Tìm hiểu về bài toán tìm phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II
KHOA TOÁN
***** & *****

NGUYỄN THỊ THÚY

TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TÌM PHÂN PHỐI
CỦA HÀM CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP
Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Người hướng dẫn khoa học
Th.s.Nguyễn Trung Dũng

HÀ NỘI, 5/2014


Lời cảm ơn
Để hoàn thành khóa luân này, trước hết em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc đến các thầy, cô giáo trong khoa toán nói chung và thầy cô
giáo trong tổ toán ứng dụng nói riêng đã tạo điều kiện cho em trong
suốt thời gian làm khóa luận.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới thầy
Nguyễn Trung Dũng - người đã giúp em tận tình trong quá trình
chuẩn bị và hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Thúy

i

Lời cam đoan
Khóa luận của em được hoàn thành sau một thời gian miệt mài
nghiên cứu cùng với sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn
Trung Dũng.
Trong quá trình làm khóa luận em có tham khảo một số tài liệu
như đã nêu ở mục tài liệu tham khảo. Em xin cam đoan khóa luận
này là kết quả nghiên cứu khoa học của riêng em và nó không trùng
với kết quả của bất kì tác giả nào khác.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2014
Sinh viên
Nguyễn Thị Thúy

ii


Mục lục
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1 MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP
1.1.1 Một số định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Phân phối xác suất của một số biến ngẫu nhiên
thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 HÀM SINH MÔMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa hàm sinh mômen . . . . . . . . . .
1.2.2 Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên
thường gặp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM

CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1 PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT . . . . .
2.1.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Phân phối xác suất của Max và Min . . . . . .
2.1.3 Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên
2.1.4 Phân phối của tích và thương . . . . . . . . . .
2.2 PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH MÔMEN . . . . . . .
2.2.1 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Phân phối của tổng các biến ngẫu nhiên độc lập
2.3 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác
suất rời rạc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Trường hợp biến ngẫu nhiên có phân phối xác
suất liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH CỦA VECTƠ NGẪU
NHIÊN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

1
1
1
1
3
3
4

9
9
9

10
13
16
19
19
21
23
23
25
32


Khóa luận tốt nghiệp

Kết luận

Nguyễn Thị Thúy

37

iv

K36B CNSP Toán


Lời nói đầu
Ngày nay "Lý thuyết xác suất" đã không còn là một lĩnh vực
toán học mới mẻ mà nó đã trở thành một ngành Toán học lớn trong
nền toán học thế giới. Người ta biết đến lý thuyết xác suất không chỉ
vì nó là một ngành toán học chặt chẽ về lý thuyết mà nó còn có ứng

dụng rộng rãi trong nhiều ngành khoa học kĩ thuật, khoa học xã hội
và nhân văn. Đặc biệt nó gắn liền với khoa học thống kê, môt khoa
học về các phương pháp thu nhập, tổ chức và phân tích các dữ liệu,
thông tin định lượng.
Với đề tài "TÌM HIỂU VỀ BÀI TOÁN TÌM PHÂN PHỐI CỦA HÀM
CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN" khóa luận trình bày một số phương pháp
tìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên. Khóa luận gồm
2 chương:
Chương 1. Một số kiến thức cơ sở
Trong chương này, trình bày một số biến ngẫu nhiên thường gặp và
hàm sinh mômen của nó.
Chương 2. Các phương pháp tìm phân phối của hàm các biến ngẫu
nhiên
Trong chương này, trình bày một số phương pháp để tìm phân phối
xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên.
Với khóa luận này, em mong rằng nó sẽ là một tài liệu bổ ích cho
những ai quan tâm về phân phối của hàm các biến ngẫu nhiên.

v


Chương 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ
1.1
1.1.1

MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƯỜNG GẶP
Một số định nghĩa

Định nghĩa 1.1 Hàm số FX (x) = P {ω ∈ Ω : X (ω) < x} , x ∈ R,

được gọi là hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X .
Định nghĩa 1.2 Cho vectơ ngẫu nhiên X = (X1 , X2 ). Hàm số
FX1 ,X2 (x1 , x2 ) xác định bởi FX1 ,X2 (x1 , x2 ) = P [X1 < x1 , X2 < x2 ] ,
∀(x1 , x2 ) ∈ R2 được gọi là hàm phân phối xác suất đồng thời của
vectơ ngẫu nhiên X .
Từ phân phối xác suất đồng thời của X1 , X2 , ta có thể tìm phân phối
của X1 hoặc X2 . Khi đó phân phối của X1 và X2 được gọi là phân
phối biên duyên.

