Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính áp dụng phần mềm maple trong tính toán

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

*********

PHẠM THU THỦY

PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN
GIẢI PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN
TUYẾN TÍNH. ÁP DỤNG PHẦN MỀM
MAPLE TRONG TÍNH TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Ngƣời hƣớng dẫn khoa học
PGS. TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI – 2014


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

LỜI CẢM ƠN
Trong suốt thời gian học tập tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2
em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong trường đã chỉ bảo tận
tình và tạo mọi điều kiện giúp em tiếp thu được nhiều tri thức khoa học,
hình thành các kĩ năng cần thiết cho bản thân, tích lũy nhiều kinh nghiệm
và bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học.
Qua đây, em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới toàn thể các

thầy cô giáo trong khoa Toán của trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
những người đã luôn chăm lo và chỉ bảo chúng em giúp chúng em có thể
đứng vững trên con đường này.
Đặc biệt, em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy
giáo Phó giáo sƣ, Tiến sĩ Khuất Văn Ninh – người đã trực tiếp hướng
dẫn, chỉ bảo và đóng góp những ý kiến quý báu trong suốt thời gian em
thực hiện khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Phạm Thu Thủy

Phạm Thu Thủy – K36C Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn
của thầy giáo Phó giáo sƣ, Tiến sĩ Khuất Văn Ninh cùng với những nỗ
lực của bản thân. Trong quá trình nghiên cứu thực hiện khóa luận này
em có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã nêu trong mục Tài liệu
tham khảo.
Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này hoàn toàn là
kết quả nghiên cứu của bản thân em, không trùng với kết quả của tác giả
nào khác. Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 05 năm 2014
Sinh viên

Phạm Thu Thủy

Phạm Thu Thủy – K36C Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1
NỘI DUNG............................................................................................... 3
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................. 3
1 Không gian Banach............................................................................ 3
1.1 Định nghĩa ................................................................................... 3
1.2 Định lí .......................................................................................... 3
1.3 Một số không gian hàm ............................................................... 4
2 Phương trình vi phân thường ............................................................. 5
2.1 Một số định nghĩa ........................................................................ 5
2.2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm .............................................. 6
3 Sai phân, tỷ sai phân .......................................................................... 7
3.1 Sai phân ....................................................................................... 7
3.2 Tỷ sai phân .................................................................................. 8
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH ...................................................................... 10
1 Phương trình sai phân ...................................................................... 10
1.1 Định nghĩa ................................................................................. 10
1.2 Phương trình sai phân tuyến tính .............................................. 10
1.3 Phương trình sai phân phi tuyến................................................ 22

2 Phương trình vi phân thường tuyến tính .......................................... 23
2.1 Các khái niệm cơ bản ................................................................ 23
2.2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm ............................................ 24
2.3 Sự phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính của các hàm ..... 24
2.4 Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính.............. 26
3 Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính ........... 33

Phạm Thu Thủy – K36C Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

3.1 Phương pháp lưới ...................................................................... 33
3.2 Phương pháp khử lặp ................................................................ 43
CHƢƠNG 3. ỨNG DỤNG PHẦN MỀM MAPLE TRONG GIẢI
PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN THƢỜNG ............................................ 48
1 Giải phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất ............................. 48
2 Giải phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất.................. 49
3 Phương trình vi phân với điều kiện ban đầu .................................... 50
4 Phương trình vi phân chứa điều kiện biên ....................................... 51
KẾT LUẬN ............................................................................................ 62
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 63

