Không gian tựa chuẩn luận văn toán học

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
TRƢỜNG ĐẠI
HỌCTOÁN
SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA
KHOA TOÁN
---------------------------------------

BÙI HẢI YẾN
BÙI HẢI YẾN

KHÔNG
KHÔNGGIAN
GIANTỰA
TỰACHUẨN
CHUẨN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Chuyên ngành: Giải tích

Hà Nội – 2014
Hà Nội – 2014


TRƢỜNG
ĐẠIĐẠI
HỌCHỌC
SƢ PHẠM
HÀ NỘI

2 2
TRƢỜNG
SƢ PHẠM
HÀ NỘI
KHOA
TOÁN
KHOA
TOÁN
---------------------------------------

BÙI BÙI
HẢI HẢI
YẾNYẾN

KHÔNG
GIAN
TỰA
CHUẨN
KHÔNG
GIAN
TỰA
CHUẨN

KHÓA
LUẬN
TỐT
NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
KHÓA

LUẬN
TỐT
NGHIỆP
ĐẠI
HỌC
Chuyên
ngành:
GiảiGiải
tíchtích
Chuyên
ngành:

Ngƣời
hƣớng
dẫn dẫn
khoakhoa
học học
Ngƣời
hƣớng
TS. BÙI
KIÊN
CƢỜNG
TS. BÙI
KIÊN
CƢỜNG

Hà Nội – 2014
Hà Nội – 2014

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ
lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Bùi Kiên Cường, người thầy đã tận tình
hướng dẫn, giúp đỡ để em hoàn thành khóa luận này.
Trong quá trình học tập, đặc biệt là trong suốt quá trình làm khóa
luận em đã nhận được sự dạy dỗ ân cần cũng như những động viên, chỉ
bảo, tạo điều kiện của các thầy cô tham gia giảng dạy, công tác tại
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2. Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn
tới các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, cùng các thầy cô giáo giảng dạy khóa học.
Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Bùi Hải Yến


LỜI CAM ĐOAN
Dưới sự hướng dẫn của thầy TS. Bùi Kiên Cường, khóa luận tốt
nghiệp đại học chuyên ngành Toán với đề tài “Không gian tựa chuẩn”
được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân, không trùng với
bất kỳ khóa luận nào khác.
Trong quá trình nghiên cứu, thực hiện khóa luận, em đã thừa kế
những thành tựu của các nhà khoa học với lòng chân trọng và biết ơn.
Một số kết quả em đưa ra dựa trên những thành tựu này.
Hà Nội, tháng 5 năm 2014
Sinh viên

Bùi Hải Yến

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .................................................................................................. 1
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị ........................................................... 3
1.1. Khái niệm chuẩn và không gian định chuẩn...................................... 3
1.2. Toán tử tuyến tính.............................................................................. 9
1.3. Một số nguyên lý cơ bản ................................................................. 11
Chương 2: Không gian tựa chuẩn ........................................................... 13
2.1. Khái niệm tựa chuẩn và p - chuẩn ................................................... 13
2.2. Toán tử tuyến tính............................................................................ 18
2.3. Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết toán tử trong không gian
tựa chuẩn................................................................................................. 21
KẾT LUẬN ............................................................................................ 30
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................... 31


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong Toán học nói chung và Giải tích toán học nói riêng, việc
mở rộng một khái niệm là vô cùng cần thiết. Điều này không chỉ giúp
chúng ta hiểu sâu hơn khái niệm cũ mà còn tiếp thu được khái niệm mới,
cũng như mở ra một hướng nghiên cứu mới.Và khi nhắc đến Giải tích
toán học ta không thể không nhớ đến khái niệm chuẩn cũng như những
tính chất và ứng dụng quan trọng của nó. Để mở rộng khái niệm này, em
xin được mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Không gian tựa chuẩn” với sự
hướng dẫn của Tiến sĩ Bùi Kiên Cƣờng. Đề tài nghiên cứu có nhiều ứng
dụng trong Giải tích cũng như trong Toán học nói chung.
2. Mục đích nghiên cứu
Mở rộng khái niệm chuẩn và các tính chất, toán tử tuyến tính trong

không gian tựa chuẩn
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về khái niệm tựa chuẩn, các tính chất, toán tử tuyến
tính trong không gian tựa chuẩn
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Không gian tựa chuẩn
5. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lý thuyết
Phương pháp nghiên cứu không gian hàm trong giải tích hàm
6. Đóng góp của khóa luận
Khóa luận sẽ là bài tổng quan về không gian tựa chuẩn. Qua khóa
luận này, một số khái niệm liên quan đến tựa chuẩn, các nguyên lý cơ

