11 Ung dung Casio trong giai he pt_BG-2016

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

11. ỨNG DỤNG CASIO TRONG GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Thầy Đặng Việt Hùng – Nguyễn Thế Duy – Vũ Văn Bắc
VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN

( x + y ) 2 xy + 5 = 4 xy − 3 y + 1
Ví dụ 1. Giải hệ phương trình 
( x + 2 y ) 2 xy + 5 = 6 xy + x − 7 y − 6

( x ∈ ℝ) .
2 xy + 5 , đồng thời lại

PHÂN TÍCH CASIO. Nhận thấy, hệ phương trình có chứa căn thức duy nhất

xuất hiện 2xy ở mỗi phương trình. Nên để đơn giản ta sẽ đặt t = 2 xy + 5 ⇔ 2 xy = t 2 − 5 , do đó hệ
phương
trình
đã
cho
trở
thành
2
2
( x + y ) t = 2 ( t − 5 ) − 3 y + 1
(1)

( x + y ) t = 2t − 3 y − 9
⇔
( ∗) .


2
2
+
=
+
−
−
x
2
y
t
3
t
x
7
y
21
2
(
)
(
)
x
+
2
y
t
=
3
t

−
5
+
x
−
7
y
−
6
(
)
( )


Chú ý nghiệm t là nghiệm chung của hai phương trình (1) và ( 2 ) . Do đó ta xét từng phương trình:
•

Phương trình (1) ⇔ 2t 2 − ( x + y ) t − 3 y − 9 = 0 ⇒ ∆ (1) = ( x + y ) + 8 ( 3 y + 9 ) .
2

Suy ra t =

•

x + y ± ∆(1)

x+ y±

=

( x + y)

2

+ 8 (3 y + 9)

.
4
4
2
Phương trình (1) ⇔ 3t 2 − ( x + 2 y ) t + x − 7 y − 21 = 0 ⇒ ∆ ( 2) = ( x + 2 y ) − 12 ( x − 7 y − 21) .
Suy ra t =

x + 2 y ± ∆ ( 2)

=

x + 2y ±

( x + 2y)

2

− 12 ( x − 7 y − 21)

6
6
Ta sẽ chọn nghiệm t chung bất kỳ, ta xét phương trình:

x+ y+

( x + y)

2

+ 8 (3 y + 9)

4
Gán y = 100 ta được

x + 100 +

=

( x + 100 )

x + 2y +

( x + 2y)

2

.

− 12 ( x − 7 y − 21)

6
2

+ 2472

=

x + 200 +

( x + 200 )

2

− 12 ( x − 721)

.
4
6
Dùng chức năng SHIFT SOLVE, máy yêu cầu gán giá trị biến, ta sẽ nhập X bất kỳ và kết quả thu
được nghiệm x = 100 .
Gán y = 50 ta được

x + 50 +

( x + 50 )

2

+ 1272

=

x + 100 +

( x + 100 )

2

− 12 ( x − 371)

4
6
Tương tự như trên ta có được x = 53 .
Từ hai điều trên, ta có được nhân tử chung là x − y − 3 = 0 ⇔ y = x − 3 . Khi đó ta được:

.

2
( x + y ) t = 2t 2 − 3 y − 9
( 2 x − 3) t = 2t 2 − 3 ( x − 3 ) − 9
2t − 3 x = 2 xt − 3t
⇔
⇔ 2
⇔t=x

2
2
( x + 2 y ) t = 3t + x − 7 y − 21 ( 3 x − 6 ) t = 3t + x − 7 ( x − 3) − 21 3t − 6 x = ( 3 x − 6 ) t
Còn khi thế x = y + 3 vào hệ phương trình ( ∗) ta được:

( x + y ) t = 2t 2 − 3 y − 9
( 2 y + 3) t = 2t 2 − 3 y − 9
⇔
⇔ t = y +3.



2
2
x
+
2
y
t
=
3
t
+
x
−
7
y
−
21
3
y
+
3
t
=
3
t
+
y
+

3
−
7
y
−
21
(
)
(
)


t = x
x = t
x = t
⇔
. Bây giờ quan sát, với kết quả 
ta sẽ thấy hệ
Hay nói cách khác ( ∗) ⇔ 
t = y + 3
y = t − 3
y = t − 3

phương trình ( ∗) thực chất là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn x, y với coi t là tham số.
Do đó, dạng hệ phương trình này ta sẽ xét đến cách giải bằng định thức ngày xưa đã được học như sau:
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

a1 x + b1 y = c1
Bài toán. Cho hệ phương trình 
, giải và biện luận hệ phương trình đã cho.
a2 x + b2 y = c2
Lời giải. Thiết lập các định thức:
a b
c b
a c
D = 1 1 = a1b2 − a2b1 ;
Dx = 1 1 = c1b2 − c2 b1 ;
Dy = 1 1 = a1c2 − a2 c1
a2 b2
c2 b2
a2 c2
Nếu D = a1b2 − a2b1 ≠ 0 thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: x =
Nếu D = a1b2 − a2b1 = 0 có hai trường hợp xảy ra là:

Dy
Dx
; y=
.
D
D

 Dx ≠ 0
Với 
thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
 Dy ≠ 0
Với Dx = Dy = 0 thì hệ phương trình đã cho có vô số nghiệm.

t.x + ( t + 3) . y = 2t 2 − 9
Dựa vào lý thuyết trên, bây giờ xét hệ phương trình ( ∗) ta có: ( ∗) ⇔ 
.
2
( t − 1) .x + ( 2t + 7 ) . y = 3t − 21
t
t +3
2t 2 − 9 t + 3
2
= t + 5t + 3 ≠ 0 .
= t ( t 2 + 5t + 3) .
Ta xét các định thức: D =
Dx = 2
t − 1 2t + 7
3t − 21 2t + 7

Dy =

t
2t 2 − 9
= ( t − 3) ( t 2 + 5t + 3) nên
2
t − 1 3t − 21

Dx

 x = D = t
 x = 2 xy + 5
⇔
⇔ ( x; y ) = {( 5; 2 ) , (1; −2 )} .



D
y
y
xy
+
3
=
2
+
5
y =

=t −3

D
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = {( 5; 2 ) , (1; −2 )} .

LỜI GIẢI. Điều kiện: 2 xy + 5 ≥ 0 .