Phạm Thu Thủy – K36C Toán


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là một môn khoa học gắn liền với thực tiễn. Sự phát triển
của Toán học được đánh dấu bởi những ứng dụng của Toán học vào việc
giải quyết các bài toán thực tiễn. Trong Toán học ứng dụng thường gặp
nhiều bài toán có liên quan đến phương trình vi phân thường. Vì vậy,
việc nghiên cứu phương trình vi phân thường đóng vai trò hết sức quan
trọng trong lí thuyết Toán học. Để giải phương trình vi phân có nhiều
phương pháp, tuy nhiên phương pháp được coi là vạn năng để giải hầu
hết các phương trình vi phân đó chính là phương pháp sai phân. Ngoài
ra, nhờ sự phát triển của khoa học – kĩ thuật, các nhà khoa học đã tìm ra
phương pháp giải phương trình vi phân một cách chính xác hơn mà rất
tiện lợi trong tính toán. Đó là việc nghiên cứu để đưa ra một phần mềm
mới – phần mềm Maple. Nhờ phần mềm này người ta không chỉ tìm
nghiệm của phương trình mà còn có thể biểu diễn đồ thị của các phương
trình vi phân trong không gian n – chiều.
Xuất phát từ nhận thức trên và lòng ham mê học Toán, đặc biệt là
sức lôi cuốn của phương pháp sai phân trong ứng dụng để giải phương
trình vi phân và những ứng dụng thú vị của phần mềm Maple, em xin
mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Phƣơng pháp sai phân giải phƣơng trình
vi phân tuyến tính. Áp dụng phần mềm Maple trong tính toán”.
Cụ thể, em nghiên cứu các vấn đề sau
1. Phương trình sai phân.
2. Phương trình vi phân tuyến tính.
3. Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến tính.
4. Ứng dụng của phần mềm Maple trong việc giải phương trình vi
phân.

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

1


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Đây là đề tài có phạm vi quy mô nhỏ trong ngành giải tích Toán
học với hi vọng làm sáng tỏ hơn ứng dụng của phương pháp sai phân vào
giải phương trình vi phân tuyến tính và áp dụng công nghệ mới trong Tin
học vào Toán học.
Khóa luận của em gồm ba phần: Mở đầu, nội dung và kết luận.
Do thời gian và năng lực có hạn nên chắc chắn khóa luận của em
còn nhiều thiếu sót. Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp của thầy
giáo, cô giáo và các bạn sinh viên.
2. Mục đích nghiên cứu
Đi sâu tìm tòi, nghiên cứu ứng dụng của phương pháp sai phân vào
giải phương trình vi phân tuyến tính.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu ứng dụng của phương pháp sai phân vào giải phương
trình vi phân tuyến tính. Tìm nghiệm của phương trình với độ chính xác
cần thiết.
Áp dụng phần mềm Maple vào giải quyết một số bài toán.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Phương trình vi phân tuyến tính.
Cách giải theo phương pháp sai phân và bài tập áp dụng.
Giải toán trên Maple.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu

Tìm tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng của thầy
hướng dẫn.
6. Cấu trúc khóa luận
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2. Phương pháp sai phân giải phương trình vi phân tuyến
tính.
Chương 3. Ứng dụng của phần mềm Maple trong giải phương trình
vi phân thường.

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

2


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

NỘI DUNG
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1 Không gian Banach
1.1 Định nghĩa
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy
cơ bản trong X đều hội tụ.
1.2 Định lí
Định lí 1.1. Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ
khi trong không gian X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
Chứng minh

Điều kiện cần


Giả sử X là không gian Banach và chuỗi  xn hội tụ.
n 1



*



*

Khi đó    0  n0 
Suy ra    0  n0 

 n  n  p  
*

0





n  n0  p 

*



p



j 1
p

xn  j   .

 xn  j
j 1

p

  xn  j   .
j 1

Theo tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của chuỗi suy ra chuỗi


 xn hội tụ trong không gian X.

n 1

Do đó trong không gian Banach mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
Điều kiện đủ
Giả sử trong không gian định chuẩn X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều
hội tụ và dãy ( xn ) là dãy cơ bản tùy ý của không gian X. Theo định nghĩa

ta có

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

3


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

   0  n0 

*

 n, m  n 
0

xn  xm   .

 1 
Với số  là phần tử của dãy số  k  ta tìm được số nk sao cho
2 
xnk 1  xnk 

1
,  k  1,2,... với nk  nk 1 .
2k

Từ đó suy ra chuỗi xn1  xn2  xn1  ...  xnk 1  xnk  ... hội tụ. Mà









theo giả thiết, chuỗi xn1  xn2  xn1  ...  xnk 1  xnk  ... hội tụ trong
không gian X, kí hiệu tổng của chuỗi này là s. Khi đó
s  lim[ xn1  ( xn2  xn1 )  ...  ( xnk 1  xnk )  lim xnk 1
k 

k 

suy ra
xn  s  xn  xnk 1  xnk 1  s  0  k , n    .

(1)

Theo chứng minh trên và từ hệ thức (1) suy ra s  lim xn trong không
k 

gian định chuẩn X. Do đó X là không gian Banach.

