Chuyen de PHUONG TRINH DUONG THANG OXY

Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG

Hỡnh hc 10

CHUYấN :

PHNG TRèNH NG THNG TRONG MT PHNG
A- Những kiến thức cơ bản
PHN I:
I- ễN TP:

ễN TP KIN THC TO TRONG MT PHNG

Các công thức toạ độ:
+ Cho A( xA ; y A ), B( xB ; yB ), C( xC ; yC ) :
*

AB xB xA ; yB y A

*

AB AB ( xB xA)2 ( yB yA)2

+ I ( xI ; yI ) l trung im ca AB, G( xG ; yG ) l trng tõm ABC :

x A xB

x

I

2
*
y y A yB
I
2
x A xB xC

x

G

3
*
y y A yB yC
G
3
Gọi M Trung điểm AB; G, I, H trọng tâm,tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp, trực tâm tam
giác ABC. Nêu các cách tìm toạ độ của chúng.

Chú ý Biểu thức véctơ: IA IB IC IH 3IG .
+ Biểu thức toạ độ của tích vô h-ớng: Cho a( x1; y1 ); b( x2 ; y2 ) thì:

a.b x1x2 y1.y2
H qu:

v



cos a; b

x1x2 y1y2

x12 y12 x22 y22

a b a.b 0 x1x2 y1.y2 0

II-LUYN TP:
Bài 1: Cho tam giác ABC; Biết A(1;2), B(-2;-1), C(3;-2) .
a) Tìm toạ độ trọng tâm , trực tâm , tâm đ-ờng tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác.
b) Tính diện tích tam giác, độ dài đ-ờng cao AH.
c) Tìm toạ độ điểm M thoả mãn hệ thức: MA 2 MB 3MC 0 .
d) Tìm toạ độ điểm P thuộc đ-ờng thẳng: x+ y +2 = 0sao cho PA 2 PB 3PC min
Bài 2: Trong hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc (Oxy) cho hình vuông ABCD có A(0;2),
C(4;0). Tìm toạ độ các điểm B,D.
Bài 3: Trong hệ trục toạ độ Đêcác vuông góc (Oxy) cho điểm A(1;1). Tìm toạ độ các điểm B
thuộc trục hoành, điểm C thuộc đ-ờng thẳng y = 2 sao cho tam giác ABC là tam giác đều.


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG

PHN II:

Hỡnh hc 10

NG THNG TRONG MT PHNG

I- Lí THUYT:

1- Ph-ơng trình đ-ờng thẳng:

Ax By C 0
a) Ph-ơng trình tổng quát:
(1) ( A2+B2> 0)
+ Véc tơ pháp tuyến: n = (A;B); véc tơ chỉ ph-ơng u = ( B;A)

Ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) có véc tơ pháp tuyến n = (A;B) là
A x x0 B y y0 0

b) Ph-ơng trình tham s:
Ph-ơng trình tham s của đ-ờng thẳng (d) di qua điểm M0(x0;y0), có véc tơ chỉ
x x0 at
ph-ơng u =(a;b) là:
(t là tham s)
(2)

y y0 bt
Chỳ ý: Mi quan h gia vect phỏp v vect ch phng:
n u n.u 0
c) Ph-ơng trình chính tắc:
Ph-ơng trình chính tắc của đ-ờng thẳng (d) di qua điểm M0(x0;y0), có véc tơ chỉ
x x0 y y0

ph-ơng u =(a;b) a.b 0 là:
(3)

a

b

Chú ý: Trong (3): Nếu a = 0 thì pt (d) là x = x0.

Nếu b = 0 thì pt (d) là y = y0. (Xem l quy c)

* Thêm một số cách viết khác của pt đ-ờng thẳng:
+ Ph-ơng trình đ-ờng thẳng qua 2 điểm A(x1;y1), B(x2;y2) là:
y y0
x x1

(4)
x2 x1 y2 y1
d
Trong (4) nếu x2 = x1 thì pt đ-ờng thẳng là x = x1
nếu y2 = y1 thì pt đ-ờng thẳng là y = y1
+ Ph-ơng trình đ-ờng thẳng cho theo đoạn chắn:
-ờng thẳng (d) căt Ox, Oy lần l-ợt tại các điểm
A(a;0), B(0;b) có pt là:

x y
1
a b

a.b 0

+ Họ pt đ-ờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0) là:
y y0 k( x x0 )

y
b

O

(5)
(6)

(Trong ú k : l h s gúc ca ng thng)

Chú ý: Cách chuyển ph-ơng trình đ-ờng thẳng từ dạng này qua dạng khác.
2) Một số vấn đề xung quanh ph-ơng trình đ-ờng thẳng.
a) Vị trí t-ơng đối của hai đ-ờng thẳng:
Cho hai đ-ờng thẳng: (d) có pt Ax + By + C = 0 và
(d') có pt A'x + B'y+ C' = 0.
Mt s phng phỏp xỏc nh (d), (d') cắt nhau, song song, trùng nhau:

a

x


Chuyên đề: ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Phương pháp 1: (Giải tích)
Toạ độ giao điểm của (d) và (d’) là nghiệm của phương trình:
 Ax  By  C  0
(*)

 A' x  B ' y  C '  0
Kết luận:

Hình học 10

+ Hệ (*) vô nghiệm  (d ) / /(d ')

+ Hệ (*) vô số nghiệm  (d )  (d ')

+ Hệ (*) có nghiệm  x0 ; y0   (d )  (d ')  M 0  x0 ; y0 
Phương pháp 2: (Nhận xét về mối quan hệ giữa các vectơ đặc trưng)
Cho 2 đường thẳng (d): Ax + By + C = 0 vµ (d'): A'x + B'y+ C' = 0 có vectơ pháp
tương ứng là n   A; B  , n '   A '; B ' .

TH1:
TH2:

(d ) / /(d ')
n  kn '  
(d )  (d ')

n  kn '  (d )  (d ')  M 0  x0 ; y0 

Đặc biệt:

n  n '  (d )  (d ')

ThÝ dô:
1) T×m ®/k cña m ®Ó hai ®-êng th¼ng sau c¾t nhau:
(d): (m+1) x - my + m2- m = 0
vµ (d'): 3mx - (2+m)y- 4 = 0.
2) T×m ®/k cña m, n ®Ó hai ®-êng th¼ng sau song song:
(d): mx + (m - 1)y - 3 = 0
vµ (d'): x - 2y - n = 0.
KỶ NĂNG:
Cho đường thẳng d : Ax  By  C  0 . Lúc đó :
*  / / d :  có dạng Ax  By  m  0

*   d :  có dạng  Bx  Ay  n  0

b) Kho¶ng c¸ch:
+ Kho¶ng c¸ch tõ mét ®iÓm ®Õn mét ®-êng th¼ng:
Kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm M0(x0;y0) ®Õn ®t (d): Ax + By + C = 0 lµ:
d
Ax0  By0  C
h  d  M0 ; d   M0 H 
A2  B2
+ Kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®-êng th¼ng song song:
Cho (d): Ax + By + C = 0 vµ (d'): Ax + By + C' = 0.
Kho¶ng c¸ch gi÷a (d) vµ (d') lµ:
C C'
h  d (d; d ')  d ( M0 ; d ') 
M0  (d )
2
2
A B
ThÝ dô:
a) ViÕt pt ®-êng th¼ng (d) song song víi ®-êng th¼ng (d')
cã pt: x -y + 1 = 0 vµ c¸ch (d') mét kho¶ng h = 2
b)ViÕt pt ®-êng th¼ng song song vµ c¸ch ®Òu hai ®-êng
th¼ng sau: x - 2y + 1 = 0 vµ x - 2y - 5 = 0.

c) Gãc gi÷a hai ®-êng th¼ng:

M0

H

d
d'

M0
H


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
+ Cho (d): Ax + By + C = 0 và (d'): A'x + B'y + C' = 0. Gọi

cos =

của (d) và (d') thì:

nd .nd '

nd . nd '



Hỡnh hc 10

0 90 là góc
0

AA' BB '
A2 B2 A'2 B '2

M rng thờm:
Cho (d) và (d') là hai đ-ờng thẳng có hệ số góc lần l-ợt là: k1, k2 góc giữa (d) và (d')

k k

tan 1 2
là thì:
1 k1k2
d
d) Ph-ơng trình chùm đ-ờng thẳng
I

Cho hai đt (d): Ax + By + C = 0 và (d'): A'x + B'y + C' = 0
cắt nhau thì ph-ơng trình chùm đt tạo bởi chúng là:
d'
Ax By C A ' x B ' y C ' 0 2 2 0 (*)

hay

Ax By C t A ' x B ' y C ' 0

(**)