1


bản của lý thuyết toán tử trong không gian tựa chuẩn được trình bày một
cách có hệ thống và tương đối đầy đủ.
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm
hai chương:
Chương 1: Các kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, tác giả hệ thống lại một số kiến thức chuẩn bị
cho không gian tựa chuẩn
Chương 2: Không gian tựa chuẩn
2.1. Khái niệm tựa chuẩn và p - chuẩn
2.2. Toán tử tuyến tính
2.3. Một số nguyên lý cơ bản của lý thuyết toán tử trong không
gian tựa chuẩn.
Do thời gian nghiên cứu có hạn và khả năng của bản thân còn hạn
chế nên khóa luận này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, trình bày các nội

dung chính theo chủ đề đã đặt ra. Trong quá trình viết khóa luận cũng
như trong quá trình xử lý văn bản, khóa luận không tránh được những
thiếu sót nhất định. Vì vậy em rất mong được sự góp ý của quý thầy cô
và bạn đọc để khóa luận được hoàn thiện hơn.

2


Chƣơng 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Mục đích của Chương 1 là hệ thống hóa một số tính chất của
không gian định chuẩn, làm căn cứ để so sánh với các khái niệm và tính
chất của không gian tựa chuẩn ở Chương 2.
1.1. Khái niệm chuẩn và không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1. Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến
tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường P ( P 

P

) cùng với một ánh xạ từ X vào tập số thực

hoặc

, kí hiệu là . và

đọc là chuẩn, thỏa mãn điều kiện sau đây:
i)  x  X  x  0, x  0  x   ( Kí hiệu phần tử không là  )
ii)  x  X    P   x   x
iii)  x, y  X  x  y  x  y

Số x gọi là chuẩn của vector x . Ta cũng ký hiệu không gian
định chuẩn là X . Các tiên đề i), ii), iii) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.2. Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X được gọi
là hội tụ tới điểm x  X nếu lim xn  x  0 . Kí hiệu lim xn  x hay
n

n

xn  x (n  ) .

Định nghĩa 1.3. Dãy điểm  xn  của không gian định chuẩn X được gọi
là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu lim xm  xn  0 .
m ,n

Định nghĩa 1.4. Không gian định chuẩn X được gọi là không gian
Banach nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ tới một phần tử nào đó
của X .

3


Ví dụ 1.1. C  0,1 không gian các số giá trị thực liên tục trên đoạn  0,1
là một không gian Banach với chuẩn:
f











 sup f  t  : t  0,1  max f  t  : t  0,1 .

Thật vậy, dễ kiểm tra được C  0,1 là một không gian định chuẩn.
Xét một dãy cơ bản  f n n1 trong C  0,1 .


Vì f k  t   f e  t   f k  f e , t nên dãy

 fn  t n1 là một dãy cơ


 f n t  , t [0,1] .
bản với t . Đặt f  t   lim
n
Khi đó f liên tục và f n hội tụ đến f . Thật vậy:
Cho   0 nhỏ tùy ý, khi đó f n  t   f m  t    , t  0,1, n  n0
và mọi t  0,1 . Do đó f n hội tụ đến f .
Lấy t0  0,1 và   0 cố định. Chọn   0 để
f n0  t   f n0  t0    khi t  t0  