Cách 1. Đặt t = 2 xy + 5 ≥ 0 ⇔ 2 xy = t 2 − 5 . Khi đó hệ phương trình đã cho tương đương với:
2
2
( x + y ) t = 2 ( t 2 − 5 ) − 3 y + 1

( x + y ) t = 2t − 3 y − 9
t.x + ( t + 3) . y = 2t − 9
⇔
⇔




2
2
2
( x + 2 y ) t = 3 ( t − 5 ) + x − 7 y − 6
( x + 2 y ) t = 3t + x − 7 y − 21 ( t − 1) .x + ( 2t + 7 ) . y = 3t − 21
t
t +3
2t 2 − 9 t + 3
Ta xét các định thức: D =
= t 2 + 5t + 3 ≠ 0 .
Dx = 2
= t ( t 2 + 5t + 3) .
t − 1 2t + 7
3t − 21 2t + 7

t
2t 2 − 9
= ( t − 3) ( t 2 + 5t + 3) nên
Dy =
2
t − 1 3t − 21
Dx

 x = D = t
 x = 2 xy + 5
⇔
⇔ ( x; y ) = {( 5; 2 ) , (1; −2 )} .


 y = Dy = t − 3
 y + 3 = 2 xy + 5

D
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = {( 5; 2 ) , (1; −2 )} .

Cách 2. Lấy 2. pt (1) − pt ( 2 ) ta được: x − y − 3 = ( 2 xy + 5 ) − x 2 xy + 5 = 2 xy + 5
Lấy 3. pt (1) − 2. pt ( 2 ) ta được:

( x − y)

2 xy + 5 = 5 y − 2 x + 15 ⇔ ( x − y − 3)

(

) (

(

)

2 xy + 5 − x .

)

2 xy + 5 + 5 = 3 x − 2 xy + 5 .

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Từ đó suy ra:
 x − 2 xy + 5 = 0
2 xy + 5 2 xy + 5 − x
2 xy + 5 + 5 = 3 x − 2 xy + 5 ⇔ 
.
3 + 2 xy + 5 2 xy + 5 + 5 = 0

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = {( 5; 2 ) , (1; −2 )} .

(

)(

) (

)

(

(

)

( x − y + 2 ) x 2 + 2 y 2 + x = 2 y ( 2 − x )

Ví dụ 2. Giải hệ phương trình 
 x − 1 + x + y + 1 + x3 + x 2 − 2 = y



)

( x, y ∈ ℝ )

PHÂN TÍCH CASIO. Điều kiện: x ≥ 1; x + y + 1 ≥ 0
Phương trình một của hệ tương đương với: ( x − y + 2 ) x 2 + 2 y 2 + x 2 − xy + 2 x = 2 y ( 2 − x )

Đặt t = x 2 + 2 y 2 , giả sử tồn tại số thực α sao cho

α ( x 2 + 2 y 2 ) + ( x − y + 2 ) x 2 + 2 y 2 − (α − 1) x 2 − 2α y 2 + xy + 2 x − 4 y = 0
⇔ α t 2 + ( x − y + 2 ) t − (α − 1) x 2 − 2α y 2 + xy + 2 x − 4 y = 0

( ∗)

Coi phương trình ( ∗) là phương trình bậc hai ẩn t với tham số là x, y . Ta cần đi tìm hệ số α sao cho

đenta của phương trình ( ∗) là một số chính phương, hay nói cách khác biệt thức:

∆ = ( x − y + 2 ) − 4α  − (α − 1) x 2 − 2α y 2 + xy + 2 x − 4 y 
2

Là một hằng đẳng thức biểu diễn theo hai biến x, y . Để làm được điều này ta gán các giá trị như sau:

1
α2
20096
 10199 
, khi đó ∆ = 

+
40000
α
α
−
1
+
−
α.
(
)

100
1250
25
 100 
2

Đặt x = 100; y =

α
20096
 10199 
∆= 
−
α là số hữu tỷ dương.
 + 40000α (α − 1) +
1250
25
 100 

Và ta sử dụng công cụ TABLE ( Mode 7 ) để tìm α , đó là:
2

2

Khi đó tìm giá trị α sao cho

2

X2
20096
 10199 
Xét công cụ Mode 7 cho hàm số F ( X ) = 
+
40000
X
X
−
1
+
−
X.
(
)

1250
25
 100 
Với các giá trị START = −9 , END = 9 và STEP = 1 .
F(X )

X
Khi đó ta tìm X sao F ( X ) nhận giá trị hữu tỷ và đồng thời X ≠ 0 .
902
−4
Dựa vào bảng bên, ta thấy với X = 1 thì:
−3
702
3
502
−2
F ( X ) = 97.97 = 100 − 2 −
= x − 3y − 2
302
−
1
100
0
101.99
Do đó nếu lựa chọn α = 1 thì ∆ = x − 3 y − 2 .
97.97
1
Khi đó phương trình có hai nghiệm là:
297.98
2
 −x + y − 2 + x − 3y − 2
3
497.98
= −y − 2
 x2 + 2 y2 + y + 2 = 0
t =

2

697.98
4
⇔

2
2
−
x
+
y
−
2
−
x
+
3
y
+
2

t =
5
897.98
= −x + 2 y
 x + 2y + x − 2y = 0

2

)

(

Từ phương trình thứ hai của hệ ta có y = x − 1 1 + x 2 + 2 x + 2 + x + y + 1 ≥ 0 ⇒ y ≥ 0 .
Phương trình một của hệ tương đương với: x 2 + 2 y 2 + ( x − y + 2 ) x 2 + 2 y 2 + xy + 2 x − 4 y − 2 y 2 = 0 .
Có ∆

= ( x − y + 2 ) − 4 ( xy + 2 x − 4 y − 2 y 2 ) = ( x − 3 y − 2 ) , do đó suy ra:
2

x2 + 2 y 2

2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

−x + y − 2 + x − 3y − 2
 2
2
= −y − 2
 x2 + 2 y 2 + y + 2 = 0
 x + 2y =
2

⇔


 x2 + 2 y 2 + x − 2 y = 0
 x2 + 2 y 2 = − x + y − 2 − x + 3 y + 2 = − x + 2 y


2
x 2 + 2 y 2 + y + 2 = 0 vô nghiệm vì y ≥ 0 .

TH1. Với

2 y ≥ x
2 y ≥ x
x2 + 2 y 2 + x − 2 y = 0 ⇔ x2 + 2 y2 = 2 y − x ⇔  2
⇔
.