( Hay mi ng thng i qua gim I ca (d) v (d) u cú pt dng (*), (**) )
Thí dụ: Viết PT đ-ờng thẳng (l) đi qua giao điểm 2 đ-ờng thẳng (d): 2x - y + 1 = 0
và (d') x + y -3 = 0 vuông góc với đ-ờng thẳng: (d1): x - 2y -1 = 0.
M
d

e) Ph-ơng trình đ-ờng phân giác:
pt đ-ờng phân giác của (d) và (d'):
Ax By C
2

2

A B



d'

A' x B ' y C
A'2 B '2

Kt lun:
Tn ti 2 ng phõn giỏc vuụng gúc vi nhau ca gúc to
bi (d) và (d'):

T2
T1

A' x B ' y C



2
2
A2 B2
A'2 B '2
A2 B2
A
'

B
'


Chú ý: Cách phân biệt đ-ờng phân giác góc nhọn, góc tù; đ-ờng phân giác góc trong,
ngoài của góc tam giác.
Thí dụ1: Viết ph-ơng trình đ-ờng phân giác góc nhọn tạo bởi hai đ-ờng thẳng:
(d) 2x - y + 1= 0 và (d'): x - 2y - 1 = 0 .
(T1 ):

Ax By C



A' x B ' y C

(T1 ):

Ax By C

K NNG: V trớ tng i ca 2 im i vi ng thng

Cho ng thng d : ax by c 0 v 2 im A( xA ; y A ), B( xB ; yB )
Ký hiu: TA axA by A c, TB axB byB c
Lỳc ú:
TH 1: TA.TB axA by A c . axB byB c 0
thỡ A, B cựng phớa i vi ng thng d .
TH 2: TA.TB axA by A c . axB byB c 0
thỡ A, B khỏc phớa i vi ng thng d .

B- MT S NHN XẫT V K NNG QUAN TRNG:

B

A

d

Cựng phớa
A

d
B

Khỏc phớa


Chuyên đề: ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Hình học 10
Thông thường để giải tốt một bài toán hình giải tích, ta theo các bước sau:
+ Vẽ hình ở nháp, phân tích kỹ các giả thiết tránh khai thác sai, thừa.
+ Lựa chọn thuật toán và trình bày bài.
I-KỸ NĂNG SỬ DỤNG KHÁI NIỆM “THUỘC”

Phương pháp:
1) M 0 ( x0 ; y0 )  : ax  by  c  0  ax0  by0  c  0
VD: M (1;0)   : 2 x  y  2  0 vì 2.1  0  2  0
M (1;1)   : 2 x  y  2  0 vì 2.1  1  2  1  0
2) Cho đt  : ax  by  c  0 và M   . Lúc đó, ta gọi M (t;
VD: M   : 2 x  y  2  0 .

x  1  t
M :
;t  R .
 y  3  4t

at  c
)
b

(nghĩa là tọa độ của M chỉ phụ thuộc một ẩn)
Gọi M (t; 2t  2)
Gọi M (1  t;3  4t )

3
2
Gọi M (t;3) .
M   : y  3  0.
 x  2  2t
;t  R .
Bài tập minh họa: Cho đường thẳng d có ptts: 
y  3  t
Tìm điểm M  d sao cho khoảng cách từ M đến điểm A(0;1) một khoảng bằng 5.
Giải: Nhận xét: Điểm M  d nên tọa độ của M phải thỏa mãn phương trình của
d.
A
5
Gọi M (2  2t;3  t )  d .
M   : 2x  3  0 .

Gọi M ( ; t )

Ta có: AM  (2  2t;2  t ) .

M2

5

Theo giả thiết: AM  5  (2  2t )2  (2  t )2  5  (2  2t )2  (2  t )2  25
d

M1

t  1
24 2
; ).
 5t  12t  17  0   17 . Vậy có 2 điểm M thỏa ycbt M1 (4; 4) và M 2 (
t 
5 5
5

2

Nhận xét:
Dựa vào hình vẽ ở nháp, ta có thể thấy luôn tồn tại 2 điểm M thỏa ycbt.
Bài tập tương tự:
Cho đt  : x  3 y  6  0 và A(1; 2) . Xác định hình chiếu H của A lên đường thẳng  .
II-KỸ NĂNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
Cho đt  : ax  by  c  0 .
* PT đt d   có dạng: bx  ay  m  0
* PT đt d //  có dạng: ax  by  m  0 . (trong đó m là tham số).

Yêu cầu: Viết phương trình đường thẳng d qua M 0 ( x0 ; y0 ) và vuông góc (hay song song) với
 : ax  by  c  0 .
Phương pháp:
Cách 1: Xác định Vtcp hoặc Vtp.
Đường thẳng d qua M 0 ( x0 ; y0 ) và nhận ..., pt d:
Cách 2: Do d   nên pt d có dạng: bx  ay  m  0 (m là tham số)


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
Mt khỏc M 0 ( x0 ; y0 ) d nờn: bx0 ay0 m 0 m . Kt lun...
*Nhn xột:
Ta d nhn xột cỏch gii quyt bi toỏn ca cỏch 2 l khoa hc v tt hn cỏch 1.
Bi tp minh ha:
Vit ptt d qua M (1;1) v song song vi : 2 x y 1 0 .
Gii:
Do d // nờn pt d cú dng: 2 x y m 0 (m l tham s).
Mt khỏc M (1;1) d nờn: 2.1 1 m 0 m 1 .
Lỳc ú, pt d: 2 x y 1 0 (ycbt).
Bi tp tng t:
1) Vit ptt d qua M (1;1) v vuụng gúc vi : 2 x y 1 0 .
2) Cho ABC vi A(0;1), B(2;1) v C (1; 2) . Lp phng trỡnh cỏc ng cao ca ABC .

-----------------------------------------------II-LUYN TP:
I. Ph-ơng trình đ-ờng thẳng
Bài 1: Lập ph-ơng trình TQ và TS của đ-ờng thẳng đi qua điểm M và có vtpt n biết:
a, M 1; 1 ; n 2;1
b, M 0;4 ; n 1;3

Bài 2: Lập PTTS và PTTQ của đ-ờng thẳng đi qua điểm M và có vtcp u biết:

a, M 1; 2 ; u 1;0
b, M 5;3 ; u 3;1
Bài 3: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua 2 điểm A và B trong các tr-ờng hợp sau:
a, A 1;1 , B 2;1
b, A 4;2 , B 1; 2
Bài 4: Lập ph-ơng trình đ-ờng trung trực của đoạn thẳng AB biết:
a, A 1;1 , B 3;1
b, A 3; 4 , B 1; 6
Bài 5: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) biết:
a, đi qua điểm M(2;-1) và có hệ số góc k = 2
b, đi qua điểm M(0;4) và có hệ số góc k

2
3

c, đi qua điểm M(-3;-1) và tạo với h-ớng d-ơng trục Ox góc 450.
d, đi qua điểm M(3;4) và tạo với h-ớng d-ơng trục Ox góc 600.
Bài 6: Chuyển (d) về dạng tham số biết (d) có ph-ơng trình tổng quát:
a, 2x 3y = 0;
b, x + 2y 1 = 0
c, 5x 2y + 3 = 0
Bài 7: Chuyển (d) về dạng tổng quát biết (d) có ph-ơng trình tham số:
x 2
y 3 t

a,

x 2 t

y 4 t

b,

Bài 8: Tìm hệ số góc của các đ-ờng thẳng sau:
a, 2x 3y + 4 = 0
b, x + 3 = 0
d, 4x + 3y 1 = 0

x 2 t
y 5 3t

e,

x 2 3t
y 1

c,

c, 2y 4 = 0

Bài 9: Lập PTTQ và PTTS của đ-ờng thẳng (d) đi qua 2 điểm A, B biết:
a, A 1; 3 , B 2;2

