Cac CD BDHS gioi

Bài tập Đại số www.VNMATH.com
I-Bất đẳng thức cô si
2

2

a
b
c2
a+b+c
1.Chứng minh rằng
với a,b,c>0
+
+
≥
b+c c+a a+b
2
1
1
1
3
+ 3
+ 3
≥ với a,b,c>0 và abc =1
2.Chứng minh rằng 3
a ( b + c) b ( c + a) c ( a + b) 2
a3
b3
c3
3
+

+
≥
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
( 1 + b) ( 1 + c) ( 1 + c) ( 1 + a) ( 1 + a) ( 1 + b) 4
4.Cho k số không âm a1, a2 ,..., ak thoả a1a2 ...ak = 1
Cm: a1m + a2 m + ... + ak m ≥ a1n + a2 n + ... + ak n với m ≥ n; m, n ∈ N
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: x 2004 + y 2004 + z 2004 = 3 .Tìm GTLN của biểu thức

A = x3 + y 3 + z 3
6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 8a + 8b + 8c ≥ 2a + 2b + 2c
7.Cho số tự nhiên k ≥ 2 . a1, a2 ,..., ak là các số thực dương

a1m a2m
ak m
+ n + ... + n ≥ a1m − n + a2 m − n + ... + an m − n
Cmr:
n
a2
a3
a1
1 1 1
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn + + = 1 .Tìm GTNN của biểu thức
x y z
x 2006 y 2006 z 2006
A = 2007 + 2007 + 2007
y
z
x
x 20 y 20 z 20
y

z
x
10.Cho n số thực x1, x2 ,..., xn thuộc đoạn [ a, b ] , a > 0

9.Tìm GTNN của A = 11 + 11 + 11 với x + y + z = 1

1 1
1  ( n( a + b) )
Cmr: ( x1 + x2 + ... + xn )  +
+ ... + ÷ ≤
xn 
4ab
 x1 x2
11.Cho n là số nguyên dương;lấy xi ∈ [ 2000;2001] với mọi i=1,2…,n
2

(

Tìm GTLN của F = 2

x1

+ 2 x2 + ... + 2 xn

12.Xét các số thực x1, x2 ,..., x2006 thoả

)(2

− x1

+ 2− x2 + ... + 2− xn

π
π
≤ x1, x2 ,..., x2006 ≤
6
2

)

Tìm GTLN của biểu thức

 1

1
1
A = ( sin x1 + sin x2 + ... + sin x2006 ) 
+
+ ... +
÷
sin x2006 
 sin x1 sin x2

13.Cho n số dương a1 , a2 ,..., an Đặt : m = min { a1 , a2 ,..., an } , M = Max { a1 , a2 ,..., an }
n

n

i =1

i =1

A = ∑ ai , B = ∑

1
1
 n ( m + M ) − A
.Cmr: B ≤
ai
mM 

Năm học 2010-2011


Bài tập Đại số www.VNMATH.com
14.Cho ai ≥ 0, bi ≥ 0, ∀i = 1, n .Chứng minh rằng:
n

( a1 + b1 ) ( a2 + b2 ) ... ( an + bn )

≥ n a1a2 ...an + n b1b2 ...bn

(

15.Cho ai ≥ 0, ∀i = 1, n .Chứng minh rằng: ( 1 + a1 ) ( 1 + a2 ) ... ( 1 + an ) ≥ 1 + n a1a2 ...an

)

n

16.Chứng minh n 1.2... ( n + 1) ≥ 1 + n 1.2...n với n ≥ 2, n ∈ N
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
3
1 
1 
1  
2 

1/  1 +
÷ 1 +
÷1 +
÷ ≥ 1 +
÷
3
 sin A  sin B  sin C  




3

1 ÷
1 ÷
1 ÷ 
2 
1
+
1
+
1

+
≥
1
+
2/ 
÷
A ÷
B ÷
C÷ 
3
 cos ÷ cos ÷ cos ÷ 

2 
2 
2
3


1 
1 
1  
2 
3/  1 +
÷1 +
÷ 1 +
÷ ≥ 1 +
÷
 ma  mb  mc   3R 

4

4

4

b 
b 
c
4

18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh:  a + ÷ +  a + ÷ +  a + ÷ ≥ 3 ( a + 3b )
x 
y 
z

n

19.Cho a, b > 0, xi > 0∀i = 1,..n; ∑ xi = 1 . Cmr:
i =1

m

m

m



b 
b

b 
m
 a + ÷ +  a + ÷ + ... +  a + ÷ ≥ n ( a + nb ) với m > 0
x1  
x2 
xn 


20.Cho a, b, c > 0, a + b + c = 1 .Chứng minh rằng:

3

 1
 1
 1

 − 1÷ − 1÷ − 1÷ ≥ 8
 ab  bc  ca 

m
n
21.Cho x ∈ [ a; b ] .Tìm GTLN của biểu thức F ( x ) = ( x - a ) ( b - x ) với m,Ν
nÎ
é πù
22.Cho x Î ê0; ú.Tìm GTLN của biểu thức F ( x ) = sin q x.cos p x với p,Ν
qÎ *
ê
ú
2
ë û

*

23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức F ( a, b, c ) = a 30b 4c 2004
24.Cho x, y ³ 0, x + y £ 6 .Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/ F ( x, y ) = x 2002 . y.( 6 - x - y )
2/ F ( x, y ) = x 2002 . y.( 4 - x - y )
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
1
1
1
1
P= 2
+ + +
2
2
ab bc ca
a +b + c
26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức
1
1
1
1
1
P= 2
+
+
+
+
2