1.1.2

Phân phối xác suất của một số biến ngẫu nhiên
thường gặp

a. Phân phối nhị thức

Định nghĩa 1.3 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị
thức với tham số (n, p), n ∈ N∗ , 0 < p < 1, nếu

P (X = k) = Cnk .pk .(1 − p)n−k , k = 0, n.
Kí hiệu X ∼ B(n, p).
Đặc biệt, nếu n=1 thì ta nói X có phân phối Becnuli.

1


Khóa luận tốt nghiệp

b. Phân phối Poisson

Định nghĩa 1.4 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Poisson
với tham số λ(λ > 0), nếu

P (X = k) =

e−λ λk
, k=0, 1, 2, ...
k!

Kí hiệu X ∼ P oi(λ).
c. Phân phối chuẩn (phân phối Gauss)

Định nghĩa 1.5 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối chuẩn
với tham số (µ, σ 2 ) với −∞ < µ < +∞, σ 2 > 0 nếu hàm mật độ có
dạng

(x − µ)2
fX (x)= √
· exp −
2σ 2
2πσ 2
1

, −∞ < x < +∞.

Kí hiệu X ∼ N (µ, σ 2 ).
Trường hợp đặc biệt, nếu µ = 0, σ 2 = 1 thì X được gọi là có phân
phối chuẩn tắc, kí hiệu X ∼ N (0, 1).
Chú ý Nếu X ∼ N (0, 1) thì
x

1 −x2
fX (x) = √ e 2
2π

và Φ(x) =

FX (x) =
−∞

1 −t2
√ e 2 dt.
2π

d. Phân phối mũ

Định nghĩa 1.6 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối mũ với
tham số λ(λ > 0) nếu hàm mật độ xác suất có dạng

fX (x) =

λe−λx , x > 0
0
, x ≤ 0.

Kí hiệu là X ∼ Exp(λ).

Nguyễn Thị Thúy

2

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

e. Phân phối đều

Định nghĩa 1.7 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối đều
trên đoạn [a, b] nếu hàm mật độ xác suất có dạng

 1
, x ∈ [a, b]
fX (x) = b − a
0
,x ∈
/ [a, b] .
Kí hiệu là X ∼ U (a, b).
f. Phân phối Gamma

Định nghĩa 1.8 Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối Gamma
với các tham số r > 0, λ > 0 nếu hàm mật độ xác suất có dạng

λ

 r xλ−1 e−rx , x > 0
fX (x) = Γ(λ)

0
, x ≤ 0.

Kí hiệu là X ∼ G(r, λ).

1.2
1.2.1

HÀM SINH MÔMEN
Định nghĩa hàm sinh mômen

Định nghĩa 1.9 Cho biến ngẫu nhiên X . Hàm sinh mômen của X
kí hiệu là mX (t) được xác định bởi mX (t) = E(etX ) nếu tồn tại h > 0
sao cho mX (t) tồn tại với mọi |t| < h.
Nhận xét: Thuật ngữ hàm sinh mômen xuất phát từ các mômen cấp
r của X , có thể được tính từ mX (t).
Thật vậy, sử dụng khai triển Taylor cho hàm ex ta có
∞
tX

mX (t) = E(e ) = E
i=0
∞

=
i=0

Nguyễn Thị Thúy

(tX)i
i!

i

t
t2 E(X 2 )
i
E(X ) = 1 + tE(X) +
+ ...
i!
2!

3

(1.1)

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Với t=0 ta có mX (0) = 1.
Từ điều kiện tồn tại của mX (t) ta đạo hàm 2 vế của (1.1) đối với t
ta được
t2 E(X 3 )
2
mX (t) = E(X) + tE(X ) +
+ ...
(1.2)
2!
Cho t = 0 ta được mX (0) = E(X).
Đạo hàm 2 vế của (1.2) đối với t ta được
mX (t) = E(X 2 ) + tE(X 3 ) + ...

