Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên đề 9 ứng dụng tích phân lê hoành phò file word

CHUYÊN ĐỀ 9 - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
1. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
Diện tích hình thang cong:
Cho hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) ,

trục hoành và hai

đường thẳng x = a , x = b ( a < b ). Giả sử f là hàm số liên

tục và nhận giá

trị dương trên đoạn [ a; b ] . Diện tích S của hình thang cong

đó

là:

S = F ( b) − F ( a) .
Diện tích hình phẳng
Từ định nghĩa tích phân, với y = f ( x ) ≥ 0 và liên tục trên

đoạn [ a; b ] thì diện

tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = f ( x ) , trục

hoành và 2 đường

b

thẳng x = a, x = b là: S = ∫ f ( x ) dx .
a

Tương tự, diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị

x = g ( y ) , trục tung

d

và 2 đường thẳng y = c , y = d là: S y = g ( y ) dy .

∫
c

Mở rộng cho y = f ( x ) bất kỳ liên tục trên đoạn [ a; b ] thì diện tích giới hạn như trên là: S =

b

∫ f ( x ) dx
a

Đối với 2 đồ thị y = f ( x ) , y = g ( x ) liên tục trên đoạn [ a; b ] thì diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị đó và 2 đường
thẳng x = a , x = b là:
b

S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx
a

Chú ý:
- Xác định theo định nghĩa gồm 1 hàm y = f ( x ) và trục Ox, nếu chưa có hai biên thì phải tìm hoành độ giao
điểm.
- Xác định theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên. Phá dấu giá trị tuyệt đối thì xét dấu,

chia miền so sánh hoặc dùng đồ thị trên dưới.
- Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần diện tích để tính, lấy diện tích lớn trừ bớt phần dư
hoặc đổi vai trò x và y; dựa vào tính đối xứng để tính gọn.

Trang 1


Thể tích khối tròn xoay
b

Thể tích vật thể tổng quát V = ∫ S ( x ) dx
a

Thể tích khối tròn xoay: Khi quay hình phẳng giới hạn bởi

y = f ( x ) , y = 0 (trục hoành) và x = a, x = b quanh trục

hoành:

b

V = π ∫ y 2 dx
a

Tương tự, nếu quay quanh trục Oy hình phẳng giới hạn bởi x = g ( y ) , x = 0 và y = c, y = d thì có thể tích:
d

V = π ∫ x 2 dy .
c

Chú ý:
- Xác định theo công thức hình giới hạn bởi 1 hàm y = f ( x ) và trục Ox khi quay quanh trục Ox, nếu chưa có
hai biên thì phải tìm hoành độ giao điểm.
- Xác định hình theo đồ thị thì phải đánh dấu miền diện tích giới hạn các biên.
- Ngoài cách tính trực tiếp thì ta có thể chai ra nhiều phần thể tích để tính tổng thể tích khối tròn xoay, liaasy thể
tích lớn trừ bớt phần dư, dựa vào tính đối xứng để tính gọn.

2. CÁC BÀI TOÁN
2x
Bài toán 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = ( x + 2 ) e , trục hoành và 2 đường

thẳng x = 0, x = 3 .
Hướng dẫn giải
3

3

1
S = ∫ ( x + 2 ) e dx = ∫ ( x + 2 ) d ( e 2 x )
30
0
2x

3

3

1
1
1

1
3
= ( x + 2 ) e 2 x − ∫ e 2 x dx = ( 5e6 − 2 ) − ( e6 − 1) = ( 3e6 − 1) (đvdt).
2
20
2
4
4
0
Bài toán 9.2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số:

y = x ( x + 1) ( x − 2 ) và trục hoành.
Hướng dẫn giải

y = 0 ⇔ x = −1, x = 0, x = 2
2

S=

∫ x ( x + 1) ( x − 2 ) dx

−1

Trang 2


0

=

∫( x

2

− x − 2 x ) dx + ∫ ( − x 3 + x 2 + 2 x ) dx

3

2

−1

=

0

37
(đvdt).
12

Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị

y=

( C)

của hàm số:

2 x 2 − 10 x − 12
và trục hoành.