2
2
acd abd abc bcd
a +b + c + d
n
n
1
xi
= 1 . Cmr: Õ xi £
27.Giả sử x1, x2 ,..., xn >0 thỏa mãn điều kiện å
n
i=1
( n - 1)
i=1 1 + xi
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn

a
2b
3c
1
+
+
= 1 . Cmr: ab 2c3 £ 6
1+ a 1+b 1+ c
5

Năm học 2010-2011


Bài tập Đại số www.VNMATH.com

n
n
xi
1
£
Õ
x
,
x
,...,
x
x
=
1
29. Giả sử 1 2
.Cmr:
n
n >0 thỏa mãn điều kiện å i
i=1 1- xi
( n - 1)
i=1
n

1
1
=
1998
i=1 xi +1998

30. (QG-98) Giả sử x1, x2 ,..., xn >0 thỏa mãn điều kiện å

Cmr:

n

x1.x2 ...xn
n- 1

³ 1998
n

31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện å ai <1
i=1

Cmr:

ù
a1a2 ...an é
ë1- ( a1 + a2 +... + an ) û

( a1 + a2 +... + an ) ( 1- a1 ) ( 1- a2 ) ...( 1- an )

33.Cmr: " n Î N , n ³ 2 ta có n 1-

n+1
æö
1÷
£ç
÷
ç
÷

ç
èn ø

n

n
n n
n
+ 1+
<2
n
n

(

) (
)
6
6
6
4 2
4 2
4 2
35. Cho x, y , z Î [ 0; 2] .Cmr: 2 ( x + y + z ) - ( x y + y z + z x ) £ 192
3
3
3
2
2
2

34.Cho x, y , z Î [ 0;1] .Cmr: 2 x + y + z - x y + y z + z x £ 3

2000

2000

3
36.Cho xi Î [1; 2] với i=1,…,2000.Thỏa mãn å xi = 2005 Tìm GTLN của A = å xi
i=1

α

i=1

α

α

1  
1  
1 

37.Chứng minh :  a 2 + ÷ +  b 2 + ÷ +  c 2 + ÷ ≥ 3.2α Trong đó a, b, c, α > 0
ab  
bc  
ca 

38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
2
2

2
Tìm GTNN của biểu thức P = a ( x + y ) + z
16
xy = a 2 .Trong đó a là một số dương
25
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
1
2
2
2
2
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : ≤ a + b + c + d ≤ 1
2
2
2
2
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : x + y + z +

Tìm GTLN và GTNN của : P = ( a − 2b + c ) + ( b − 2c + d ) + ( b − 2a ) + ( c − 2d )
2

2

2

41.Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn pt f ( tg 2 x ) = tg 4 x + cot g 4 x
Cmr: f ( s inx ) + f ( cosx ) ³ 196

( OLP-30-4-99)

II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
a,b,c,d
1.Cho
là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 = 4 và c+d=4 .
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ac+bd+cd
9+6 2
2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn a 2 + b 2 = 1 và c+d=3 Cmr: ac+bd+cd ≤
4
2
2
a,b,c,d
3(HSG-NA-2005)
là các số thực thoả mãn a + b = 1 và c-d=3
9+6 2
4
4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : a 2 + b 2 + 40 = 8a + 10b; c 2 + d 2 + 12 = 4c + 6d ;3 x = 2 y + 13
Cmr: ac+bd-cd ≤

Tìm GTNN của P =

( x − a)

2

+ ( y − b) +
2

( x − c)

2

+( y−d)

2

Năm học 2010-2011

2


Bài tập Đại số www.VNMATH.com
5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng : a 2 + b 2 − 6a − 10b + 34 + a 2 + b 2 − 10a − 14b + 74 ≥ 6
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr: a 2 + b 2 − 12a − 8b + 52 + a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − 2ac − 2bd + c 2 + d 2 − 4c + 8d + 20 ≥ 4 5
7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : c + d = 6; a 2 + b 2 = 1
Cmr: c 2 + d 2 − 2ac − 2bd ≥ 18 − 6 2
2
2
2
2
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a + b = 2 ( a + b ) ; c + d = 4 ( c + d − 1)

(

Cmr: 4 − 2 2 ≤ a + b + c + d ≤ 2 4 + 2 2

)

9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : a 2 + b 2 = c 2 + d 2 = 5

3 30
Cmr: 5 − a − 2b + 5 − c − 2d + 5 − ac − bd ≤
.Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
2
10.Cmr với mọi x,y ta đều có: x 2 + 4 y 2 + 6 x + 9 + x 2 + 4 y 2 − 2 x − 12 y + 10 ≥ 5
2
2
2
2
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn a + b + 1 = 2 ( a + b ) ; c + d + 36 = 12 ( c + d )

Cm:

(

)

6

2 −1 ≤ ( a − c ) + ( b − d ) ≤
2

2

(

)

2 +1

6

2 x + 3 y ≥ 2

12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :  x + 3 y ≤ 9
 x ≥ 0, y ≥ 0

35
≤ x 2 + y 2 − 4 x − 8 y ≤ 45
2
− x + 2 y − 8 ≤ 0

13.Cho các số x,y thỏa mãn :  x + y + 2 ≥ 0
 y − 2x − 4 ≥ 0

Cmr: −

Cm:

16
≤ x 2 + y 2 ≤ 20
5

III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1Chứng minh rằng với mọi α ta có
17 ≤ cos 2α + 4cosα +6 + cos 2α − 2cosα +3 ≤ 2 + 11
2.Tìm GTNN của hàm số y = − x 2 + 4 x + 12 − − x 2 + 2 x + 3
 π
3.a)Chứng minh bất đẳng thức: tgt + sin t ≥ 2t ; ∀t ∈ 0; ÷
 2

b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
A
B
C
1 + cos
1 + cos
1 + cos
Chứng minh :
2 +
2+
2 > 3 3 ( A,B,C đo bằng rađian)
A
B
C
4.Cho a, b ∈ [ 0;1] Chứng minh rằng
x
b
a
+
+
+ ( 1 − x ) ( 1 − a ) ( 1 − b ) ≤ 1 với ∀x ∈ [ 0;1]
a + b +1 x + a +1 x + b +1
x 2 cosα -2x+cosα
5.Cho hàm số y = 2
với α ∈ ( 0; π )
x − 2 xcosα +1
Chứng minh : −1 ≤ y ≤ 1; ∀x

Năm học 2010-2011

Bài tập Đại số www.VNMATH.com
6.Chứng minh sin A + sin B + sin C + tgA + tgB + tgC > 2π .với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
π
sinx
tgx
x +1
7.Chứng minh 2 + 2 > 2 ;0 < x <
2
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện f ( x ) ≥ 0, ∀x
Cmr: f ( x ) + f

,

( x) +

f ,, ( x ) + ... + f (

n)

( x ) ≥ 0, ∀x

9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
1
1 
 1
cot gA + cot gB + cot gC + 3 3 ≤ 2 
+
+

÷
 sin A sin B sin C 
10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:
1
1
5
( cos3A+cos3B ) − ( cos2A+cos2B ) + cosA+cosB= .Chứng minh tam giác ABC đều
3
2
6
π
11.Cho 0 < a < b < .Chứng minh rằng : a.sina-bsinb>2 ( cosb-cosa )
2
a ≥ 1
p+q
− 1 ≥ ( p + q ) a p − aq
12.Cho 
.Chứng minh rằng a
0 ≤ q ≤ p ≤ q+1

(

π
.Chứng minh rằng :
2

)

3

 s inx 

÷ > cosx
 x 
14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr: tgA + tgB + tgC + 6 ( sin A + sin B + sin C ) ≥ 12 3
13.Cho 0 < x <

15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa a 2 + b 2 + c 2 = 1 .
a
b
c
3 3
+
+
≥
Chứng minh rằng: 2
2
b + c 2 c2 + a 2 a 2 + b2
16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có
2
1
( sin A + sin B + sin C ) + ( tgA + tgB + tgC ) > π
3
3
3x
π
+1
17.Cho 0 < x < .Cmr: 2 s inx
tgx
2

+2 >2 2
2
18Cho số nguyên lẻ n ≥ 3.Cmr: ∀x ≠ 0 ta luôn có :

x 2 x3
xn  
x 2 x3
xn 
+
+ ... +
−
+ ... −
1 + x +
÷1 − x +
÷< 1

2! 3!
n ! ÷
2! 3!
n ! ÷


19.với giá trị nào của m thì sin 3 x + cos3 x ≥ m, ∀x
4 xy 2
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng : 
2
2
 x + x + 4y


3


÷


≤

1
8

21.Cho x ≠ 0, y ≠ 0 là hai số thực thay đổi thỏa mãn ( x + y ) xy = x 2 + y 2 − xy
1
1
Tìm GTLN của biểu thức A = 3 + 3
x
y
22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện a, b, c ≥ −
Chứng minh ta có bất đẳng thức

a
1+ a

2

+

b
1+ b

2

+

3
4
c

1+ c

2

≤

9
10

23.(HSG Bà Rịa12-04-05)

Năm học 2010-2011


Bài tập Đại số www.VNMATH.com
x +1

1/Tìm cực trị của hàm số y

x2 − x + 1
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của P = x 2 − x + 1 + y 2 − y + 1 + z 2 − z + 1

 2

2
2
24.Tìm GTNN của P = 3  x + 1 + y + 1 + z + 1 ÷− 2 ( x + y + z )


25. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 6 . Cmr: a 4 + b 4 + c 4 ≥ 2( a 3 + b3 + c3 )

1 1 1
+ + ) − (a + b + c) ≥ 2 3
a b c
a
b
c
9
+
+
≥
27Cho a,b,c>0 .Cmr :
(b + c) 2 (c + a) 2 ( a + b) 2 4(a + b + c)
a(b + c)
b (c + a )
c ( a + b)
6
+
+
≤
28. (Olp -2006)Cho a, b, c > 0 .Cmr: 2
a + (b + c) 2 b 2 + (c + a ) 2 c 2 + (a + b) 2 5

26. Cho a, b, c > 0 và a 2 + b 2 + c 2 = 1 . Cmr: (

(b + c − a) 2
(c + a − b ) 2
(a + b − c ) 2 3
+
+
≥
39.(Olp nhật 1997)Cho a, b, c > 0 .Cmr:
(b + c) 2 + a 2 (c + a) 2 + b 2 ( a + b) 2 + c 2 5
x + y + z = 4
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện : 
.
 xyz = 2
Tìm GTLN và NN của biểu thức P = x 4 + y 4 + z 4 (QG -B-2004)
41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện ( x + y + z ) 3 = 32 xyz
Tìm GTLN và GTNN của P =

x4 + y4 + z4

( x + y + z) 4

(QG-A-2004)

42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a ≤ b ≤ c ≤ d và bc ≤ ad .Chứng minh rằng
ab bc c d d a ≥ a d b a cb d c
43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y
( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f ( c otgx ) = sin 2 x + cos2x ,

(

) (

x Î ( 0; π ) Tìm GTNN và GTLN của hàm số g ( x ) = f sin 2 x f cos 2 x

)