Khi đó:
f  t   f  t0   f  t   f n0  t   f n0  t   f n0 t0   f n0 t0   f t0   3

khi t  t0   .
Bởi vậy, f  C 0,1 và f n hội tụ đều (theo chuẩn . ) với f . Do đó

C  0,1 là không gian Banach.
Một số không gian định chuẩn thƣờng dùng
k

a, Không gian thực hữu hạn chiều
Xét không gian thực k chiều
. :

k

x

k

cùng với ánh xạ:


x 

k

x
i 1

4

2
i

Dễ dàng kiểm tra được không gian

k

cùng với chuẩn xác định như trên

lập thành một không gian định chuẩn, kí hiệu là

k

.

b, Không gian C  a, b
Xét không gian C  a, b là tập hợp các hàm số thực liên tục trên
đoạn  a, b ; C a, b  x  x  t  ; x  t  liên tuc trên a, b cùng với ánh xạ:
. : C  a, b  
x  x t 

x  sup x  t 
t a ,b

là một không gian định chuẩn, kí hiệu là C  a, b .
c, Không gian l p  p  1
Xét không gian l p là tập hợp tất cả các dãy số (thực hoặc phức)

 xn 



sao cho

x
n 1

p

n

  cùng với ánh xạ:

. :

lp 

x  x n

 
p
x    xn 
 n1


1

p

là một không gian định chuẩn, kí hiệu là l p .
Đặc biệt, khi p  2 ta có không gian l2 :





2
l2   x   xn n1  P :  xn    .


n 1

(P là trường số thực hoặc trường số phức). Khi đó l2 là không gian định
chuẩn, với chuẩn xác định bởi:
x   xn n1  l2 : x 


5



x
n 1

n

2

.


d, Không gian Lp  a, b  p  1
Xét không gian Lp  a, b  p  1 là không gian vector các hàm

x  t  xác định đo được (theo nghĩa Lebesgue) trên đoạn  a, b thỏa mãn
b

điều kiện:

 x t 

p

dt   cùng với chuẩn xác định bởi:

a

. : L p  a, b  
b

p
x    x  t  dt 
a


x  x t 

1

p

lập thành một không gian định chuẩn, kí hiệu là Lp  a, b .
Đặc biệt, khi p  2 ta có không gian Lp a, b là tập hợp các hàm

x  t  xác định và đo được (theo nghĩa Lebesgue) trên đoạn  a, b thỏa
b

mãn:

 x t 

2

dt   cùng với chuẩn xác định bởi:

a

. : L2  a, b  
b

2
x    x  t  dt 
a


x  x t 

1

2

lập thành một không gian định chuẩn, kí hiệu là L2  a, b .
e, Không gian C0

C0 là tập hợp tất cả các dãy số thực hoặc phức hội tụ đến 0, khi đó
C0 là một không gian véc tơ.

Ta thiết lập ánh xạ:

. :

C0 

x  x n

x  max xn
1n

6


Khi đó ánh xạ trên xác định một chuẩn trên không gian C0 . Vậy C0
cùng với ánh xạ trên lập thành một không gian định chuẩn.
f, Không gian l
l là tập hợp gồm các dãy số thực hoặc phức bị chặn:

l  x   xn  : xn  M x  . Khi đó, l là một không gian vector
Ta thiết lập một ánh xạ:
. :

l 

x   xn 

x  sup xn
1 n

Ta dễ dàng chứng minh được ánh xạ trên là một chuẩn xác định trên l .
Vậy không gian l cùng với chuẩn xác định như trên lập thành một
không gian định chuẩn, kí hiệu là l .
Định nghĩa 1.5. Cho không gian tuyến tính X và . 1 , .
cho trên X . Hai chuẩn .

1

và .

2

2

là hai chuẩn

gọi là tương đương nếu tồn tại hai số

dương  ,  sao cho:

 x 1  x 2   x 1 , x  X .
Định lý 1.1. Không gian định chuẩn X là không gian Banach khi và chỉ
khi trong không gian X mọi chuỗi hội tụ tuyệt đối đều hội tụ.
Định nghĩa 1.6. Một dãy  xn  trong không gian định chuẩn X được gọi
là bị chặn nếu có C sao cho xn  C, n  .
Mệnh đề 1.1. Cho X là không gian định chuẩn. Nếu dãy  xn n1  X là