2
2
2
 y = 2x
 x + 2 y = 4 y − 4 xy + x
Thế y = 2 x xuống phương trình thứ hai trong hệ ta được:

TH2. Với

x − 1 + 3x + 1 + x3 + x 2 − 2 = 2 x ⇔ x − 1 +
3 ( x − 1)

⇔ x −1 +

3x + 1 + 2

+

(

)

) (

3x + 1 − 2 +

( x − 1) ( x 2 − 2 x + 6 )

x3 + x2 − 2 − 2 x + 2 = 0
x − 1 ( x2 − 2 x + 6 ) 
=0
x3 + x 2 − 2 + 2 x − 2 


3 x −1
= 0 ⇔ x − 1 1 +
+
3x + 1 + 2

x3 + x 2 − 2 + 2 x − 2

⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ⇒ y = 2 x = 2 ⇒ ( x; y ) = (1; 2 ) là nghiệm duy nhất của hệ phương trình.
 x − 3 2y − 5 y − 3 − x +1
=


y +1
2x + 4
Ví dụ 3. Giải hệ phương trình 

3
3
( x + 4 )( x − y + 4 ) = ( y + 2 ) − 3 y ( 2 y − x ) − 7
Lời giải
Điều kiện: x ≥ −1; y ≠ −1 .
TƯ DUY CASIO
Xét phương trình thứ hai của hệ, ta có ( x + 4 )( x − y + 4 ) =

•

3

( y + 2)

3

( x, y ∈ ℝ )

− 3y (2 y − x) − 7 .

Với y = 1 ta được phương trình: ( x + 4 )( x + 3) = 3 3 x + 14 , từ đó dùng máy tính CASIO với chức
năng SHIFT SOLVE ta được x = −2 .

•

Với y = 100 ta được phương trình: ( x + 4 )( x − 96 ) = 3 1023 − 300 ( 200 − x ) − 7 , từ đó dùng máy

tính CASIO với chức năng SHIFT SOLVE ta được x = 97 .
Với hai cặp nghiệm trên tìm được ta có nhân tử y = x + 3 đồng thời xét vế trái của phương trình hai trong

hệ có xuất hiện x + 4 nên ta chuyển về ( x + 4 ) − y − 1 = 0 là nhân tử cần tìm.
Mặt khác

3

( y + 2)

3

− 3y (2 y − x) − 7 =

y 3 + 3xy + 12 y + 1 =

3

3

y3 + 3 y ( x + 4 ) + 1 .

Nên đặt t = x + 4 thì phương trình hai của hệ trở thành: t 2 − ty =
Với nhân tử t = y + 1 thay vào

3

y 3 + 3ty + 1 ta có

3

3

y 3 + 3ty + 1 =

( ∗) .

y 3 + 3ty + 1
3

( y + 1)

3

⇒

3

y 3 + 3ty + 1 = y + 1 = t .

Do đó lượng liên hợp với căn bậc ba chính là t . Vậy nên ta được:

( ∗) ⇔ ( t

2

(

)

− ty − t ) + t − y + 3ty + 1 = 0 ⇔ t ( t − y − 1) +
3

3

t 3 − y 3 − 3ty − 1
t 2 + t 3 y 3 + 3ty + 1 +

(

3

y 3 + 3ty + 1

)

2

=0

Chú ý

a 3 + b3 + c3 − 3abc = ( a + b + c ) ( a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ) =
Do đó t 3 + ( − y ) + ( −1) − 3ty =
3

3

1

2
2
2
( a + b + c ) ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) 
2

1
2
2
2
( t − y − 1) ( t + y ) + ( y − 1) + (1 + t )  , hay nói cách khác:
2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

( t − y − 1) ( t + y )

2
2
+ ( y − 1) + (1 + t ) 
 =0
( ∗) ⇔ 2t ( t − y − 1) +
2
t 2 + t 3 y 3 + 3ty + 1 + 3 y 3 + 3ty + 1
2

(

)



2
2
2
t + y ) + ( y − 1) + (1 + t )


(
⇔ ( t − y − 1)  2t +
= 0 ⇔ t = y +1
2
2
3
3
3
3
t + t y + 3ty + 1 + y + 3ty + 1 



Với t = y + 1 ⇔ x + 4 = y + 1 ⇔ y = x + 3 thế vào phương trình một của hệ, ta có:

)

(

x − 3 2x + 1 x − x + 1
=
⇔ ( 2x + 4) x − 3 2 x + 1 = ( x + 4) x − x + 1
x+4
2x + 4

(

)

(

)

⇔ 2 x2 + 4 x − ( 2 x + 4) 3 2 x + 1 = x2 + 4 x − ( x + 4) x + 1 ⇔ x2 + ( x + 4) x + 1 = ( 2 x + 4 ) 3 2 x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥
⇔ x2 + 2 x + 1 + ( x + 4) x + 1 = 2 x + 1 + ( 2 x + 4) 3 2 x + 1
⇔ ( x + 1) + ( x + 1) x + 1 + 3 x + 1 = ( 2 x + 1) 3 2 x + 1 + 2 x + 1 + 3 3 2 x + 1

(i )

2

Xét hàm số f ( t ) = t 4 + t 3 + 3t với t ≥ 0 , có f ' ( t ) = 4t 3 + 3t 2 + 3 > 0; ∀t ≥ 0
Nên suy ra f ( t ) là hàm số đồng biến trên [ 0; +∞ ) , do đó thu được:

(i ) ⇔

f

(

)

x +1 = f

(

3

1

x = 0 ⇒ y = 3
x ≥ − 2

2x + 1 ⇔ x + 1 = 2x + 1 ⇔ 
⇔
x = 1+ 5 ⇒ y = 7 + 5
( x + 1)3 = ( 2 x + 1) 2

2
2


)

3


 1 + 5 7 + 5  
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = ( 0;3) , 

;
 .
2  
 2


x − y +1
+ x2 + 1 = 0
( xy − 1)
2x + 1
Ví dụ 4. Giải hệ phương trình 
4 y 2 − 10 = ( y 2 + 4 x − 5 ) x − ( y + 4 ) x + 3


( x ∈ ℝ) .

