Hàm suy rộng phi tuyến

TRƯèNG ĐAI HOC SƯ PHAM HÀ N®I 2
KHOA TOÁN
****************

BÙI KIM MY

HÀM SUY R®NG PHI TUYEN
KHÓA LU¾N TOT NGHIfiP ĐAI HOC
Chuyên ngành: Giái Tích

Ngưòi hưóng dan khoa hoc
TS. Ta Ngoc Trí

Hà N®i - 2011



LèI CÁM ƠN

Em xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói thay giáo TS. Ta Ngoc Trí đã
t¾n tình hưóng dan đe em có the hoàn thành khóa lu¾n tot nghi¾p này.
Em cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói toàn the các thay cô
giáo trong khoa Toán Trưòng Đai hoc Sư pham Hà N®i 2 đã day báo t¾n
tình trong suot quá trình hoc t¾p tai khoa. Đong thòi, em cũng xin gúi lòi
cám ơn tói anh Hoàng ĐNc Trưàng hoc viên cao hoc K13 đã chí báo
em trong suot thòi gian thnc hi¾n khóa lu¾n.
Qua đây em cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình, ban
bè đã ó bên, co vũ, đ®ng viên, giúp đõ em trong suot quá trình hoc t¾p và
thnc hi¾n khóa lu¾n tot nghi¾p.

Hà N®i, tháng 05 năm 2011

Tác giá
Bùi Kim My

2


LèI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan dưói sn hưóng dan cna TS. Ta Ngoc Trí khóa lu¾n
đưoc hoàn thành không trùng vói bat kì công trình khoa hoc nào khác.
Trong khi thnc hi¾n khóa lu¾n tác giá đã sú dung và tham kháo các
thành tnu cna các nhà khoa hoc vói lòng biet ơn trân trong.

Hà N®i, tháng 05 năm 2011
Tác giá
Bùi Kim My


Mnc lnc
Má đau....................................................................................5
Chương 1.Kien thNc chuan b%.....................................................................7
1.1.M®t vài ký hi¾u và khái ni¾m....................................................7
1.1.1. M®t vài ký hi¾u...........................................................................................................7
1.1.2. M®t vài khái ni¾m......................................................................................................8

1.2.Không gian các hàm thN............................................................9
1.3.Không gian các hàm suy r®ng................................................12
1.4.Đao hàm cúa hàm suy r®ng..............................................14
1.5.Tích ch¾p.......................................................................................17
1.6.Bien đoi Fourier.........................................................................19

Chương 2.Tích hai hàm suy r®ng.......................................................23
2.1.Tích cúa m®t hàm trơn và m®t hàm suy r®ng......................23
2.2.Tích cúa hai hàm suy r®ng......................................................24
2.2.1. Phương pháp chính quy và tien qua giói han........................................................24
2.2.2. Phương pháp Fourier.................................................................................................27

2.3.Ket quá không the cúa Schwartz.............................................31
Ket lu¾n................................................................................33
Tài li¾u tham kháo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
34


Má đau

1. Lý do chon đe tài
Hàm suy r®ng là m®t khái ni¾m đưoc mó r®ng tù khái ni¾m hàm so co
đien, trong đó ngoài lóp các hàm thông thưòng ngưòi ta thêm vào các hàm
đo đưoc, khá tích đ%a phương, và các hàm thông thưòng khác mà m®t đai
di¾n là hàm Delta Dirac δ(x).
Hàm suy r®ng xuat hi¾n lan đau trong th¾p ký thú hai the ký 20 trong
các công trình cna P. A. M. Dirac ve cơ hoc lưong tú. Lý thuyet toán hoc
cna hàm suy r®ng đưoc S. L. Sobolev đ¾t cơ só đe giái bài toán Cauchy
cho phương trình hypebolic (1936) và đen năm 1945 L. Schwartz đã xây
dnng m®t cách h¾ thong cho lý thuyet hàm suy r®ng. Ngày nay, lý thuyet
hàm suy r®ng đưoc phát trien và úng dung trong nhieu ngành khoa hoc.
Đe tìm hieu lý thuyet hàm suy r®ng và đưoc sn hưóng dan cna TS. Ta
Ngoc Trí em đã chon đe tài "Hàm suy r®ng phi tuyen ” đe làm
khóa lu¾n tot nghi¾p đai hoc ngành Cú nhân khoa hoc Toán hoc cna
mình.