Cho t = 0 ta được mX (0) = E(X 2 ).
Tiếp tục quá trình này ta được
(r)
mX (0) = E(X r ).
Định lý 1.1 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm sinh mômen là mX (t).Khi
đó biến ngẫu nhiên Y = aX + b với a, b là hằng số thực có hàm sinh
mômen là
mY (t) = etb mX (at).
Chứng minh.
Ta có mY (t) = E(etY ) = E(et(aX+b) ) = etb E(eatX ) = etb mX (at).
Định lý 1.2 Cho X1 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập với
các hàm sinh mômen tương ứng là mXi (t), i = 1, 2, ..., n. Đặt
n

Z =

ai Xi với các a1 , ..., an là các hằng số thực. Khi đó
i=1
n

mZ (t) =

mXi (ai t).
i=1

Chứng minh.
n

tZ

t

Ta có mZ (t) = E(e ) = E(e

ai Xi
i=1

n

n
tai Xi

)=

Ee
i=1

1.2.2

=

mXi (ai t).
i=1

Hàm sinh mômen của một số biến ngẫu nhiên thường
gặp

a. Biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối nhị thức B(n, p) thì

n

mX (t) = pet + q , q = 1 − p.
Nguyễn Thị Thúy

4

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Becnuli B(1, p) thì

mX (t) = pet + q , q = 1 − p.
Thật vậy, ta có
n

etk Cnk pk q n−k

tX

mX (t) = E(e ) =
k=0

n

k

n

Cnk (et p) q n−k = (pet + q) , q = 1 − p.

=
k=0

b. Biến ngẫu nhiên có phân phối Poison

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Poisson P oi(λ) thì
t

mX (t) = eλ(e −1) .
Thật vậy, ta có
∞
tX

mX (t) = E(e ) =
k=0
t k

∞

= e−λ
=e

e

tk λ

k=0

λ(et −1)

k −λ

e
k!

(λe )
t
= e−λ eλe
k!

.

c. Biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N (0, 1) thì
t2
2

mX (t) = e .
+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn N (µ, σ 2 ) thì
2 2

tµ+ σ 2t

mX (t) = e

Nguyễn Thị Thúy

5

.

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Thật vậy,
+ Nếu X tuân theo phân phối chuẩn tắc N (0, 1) thì
+∞
−x2
1
√ etx e 2 dx
2π

mX (t) = E(etX ) =
−∞
+∞

=
−∞

+∞
t2 −x2 −t2
1
√ etx e 2 e 2 e 2 dx =
2π

1 −1
2 t2
√ e 2 (t−x) e 2 dx
2π

−∞

+∞
t2

= e2

−∞

t2
1 −1
2
√ e 2 (t−x) dx = e 2 .
2π

+ X tuân theo phân phối chuẩn N (µ, σ 2 ) thì
+∞
tX

√

mX (t) = E(e ) =
−∞
+∞

√

=
−∞
+∞

√

=
−∞

1

(x−µ)
tx − 2σ2

2πσ 2
1

e e

tx

2πσ 2
1

2

e e

−σ 2 t2
2

e

dx
−x2
2σ 2

e

σ 2 t2
2

2

− 2σ12 [x−(σ 2 t+µ)]

2πσ 2

e

xµ
σ2

e e

−µ2
2σ 2

dx

2 2

e

tµ+ σ 2t

dx

+∞
2 2
tµ+ σ 2t

√

=e

2 2

tµ+ σ 2t

=e

−∞

1
2πσ 2

2

− 2σ12 [x−(σ 2 t+µ)]

e

dx

.

d. Biến ngẫu nhiên có phân phối mũ

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối mũ Exp(λ) thì

mX (t) =

Nguyễn Thị Thúy

6

λ
.
λ−t

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Thật vậy, ta có
+∞

etx λe−λx dx

mX (t) = E(etX ) =

0
+∞

+∞

λ
λe−(λ−t)x dx =
λ−t

=

e−(λ−t)x d(λ − t)x
0

0

λ
=
.
λ−t
e. Biến ngẫu nhiên có phân phối đều

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối đều thì

et

eb − ea .
mX (t) =
t(b − a)
Thật vậy, ta có
b
tX

1
et
e
dx =
(eb − ea ).
b−a
t(b − a)
tx

mX (t) = E(e ) =
a

f. Biến ngẫu nhiên có phân phối Gamma

Nếu biến ngẫu nhiên X tuân theo phân phối Gamma G(r, λ) thì

r
r−t

mX (t) =

λ

.