x+2
Hướng dẫn giải

y = 0 ⇔ x = −1, x = 6
Diện tích hình phẳng S cần tìm là:
6

S=

∫

−1

2 x 2 − 10 x − 12
dx
x+2

6

16 

= ∫  14 − 2 x −
÷dx
x+2
−1 
= ( 14 x − x 2 − 16ln x + 2 )

6
−1

= 63 − 16ln 8 (đvdt)

Bài toán 9.4: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số:

y = x 2 − 1 và y = 5 + x .
Hướng dẫn giải
Do tính đối xứng nên
3

(

)

S = 2 ∫ 5 + x − x 2 − 1 dx
0

3
1

2
= 2  ∫ ( 5 + x − 1 + x ) dx + ∫ ( 5 + x − x 2 + 1) dx 
1
0

1
3
 1 3 1 2
  1 3 1 2
  73
=  x + x + 4 x ÷ +  − x + x + 6 x ÷  =

(đvdt).
2
2
0  3
 1  3
 3

Trang 3


Bài toán 9.5: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: x = 4 − 4 y 2 và x = 1 − y 4 .
Hướng dẫn giải
Do tính đối xứng nên S = 2 ( S1 − S 2 )
1

4

1

1
 4 − x 2
4 dx
= 2∫ 
dx
−
2
1
−
x
(

)
÷
∫
4

2
0

=

16 8 56
− =
(đvdt).
3 5 15
1

Cách khác: S = 2

∫ ( ( 4 − y ) − ( 1 − y ) ) dy
4

4

0

2
2
Bài toán 9.6: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường sau: y = 2 px, x = 2 py ( p > 0 ) .

Hướng dẫn giải

Hoành độ giao điểm:
2

 x2 

÷ = 2 px ⇔ x = 0, x = 2 p
 2p 
2p

S=


x2 
4 2
2
px
−
dx
=
p (đvdt)

÷
∫0 
2p 
3

Bài toán 9.7: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong

y 2 = x3 và y 2 = ( 2 − x ) .
2

Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của hai đường cong là nghiệm của hệ phương trình:

 y 2 = x 3
 2
3
 y = ( 2 − x )
⇒ x 3 = ( 2 − x ) ⇒ x = 1, y = ±1
3

2

Nhánh nằm trên trục hoành của hai đường cong tương ứng là x = y 3 và
2

y = 2 − y3
Theo tính chất đối xứng thì

Trang 4


2
2



8
3
S = 2 ∫   2 − y ÷− y 3 ÷dy = (đvdt).


÷
5

0 

1

Bài toán 9.8: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = ( x − 1) 3 3 − 4 x và trục
hoành.
Hướng dẫn giải
Ta có: y = ( x − 1)

3

3

x=

3 − 4x = 0 ⇔
4

x = 1

3 
4 

Với x ∈  ;1 ⇒ ( x − 1) 3 3 − 4 x ≥ 0
Diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số
1

3
y = ( x − 1) 3 3 − 4 x và Ox: S = ∫ ( x − 1) 3 − 4 xdx
3
4

Đặt

3

3 − 4x = t ⇒ x =

Khi x =

1
3
3 − t 3 ) nên dx = t 2 dt .
(
4
4

3
⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t = −1 .
4
0

0

3
3 1

1 
9
S = − ∫ t 3 ( 1 + t 3 ) dt = −  t 4 + t 7 ÷ =
(đvdt).
16 −1
16  4
7  −1 448
Bài toán 9.9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x 2 x − x 2 và trục hoành.
Hướng dẫn giải

x = 0
x = 2

2
Cho y = 0 ⇔ x 2 x − x = 0 ⇔ 

Vì x 2 x − x 2 ≥ 0 với mọi x ∈ [ 0;2] nên diện tích giới hạn là:
2

2

0

0

S = ∫ x 2 x − x 2 dx = ∫ x 1 − ( x − 1) dx
2

 π π
;

thì dx = cos udu .
 2 2 

Đặt x − 1 = sin u, u ∈  −
Khi x = 0 thì u = −

π
π
, khi x = 2 thì u = .
2
2
Trang 5


S=

π
2

π
2

∫ ( 1 + sin u ) cos u.cos udu = ∫ cos

−

π
2

−

π
2

π
2

2

udu −

π
2

∫ cos u ( d cos u )

