Đề thi học kỳ 2 Toán 11 năm 2017 – 2018 trường THPT Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2
-----------

ĐỀ THI HỌC KÌ 2 NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN : TOÁN KHỐI 11
Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề gồm 02 trang.
———————

Họ và tên thí sinh:........................................................Số báo danh................................
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (2,0 điểm)
1
bằng ?
Câu 1: lim
x  2 x  3
B. 

A. 0

C. 

1
2

D. 

Câu 2: Giới hạn nào sau đây có kết quả bằng 2.
A. lim

2n  1

n2

B. lim

2n  1
n n 2

C. lim

4n 2  1
n2

D. lim

4n2  1
n 2

Câu 3: Cho cấp số cộng  un  biết u1  3 và u6  27 . Công sai của cấp số cộng đó là?
A. 5

B. 6

C. 7

D. 8

Câu 4: Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y  x  3x tại điểm A  1;2 có hệ số góc k bằng ?
3

A. k  0

B. k  6

C. k  3

D. k  6

Câu 5: Đạo hàm của hàm số f  x   cos2 2 x bằng :
B.  sin 4x

A. sin 4x

C. sin 2 2x

D. 2 sin 4x

Câu 6: Vi phân của hàm số y    x  1 bằng :
2

A. dy  2   x  1 dx

B. dy  2   x  1

C. dy    x  1 dx

D. dy  2   x  1 dx

2

Câu 7: Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình thoi, SA  ( ABCD) . Khẳng định nào sau đây sai ?

B. AD  SC
C. S C  BD
D. S O  BD
A. SA  BD
Câu 8: Chóp tứ giác đều S . ABCD có độ dài cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a. Khoảng cách từ S đến
mặt phẳng ( ABCD) bằng.
A.

a
2

B.

a
3

C. a

D.

II. PHẦN TỰ LUẬN (8,0 điểm)
Câu 9:(2 điểm). Tìm giới hạn sau:
a) lim   x3  3 x 2  2 x  1
x 

b) lim
x 3

x 1  2
.

9  x2

a
2


Câu 10: (1 điểm). Cho hàm số y 

2x 1
có đồ thị (C).
x2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng
 : 3x  y  2  0
 x 2  x  12
( x  4)

. Xác định m để hàm số đã cho liên
Câu 11:(1điểm). Cho hàm số y  f  x    x  4
 mx  1( x  4)

tục tại x  4 .
Câu 12:(3 điểm). Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt

phẳng ( ABCD) và SA  a 2 . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD .
a) Chứng minh AE   SBC  và AF   SDC  .
b) Tính góc giữa mặt phẳng  SBC  và mặt phẳng đáy.
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  AEF  .
Tính diện tích của thiết diện theo a.
Câu 13:(1điểm). Cho hình vuông C1 có độ dài cạnh

bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành
bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích
hợp để được hình vuông C2 ( tham khảo hình vẽ). Từ
hình vuông C2 tiếp tục làm như vậy để được hình vuông
C3 ,... . Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các hình

vuông C1 , C2 , C3 ,..., Cn ... . Gọi S1 , S 2 , S3 ,..., S n ... tương
ứng là diện tích các hình vuông C1 , C2 , C3 ,..., Cn ... .
Tính tổng S1  S 2  S3  ...  S n  ...

----------------------Hết----------------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 2 TOÁN 11 NĂM HỌC 2017-2018
I. Trắc nghiệm: Mỗi câu trả lời đúng 0.25 điểm
1A

2C

3B

4A

5D

6D

7B

8D

II. Tự luận:(8 điểm)
Câu

Nội dung trình bày

Câu 9

a) lim   x3  3 x 2  2 x  1
x 

(2điểm)
a(1 điểm)

Điểm

b) lim
x 3

x 1  2
.
9  x2

3 2 1 

lim   x 3  3 x 2  2 x  1  lim x3  1   2  3 
x 
x 
x x
x 



0. 25 đ

lim x3   ,

0.25 đ

3 2 1 

lim  1   2  3   1  0
x 
x x
x 


0.25 đ

Vậy lim   x3  3 x 2  2 x  1  

0. 25 đ

x 

x 

b(1 điểm)

lim

x 1  2
( x  1  2)( x  1  2)
 lim
2
x 3
9 x
(9  x 2 )( x  1  2)

0.25 đ

 lim

x 3
(9  x )( x  1  2)

0.25 đ

x 3

x 3

2

1
x 3 (3  x )( x  1  2)

0.25 đ

1
1


24
(3  3)( 3  1  2)

0.25 đ

 lim


Câu 10:

Cho hàm số y 

(1 điểm).

