Chuyen de Day cac phan so viet theo qui luat

Dãy các phân số viết theo quy luật

GV Nguyễn Minh Trí

CHUN ĐỀ
VÀI DẠNG TỐN VỀ DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT
I. Dạng 1: Tính tổng các phân số
Khi giải các bài toán về phân số, ta thường gặp các bài tốn về tính tổng mà tử và mẫu
của các phân số thường được viết theo quy luật. Nếu nhận biết được quy luật của chúng, ta có
thể tính tốn một cách nhanh chóng.
Ví dụ 1: Tính tổng:

2
2
2

 ... 
3.5 5.7
97.99

Ta nhận thấy các phân số có tử khơng thay đổi và đúng bằng hiệu của hai thừa số ở
mẫu. Hơn nữa, thừa số cuối ở mẫu trước bằng thừa số đầu ở mẫu sau.
Phương pháp chung để giải dạng tốn này là ta sử dụng cơng thức tách:
n
1
1
 
a.  b  n  a b  n
Ví dụ 2: Tính tổng:
a) A 

1
1
1
1


 ... 
1.2 2.3 3.4
49.50

Ta nhận thấy 1 = 2 – 1 = 3 – 2 = 4 – 3 = … = 50 – 49
Do đó ta biến đổi tổng trên như sau:
2 1 3  2 4  3
50  49
A


 ... 
1.2
2.3
3.4
49.50
2
1
3
2
4
3
50
49







 ... 

1.2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4
49.50 49.50
1 1 1 1 1 1
1
1 1 1 49
       ...  
 

1 2 2 3 3 4
49 50 1 50 50
11 11 11
11



b) B 
1.2 2.3 3.4
199.200
Ở câu b, ta thấy tử số không phải bằng hiệu của hai thừa số ở mẫu số. Nếu ta đặt 11 làm thừa
số chung của các phân số thì lại được ngay dạng tổng của câu a.
11 11 11
11




1.2 2.3 3.4
199.200
1
1
1
 1

 11. 


 ... 

199.200 
 1.2 2.3 3.4
B

1
1 
1 1 1 1 1 1
 11.        ... 


199 200 
1 2 2 3 3 4
199 2189
1 1 
 11.  


  11.
200 200
 1 200 

Ví dụ 3: Tính tổng:
1 1 1
1
A   2  3  ...  8
3 3 3
3

Ta có:
1
1
1
1
3 A  3.  3. 2  3. 3  ...  3. 8
3
3
3
3
1 1
1
3 A  1   2  ...  7
3 3
3

1
Facebook: Giang Tử Minh

Dãy các phân số viết theo quy luật

GV Nguyễn Minh Trí

1 1 1
1
A   2  3  ...  8
3 3 3
3

Suy ra:
3A  A  1

1
1
6560
 1

8
3
6561 6561

6560
6561
3280
 A
6561
2A 

Ví dụ 4: Tính tổng:
A=

A=
Ta có A =
A=
A=
A=

= 81

Ví dụ 5: Tính A 

1
1
1
1
1
1



 .... 

2.5 3.5 3.7 4.7
9 . 19 10 . 19

A

3
2
4
3
10
9



 .... 

2.3. 5 2.3 . 5 3.4.7 3.4.7
9 .10.19 9.10 .19

A

5
7
19

 .... 
2.3. 5 3.4.7
9 .10.19

A

1
1
1


 .... 
2.3 3.4
9 .10

A

1 1 1 1
1 1
    ....  
2 3 3 4
9 10

A

2
5

Ví dụ 6: Tính tổng:
4
4
4
4
4
4





2.5 5.8 8.11 11.14 14.17 17.20

41 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
M =             
3  2 5 5 8 8 11 11 14 14 17 17 20 

M

2
Facebook: Giang Tử Minh


Dãy các phân số viết theo quy luật

M =

41 1 
  
3  2 20 

M =

3
5

Ví dụ 7: Tính A = 8400.(

1

1

5.9

+

1

9.13

+

1

+

1

+

1

)
13.17 17.21 21.25
4
4
4
4
4
4
= 2100.(
+
+

+
+
+
)
1.5 5.9
9.13 13.17 17.21 21.25
1 1
1
1
1 1
1
1
1
1
1
1
= 2100.( – + – + –
+
–
+
–
+
–
)
1 5
5 9
9 13 13 17 17
21 21 25
1
1

24
= 2100.( –
) = 2100.
= 2016
1 25
25
Ví dụ 8: Tính: 5  5  5  ...  5

1.5

+

GV Nguyễn Minh Trí

2.4 4.6 6.8
48.50
= 5 .( 2  2  2  ...  2 )
2 2.4 4.6 6.8
48.50
5 1 1 1 1 1 1
1
1
5 1 1
5 25 1
5 24 6
= .(       .....   )  .(  )  .(  )  . 
2 2 4 4 6 6 8
48 50
2 2 50
2 50 50

2 50 5

Ví dụ 9:
Cho A =

1
1
1
1
1
1
1
1
và B =


 ...... 