dãy Cauchy thì bị chặn trong X .
Định nghĩa 1.7. Cho không gian định chuẩn X và tập hợp X 0  X ,
X 0   . Tập hợp X 0 gọi là không gian định chuẩn con (hay gọi đơn

giản là không gian con) của không gian X , nếu X 0 là không gian tuyến

7


tính con của X và chuẩn trên X 0 là chuẩn trên X . Nếu X 0 đồng thời là
tập hợp đóng trong không gian X , thì X 0 gọi là không gian định chuẩn
con đóng của không gian X .
Định lý 1.2. Nếu X 0 là không gian định chuẩn con đóng của không gian
định chuẩn X và X 0  X , thì với số dương  cho trước tùy ý, tồn tại
phần tử x  X , x  1 , sao cho d  x, X 0   inf x  y  1   .
yX 0

Định nghĩa 1.8. Cho không gian định chuẩn X và không gian định
chuẩn con đóng X 0  X , X X 0 là không gian tuyến tính thương theo
không gian tuyến tính con X 0 . Ta gọi không gian định chuẩn thương của
không gian định chuẩn X theo không gian con đóng X 0  X không
gian tuyến tính thương X X 0 cùng với ánh xạ

x  X

X 0  , x  inf x .
xx

Không gian định chuẩn thương cũng kí hiệu là X X 0 .

Cho X   X , .

 là không gian định chuẩn. Ta có một số kí hiệu như

sau:
+ Tập BX  x  X : x  1 là hình cầu đơn vị đóng của X .
+ S X  x  X : x  1 là mặt cầu đơn vị của X .
+ con  M  là bao lồi của M , con  M  là bao lồi đóng của M .
+ Cho tập M  X , span M là bao tuyến tính của M (tức là giao
của tất cả các không gian tuyến tính của X chứa M , span  M  là bao
đóng tuyến tính của M .
Định nghĩa 1.9. Cho X là không gian định chuẩn. X là hữu hạn chiều
nếu và chỉ nếu hình cầu đơn vị đóng BX của X là compact.

8


Định nghĩa 1.10. Không gian định chuẩn X được gọi là tách được (hay
khả ly) nếu trong không gian X tồn tại một tập hợp đếm được trù mật
khắp nơi.
1.2. Toán tử tuyến tính
1.2.1. Toán tử tuyến tính
Định nghĩa 1.11. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P
( P là trường số thực

hoặc trường số phức

). Ánh xạ A từ không

gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các

điều kiện:
1) x, x  X  , A  x  x  Ax  Ax ;
2) x  X  ,   P  A x   Ax .
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi toán tử
tuyến tính A chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính,
còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì A gọi là toán tử thuần
nhất. Khi Y  P thì toán tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến
tính.
Định nghĩa 1.12. Cho không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến
tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại
hằng số C  0 sao cho:

Ax  C x , x  X .

 

Định nghĩa 1.13. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Hằng số C  0 nhỏ nhất thỏa
mãn hệ thức   gọi là chuẩn của toán tử A và ký hiệu là A .
Từ định nghĩa dễ dàng nhận thấy, chuẩn của toán tử A có các tính
chất:
1)

x  X  ,

Ax  A . x ;

9

2)

  0 ,  x  X  , 

A    x  Ax .

1.2.2. Toán tử tuyến tính liên tục
Giả sử X và Y là hai không gian định chuẩn. Một toán tử từ X
vào Y gọi là liên tục nếu xn  x0 luôn kéo theo Axn  Ax0 .
Định lý 1.3. Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định
chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Ba mệnh đề sau tương đương:
1) A liên tục;
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X ;
3) A bị chặn.
Định lý 1.4. Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y . Nếu toán tử A bị chặn thì:
A  sup Ax  sup Ax .
x 1

x 1

Định lý 1.5. Toán tử tuyến tính A ánh xạ không gian định chuẩn X lên
không gian định chuẩn Y có toán tử ngược A1 liên tục khi và chỉ khi
tồn tại hằng số   0 sao cho:

Ax   x  x  X  .
1
Khi đó A 

1



.