−

2

π
2

π

π

2
1 + cos 2u
1

π
 u sin 2u  2
= ∫
du − cos3 u =  +
−0=
÷
π
2
3
4  −π
2
2
π
−
−
2

2

Vậy S =

2

π
(đvdt).
2

x3 4 x
x2 2 x
Bài toán 9.10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hai hàm số f ( x ) =

và g ( x ) =
−
+
3
3
3
3
Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm

x3 4 x x 2 2 x
f ( x) = g ( x) = −
= +
3
3
3
3
⇔ x ( x2 − x − 6) = 0
⇔ x1 = −2, x2 = 0, x3 = 3
Do đó:

S=

3

0

3

−2

−2

0

∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − f ( x ) dx + ∫  g ( x ) − f ( x ) dx

0

3

x3 − x 2 − 6 x
x3 − x 2 − 6 x
16 21 253
=∫
dx − ∫
dx = +
=
(đvdt).
3
3
9 4
36
−2
0
Bài toán 9.11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x, y = 1 và y =

x2
trong miền
4

x ≥ 0, y ≤ 1 .
Hướng dẫn giải
Với x ≥ 0,0 ≤ y ≤ 1 thì x = y, x = 2 y
1

(

)

S = ∫ 2 y − y dy
0

1

 4 32 1 2 
5
=  y − y ÷ = (đvdt).
2 0 6
3
Trang 6


Bài toán 9.12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = x 2 , y = 4 x − 4 và y = −4 x − 4 .
Hướng dẫn giải
2
Hai đường thẳng y = 4 x − 4 , y = −4 x − 4 là 2 tiếp tuyến của ( P ) : y = x
0

S=

∫(x

2

2

−2

=

+ 4 x + 4 ) dx + ∫ ( x 2 − 4 x + 4 ) dx
0

8 8 16
+ =
(đvdt).
3 3 3

Bài toán 9.13: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:

y=

3x
x2
và y =
4
x +1
Hướng dẫn giải

 x ≠ −1
x = 0
3x
x2
=
⇔ 2
⇔
Phương trình hoành độ giao điểm
4 x +1
x = 3
 x − 3x = 0
3x
x2
Với x ∈ [ 0;3] thì
. Diện tích hình giới hạn là
≥
4 x +1
3

S=∫
0

3
 3x
3x
x2
x2 
−
dx = ∫  −
÷dx

4 x +1
4 x +1
0

3

3

3

3

3x
x2
3
1 

= ∫ dx − ∫
dx = x 2 − ∫  x − 1 +
÷dx =
4
x +1
8 0 0
x +1
0
0
3

3
27  1 2

15

=
−  x − x ÷ − ln x + 1 0 = − 2ln 2 (đvdt)
8 2
8
0

Bài toán 9.14: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y = e x + 1, y =

2
ex + 1

và x = ln 3

Hướng dẫn giải
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong:

ex + 1 =
Ta có

2
e +1
x

⇔ ex + 1 = 2 ⇔ ex = 1 ⇔ x = 0

ex + 1 ≥ 2 ≥

2
ex + 1

; ∀x ∈ [ 0;ln 3] nên diện tích hình giới hạn là

Trang 7


 x
2 
e
+
1
−

÷dx
∫0 
x
e +1 

ln 3

S=

Đặt t = e + 1 ⇒ dt =

e x dx

x

2 e +1
x

⇒ dx =

2tdt
t2 −1

Khi x = 0 ⇒ t = 2; x = ln 3 ⇒ 2 .
2

 2  2tdt
S = ∫  t − ÷. 2
=
t
t
−
1


2

2

2 

∫  2 − t 2 − 1 ÷ dt =
2

= ( 2t − ln t − 1 + ln t + 1 )

2
2

2



1 

1

∫  t − t − 1 + t + 1 ÷dt
2

(

)

= 4 − 2 2 + ln 9 − 6 2 (đvdt)