 ....... 
1.2 3.4 5.6
2015.2016
1008 1009 1010
2016

Tính B – A.
Ta có :
1
2

1 1
1
1
1 1
1
1 1
1

)  2(   .... 
)
= (1 +   .... 
3 4
2015 2016
2 3
2016
2 4
2016
1
1
1
1


 ....... 
=
1009 1010 1011
2016

A = 1     ...... 

Do đó : B – A =

1
1008

Ví dụ 10:
Tính tổng

10 10
10
10


 ........ 
56 140 260
1400

10 10
10
10
5
5
5
5
5 3
3
3
3 



 ....... 



 ...... 
 


 .. 

56 140 260
1400 28 70 130
700 3  4.7 7.10 10.13
25.28 
51 1  5 6
5
=    . 
3  4 28  3 28 14

Ví dụ 11: Tính:
1
1
1
1

 
10 40 88 154
1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1
20

 3 (        )  3 (  ) 
3 2 5 5 8 8 11 11 14
3 2 14
7
A  3

 Các bài toán tương tự:
3
Facebook: Giang Tử Minh


Dãy các phân số viết theo quy luật
2
2
2
2
2
2





3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 13.15
7
7
7
7
b)



 ... 
10.11 11.12 12.13
69.70
1
1
1
1
+
c)

 ... 
25.27 27.29 29.31
73.75
a)

GV Nguyễn Minh Trí

e) 6
15.18
f) 1
25.27
g) 15
90.94

2
32
32
32
+

+ 3 + ... +
197.200
8.11 11.14 14.17
II. Dạng 2: Tính tích các phân số
Ví dụ 1: Tìm tích của 98 số hạng đầu tiên của dãy:

6 + 6 + ... + 6
18.21 21.24
87.90
1
+
+ 1 + ...+ 1
27.29 29.31
73.75
+ 15 + 15 + ... + 15
146.150
98.102
94.98

+

d)

1

1
1
1
1
1

; 1 ; 1
; 1
; 1 ....
24
8
15
35
3

Ta viết lại các số hạng của dãy:

25
9
16
36
4
;
;
;
;
...
24
8
15
35
3
22
32
42
52

62
hay
;
;
;
;
...
3 .5
4 .6
5 .7
1 .3 2 .4
99 2
Số hạng thứ 98 có dạng:
98.100
Gọi A là tích của 98 số hạng trong dãy:
A=

(2.3.4.5....99).(2.3.4.5....99)
2 2 32 4 2 5 2 6 2
99 2
=
. . . . ....
(1.2.3.4....98).(3.4.5.6....100)
1.3 2.4 3.5 4.6 5.7 98.100
99 2
99
=
=
.
1 100 50

Ví dụ 2: Tính nhanh:
1  1 2 3 2011
1
 1  1  1 
A  1   . 1   . 1   ... 1 

  . . ....
 2   3   4   2012  2 3 4 2012 2012

Ở ví dụ trên, ta thấy chỉ cần tính các số ở trong ( ) thì ta nhận ra quy luật của các phân
số trong dãy.
12 22 32
992
1 2 3 99
1
.
.
...
 . . ....

1.2 2.3 3.4 99.100 2 3 4 100 100
 1  1  1
 1
 1
 1
 1

C    1  1  1  1  1  1  1
 3  6  10  15  21  28  36 

 2
 2
 2
 2
 2
 2
 2


 1
 1
 1
 1
 1
 1
 1
 2.3  3.4  4.5  5.6  6.7  7.8  8.9 
4 10 18 28 40 54 70
1.4 2.5 3.6 4.7 5.8 6.9 7.10
5

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9
2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9
12
B

 Các bài toán tương tự:
a)

22 32 42
992
.
. ...
1.3 2.4 3.5 98.100

b)