PHÂN TÍCH CASIO. Ta thấy phương trình hai trong hệ phức tạp chưa khai thác được gì nhiều, ta sẽ
chuyển hướng lên phương trình một. Cái đích của việc giải hệ chính là tìm mối liên hệ giữa x , y sau đó
thế vào phương trình còn lại tìm nghiệm. Phương trình một có chứa căn thức nên để đơn giản ta sẽ đặt
x−y +1
, mục đích của ta muốn là t = k = const để từ đó biểu diễn x , y . Với phép đặt trên ta có thể
2x + 1
dễ dàng rút y theo x , t như sau:
t=

t=

x−y +1
x−y +1
⇔ t2 =

⇔ y = x + 1 − (2 x + 1)t 2
2x + 1
2x + 1

Khi đó pt (1) ⇔ ( x  x + 1 − (2 x + 1)t 2  − 1)t + x 2 + 1 = 0
⇔ xt ( x + 1) − (2 x 2 + x)t 3 − t + x 2 + 1 = 0

(∗)

Bây giờ ta sẽ đưa phương trình (∗) về dạng phương trình bậc hai ẩn x để xét đenta hoặc nhóm nhân tử
chung, vì thế ta có:

(∗) ⇔ x2 t + xt − (2 x2 + x)t 3 − t + x2 + 1 = 0 ⇔ x2 (t + 1 − 2t 3 ) + x(t − t 3 ) − t + 1 = 0
⇔ x 2 (2t 3 − t − 1) + x (t 3 − t) + t − 1 = 0

Và có thể thấy ngay nhân tử t − 1 = 0 vì 2t 3 − t − 1 = (t − 1)(2t 2 + t + 1) và với t 3 − t = (t − 1)(t 2 + t ) , do

đó

(∗) ⇔ x2 (t − 1)(2t 2 + t + 1) + x(t − 1)(t 2 + t) + t − 1 = 0 ⇔ (t − 1)  x2 (2t 2 + t + 1) + x(t 2 + t) + 1 = 0
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

−1
2


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Với x , t ≥ 0 suy ra x 2 (2t 2 + t + 1) + x (t 2 + t) + 1 > 0 , nên (∗) ⇔ t = 1 .
Hay nói cách khác x − y + 1 = 2 x + 1 ⇔ x + y = 0 .

Tuy nhiên, với công cụ máy móc phát triển, ta có thể xử lý phương trình một của hệ bằng CASIO rất đơn
giản như sau:
Xét phương trình ( xy − 1)

x−y +1
+ x2 + 1 = 0 .
2x + 1

x − 99
+ x2 + 1 = 0 .
2x + 1
Dùng SHIFT SOLVE ta được nghiệm x = −100 ⇒ x + y = 0 .

•

Gán y = 100 ta được (100 x − 1)

•

x − 499
+ x2 + 1 = 0 .
2x + 1
Dùng SHIFT SOLVE ta được nghiệm x = −500 ⇒ x + y = 0 .

Gán y = 500 ta được (500 x − 1)

x−y +1
= 1 nên ta sẽ lựa chọn phương pháp liên hợp để tìm nhân tử chung, đó là:
2x + 1


x−y +1

 x−y +1
x 2 + 1 − (1 − xy)
= 0 ⇔ x 2 + xy − (1 − xy)
− 1 = 0
 2 x + 1
2x + 1



x ≥ 0


1 − xy
 = 0 ⇔ x + y = 0 vì 
⇔ ( x + y)  x +

1 − xy ≥ 0
2 x + 1 x − y + 1 + 2 x + 1 



Với x + y = 0 ⇒

(

)

Với x + y = 0 thế vào phương trình thứ hai trong hệ, ta được:

4 x 2 − 10 = ( x 2 + 4 x − 5) x − (4 − x) x + 3

Tiếp tục, phương trình trên chứa hai căn thức, có lẽ hướng tối ưu là liên hợp, để tìm được nhân tử chung
ta cần tìm nghiệm của bài toán trước. Vẫn bằng máy tính CASIO ( thực chất có thể không dùng tới máy )
ta sẽ tìm được phương trình có hai nghiệm x = 1 và x = 4 .
Mặt khác, ở x đã chứa biểu thức x 2 + 4 x − 5 = ( x − 1)( x + 5) nên ta sẽ liên hợp x với 2 , tương tự sẽ
phải liên hợp

x + 3 với 2 , do đó ta được:

4 x − 10 = ( x 2 + 4 x − 5) x − (4 − x) x + 3
2

(

⇔ 2 ( x 2 − 5 x + 4) = ( x − 1)( x + 5)
⇔ 2 ( x 2 − 5 x + 4) =

(x + 5)( x

2

)

(

x − 2 + ( x − 4)

− 5 x + 4)

x +2

+

x+3−2

)

x 2 − 5x + 4
x+3 +2



 x 2 − 5 x + 4 = 0 ⇔ ( x − 1)( x − 4) = 0 ⇔  x = 1


x = 4
⇔ 
1
2 = x + 5 +
(i )

x+2
x+3 +2


Với điều kiện x ≥ 0 ta thấy (i)

(
⇔

2

x −1

)

x +2

+

1
x+3 +2

= 0 vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là ( x; y) = {(1; −1) ,(4; −4)} .
Ví dụ 5. Các ví dụ phân tích nhân tử hai ẩn xuất hiện trong bài toán HỆ PHƯƠNG TRÌNH.
Câu 1. Phương trình y x 2 − y 2 = 2 x + 2 .
Lời giải. Dùng chức năng SHIFT CALC ta được như sau:
Y
0
1
−2
−1
−
2

1
2

1

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

2


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

X

−1

Can’t

−

−1

13
10


0 = − a + b + c
a = 1

5
1
2


 = − a + b + c ⇔ b = −1 suy ra nhân tử là
6
2
3
c = 2

13
1
6
=
−
a
−
b
+
c
 5
10
2
Khi đó y x 2 − y 2 = 2 x + 2 ⇔ y

2

2

2

2

−1

Can’t

x 2 − y 2 = ax + by + c = x − y + 2 .

)

(

x2 − y 2 − x + y − 2 + y ( x − y + 2) = 2 x + 2

( x − y − x + y − 2) + xy − 2 x − 2 + 2 y − y = 0
⇔ y ( x − y − x + y − 2 ) + ( x − y − x + y − 2 )( x
⇔ ( x − y − x + y − 2 )( x − y + x + y + 2 ) = 0 .
2

5
6

x 2 − y 2 = ax + by + c nên ta có hệ phương trình:

Do đó ta dự đoán quan hệ là

⇔y

−

2

2

2

2

Câu 2. Giải phương trình

2

2

)

− y2 + x + 2 = 0

2

8x − y + 5 + x + y − 1 = 3 x + 2 .