■

1.3 Một số không gian hàm
1.3.1 Không gian C[a, b]

Cho   a  b  . Khi đó, không gian X  C[a, b] là không gian
tất cả các hàm x  x(t ) xác định và liên tục trên [a, b] . X  C[a, b] là
không gian Banach thực với chuẩn x  max x  t  .
a t b

Sự hội tụ xn  x khi n   trong X tương đương với sự hội tụ
xn  x  max xn (t )  x(t )  0 khi n   .
a t b

Nghĩa là dãy ( xn ), n  1, 2,... các hàm số liên tục xn : [a, b] 

liên tục

đều trên đoạn [a, b] đến hàm số liên tục x : [a, b]  , n  1,2,...

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

4


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

1.3.2 Không gian C m[a, b]
Cho   a  b  . Khi đó, không gian X  C m[a, b] (m  *) là
không gian tất cả các hàm x  x(t ) xác định và có đạo hàm liên tục đến
cấp m trên [a, b] . X  C m[a, b] là không gian Banach với chuẩn
m

x   max x( k ) (t ) .
k 0

a t b

2 Phƣơng trình vi phân thƣờng
2.1 Một số định nghĩa
Định nghĩa 1.1. Phương trình vi phân là phương trình mà trong đó hàm
phải tìm nằm dưới dấu đạo hàm hay vi phân.
Định nghĩa 1.2. Phương trình vi phân thường là phương trình vi phân
mà trong đó hàm phải tìm chỉ phụ thuộc vào một biến độc lập.
Định nghĩa 1.3. Phương trình vi phân thường bậc n là một hệ thức có dạng





f x, y( x), y( x), y( x),..., y ( n) ( x)  0

(2)

trong đó x là biến số độc lập, y là hàm cần tìm và nhất thiết phải có mặt
y ( n ) , f là hàm xác định trong một miền G nào đó của không gian

n

.

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạo hàm của hàm
phải tìm có mặt trong phương trình. Xét phương trình vi phân cấp n khi

đạo hàm cấp cao nhất biểu diễn dưới dạng





y ( n)  f x, y, y,..., y ( n 1) .

(3)

Bài toán Cauchy đối với phương trình (3) là tìm hàm y  y( x) thỏa
mãn phương trình (3) và điều kiện ban đầu
y( x0 )  y0 , y( x0 )  y0 ,..., y ( n 1) ( x0 )  y0( n 1)

trong đó x0 , y0 , y0 ,..., y0( n 1) là những số cho trước.

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

5


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Hàm y   ( x) được gọi là nghiệm của phương trình (3) nếu thay
y   ( x) , y  ( x), y  ( x),..., y ( n)   ( n) ( x) vào (3) thì ta được đồng

nhất thức.
Hàm số y   ( x, C ), C 

có đạo hàm riêng theo biến x đến cấp n

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (3) nếu
1)  ( x, y)  D (D là miền xác định của phương trình) ta có thể giải ra
đối với C   ( x, y) .
2) Hàm y   ( x, C ) thỏa mãn (3) khi ( x, y) chạy khắp D với C  .
2.2 Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm
Xét phương trình vi phân cấp n đã giải ra đối với đạo hàm
y ( n)  f ( x, y, y, y,..., y ( n 1) ) .

Định lí 1.2. ( Định lí tồn tại và duy nhất nghiệm của phƣơng trình vi
phân cấp n) Giả sử cho điều kiện ban đầu x  x0 thì
 y  y0  y1,0

 y  y0  y2,0

.......................
 y ( n 1)  y ( n 1)  y
n ,0
0


và giả sử
1) Hàm f ( x, y, y,..., y ( n 1) ) liên tục trong một miền kín giới nội D
x  x0  a, y  y0  b, y  y0  b,..., y ( n 1)  y0( n 1)  b .

Từ đó suy ra tồn tại một số M sao cho f  M trong miền D đang xét.
2) Hàm f ( x, y, y,..., y ( n 1) ) thỏa mãn trong miền D điều kiện Lipsit
đối với các y, y, y,..., y ( n 1) tức là

f ( x, y, y,..., y

( n 1)

)  f ( x, y, y,..., y

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

( n 1)

( n 1) 
( n 1)

)  N  y  y  ...  y
y




6


Khóa luận tốt nghiệp đại học

trong đó ( y, y, y,..., y

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

( n 1)

)  D, ( y, y, y,..., y

( n 1)