b, A 5; 1 , B 2; 4

x 4 2t
y 5t 1

f,

Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG

Bài 10: Trong các điểm A1(2;1), A2 1;2 , A3 1;3 ,

Hỡnh hc 10
A 4 1; 1 ,

1
7 1
A5 ;2 , A 6 ; ,
2
3 3

x 2 t
A7 3;1 , điểm nào nằm trên đ-ờng thẳng d :
y 1 2t

Bài 11: Cho 3 điểm A(2;1), B(3;5) và C(-1;2)
a, Chứng minh rằng A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác
b, Lập ph-ơng trình các đ-ờng cao của tam giác ABC
c, Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC
d, Lập ph-ơng trình các đ-ờng trung tuyến của tam giác ABC
e, Lập ph-ơng trình các đ-ờng trung bình của tam giác ABC
Bài 12: Cho tam giác ABC biết A(-1;-2), B(4;-3) và C(2;3)
a, Lập ph-ơng trình đ-ờng trung trực cạnh AB
b, Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm M(3;7) và vuông góc với đ-ờng trung
tuyến kẻ từ A của tam giác ABC
Bài 13 (ĐHQG 1995): Lập ph-ơng trình các cạnh và các đ-ờng trung trực của tam giác ABC

biết trung điểm 3 cạnh BC, CA, AB lần l-ợt là: M(2;3), N(4;-1), P(-3;5)
II. Đ-ờng thẳng song song, vuông góc với một đ-ờng thẳng cho tr-ớc
Bài 1: Lập PTTQ đ-ờng thẳng đi qua A và song song đ-ờng thẳng (d) biết
a, A 1;3 , d : x y 1 0
x 1 t
y 2 2t

d, A 1;1 , d :

b, A(-1;0), (d): 2x + y 1 = 0c, A(3;2), (d): Trục Ox
x 3 2t
y 4

e, A 3;2 , d :

Bài 2: Lập PTTQ và PTTS của đ-ờng thẳng đi qua A và vuông góc với đ-ờng thẳng (d)
biết:
a, A 3; 3 , d :2x 5y 1 0
x 1 t
y 2 2t

d, A 1; 6 , d :

b, A 1; 3 , d : x 2y 1 0
e, A 4; 4 ,

c, A 4;2 , d Oy

x 4 2t
y 1 5t

d :

Bài 3: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(2;2) và 2 đ-ờng cao (d1) và (d2)
có ph-ơng trình là d1 : x y 2 0; d2 :9x 3y 4 0
Bài 4: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4;1) và 2 đ-ờng cao (d1) và (d2)
có ph-ơng trình là d1 : x y 1 0; d2 :3x y 7 0
Bài 5: Cho tam giác ABC biết ph-ơng trình cạnh AB là x + y 9 = 0, các đ-ờng cao qua
đỉnh A và B lần l-ợt là (d1): x + 2y 13 = 0 và (d2): 7x + 5y 49 = 0. Lập ph-ơng trình
cạnh AC, BC và đ-ờng cao thứ 3
Bài 6: Cho tam giác ABC biết ph-ơng trình cạnh AC là x + 4y 5 = 0, các đ-ờng cao qua
đỉnh A và C lần l-ợt lá (d1): 5x + y 6 = 0 và (d2): x + 2y 1 = 0. Lập ph-ơng trình cạnh
AB, BC và đ-ờng cao thứ 3
Bài 7: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;5) , đ-ờng cao và đ-ờng trung
tuyến kẻ từ một đỉnh có ph-ơng trình lần l-ợt là: d1 :5x 4y 1 0; d2 :8x y 7 0
Bài 8: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(0;3) , đ-ờng cao và đ-ờng trung
tuyến kẻ từ một đỉnh có ph-ơng trình lần l-ợt là: d1 :2x 7y 23 0; d2 :7x 4y 5 0
Bài 9: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(3;1) và 2 đ-ờng trung tuyến (d1)
và (d2) có ph-ơng trình là: d1 :2x y 1 0; d2 :x 1 0


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
Bài 10: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(1;-1) và 2 đ-ờng trung tuyến
(d1) và (d2) có ph-ơng trình là: d1 :3x 5y 12 0; d2 :3x 7y 14 0

Bài 11: Ph-ơng trình 2 cạnh của một tam giác là: d1 :x y 2 0; d2 : x 2y 5 0 và
trực tâm H(2;3). Lập ph-ơng trình cạnh thứ 3
Bài 12: Ph-ơng trình 2 cạnh của một tam giác là: d1 :3x y 24 0; d2 : 3x 4y 96 0

32

và trực tâm H 0; . Lập ph-ơng trình cạnh thứ 3
3
Bài 13: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết B(2;-3), ph-ơng trình
đ-ờng cao hạ từ A và trung tuyến từ C lần l-ợt là:

d1 : 3x 2y 3 0; d2 :7x y 2 0

Bài 14: Xác định toạ độ các đỉnh và lập ph-ơng trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung
điểm của BC là M(2;3), ph-ơng trình (AB): x y 1 = 0; ph-ơng trình (AC): 2x + y = 0
Bài 15: Xác định toạ độ các đỉnh và lập ph-ơng trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng
4 2

tâm G ; và ph-ơng trình (AB): x 3y + 13 = 0; ph-ơng trình (AC): 12x + y 29 = 0
3 3
Bài 16: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết trung điểm của AB là M(-3;4), hai
đ-ờng cao kẻ từ A và B lần l-ợt là: d1 : 2x 5y 29 0; d2 : 10x 3y 5 0
III, Hình chiếu vuông góc của điểm lên đ-ờng thẳng
Bài 1: Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M lên đ-ờng thẳng (d) và xác định toạ độ
điểm M1 đối xứng với M qua (d)
a, M(6;4);(d) : 4x 5y 3 0

b, M(1;4);(d) : 3x 4y 4 0

x 1 2t
y 3 4t

c, M(3;5);(d)

Bài 2: Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC và xác định toạ độ điểm K đối xứng với H
qua BC
a, A(0;3); B(3;0); C(-1;-1)
b, A(-2;1); B(2;-3); C(5;0).
Bài 3: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d1) đối xứng với đt(d) qua điểm I
a, I(3;1);(d) : 2x y 3 0
b, I(1;1);(d) : 3x 2y 1 0
x 2 t
y 1 2t

x 3 t
y 5 4t
Bài 4: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d1) đối xứng với đ-ờng thẳng (d) qua đt( ) biết:
a, (d) : x 2y 1 0;() : 2x y 3 0
b, (d) : 2x 3y 5 0;() : 5x y 4 0
x 1 2t
x 1 y 3
c, (d) : 5x y 6 0;() :
d, (d) : 2x y 3 0;() :

2
3
y 3 t

c, I(1;3);(d) :

d, I(0;2);(d) :

Bài 5: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(0;3); ph-ơng trình 2 đ-ờng phân

giác trong xuất phát từ B và C lần l-ợt là (dB ) : x y 0;(dc ) : 2x y 8 0
Bài 6: Lập ph-ơng trình các cạnh của tam giác ABC biết A(-4;3); B(9;2) và ph-ơng trình
phân giác trong xuất phát từ C là (d) : x y 3 0
Bài 7: Cho tam giác ABC biết ph-ơng trình cạnh BC: x 4 y 8 0 và ph-ơng trình 2 đ-ờng
phân giác trong xuất phát từ B và C lần l-ợt là: (dB ) : y 0;(dC ) : 5x 3y 6 0
Bài 8: Cho tam giác ABC biết C(3;-3); ph-ơng trình đ-ờng cao và đ-ờng phân giác trong
xuất phát từ A lần l-ợt là (d1 ) : x 2;(d2 ) : 3x 8y 14 0


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
IV, Vị trí t-ơng đối của 2 đ-ờng thẳng
Bài 1: Xét vị trí t-ơng đối của các cặp đ-ờng thẳng sau:

Hỡnh hc 10

x 1 t
x 2 u
;(d2 ) :
y 2 t
y 5 u

b, (d1 ) :

x 2 3t
;(d2 ) : 2x 3y 1 0
y 1 t

d, (d1 ) : 3x 2y 1 0;(d2 ) : x 3y 4 0

a, (d1 ) :
c, (d1 ) :

x 1 t
x 3 2u
;(d2 ) :
y 3 t
y 2 u

Bài 2: Cho a 2 b 2 0 và 2 đt (d1) và (d2) có ph-ơng trình:

(d1 ) : (a b)x y 1;(d2 ) : (a 2 b 2 )x ay b

a, Tìm quan hệ giữa a và b để (d1) và (d2) cắt nhau, khi đó hãy xác định toạ độ giao
điểm I của chúng
b, Tìm điều kiện giữa a và để I thuộc trục hoành
Bài 3: Cho 2 đ-ờng thẳng (d1 ) : kx y k 0;(d2 ) : (1 k 2 )x 2ky 1 k 2 0
a, CMR: đ-ờng thẳng (d1) luôn đi qua 1 điểm cố định với mọi k
b, CMR: (d1) luôn cắt (d2). Xác định toạ độ của chúng
V, Góc và khoảng cách
Bài 1: Tìm góc giữa 2 đ-ờng thẳng (d1) và (d2) trong các tr-ờng hợp sau:
a, (d1 ) : 5x 3y 4 0;(d2 ) : x 2y 2 0 b, (d1 ) : 3x 4y 14 0;(d2 ) : 2x 3y 1 0
x 1 3t
;(d2 ) : 3x 2y 2 0
y 2 t

c, (d1 ) :

d, (d1 ) : x my 1 0;(d2 ) : x y 2m 1 0

Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M đến đ-ờng thẳng (d) trong các tr-ờng hợp sau:
a, M(1; 1);(d) : x y 5 0 b, M(3;2);(d) : 3x 4y 1 0

c, M 3;2 ; (d): Trục Ox

x 2 2t
x 2
f, M(3;2);(d) :
y 5 t
y 1 t
Bài 3: Cho 2 đ-ờng thẳng (d1 ) : 2 x 3 y 1 0; (d 2 ) : 4 x 6 y 3 0

d, M(3;2);(d) : 2x 3

e, M(5; 2);(d) :

a, CMR (d1) // (d2)
b, Tính khoảng cách giữa (d1) và (d2).
Bài 4: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M và tạo với ( ) một góc biết:
a, M(1;2);() : x 2y 3 0; 450

x 1 3t
; 450
y 1 t

b, M(2;0);() :

c, M(2; 1);() : 3x 2y 1 0; 300
d, M(4;1);() Oy; 300
Bài 5: Lập ph-ơng trình đ-ờng phân giác của các góc tạo bởi (d1) và (d2) biết:

a, (d1 ) : 2x 3y 1 0;(d2 ) : 3x 2y 2 0

x 1 5t
y 3 12t
d, (d1 ) : 3x 4y 5 0;(d2 ) Ox

b, (d1 ) : 4x 3y 4 0;(d2 ) :

c, (d1 ) : 5x 3y 4 0;(d2 ) : 5x 3y 2 0
Bài 6: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M và cách N một đoạn bằng r biết:
a, M(2;5);N(4;1);r 2
b, M(3; 3);N(1;1);r 2
Bài 7: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M(-2;3) và cách đều 2 điểm A(5;-1) và
B(3;7)
Bài 8: Cho 2 đ-ờng thẳng (d1 ) : 2x 3y 5 0;(d2 ) : 3x y 2 0 . Tìm M nằm trên Ox cách
đều (d1) và (d2).
Bài 9 (ĐH 2006A): Cho 3 đ-ờng thẳng (d1); (d2); (d3) có ph-ơng trình:
(d1 ) : x y 3 0; (d 2 ) : x y 4 0; (d 3 ) : x 2 y 0


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
Tìm tọa độ điểm M nằm trên (d3) sao cho khoảng cách từ M đến (d1) bằng 2 lần khoảng cách
từ M đến (d2).
x 1 2t
; (d 2 ) : 5 x y 1 0; (d 3 ) : 4 x 3 y 2 0 . Tìm M
y 1 t

Bài 10: Cho 3 đ-ờng thẳng (d1 ) :

nằm trên (d1) cách đều (d2) và (d3)
Bài 11: Cho 2 điểm A(2;1); B(-3;2) và đ-ờng thẳng (d):4x+3y+5=0. Tìm điểm M cách đều
A; B đồng thời khoảng cách từ M đến (d) bằng 2.
Bài 12 (ĐH Huế 96): Cho 2 đ-ờng thẳng (d1 ) : 2x y 1 0;(d2 ) : x 2y 7 0 . Lập ph-ơng
trình đ-ờng thẳng (d) qua gốc toạ độ sao cho (d) tạo với (d1) và (d2) tam giác cân có đỉnh là
giao điểm của (d1) và (d2).
Bài 13: Cho 2 điểm A(0;5); B(4;1) và đ-ờng thẳng (d) : x 4y 7 0 . Tìm trên (d) điểm C
sao cho tam giác ABC cân tại C
Bài 14: Cho điểm A(3;1). Xác định 2 điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và B nằm
trong góc phần t- thứ nhất. Lập ph-ơng trình 2 đ-ờng chéo của hình vuông đó.
Bài 15: Cho 3 điểm A(1;-1); B(-2;1) và C(3;5).
a, CMR: A, B, C là 3 đỉnh của tam giác. Tính diện tích của tam giác đó.
b, Tìm điểm M nằm trên Ox sao cho AM B 60 0
Bài 16: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 4; 2 đỉnh A(1;-2), B(2;-3) và trọng tâm của tam
giác ABC nằm trên đ-ờng thẳng (d) : x y 2 0 . Tìm toạ độ điểm C.
Bài 17 (ĐH 2002A): Cho tam giác ABC vuông tại A ; biết ph-ơng trình cạnh BC là:
3x y 3 0 ; điểm A, B thuộc trục hoành. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác
ABC biết bán kính đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2.
VI, Các bài toán cực trị
Bài 1: Tìm trên (d) điểm M(xM;yM) sao cho xM2 y M2 nhỏ nhất biết:
a, (d) : x y 4 0

x 1 t
y 2 3t

b, (d ) : 2 x 3 y 5 0

c, (d )

Bài 2: Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua điểm M(3;1) và cắt 2 trục toạ độ tại 2 điểm

phân biệt A(a;0), B(0;b) với a>0; b>0 sao cho:
a, Diện tích tam giác ABC nhỏ nhất. b, OA + OB nhỏ nhất.

c,

1
1
nhỏ nhất.

2
OA OB 2

Bài 3: Tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:
a, A(1;2), B(3;4)

b, A(-1;2), B(2;1)

c, A(-2;-1), B(-1;-1).

Bài 4: Tìm trên trục tung điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỉ nhất biết:
a, A(-2;1), B(1;1)

b, A(1;3), B(3;-3)

c, A(-3;-1), B(2;3)

Bài 5: Tìm trên (d) điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến A và B nhỏ nhất biết:

a, (d) : x y 0;A(3;2), B(5;1)
b, (d) : x y 2 0;A(2;1), B(1;5)

c, (d) : x y 0;A(1;3), B(2;1)
Bài 6: Cho đ-ờng thẳng (d) : x 2y 2 0 và 2 điểm A(1;2), B(2;5). Tìm trên (d) điểm M sao
cho:
a, MA + MB nhỏ nhất
b, MA MB nhỏ nhất
c, MA MB nhỏ nhất
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của
a, y x2 4x 8 x2 2x 2

d,

MA MB lớn nhất

b, y x2 2x 2 x2 6x 10


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
c, y x x 1 x x 1
2

Dạng 1 :

