thẳng AB' theo thứ tự cắt (O) và (O') tại M, N. Chứng minh rằng
AM = B ' N .

Bài 2.128: Cho tam giác ABC không cân tại A; AM, AD lần lượt là trung tuyến,
phân giác của tam giác. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMD cắt AB, AC tại E, F.
Chứng minh rằng BE = CF
Bài 2.129: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B cố định. Một đường thẳng quay
quanh A, cắt (O) tại M và N. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
BMN thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 2.130: Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định nằm trong đường tròn. Giả sử
AB là dây cung thay đổi luôn đi qua P. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A, B cắt
nhau tại C. Tìm tập hợp điểm C.

19


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Bài 2.131: Cho đường tròn (O) đường kính AB, và điểm H cố định thuộc AB. Từ
điểm K thay đổi trên tiếp tuyến tại B của (O), vẽ đường tròn (K; KH) cắt (O) tại C và
D. Chứng minh rằng CD luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2.132: Cho đường tròn đường kính AB, H là điểm nằm giữa AB và đường thẳng
D vuông góc với AB tại H. Gọi E, F là giao điểm của đường tròn và D . Vẽ đường
tròn tâm A, bán kính AE và đường tròn (C) bất kì qua H, B. Giả sử hai đường tròn
đó cắt nhau tại M và N, chứng minh rằng AM và AN là hai tiếp tuyến của (C).
Bài 2.133: Cho hai đường tròn đồng tâm O là ( C 1 ) và ( C 2 ) ( ( C 2 ) nằm trong

( C 1 ) ). Từ một điểm A nằm trên ( C 1 ) kẻ tiếp tuyến AB tới ( C 2 ) . AB giao ( C 1 )
lần thứ hai tại C. D là trung điểm của AB. Một đường thẳng qua A cắt ( C 2 ) tại E, F
sao cho đường trung trực của đoạn DF và EC giao nhau tại điểm M nằm trên AC.
Tính

AM

?
MC

Bài 2.134: Cho đường tròn (O;R) và hai điểm P, Q cố định (P nằm ngoài (O), Q nằm
trong (O)). Dây cung AB của (O) luôn đi qua Q. PA, PB lần lượt là giao (O) lần thứ
hai tại D, C. Chứng minh rằng CD luôn đi qua điểm cố định.
Bài 2.135: Cho hai đường tròn không đồng tâm ( O1; R1 ) và ( O2; R2 ) . Tìm tập
hợp các điểm M có phương tích đối với hai đường tròn bằng nhau.

CHUYÊN ĐỀ II: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH VÔ HƯỚNG
uuur 2 uuur 2
uuur 2 uuur2
Bài 2.96: AC 2 + BD 2 = AD 2 + BC 2 Û AC - AD = BC - BD
uuur uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
Û DC AC + AD - BC - BD = 0 Û DC .2AB = 0 Û AB ^ CD

(

)

uuur
r uuur
r
Bài 2.97 : Đặt AB = x, AD = y . Khi đó :
uuur
uuur uuuu
r
r
uuur uuuu

r
r
1 r r uuuu
1 r
MB = AB - AM = 3x - y , MN = AN - AM = x + 3y
4
4

(

)

(

)

uuur uuuu
r
r
r2
r2
r rö
1 r r r
1æ
ç
MB
.
MN
=
3

x
y
x
+
3
y
=
3
x
3
y
+
8
x
.y ÷
Ta có
÷
ç
÷= 0
è
ø
16
16ç

(

20

)(

)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

uuur 2
1 r r
Mặt khác MB =
3x - y
16

(

)

2

r2
r
5 r 2 uuuu
1 r
= y , MN =
x + 3y
8
16

(

)

2

5 r2
= y
8

Vậy tam giác BMN vuông cân tại đỉnh M.
Bài 2.98: Đặt

uuur
r uuur
r
AM
BN
CE
=
=
= k ; AB = i ;AC = j .
MB
NC
EA

uuuu
r
Ta có: AM = kMB Þ AM =

AE =

r
r

uuur
k r
i - kj
i ; BN = kNC Þ AN =
k +1
1- k

uuur
1
1 r
EC Þ AE =
j . Do đó
k
k +1

uuur
uuur uuuu
r
ME = AE - AM =
uuur uuur
Þ AN ·ME =

r
1 r
j - ki )
(
k +1

r
r r

r
1
·
j
ki
i
kj
(
)
(
) = 0 Þ AN ^ ME đpcm.
1 - k2

uuuu
r uuur
Bài 2.99: AM ^ PN Û AM .PN = 0
uuur uuur
æ2 uuur 1 uuur ö
÷
Û ç
AB
+
AC
AN
- AP = 0 Û
÷
ç
÷
ç3
3