Bài toán 9.15: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y = x 2 − 2 x và 2 tiếp tuyến qua B ( 2; −9 ) .
Hướng dẫn giải
Hai tiếp tuyến qua B là:

y = −4 x − 1 có tiếp điểm E ( −1;3)
y = 8 x − 25 có tiếp điểm F ( 5;15 )

2

5

S = S1 + S 2 = ∫  x − 2 x − ( −4 x − 1) dx + ∫  x 2 − 2 x − ( 8 x − 25 ) dx = 18
2

−1

2

Bài toán 9.16: Tính diện tích của hình Elip (E) có phương trình đường biên: ( E ) :

x2 y 2
+
= 1.
a2 b2

Giải
Trang 8


x2 y 2
b 2
Ta có 2 + 2 = 1 ⇔ y = ±
a − x2
a
b
a

( E)

Phương trình của

trong góc phần tư thứ I là: y =

b 2
a − x 2 . Theo tính đối xứng thì
a

a

4b
S = 4S1 =
a 2 − x 2 dx
∫
a 0

π
⇒ dx = a cos t.dt
2

Đặt: x = a sin t , với 0 ≤ t ≤

Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = a ⇒ t =
π /2

S = 4ab ∫
0

π /2

= 2ab ∫
0

π
. Khi đó:
2
π /2

π /2

0

0

a − a sin t .cos tdt = 4ab ∫ cos t .cos tdt = 4ab ∫ cos 2 tdt
2

2

2

π /2

1
( 1 + cos 2t ) dt = 2ab  t + sin 2t ÷ = π ab (đvdt)
 2
0

Đặc biệt: khi a = b = R thì có diện tích hình tròn π R 2

Bài toán 9.17: Cho elip với PT:


3
x2
+ y 2 = 1 và điểm A 1;
÷ nằm trên elip. Gọi d là tiếp tuyến với elip tại
2
4



A. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng d, trục hoành và đường elip.
Hướng dẫn giải
Phương trình tiếp tuyến d là

x
3
+
y = 1.
4 2

d cắt Ox tại B ( 4;0 ) . Hạ AK vuông góc với trục hoành.
Ta có AK =

3
3 3
; KB = 3 nên S AKB =
2
4

2

Diện tích tam giác cong AKC là S0 =

1
4 − x 2 dx
∫
21

Đổi biến x = 2sin t thì dx = 2cos tdt
π
2

∫

2
Ta được S0 = 2cos tdt =

π
6

π
3
−
3 4

Trang 9


Vậy S = S AKB − S0 = 3 −

π
(đvdt).
3

2
Bài toán 9.19: Cho ( P ) : y = x và đường thẳng d qua A ( 1;3) có hệ số góc k. Tìm k để diện tích hình phẳng

giới hạn bởi d và ( P ) có diện tích nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải

d : y = k ( x − 1) + 3
2
PT hoành độ giao điểm: x = k ( x − 1) + 3

x 2 − kx + k − 30 =
∆ = k 2 − 4k + 12 > 0, ∀k
Gọi 2 nghiệm x1 , x2 thì:

S=

x2

∫ ( k ( x − 1) + 3 − x ) dx
2

x1

x2

3
k 2
x3 
1
1 2
2
=  x − ( k + 3) x − ÷ = ( x2 − x1 ) ( k − 4k + 12 ) = ( k − 4k + 12 ) 2
3 x 6
6
2
1
3

1
2 2
2
nên min S khi k = 2 .
= ( k − 2 ) + 8  2 ≥

6
3
−x
Bài toán 9.20: Một hình phẳng được giới hạn bởi y = f ( x ) = e , y = 0, x = 0 và x = 1 . Ta chia đoạn [ 0;1]
1

thành n phần bằng nhau tạo thành một hình bậc thang có tổng diện tích S n . Chứng minh lim S n = ∫ f ( x ) dx
0