Định nghĩa 1.14. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Nếu toán tử
tuyến tính liên tục A ánh xạ không gian X lên không gian Y có toán tử
ngược A1 , thì toán tử A gọi là phép đồng phôi tuyến tính từ không gian

X lên không gian Y .
Định nghĩa 1.15. Hai không gian định chuẩn gọi là đồng phôi tuyến
tính, nếu tồn tại phép đông phôi tuyến tính từ không gian này lên không
gian kia.

10


Định lý 1.6. Tất cả các không gian định chuẩn n - chiều đều đồng phôi tuyến
tính.
Định lý 1.7. Giả sử X là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, Y là
không gian định chuẩn tùy ý và A : X  Y là ánh xạ tuyến tính thì A
liên tục.
1.3. Các nguyên lý cơ bản
1.3.1. Nguyên lý ánh xạ mở Banach
Định nghĩa 1.16. Ánh xạ A từ không gian metric M1   X , d1  vào
không gian metric M 2  Y , d2  gọi là ánh xạ mở tại điểm x0 trong M 1
thành lân cận của điểm Ax0 trong M 2 . Ánh xạ A gọi là ánh xạ mở, nếu
ánh xạ A biến mỗi tập mở trong M 1 thành tập mở trong M 2 .
Định lý 1.8. (Nguyên lý ánh xạ mở Banach) Nếu A là toán tử tuyến
tính liên tục ánh xạ không gian Banach X lên không gian Banach Y , thì

A là ánh xạ mở.
1.3.2. Nguyên lý đồ thị đóng Banach
Định nghĩa 1.17. Cho hai không gian định chuẩn X , Y và ánh xạ A từ
không gian X và không gian Y . Ta gọi đồ thị của toán tử A , ký hiệu là

G  A , là tập:

G  A   x, Ax  : x  X   X  Y .
Nếu đồ thị G  A của toán tử A là tập đóng trong không gian định chuẩn
tích X  Y thì toán tử A gọi là toán tử đóng.
Định lý 1.9. (Nguyên lý đồ thị đóng Banach) Cho toán tử tuyến tính A
ánh xạ không gian Banach X vào không gian Banach Y . Toán tử A
liên tục khi và chỉ khi A là toán tử đóng.

11


1.3.3. Nguyên lý bị chặn đều Banach – Steinhaus
Định nghĩa 1.18. Cho họ  At tT gồm các toán tử tuyến tính At ánh xạ
không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T là
tập chỉ số có lực lượng nào đấy. Họ  At tT gọi là bị chặn từng điểm, nếu
với mỗi x  X tập  At x tT bị chặn. Họ  At tT gọi là bị chặn đều, nếu
tập

A
t

tT

bị chặn.

Định lý 1.10. (Nguyên lý bị chặn Banach – Steinhaus) Nếu họ  At tT
các toán tử tuyến tính liên tục ánh xạ không gian Banach X vào không
gian định chuẩn Y bị chặn từng điểm, thì họ đó bị chặn đều.
1.3.4. Nguyên lý thác triển Hahn – Banach
Định lý 1.9. (Nguyên lý thác triển Hahn – Banach) Mọi phiếm hàm
tuyến tính liên tục f xác định trên không gian tuyến tính con X 0 của
không gian định chuẩn X  X 0  X  đều có thể thác triển lên toàn không
gian X với chuẩn không tăng, nghĩa là có thể xây dựng được phiếm
hàm tuyến tính liên tục F xác định trên toàn không gian X sao cho:
1) F  x   f  x  , x  X 0  ;
2)

F

X

 f

X0

.

12


Chƣơng 2
KHÔNG GIAN TỰA CHUẨN
2.1. Khái niệm tựa chuẩn và p - chuẩn

Định nghĩa 2.1. Cho X là một không gian vector (phức). Một hàm số

. :X

0,   được gọi là một tựa chuẩn nếu nó thỏa mãn điều kiện:
f  g  K  f  g ,

(2.1)

ở đó K  1 là một hằng số độc lập với f , g  X và

f  0, khi x  0;
Một cặp  X , .

 f   f ,  

.

