Tieu chuan chia het cho tam thuc

TIÊU CHUẨN CHIA HẾT CỦA TAM THỨC X m  X n  1 CHO CÁC TAM THỨC
X 2  X  1 VÀ X 4  X 2  1

TRẦN VĂN VUÔNG
Viện khoa học Giáo dục
-

Trong bài toán này, chúng ta sẽ xác định những mối liên hệ chặt chẽ giữa tính chia hết của
tam thức x m  x n  1 và tính chia hết của các số mũ m, n. Nhưng tiêu chuẩn đó được ứng
dụng để phân tích tam thức x m  x n  1 thành nhân tử, rút gọn các phân thức,…
1. Tiêu chuẩn chia hết của tam thức x m  x n  1 cho tam thức x 2  x  1 khi và chỉ
khi mn  2 chia hết cho 3.

Chứng minh: Biểu diễn m, n dưới dạng:
m  3k  r ; k, r  N , 0  r  2
n  3l  s ; l, s  N, 0  s  2

Khi đó:

x m  x n  1  (x 3k  1) x r  (x 3l  1) x s  x r  x s  1

Vì x 3k  1 và x 3l  1 cùng chia hết cho x 3  1  (x  1)(x 2  x  1)
Nên

x m  x n  1  x 2  x  1 khi và chỉ khi x m  x s  1  x 2  x  1

r
s
2
Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có: x  x  1  x  x  1 khi và chỉ khi r  1, s  2,

hoặc r  2, s  1.
Mặt khác: mn  2  (3k  r) (3l  s)  2  3(3kl  ks  lr)  rs  2
Nên mn  2  3 khi và chỉ khi rs  2  3
Nhưng rs  2  3 khi và chỉ khi r  1, s  2,

hoặc r  2, s  1

Vậy x m  x n  1  x 2  x  1  mn  2  3
Hệ quả 1: x m  x n  1  x 2  x  1  n  1  3
Hệ quả 2: x m  x n  1  x 2  x  1  n  1  3
2. Tiêu chuẩn chia hết của tam thức x m  x n  1 cho tam thức x 2  x  1

Tuyển tập các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi trên báo toán học tuổi trẻ

Page 1


Định lý 2:Tam thức x m  x n  1 chia hết cho tam thức x 2  x  1 khi và chỉ khi mn  2 và

m  n cũng chia hết cho 6.
Chứng minh: Biểu diễn m, n dưới dạng:
m  6k  r ; k, r  N, 0  r  5,
n  6l  s ; l, s  N, 0  s  5,

Khi đó: x m  x n  1  (x 6k  1) x r  (x 6l  1) x s  x r  x s  1
x 6k  1 và x 6l  1 cùng chia hết cho

Vì
Nên

x 6  1  (x 3  1)(x  1)(x 2  x  1)

x m  x n  1  x2  x  1  x r  xs  1  x 2  x  1

Bằng cách kiểm tra trực tiếp ta có:
x r  x s  1  x 2  x  1  r  2, s  4 hoặc r  4, s  2

Mặt khác, ta có:
mn  2  (6k  r)(6l  s)  2  6(6kl  ks  lr)  rs  2
m  n  6k  r  6l  s  6(k  l)  r  s

Nên

mn  2  6 và m  n  6  rs  2  6 và r  s  6

Nhưng rs  2  6 và r  s  6  r  2, s  4 hoặc r  4, s  2
Vậy x m  x n  1  x 2  x  1  mn  2  6 và m  n  6
Hệ quả 3: x n  x 2  1  x 2  x  1  n  2  6
Hệ quả 4: Với mọi n tự nhiên, tam thức x n  x  1 không chia hết cho x 2  x  1
3. Tiêu chuẩn chia hết của tam thức x m  x n  1 cho tam thức x 2  x  1
Định lý 3: Tam thức x m  x n  1 chia hết cho tam thức x 2  x  1 khi và chỉ khi khi
mn  2 và m  n cũng chia hết cho 6.

Chứng minh: Vì x 4  x 2  1  (x 2  x  1)(x 2  x  1) nên nếu x m  x n  1  x 2  x  1
và do đó theo định lí 2 ta phải có mn  2 và m  n cũng chia hết cho 6.
Ngược lại, nếu mn  2 và m  n cùng chia hết cho 6 thì cũng theo định lí 2 ta có
xm  xn  1  x2  x  1
Tuyển tập các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi trên báo toán học tuổi trẻ

Page 2

Hơn nữa, khi mn  2  6 ta cũng có mn  2  3 nên theo định lí 1 ta có
x m  x n  1  x 2  x  1.

Như vậy, nếu mn  2 và m  n cùng chia hết cho 6 thì x m  x n  1 chia hết cho cả
x 2  x  1 lẫn x 2  x  1 . Mặt khác các đa thức x 2  x  1 và x 2  x  1 nguyên tố cùng

nhau (vì

1
1
(x  1) (x 2  x  1)  (1  x) (x 2  x  1) nên suy ra x m  x n  1 chia hết
2
2

cho (x 2  x  1)(x 2  x  1)  x 4  x 2  1 .
Vậy x m  x n  1  x 4  x 2  1  mn  2  6 và m  n  6
Hệ quả 5: x 6m  4  x 6n  2  1  x 4  x 2  1
x 6m  4  x 6n  2  1  x 2  x  1

4. Ứng dụng
Ví dụ 1: Phân tích tam thức x 7  x 5  1 thành nhân tử
Giải: Theo định lí 1 ta có x 7  x 5  1  x 2  x  1. Do đó
x 7  x 5  1  (x 2  x  1) (x 5  x 4  x 3  x  1)

Ví dụ 2: Phân tích tam thức x 8  x 4  1 thành nhân tử
Giải: Theo định lí 3 ta có x 8  x 4  1  x 4  x 2  1 . Do đó
x 8  x 4  1  (x 4  x 2  1)(x 4  x 2  1)
 (x 2  x  1) (x 2  x  1)  (x 2  3 x  1)(x 2  3 x  1)

Ví dụ 3: Rút gọn phân thức

x8  x 4  1
x10  x 2  1

Giải: Theo định lí 2, cả tử thức lẫn mẫu thức đều chia hết cho x 4  x 2  1 . Do đó:

x8  x 4  1
x4  x2  1

x10  x 2  1
x6  x4  1
Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương k, l ta có 23k  1  23l  1  1 là hợp
số.
Giải: Đặt m  3k  1, n  3l  1 , ta có:
Tuyển tập các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi trên báo toán học tuổi trẻ

Page 3


mn  1  (3k  1)(3l  1)  1  9kl  3k  3l  3 nên theo định lí 1 thì
23k  1  23l  1  1  22  2  1 (đ.p.c.m)

5. Bài tập
1) CMR

x 3000  x 2000  x1000  x 4  x 2  1

2) CMR nếu

x m  x n  1  x 2  x  1 thì x 2m  x 2n  1  x 2  x  1

3) Phân tích tam thức x16  x14  1 thành nhân tử.
4) Rút gọn phân thức

x11  x  1
x7  x2  1

5) CMR nếu x m  x n  1  x 2  x  1 thì phương trình x m  x n  1  0 không có
nghiệm số thực
6) Cho m, n, k là ba số nguyên dương. Hỏi k 3m  1  k 3n  2  1 có phải là hợp số hay
không?

Tuyển tập các chuyên đề ôn thi học sinh giỏi trên báo toán học tuổi trẻ

Page 4