2

Hỡnh hc 10

d, y x x 2 x 3x 3
2

2

Lập Ph-ơng Trình đ-ờng thẳng

Bài 1: Viết ph-ơng trình đ-ờng trung trực (d) của đoạn thẳng AB với A(4;6), B(2;1)
Bài 2: Cho tam giác ABC với A(1;4), B(3;-1), C(6;2)
a, Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác
b, Viết ph-ơng trình các đ-ờng cao của tam giác
c, Viết ph-ơng trình các đ-ờng trung tuyến của tam giác
d, Viết ph-ơng trình các đ-ờng trung trực của tam giác
Bài 3: Viết ph-ơng trình các cạnh và các đ-ờng trung trực của tam giác ABC biết trung điểm
của BC, CA, AB theo thứ tự là M(2;3), N( 4;-1), P(-3;5).
Bài : Cho ABC vi A(1;1) v hai ng thng d : x y 1 0, :2 x y 1 0 (m): xy+1=0, (d): 2x-y+1=0. Tỡm B, C bit:
a) d , ln lt l hai ng cao xut phỏt t hai nh ca ABC.
b) d , ln lt l hai ng trung tuyn xut phỏt t hai nh ca ABC
c) d , ln lt l hai ng phõn giỏc trong xut phỏt t hai dnh ca ABC.
d) d l ng cao, l ng trung tuyn xut phỏt t hai nh ca ABC.
e) d l ng cao, l ng phõn giỏc trong xut phỏt t hai nh ca ABC.
f) d l ng trung tuyn, (d) l ng phõn giỏc trong xut phỏt t hai nh ca
ABC.
g) d l ng cao, l ng trung tuyn xut phỏt t mt nh ca ABC.
h) d l ng cao, l ng phõn giỏc trong xut phỏt t mt nh ca ABC.
k) d l ng trung tuyn, l ng phõn giỏc trong xut phỏt t mt nh ca
ABC.
Bài 4: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) trong các tr-ờng hợp sau :
a, Đi qua điểm M(1;-2) và cắt Ox, Oy lần l-ợt tại A,B sao cho tam giác OAB vuông cân
b, Đi qua điểm M(4;-2) và cắt Ox, Oy lần l-ợt tại A,B sao cho M là trung điểm của AB
c, Đi qua điểm M(1;2) và chắn trên các trục toạ độ những đoạn thẳng có độ dài bằng nhau
d, Đi qua điểm M(1;2) và có hệ số góc k=3
e, Đi qua điểm M(-2;1) và tạo với h-ớng d-ơng trục Ox một góc bằng 300
f, Đi qua điểm M(3;-4) và tạo với trục Ox một góc bằng 450

g, Đi qua điểm M(1;4) và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 2
Bài 5: Cho tam giác ABC biết A(2;2), B(-1;6), C(-5;3)
a, Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác
b, Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng chứa đ-ờng cao AH của tam giác
c, CMR tam giác ABC là tam giác vuông cân
Bài 6: Cho tam giác ABC biết rằng A(1;-1), B(-2;1), C(3;5)
a, Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng chứa đ-ờng trung tuyến BN của tam giác
b, Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng đi qua điểm A và vuông góc với trung tuyến BN
c, Tính diện tích tam giác ABN
Bài 7: Cho tam giác ABC biết các cạnh BC, CA, AB lần l-ợt có các trung điểm là M(1;2),
N(3;4), P(5;1)
a, Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác
b, Viết ph-ơng trình các đ-ờng cao của tam giác
c, Viết ph-ơng trình các đ-ờng trung tuyến của tam giác
d, Viết ph-ơng trình các đ-ờng trung trực của tam giác


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
e, Tìm toạ độ tâm I đ-ờng tròn ngoại tiếp tam giác
Bài 8: Cho tam giác ABC biết A(-2;1), B(4;3), C(2;-3)
a, Viết ph-ơng trình tham số và ph-ơng trình tổng quát của cạnh BC
b, Viết ph-ơng trình đ-ờng cao AH
Bài 9:Cho đ-ờng thẳng (d) : 2x +3y +1 = 0. Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua M( 3; -1 ) và:
a, Song song với đ-ờng thẳng (d)
b, Vuông góc với đ-ờng thẳng (d)
Bài 13: Cho hình bình hành có ph-ơng trình hai cạnh là : (d1) : x -3y = 0
(d2) 2x +5y + 6 = 0
Và đỉnh C( 4; -1) . Viết PT hai cạnh còn lại
Bài 14:Viết PT các cạnh của tam giác ABC , biết đỉnh A( 2; 2) và hai đ-ờng cao có PT là:

(d1): x +y -2 = 0
(d2): 9x - 3y +4 = 0
Bài 15 : Cho tam giác ABC với trực tâm H . Biết PT cạnh AB là (AB) : x +y - 9 =0
Các đ-ờng cao qua đỉnh A ,B lần l-ợt là (da): x+ 2y -13 =0 ; (db ) : 7x +5y -49 = 0
a , Xác định toạ độ trực tâm H và viết PT đ-ờng cao CH
b , Viết PT hai cạnh AC , BC
c , Tính diện tích của tam giác giới hạn bởi các đ-ờng AB , BC , Oy
Bài 16: Cho tam giác ABC có đỉnh C (3;5) , đ-ờng cao và trung tuyến kẻ từ một đỉnh có PT
t-ơng ứng là : (d1) : 5x +4y -1 = 0 , (d2) 8x +y -7 = 0
a , Viết PT các cạnh còn lại của tam giác
b , Viết PT các đ-ờng cao còn lại của tam giác
c , Viết PT các đ-ờng trung tuyến còn lại của tam giác
Bài 17 : Cho tam giác ABC có đỉnh B(3; 5). đ-ờng cao từ A có PT là (d1) : 2x - 5y +3 = 0 ,
đ-ờng trung tuyến kẻ từ C có PT (d2) : x +y -5 = 0
a , Tính toạ độ đỉnh A
b , Viết PT các cạnh của tam giác ABC
Bài 18 . Cho tam giác ABC có M(-2; 2) là trung điểm BC , cạnh AB và AC có PT là :
(AB) : x-2y-2 =0 ; (AC) : 2x +5y +3 =0 . Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác
Bài 19: PT hai cạnh của một tam giác là : (d1) : 5x -2y +6 = 0, (d2) 4x +7y -21 = 0. Viết PT
cạnh thứ ba của tam giác , biết trực tâm H của tam giác trùng với gốc toạ độ
Bài 20 : Viết PT các cạnh của tam giác ABC biết A (1;2) và hai đ-ờng trung tuyến lần l-ợt
cóPT là : (d1) : 2x -y +1 = 0 , (d2) : x +3y -3 = 0
Bài 21: Cho tam giác ABC có đỉnh A(-1;-3)
a ,Biết PTđ-ờng cao BH : 5x +3y -25 = 0 , đ-ờng cao CK : 3x + 8y -12 = 0 . Tìm toạ
độ đỉnh B và C
b , Biết đ-ờng trung trực của AB là (d) : 3x +2y - 4 = 0 và trọng tâm G (4; -2) . Tìm
toạ độ đỉnh B và C
Bài 22:Cho tam giác ABC, biết cạnh BC có trung điểm M(0; 4), còn hai cạnh kia có PT là:
(d1) : 2x +y -11 = 0
(d2) x +4y -2 = 0

a , Xác định toạ độ đỉnh A
b , Gọi C là đỉnh nằm trên đ-ờng thẳng (d): x- 4y -2 =0, N là trung điểm của AC .
Tìm toạ độ điểm N rồi tìm toạ độ B ,C
Bài 23 : Cho hai điểm P(4; 0) , Q ( 0; -2)
a, Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua điểm A (3;2) và song song với đ-ờng thẳng PQ
b, Viết PT đ-ờng trung trực của đoạn thẳng PQ
Bài 24 : Cho hình bình hành ABCD có hai cạnh nằm trên hai đ-ờng thẳng:


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
(d1) : x +3y -6 = 0 (d2) : 2x -5y -1 = 0 và tâm I (3; 5). Viết PT hai cạnh còn lại của hình
bình hành
Bài 25: Viết PT các cạnh , biết trực tâm H (3; 3) , trung điểm cạnh BC là M (5; 4) và chân
đ-ờng cao trên cạnh AB là K(3;2)
Bài 26 : Một hình chữ nhật có hai đỉnh đối nhau có toạ độ (5; 1) và (0;6) , một cạnh của
hình chữ nhật có PT là (d) : x+ 2y -12 =0 . Viết PT các cạnh còn lại của hình chữ nhật
Bài 27: Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M lên (d), từ đó suy ra toạ độ điểm M1 là
điểm đối xứng với M qua (d), biết:
a. M(-6; 4) và (d): 4x - 5y + 3 = 0
b. M(6; 5) và (d): 2x + y - 2 = 0
c. M(1; 2) và (d): 4x - 14y - 29 = 0
d. M(1; 2) và (d): 3x + 4y - 1 = 0
Bài 28: Cho tam giác ABC, biết A(1; 3), B(0; 1), C(-4; -1)
a. Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC
b. Tìm toạ độ điểm K đối xứng với H qua BC
Bài 29: Một hình thoi có một đỉnh có toạ độ (1; 0), một cạnh có ph-ơng trình:7x + y - 7 = 0
và một đ-ờng chéo có ph-ơng trình: 2x +y - 7 = 0. Viết ph-ơng trình các cạnh còn lại của
hình thoi
Bài 30: Cho tam giác ABC, biết A(3; 5), B(4;-3) và phân giác trong của góc C có ph-ơng