Hướng dẫn giải


Ta có S = 1 e + e
n
1
n

n

1
−2
n

 1
1− e
+ ... + e  = e
1
−
 n
1− e n
n
−
n

1
−
n

−1

1

1 − e −1 )
(
= n 1
en −1

Trang 10


1

S n = 1 − e −1 và ∫ e − x dx = 1 − e −1 ⇒ đpcm.
Do đó nlim
→+∞
0

Bài toán 9.21: Tính thể tích của vật thể:
a) Giữa hai mặt phẳng: x = 0, x = 2 và thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại
điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ 2 ) là một nửa hình tròn đường kính

5x 2 .

b) Mỗi thiết diện vuông góc với trục Ox là một hình vuông có đáy là một tam giác cho bởi y = x, y = 0 và
x = 1.
Hướng dẫn giải
a) Ta có V = π

b

∫( f ( x) )

2

a

2

2

5x4
x5
dx = ∫ π
dx = π
= 4π (đvtt)
8
8
0
0

2
b) Thiết diện tại x ∈ [ 0;1] là hình vuông cạnh bằng x có diện tích S ( x ) = x .
1

1

2
Vậy V = S ( x ) dx = x dx =

∫

∫

0

0

1
(đvtt).
3

Bài toán 9.22: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox, giới hạn bởi các
đường y = cos x, y = 0, x = 0 và x =

π
.
4
Hướng dẫn giải

V =π

π /4

∫
0

π ( π + 2)
π π /4
π
1

cos xdx = ∫ ( 1 + cos 2 x ) dx =  x − sin 2 x ÷ =

(đvtt).
2 0
2
2
8
0
π /4

2

Bài toán 9.23: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox:
x

a) Giới hạn bởi các đường y = xe 2 , y = 0, x = 0 và x = 1
Trang 11


b) Giới hạn bởi các đường y = 0, y =

2
9 − x2
3
Hướng dẫn giải

1

1

0

0

1

2 x
2
x
2 x
x
a) V = π ∫ x e dx = π ∫ x d ( e ) = π ( x e ) − 2π ∫ xe dx
0
1

0

1


1
= π e − 2π  xe x − ∫ e x dx ÷ = π ( e − 1) (đvtt).
0
0



b) Do tính đối xứng của hình phẳng qua trục tung nên:

4
8π
V = 2π ∫ ( 9 − x 2 ) dx =

9
9
0
3

3

1 3
8π

( 27 − 9 ) = 16π
 9x − x ÷ =
3 0 9


Bài toán 9.24: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = 1 + 2 x .e3 x và các trục tọa độ, quanh trục hoành.
Hướng dẫn giải
3x
Cho y = 0 thì y = 1 + 2 x .e = 0 ⇒ x = −

Vì

1
.
2

 1 
1 + 2 x .e3 x ≥ 0 , với mọi x ∈  − ;0  nên thể tích khối tròn xoay là:

 2 

V =π

0

∫ ( 1 + 2x ) e

6x

dx

1
−
2

Đặt u = 1 + 2 x, dv = e6 x dx . Khi đó du = 2dx, v =

1 6x
e .
6

0 

0
0
 ( 1 + 2x)
÷
1 6x
1 

1 1

1
6x

e
− ∫ e dx ÷ = π  − ( 1 − e −3 ) ÷ = π  +
Ta có: V = π
3 ÷
3 1
 6
÷
1
 6 17

 9 18e 
−
−
1
2

2
− ÷

2 

1 
1
+
3 ÷ (đvtt).

 9 18e 

Vậy V = π 

Bài toán 9.25: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng quanh Ox:
a) Giới hạn bởi y =

2
 π
x, y = sin x, x ∈ 0; 
π
 2
Trang 12


b) Giới hạn bởi: y = x 2 − 3 x + 3, y = x,0 ≤ x ≤ 3
Hướng dẫn giải
a) V = V1 − V2

=π

π /2

∫
0

=

 2
4x2 

 sin x − 2 ÷dx
π 


π 2 π 2 −π 2
(đvtt)
−
=
4
6
12

b) V = ( V1 − V2 ) + ( V3 − V4 )
1

(

)