)  D , N là một số

dương chỉ phụ thuộc vào sự lựa chọn miền D. Khi đó tồn tại và duy nhất
nghiệm y  y( x) trong  x0  h, x0  h với


b

h  min  a,
 max (M, y ,..., y ( n 1) ) 



và thỏa mãn điều kiện ban đầu đã cho.
3 Sai phân, tỷ sai phân
3.1 Sai phân
3.1.1 Định nghĩa
Giả sử y  f ( x) là hàm số xác định trên tập X, h là hằng số lớn hơn
0. Biểu thức f ( x)  f ( x  h)  f ( x) được gọi là sai phân cấp 1 của f(x)
tại điểm x.
2
Biểu thức  f    f ( x)  f ( x  h)  f ( x) được gọi là sai phân

cấp 2 của y  f ( x) tại x.
Tương tự,  k f    k 1 f  được gọi là sai phân cấp k của hàm
y  f ( x) tại x.

3.1.2 Tính chất
Tính chất 1.1. Sai phân các cấp đều có thể biểu thị qua các giá trị của
n

hàm số, nghĩa là  n f ( x)   (1)i Cni i f [ x  (n  i)h] .
i 0

Tính chất 1.2. Sai phân mọi cấp của hàm số là một toán tử tuyến tính,
nghĩa là k [af ( x)  bg ( x)]  ak [f ( x)]  bk [g ( x)].
Tính chất 1.3. Sai phân cấp k của đa thức bậc m là
Đa thức bậc m – k nếu k  m ;

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

7


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Hằng số nếu k = m;
Bằng 0 nếu k  m .
n

Tính chất 1.4. f ( x  nh)   Cni i f ( x) .
i 0

3.1.3 Bảng sai phân

Giả sử hàm số y  f ( x) được cho bằng bảng
x

x0

x1

x2

…

xn

y

y0

y1

y2

…

yn

tại các mốc xi cách đều xi 1  xi  h, (i  0) với h là hằng số. Khi đó, sai
phân của dãy yi được xác định như sau
yi  yi 1  yi ,
 2 yi  (yi )  yi 1  yi ,
...

 n yi   n 1 (yi )   n 1 yi 1   n 1 yi .

3.2 Tỷ sai phân
3.2.1 Định nghĩa
Giả sử f ( x) là một hàm số xác định và liên tục trên đoạn [a, b] và
các mốc nội suy x0 , x1,..., xn . Ta định nghĩa
Tỷ sai phân bậc 0 của hàm f ( x) tại xi là f ( xi ) .
Tỷ sai phân bậc 1 của hàm f ( x) tại xi và x j là
f ( xi , x j ) 

f ( xi )  f ( x j )
xi  x j

.

Tỷ sai phân bậc 2 của hàm f ( x) tại xi , x j , xk là
f ( xi , x j , xk ) 

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

f ( xi , x j )  f ( x j , xk )
xi  xk

.

8


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tổng quát, tỷ sai phân bậc k của hàm f ( x) tại x0 , x1,..., xk là
f ( x0 , x1,..., xk ) 

f ( x0 , x1,..., xk 1)  f ( x1, x2 ,..., xk )
.
x0  xk

3.2.2 Tính chất
Tính chất 1.5. Tỷ sai phân là một hàm đối xứng, tức là
f ( x0 , x1,..., xk )  f ( xk , xk 1,..., x0 ) .

Tính chất 1.6. Nếu P( x) là đa thức bậc n thì tỷ sai phân bậc k của P( x)
là P( x0 , x1,..., xk 1) có bậc (n – k).
Tính chất 1.7. Tỷ sai phân là một toán tử tuyến tính:
(af  bg )(x1, x2 ,..., xn )  af (x1, x2 ,..., xn )  bg (x1, x2 ,..., xn ) .

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

9


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

CHƢƠNG 2
PHƢƠNG PHÁP SAI PHÂN GIẢI PHƢƠNG TRÌNH
VI PHÂN TUYẾN TÍNH

1 Phƣơng trình sai phân
1.1 Định nghĩa
Phương trình sai phân là phương trình với các hàm số phải tìm là
một hàm đối số rời rạc f (n)  xn có mặt dưới dạng sai phân các cấp.
Phương trình sai phân cấp k có dạng tổng quát
G(n, xn , xn , 2 xn ,..., k xn )  0

hay có thể viết dưới dạng F (n, xn , xn 1, xn  2 ,..., xn  k )  0 .
Nghiệm của phương trình sai phân là hàm số đối số rời rạc