(2.2)

 khi đó gọi là không gian tựa chuẩn.

Nhận xét 2.1. Từ khái niệm tựa chuẩn ta có thể thấy đây là sự mở rộng
của khái niệm chuẩn với các điều kiện f  0 và f  g  K  f  g  .
Ví dụ 2.1. Không gian Lebesgue
Nếu  là một độ đo dương xác định trên  - đại số những tập con
p
p
p
của một tập S , khi đó không gian L ( )  L (S ,  )  L (S ) (0  p  )

bao gồm tất cả hàm số giá trị phức đo được f trên S mà
f  f

Khi

p



p
   f d 
S


1

p

.

p  1 hàm số này không chuẩn nhưng nó thỏa mãn

f  g  K  f  g  , với K  2

f g

p

 f

1

p 1

p

, ngoài ra

 g

p

.

(2.3)

Một hàm số thỏa mãn (2.2) và (2.3) được gọi là một p - chuẩn.
Từ (2.3) ta suy ra

f1  f 2  ...  f n

p

 f1

13

p

 ...  f n

p

.


Một cách tổng quát hơn, trong không gian tựa chuẩn bất kỳ, ta có
kết quả sau:
Bổ đề 2.1. Nếu . là một tựa chuẩn trên X , khi đó tồn tại hằng số

p  (0,1) và C  4 sao cho:
f1  f 2  ...  f n

p



 C f1

p

 f2

p

 ...  f n

p



(2.4)

với mỗi dãy hữu hạn f1, f 2 ,..., f n  X .
Chứng minh
Lấy p sao cho  2 K   2 , ở đó K là một hằng số trong (2.1) và
p

xác định một hàm số H trên X xác định bởi:

H  0  0

H  f   2k nếu 2k 1  f
p

p

 2k với số nguyên k nào đó.

Từ

f

p

H f  2 f

p

p

(2.5)

bất đẳng thức (2.4) là một hệ quả của bất đẳng thức:

f1  ...  f n

p





 2 H  f1   ...  H  f n  .
p

p

Với n  1 bất đẳng thức trên là đúng. Nếu n  2 , ta xét hai trường hợp:
(i) Giả sử số hạng H  f j  là đôi một phân biệt và sắp xếp theo thứ
tự giảm dần. Khi đó, ta có:
H  f j   21 j H  f1  1  j  n 
p

p

(2.6)

Từ (2.1) suy ra f  g  2K max  f , g  . Do đó, theo (2.5)





f1  ...  f n  max  2 K  H  f j  :1  j  n
j

14


f1  ...  f n  2H  f1  . Suy ra điều
p

Từ (2.6) và việc chọn p , suy ra
phải chứng minh.

(ii) Giả thiết dãy H  fi  bao gồm ít nhất hai phần tử bằng nhau.
Ví dụ, giả sử H  f1   H  f 2   2m . Khi đó 2m1  f1 , f 2
p

Từ f1  f 2



  2K  max f1 , f 2

p

p

p

p

  2max f

1

p

, f2

p

p

 2m .

 2

m1

Ta có: H  f1  f 2   2m1  H  f1   H  f 2  .
p

p

p

Từ điều này và giả thiết quy nạp kéo theo:

 f1  f 2   ... 

fn

p


 2 H  f 
 2 f 

 2 H  f1  f 2   ...  H  f n 
p

p



 H  f 2   ...  H  f n 

p

p

1

p

f2

1

p

 ...  f n

p

.

p



Từ bổ đề trên, chúng ta thấy được không gian tựa chuẩn X là “pchuẩn được” với một p nào đó, tức là:
Định lý 2.1. (Định lý Aoki/Rolewicz) Nếu . là một tựa chuẩn trên X

p  0 và một

thì tồn tại

p - chuẩn ||| .||| trên X

sao cho

|| f || C  ||| f |||  || f || , f  X , ở đó C là độc lập của f .