QG –B-2003 )

45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn f ( c otgx ) = sin 2 x + cos2x ,
x Î ( 0; π ) Tìm GTNN và GTLN của hàm số g ( x ) = f ( x ) f ( 1 - x) , x Î [- 1;1]
x +sin b
sin b
æ πö
æx + s ina ö
æ
sin a ö
÷
÷
ç
ç
0; ÷
;
a
¹
b
46.Cho x>0 và a, b Î ç
÷

Cmr:
>
ç
÷
÷
ç
ç
÷
ç
÷
÷
çx + sin b ø
çsin b ø
è 2ø
è
è

IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG
a− b
a a− b
< ln <
a
b
b
b−a
b−a
π
< tgb − tga <
2.Chứng minh rằng nếu 0 < a < b < thì
2

2
cos a
cos2b
1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì

Năm học 2010-2011

( QG –A-2003)


Bài tập Đại số www.VNMATH.com
1

; ∀x ∈ ( 0;1)
2ne
4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện
a
b
c
+
+ = 0 .Chưng minh pt ax 2 + bx + c = 0 có ít nhất một nghiệm
m + 2 m +1 m
thuộc khoảng ( 0;1)
3.Chứng minh x

n

1− x <

5.Cho pt bậc n: an x n + an −1 x n −1 + ... + a1 x + a0 = 0 trong đó an ≠ 0,an−1,...,a1,a0

a
a
a
là số thực thỏa mãn : n + n−1 + ... + 1 + a0 = 0.Chứng minh pt đã cho có
n+1 n
2
ít nhất một nghiệm thuộc khỏang ( 0;1)
6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn 5c ( n + 2) + 6( a + b) = 0

 π
Chứng minh pt : a sin n x + b cos n x + c sin x + c = 0 có nghiệm thuộc khoảng  0; ÷
 2
7.Cho hàm số liên tục : f : [ 0;1] → [ 0;1] có đạo hàm trên khoảng ( 0;1) Thỏa mãn
f( 0) = 0,

( 1) = 1.Chứng minh tồn tại a,b∈ ( 0;1) sao cho a ≠ b

và f , ( a) f , ( b) = 1

8.Giải các pt sau :
a) 3 x + 5 x = 2.4 x
b) 3cosx − 2cosx = cosx

(

)

cosx
= 3.4cosx
c) ( 1 + cosx ) 2 + 4

d) 2003x + 2005 x = 4006 x + 2
1
1
1
1
1
+
+ ... +
+ ... +
=
9.Xét phương trình :
x − 1 4x − 1
k2x −1
n2 x − 1 2
Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là xn
b)Cmr dãy số { xn} có giới hạn bằng 4 khi n → +∞
(QG-A-2002)
10.Cho hàm số f ( x ) và f , ( x ) đồng biến trên đoạn [ a;b] ,với

1
1
f ( a ) = ( a - b) , f , ( b) = ( b - a )
2
2
Chứng minh rằng tồn tại α, β ,δ phân biệt trong ( a;b) sao cho f, ( α ) , ( β ) f , ( δ ) = 1
11.Cho f :[ 0;1] ® [ 0;1] thoả mãn các điều kiện f , ( x ) > 0; " x Î [ 0;1] và f( 0) = 0, ( 1) = 1
n

,
Cm:tồn tại dãy số 0 £ a1 < a2 < ... < an £ 1 sao cho Õ f ( ai ) ³ 1
i =1

(n là số nguyên dương n ³ 2 )
12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác
abc + abd + bcd + acd
ab + ac + ad + bd + cd
CMR: 3
£
4
6

Năm học 2010-2011


Bài tập Đại số www.VNMATH.com
V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra:
1 − cosxcos2x...cosnx
khi x ≠ 0

a) f ( x ) = 
tại x=0
x2
0 khi x=0

 ln cosx
khi x ≠ 0


b) f ( x ) =  x
tại x=0
0 khi x = 0
( x + a) e−bx khi x < 0
2.Xác định a,b để hàm số : f ( x ) = 
có đạo hàm tại x=0
ax 2 + bx + 1 khi x ≥ 0
p cosx +qsinx khi x ≤ 0
3.Cho hàm số f ( x ) = 
px+q+1 khi x > 0
Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0
VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
2 x3 + 3x 2 + 6 x + 16 > 2 3 + 4 − x
2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
log a 11 + log 1 ax 2 − 2 x + 3.log a  ax 2 − 2 x + 1 + 1÷ ≤ 0


1.Giải bpt :

2

3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
log a 3 + log 1  x 2 + ax+5 + 1÷.log 5 x 2 + ax+6 ≥ 0



(

a

)

4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
4

− x−a

(

)

2
log 3 x 2 − 2 x + 3 + 2− x + 2 x log 1 ( 2 x − a + 2 ) = 0

3

(

)

(

)

2
2
2
5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt: 3 x + a = 1− 9a − 2 x

có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt
1

2
x + ( 3a − 2 ) .3x = 8a − 4 log3  3a − ÷− 3 x3
2


(

)

(

)

2
2
4
2
6. Tìm những giá trị của a để pt: 15 x − 2 6m + 1 x − 3m + 2m = 0 có số nghiệm không nhiều
2

(

x
3
6m
hơn số nghiệm của pt : ( 3a − 1) .12 + 2 x + 6 x = 3 − 9

(

)

)