è
ø

(

)

æ2 uuur 1 uuur ÷
öæ1 uuur x uuur ÷
ö
ç
ç
AB
+
AC
AC AB ÷
=0
÷
ç
ç
÷
÷
ç3
ç3
3
3a
è
øè
ø

æ xö
1
4a
Û ç
2- ÷
+ 9a2 - 18ax = 0 Û x =
÷
ç
÷
ç
a ø2
5
è
uuu
r r uuur
r uuur
u
r
Bài 2.100: Đặt BA = a, BC = b, BK = c. và BA = a, BC = b, BK = c .

21


Website chuyờn thi, ti liu file word cú li gii

uuur 1 r r
Ta cú: BM = a + c ,
2

(

)

r
uuuu
r uuur uuur uuur
r
r
r
r 1r
1
a
MN = MB + BC + CN = a +c +b + = b- c
2
2
2

(

)

r
uuuu
r uuur
r cử
r r
rr
1ổ
1 rr rr
ữ

ỗ
ữ
ỗ
a + b = 2ab
. - ac
. + 2bc
. - c2
Do ú MN .BM = ỗb - ữ
ữ
2ỗ
2
4
ữ
ố
ứ

(

)

(

)

r u
r r
r r r
1ộ r r
= ờ2ab
. + b- a c + b- c cự

ỳ
ỷ
4ở

(

)

(

)

r u
r r
r r r
uuuu
r uuur
rr
b
a
c
=
0
;
b
c
c
=
0
MN

. BM = 0
Vỡ ab
v
nờn
. =0

(

)

(

)

ã
Suy ra: BMN
= 900
uur
uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur
uuur
Bi 2.101: 2AI = AD + AC = AD + AB + BC = AB + 4AD
uuur
uuur uuur
BD = AD - AB suy ra
uur uuur
uuur
uuur
2AI .BD = AB + 4AD

(

)(

uuur uuur
uuur2
uuur 2
AD - AB = - AB + 4AD = 0

)

Vy AI ^ BD
uuur
uuur
uuur
Bi 2.102: ý rng HK v BD cú cựng hỡnh chiu trờn AC, HK v
uu
r
uuur uuur
uuur
AC cú cựng hỡnh chiu trờn BD v 2IJ = AC + DB
uuur uu
r
uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur
r
HK .2IJ = HK AC + DB = BD.AC + AC .BD = 0

(

)

uuuu
r
uuur
uuur uuur
1 uuur uuur
Bi 2.103: Ta cú: AM = AH + AD v BD = BH + HD
2

(

22

)


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

uuuu
r uuur
uuur uuur uuur uuur
Þ 2AM .BD = AH + AD HC + HD
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
= AH .BH + AH .HD + AD.BH + AD.HD

(

)(

)

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur uuur
= AH .HD + AD.BH = AH .HD + AH + HD .BH

(

)

uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur
uuur uuur
= AH .HD + HD.BH = HD AH + BH = HD.AC = 0

(

)

Vậy AM vuông góc với DB
Bài 2.104: Gọi H là giao điểm của AI với B'C'. Xét tích vô hướng của hai
uur uuur
uur uur uuu
r
uuur uur uur
uuur uuur uuu
r
vectơ PI .AA ' = PI AI + IA ' = PH + HI AI + PA ' + A 'I IA '

(

) (

)

(

)

uuur uur uur uur uuur uuu
r
= PH .AI + HI .AI + PA '.IA ' - IA '2
uur uur
= HI .AI - IA '2 = IB '2- IA '2 = 0
uuu
r
uuu
r uuur
uuur uuur uuur
1 uuur uuur
Bài 2.105: Ta có BE = BA + AE = kAC - AB , AF = AC + AB
2