12 22 32
992
.
.
...
1.2 2.3 3.4 99.100

4
Facebook: Giang Tử Minh

Dãy các phân số viết theo quy luật
1 1 1
2 3 4

c) 1 .1 .1 ...1

1
1
.1
2014 2015

GV Nguyễn Minh Trí



1 


1 


1 
 

1 


1 



d)  1  .  1  .  1  ...  1
 .  1

7
8
9
4000
5000

III. Dạng 3: Tìm x
Ví dụ 1: CMR: Với mọi n 

thì ta ln có:

1 1
1
1
= n 1


 ... 
6 66 176
(5n  1)(5n  6) 5n  6

Biến đổi vế trái ta có:

1 5
5

5
5
1 1
1
1
= .



 ... 


 ... 
6 66 176
(5n  1)(5n  6) 5  1.6 6.11 11.16
(5n  1)(5n  6) 
= 1 .1  1  1 - 1  1 - 1  ...  1 - 1 
5  6 6 11 11 16
5n  1 5n  6 
1
1  1  5(n  1)  n  1
= .1 
= VP  đpcm
 = .
=
5  5n  6  5  5n  6  5n  6
Ví dụ 2: Tìm x  biết:
3
20
20

20
20
a)
x=


 ... 
11.13 13.15 15.17
53.55 11
3
20
20
20
20
x=



 ... 
11 11.13 13.15 15.17
53.55
3
2
2
2 
 2
x=
 10



 ... 

11
53.55 
 11.13 13.15 15.17
3
1
1
1 1 1
x=
 10    ... 
 
11
53 55 
 11 13 13
3
3 8
1 1
x=
 10   =  =1
11
 11 55  11 11
b)

1
1
1
2
2



 ... 
=
21 28 36
x( x  1) 9
2
2
 2  2  2  ... 

42 56 72
x( x  1) 9
1
1  2
1 1 1 1 1 1
 2.        ...  

x x  1 9
6 7 7 8 8 9

 2.  1  1   2
6

x  1

9

1
1 1 1
  
x  1 6 9 18

 x + 1 = 18
 x = 17
1
1
1
1
c)
x
x
x  .... 
x 1
2.3 3.4
4.5
49.50



1
1
1 
 1
 x. 


 .... 
 1
49.50 
 2.3 3.4 4.5
1
1 

1 1 1 1 1 1
 x.       ...     1
49 50 
2 3 3 4 4 5

5
Facebook: Giang Tử Minh


Dãy các phân số viết theo quy luật

GV Nguyễn Minh Trí

1 1 
 x.     1
 2 50 
24
50
 x.  1  x 
50
24

 Các bài toán tương tự:
a)

1
1
1
101


 ... 

5.8 8.11
x.  x  3 1540

1 1
1
1991
1
3 6
x.  x  1 : 2 1993
1
1 1 1
1
c)
x  1     ... 
2
2013
2 6 12
2012.2013
7 13 21 31 43 57 73 91
d) 2 x          10
6 12 20 30 42 56 72 90

b) 1    ... 

IV. Dạng 4: So sánh
Ví dụ 1: CMR:
1
1

1
1
1
a) A =
<


 ... 
4
1.2.3 2.3.4 3.4.5
18.19.20
Ta có:
1
2
2
2
2

A = .


 ... 

2  1.2.3 2.3.4 3.4.5
18.19.20 
1 1
1
1
1
1

1 
= .



 ... 


2  1.2 2.3 2.3 3.4
18.19 19.20 
189
= 1 . 1  1   1 . 189 =
2  1.2 19.20  2 380 760
189 189 1
Mà
A < 1


4
760 756 4
b) B = 36  36  36  ...  36
<3
1.3.5 3.5.7 5.7.9
25.27.29
Ta có:
4
4
4
4


B = 9. 


 ... 

25.27.29 
 1.3.5 3.5.7 5.7.9
1
1
1
1
1
1
1
1 
= 9. 





 ... 


25.27 27.29 
 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9
1
1 
260 260
= 9.  


  9.
783 87
 3 783 
Mà

260 261

3 B <3
87
87

Ví dụ 2: CMR:
a) M =

1
22

Ta có: M =



1
32



1
42

 ... 

1
n2

1

( n  ; n  2)

1
1
1
1
1
1
1
1
<


 ... 