Thật vậy, ta có
+∞

rλ λ−1 −rx
x e dx
e
Γ(λ)
tx

tX

mX (t) = E(e ) =
0
+∞

e−(r−t)x

=

rλ λ−1
x dx,
Γ(λ)

0

trong đó
+∞

xλ−1 e−x dx = (−1)λ (λ − 1)(λ − 2)...1.

Γ(λ) =
0

Nguyễn Thị Thúy

7

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Bằng cách tính tích phân từng phần λ lần ta thu được
λ
r
mX (t) =
.
r−t

Nguyễn Thị Thúy

8

K36B CNSP Toán


Chương 2
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM

PHÂN PHỐI CỦA HÀM CÁC
BIẾN NGẪU NHIÊN
2.1
2.1.1

PHƯƠNG PHÁP PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
Mô tả phương pháp

Cho X1 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên và g1 (·, . . . , ·), g2 (·, . . . , ·), . . . ,
gk (·, . . . , ·) là các hàm đo được trên Rn . Khi đó hàm phân phối xác
suất đồng thời của các biến ngẫu nhiên Y1 ,...,Yk được xác định bởi

FY1 ,...,Yk (y1 ,y2 ,...,yk ) = P [Y1 = P [g1 (X1 ,...,Xn ) trong đó Yj = gj (X1 ,...,Xn ) , j = 1, 2,...,k.
Phương pháp này được gọi là phương pháp dựa trên phân phối xác
suất.
Đặc biệt, nếu k = 1 thì FY (y) = P [Y < y] = P [g(X1 , ..., Xn ) < y].
Ví dụ 2.1. Cho biến ngẫu nhiên X ∼ N (0, 1).Tìm phân phối xác
suất của biến ngẫu nhiên Y = g(X) = X 2 .
Giải Theo định nghĩa ta có

FY (y) = P [Y < y] = P X 2 < y
√
√
= P [− y < X < y]
√
√
= FX ( y) − FX (− y), y > 0.

9


Khóa luận tốt nghiệp

d
1
√
√ d √
√
FX ( y) = fX ( y) ( y) = √ fX ( y)
dy
dy
2 y
y
1
= √ √ e− 2 .
2 y 2π
1
d
√ d √
√
√
FX (− y) = fX (− y) (− y) = − √ fX ( y)
dy
dy
2 y
y
1
= − √ √ e− 2 .

2 y 2π
y
1
d
(FY (y)) = √ √ e− 2
Suy ra fY (y) =
dy
y 2π
1
1
1
√ e− 2 y
=
với y > 0.
1
2y
Γ
2







1
1
1
√ e− 2 y
1

2y
Vậy fY (y) = Γ
2




0

,y > 0
, y ≤ 0.

Sau đây là một số ứng dụng của phương pháp này.

2.1.2

Phân phối xác suất của Max và Min

Giả sử X1 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên xác định trên cùng không
gian xác suất (Ω, A, P ). Ta kí hiệu
Y1 = M in[X1 , . . . , Xn ], Yn = M ax[X1 , ..., Xn ]. Khi đó Y1 , Yn cũng là
các biến ngẫu nhiên.
Ta có hàm phân phối xác suất của Y1 , Yn có dạng

FY1 (y) = P [Y1 < y] = 1−P [Y1 ≥ y] = 1−P [X1 ≥ y, . . . , Xn ≥ y] ,
và FY n (y) = P [Yn < y] = P [X1 < y, . . . , Xn < y] .

Nguyễn Thị Thúy

10

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Định lý 2.1 Nếu X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có các
hàm phân phối xác suất tương ứng là FXi (·), Yn = M ax[X1 , . . . , Xn ]
thì
n

FYn =

FXi (y).
i=1

Nếu X1 , . . . , Xn có cùng hàm phân phối xác suất là FX (·) thì

FYn (y) = [FX (y)]n .
Chứng minh.

FYn (y) = P [Yn < y] = P [X1 < y,...,Xn < y] (do X1 , ..., Xn độc lập)
n

n

P [Xi < y] =

=
i=1

FXi (y).
i=1

Nếu X1 , . . . , Xn có cùng hàm phân phối xác suất là FX (.) thì
n

FX (y) = [FX (y)]n .