Khóa lu¾n t¾p trung làm rõ m®t so van đe sau: Trình bày m®t so kien
thúc cơ bán cna hàm suy r®ng, phép lay tích hai hàm suy r®ng và ket quá
không the cna Schwartz.
Bo cuc cna khóa lu¾n bao gom 2 chương:
Chương 1 cna khóa lu¾n trình bày tóm tat ve m®t so ký hi¾u và
khái ni¾m, các không gian hàm cơ bán và suy r®ng. Cuoi chương,
trình bày ve phép toán đao hàm, tích ch¾p và bien đoi Fourier.
Chương 2 cna khóa lu¾n đi vào trình bày phép lay tích cna hai hàm
suy r®ng. Phan đau chương trình bày ve phép lay tích cna m®t hàm
trơn và m®t hàm suy r®ng. Tiep theo trình bày các phương pháp đ%nh


nghĩa tích cna hai hàm suy r®ng và moi quan h¾ giua các cách đ%nh
nghĩa đó. Cuoi chương là ket quá không the cna Schwartz.
2. Mnc đích và nhi¾m vn nghiên cNu
- Nghiên cúu van đe hàm suy r®ng.
- Nghiên cúu vi¾c lay tích cna hai hàm suy r®ng.
3. Đoi tưang và pham vi nghiên cNu
- Nghiên cúu ve hàm suy r®ng cna Schwartz
- Nghiên cúu phép lay tích cna hai hàm so
4. Phương pháp nghiên cNu
Đoc tài li¾u, phân tích, tong hop, so sánh, tong hop kien thúc.

6


Chương 1
Kien thNc chuan b%
1.1.

M®t vài ký hi¾u và khái ni¾m

1.1.1.
•

M®t vài ký hi¾u

n
Z+
:= {x = (x1, x2, ...xn) : xi ∈ Z+} .

• Rn := {x = (x1, x2, ...xn) : xi ∈ R} .
• C(Ω) : t¾p các hàm liên tuc trong Ω.
k
• C (Ω) : t¾p các hàm liên tuc có các đao hàm riêng liên tuc tói cap k
trên Ω.
•
•

•

C∞(Ω) : t¾p các hàm khá vi vô han trong Ω.
Lp(Ω) : là t¾p các hàm f đo đưoc theo nghĩa Lebesgue trong Ω sao
¸
cho
1 < ∞.
|f (x)|
||f || = ( p
Ω dx) p
Lloc(Ω) : là t¾p hop các hàm trong Ω sao cho moi t¾p V compact

trong Ω thì f khá tích trong V.

M®t đa chí so (hay chính xác hơn : m®t n - đa chs so ) là α = (α1, α2, ...,
αn), vói αj ∈ Z+, (j = 1, 2, ..., n). Đ® dài (hay cap cna α) là | α |= α1
+α2 +αn.
α α
Toán tú vi phân liên ket vói đa chí so α là ∂α = ∂ 1 ∂ 2 ...∂αn , trong
∂
1 2
n
α1 α2
α
∂
αn
, ho¾c
, j = 1, 2, ..., n
đó ∂j
= D1 D2 ...Dn vói Dj
∂x
i∂x
D
và
=
=
j
j
√
i = −1.

2
Ví dn 1.1. Cho hàm u(x, y) = x2y2 + x + y + xy, α = (1, 2) ∈
+ Z .

Khi đó ∂α = ∂α1 ∂α2 = ∂1 ∂2 = 4x3y2 + 2x2y + 2x2.
x

y

x y

Cho Ω là m®t t¾p mó khác rong trong Rn . M®t hàm so f : Ω −→ C,
x −→ f (x), neu toán tú vi phân ∂ α f ton tai và liên tuc vói moi đa chí
so
α ∈ + thì ta nói f ∈ C∞(Ω). Đieu này cũng có nghĩa là f ∈ C∞ (Ω) neu
Zn
f là hàm khá vi liên tuc moi cap.
Giá cna m®t hàm liên tuc f : Ω −→ C là bao đóng trong Ω cna t¾p
hop {x ∈ Ω : f (x) ƒ= 0} đưoc kí hi¾u là suppf . Hay suppf = cl{x ∈
Ω : f (x) ƒ= 0} ⊂ Ω.
Neu K là t¾p compact trong Rn thì ta kí hi¾u
DK = {f ∈ C∞ (Ω) : suppf ⊆ K}.
1.1.2.

M®t vài khái ni¾m

M®t không gian vectơ tôpô X trên trưòng P vói (P = C ho¾c P = R)
là m®t không gian vectơ trên trưòng P đưoc trang b% m®t tôpô thích hop
sao cho các ánh xa (x, y) −→ x + y và (λ, y) −→ λy là liên tuc.
Trong không gian vectơ tôpô X, m®t t¾p hop E ⊂ X goi là t¾p b% ch¾n,

neu vói moi lân c¾n V cna goc θ, có m®t so s > 0 sao cho ∀t > s thì
E ⊂ tV . Neu goc θ có m®t lân c¾n b% ch¾n thì không gian X goi là b%
ch¾n
đ%a phương.
M®t t¾p hop E ⊂ X cna không gian vectơ tôpô X goi là t¾p hút neu
∀x ∈ X, ∃t = t(x) ƒ= 0 sao cho x ∈ tE. Neu ∀α ∈ C mà |α| ≤ 1, ta có
αE ⊂ E thì E đưoc goi là t¾p con cân đoi cna X.
M®t không gian vectơ tôpô X goi là không gian loi đ%a phương neu có
m®t cơ só lân c¾n cna goc θ gom toàn nhung t¾p loi.
M®t không gian loi đ%a phương goi là m®t không gian Fréchet neu nó
là không gian metric đn vói metric cám sinh d thóa mãn d(x + z, y + z)
= d(x, y) (d bat bien vói phép t%nh tien).
M®t không gian vectơ tôpô X goi là có tính chat Heine - Borel , neu
moi t¾p con đóng và b% ch¾n cna X đeu là t¾p compact.