trình(dc): x + 2y - 8 = 0. Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác
Bài 31: Cho tam giác ABC, biết A(0; 3) và hai đ-ờng phân giác trong của góc B và C có
ph-ơng trình: (dB): x - y = 0
, (dC): 2x + y - 6 = 0
Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác
Bài 32: Cho tam giác ABC, biết B(2; -1), đ-ờng cao qua đỉnh A và đ-ờng phân giác trong
qua đỉnh C lần l-ợt là: (dA): 3x - 4y + 27 = 0,
(dB): x + 2y - 5 = 0
Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác
Bài 33: Cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -1). Ph-ơng trình của một phân giác và một trung
tuyến xuất từ hai đỉnh khác nhau theo thứ tự là:(d1): x - 4y + 10 = 0 ,
(d2): 6x + 10y - 59 = 0.Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác
Bài 34: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d1) đối xứng với đ-ờng thẳng (d) qua đ-ờng ( ),
biết:
a. (d): x + 2y - 13 = 0 và ( ): 2x - y - 1 = 0
b. (d): x - 3y + 3 = 0 và ( ): 2x - 6y + 3 = 0
c. (d): x - 3y + 6 = 0 và ( ): 2x - y - 3 = 0
Bài 35: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d1) đối xứng với đ-ờng (d) qua điểm I, biết:
a. (d): 2x - y + 4 = 0 và I(-2; 1)
b , (d): x - 2y - 5 = 0 và I(2; 1)
Bài 36: Cho tam giác hình bình hành ABCD, biết:(AB): x + 2y - 7 = 0, (AD): x - y + 2 = 0
Và tâm I (1; 1). Viết ph-ơng trình các cạnh còn lại của hình bình hành
Bài 37: Cho tam giác ABC, biết C(3; 5) đ-ờng phân giác trong và đ-ờng trung tuyến kẻ từ
đỉnh A có ph-ơng trình là: (d1): 5x + 4y - 1 = 0 , (d2): 8x + y - 7 = 0
a. Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác
b. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d1) đối xứng với (d2) qua (d1).
Bài 38: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-3; 1), ph-ơng trình đ-ờng cao và đ-ờng phân giác
trong kẻ từ A có ph-ơng trình theo thứ tự là: (d1): x + 3y + 12 = 0,
(d2): x + 7y + 32 = 0. Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác
Bài 39: Cho tam giác ABC. Biết ph-ơng trình cạnh AB là: (AB): x + y - 9 = 0 các đ-ờng

phân giác trong của đỉnh A và B lần l-ợt là:(dA): x + 2y -13 = 0,(dB): 7x + 5y - 49 = 0


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
a. Viết ph-ơng trình hai cạnh AC và BC
b. Tính diện tích của tam giác gíơi hạn bởi các đ-ờng AB, BC, và Oy.
Bài 40: Viết ph-ơng trình các cạnh của hình bình hành ABCD, biết tâm I(1; 6), còn các cạnh
AB, BC, CD, DA lần l-ợt đi qua các điểm M(3; 0), N(6; 6), P(5; 9), Q(-5; 4).
Bài 41: Cho hai điểm A(4; 6), B(2; 4), đ-ờng thẳng (d1) : x - 3y + 4 = 0. (d2) : 2x-y-2=0
a. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d3) đối xứng với đ-ờng thẳng (d2) qua đ-ờng thẳng (d1).
b. Tìm trên (d1) điểm N sao cho tam giác ABN là tam giác cân. Vị trí t-ơng đối giữa hai
đ-ờng thẳng.
Bài 42: Xét vị trí t-ơng đối giữa hai đ-ờng thẳng (d1) và (d2), biết:
x 2 t
x 1 u
x 2t
x 2u
a. (d1) :
và (d2):
b. (d1) :
và (d2):
y 1 u
y 4 u
y t
y 2t

x 2 2t
x 2 u
x 1 t

c. (d1) :
và (d2)
d. (d1) :
và (d2): x + y +1 = 0
y 1 t
y 2t
y u
x 2 t
f. (d1) :
và (d2): x - y + 2 = 0
y t
g. (d1): 2x + 3y - 8 = 0 và (d2): 3x - 2y + 1 = 0
h. (d1): 2x + 3y - 1 = 0 và (d2): 4x + 6y - 2 = 0
i. (d1): x - 2y + 1 = 0 và (d2): 2x - 4y + 3 = 0
j. (d1): mx + y + 2 = 0 và (d2): x + my + m + 1 = 0
Bài 43: Cho hai đ-ờng thẳng:
x 2t
x 1 3u
(d1) :
và (d2):
y 3 6u
y 3t
a. Xác định giao điểm I của (d1) và (d2)
b. Tính cosin góc nhọn tạo bởi (d1) và (d2)
Bài 44: Cho a2 = 4b2 + 1 và hai đ-ờng thẳng:
(d1): (a - b)x + y = 1
, (d2): (a2 - b2)x + ay = b
a. Xác định giao điểm I của (d1) và (d2).
b. Tìm điều kiện với a, b để giao điểm đó thuộc trục hoành.
c. Tìm tập hợp giao điểm I của (d1) và (d2) khi a, b thay đổi.

Bài 45: Cho hai đ-ờng thẳng:
(d1): (a + 1)x - 2y - a - 1 = 0
, (d2): x + (a - 1)y - a2 = 0
a. Xác định giao điểm I của (d1) và (d2)
b. Tìm a để đ-ờng thẳng qua M(0; a), N(a; 0) cũng đi qua giao điểm I.
Bài 46: Cho hai đ-ờng thẳng:
(d1): x - my - m = 0 , (d2): 2mx - (m2 - 1)y - m2 - 1 = 0
a. CMR: Khi m thay đổi (d1) luôn đi qua một điểm cố định
b. Với mỗi giá trị của m, hãy xác định giao điểm I của (d1) và (d2)
c. Tìm quỹ tích giao điểm I khi m thay đổi
Bài 47: Cho điểm M(3; 0) và hai đ-ờng thẳng: (d1): 2x - y - 2 = 0
, (d2): x + y + 3 = 0
Gọi (d) là đ-ờng thẳng qua M và cắt (d1), (d2) lần l-ợt tại A, B. Viết ph-ơng trình đ-ờng
thẳng (d) biết MA = MB.
Bài 48: Cho điểm M(1; 2) và hai đ-ờng thẳng: (d1): x - y - 1 = 0, (d2): 3x - y + 1 = 0.
Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua M và cắt (d1), (d2) lần l-ợt tại A, B và thoả mãn các điều
kiện
a, MA=MB
b, MA = 2MB


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
Bài 49:Viết PT đ-ờng thẳng (d) cắt các đ-ờng thẳng (d1) x +y +3 = 0 và (d2): 2x - y -5 = 0
tại các điểm A, B sao cho M (1; 1) là trung điểm AB .
Bài 50: Viết PT đ-ờng thẳng (d) trong các tr-ờng hợp sau :
a, Qua M (-2 ; -4) và cắt Ox , Oy lần l-ợt tại A ,B sao cho tam giác OAB là tam giác
vuông cân
b, Qua M (5 ; 3) và cắt Ox , Oy lần l-ợt tại A ,B sao cho M là trung điểm của đoạn
AB