FYn (y) =
i=1

Hệ quả 2.1 Nếu X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập
có cùng hàm mật độ xác suất là fX (·) và hàm phân phối xác suất là
FX (·) thì
fYn (y) = n[FX (y)]n−1 fX (y) .
Chứng minh.

fYn (y) =

d
d
[FYn (y)] = n[FX (y)]n−1 [FX (y)]
dy
dy

= n[FX (y)]n−1 fX (y).
Định lý 2.2
Nếu X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lâp và có hàm phân
phối xác suất tương ứng là FXi (·), Y1 = M in[X1 , . . . , Xn ] thì

n

FY1 (y) = 1 −

[1 − FXi (y)].
i=1

Nguyễn Thị Thúy

11

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Nếu X1 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân
phối xác suất là FX (.) thì
FY1 (y) = 1 − [1 − FX (y)]n .
Chứng minh.
Nếu X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lâp và có hàm phân phối
xác suất tương ứng là FXi (·), Y1 = M in[X1 , . . . , Xn ] thì

FY1 (y) = P [Y1 < y] = 1 − P [Y1 ≥ y] = 1 − P [X1 ≥ y, ..., Xn ≥ y].
n

=1−

P [Xi ≥ y]

(do X1 , ..., Xn độc lập)

i=1
n

=1−

[1 − FXi (y)].
i=1

Nếu X1 , ..., Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng hàm phân
phối xác suất là FX (.) thì
n

[1 − FX (y)] = 1 − [1 − FX (y)]n .

FY1 (y) = 1 −
i=1

Hệ quả 2.2 Nếu X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên liên tục, độc lâp
và có cùng hàm mật độ xác suất là fX (·) và hàm phân phối xác suất
là FX (·) thì
fY1 (y) = n[1 − FX (y)]n−1 fX (y).
Ví dụ 2.2. Giả sử tuổi thọ của một bóng đèn thắp sáng là một biến
ngẫu nhiên có phân phối mũ với trung bình là 100 giờ. Thắp sáng
đồng thời 10 bóng. Tìm phân phối xác suất của bóng đèn tắt đầu tiên
và tính kì vọng của nó.
Giải
Giả sử Xi là tuổi thọ của bóng đèn thứ i, i = 1; n thì
Y1 =M in [X1 , . . . , Xn ] là bóng đèn có tuổi thọ ngắn nhất (hay là bóng

đèn tắt đầu tiên).
Giả sử X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập, và
1
1
Xi ∼ Exp(λi ) với λi =
=
.
EX i
100

Nguyễn Thị Thúy

12

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Theo Hệ quả 2.2 thì

10−1 1
−1
−1
10 e 100
y
e 100 y
fY1 (y) =
100
0


 1 e −1
10 y
,y > 0
= 10
0
, y ≤ 0.

,y ≤ 0

1
1
, do đó EY1 = = 10.
10
λ

Vậy Y1 ∼ Exp(λ), λ =

2.1.3

,y > 0

Phân phối của tổng và hiệu hai biến ngẫu nhiên

Định lý 2.3 Giả sử X và Y là 2 biến ngẫu nhiên liên tục có hàm
mật độ xác suất đồng thời fX,Y (x, y). Đặt Z = X + Y và V = X − Y
thì
+∞

+∞

fX,Y (x, z − x)dx =

fZ (z) =
−∞

+∞

fX,Y (x, x − v)dx =

fV (v) =

(1)

−∞

+∞

và

fX,Y (z − y, y)dy,

−∞

fX,Y (v + y, y)dy.

(2)

−∞

Chứng minh.
Ta có

FZ (z) = P [Z < z] = P [X + Y < z] 
+∞ z−x
=

fX,Y (x, y)dxdy

=


−∞

x+y≤z



fX,Y (x, y)dy  dx.

−∞

Bằng cách thay y = u − x vào biểu thức ở trên ta được
 z

+∞

FZ (z) =



−∞

fX,Y (x, u − x)du dx. Do đó

−∞
+∞

d
fZ (z) =
[FZ (z)] =
dz

fX,Y (x, z − x)dx.
−∞

Nguyễn Thị Thúy

13

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Tương tự, bằng cách thay x = u − y ta cũng có
 z

+∞

FZ (z)

=

fX,Y (u − y, y)du dy,


−∞

−∞
+∞

và

d
[FZ (z)] =
fZ (z) =
dz

fX,Y (z − y, y)dy.
−∞

Vậy ta có (1).
Mặt khác,

FV (v) = P [V < v] = P [X − Y < v] 
+∞ x−v
fX,Y (x, y)dxdy

=

=


−∞

x−y≤v

Thay y = x − u vào biểu thức trên ta được
 v
+∞

FV (v) =

fX,Y (x, y)dy  dx.