Lời giải. Xét phương trình với x = 100 ta được

805 − y + y + 99 = 32 , dùng SHIFT CALC ta thu

805 − y + y + 99 − 32
= 0 , tiếp tục với SHIFT CALC với
y + 95

được nghiệm y = −95 . Xét phương trình
y = 100 ta sẽ được nghiệm y = 801 .

 y = −95 = 5 − 100 = 5 − x
Vậy phương trình đó có hai nghiệm là 
.
 y = 801 = 1 + 800 = 1 + 8 x
 8 x − y + 5 = 3 x
Thay y = 5 − x vào phương trình đã cho, ta sẽ thấy 
nên ta chọn giải pháp liên hợp
 x + y − 1 = 2
như sau:
5− x− y
x + y −5
8x − y + 5 − 3 x + x + y − 1 − 2 = 0 ⇔
+
=0
8x − y + 5 + 3 x
x + y −1 + 2

(

) (

)



1
1
⇔ ( x + y − 5) 
−

 = 0 ⇔ ( x + y − 5) 8 x − y + 5 + 3 x − x + y − 1 − 2 = 0
 x + y −1 + 2
8 x − y + 5 + 3 x 

y = 5− x
⇔
( ∗)
 8 x − y + 5 + 3 x − x + y − 1 − 2 = 0
.
 8 x − y + 5 = 2
Tiếp tục với y = 8 x + 1 , thay vào phương trình ( ∗) ta sẽ thấy 
, do đó ta tiếp tục liên
3
x
=
x
+
y
−
1

hợp biểu thức như sau:
8x − y + 1
8x − y + 1
8x − y + 5 − 2 + 3 x − x + y − 1 = 0 ⇔
+
=0
8x − y + 5 + 2 3 x + x + y − 1

(

(

) (

)




1
1
+
 = 0 ⇔ y = 8 x + 1 vì
 8x − y + 5 + 2 3 x + x + y − 1 
1
1
+
> 0.
8x − y + 5 + 2 3 x + x + y − 1

( 8 x − y + 1) 

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016

)


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Câu 3. Giải phương trình ( x + 4 y − 3) x + y 2 = y − 2 x − 4 y 2 − xy
Lời giải. Nhập phương trình ( x + 4 y − 3) x + y 2 = y − 2 x − 4 y 2 − xy vào máy tính, sau đó thực hiện các
thao tác như sau:
1
. Máy tính hiện tiếp Solve for X ta nhập x = 1 .
• SHIFT CALC, nhập y =
100
• Màn hình máy tính hiện lên nghiệm x = 0.98 .
•

x + y 2 = 0.98 + 0.012 = 0.99 = 1 − y .

Ta thấy với x = 0.98; y = 0.01 nên suy ra

x + y 2 + y − 1 . Tiếp tục đi tìm nhân tử còn lại như sau:

Do đó phương trình sẽ có nhân tử là

( x + 4 y − 3)
=

x + y 2 − y + 2 x + 4 y 2 + xy

•

Nhập máy tính phép chia f ( x; y )

•

Nhập x = y = 1 ta được f (1;1) = 2 + 3 2 = 2 + 3 x + y 2 = x + y + 3 x + y 2 .

•

Ta được

( x + 4 y − 3)

x + y 2 − y + 2 x + 4 y 2 + xy
x + y + y −1
2

Khi đó phương trình đã cho ⇔

(

x + y2 + y − 1

.

= 3 x + y2 + x + y .

)(

)

x + y2 + y − 1 3 x + y2 + x + y = 0 .

 y x − 1 + 3 x − y 2 = 2 x + y
Câu 4. Giải hệ phương trình 
trên tập số thực.

( x + 5 y − 4 ) x − y 2 = 2 xy − 2 y
Lời giải. Điều kiện: x ≥ 1; x ≥ y 2 .
Phương trình thứ hai của hệ ( x + 5 y − 4 ) x − y 2 = 2 xy − 2 y , ta có thể giải quyết theo hai hướng sau:

Cách 1. Đặt t = x − y 2 ⇔ x = t 2 + y 2 nên phương trình hai của hệ trở thành:

(t

2

+ y 2 + 5 y − 4 ) t = 2 y ( t 2 + y 2 − 1) ⇔ t 3 − 2 yt 2 + ( y 2 + 5 y − 4 ) t − 2 y 3 + 2 y = 0

•
•

1
. Máy tính hiện tiếp Solve for X ta nhập t = 1 .
100
Màn hình máy tính hiện lên nghiệm t = −1.98 .
Ta thấy với t = −1.98; y = 0.01 nên suy ra t − 2 y + 2 = 0 .

•

Thực hiện phép chia

•

( ∗)

SHIFT CALC, nhập y =

t 3 − 2 yt 2 + ( y 2 + 5 y − 4 ) t − 2 y 3 + 2 y
t − 2y + 2

Do đó ( ∗) ⇔ ( t − 2 y + 2 ) ( t 2 − 2t + y 2 + y ) = 0 ⇔

(

= t 2 − 2t + y 2 + y .

)(

)

x − y2 − 2 y + 2 x + y − 2 x − y2 = 0 .

Cách 2. Ẩn phụ không hoàn toàn.

Xét phương trình hai của hệ, ta có α ( x − y 2 ) − ( x + 5 y − 4 ) x − y 2 + 2 xy − 2 y − α ( x − y 2 ) = 0
Có ∆

x− y 2

2
= ( x + 5 y − 4 ) − 4α  2 xy − 2 y − α ( x − y 2 )  . Và với mong muốn ∆

x− y 2

là một số chính

1
, ta được ∆ 2 = 9225.6025 − 4α (1.98 − 99.9999α ) .
x− y
100
Đặt F ( X ) = 9225.6025 − 4 X (1.98 − 99.9999 X ) và khảo sát bằng TABLE với các giá trị:

phương nên ta sẽ gán các giá trị x = 100; y =

•
•
•

Start = −10
End = 1 .
Step = 10 .

Và sẽ thấy tại giá trị X = 2 thì F ( X ) = 103.97 = x − 3 y + 4 ⇒ ∆

= ( x − 3 y + 4) .
2

x− y2

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC


( x + 5 y − 4 ) + ∆ x− y 2 x + 5 y − 4 + x − 3 y + 4 x + y

 x − y2 =
=
=

2α
4
2
Do đó, ta có 
( x + 5 y − 4 ) − ∆ x− y2 x + 5 y − 4 − x + 3 y − 4

2
=
= 2y − 2
 x− y =
2α
4

 y ≥ 1
TH1. Với x − y 2 = 2 y − 2 ⇔ 
2 .
2
 x − y = 4 ( y − 1)
2
y 2 + x − 1 3 (1 + x − y )
−1 + 5
2
Ta có y x − 1 + 3 x − y ≤
+
⇒ 2x + y ≤ 2x − y2 + 1 ⇔ y ≤
<1.