c, Qua M ( 8;6) và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích bằng 12
d, Qua M (-4 ; 3) và cắt Ox , Oy lần l-ợt tại A ,B sao cho 5 MA 3MB
e, Qua M(1;3) và chắn trên các trục toạ độ những đoạn thẳng có độ dài bằng 5
Bài 51: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
a, P = (x +y -2)2+ ( x + my -3)2
b, Q = (x -2y +1)2+ ( 2x + my +5)2
c, K = (x +my -2)2+ [ 4x + 2(my -2)y -1 ]2
Bài 52: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d1): x+ 3y -9 =0 và
(d2) : 3x -2y -5 =0 đồng thời đi qua điểm A (2; 4)
Bài 53: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d1): 3x+ y -1 =0 và
(d2) : 3x +2y -5 =0 đồng thời song song với đ-ờng thẳng (a) : x - y +4 =0
Bài 54: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d1): x+ 3y -4 =0 và
(d2) : 3x -y -2 =0 đồng thời vuông góc với đ-ờng thẳng (a) : x - y -1 =0
Bài 55: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d1): x+ 3y -8 =0 và
(d2) : 3x -2y -2 =0 đồng thời tạo với đ-ờng thẳng (a) : x - y -1 =0 một góc 45o
Bài 56: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d1): x+ y -2 =0 và
(d2) : 3x -4y +1 =0 đồng thời chắn trên hai trục toạ độ những đoạn thẳng bằng nhau.
Bài 57: Viết PT đ-ờng thẳng (d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d1): x- y -2 =0 và
(d2) : 2x +y +8 =0 đồng thời cắt trục Ox, Oy lần l-ợt tại A ,B sao cho tam giác OAB là
tam giác vuông cân
Bài 58: Viết PT đ-ờng thẳng d) đi qua giao điểm hai đ-ờng thẳng (d1): 2x- y +5 =0 và
(d2) : x +y -2 =0 đồng thời tạo với hai trục Ox, Oy một tam giác co diện tích bằng 8
Bài 59: Cho tam giác ABC biết PT các cạnh : (AB) : x-y-2=0 , (AC) : 3x -y -5 =0 ,
(BC) : x-4y -1 =0 . Viết PT các đ-ờng cao của tam giác
Bài 60: Cho tam giác ABC biết PT cạnh AB là 5x -3y +2 =0, đ-ờng cao AD: 4x-3y +1 =0.
đ-ờng cao BE : 7x +2y - 22=0
a, Viết PT đ-ờng cao CF
b, Viết PT các cạnh AC, BC
c, Tìm toạ độ đỉnh C
Bài 61:Tính góc giữa hai đ-ờng thẳng (d1) và (d2) biết :

a, (d1): 4x+3y+1=0 và (d2): 3x+4y+3=0
x 1
x 2t
x 1 2u
b, (d1):
và (d2): x+2y-7=0
c, (d1):
và (d2):
y 1 t
y 1 3t
y 2 u
Bài 62: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) trong các tr-ờng hợp sau:
a, Qua điểm M(2;3) và tạo một góc 450 với đ-ờng thẳng (d): x-y=0
x3 y2

b, Qua điểm M(2;-1) và tạo một góc 450 với đ-ờng thẳng (d):
1
1
x t
c, Qua điểm M(-1;2) và tạo một góc 450 với đ-ờng thẳng (d):
y 1 t
Bài 63: Cho tam giác ABC biết: (AB): x+y+1=0
(BC): 2x-3y-5=0


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
a, Viết ph-ơng trình các cạnh sao cho tam giác ABC cân tại A và AC đi qua điểm
M(1;1)
b, Tính các góc của tam giác

Bài 64: Cho hai đ-ờng thẳng:
(d1): 2x- y - 2 = 0 , (d2) : 2x + 4y - 7 = 0
a. Viết ph-ơng trình các đ-ờng phân giác của góc tạo bởi (d1) và (d2) .
b. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua P(3; 1) cùng với (d1), (d2) tạo thành một
tam giác cân có đỉnh là giao điểm của (d1) và (d2).
Bài 65: Cho hai đ-ờng thẳng:
(d1): 2x- y - 2 = 0 , (d2) : 2x + 4y - 7 = 0
a. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua góc toạ độ sao cho đ-ờng thẳng (d) tạo
với (d1), (d2) một tam giác cân có đỉnh giao điểm của (d1), (d2).
b. Tính diện tích tam giác
Bài 66: Cho hai đ-ờng thẳng:
(d1): x + 2y - 3 = 0
(d2) : 3x - y + 2 = 0
Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) qua điểm P(3; 1) và cắt (d1), (d2) lần l-ợt tại A, B sao cho
(d) tạo với (d1), (d2) một tam giác cân có cạnh đáy AB.
Bài 67: Cạnh bên và cạnh đáy của một tam giác cân có ph-ơng trình theo thứ tự là:
(d): x + 2y - 1 = 0 , (d) : 3x - y + 5 = 0
Tìm ph-ơng trình cạnh còn lại biết nó đi qua điểm M(1; 3)
Bài 68: Cho hai đ-ờng thẳng có ph-ơng trình: (d1): x + 2y - 4 = 0, (d2) : 4x- 2y + 1 = 0
Cắt nhau tại I. Lập ph-ơng trình đ-ờng thẳng ( ) đi qua A(2; 3) và ( ) cùng với (d1), (d2)
tạo thành tam giác cân đỉnh I.
Bài 69: Cho tam giác ABC, biết B(-3; 1), đ-ờng cao qua đỉnh A và đ-ờng phân giác trong
qua đỉnh C lần l-ợt là:
(dA): x + 3y + 12 = 0
,
(dC) : x + 7y + 32 = 0
Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác.
Bài 70: Viết ph-ơng trình các cạnh của hình vuông, biết hình vuông có một đỉnh là (-4; 5)
và một đ-ờng chéo có ph-ơng trình là (d): 7x - y + 8 = 0.
Bài 71: Một tam giác vuông cân có đỉnh góc vuông là A(4; -1), cạnh huyền có ph-ơng

trình là (BC): 3x - y + 5 = 0. Viết ph-ơng trình hai cạnh còn lại.
2
3
Bài 72: Cho tam giác ABC có đỉnh A(1; 2), B(3; 4), CosA =
, CosB =
.
5
10
Viết ph-ơng trình các cạnh của tam giác.
3
2
Bài 73: Cho tam giác ABC có C(-3; 2), CosA =
, CosB = và ph-ơng trình cạnh
5
5
(AB): 2x - y - 2 = 0. Viết ph-ơng trình hai cạnh còn lại
3
Bài 74: Cho tam giác ABC cân tại A có B(-3; -1), C(2; 1) và CosA = . Viết ph-ơng trình
5
các cạnh của tam giác
Bài 75: Cho hai điểm A(-1; 2), B(3; 5). Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua A và cách
B một đoạn bằng 2.
Bài 76: Cho hai điểm A(1; 1), B(3; 6). Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua A và cách B
một đoạn bằng 3.
Bài 77: CMR: Qua điểm A(4; -5) không có đ-ờng thẳng nào mà khoảng cách từ B(-2; -3) tới
đ-ờng thẳng đó bằng 12.
Bài 78: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M(2; 5) và cách đều hai điểm A(-1; 2),
B(5; 4).
Bài 79: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M(-2; 3) và cách đều hai điểm A(5; -1),
B(3; 7).

Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
Bài 80: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua M(1; 2) và cách đều hai điểm A(2; 3), B(4;
-5).
Bài 81: Cho ba điểm A(1; 1), B(2; 0), C(3; 4). Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) đi qua A
và cách đều hai điểm B, C.
Bài 82: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) cách điểm A(3; 1) một đoạn bằng 2 và cách
điểm B(-2; -4) một đoạn bằng 3.
Bài 83: Cho hai điểm B (1; 1), C(2; 3) và đ-ờng thẳng (d): 4x + 3y + 3 = 0.
a. Tìm điểm A thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho tam giác ABC cân.
b. Tìm điểm A thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho tam giác ABC vuông.
c. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng ( ) cách điểm B một khoảng bằng 2 và cách điểm
C một khoảng bằng 4.
Bài 84: Tìm trong mặt phẳng Oxy những điểm cách đ-ờng thẳng (d): 4x + 3y + 5 = 0 một
đoạn bằng 6 và cách đều hai điểm A(-2; -5), B(12; -3).
Bài 85: Cho hai đ-ờng thẳng:
(d1): x - 3y + 3 = 0 , (d2) : 3x - y - 1 = 0
Tìm tất cả những điểm cách đều (d1) và (d2):
a. Nằm trên trục hoành
b. Nằm trên trục tung
Bài 86: Cho ba đ-ờng thẳng: (d1): x + y + 3 = 0 , (d2) : x - y - 4 = 0 , (d3) : x - 2y = 0 .
Tìm điểm M thuộc đ-ờng thẳng (d3) sao cho khoảng cách từ M đến đ-ờng thẳng (d1) bằng
hai lần khoảng cách từ M đến đ-ờng thẳng (d2).
Bài 87: Cho hai điểm A(2; 2), B(5; 1) và đ-ờng thẳng (d): x - 2y + 8 = 0
a. Xác định điểm C thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho tam giác ABC cân.
b. Xác định điểm M thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho diện tích tam giác ABM bằng 17.
2
Bài 88: Diện tích tam giác ABC bằng , hai đỉnh A(2; -3), B(3; -2) và trọng tâm G của