−∞



fX,Y (x, x − u)du dx.


−∞



−∞
+∞

Do đó

d
fV (v) =
[FV (v)] =
dv

fX,Y (x, x − v)dx.
−∞

Tương tự, thay x = u + y ta được
+∞



FV (v) =

v


−∞



fX,Y (u + y, y)du dx

−∞
+∞

và

d
fV (v) =
[FV (v)] =
dv

fX,Y (v + y, y)dy.
−∞

Vậy ta có (2).

Nguyễn Thị Thúy

14

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Hệ quả 2.3 Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên liên tục, độc lập và
Z = X + Y thì
+∞

+∞

fY (z − x)fX (x)dx =

fZ (z) = fX+Y (z) =
−∞

fX (z − y)fY (y)dy.
−∞

(3)
Chứng minh.

FZ (z) = P [Z < z] = P [X + Y < z]
+∞

+∞

P [X + Y < z|X = x]fX (x)dx =

=
−∞

P [x + Y < z]fX (x)dx
−∞

+∞

FY (z − x)fX (x)dx. Do đó

=
−∞

 +∞

fZ (z) =

d
d 
FZ (z) =
dz
dz



FY (z − x)fX (x)dx

−∞
+∞

+∞

d
[FY (z − x)]fX (x)dx =
dz

=
−∞

fY (z − x)fX (x)dx.
−∞

Chứng minh tương tự, ta cũng có
+∞

fX (z − y)fY (y)dy.

fZ (z) =
−∞

Vậy ta có (3).
Chú ý: Công thức được cho trong phương trình (3) thường được gọi
là công thức chập. Trong giải tích toán, hàm fZ (.) được gọi là tích
chập của các hàm fX (.) và fY (.).
Ví dụ 2.3. Giả sử X và Y là 2 biến ngẫu nhiên độc lập và có các
hàm mật độ xác suất fX (x) = fY (y) = I(0,1) (x). Chứng minh rằng
0 ≤ Z = X + Y ≤ 2.
Nguyễn Thị Thúy

15

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

Giải. Ta có
+∞

fY (z − x)fX (x)dx

fZ (z) = fX+Y (z) =
−∞
+∞

I(0,1) (z − x)I(0,1) (x)dx

=
−∞

+∞

=

I(0,z) (x)I(0,1) (z) + I(z−1,1) (x)I[1,2) (z) dx
−∞
z

= I(0,1) (z)

1

dx + I[1,2) (z)
0

dx

z−1

= zI(0,1) (z) + (2 − z)I[1,2) (z).
Vậy 0 ≤ Z = X + Y ≤ 2.

2.1.4

Phân phối của tích và thương

Định lý 2.4 Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên liên tục có hàm

X
mật độ xác suất fX,Y (x, y). Giả sử Z = XY và U =
thì
Y
+∞

+∞

1
z
fX,Y x,
dx =
|x|
x

fZ (z) =
−∞

1
fX,Y
|y|

z
, y dy,
y

(4)

−∞

+∞

và

|y| fX,Y (uy, y)dy.

fU (u) =

(5)

−∞

Chứng minh. Ta có

FZ (z) = P [Z < z] = P [XY < z]
=

fX,Y (x, y)dxdy
xy≤z 
−∞
0

=

Nguyễn Thị Thúy



+∞


fX,Y (x, y)dy dx +



−∞



z
x



0

16

z
x



fX,Y (x, y)dy dx.

−∞

K36B CNSP Toán

Khóa luận tốt nghiệp

Bằng cách thay u = xy ta có
 −∞
0

FZ (z)

=

+∞





z



u du
 fX,Y (x, u ) du dx
fX,Y (x, ) dx +
x x
x x
 z0
 0 −∞


z

+∞
1
u
 − 1 fX,Y (x, u )dxdu +

fX,Y (x, )dxdu
x
x
x
x
−∞
0
−∞

+∞
1
u

fX,Y (x, )dxdu.
|x|
x


−∞
z

=
−∞
z

=
−∞

−∞

Do đó,
+∞

fZ (z)

d
=
[FZ (z)] =
dz

1
z
fX,Y (x, )dx.
|x|
x
−∞
+∞

1
z
fX,Y ( , y)dy.
|y|
y

Chứng minh tương tự, ta cũng có fZ (z) =

−∞

Vậy ta có (4).
Mặt khác FU (u) = P [U < u] = P

=

X
Y

fX,Y (x, y)dxdy
x
y ≤u

0

=



+∞



fX,Y (x, y)dxdy +


−∞

Thay z =

 −∞
uy

uy


0



fX,Y (x, y)dxdy.