28m − 0, 25

3
7.Giải pt : 3log3 1 + x + x = 2 log 2 x

tgx − tgy = y − x

8.Giải hệ 
5π
 2 x + 3 y = 4
9.Giải bất pt log7 x > log3 2 + x

(

)
Năm học 2010-2011


Bài tập Đại số www.VNMATH.com
x

x

 1+ a2 
 1− a2 
10.Giải pt : 
÷ −
÷ = 1 với tham số a∈ ( 0;1)
 2a ÷  2a ÷





tgx − tgy = y − x
11. Giải hệ: 
 y + 1 − 1 = x − y + 8

(1)
(2)

 π π
2
12 Giải pt: etg x + cosx=2 với x ∈  − ; ÷
 2 2
13 Giải pt: 3 x(2 + 9 x 2 + 3) + (4 x + 2)( 1 + x + x 2 + 1) = 0
14.Giải pt: 3x = 1+ x + log3(1+ 2x)
VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm :

x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m

 π

÷
 2

2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt: ax 2 + 1 = cos x có đúng một nghiêm x ∈  0;
3.Cho hàm số y = − x +

(x + a)(x + b) với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr
1

s s
 s
với mọi s∈ ( 0;1) đều tồn tại duy nhất số thực α > 0: f (α ) = a + b

÷
 2 

(QG-A-2006)

4.Cho pt : cos2x= ( m+1) cos 2 x 1 + tgx
a)Giải khi m = 0

 π
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn  0; 
 3
5.Tìm m để pt sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + 3 + ( 3m − 4 ) 1 − x + m − 1 = 0
6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:

( 4m − 3)

x + ( 3m − 4 ) y + ( m − 1) x 2 + y 2 = 0

7.Tìm m để pt :

1 + cos8 x
= m có nghiệm.
6 + 2 cos 4 x

é πù
8.Tìm a đ pt : ax 2 + 2 cos x = 2 đúng 2 nghiệm thuộc ê0; ú
ê
ë 2ú
û
2
x
9.Cho hàm số: f ( x ) = ex - sinx+
2
a) Tìm GTNN của hàm số
b) Cm pt f ( x ) = 3 có đúng hai nghiệm.
10.Chứng minh pt x x +1 = ( x +1) x có một nghiệm dương duy nhất
11. Cho f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c = 0; ( a ¹ 0) có 3 nghiệm phân biêt
2

a)Hỏi pt: 2 f ( x ) f ,, ( x ) - éf , ( x ) ù = 0 có bao nhiêu nghiệm
ê
ú

ë

û

Năm học 2010-2011


Bi tp i s www.VNMATH.com
b)Chng minh rng: 27c + 2a3 - 9ab < 2

( a2 - 3b)

3

ổ ử
ổ ử
ổ ử
ữ
ỗ
ỗ
x+ ữ
+
tg
x
+
+
...
+
tg
x+ ữ
ữ
ữ
12.Cho pt : tg ỗ
ữ

ỗ
ỗ
ỗ
ữ
ữ= 0 ( n l tham s)
ữ
ỗ
ỗ
2
ỗ
ữ
ữ
ố
2ứ
ố
ố
2 ứ
2n ứ
a) Cmr v i mi s nguy ờn n 2 ,pt c ú mt nghim duy nht trong khong
ổ ử
ỗ
0; ữ
ữ
ỗ
ữ.k ớ hiờ ng ú l xn
ỗ
ố 4ứ
b)Cm dóy s ( xn ) cú gii hn
13.Chng minh pt f ( x ) = x 4 + 4 x3 - 2 x 2 - 12 x +1 = 0 cú 4 nghim phõn bit xi ; i = 1, 4
4

v hóy tớnh tng S = ồ

2 xi 2 +1

i =1 ( xi

- 1)

2

VIII MT S BI TON V H PHNG TRèNH
y 2 = x3 4 x 2 + ax
1.Tỡm a ủeồ heọ sau coự nghieọm duy nhaỏt:
x 2 = y3 4 y 2 + ay
2x+ y-1 = m
2. Tỡm m h pt sau cú nghim
2y + x 1 = m
2y

x =
1 y 2

3.Gii h
y = 2x

1 x 2
4.Chng t rng vi mi a 0 thỡ h sau cú nghim duy nht
2
a2

2x = y +
y


2
a2
2
y
=
x
+


x
x
y + sinx=a
5.Tỡm a h
cú nghim duy nht 0 < x 2 ,0 < y 2
y
+ sin y = a
x

x3 + 3x 3 + ln(x2 x + 1) = y
3
2
6.Gii h: y + 3y 3 + ln(y y + 1) = z
3
2
z + 3z 3 + ln(z z + 1) = x
x 2 2 x + 6 log (6 y ) = x

3

2
7.Gii h: y 2 y + 6 log 3 (6 z ) = y ( QG A- 2006)
2
z 2 z + 6 log 3 (6 x) = z


Nm hc 2010-2011


Bài tập Đại số www.VNMATH.com
8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)

 x12 = x23 − 4 x22 + ax 2
 2
 x2 = x33 − 4 x32 + ax 3

............................
 2
3
2
 xn = x1 − 4 x1 + ax1

(

)

 1+ 42x − y .51− 2x + y = 1+ 22x − y +1


6.Giải hệ: 
( HSGQG 1999)
 y 2 + 4x + 1+ ln y 2 + 2x = 0

 log2 ( 1+ 3cosx) = log3 ( sin y ) + 2
7.Giải hệ: 
(THTT)
 log2 ( 1+ 3sin y ) = log3 ( cosx) + 2
ïì x - my = 2 - 4m
8.Gọi ( x; y ) là nghiệm của hệ pt: ïí
( m là tham số)
ïïî mx + y = 3m+1

(

)

Tìm GTLN của biểu thức A = x 2 + y 2 - 2x ,khi m thay đổi

HƯỚNG DẤN GIẢI
I.Bất đẳng thức

Năm học 2010-2011


Bài tập Đại số www.VNMATH.com
4. nai m + ( m − n ) ≥ mai n , ∀i = 1,.., k
7.
am
*m > n : ( m − n ) 1 + na2m − n ≥ ma1m − n

a2n
...
*m = n : csi
am
*m < n : ( n − m ) 1 + ma1m − n ≥ na2m − n
a2n
...