xn  f (n) mà khi thay xn  f (n) , xn 1  f (n  1),..., xn  k  f (n  k ) ta
được một đồng nhất thức trên tập hợp các số nguyên n.
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân cấp n có dạng
xn  f (n, C1, C2 ,..., Cn ) trong đó C1, C2 ,..., Cn là các hằng số bất kì, khi

gán cho mỗi kí tự C1, C2 ,..., Cn một số xác định ta được một nghiệm
riêng của phương trình.
Phân loại gồm phương trình sai phân tuyến tính và phương trình sai
phân phi tuyến.
1.2 Phƣơng trình sai phân tuyến tính
1.2.1 Định nghĩa
Định nghĩa 2.1. Phương trình sai phân tuyến tính là một hệ thức tuyến
tính giữa sai phân các cấp
F ( xn , xn , 2 xn ,..., k xn )  0

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

(4)

10


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

trong đó xn hiểu là sai phân cấp 0 của hàm xn . Cấp của phương trình sai
phân tuyến tính là cấp cao nhất của các sai phân. Cấp của phương trình
(4) bằng k.
Do sai phân các cấp đều có thể biểu thị qua các giá trị của hàm số,
n

tức là  n f ( x)   (1)i Cni i f [ x  (n  i)h] nên ta có thể định nghĩa
i 0

phương trình sai phân tuyến tính tương đương với định nghĩa 2.1 như
sau
Định nghĩa 2.2. Phương trình sai phân tuyến tính của hàm xn là một
biểu thức tuyến tính giữa các giá trị của hàm xn tại các điểm khác nhau
Lh xn  a0 xn  k  a1xn  k 1  ...  ak xn  f n

(5)

trong đó Lh là kí hiệu toán tử tuyến tính tác dụng lên xn xác định trên
lưới có bước lưới h; a0 , a1,..., ak với a0  0, ak  0 là các hằng số hoặc
các hàm số của n được gọi là các hệ số của phương trình sai phân; f n là
một hàm số cho trước của n và được gọi là vế phải; xn là giá trị cần tìm
được gọi là ẩn số.
Để tính được tất cả các giá trị xn ta phải cho trước k giá trị liên tiếp

của xn rồi tính các giá trị còn lại của theo công thức truy hồi. Do đó,
phương trình (5) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k.
+ f n  0 thì phương trình (5) gọi là phương trình sai phân tuyến
tính thuần nhất.
+ Ngược lại, f n  0 thì phương trình (5) gọi là phương trình sai
phân tuyến tính không thuần nhất.
+ Nếu f n  0 và a0 ,..., ak là các hằng số, a0  0, ak  0 thì phương
trình (5) có dạng Lh xn  a0 xn  k  a1xn k 1  ...  ak xn  0 .

(6)

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

11


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Phương trình (6) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính thuần
nhất cấp k với các hệ số hằng số.
1.2.2 Nghiệm
Định nghĩa 2.3. Hàm số xn biến n thỏa mãn (5) được gọi là nghiệm của
phương trình sai phân tuyến tính.
Định nghĩa 2.4. Hàm số xn phụ thuộc k tham số, thỏa mãn (6) được gọi
là nghiệm tổng quát của (6) nếu với mọi giá trị ban đầu x0 , x1,..., xk 1 ta
đều xác định được duy nhất các hằng số C1, C2 ,..., Ck để nghiệm xn trở
thành nghiệm riêng của (6), vừa thỏa mãn (6) vừa thỏa mãn x0  x0 ,
x1  x1,..., xk 1  xk 1 .

Định lí 2.1. Nghiệm tổng quát xn của (5) bằng tổng xn và xn* , với xn* là
một nghiệm riêng bất kì của (5).
Định lí 2.2. Nếu xn1, xn 2 ,..., xnk là k nghiệm độc lập tuyến tính của
phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp k với các hệ số hằng số (6)
Lh xn  a0 xn  k  a1xn  k 1  ...  ak xn  0

với a0 ,..., ak là các hằng số, a0  0, ak  0 tức là từ hệ thức
C1xn1  C2 xn2  ...  Ck xnk  0

suy ra C1  C2  ...  Ck  0 thì nghiệm tổng quát xn của (6) có dạng
xn  C1xn1  C2 xn2  ...  Ck xnk

trong đó C1, C2 ,..., Ck là các hằng số tùy ý.
Chứng minh
k

k

i 1

i 1

Vì Lh tuyến tính nên Lh xn  Lh  Ci xni   Ci Lh xni .
Do xni (i  1, k ) là nghiệm của (6) nên Lh xni  0 . Suy ra

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

12

Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

k

k

i 1

i 1

Lh xn  Lh  Ci xni   Ci Lh xni  0 .