3

(

= π ∫ ( x − 3x + 3) − x dx + π ∫ x 2 − ( x 2 − 3x + 3)
0

=

2

2

2

1

2

) dx

7π 64π 233π
+
=
(đvtt)
2
15
30

Bài toán 9.26: Tính thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi
đồ thị ( C ) : y =

x
trục Ox và các đường thẳng x = 2, x = 4 khi quay quanh trục Ox.
1− x
Hướng dẫn giải

4

V =π∫

x2

2 ( 1− x)

2

dx

4
2x −1 
= π ∫ 1 +
÷dx
2

1
−
x
(
) ÷
2


2x − 2
1 
= π ∫ 1 +
+
÷dx
 (1− x) 2 ( 1− x) 2 ÷
2


4

4

1 
8π
2

= π  x + ln ( 1 − x ) +
+ 2π ln 3 (đvtt)
÷ =
1− x  2
3

Bài toán 9.27: Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y=

xe x , trục hoành và đường thẳng x = 1 xung quanh trục hoành.
ex + 1
Hướng dẫn giải

Trang 13


Ta có y =

xe x
⇔ x=0
ex + 1

Do đó hình phẳng là hình thang cong được giới hạn bởi các đường cong y =
1

1

2
Thể tích khối tròn xoay là V = π ∫ y dx = π ∫
0

Đặt u = x, dv =

0

(e

xe x
x

+ 1)

2

xe x
, y = 0, x = 0 và x = 1
ex + 1

dx

ex

dx . Khi đó du = dx, v = −1
ex + 1
( e + 1)
x

2

1

1
1

−x
dx
−1
ex 
dx
=
+
=
+
1
−

÷dx
Ta có: ∫ x
2
x
x

x
∫
∫
e
−
1
e
+
1
e
+
1
e
+
1
0

0 ( e + 1)
0
0
1

xe x

1

1
−1
e
e +1

=
+ x − ln ( e x + 1) =
− ln
0
e +1
e +1
2
0

e +1
 e
− ln
÷ (đvtt).
2 
 e +1

Vậy thể tích khối tròn xoay là V = π 

Bài toán 9.28: Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y = 1 + 2 x .3− x , y = 0, x = 1 xung quanh trục hoành.
Hướng dẫn giải
−x
Ta có y = 1 + 2 x .3 = 0 ⇔ x = −

Thể tích khối tròn xoay là V = π

1

∫

−

1
2

y 2 dx = π

1
2

1

∫ ( 1 + 2x ) 3

−

−2 x

1
2

Đặt u = 2 x + 1, dv = 3−2 x dx . Khi đó du = 2dx; v = −
1

1
−2 x
Ta có: ∫ ( 1 + 2 x ) 3 dx = − 2ln 3 .3 ( 1 + 2 x )
1
−

1

−2 x

2

dx

−

1
2

1 −2 x
3
2ln 3

1
+
ln 2

1

∫3

−2 x

dx

1
−
2

1

1
1
26 − 3ln 3
=−
−
3−2 x =
2
1
6ln 3 2ln 3
18ln 2 3
−
2

Vậy V =

26 − 3ln 3
π (đvtt).
18ln 2 3
Trang 14


Bài toán 9.29: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng quanh trục Oy:
1

a) Giới hạn bởi: y = ( 2 x + 1) 3 , x = 0, y = 3
b) Giới hạn bởi: y = ln x, y = 0, x = e .
Hướng dẫn giải

y3 − 1
a) x = 0 ⇒ y = ( 2 x + 1) = 1, y = ( 2 x + 1) ⇒ x =
2
1
3

1
3

2

 y3 − 1 
π1 6
480
3
V = π ∫
π (đvtt).
÷ dy = ∫ ( y − 2 y + 1) dy =
2
4
7


0
0
1

b) x = e ⇒ y = ln x = 1, y = ln x ⇒ x = e y
1

V = V1 − V2 = π ∫ ( e 2 − e 2 y ) dy
0

1

1
π


= π  e 2 . y − e 2 y ÷ = ( e 2 + 1) (đvtt).
2

0 2
Bài toán 9.30: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng quay
quanh Oy:
a) Giới hạn bởi các đường y = 2 x − x 2 và y = 0
2

b) Giới hạn bởi đường y = x 3 , x = 0 và tiếp tuyến tại x = 1 .
Hướng dẫn giải
a) Ta có