 1
 1
 1
 ( 1 − ab ) ( 1 − bc ) ( 1 − ca )
A
=
−
1
−
1
−
1

÷
÷
÷=
20.
 ab   bc  ca 
( abc ) 2

Ta có:
1 − ab ≥ 1 −

( a + b) 2
4

=

( 2 + a + b) ( 2 − a − b)
4
1

( 1 + a ) + ( 1 + b )  ( 1 + c ) ( 1 + c )
=
≥
4
1 

( 1 + a) ( 1 + b)
2

2



Tương tự suy ra: A ≥  1 + 
÷ 1 + ÷1 + ÷÷
8
a
b
c


1

1







3

1
1  1  
1 
3
3
Mà: 1 + 
÷ ≥ 4 Vậy: A ≥ 8( dpcm)
÷ 1 + ÷1 + ÷ ≥ 1 + 3
 a  b   c  
abc 
1
1
1
1
1
1   a
b

c
d 
 1
26. P = 2 2 2 2 + 2  ab + ac + ad + bc + bd + cd ÷+  bcd + cda + abd + bca ÷

 

a +b +c +d
= A+ B+C
1
1
1
1
1
1
1
*A =
+
+
+
+ +
+
2
2 ab ac ad bc bd cd
a + ... + d
1
1
1
1
1

1
*B =
+
+
+ +
+
ab ac ad bc bd cd
a
b
c
d
*C =
+
+
+
bcd acd dab abc
A
≥
100,
B ≥ 96, C ≥ 64 ⇒ P ≥ 260
Ta cm:
xi
Xn
X1
29.Đặt: X i = 1 − x , ∀i = 1,..., n ta có 1 + X + ... + 1 + X = x1 + ... + xn = 1
i
1
n
1
1

1
Từ đó suy ra: 1 + X1 + ... + 1 + X n = n − 1 ⇒ X1. X 2 ... X n ≤
(đpcm)
( n − 1) n

30. Đặt: X i =

1
1
xi
+ ... +
=1
,∀i = 1, n .Ta có:
1+ X 1
1+ X n
1998

Từ đó suy ra: X1... X n ≥ ( n − 1) n .vậy có (đpcm)
31.Đăt: X i =

1 − ( a1 + ... + an )
a1
; i = 1,..., n; X n +1 =
1 − ai
a1 + ... + an

n +1
1
1
1

1
+
...
+
+
=
n
Ta có: 1 + X
.vậy X1... X n X n +1 ≤  ÷
1 + X n 1 + X n +1
1
n

Năm học 2010-2011


Bài tập Đại số www.VNMATH.com
38.

z2   2 z2 
P = a x2 + y 2 + z 2 = α x2 +
÷+  α y +
÷+ ( a − α ) x 2 + y 2


2 ÷
2 ÷

 


(

)

(

)

α
( xz + yz ) + 2 ( 1 − α ) xy
2
α
= a −α
Chọn
2
≥2

39.
2


16
z2   2 z2 
16
P=x +y +z +
xy =  qx 2 +
xy
÷+  qy +
÷ + ( 1 − q ) x2 + y 2 +


÷ 
÷
25
2
2
25

 

2

≥2

2

2

(

)

q
16
( xz + yz ) +  2 ( 1 − q ) +  xy
2
25 


q

16
18
= 2(1 − q) +
⇔q=
2
25
25
a

x=y =±

3

5a2
khi 
PM ax =
6
z = ± 3a
5 3


Chọn 2

39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk: a2 = d 2,c2 = d 2 .với p>0 xác định sau ta có
cộng theo vế :

(

)

P ≤ ( 5+ 5p) a2 + d 2 +

Vậy Pmax =

(

)

(

)

5+ 10p 2 2
1+ 2p
1+ 5
b + c Chọn p thỏa : 1+ p =
↔ p=
p
p
2

5 3+ 5
2

43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Gọi M ( a;b) , N ( c;d ) Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn x 2 + y 2 = 4 và đường
thẳng
x + y = 4 .Dễ thấy −2( ac + bd + cd ) = ( a − c ) 2 + ( b − d ) 2 − 20 = MN 2 − 20

Mà MN 2 ≥ 12 − 8 2 nên −2( ac + bd + cd ) ≥ −8− 8 2 ⇔ ac + bd + cd ≤ 4+ 4 2
Vậy maxP=4+4 2 khi a = b = 2;c = d = 2
2.và 3 tương tự
4.Gọi N ( a;b ) ,Q ( c,d ) , M ( x; y ) Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn

Năm học 2010-2011


Bài tập Đại số www.VNMATH.com

( C1) : ( x − 4) 2 + ( y − 5) 2 = 1,( C 2 ) : ( x − 2) 2 + ( y − 3) 2 = 1 và đường thẳng ( ∆ ) :
3x − 2y − 13 = 0
Khi đó P = MQ + MN
Gọi I , R 1và J , R2 lần lượt là tâm và bán kính của ( C1) ,( C 2 )
 118 21
; ÷
Lấy K ( u;v ) đối xứng với I qua ( ∆ ) thì K 
 13 13 
P = MQ + MN ≥ ( MJ − JQ ) + ( MI − IN ) = MJ + MK − ( R1 + R2 )