Giả sử x0 , x1,..., xk 1 là các giá trị ban đầu tùy ý. Ta đi chứng minh
rằng có thể xác định duy nhất các hằng số C1, C2 ,..., Ck để x0  x0 ,
x1  x1,..., xk 1  xk 1 . Tức là chứng minh hệ

C1x01  C2 x02  ...  Ck x0 k  x0
C x  C x  ...  C x  x
 1 11
2 12
k 1k
1

...
C1xk 1,1  C2 xk 1,2  ...  Ck xk 1,k  xk 1

có nghiệm duy nhất C1, C2 ,..., Ck với mọi vế phải x0 , x1,..., xk 1 .

Theo giả thiết xn1, xn 2 ,..., xnk là k nghiệm độc lập nên định thức



x01
x11

x02
x12

...
...

x0 k
x1k

...

...

...

...

xk 1,1

 0.

xk 1,2 ... xk 1,k

Do đó, hệ
C1x01  C2 x02  ...  Ck x0 k  x0
C x  C x  ...  C x  x
 1 11
2 12
k 1k
1

...
C1xk 1,1  C2 xk 1,2  ...  Ck xk 1,k  xk 1

có nghiệm duy nhất C1, C2 ,..., Ck với mọi vế phải x0 , x1,..., xk 1 .
Để tìm nghiệm tổng quát, ta tìm xn của phương trình (6) dưới dạng
xn  C n , C  0,   0 . Thay xn  C n vào (6) được
LhC n  a0C n  k  a1C n  k 1  ...  ak C n  0 .

(7)

Do xn  C n , C  0,   0 nên C n  0 . Ước lượng (7) cho C n ta được

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

13


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Lh  a0 k  a1 k 1  ...  ak  0 .

(8)

Phương trình (8) gọi là phương trình đặc trưng của (6). Nghiệm xn
và xn* của (5) phụ thuộc cốt yếu vào cấu trúc nghiệm của (8).
1.2.3 Nghiệm tổng quát của phƣơng trình thuần nhất (6)
Phƣơng pháp chung tìm nghiệm tổng quát của phƣơng trình (6)
Nếu phương trình đặc trưng (8) có k nghiệm thực phân biệt là

1, 2 ,..., k thì nghiệm tổng quát xn của (6) có dạng
xn  C11n  C22n  ...  Ck kn

trong đó C1, C2 ,..., Ck là các hằng số tùy ý.
Nếu phương trình đặc trưng có nghiệm  j bội s thì ngoài nghiệm

 nj ta lấy thêm các vectơ bổ sung n nj , n2 nj ,..., ns 1 nj cũng là nghiệm
độc lập tuyến tính của (8). Do đó, nghiệm tổng quát của (6) có dạng
s 1

xn  

i 0

C ij ni  nj



k



j  i 1

Ci in

trong đó C ij , Ci là các hằng số tùy ý.
Nếu phương trình đặc trưng của phương trình (6) có một nghiệm phức

 j  a  bi  r (cos  i sin  ), r   j  a 2  b2 , tan  

b
thì khi đó (8)
a

có nghiệm phức liên hợp  j  a  bi  r (cos  i sin  ) . Khi đó, ta có

 nj  r n (cos n  i sin n )
n

 j  r n (cos n  i sin n )
là các nghiệm của (8).
Ta lấy

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

14


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2







n
1 n
 j   j  r n cos n
2
n
1 n
2
xnj

 j   j  r n sin n
2i

x1nj 

là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (6). Khi đó
xn 

k



j  i 1



Ci in  r n C1j cos n  C 2j sin n



trong đó Ci , C1j , C 2j là các hằng số tùy ý.
Nếu phương trình đặc trưng (8) có nghiệm phức  j bội s thì nó
cũng có nghiệm phức liên hợp  j bội s. Khi đó, ngoài hai nghiệm





n
1 n
 j   j  r n cos n
2
n
1 n
 j1 
 j   j  r n sin n
2i

 j1 





của (6) ta cần lấy thêm 2s-2 vectơ bổ sung

 j 2  r n n cos n ,  j 2  r n n sin n .
 j 3  r n n 2 cos n ,  j 3  r n n 2 sin n.
...