−∞

x
ta được
y

Nguyễn Thị Thúy

17

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp

0

FU (u) =

 −∞

−∞
u

=

 u0

=

yfX,Y (zy, y)dy dz


−∞



0



|y|f X,Y (zy, y)dy dz.


−∞

−∞
u
+∞

0



−∞
+∞



fX,Y (zy, y)ydz dy



(−y)f X,Y (zy, y)dy dz +


−∞
u



fX,Y (zy, y)ydz dy +



u

+∞



−∞
+∞

d
Suy ra fU (u) =
[FU (u)] =
du

|y|f X,Y (zy, y)dy.
−∞

Ví dụ 2.4. Giả sử X và Y là các biến ngẫu nhiên độc lập có phân
X
phối đều trên khoảng (0, 1).Giả sử U =
và Z = XY . Tìm
Y
fU (u), fZ (z), EU.
Giải

Ta có
+∞

+∞

|y| f X,Y (uy, y)dy =

fU (u) =

−∞
+∞

|y| I(0,1) (uy)I(0,1) (y)dy
−∞

|y| I(0,1) (u)I(0,1) (y) + I[1,+∞) I(0, 1 ) (y) dy

=

u

−∞
1
u

1

= I(0,1) (u)

ydy + I[1,+∞) (u)
0

ydy
0

1

1
= I(0,1) (u) + 2 I[1,+∞) (u).
2
2u
+∞

+∞

z
1
fX,Y x,
dx =
|x|
x

fZ (z) =
−∞

1
z
I(0,1) (x)I(0,1)
dx
|x|
x
−∞

1

= I(0,1) (z)

1

z

0

Nguyễn Thị Thúy

dx
= −lnzI(0,1) (z).
x

I(z,1) (x)dx =I(0,1) (z)

18

K36B CNSP Toán


Khóa luận tốt nghiệp
1

1
= EU =
2

X
Y

và E

+∞

1
udu +
2
0

2.2

du 3
= .
u2
4
1

PHƯƠNG PHÁP HÀM SINH MÔMEN

2.2.1

Mô tả phương pháp

Cho X1 ,...,Xn là các biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác suất đồng
thời fX1 ,...,Xn (x1 ,...,xn ) và các hàm gj (·,...,·), j = 1, k là các hàm đo
được trên Rn . Đặt Y1 =g1 (X1 ,...,Xn ),...,Yk =gk (X1 ,...,Xn ) thì hàm sinh
mômen của Yj ,j = 1, k (nếu tồn tại) là

mY1 ,...,Yk (t1 , . . . , tk ) = E et1 Y1 +···+tk Yk
=

t1 g1 (X1 ,...,Xn )+...+tk gk (X1 ,...,Xn )

...
R

e

n

fX1 ,...,Xn (x1 ,...,xn )

dxi . (6)
i=1

R

Phương pháp tìm hàm phân phối xác suất dựa trên khái niệm hàm
sinh mômen được gọi là phương pháp hàm sinh mômen.
Nhận xét: phương pháp hàm sinh mômen là phương pháp hiệu quả
trong việc tìm phân phối xác suất của hàm các biến ngẫu nhiên của
toán học hiện đại. Trong nhiều trường hợp, ta có thể tìm được mối
quan hệ giữa hàm phân phối cần tìm với hàm sinh mômen thu được.
Đặc biệt, với k = 1 thì hàm sinh mômen là hàm của một biến số
nên ta có thể đoán nhận được hàm phân phối tương ứng với nó là gì,
còn trong trường hợp k > 1 thì kĩ thuật này bị hạn chế vì ta chỉ có
thể đoán nhận được một vài hàm phân phối tương ứng với hàm sinh
mômen tìm được.

Ví dụ 2.5. Giả sử biến ngẫu nhiên X ∼ N (0, 1). Tìm hàm phân
phối xác suất của biến ngẫu nhiên Y = X 2 .

Giải

Ta có

Nguyễn Thị Thúy

19

K36B CNSP Toán