1.2.

Không gian các hàm thN

Cho K là t¾p∞ compact
trong Rn, DK ký hi¾u là không gian cna tat cá
n
các hàm f ∈ C (R ) sao cho suppf ⊆ K. Neu K ⊂ Ω thì
DK = {f ∈ C∞ (Ω) : suppf ⊆ K}.
Đe xây dnng m®t tôpô τ trên C∞(Ω) sao cho C∞(Ω) tró thành m®t
không gian Fréchet , có tính chat Heine - Borel , và DK là m®t t¾p
con
đóng cna C∞ (Ω) moi khi K ⊂ Ω. Chúng ta chonScác t¾p compact Kj
(j = 1, 2, ...) sao cho Kj ⊂ intKj+1 và Ω = j Kj và đ%nh nghĩa

m®t ho núa chuan pN trên C∞(Ω), N = 1, 2, ... như sau
pN = max{|Dαf (x)| : x ∈ KN , |α| ≤ N}.
khi đó ta đưoc các tính chat nói ó trên cna không gian C∞(Ω). M®t cơ só
đ%a phương cna không gian này đưoc cho bói các t¾p hop
∞

1

VN = {f ∈ C (Ω) : pN (f )
}, (N = 1, 2, ...).
N
<
Đ%nh nghĩa 1.1. Hop cúa tat cá các không gian DK khi K chay trên t¾p
tat cá các t¾p compact cúa Ω, goi là không gian các hàm thú trên Ω,
và ký hi¾u là D(Ω).
Hien nhiên D(Ω) là m®t không gian vectơ vói phép c®ng và phép nhân
vói vô hưóng thông thưòng cna các hàm nh¾n
giá tr% phúc. Ta cũng thay
rang hàm φ ∈ D(Ω) neu và chí neu φ ∈ C∞ (Ω) và suppφ là t¾p compact
trong Ω. Vói moi φ ∈ D(Ω) thì
||φ||N = max{|Dαφ(x)| : x ∈ Ω, |α| ≤ N}, N = 1, 2, ....
Đ%nh nghĩa 1.2. Cho Ω là m®t t¾p không rong và mó trong Rn
a) Vói moi t¾p compact K ⊂ Ω, τK ký hi¾u là tôpô cúa không gian
Fréchet DK.
b) β là t¾p tat cá các t¾p loi cân đoi W ⊂ D(Ω) sao cho DK ∩ W ∈ τK
vói moi t¾p compact K ⊂ Ω.
c) τ là ho cúa tat cá các hop có dang φ + W, vói φ ∈ D(Ω) và W ∈
β.

Đ%nh lý 1.1. a)τ là m®t tôpô cúa không gian D(Ω) và β là m®t cơ só
đ%a phương cúa τ.
b) τ làm cho D(Ω) tró thành m®t không gian vectơ tôpô loi đ%a phương.
Chúng minh.
a) Giá sú V1, V2 ∈ τ, φ ∈ V1 ∩ V2, ta chí can
chúng minh ∃W ∈ β sao cho
φ + W ⊂ V1 ∩ V2, ∀W ∈ β.
Theo sn đ%nh nghĩa cna τ , ton tai các φi ∈ D(Ω) và Wi ∈ β sao cho
φ ∈ φi + Wi ⊂ Vi, (i = 1, 2).
Chon t¾p compact K ⊂ Ω sao cho DK chúa φ1, φ2 và φ. Tù DK ∩ Wi
là t¾p mó trong DK , ta có
φ − φi ∈ (1 − δi)Wi, δi > 0.
Do Wi là t¾p loi nên
φ − φi + δiWi ⊂ (1 − δi)Wi + δiWi = Wi,
hay

φ + δiWi ⊂ φi + Wi ⊂ Vi, (i = 1, 2).

Do đó, chon W = (δ1W1) ∩ (δ2W2) thì φ + W ⊂ V1 ∩ V2.
V¾y τ là m®t tôpô trong D(Ω). Hien nhiên β là m®t cơ só cna τ.
b) Giá sú φ1, φ2 là hai phan tú phân bi¾t cna D(Ω), và vói φ ∈ D(Ω)
đ¾t
||φ||0 = sup |φ(x)|
x∈Ω

và
W = {φ ∈ D(Ω) : ||φ1 − φ2||0 < ||φ||0}
thì W ∈ β và φ1 không nam trong φ2 + W . Do đó, các t¾p m®t điem
{φ}
đeu là t¾p hop đóng trong tôpô τ.