 ... 
1.2 2.3 3.4
(n  1).n
2.2 3.3 4.4
n.n
6

Facebook: Giang Tử Minh


Dãy các phân số viết theo quy luật

 M < 1
Mà 1 

GV Nguyễn Minh Trí

1 1 1 1 1
1
1
1
     ... 
 1
2 2 3 3 4
n 1 n
n

1
1  M < 1
n

b) N = 1  1  1  ...  1  4
( n  ; n  2)
4 2 6 2 82
( 2 n) 2
1  1
1

1
1 
Ta có: N =
.
 2  2  ...  2 
2  2
2 2
3
4
n 
1
1
1
1
Mà
 2  2  ...  2 < 1 (theo câu a)
2
2
3
4
n
N<

1
2

2

1
4

.1 =

2! 2! 2!
2!
( n  ; n  3)
   ...   1
3! 4! 5!
n!
1
1
1
1
1
1 1 1
Ta có: P = 2!     ...   =2!(


 ... 
1.2.3 2.3.4 3.4.5
(n  2)(n  1)n
n! 
 3! 4! 5!
 1

1
1
1
 P < 2. 




 ... 
2
.
3
3
.
4
4
.
5
(
n

1
).
n


1 1
2
 P < 2.     1   1
n
2 n
 Các bài toán tương tự:
c) P =

2015 2016


2016 2017

a) Cho A =

và B =

2015  2016
. Hãy so sánh A và B (không dùng
2016  2017

máy tính).
b) Chứng tỏ rằng : A 

1 1 1
1
1
 2  2  ..... 

2
3 4 5
100 2

c) Khơng dùng máy tính, hãy so sánh hai phân số sau:
d) Cho S =

+

+

+

31
và
61

311
.
611

+

Chứng minh rằng : 1 < S < 2
V. Dạng 5: Chứng minh
1 1 1
2 3 4

Ví dụ 1: Cho A  1     ... 

1
100

Hãy chứng minh rằng tổng A không là một số tự nhiên.
Ta nhận thấy:
Để quy đồng các phân số trong tổng A, ta chọn mẫu chung là tích của 26 với các thừa
số lẻ nhỏ hơn 100. Gọi k1 , k2 ,..., k100 là các thừa số phụ tương ứng. Khi đó, tổng A có dạng:
B

k1  k2  ...  k100
26.3.5.7.9....99

7
Facebook: Giang Tử Minh


Dãy các phân số viết theo quy luật

Trong 100 phân số của tổng A, chỉ có duy nhất phân số

GV Nguyễn Minh Trí
1
có mẫu chứa 26 nên trong
64

các thừa số phụ k1 , k2 ,..., k100 chỉ có k64 là số lẻ (bằng 3.5.7.9…99), còn các thừa số phụ khác
đều chẵn (vì chứa ít nhất một thừa số 2).
Phân số B có mẫu chia hết cho 2, tử khơng chia hết cho 2, do đó B (hay A) khơng thể là
số tự nhiên.
Ví dụ 2: Tổng

1 1 1
1
a
   ...  bằng phân số . Chứng minh rằng a chia hết cho 149.
50 51 52
99
b

Chú ý rằng: 149 = 50 + 99, ta cộng 50 phân số trên theo từng cặp, mỗi cặp gồm hai
phân số đầu và cuối hoặc các phân số cách đều đầu và cuối. Do đó:
a  1

1  1 1 
1 
 1
         ...    
b  50 99   51 98 
 74 75 
149
149
149


 ... 
50.99 51.98
74.75

Chọn mẫu chung là 50.51…98.99, gọi các thừa số phụ là k1 , k2 ,..., k25 thì
a 149.  k1 , k2 ,..., k25 

b
50.51...98.99

Tử chia hết cho 149 (số ngun tố), cịn mẫu khơng chứa thừa số nguyên tố 149 nên khi
rút gọn đến tối giản, a vẫn chia hết cho 149.
Tổng quát:
Nếu phân số

a
1
1
1

bằng 
 ...  trong đó m + n là số nguyên tố thì a chia hết cho
b
m m 1
n

m + n.
 Các bài toán tương tự:
a) Chứng minh rằng số tự nhiên A chia hết cho 2009, với:
1
1 
 1
A  1.2.3...2007.2008. 1   ... 


2007 2008 
 2
1 1
1 1
b) Chứng minh E  1    ...  
không phải là số nguyên.
2 3
19 20
a
1
1
1
1
1
c) Cho  F 

. Chứng minh a 151


 ... 

b
1.2 3.4 5.6
97.98 99.100

8
Facebook: Giang Tử Minh