(

)

= 2 13 − 1

Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi M ≡ M 1,Q ≡ Q1, N ≡ N 1.Trong đó M 1,Q1là giao
Của JK với ( ∆ ) và ( C 2 ) còn N 1 = M 1I ∩ ( C1)
Vậy minP = 2( 3 − 1)
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT

3.Từ câu a) ta có

1+ cost cost
A
B
C
>
= cot gt .và vì cot g + cogt + cot g ≥ 3 3 nên có đpcm
2t
sint
2
2
2
x
b
a
+
+
+ ( 1− x ) ( 1− a) ( 1− b) với x ∈ [ 0;1]
4.Hàm số f ( x ) =
a+ b + 1 x + a+ 1 x + b + 1

có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm
TH 1 : f , ( x ) = 0 VN Thì f ( x ) ≤ M ax{ f ( 0) ; f ( 1) } ≤ 1
TH 2 : f , ( x ) = 0 có nghiệm duy nhất x = α thì vì f , ( x ) đồng biến nên α là điểm
axf ( x ) = max{ f( 0) ; ( 1) } ≤ 1
cực tiểu vì vậy m
(đpcm)
[ 0;1]

8.Đặt F ( x ) = f ( x ) + f , ( x ) + ... + f ( n) ( x ) thì

n
F , ( x ) = f , ( x ) + f , ( x ) + ... + f ( ) ( x ) = F ( x ) − f ( x ) (1)
vì f là đa thức bậc n nên f ( n +1) ( x ) = 0 .Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn

có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại x0 Thì F , ( x0 ) = 0
vậy từ (1) suy ra F ( x0 ) = F , ( x0 ) + f ( x0 ) = f ( x0 ) ≥ 0 (đpcm)

(

)

(

)

p+q
− 1 ≥ ( p+q ) a p − a q ↔ a p + q − ( p + q ) a p − a q − 1 ≥ 0
12. a

(

)

p+q
− ( p + q ) x p − x q − 1 đồng biến trên [ 1;+∞ )
Hàm số: f ( x ) = x

Và có f ( 1) = 0 nên từ a ≥ 1 ta có (đpcm)

13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của f ( x ) = sin2 x.tgx − x 3
1
3

1
3

2
2
Chú ý: 2sin2 x + tg 2x ≥ ( 2sinx+tgx) > ( 3x )

*Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x
15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị x =

Năm học 2010-2011

1
là
3


Bài tập Đại số www.VNMATH.com

(

y = x − x 3 = x 1− x 2

23. y =

x +1

x2 − x + 1

)

đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1

nên P = x 2 − x + 1 + y 2 − y + 1+ z 2 − z + 1 nhỏ nhất bằng 3
*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi
40.

(

)

(

2
P = x4 + y 4 + z 4 = x2 + y 2 + z 2 − 2 x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2

)

2

2
2
= ( x + y + z ) − 2 ( xy + yz + zx )  − 2 ( xy + yz + zx ) − 2 xyz ( x + y + z ) 





(

2
= ( 16 − 2t ) − 2 t 2 − 16

)

với t=xy + yz +zx
t = x ( y + z ) + yz = x ( 4− x ) +

Vì

yz ≤

2
x
2

y+ z 4−x
2 4− x
=
⇔ ≤
÷ ⇔ x ∈ 3 − 5; 2 
2
2
x  2 

do (0

Từ đó tìm được min và max của P
41.Tương tự40
42. Lấy ln hai vế ta có ( d − b) ( lnc − lna) ≥ ( c − a) ( lnd − lnb) (1)
Nếu a = c hoặc d = b thì hiển nhiên đúng
c
d
ln
ln
lnc − lna lnd − lnb
a
b
Xét a ≠ c và d ≠ b .Khi đó (1) ( 1) ↔ c − a ≥ d − b ↔  c  ≥  d 
 − 1÷a  − 1÷b
a 
b 
lnx
, x ∈ ( 1, +∞ ) nghịch biến trên ( 1,+∞ ) Suy ra:
Xét hàm số : f ( x ) =
x −1
c
d
c
d
ln
ln
ln
ln
c
d
a ≥

b ⇔
a ≥
b
f  ÷≥ f  ÷⇔
c
d
c
d
a
b








 
 
 − 1÷  − 1÷
 − 1÷a  − 1÷b
a  b

a 
b


44,45. Biểu diễn sin 2 x, cos2x theo cotgx ta được f ( t ) =

t 2 + 2t - 1
t 2 +1

IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG
6. xét hàm số f ( x) =

2a sin n +2 x 2b sin n +2 x 2c 3
+ sin x - ccos 2 x
n +2
n +2
3

8.a) 3x + 5x = 2.4x « 5x - 4x = 4x - 3x (1) .Giả sử pt có nghiệm x = α
Xét hàm số f ( t ) = ( t +1) α - t α ,t > 0 có f( 4) = ( 3) .Do đó tồn tại c Î ( 3; 4)
éα = 0

éc +1 α- 1 - cα- 1 ù= 0 « ê
,
(
)
Sao cho f ( c) = 0 « α ê
ú
ê
ë
û
ëα = 1

Năm học 2010-2011

Bi tp i s www.VNMATH.com
Th li thy x = 0 v x = 1 u tha món (1)
Vy pt cú hai nghim x = 0 , x = 1
b) t=cosx đ 3t - 2t = t ô 3t - 3t = 2t - 2t . Gi s pt cú nghim x =
Xột f ( t ) = t - t thỡ f( 3) = ( 2) suy ra pt f , ( t ) = 0 cú nghim cú
nghim c ẻ ( 2;3) .
f , ( tt
)=