Tiep theo ta se chúng minh các phép toán đai so trên D(Ω) tương
thích vói tôpô τ . Phép c®ng là liên tuc, vì vói moi φ1, φ2 ∈ D(Ω)
và
1
W
β suy ra
φ1 + φ2 + W ∈ τ vói W ∈ β. Do W là t¾p cân đoi
2 ∈
nên


1
1
1
1
φ1 + W ∈ τ , φ2 + W ∈ τ vàφ1 + W ∈ τ + φ2 + W ∈ τ ⊆ φ1 +
2
2
2
2
φ2 + W.
V¾y phép c®ng hai phan tú trong D(Ω) là liên tuc theo τ.
Vói α0 ∈ C và φ0 ∈ D(Ω) ta có
αφ − α0φ0 = α(φ − φ0) + (α − α0)φ0.
Vói moi W ∈ β ton tai δ > 0 sao cho δφ0
∈

1
W. Đ¾t c
=

2

2(| 1
thì
0| + δ)
α

do W là t¾p loi và cân nên ta có αφ − α0φ ∈ W, vói moi |α − α0| < δ
và φ ∈ φ0 + cW. V¾y phép nhân vói phan tú vông hưóng là liên tuc trong
D(Ω) theo tôpô τ.
V¾y chúng tó không gian các hàm thú D(Ω) là không gian vectơ tôpô và
hơn nua còn là không gian loi đ%a phương.
Trong suot chương này ta luôn giá sú K là m®t t¾p mó không rong cna
Ω. Ta thùa nh¾n m®t so ket quá sau
Đ%nh lý 1.2. a) M®t t¾p con loi, cân đoi V cúa D(Ω) là mó neu và chs
neu V ∈ β.
b) Các topo τK cúa DK trùng vói tôpô cúa không gian con DK cám sinh
tù D(Ω).
c) Neu E là m®t t¾p con b% ch¾n cúa D(Ω), thì E ⊂ D(Ω), ∀K ⊂ Ω,
và có các so MN < ∞ sao cho ∀φ ∈ E thóa mãn bat đang thúc
||φ|| ≤ MN ,

(N = 0, 1, 2, ...).

d) Neu (φj ) là m®t dãy Cauchy trong D(Ω), thì (φj ) ⊂ DK vói moi
t¾p compact K ⊂ Ω và
lim
i,j→∞

||φi − φj||N = 0, (N = 0, 1, 2, ...).

e) Neu (φj ) → 0 trong tôpô cúa D(Ω), thì có m®t t¾p compact K ⊂ Ω
nào đó chúa tat cá suppφj, và Dαφj h®i tn đeu tói 0, khi j → ∞ vói moi
đa chs so α.
f) Trong D(Ω), moi dãy Cauchy đeu h®i tn.
Đ%nh lý 1.3. Giá sú u là m®t ánh xa tuyen tính tù D(Ω) vào m®t không
gian loi đ%a phương Y . Khi đó các đieu sau là tương đương:


a) u là liên tnc.
b) u b% ch¾n.
c) Neu (φj ) → 0 trong D(Ω), thì uφj → 0 trong Y.
d) Khi thu hep u trên bat kỳ DK ⊂ D(Ω) thành uK thì uK luôn liên
tnc.
H¾ quá 1.2.1. Moi toán tú vi phân Dα là m®t ánh xa liên tnc tù D(Ω)
vào chính nó.

1.3.

Không gian các hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.3. M®t dang tuyen tính (hay m®t phiem hàm tuyen tính)
u : D(Ω) −→ C goi là m®t hàm suy r®ng (theo nghĩa Schwartz) xác đ
%nh trên Ω, neu vói moi t¾p compact K ⊂ Ω, có m®t so thnc c ≥ 0 và
m®t so
nguyên không âm N sao cho
.
| (u, φ) | ≤
sup|∂αφ|, ∀φ ∈ D(Ω)
|α|≤N

vói suppφ ⊂ K. T¾p tat cá các hàm suy r®ng xác đ%nh trên Ω l¾p thành
m®t không gian, goi là không gian các hàm suy r®ng trên Ω, và ký hi¾u là
Dr (Ω).
Dna vào đ%nh nghĩa trên ta thay rang :
1. Các hàm so liên tuc thông thưòng là các hàm suy r®ng.
Th¾t v¾y, giá sú f là m®t hàm liên tuc trên Ω, the thì f là m®t hàm
khá tích trên Ω. Hơn nua
¸
¸
f (x)φ(x)dx|
| (f, φ) | = |
|f (x)||φ(x)|dx
Ω ≤
Ω
¸
≤ ( |f (x)|dx). sup |φ(x)|, ∀φ ∈ D(Ω).
Ω

Ω

Đ¾t

¸
c=

|f (x)|dx ≥ 0.
Ω

Vì v¾y | (f, φ) | ≤ c. sup |φ(x)|, ∀φ ∈ D(Ω), hay f là hàm suy r®ng
(theo
nghĩa Schwartz ).