(

)

uuur uuur uuur2

uuur uuur
AB .AC + AB
2
Suy ra BE ^ AF Û BE .AF = 0 Û k = uuur 2 uuur uuur =
5
AC + AB .AC
uur
uur
uur
uur
r
Bài 2.106: Ta có aIA + bIB + cIC = 0 Þ CI =
uur
uur uuu
r
Mặt khác GI = CI - CG =

uur
uuu
r
1
aCA + bCB
a +b+c

(

uur
uuu
r
r

1
1 uur uuu
aCA + bCB CA + CB
a +b +c
3

(

)

(

)

)

uur æ a
uur æ b
uuu
r
1ö
1ö
÷
÷
ç
ç
- ÷CA + ç
- ÷CB
hay GI = ç
÷

÷
ç
ça + b + c 3ø
èa + b + c 3ø
è
uur uur
Suy ra IG vuông góc với IC khi và chỉ khi IG .IC = 0
23


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Û

(

uuu
r uur
ù
ab + CB .CA é
ë(b( 2a - b - c ) + a ( 2b - a - c ) û= 0

)

uuu
r uur
Do ab + CB .CA = ab(1 + cosC ) > 0 nên dễ có
b( 2a - b - c ) + a ( 2b - a - c ) = 0 Û

a +b +c

2ab
=
3
a +b

uuur uuur
uuur uuur
Bài 2.107 C1: Þ 2MP .BC = MA + MD

(

uuur uuur

uuur uuur

uuur uuur

)(

uuur uuur
MC + MB

)

uuur uuur

= MA.MC - MD.MB + MD.MC - MA.MB
uuur uuur uuur uuur
= MA.MC - MD.MB

uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
Suy ra MP ^ BC Û MP .BC = 0 Û MA.MC = MB .MD
C2: Gọi H là giao điểm của MP và BC.
·
·
Ta có MP ^ BC Û MCH
+ CMH
= 90°
·
·
·
·
Û MCH
+ PMA
= 90° Û MCH
= MDA
uuur uuur
uuur uuur
Û tứ giác ABCD nội tiếp Û MA.MC = MD.MB
uuur
uuur uuur uuuu
r
uuur uuur
Bài 2.108: Ta có PQ = HQ - HP ,2AM = AB + AC .
uuur uuuu
r
uuur uuur uuur uuur
uuur uuur uuur uuur

2
PQ
.
AM
=
HQ
HP
AB
+
AC
=
HQ
.AB - HP .AC
Do đó

(

)(

)

Mặt khác, ta có
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
uuur uuur
HQ, AB = - HP , AC Þ cos HQ, AB = - cos HP , AC

(

)

(

)

(

)

(

)

uuur uuuu
r
HP
HQ
Suy ra AM ^ PQ Û PQ.AM = 0 Û HQ.AB = HP .AC Û
.
=
AB
AC

24


– Website chuyên đề thi, tài liệu file word có lời giải

Lại có APHQ là hình bình hành nên HP = AQ, HQ = AP .

HP
HQ
AQ
AP
. Mà điều này hiển nhiên đúng vì ta có
=
Û
=
AB
AC
AB
AC
VPAC ~VQAB (g.g) .

Suy ra

Vậy ta có đpcm.
Bài 2.109: Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp D ABC , ta có:
uur

uur

uur

( xIA + yIB + zIC )

2

³ 0

(

uur uur

uur uur

uur uur

)

Û ( x2 + y2 + z2 ) R 2 + 2 xyIA.IB + yzIB.IC + xzIC .IA ³ 0
Û ( x2 + y2 + z2 ) R 2 + 2( xy cos2C + yz cos2A + zx cos2B ) R 2 ³ 0
Û xy cos 2C + yz cos 2A + zx cos 2B ³ -

1 2
( x + y2 + z2 )
2

Nhận xét:
3
2

•

Khi chọn: x = y = z = 1, ta có: cos 2C + cos 2A + cos 2B ³ -

•

Khi chọn: x = z = 1, y = - 1 , ta có: cos 2C - cos 2A + cos 2B £

3
2

Bài 2.110: Gọi H là trực tâm của tam giác. Với mọi điểm M thuộc đường
tròn (O) ta có: T = MA 2 + MB 2 + MC 2
uuur uuu
r
uuur uuu
r
uuur uuur
= (MO + OA)2 + (MO + OB )2 + (MO + OC )2
uuur uuu
r uuu
r uuur
uuur uuur
= 6R 2 + 2MO(OA + OB + OC ) = 6R 2 + 2MO.OH
uuur uuur
= 6R 2 + 2R.OH .cosa(a = (MO,OH ))
Từ đó suy ra
25