2
2
2
Do đó hệ phương trình đã cho vô nghiệm.

TH2. Với x + y = 2 x − y 2 , ta có:
y x − 1 + 3 x − y2 = y x − 1 + x − y2 + x + y = 2x + y ⇔ y x − 1 + x − y2 = x
y2 + x − 1 x − y2 + 1
+
= x . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
2
2
5− 5
−1 + 5
 y = x − 1
⇔y=
⇒x=

2
2
2
 x + y = 2 x − y
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất kể trên.
Mà y x − 1 + x − y 2 ≤

 y 2 − 2 xy − 3 x − 3 y + 1 + ( x − y + 3) 2 x 2 + y 2 + 1 = 0

Câu 5. Giải phương trình 
( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 4 xy − 2 x 2 = 2 xy + 4 x + 2
PHÂN TÍCH CASIO. Xét phương trình một của hệ, ta có

( x, y ∈ ℝ )

y 2 − 2 xy − 3x − 3 y + 1 + ( x − y + 3) 2 x 2 + y 2 + 1 = 0 .
•

Với y = 0 suy ra −3x + 1 + ( x + 3) 2 x 2 + 1 = 0 , SHIFT CALC ⇒ x = −5.236067977 .

•

Với y = 1 suy ra 1 − 2 x − 3x − 3 + 1 + ( x + 2 ) 2 x 2 + 2 = 0 , SHIFT CALC ⇒ x = 1 .

•

Với y = 2 suy ra 4 − 4 x − 3x − 6 + 1 + ( x − 1) 2 x 2 + 5 = 0 , SHIFT CALC ⇒ x = −0.773579212 .

Khi đó dự đoán nhân tử

Và nhân tử còn lại là

(

(

a = 2

2 x + y + 1 + ax + by + c và suy ra b = 0 và
c = 3

2

2

)

(

)

2 x2 + y 2 + 1 + 2 x + 3 .

2 x 2 + y 2 + 1 − x − y , do đó phương trình một tương đương với:

2 x2 + y 2 + 1 + 2 x + 3

)(

)

2 x2 + y 2 + 1 − x − y = 0 ⇔ 2 x2 + y2 + 1 = x + y

x + y ≥ 0
x + y ≥ 0
5
⇔ 2
⇔
vì x ≥ − ⇒ 2 x + 3 > 0 .

2
2

2
2
8
2 x + y + 1 = x + 2 xy + y
2 xy = x + 1
Với 2 xy = x 2 + 1 thế vào phương trình thứ hai của hệ, ta được:

( x + 1)

8 x + 5 + 6 x + 2 ( x 2 + 1) − 2 x 2 = x 2 + 1 + 4 x + 2 ⇔ ( x + 1) 8 x + 5 + 6 x + 2 = x 2 + 4 x + 3

(

) (

)

⇔ ( x + 1) x + 2 − 8 x + 5 + x + 1 − 6 x + 2 = 0 ⇔

( x + 1) ( x 2 − 4 x − 1)

+

x2 − 4 x − 1
=0
x + 1 + 6x + 2

x + 2 + 8x + 5
−1


x +1
1


x ≥
2
⇔ ( x − 4 x − 1) 
+
⇔ x = 2± 5
3
=0⇔
 x + 2 + 8x + 5 x + 1 + 6 x + 2 
 x2 − 4 x − 1 = 0


Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Vậy hệ phương trình đã cho có các nghiệm kể trên.
 x − y + 1 + x 2 + 2 x − 1 = y 2 − 2
Ví dụ 6. Giải hệ phương trình 
2
 x ( y − 1) + 2 x = ( 2 y + 1) 2 y − 1
A. Phân tích CASIO
Cho y = 100 khi đó (1) thành x − 99 + x 2 + 2 x − 1 = 1002 − 2.
Nhập vào máy tính X − 99 + X 2 + 2 X − 1 = 1002 − 2
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 99 = y − 1
⇒ x − y + 1 = 0 ⇒ (1) có nhân tử x − y + 1.

B. Lời giải
2
 x + 2 x ≥ 1
ĐK: 
 y ≥ 2

(*)

Khi đó (1) ⇔ x − y + 1 + x 2 + 2 x − 1 − y 2 − 2 = 0

⇒ x − y +1+

x2 + 2 x − 1 − ( y 2 − 2 )

( x + 1)

⇔ x − y +1+
⇔ x − y +1+

=0

x2 + 2x −1 + y2 − 2
2

− y2

x2 + 2 x − 1 + y 2 − 2

( x + 1 − y )( x + 1 + y )
x2 + 2 x − 1 + y 2 − 2

=0
=0



x + y +1

⇔ ( x − y + 1) 1 +
2
2


x
+
2
x
−
1
+
y
−
2



(3)

2
Ta có (2) ⇔ x ( y − 1) + 2 = ( 2 y + 1) 2 y − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.



x + y +1
Kết hợp với (*) ⇒ 1 +
> 0 nên (3) ⇔ x − y + 1 = 0 ⇔ y = x + 1.
2
x + 2x −1 + y2 − 2

Thế vào (2) ta được x ( x + 1 − 1) + 2 x = ( 2 ( x + 1) + 1) 2 ( x + 1) − 1
2

⇔ x3 + 2 x = ( 2 x + 3) 2 x + 1 = ( 2 x + 1) 2 x + 1 + 2 2 x + 1
⇔ x3 + 2 x =

(

)

2x +1 + 2x +1 ⇔ f ( x) = f
3

Xét hàm số f ( t ) = t 3 + t với t ∈ ℝ có f ' ( t ) = 3t 2 + 2 > 0

(

2x + 1

)

(4)

⇒ f ( t ) đồng biến trên ℝ nên (4) ⇔ x = 2 x + 1

(

x ≥ 0
⇔ 2
⇔ x = 1 + 2 ⇒ y = 2 + 2 thỏa mãn (*)
x = 2x +1

Đ/s: ( x; y ) = 1 + 2; 2 + 2

)

C. Nhận xét
Ta có thể biến đổi (1) ⇔ x + 1 +

( x + 1)

2

− 2 = y + y 2 − 2 ⇔ f ( x + 1) = f ( y )

Sau đó xét hàm số f ( t ) = t + t 2 − 2 với t ∈ ℝ có f ' ( t ) = 1 +

(5)

t

.

t2 − 2
Phương trình f ' ( t ) = 0 vô nghiệm ⇒ f ( t ) đơn điệu trên ℝ nên (5) ⇔ x + 1 = y.
Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Từ đó thế vào (2) và giải như trên.
 x − y + 1 + x 2 + x + 1 =
Ví dụ 7. Giải hệ phương trình 
2 x − y + x 2 − 2 x + 2 =
A. Phân tích CASIO

y2 − y +1
y2 − 3y + 3

Cho y = 100 khi đó (1) thành x − 99 + x 2 + x + 1 = 1002 − 99.
Nhập vào máy tính X − 99 + X 2 + X + 1 − 1002 − 99 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 99 = y − 1
⇒ x − y + 1 = 0 ⇒ (1) có nhân tử x − y + 1.