Ω

2. Các hàm f trong không gian Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞ cũng là các hàm
suy
r®ng, vói
(f, φ) =

¸
f (x)φ(x)dx.
Ω

3. Hàm Dirac δ : D(Rn ) −→ C, φ −→ (δ, φ) = φ(0).
é đây φ ∈ D(Rn) nên
φ là hàm khá vi liên tuc moi cap và suppφ
n
⊂ K − compact ⊂ R cũng là m®t hàm suy r®ng. Vì | (δ, φ) | = |
φ(0)| ≤ 1.sup|φ(x)|, ∀φ ∈ D(Rn) mà suppφ ⊂ K, K − compact ⊂ Rn.
Vì v¾y δ là
m®t hàm suy r®ng (goi là hàm suy r®ng Dirac hay hàm Delta Dirac).
4. Hàm |x| :
Vói

D(R) −→ C.
φ −→ (|x|, φ)
=

¸
|x|φ(x)dx,
R

và suppφ ⊂ K, K là t¾p compact.
Ta có
¸
¸
|x|φ(x)dx| ≤
| (|x|, φ) | = |
|x||φ(x)|dx
R
R
¸
¸
|x|dx)
≤
|x| sup |φ(x)|dx = sup
φ(x)(

R

R

Đ¾t

= sup |
φ(x)|(
K

R

¸
K

R

|x|dx).

¸
c=

|x|dx ≥ 0.
K

Hay
| (|x|, φ) | ≤ c. sup |φ(x)|, ∀φ ∈ D(R).
K

V¾y |x| là m®t hàm suy r®ng.


Đ%nh lý 1.4. M®t phiem hàm tuyen tính u xác đ%nh trên D(Ω) là m®t
hàm suy r®ng neu và chs neu
lim (u, φj ) = 0
j →∞


vói moi dãy (φj ) h®i tn tói 0 trong D(Ω) khi j → ∞.
Đ%nh nghĩa 1.4. Cho u ∈ Dr(Ω).

1. Hàm suy r®ng u đưoc goi là bang 0 trên t¾p mó K ⊂ Ω, ký hi¾u
u|K = 0 neu (u, φ) = 0, ∀φ ∈ D(K).
2. Giá cúa hàm suy r®ng u đưoc ký hi¾u suppu và đưoc xác đ%nh bói
.[
.
suppu = Ω \ {K|K mó } ⊂ Ω và u|K = 0 .
Neu u có suppu là t¾p compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy r®ng
có giá compact. T¾p hop các hàm suy r®ng có giá compact đưoc ký hi¾u
bói
E r (Ω).

1.4.

Đao hàm cúa hàm suy r®ng

Đ%nh nghĩa 1.5. Cho u ∈ Dr(Ω) thì phiem hàm tuyen tính
(∂αu, φ) = (−1)|α| (∂αu, φ) , φ ∈ D(Ω),
α là đa chs so, đưoc goi là đao hàm suy r®ng cap α cúa hàm suy r®ng u
và đưoc kí hi¾u là ∂αu.
Neu |uφ| ≤ C||φ|| vói moi φ ∈ DK , thì
| (∂αu, φ) | ≤ C||∂αφ||N ≤ C||φ||N + α .
| |

α

r

Tù đó ta có ∂ u ∈ D (Ω). Và ta có công thúc
∂ α ∂ β u = ∂α+βu = ∂β ∂ αu, ∀u ∈ Dr(Ω), ∀α, β
là các đa chí so.

Trong trưòng hop f là các hàm thưòng khá vi thì đao hàm theo nghĩa
suy r®ng trùng vói đao hàm theo nghĩa thông thưòng. Vì khi f ∈ C1(Ω)
thì
¸ ∂j (f, φ)dxj ¸ ∂f
∂φ f ) = 0.
=
(
φ
+
Ω
∂x
Ω ∂x j
j

Theo đ%nh lý Fubini ta có
¸ ∂ (f, φ)dx ...dx = 0.
j
n
1
Ω


Tù đó

¸ f∂j φdx.

¸
Ω

∂j fφdx = −

Ω

Vì v¾y , neu f ∈ C1(Ω) thì cũng xác đ%nh m®t hàm suy r®ng f ∈ Dr(Ω),
và
¸
f (x)ϕ(x)dx.

(f, ϕ)

Ω

=
.