Chứng minh
Ký hiệu  là tựa chuẩn ban đầu trên X . Ký hiệu



k  inf K  1| x  y  K  x  y  , x, y  X



Và p là số xác định bởi 21/ p  2k . Khi đó p - chuẩn được xác định bởi:
1
 n

p
n



||| f ||| inf   f j  : f   f j ;
j 1
j 1






15


 f  X

ở đó cận dưới đúng được lấy trên tất cả các dãy hữu hạn

j

thỏa

mãn yêu cầu của định lý.
Không gian X được trang bị cấu trúc không gian vector tôpô bởi
họ “lân cận của 0” theo xác định bởi “mỗi tập hợp chứa

f :
n

f 1



n

với n  1,2,... ”
Tôpô này là metric hóa được theo định lý Aoki/Rolewicz, tức là,
nếu p - chuẩn ||| .||| tương đương với tựa chuẩn gốc thì công thức
d  f , g  ||| f  g ||| p xác định một metric cảm sinh cùng một tôpô với

tôpô gốc.
Không gian X không lồi địa phương, nó bị chặn địa phương vì lân
cận

f :

f 1

 là bị chặn theo nghĩa của định lý không gian vector

n

tôpô bị chặn địa phương có thể được mô tả bởi một tựa chuẩn.
Định nghĩa 2.2. Một không gian tựa chuẩn X được gọi là không gian
tựa Banach nếu nó đầy, nghĩa là dãy

 fn  X

hội tụ nếu và chỉ nếu

f m  f n   khi m, n   .
Nếu X là p - chuẩn và đầy, khi đó X được gọi là p - Banach.
Nhận xét 2.2. Không gian Banach và không gian tựa Banach đều được
định nghĩa dựa vào sự hội tụ của các dãy cơ bản tương ứng trong không
gian định chuẩn và không gian tựa chuẩn.
Mệnh đề 2.1. Giả sử X là p - chuẩn. Khi đó X đầy khi và chỉ khi sự
hội tụ của chuỗi
đầy và

f



fn

p

kéo theo sự hội tụ của chuỗi

f
p



n

hội tụ, khi đó luôn có bất đẳng thức

f
n 1

16

n

n

. Nếu X


  fn
n 1

p

.

Chứng minh
Điều kiện cần: Giả sử X là không gian đầy, và



fn

p

hội tụ. Khi đó

với n  m ta có
Sn  Sm

 f m1  ...  f n

p

p

K

f

p
m1

 ...  f n

p

.

Từ đó suy ra dãy  Sn  là dãy Cauchy trong không gian đầy X , vì thế tồn
tại lim Sn  S. Tức là chuỗi
n

Điều kiện đủ: Giả sử

f

n

hội tụ.

 f n  là dãy Cauchy trong

X . Khi đó ta có thể xác

định các số tự nhiên n1 , n2 ,... sao cho xnk 1  xnk  2 k với mọi k 


vì thế chuỗi

x
k 1

nk 1

*

,

 xnk hội tụ.


Từ giả thiết suy ra chuỗi

 x
k 1

nk 1



 xnk hội tụ tới một phần tử trong X ,

mà ở đó tổng riêng của chuỗi là xnk 1  xn1 . Suy ra dãy  xn  có dãy con

 x  hội tụ, do đó dãy  x  hội tụ.
nk

n

Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.2. Giả sử  f jk   j, k  1 là một dãy kép trong không gian p
- Banach X Nếu


j ,k

f jk

p

 

  , khi đó chuỗi    f jk  được lặp và
j 1  k 1



 

  f jk  hội tụ và có tổng bằng nhau.

k 1  j 1



Chứng minh: Là hệ quả của Mệnh đề 2.1

17


2.2. Toán tử tuyến tính
Trong lớp các không gian tựa chuẩn, tính liên tục và tính bị chặn
của toán tử tuyến tính là tương đương. Trong không gian L  X ,Y  các

toán tử tuyến tính liên tục từ X đến Y , tựa chuẩn của toán tử được xác
định bởi:

T  sup Tf .
f 1

Tương tự như trong không gian định chuẩn, chúng ta cũng có
Không gian L  X ,Y  là đầy khi và chỉ khi Y là không gian đầy.
Một toán tử T  L  X ,Y  gọi là khả nghịch nếu nó là song ánh và
nghịch đảo của nó là liên tục.
Mệnh đề 2.3. Giả sử X là một không gian tựa Banach và T  L  X ,Y 
như một toán tử mà I  T  1 khi I là toán tử đồng nhất thức. Khi đó T
nghịch đảo được và có bất đẳng thức

T 1

p



 C 1 I  T



p 1

,

trong đó C và p là hằng số từ bổ đề 2.1.
Chứng minh



Xét chuỗi

 I  T 

k

. Từ bất đẳng thức

k 0

f1  f 2  ...  f n

p



 C f1

p

 f2

p

 ...  f n

áp dụng cho không gian L  X ,Y  ta được:
n

 I  T 

k m

p
k

n

 C I  T
k m

18

pk

.

p




Do đó chuỗi hội tụ, ký hiệu tổng bởi S . Khi đó ta có ST  TS  I và

S

p



 C I  T

pk

k 0

Định lý 2.2. Cho X và Y là không gian tựa Banach và E là tập con trù
mật của X . Giả sử Tn  L  X ,Y  là một dãy sao cho sup Tn   .Nếu
n

giới hạn lim Tn f tồn tại với mọi f  E thì tồn tại toán tử T tuyến tính và
n

liên tục xác định bởi T f  limTn f , f  X .
n

Chứng minh: Suy ra từ tính chất trù mật của tập E.
Từ định lý trên, ta có ngay kết quả sau:
Hệ quả 2.1. Cho T là toán tử tuyến tính liên tục đi từ không gian tựa
chuẩn X vào không gian tựa chuẩn Y , giả sử E là tập con của X sao
cho bao tuyến tính của E là trù mật trong X . Nếu Y0 là không gian con
đóng của Y sao cho T  E   Y0 , khi đó T  X   Y0 .
Trong trường hợp tổng quát, một không gian tựa Banach được
nhúng vào nhiều không gian q - Banach, không gian nhỏ nhất được gọi
là bao q - Banach của X . Chính xác hơn, ta có:
Cho không gian tựa Banach X . Ký hiệu N q  0  q  1 là hàm số
xác định trên X bởi:
1



q
q


N q  f   inf   f j  :  f j  f 
j
j






(2.7)

Ở đó cận dưới đúng được lấy trên tập các dãy hữu hạn

 f   X . Hàm
j

số này là q - nửa chuẩn, nghĩa là thỏa mãn điều kiện:

N  f  g   N  f   N  g  , N   f    N  f  .
q

q

q

q

q

q

19

q

q


Tập hợp  f  X : N q  f   0  Ker N q là một không gian con đóng
của X .
Định nghĩa 2.3. Nếu Ker N q  0 , nghĩa là nếu N q là một q - chuẩn thì
làm đầy của không gian  X , N q  là một không gian q - Banach và được
gọi là bao q - Banach của X , ký hiệu bởi  X q .
Theo định lý Aoki/Relewicz, luôn luôn tồn tại q sao cho X   X q
với tựa chuẩn tương đương.
Ví dụ 2.2. X  l p , khi đó  X q  l q ,  p  q  1 và các tựa chuẩn tương
ứng là bằng nhau.
Tầm quan trong của không gian  X q nằm ở sự kiện là tất cả các
toán tử từ X đến một không gian q - Banach tùy ý đều mở rộng đến
một toán tử trên  X q , tức là:
Mệnh đề 2.4. Giả sử X có bao q - Banach (nghĩa là, bao N q là một q
- chuẩn) và giả sử Y là không gian q - Banach tùy ý. Nếu T  L  X ,Y 





thì tồn tại một toán tử duy nhất S  L  X q , Y sao cho Sf  Tf , f  X
Mệnh đề 2.5. Cho X liên tục được nhứng vào không gian q - Banach


Y , với cách như vậy mỗi f  Y được biểu diễn f   f n , f n  X với
n 1

q




n 1

C f

fn

q
Y

, ở đó C không phụ thuộc f . Khi đó Y   X q (với tựa

X

chuẩn tương đương).
Chứng minh

20