)

(

Nhập vào máy tính X − 99 + X 2 + X + 1 − 1002 − 99 : ( X − 99 ) = 0

Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ thông báo hết nghiệm.
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải

ĐK: x, y ∈ ℝ
(*)
Quan sát phương (1) ta biến đổi được một bên chỉ có biến x và một bên chỉ có biến y.
Điều này gợi mở cho ta nghĩ đến phương pháp hàm số, xét hàm đặc trưng.
Từ (1) biết được x − y + 1 = 0 hay y = x + 1.
Đặt x = u , y = v + 1 ⇒ (1) thành u − ( v + 1) + 1 + u 2 + u + 1 =

( v + 1) − ( v + 1) + 1
2

⇔ u + u 2 + u + 1 = v + v2 + v + 1 ⇔ f (u ) = f ( v )

(3)

Xét hàm số f ( t ) = t + t 2 + t + 1 với t ∈ ℝ có

f '(t ) = 1 +
Ta có A = 4 ( t 2 + t + 1) + 2t + 1 =

2t + 1
2 t2 + t +1

( 2t + 1)

2

=

4 ( t 2 + t + 1) + 2t + 1

2 t2 + t +1

( 2t + 1)

+ 3 + 2t + 1 >

2

.

+ 2t + 1

⇒ A > 2t + 1 + 2t + 1 ≥ − ( 2t + 1) + 2t + 1 = 0 ⇒ f ' ( t ) > 0, ∀t ∈ ℝ

⇒ f ( t ) đồng biến trên ℝ nên (3) ⇔ u = v ⇒ x = y − 1 ⇔ y = x + 1.
Thế vào (2) ta được 2 x − ( x + 1) + x 2 − 2 x + 2 =

( x + 1)

2

− 3 ( x + 1) + 3

⇔ x − 1 = x 2 − x + 1 − x 2 − 2 x + 2.
Đặt a = x 2 − x + 1 ≥ 0, b = x 2 − 2 x + 2 ≥ 0 ⇒ a 2 − b 2 = x − 1

⇒ a 2 − b 2 = a − b ⇔ ( a − b )( a + b − 1) = 0

2

1 3

Ta có a =  x −  + > 0, b =
2 4


( x − 1)

2

(3)

+ 1 ≥ 1 ⇒ a + b > 1 ⇒ a + b − 1 > 0.

Do đó (3) ⇔ a = b ⇒ x 2 − x + 1 = x 2 − 2 x + 2 ⇒ x 2 − x + 1 = x 2 − 2 x + 2 ⇔ x = 1 ⇒ y = 2.
Thử lại ( x; y ) = (1; 2 ) thỏa mãn hệ đã cho.

Đ/s: ( x; y ) = (1; 2 )

( x − 1) x − y + 1 + ( x − y ) x = 2 x − y − 1
Ví dụ 8. Giải hệ phương trình 
2
 x − x − y − 2 + y x + 3 + xy − x + 1 = 0

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

A.

Phân tích CASIO

Cho y = 100 khi đó (1) thành ( x − 1) x − 99 + ( x − 100 ) x = 2 x − 101
Nhập vào máy tính 101 − 2 X + ( X − 1) X − 99 + ( X − 100 ) X = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 100 = y ⇒ (1) có nhân tử x − y.

(

)

Nhập vào máy tính 101 − 2 X + ( X − 1) X − 99 + ( X − 100 ) X : ( X − 100 ) = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện Cancel thông báo hết nghiệm.
Dựa trên phân tích đó, ta có lời giải bài toán như sau:
B. Lời giải

x ≥ 0

ĐK:  x − y + 1 ≥ 0
 xy − x + 1 ≥ 0

Khi đó (1) ⇔ ( x − 1)

•

(*)

(

)

x − y + 1 − 1 + ( x − 1) + ( x − y ) x + y − 2 x + 1 = 0
⇔

( x − 1)( x − y + 1 − 1) +

⇔

( x − 1)( x − y ) +

⇔

( x − 1)( x − y ) + ( x − y )( x − 1) = 0

x − y +1 +1

1+ x − y +1

( x − y)(

1+ x − y +1

x + y−x=0

)

x −1 = 0

x +1


x = 1
1
1 
⇔ ( x − 1)( x − y ) 
+
=0⇔ 



x = y
 1+ x − y +1 1+ x 
TH1. x = 1 thế vào (2) ta được 1 − 1 − y − 22 + 2 y + y − 1 + 1 = 0
⇔ y+ y −2 = 0 ⇔

•

( x − y)

(

)(

y −1

)

y + 2 = 0 ⇔ y = 1 thỏa mãn (*)

TH2. x = y thế vào (2) ta được x 2 − 2 x − 2 + x x + 3 + x 2 − x + 1 = 0

⇔x

) (

x+3 −2 +

x ( x + 3 − 4)

)

x 2 − x + 1 − 1 + ( x 2 − 1) = 0

x2 − x + 1 −1

+ ( x − 1)( x + 1) = 0
x+3+2
x2 − x + 1 +1
x ( x − 1)
x ( x − 1)
⇔
+
+ ( x − 1)( x + 1) = 0
2 + x + 3 1 + x2 − x + 1


x
x
⇔ ( x − 1) 
+

+ x + 1 = 0
2
 2 + x + 3 1+ x − x +1

⇔ x = 1 ( x ≥ 0 ) ⇒ y = 1 thỏa mãn (*)
⇔

Đ/s: ( x; y ) = (1;1)

(

+

C. Nhận xét
Tại sao khi bấm máy CASIO ở trên ta chỉ thu được x = y còn trong lời giải lại có thêm x = 1. Câu trả lời
rất đơn giản. Khi ta gán y = 100 thì điều kiện của x là x ≥ 99 mà do đó khi bấm máy tìm nghiệm thì sẽ
không hiện X = 1. Việc tìm được nhân tử x − 1 sẽ được nảy sinh trong lời giải.
Trong một số bài toán khác, ta gán y = 100 sẽ tìm được nhân tử x − a ( a là hằng số).