Ví dn 1.2. Hàm Heaviside
H(x) =

1 neu x > 0
0 neu x < 0,

é đây H : R −→ {0, 1}, Ω = R và
+∞

+∞

¸

¸
H(x)φ(x)dx =

(H, φ) =

0

−∞

Ta
có

1.φ(x)dx.

+∞

¸
1
(∂H, φ) = (−1) (H, ∂φ) = − H(x)∂φ(x)dx
−∞
+∞

0

¸
=−

+∞

¸

0.∂φ(x)dx

¸

−

−
−∞

0

= φ(x)..+∞ = φ(0) = (δ, φ)
,
.
V¾y ∂H =
δ.

∂φ(x)dx

1.∂φ(x)dx =

0

Ví dn 1.3. Hàm f (x) = log |x|.

∀φ ∈

0

D(R).

Ta có f : R \ {0} −→ R, x −→ log |x|, khi đó f là hàm khá tích đ%a
phương trên R. Do đó f là m®t hàm suy r®ng vói
+∞

¸
(f, φ) =

f (x)φ(x)dx, ∀φ ∈ D(R).

−∞

Ta tính ∂f , ta có

+∞

¸

f (x)∂φ(x)dx

(∂f, φ) = (−1)1 (f, ∂φ)
=−
−∞

+∞

¸
=−

log |x|∂φ(x)dx

+∞

−∞
0

¸
=−

¸
log |x|

∂φ(x)dx −
−∞

log |x|∂φ(x)dx
0



+∞

¸



¸−s
= − lim  log |x|∂φ(x)dx + log |x|∂φ(x)dx .
s→0+
−∞

Đ¾t u = log |x|, dv =
phan ta thu đưoc


¸

s

∂φ(x)dx, và áp dung công thúc tích phân tùng
¸

¸−s
φ(x)
(∂ f, φ) =
[φ(s) − φ(−s)] log s
dx
+
lim
+
x
s→0+ 
−∞
¸
¸+∞
 −s φ(x)
φ(x)
= lim 
dx +
x
dx ,

s→0+
x
−∞

φ(x)
dx

α

s




+∞

1

s

x




trong đó lims→0+ [φ(s) − φ(−s)] log s = 0. é đây hàm không phái là
x
hàm
1
1

khá tích đ%a phương,
∈/ (R) nên ta không the xem hàm suy r®ng
túc
x L
1
1
loc
dưói dang tích phân. Tuy nhiên ta có the đ%nh nghĩa xác đ%nh m®t hàm
x
x
r

1

1

suy r®ng thu®c D (R) là đao hàm cna hàm ln |x|
∈ Dr(R) \ Lloc(R).
x
và
1
+∞
Như v¾y ∂ ln |x| = .
.
x
.¸
¸ +∞ φ(x) thưòng đưoc kí hi¾u là φ(x)
Bieu thúc
φ(x)
dx +

lim
dx
−s
¸
−∞ dx
s
x
x
x
+
s→0

đưoc goi là tích phân chính.
Đ%nh lý 1.5. (Đ%nh lý cau trúc cúa Schwartz)

−∞


Bat kỳ m®t hàm suy r®ng đeu là đao hàm đ%a phương cúa m®t hàm liên
tnc. Nói cách khác: ∀T ∈ Dr(Ω), ∀x0 ∈ Ω ton tai m®t lân c¾n mó Vx0 cúa
x0 trong Ω, ton tai hàm f ∈ C(Vx0 ) và ton tai m®t toán tú đao hàm
riêng
∂ sao cho
T |Vx0 = ∂f trong Dr (Vx0 )
trong đó T |Vx0 là han che cúa T trên Vx0 .
Tù đ%nh lý này, các hàm suy r®ng tao thành m®t không gian nhó nhat,
trong đó các hàm liên tuc đeu khá vi vô han và cũng chúa tat cá các hàm
p
thu®c L lo , p = 1, 2, ..., ∞.
c

1.5.

Tích ch¾p

Cho 1 ≤ p < ∞, đ¾t
n

|f (x)|pdx < ∞

n

Lp(R ) = .f xác đ%nh và đo đưoc trên R : ¸

.

,

R
n

trong đó tích phân đưoc hieu theo nghĩa Lebesgue. Khi trang b% chuan
¸
1
|f (x)| dx) p ,
||f ||Lp = (
p
Rn

thì Lp(Rn) tró thành m®t không gian Banach.