2 x − x 2 = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
y = 2 x − x 2 ⇔ ( x − 1) = 1 − y
2

⇔ x = 1± 1− y
1

(

V = V1 − V2 = π ∫  1 + 1 − y

0
1

= 4π ∫
0

) (
2

− 1+ 1− y

)

2

 dy
÷


1

8
8π

1 − ydy = − π ( 1 − y ) 1 − y =
(đvtt)
3
3
0

b) Phương trình tiếp tuyến là y =

2
1
x+
3
3
Trang 15


2

1
π 2π
3
V = π ∫ y 3dy − π ∫  y − ÷ dy = −
2
2
4 9
0
1/3 
1

1

31

1
3
 y− ÷
2
2

=
1/3

π
(đvtt).
36

Bài toán 9.31: Giả sử ( H ) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 ( x − 2 ) và y = x 2 − 4 x + 7 . Tính
2

thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay ( H ) xung quanh trục tung.
Hướng dẫn giải
Hình ( H1 ) giới hạn bởi đường cong

y
y
,x = 2−
2
2

x = 2+

và hai đường thẳng y = 0, y = 4 .
2
2

y 
y 
 dy
V1 = π ∫  2 +
÷ −  2 −
÷

÷
2 ÷
2
0 
 
 

4

4

= π ∫ 4 ydy =
0

Hình

( H2 )

64π
3

được giới hạn bởi hai đường cong x = 2 +

y −3 , x = 2− y −3

và hai đường thẳng

y = 3, y = 4 .
4

(

V2 = π ∫  2 + y − 3

0

2
16π
− 2 − y − 3  dy = π ∫ 8 y − 3dy =

3
0

) (
2

)

4

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tìm là: V = V1 − V2 = 16π (đvtt)
Bài toán 9.32: Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn ( C ) có phương trình: x 2 + ( y − 2 ) = 1 quanh trục
2

Ox.
Hướng dẫn giải
Đường tròn: x 2 + ( y − 2 ) = 1 có tâm I ( 0;2 ) , bán kính R = 1 .
2

( y − 2)

2

= 1 − x2 ⇔ y = 2 ± 1 − x2

Nửa ( C ) ở trên ứng với 2 ≤ y ≤ 4 có phương trình:

y = f1 ( x ) = 2 + 1 − x 2 với x ∈ [ −1;1]
Nửa ( C ) ở dưới ứng với 0 ≤ y ≤ 2 có phương trình:

y = f 2 ( x ) = 2 − 1 − x 2 với x ∈ [ −1;1]
Trang 16


Khi đó thể tích khối tròn xoay cần tính là:

(

1


V = V1 − V2 = π ∫  2 + 1 − x 2
−1 

) (
2

− 2 − 1 − x2

)

2

1


2
 dx = 8π ∫ 1 − x dx
−1

Đặt x = sin t thì dx = cos tdt
Đổi cận: x = −1 thì t = −
Khi đó: V = 8π

π /2

∫

π
π
; x = 1 thì t =
2
2
π /2

cos 2 t cos tdt = 4π

− π /2

∫ ( 1 + cos 2t ) dt

− π /2

π /2

 1

= 4π  t + sin 2t ÷
= 4π 2 (đvtt)
 2
 −π /2



2
Bài toán 9.33: Chứng minh rằng thể tích V của khối chỏm cầu bán kính R và chiều cao h là V = π h  R −

h

÷
3

Hướng dẫn giải
Xét cung tròn ( O; R ) : y =

R 2 − x 2 thì thể tích chỏm cẩu cần tìm là:
R

 2
x3 
V = π ∫ ( R − x ) dx = π  R x − ÷
3  R−h

R−h
R

2

2

3
 3 R3
R − h) 
(
h

2
= π R −
− R ( R − h) +

 = π h2  R − ÷
3
3 
3






2
Kết quả: Thể tích khối cầu V = 2π R  R −

R 4 3
÷ = π R (đvtt)
3 3

Bài toán 9.34: Đường thẳng d qua y = kx + 1 − k cắt Ox, Oy tại M, N. Tìm k < 0 để thể tích khối tròn xoay
tạo ra khi quay tam giác OMN quanh Oy đạt giá trị bé nhất.
Hướng dẫn giải

y = kx + 1 − k , k < 0 ⇔ x =

y
1
+1−
k
k

Thể tích khối nón tạo thành:

V ( k) =π

1− k

∫
0

2

1 π  1 3
y

 + 1 − ÷ =  2 − − k + 3 ÷, k < 0
k
3k
k
k


Trang 17


V '( k ) =

π 2 3

 − 3 + 2 − 1÷,V ' ( k ) = 0 ⇔ k = −2
3 k
k



Lập BBT thì min V ( k ) = V ( −2 ) =

9π
(đvtt).
4

3. BÀI LUYỆN TẬP
Bài tập 9.1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số: y = x3 − 4 x , trục hoành và 2 đường thẳng

x = −2; x = 4 .
Hướng dẫn
Dùng công thức S trực tiếp. Kết quả 44 (ddvdt)
Bài tập 9.2: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị các hàm số y = 4 − x 2 , y = − x + 2 .
Hướng dẫn
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm. Kết quả

9
(đvdt)
2

Bài tập 9.3: Tìm diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị: y = x 3 − 1 và tiếp tuyến tại điểm A ( −1; −2 ) .
Hướng dẫn
Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm A ( −1; −2 ) rồi tìm thêm giao điểm khác A. Kết quả

27
(đvdt)
4

Bài tập 9.4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị:

y=

x
1 − x4

, y = 0 và x = 0, x =

1
2
Hướng dẫn

Dùng công thức S trực tiếp. Đổi biến số t = x 2 rồi t = sin u .
Kết quả

π
(đvdt).
12

Bài tập 9.5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong:

y 2 = 2 x, 27 y 2 = 8 ( x − 1)

3

Hướng dẫn
Vẽ hình và xác định miền giới hạn. Kết quả

88 2

(đvdt).
15

Bài tập 9.6: Tìm m để diện tích giới hạn bởi 2 đồ thị: y = x 2 + 1 và y = mx + 2 là bé nhất.
Hướng dẫn
Trang 18


Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm và chú ý luôn có 2 nghiệm phân biệt. Kết quả m = 0 .
Bài tập 9.7: Cho hàm số y = f ( x ) đơn điệu từ [ a; b ] vào [ c; d ] có hàm ngược x = g ( y ) . Chứng minh thể
b

tích quay quanh Oy của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị, trục Ox, x = a, x = b là: VOy = 2π xf ( x ) dx

∫
a

Hướng dẫn
Dùng định nghĩa về diện tích và minh họa đồ thị.
Bài tập 9.8: Tính thể tích của vật thể giữa hai mặt phẳng: x = 0, x = π vì thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt
phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x ( 0 ≤ x ≤ π ) là một tam giác đều cạnh là 2 sin x .
Hướng dẫn
b

Dùng công thức thể tích vật thể tổng quát V = S ( x ) dx

∫
a

Kết quả 2 3 (đvtt)

Bài tập 9.9: Cho hình phẳng S trong mặt phẳng Oxy giới hạn bởi các đường y = x 2 − 4 x, y = − x 2 − 2 x + 6 .
Tính thể tích khối tròn xoay khi S quay quanh trục Ox.
Hướng dẫn
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm.
Kết quả 3π (đvtt)

1
x2
Bài tập 9.10: Cho hình phẳng S giới hạn bởi các đường: y = 2
; y = . Tính thể tích khối tròn xoay khi
x +1
2
S quay quanh Ox.
Hướng dẫn
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm.

π 2 3π
Kết quả V =
(đvtt)
+
4 10
Bài tập 9.11: Tính thể tích khối quay quanh Ox, Oy của hình phẳng S giới hạn bởi: y =

x , y = 0 và y = 2 − x

.
Hướng dẫn
Tìm các giao điểm bằng PT hoành độ giao điểm.
Kết quả

5π
32π
(đvtt) và
(đvtt)
6
15

Trang 19