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

2 x 2 + x + 2 y + 1 = ( 2 x + 1) x 2 + 2 y + 1

Ví dụ 9. Giải hệ phương trình  x 2 + y 2 − x + 8
= 2 x + 5 + 2 2 y +1

y −1


A.

Phân tích CASIO

Cho y = 100 khi đó (1) thành 2 x 2 + x + 201 = ( 2 x + 1) x 2 + 201
Nhập vào máy tính 2 X 2 + X + 201 − ( 2 X + 1) X 2 + 201 = 0
Bấm SHIFT SLOVE = đợi một lúc máy tính sẽ hiện ra X = 100 = y
 x 2 + 2 y + 1 − ( x + 1)

⇒ x − y = 0 ⇒ (1) có nhân tử x − y ⇒ ta sẽ nhóm
 x 2 + 2 y + 1 − ( y + 1)


Nếu nhóm

x 2 + 2 y + 1 − ( y + 1) ta làm như sau:

Phương trình (1) ⇔ ( 2 x + 1)

(

⇒ ( 2 x + 1) .
⇒
⇒

)

x 2 + 2 y + 1 − y − 1 = 2 x 2 + x + 2 y + 1 − ( 2 x + 1)( y + 1)
x 2 + 2 y + 1 − ( y + 1)

2

x + 2 y +1 + y +1
2

( 2 x + 1) ( x 2 − y 2 )

y + 1 + x2 + 2 y + 1

= 2 x 2 − 2 xy + y − x

= 2x ( x − y ) − ( x − y )

( 2 x + 1)( x − y )( x + y ) =
y + 1 + x2 + 2 y +1

( x − y )( 2 x − 1)

x = y

⇒  ( 2 x + 1)( x + y )
= 2x −1
 y + 1 + x2 + 2 y +1


(3)

Từ (3) ⇒ ( 2 x + 1)( x + y ) = ( 2 x − 1)( y + 1) + ( 2 x − 1) x 2 + 2 y + 1

⇒ 2 x 2 + 2 xy + x + y = 2 xy + 2 x − y − 1 + ( 2 x − 1) x 2 + 2 y + 1
⇒ 2 x 2 − x + 2 y + 1 = ( 2 x − 1) x 2 + 2 y + 1.
Phương trình này có dạng như (1) và ta sẽ kết hợp với (1)

Ta có ( 2 x 2 + x + 2 y + 1) − ( 2 x 2 − x + 2 y + 1) = ( 2 x + 1) − ( 2 x − 1)  x 2 + 2 y + 1
1
⇒ 2 x = 2 x2 + 2 y + 1 ⇒ x2 = x2 + 2 y + 1 ⇒ y = − .
2

Cách nhóm

B.

x 2 + 2 y + 1 − ( x + 1) được thể hiện trong lời giải sau đây.

Lời giải

x + 5 ≥ 0

ĐK: 2 y + 1 ≥ 0, y ≠ 1
 2
x + 2 y +1 ≥ 0
Khi đó (1) ⇔ ( 2 x + 1)

(*)

(

)

x 2 + 2 y + 1 − x − 1 = 2 x 2 + x + 2 y + 1 − ( 2 x + 1)( x + 1)

⇒ ( 2 x + 1) .

x 2 + 2 y + 1 − ( x + 1)

2

x2 + 2 y + 1 + x + 1

= 2 y − 2x ⇒

( 2 x + 1)( 2 y − 2 x )
x2 + 2 y + 1 + x + 1

= 2 y − 2x

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016


Khóa học KĨ THUẬT SỬ DỤNG CASIO – ĐẶNG VIỆT HÙNG – NGUYỄN THẾ DUY – VŨ VĂN BẮC

Tham gia nhóm Đề thi thử Hocmai,Moon,Uschool
để nhận bài giảng miễn phí và trao đổi kiến thức
Groups : />Fanpage : />Website: Tailieubaigiang.com
2 y − 2 x = 0
x = y
⇒ 2
⇒ 2
 x + 2 y + 1 + x + 1 = 2 x + 1  x + 2 y + 1 = x

x = y
x = y
⇒ 2
⇒
2
y = − 1
x
+
2
y
+
1
=
x


2
1
2
x2 + − x + 8
1
1

4
• TH1. y = − thế vào (2) ta được
= 2 x + 5 ⇔  x −  + 8 + 3 x + 5 = 0.
1
2
2


− −1
2
Phương trình vô nghiệm.
2x2 − x + 8
• TH2. x = y thế vào (2) ta được
= 2 x + 5 + 2 2x +1
x −1
⇔ 2 x 2 − x + 8 = 2 ( x − 1) x + 5 + 2 ( x − 1) 2 x + 1

⇔ ( x − 1) − 2 ( x − 1) x + 5 + ( x + 5 ) + ( x − 1) − 2 ( x − 1) 2 x + 1 + ( 2 x + 1) = 0
2

(
⇔ ( x −1 −

2

) + ( x −1−
x + 5 ) = ( x −1 −

⇔ x −1 − x + 5

2

2

) =0
2x +1) = 0

2x +1

2

2

2
 x − 1 = x + 5
( x − 1) = x + 5
⇔
⇒
2
x
−
1
=
2
x
+
1

( x − 1) = 2 x + 1

  x = −1

 x − 3 x − 4 = 0  x = 4
⇒ 2
⇒
⇒ x = 4 ⇒ y = 4.
 x − 4 x = 0
 x = 0

 x = 4

Thử lại x = y = 4 thỏa mãn hệ đã cho.
2

Đ/s: ( x; y ) = ( 4; 4 )
C. Nhận xét

Ví dụ này, tác giả đã bố trí ngay nhân tử 2 y + 1 , việc gán y = 100 sẽ không thể tìm ra được luôn. Việc tìm
được nhân tử 2 y + 1 sẽ được nảy sinh trong lời giải.

Tài liệu này được copy bởi Lễ Tân

Tham gia các khóa Luyện thi môn TOÁN tại MOON.VN để hướng đến kì thi THPT Quốc gia 2016