Neu f, g ∈ L1(Rn) thì tích ch¾p cna f và g, ký hi¾u là f ∗ g, đưoc
xác đ%nh như sau:
¸
f (y)g(x − y)dy.
(f ∗ g)(x)
Rn

=

Ta có the chúng minh đưoc tích ch¾p (f ∗ g)(x) ton tai hau khap nơi,
f ∗ g ∈ L1(Rn), và ||f ∗
≤ ||f ||L ||g||L . Đieu này làm cho L1(Rn) tró
g||L
1

1

1

thành m®t đai so Banach, nhưngn không có phan ntú đơn v%. Ta có the đ%nh
nghĩa tích ch¾p cna f ∈ L1(R ) và g ∈ Lp(R ), 1 ≤ p < ∞. Tiep theo
chúng ta đe c¾p tói tích ch¾p cna u ∈ Dr(Rn) và ρ ∈ D(Rn).
Đ%nh lý 1.6. Neu u ∈ Dr(Rn) và ρ ∈ D(Rn), thì
(ρ ∗ u)(x) = (u(y), ρ(x − y)) , x ∈ Rn,
và hàm này là m®t phan tú cúa C∞(Rn).


Trong lý thuyet hàm suy r®ng tích ch¾p cna hai hàm suy r®ng là m®t
công cu manh và đưoc đ%nh nghĩa như sau
Đ%nh nghĩa 1.6. Neu u, v ∈ Dr(Rn), ta goi tích ch¾p cúa u và v, ký

hi¾u là u ∗ v là phiem hàm tuyen tính sau
(u ∗ v, φ) = (u(y), (v(x), φ(x + y))) ,
trong đó φ ∈ D(Rn), moi khi (u, ψ) vói ψ(y) = (v(x), φ(x + y)) .
Dna vào đ%nh nghĩa trên thì phiem hàm tuyen tính u ∗ v ∈ Dr(Rn). Hơn
nua, neu m®t trong hai hàm u ho¾c v có giá compact thì theo đ%nh nghĩa
trên ta có u ∗ v = v ∗ u.
Chú ý 1.5.1.
a) u ∗ δ = δ ∗ u = u,

∀u ∈ Dr(Rn).

Th¾t v¾y, vì δ là hàm có giá compact và
(u ∗ δ, φ) = (u(y), (δ(x), φ(x + y))) = (u(y), φ(y)) = (u, φ) .
Hay u ∗ δ = u, tương tn ta cũng có δ ∗ u = u.
b) Đ%nh nghĩa tích ch¾p ó trên van đúng trong trưòng hop f, g ∈
L1(Rn).
Th¾t v¾y, vói moi φ ∈ D(Rn), ta đ¾t
¸
h(y)
g(x)φ(y + x)dx,
n
=
R
thì h ∈ L1(Rn). Hơn nua,
¸
|g(x)φ(y + x)|dx
|h(y)|
=
≤
Rn

¸
Rn

|g(t − y)φ(t)|dt
¸

≤ sup |φ(t)|
t∈suppφ

= c||g||L1 ,

|g(t − y)|dt
Rn

n

∀y ∈ R .
¸
Tù đó
f (y)h(y)dy,
(f (y), (g(x), φ(y + x))) = (f (y), h(y)) = (u,
n
R
φ) =


và |f (y)h(y)| ≤ c||g||L1 |f (y)|, ta có sn ton tai cna (f (y), (g(x), φ(y +
x))), nên f ∗ g ton tai. Ta cũng có
¸

R n× R
f (y)g(x)φ(y +
(f ∗ g, φ) =
n
x)dxdy
¸ ¸
=
(
f (y)g(t − y)dy)φ(t)dt
n
n
R
R
.¸
.
=
f (y)g(t − y)dy, φ(t) .
V¾y (f ∗ g)(t) =

1.6.

¸

Rn

Rn f

(y)g(t − y)dy.

Bien đoi Fourier

Đ%nh nghĩa 1.7. Neu f ∈ L1 (Rn ), bien đoi Fourier fˆ (ho¾c f ∧ ho¾c
«f) cúa f đưoc xác đ%nh bói
f (x)e−ix.ξdx, ∈ Rn,
Rn ξ
.n
n
trong đó x.ξ là tích vô hưóng trên R và x.ξ
x jξ j.
j=1
=
fˆ(ξ) =

¸

Bien đoi Fourier cna hàm f cũng có the đưoc đ%nh nghĩa m®t cách tương
đương
−ix.ξ
dx, ∈ Rn.
fˆ(ξ) = (2π)−2 n ¸ f (x)e
Rn ξ
Ta se mó r®ng khái ni¾m hàm suy r®ng, ho¾c thay vào đó là m®t không
gian con đ¾c bi¾t cna Dr(Rn) mà ta goi là không gian các hàm suy r®ng
tăng ch¾m.
Đ%nh nghĩa 1.8. Ta ký hi¾u S(Rn) là các hàm f ∈ C∞(Rn) sao cho
pα,β = sup |xβ Dαf (x)| < ∞,
x∈Rn

vói moi đa chs so α, β. Goi là không gian các hàm giám nhanh.