- 1

-

fđ c , ( ) =c

(

- 1

ộ = 0
- 1 =0 ờ
ờ
ở = 1

)

c)t t = cosx,- 1 Ê t Ê 1
Ta cú pt: ( 1 +t ) ( 2 + 4t ) = 3.4t ô f ( t ) =
6 ln4.4t

,

f (t) =

t 2

( 2 +4 )

3.4t
2 + 4t

- t - 1= 0

(

- 1, f , ( t ) = 0 ô 6 ln4.4t = 2 + 4t

)

2

.õy l pt bc hai theo 4t

nờn cú khụng quỏ hai nghim do ú pt f ( t ) = 0 cú khụng quỏ 3 nghim
1
2

Ta thy t = 0,t = ,t = 1 l 3 nghim ca pt
C) Xột f ( x ) = 2003x + 2005x - 4006x - 2 cú o hm cp hai dng
V f( 0) = ( 1) = 0 .vy pt cú hai nghim l 0 v 1

1

1

1

1

= 0 (1)
9)Vit li pt di dng f n ( x ) =- 2 + x - 1 + 4x - 1 + ...+ 2
n x- 1
D thy ,vi mi n ẻ * hm f n ( x ) liờn tc v nghch bin trờn ( 1;+Ơ )
1

Hn na f n ( x ) đ +Ơ khi x đ 1+ v f n ( x ) đ - khi x đ +Ơ .T ú suy ra
2
*
Vi mi n ẻ ,pt(1) cú duy nht nghim xn >1
Vi mi n ẻ * ,ta cú
f ( 4) =-

1
1
1
1
+
+
+ ...+
2 22 - 1 4 2 - 1
( 2n) 2 - 1

1ổ
1 1 1
1
1
1
1 ử
ữ
= ỗ
- 1 +1- + - + ...+
+ ...+
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ
2
3 3 5
2k - 1 2k - 1
2n - 1 2n +1ữ
1
=< 0 = f ( xn )
2 ( 2n +1)

T ú, dohm f n ( x ) trờn ( 1;+Ơ ) nờn xn < 4 vi mi n ẻ * (2)
Mt khỏc hm f n ( x ) cú o hm trờn [ xn , 4] nờn theo nh lớ Lagrange
Vi mi n ẻ * tn ti t ẻ ( xn; 4) sao cho
fn ( 4) - n ( xn )
- 1
- 4

- n2
1
,
= f (t) =
+
+ ...+
<- " n ẻ *
2
2
2
4 - xn
( t - 1) ( 4t - 1)
( n t - 1) 9
Hay
- 1
1
9
<- " n ẻ * ị xn > 4 " n ẻ * (3)
2 ( 2n +1) ( 4 - xn )
9
2 ( 2n +1)

Nm hc 2010-2011


Bi tp i s www.VNMATH.com
9

, " n ẻ * suy ra limxn = 4 (pcm)
t (2) v (3) : 4 - 2 ( 2n +1) < xn < 4

III .NG DNG O HM TèM K PT Cể NGHIM
2
2. ax +1 = cosx a =

cosx-1
x2

ổ ử
= f ( x) ," x ẻ ỗ
0; ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2ứ

Tỡm min giỏ tr ca f(x) ta c a cn tỡm
ổ

a +b ử
ữ
ữ
ữ
ứ

ab;
3.Hm s y =- x + ( x + a) ( x +b) cú min giỏ tr trờn ( 0;+Ơ ) l ỗỗố
ỗ
2
1

Do ú ch cn cm:

ổ
s
as +bs ử
a +b ,vi mi s ẻ ( 0;1)
ữ
ữ
ỗ
ab < ỗ
<
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2
ữ
ố 2 ứ

4

( 4m- 3) x + 3 +( 3m- 4) 1- x + m- 1 = 0
.

m=

3 x + 3 + 4 1- x +1
4 x + 3 + 3 1- x +1

2
2
ổ x +3 ử
ổ 1- x ử

ữ
ữ
ỗ
ỗ
t
=
tg
ữ
ữ
Chỳ ý: ỗỗ
.Do
ú
lng
giỏc
húa
v
a
v
n
ph
+
=
1
ỗ
ữ

ữ
ỗ
2
ữ ố
ữ
ỗ
ỗ 2 ứ
ố 2 ứ

Ri kho sỏt hm s thu c theo t
5.Tng t 4
10. x x +1 = ( x +1) x f ( x ) = x ln( x +1) - ( x +1) lnx = 0
ổ 1ử
1
1
1 1
1
ữ
- < - < 0 vi x>0 vy f Nb
ữ
ữ
x ứ x x +1 x x x +1
M f ( 1) = ln2 > 0 v
ộ
ự
ổ 1ử
- ln( x +1) ỳ
(ờx +1) lnỗỗỗ1 + ữ
ữ
lim f ( x ) = lim ờ

ữ
ỳ
ố xứ
x đ+Ơ
x đ+Ơ ở
ỷ
,
Ta cú f ( x ) = lnỗỗỗố1 +

x +1
ộ ổ
ự
1ử
ỳ=- Ơ
ữ
ỗ
= lim ờ
ln
1
+
ln
x
+
1
(
)
ữ
ờ ỗ
ỳ
ữ

ỗ
ố
ứ
x
x đ+Ơ ờ
ỳ
ở
ỷ
Kt hp f liờn tc trong ( 0,+Ơ ) suy ra pt cú nghim dng duy nht .

Nm hc 2010-2011