2x 1
có đồ thị (C).
x2

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song
với đường thẳng  : 3x  y  2  0
Ta có y ' 

0.25 đ

3

 x  2

2

Vì tiếp tuyến song song với  : 3x  y  2  0 nên ta có hệ số góc của tiếp
tuyến k 
3

 x  2

2

3

 x  2

2

3

 x  1
2
 3   x  2  1  
 x  3

Với x  1  y  1 ta có tiếp điểm A  1; 1

0.25 đ

0.25 đ

Phương trình tiếp tuyến là: y  3  x  1  1  3x  y  2  0 ( loại vì trùng  )

Với x  3  y  5 ta có tiếp điểm B  3;5 

0.25 đ

Phương trình tiếp tuyến là: y  3  x  3  5  3x  y  14  0 (thỏa mãn)
Vậy có một tiếp tuyến là: 3x  y  14  0
Câu 11:
(1điểm).

 x 2  x  12
( x  4)

Cho hàm số y  f  x    x  4
. Xác định m để hàm số đã cho
 mx  1( x  4)


liên tục tại x  4 .
TXĐ: D=R

0.25 đ

 x  4  x  3  lim x  3  7
x 2  x  12
 lim
 
x 4
x 4
x 4
x4

x4

0.25 đ

f  4   4m  1

0.25 đ

lim

Để hàm số liên tục tại x=-4 thì lim f  x   f  4   4m  1  7  m  2 .
x 4

KL:
Câu 12:
( 3điểm).

Cho hình chóp S . ABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc
với mặt phẳng ( ABCD) và SA  a 2 . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu
vuông góc của A trên SB, SD .
a) Chứng minh AE   SBC  và AF   SDC  .
b) Tính góc giữa mặt phẳng  SBC  và mặt phẳng đáy.
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng  AEF  . Tính
diện tích của thiết diện theo a.

0.25 đ


S

I K

F

E

D

A
O
B
a( 1 điểm)

b( 1 điểm)

C

Ta có BC  AB, BC  SA  BC   SAB  nên BC  AE

0.25 đ

Từ AE  BC , AE  SB  AE   SBC 

0.25 đ

Ta có CD  AD, CD  SA  CD   SAD  nên CD  AF

0.25 đ

Từ AF  CD, AF  SD  AF   SCD 

0.25 đ

Ta có

0. 5 đ

 SBC    ABCD   BC
AB   ABCD  , AB  BC
SB   SBC  , SB  BC
Nên giữa mặt phẳng
Ta có tan  
c( 1 điểm)

  SBC  ,  ABCD     SB, AB   SBA  

SA a 2

 2    540 44'
AB
a

Gọi O  AC  BD, I  SO  EF,K=AI  SC

0. 5 đ
0.25 đ

Ta được thiết diện là tứ giác AEKF
Vì AE   SBC  , AF   SCD  nên

0.25 đ

AE  SC, AF  SC  SC   AEF   AK  SC

Từ GT suy ra EF  BD, BD   SAC   EF   SAC   EF  AK
Tam giác SAC vuông cân tại A mà AK  SC nên K là trung điểm của

0.25 đ


1
2

SC  AK  SC 

1
SA2  AC 2  a
2

Ta có I là trọng tâm SAC mà EF  BD nên
EF SI 2
2
2a 2

  EF= BD 
BD SO 3
3
3

Tứ giác AEKF có hai đường chéo vuông góc với nhau nên diện tích

1
2

1
2

của nó S  AK .EF  .a.

0.25 đ

2a 2 a 2 2

3
3

Câu 13:

Cho hình vuông C1 có độ dài cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh của hình

( 1điểm).

vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp
để được hình vuông C2 ( tham khảo hình vẽ). Từ hình vuông C2 tiếp tục làm
như vậy để được hình vuông C3 ,... . Tiếp tục quá trình trên ta được dãy các
hình vuông C1 , C2 , C3 ,..., Cn ... . Gọi S1 , S 2 , S3 ,..., S n ... tương ứng là diện tích
các hình vuông C1 , C2 , C3 ,..., Cn ... .
Tính tổng S1  S 2  S3  ...  S n  ...
Xét dãy  an  là độ dài cạnh của của dãy hình vuông
C1 , C2 , C3 ,..., Cn ... với a1  4

3
an
4

Ta có
2

0.5 đ

2

10
1  3 
an1   an    an   an .
4
4  4 

1
an
4

an1

Vậy dãy  an  lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội

10
4

0.25 đ

2

Ta có Sn1   an1 

2


10 
5
2 5
  an .
   an  .  Sn .
4 
8
8


Suy ra dãy  Sn  lập thành cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q 

5
và
8

S1  16

Vậy S1  S 2  S3  ...  S n  ... 

S1
16
128



1 q 1 5
3
8

0.25 đ