2

Ta có the chúng minh đưoc khi f ∈ D(Rn), thì f ∈ S(Rn); ho¾c e−|x|
cũng thu®c S(Rn).
Ho {pα,β : α, β là các đa chí so } là ho núa chuan tách đưoc xác đ%nh
trên S(Rn) và nó mô tá m®t tôpô loi đ%a phương. Hơn nua, tôpô này là khá
mêtric và S(Rn) là không gian đn. Vì v¾y, S(Rn) là không gian Fréchet.
Và ta có:
φj −→ 0 trong S(Rn ) ⇐⇒ ∀α, β, pα,β −→ 0.
Ta cũng thay rang phép nhúng D(Rn ) ‹→ S(Rn ) là liên tuc và D(Rn )
là trù m¾t trong S(Rn) vói tôpô trên S(Rn) nói ó trên. M®t ket quá
quan trong trong S(Rn) là
Bo đe 1.6.1. Bien đoi Fourier « : S(Rn ) −→ S(Rn ), vói
n¸
e−ix.ξφ(x)dx
«φ(ξ) = (2π)
−

Rn

2

là m®t ánh xa liên tnc.
Sau đây chúng ta se đ%nh nghĩa hàm suy r®ng tăng ch¾m
Đ%nh nghĩa 1.9. Cho u ∈ Dr(Rn), neu u liên tnc trên S(Rn) thì ta nói
u là m®t hàm suy r®ng tăng ch¾m.T¾p hop các hàm suy r®ng tăng ch¾m
ký hi¾u là Sr(Rn). M®t dãy (uj )1
trong Sr(Rn) goi là h®i tn tói hàm
j

≤ ≤∞

u ∈ Sr(Rn) neu (uj, φ) → (u, φ) vói moi φ ∈ S(Rn) khi j → ∞.
Ta có nh¾n xét rang, L1(Rn) ⊂ Sr(Rn), và các hàm suy r®ng có giá
compact trong Dr(Rn) là hàm suy r®ng tăng ch¾m. Chang han, vói hàm
Dirac δ thì δ ∈ Sr(Rn). Th¾t v¾y, Neu u ∈ Dr(Rn) và có giá suppu là
t¾p compact K ⊂ Rn, ta co đ%nh ψ ∈ D(Rn) sao cho ψ = 1 trên m®t
so t¾p
compact chúa K. Ta đ%nh nghĩa
(u˜, f) = (u, ψf) , f ∈ S(Rn ).
Neu fj → 0 trong S(Rn) khi j → ∞, thì Dαfj h®i tu đeu tói 0 trên
Rn khi j → ∞. Do đó, Dα(ψfj ) h®i tu đeu tói 0 trên Rn khi j → ∞.
Đieu cuoi cùng này chúng tó u˜ là m®t phiem hàm tuyen tính liên tuc
trên


S(Rn ). Tù đó (u˜, φ) = (u, φ) , φ ∈ S(Rn ) và u˜ là m®t mó r®ng cna u.
V¾y


δ ∈ S r (Rn ).
Bây giò chúng ta se đ%nh nghĩa bien đoi Fourier cna các hàm suy r®ng
tăng ch¾m.
Đ%nh nghĩa 1.10. Bien đoi Fourier cúa hàm u ∈ Sr(Rn) là hàm suy r®ng
uˆ ∈ S r (Rn ) đưoc xác đ%nh bói (uˆ, φ) = .u, φˆ. , φ ∈ S(Rn ).
Tù bo đe 1.6.1 ta có, neu φj → 0 khi j → 0 trong S r (Rn ), thì φˆj →
0 khi j → 0 trong S(Rn) và nó thóa mãn nhung tính chat nói ó trên.
Neu f ∈ L1(Rn), thì f cũng là m®t phan tú cna Sr(Rn), ký hi¾u là uf .
V¾y

câu hói đ¾t
¸ ra là: có hai sn đ%nh nghĩa cna bien đoi Fourier cna hàm f là
ˆ
f (ξ) =
f (x)e−ix.ξ , ξ ∈ Rn và , thì chúng có đong nhat hay không?.
R
n

uˆf
Câu trá lòi là khang đ%nh, và chúng ta xem hàm suy r®ng uˆf là tương
úng vói hàm fˆ. Ta có the chí ra đieu này như sau:
(uˆf , φ) = .uf , φˆ.

f

¸

φˆdx =

=

¸

fˆφdx = .fˆ, φ. , φ ∈ S(Rn ).
Rn

Rn

V¾y uˆf ≡ fˆ.

Ví dn 1.4. Hàm δ ∈ Sr(Rn).
Th¾t v¾y,
.δˆ,

=

φ. = .δ, φˆ. = φ(ˆ0)

e−ix.0φ(x)dx

¸

¸

¸
=
=
Tù đó, ta có δˆ =
1.

Rn

φ(x)dx = (1, φ) .

φ(x)dx
Rn
Rn

Ví dn 1.5. Tù ví dn trên, ta thay rang 1 ∈ S r (Rn ). Hãy tính ˆ1.
Ta có