 js  r n n s 1 cos n ,  js  r n n s 1 sin n .
Do đó, nghiệm tổng quát của (6) có dạng
k









xn   Ci in  r n  A1  A2n  ...  As n s 1 cos n  B1  B2n  ...  Bs n s 1 sin n 


j  i 1

trong đó Ci ,(i  1, k ), A1,..., As , B1,..., Bs là các hằng số tùy ý.
Ví dụ 2.1. Tìm nghiệm tổng quát của các phương trình sai phân sau
1. xn 4  2 xn3  7 xn 2  8xn1  12 xn  0.
Lời giải
Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân trên là

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

15


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

 4  2 3  7 2  8  12  0.
Phương trình đặc trưng có bốn nghiệm thực phân biệt

1  3, 2  2, 3  1, 4  2.
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là
xn  C1(3)n  C2 (2)n  C31n  C4 2n , C1, C2 , C3 , C4 là các hằng số.

2. xn3  13xn 2  55xn1  75.
Lời giải
Phương trình đặc trưng  3  13 2  55  75  0 có hai nghiệm

1  3, 2  5 trong đó nghiệm 2  5 là nghiệm bội 2 nên ngoài nghiệm
2n  5n của phương trình sai phân ta bổ sung thêm nghiệm n2n  n5n .
Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình sai phân trên là





xn  C13n  C21  C22n 5n , C1, C21 , C22 là các hằng số.

3. xn5  7 xn 4  2 xn3  47 xn 2  55xn1  50  0.
Lời giải
Phương trình đặc trưng  5  7 4  2 3  47 2  55  50  0 có nghiệm

1  2, 2  5, 3 

1  3i
1  3i
,3 
2
2

trong đó 2  5 là nghiệm bội 2.
Với nghiệm phức 3 
x1n3  cos

1  3i

ta xác định được r  1,   . Ta lấy
2
3

n 2
n
là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương
, xn3  sin
3
3

trình sai phân.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình là

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

16


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

n
n 
n 
xn  C1 2n  C21  C22n  5   C31 cos
 C32 sin

3
3 






trong đó C1, C21 , C22 , C31, C32 là các hằng số tùy ý.
4. xn8  8xn7  26 xn6  64 xn5  133xn 4  128xn3  72 xn 2  432.
Lời giải
Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân trên là

 8  8 7  26 6  64 5  133 4  128 3  72 2  432  0.
Phương trình đặc trưng có nghiệm 1  1, 2  3, 3  2i,  3  2i
với nghiệm 2  3 là nghiệm bội 3, nghiệm 3  2i là nghiệm bội 2.
Khi đó, ngoài nghiệm 2n  3n ta lấy thêm hai nghiệm
n2n  n3n , n22n  n2 3n

Với nghiệm 3  2i là nghiệm phức bội 2, ta xác định được r  2,



2

thì ngoài nghiệm 31  2n cos

n
n
,  31  2n sin
ta lấy thêm hai
2
2

nghiệm

32  n2n cos

n
n
,  32  n2n sin
.
2

2

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
n
n 

xn  C1(1)n  C21  C22n  C23n2 3n  2n  A1  A2n  cos  ( B1  B2n)sin 
2
2






trong đó C1, C21 , C22 , C23 , A1, A2 , B1, B2 là các hằng số tùy ý.
1.2.4 Nghiệm riêng của phƣơng trình sai phân không thuần nhất
Nghiệm riêng của (5) phụ thuộc vào f n và nghiệm của phương
trình đặc trưng (5).
Phƣơng pháp chung
a) Nếu f n có dạng đa thức bậc k của n, tức là

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

17


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

f n  Pk (n)  a0  a1n  ...  ak nk .

Nếu phương trình đặc trưng (8) không có nghiệm   1 thì tìm nghiệm
riêng dưới dạng xn*  Qk (n) .
Nếu phương trình đặc trưng (8) có nghiệm   1 bội s thì tìm nghiệm
riêng dưới dạng xn*  nsQk (n), k  .
b) Nếu f n có dạng tích một đa thức với hàm mũ, tức là
f n  Pk (n)  n trong đó Pk (n) là đa thức bậc k của n, k 

.