3
tâm thuộc đ-ờng thẳng: (d): 3x - y - 8 = 0. Tìm toạ độ đỉnh C.
Bài 89: Cho hai điểm A(1; 1), B(-1; 3) và đ-ờng thẳng (d): x + y + 4 = 0
a. Tìm trên (d) điểm C cách đều hai điểm A, B.
b. Với C tìm đ-ợc, tìm điểm D sao cho ABCD là hình bình hành. Tính diện tích hình
bình hành.
Bài 90: Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng ( ) song song với (d): 3x - 4y + 1 = 0 và có
khoảng cách đến đ-ờng thẳng (d) bằng 1.
Bài 91: Cho hình vuông ABCD có hai cạnh là(d1): 4x - 3y + 3 = 0 , (d2) : 4x - 3y - 17 = 0
Và đỉnh A(2; -3). Viết ph-ơng trình hai cạnh còn lại của hình vuông.
Bài 92: Cho hình vuông ABCD có đỉnh A(5; -1) và một trong các cạnh nằm trên đ-ờng
thẳng (d): 4x - 3y - 7 = 0. Viết ph-ơng trình các cạnh còn lại.
Bài 93: Viết ph-ơng trình các cạnh của hình vuông ABCD, biết AB, CD, BC, AD lần l-ợt
đi qua các điểm M(2; 1), N(3; 5), P(0; 1), Q(-3; -1).
Bài 94: Tìm M thuộc d): 2x + y - 1 = 0 và cách đ-ờng thẳng ( ) : 4x + 3y - 10 = 0 một
khoảng bằng 2.
Bài 95: Cho hai điểm A(-1; 3), B(1; 1) và đ-ờng thẳng (d): y = 2x.
a. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC đều
b. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC cân.
c. Xác định điểm C thuộc (d) sao cho tam giác ABC vuông.
Bài 96: Cho tam giác ABC có diện tích bằng 3 với A(3; 1), B(1; -3)
a. Tìm toạ độ điểm C biết C trên Oy.
b. Tìm toạ độ điểm C biết trọng tâm G của tam giác trên Oy.
Bài 97: Cho tam giác ABC có đỉnh C(-2; -4) và trọng tâm G(0; 4).


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
a. Giả sử M(2; 0) là trung điểm cạnh BC. Xác định toạ độ các đỉnh A, B.
b. Giả sử M di động trên đ-ờng thẳng (d): x + y - 2 = 0. Tìm quỹ tích điểm B. Xác

định M để cạnh AB ngắn nhất.
Bài 98: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2; -1) và PT các cạnh.
(AB): 4x + y + 15 = 0
(AC) : 2x + 5y + 3 = 0
a. Tìm toạ độ đỉnh A và toạ độ trung điểm M của BC.
b. Tìm toạ độ đỉnh B và viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng BC.
Bài 99: Cho ba im A(4; 3), B(2; 7), C(-3; -8)
a. Tìm toạ độ trọng tâm G, trục tâm H và tâm I của đ-ờng tròn ngoại tiếp ABC.
b. CMR: I, H, G thẳng hàng
c. Tính diện tích tam giác ABC
Bài 100: Cho tam giác ABC vuông góc tại A, biết ph-ơng trình cạnh (BC): x - y - 2 = 0,
điểm A, B nằm trên Ox. Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC biết rằng bán
kính đ-ờng tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 3.
Bài 101: Cho im A(3; 1).
a. Tìm toạ độ điểm B và C sao cho OABC là hình vuông và điểm B nằm trong góc
phần t- thứ nhất.
b. Viết ph-ơng trình hai đ-ờng chéo của hình vuông
Bài 102: Cho tam giác ABC, biết A(1; -1), B(-2; 1), C(3; 5).
a. Tính diện tích tam giác ABC
b. Tìm điểm M trên Ox sao cho góc AMB bằng 600 .
c. Tìm điểm C trên Ox sao cho góc APC bằng 450 .
Bài 103: Cho im A(1; 1). Tìm điểm B thuộc đ-ờng thẳng (d): y = 3 và điểm C thuộc trục
Ox sao cho tam giác ABC đều.
Bài 104: Cho ba im M(1; 1), N(3; 2), P(2; -1) theo thứ tự là trung điểm cách cạnh AB,
BC,CA. Xác định toạ độ các đỉnh của tam giác.
Bài 105: Cho hai im A(-3; -2), B(3; 1) và đ-ờng thẳng (d): x + y - 4 = 0. Viết ph-ơng
1
trình đ-ờng thẳng ( ) song song với (d) và cắt đoạn AB tại M sao cho MA MB .
2
Bài 106: Lập ph-ơng trình của tập hợp (E) gồm những điểm mà tổng khoảng cách từ điểm

đó đến hai điểm F1(-3; 0), F2(3; 0) bằng 10.
Bài 107: Lập ph-ơng trình của tập hợp (H) gồm những điểm mà giá tri tuyệt đói của hiệu
số các khoảng cách từ điểm đó đến hai điểm F1(-5; 0), F2(5; 0) bằng 8.
Bài 108: Tìm trên đ-ờng thẳng (d): 3x + 2y + 1 = 0 điểm M(xM ; yM) sao cho
P = x2M + y2M nhỏ nhất.
Bài 109: Tìm trên trục Ox điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các điểm A, B là
nhỏ nhất, biết:
a. A(1; 1) và B(2; -4)
b. A(1; 2) và B(3; 4)
Bài 110: Tìm trên trục Ox điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M tới các điểm A, B là
nhỏ nhất, biết:
a. A(1; 1) và B(-2; -4)
b. A(1; 2) và B(3; -2)
Bài 111: Tìm trên đ-ờng thẳng (d): x + 2y - 1 = 0 điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ
M tới các điểm A, B là nhỏ nhất, biết:
a. A(1; 1) và B(-2; -4)
b. A(1; 1) và B(3; 1)
Bài 112: Cho ba im A(2; 4), B(3; 1), C(1; 4) và đ-ờng thẳng (d): x - y - 1 = 0.
a. Tìm M thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho AM + MB nhỏ nhất.
b. Tìm N thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho AN + CN nhỏ nhất


Chuyờn : NG THNG TRONG MT PHNG
Hỡnh hc 10
Bài 113: Cho hai điểm M(3; 3), N(-5; 19) và d): 2x + y - 4 = 0. Hạ MK vuông góc với đ-ờng
thẳng (d), gọi P là điểm đối xứng của M qua (d).
a. Tìm toạ độ của K và P.
b. Tìm điểm A thuộc đ-ờng thẳng (d) sao cho AM + AN nhỏ nhất.
Bài 114: Cho tam giác ABC, biết A(1; 1), B(3; 3), C(2; 0).
a. Tính diện tích tam giác ABC.

b. Tìm điểm M trên Ox sao cho góc AMB nhỏ nhất.
Bài 115: Cho điểm M(4; 1). Một đ-ờng thẳng (d) luôn đi qua M cắt Ox, Oy theo thứ tự tại
A(a 0), B(b; 0) với a>0, b > 0. Viết ph-ơng trình đ-ờng thẳng (d) sao cho:
1
1
a . Diện tích tam giác OAB nhỏ nhất.
b. OA + OB nhỏ nhất.
c.


OA2

OB2

x 2 2t
Bài 116 : Cho đ-ờng thẳng (d) có ph-ơng trình tham số : (d):
. Tìm điểm M
y 3 t
nằm trên (d) và cách A(0; 1) một khoảng bằng 5.
x 1 3t
Bài 117: Cho đ-ờng thẳng (d) có ph-ơng trình tham số:(d):
. Tìm điểm M nằm
y 4t
trên (d) sao cho MP ngắn nhất.
x 2 2t
Bài 118 : Cho điểm M(3; 1) thẳng (d) có ph-ơng trình tham số: (d):
y 1 2t
a, Tìm điểm A nằm trên (d) sao cho A cách M một khoảng bằng 13
b, Tìm điểm B trên (d) sao cho MB ngắn nhất
Bài 119: Cho tam giác ABC , biết cạnh BC có trung điểm M(0; 4), còn hai cạnh kia có

ph-ơng trình là : (d1) : 2x +y -11 = 0
(d2) x +4y -2 = 0
a, Xác định toạ độ đỉnh A
b, Gọi C là đỉnh nằm trên đ-ờng thẳng (d) : x- 4y -2 =0, N là trung điểm của AC .
Tìm toạ độ điểm N rồi tìm toạ độ B ,C.