Nếu phương trình đặc trưng (8) không có nghiệm    thì tìm nghiệm
riêng xn* dưới dạng xn*  Qk (n)  n .
Nếu phương trình đặc trưng (8) có nghiệm    bội s thì tìm nghiệm
riêng xn* dưới dạng xn*  nsQk (n)  n .
Trong đó Qk (n)  b0  b1n  b2n2  ...  bk nk là đa thức cùng bậc với
Pk (n) .

Để xác định các hệ số b0 , b1,..., bk ta so sánh các hệ số của các lũy
thừa của n ở hai vế sau khi thay xn* vào phương trình (5) hoặc cho n các
giá trị n  0,  1,  2,... rồi giải hệ phương trình đại số.
c) Nếu fn  fn1  fn2  ...  fni
Do tính tuyến tính của phương trình sai phân nên ứng với mỗi f ni ta
tìm được nghiệm riêng xn*i . Khi đó, nghiệm riêng của phương trình sai
phân ứng với f ni có dạng xn  xn1  xn2  ...  xn .
*

*

*

*

i

Ví dụ 2.2. Tìm nghiệm riêng của các phương trình sai phân sau
1. xn  4  6 xn 3  12 xn  2  10 xn 1  3xn  3  39n.

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

18


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Lời giải
Phương trình đặc trưng  4  6 3  12 2  10  3  0 có nghiệm

  3,   1 với   1 là nghiệm bội 3. Do   1 là nghiệm bội 3 và
fn  3  39n là đa thức bậc 1 nên nghiệm riêng có dạng

xn*  n3 (b0  b1n) .
Thay vào phương trình sai phân, ta có

 n  4

3

b0   n  4 b1   6  n  3 b0   n  3 b1   12  n  2  b0   n  2  b1  
3

3

10  n  1 b0  b1  n  1  3n3 (b0  b1n)  3  39n .
3

Lần lượt cho n  0, n  1 vào phương trình trên ta được hệ phương trình
12b0  48b1  3

12b0  96b1  36

7
13
Giải hệ phương trình này ta tìm được b0   , b1  .
2
16

Vậy nghiệm riêng của phương trình sai phân đã cho là
7
13
xn*   n3  n 4 .
2
16

2. xn2  3xn1  10 xn   42n2  66n  38  2  .
n

Lời giải
Phương trình đặc trưng  2  3  10  0 có nghiệm   5,   2 .
Do nghiệm   2 là nghiệm đơn và f n  42n2  66n  38 là đa thức bậc
2 nên nghiệm riêng có dạng xn*  n(b0  b1n  b2 n2 )(2)n .
Thay vào phương trình sai phân ta được

 n  2 b0  b1  n  2  b2  n  2   2
2

n 2

2
n1
 3 n  1 b0  b1  n  1  b2  n  1   2  



10n b0  b1n  b2n2   2    42n2  66n  38  2  .
n

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

n

19


Khóa luận tốt nghiệp đại học

Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Cho n  0  14b0  22b1  38b2  38
n  1  14b0  50b1  146b2  146
n  1  14b0  6b1  14b2  14.

Suy ra b0  0, b1  0, b2  1.
Vậy nghiệm riêng của phương trình sai phân trên là xn*  n3 (2)n .
3. xn3  6 xn2  11xn1  6 xn  2  4n  3.2n1   2n  7 .3n1 .
Lời giải
Đặt f n1  2  4n , f n2  3.2n1 , f n3   2n  7 .3n1 .
Phương trình đặc trưng  3  6 2  11  6  0 có ba nghiệm

  1,   2 ,   3 .
Với f n1  2  4n là đa thức bậc nhất, phương trình đặc trưng có
nghiệm   1 nên ta tìm nghiệm riêng dưới dạng xn*1  n(b0  b1n) .
Thay vào phương trình sai phân
xn3  6 xn 2  11xn1  6 xn  2  4n

ta được

 n  3 b0   n  3 b1   6  n  2  b0   n  2  b1  
 11 n  1 b0   n  1 b1   6n b0  nb1   2  4n
Cho

n  0  2b0  4b1  2
n  1  2b0  2.

Suy ra b0  1, b2  1.
Vậy xn*1  n  n2 .
Với f n2  3.2n 1 có Pk (n)  3 là đa thức bậc 0 của n, phương

trình đặc trưng có nghiệm   2   nên ta tìm nghiệm riêng dưới dạng
xn*2  nb0 .2n .

Phạm Thu Thủy – K36C Toán

20