Công thức lượng giác dễ nhớ

GTLG CỦA GÓC NHỌN α TRONG T/G VUÔNG ABC TẠI A
C

AC
cạnhđố
i
=
BC cạnhhuyề
n
AB
cạnhkề
cosα =
=
BC cạnhhuyề
nCạnh đối
AC cạnhđố
i
tanα =
=
AB Canhkề

sinα =

A



Cạnh huyề
n

Cạnh kề

B

Cách nhớ:
Tìm sin lấy đối chia huyền
Cosin hai cạnh kề, huyền chia nhau
Còn tang ta hãy tính sau
Đối trên, kề dưới chia nhau thấy liền
Cotang ngược lại với tang.
 HỆ THỨC CƠ BẢN.

y

sin2 α + cos2 α = 1,∀ α
sinα
π
tanα =
,(đk : α ≠ + kπ ,k ∈ ¢ )
cosα
2
cosα
cotα =
,(đk : α ≠ kπ ,k ∈¢ )
sinα



M
1
O

sin α

α
H

cos α

A

Cách nhớ:
Sin bình cộng với cos bình
Nhất đònh bằng 1
Chúng mình cùng vui !
Còn tan mình hãy tính sau
Sin trên cos dưới chia nhau thấy liền
Cotan nghòch đảo của tan
Cos trên Sin dưới nằm lòng nhé em !

Cách nhớ bằng suy luận :
Dựa vào đường tròn lương giác
1 OHM , có
π OM =1 và từ định nghĩa sin α , cos α ta
Xét tam giác2 vuông
1+ tan α =
,(đk
:
α
≠
+ kπ ,k ∈ ¢ )

có ngay 3 hệ thức
cos2 α trên 2

1
sin α

 HỆ
CƠ BẢN
KHÁC
1+THỨC
cot2 α =
,(đk
: α ≠ kπ ,k ∈¢ )
2

tanα.cotα =1,(đk : α ≠ k

π
2

,k ∈¢ )

x




Cách nhớ:
Tan bình thêm 1 bạn ơi!
Bằng 1 chia nhé ,cos thời bình phương

Cotan cũng dễ như thường
Bình phương cộng 1 bằng thương chứ gì
Tử là số 1 còn chi
Mẫu bình phương của sin thì chẳng sai
Tang với cotan sánh vai
Tích chúng bằng 1 nhớ hoài chẳng quên



Cách nhớ bằng suy luận :

Từ hệ thức cơ bản (1) ,chia hai vế cho cos 2 α ta có ngay hệ
thức (4) , chia hai vế cho sin2 α ta có ngay hệ thức (5) ,vì tanα và
cotα là nghòch đảo của nhau nên tích của chúng bằng 1 nên ta
có ngay hệ thức (6)

 CÔNG THỨC GTLG CỦA CÁC CUNG (GÓC) LIÊN QUAN
ĐẶC BIỆT
α và - α
1) Hai cung (góc) đối nhau (có tổng=0):
cos (-α) = cosα , sin (-α) = - sin α , tan(-α) = - tan α , cot(-α) = - cot α
2) Hai cung (góc) bù nhau (có tổng=π ):
α và π- α
sin ( π -α)=sin α ,cos ( π -α) = -cosα , tan( π -α) = - tan α ,cot( π - α ) = -cot α
3) Hai cung (góc) phụ nhau (có tổng= π /2) : α và
π
2

π
2

π
2

π
2

π
−α
2

sin ( -α) = cos α , cos ( -α) = sinα , tan( -α) = cot α ,cot( -α )=tan α
 Ghi chú : Để dễ nhớ các công thức (1) ,(2) và (3) ta nhớ
câu :
“ cos đối, sin bù ,phụ chéo nhau”
 Giải thích :
Nghóa là hai cung (góc) đối nhau α và – α thì
chỉ có cos của chúng bằng nhau ,còn lại các GTLG khác thì
đối nhau


Hai cung (góc) bù nhau α và π- α
thì chỉ có sin của chúng bằng nhau ,còn lại các GTLG khác thì
đối nhau
Hai cung (góc) phụ nhau α và

π
−α
2

Sin góc nầy bằng cos góc kia & ngược lại
Tang góc nầy bằng cotan góc kia & ngược lại
 Chú ý: Ta có thể không cần nhớ các công thức về GTLG
của các cung (góc) hơn ,kém π và hơn ,kém π /2
Vì bằng suy luận ,có thể nhanh chóng suy ra chẳng hạn :
co s(α + π ) = −co s( −α ) = − cos α
co s(α − π ) = co s(π − α ) = − cos α
π
co s(α + ) = sin( −α ) = − sin α
2
π
π
co s(α − ) = co s( − α ) = sin α
2
2

............



 GIÁ TRỊ LƯƠNG GIÁC CỦA CUNG(GÓC) ĐẶC BIỆT
Cách nhớ:

1.Đầu tiên ta tìm sin của
00 300 450 600 90o
ˆ Ta viết 5 chữ số tự nhiên đầu tiên:
0 1
2
3 4
ˆ Lấy căn bậc hai của các số tự nhiên đó : 0 1 2

3 2
ˆ Chia các số cho 2,được kết quả cần tìm:

0

1
2

2
2

3
2

1

2. Tìm cos của các góc như trên bằng cách viết ngược lại của
sin :
00
1

3.Tính tan của

300

450

600

3

2

2
2

1
2

00 300 450 600 90o lấy

.Chú ý: tan90o không xác đònh
4. Tính cotan của

00 300 450 600 90o lấy

90o
0

sin
ta được tan
cos
cos
ta được
sin

cotan Chú ý: cot0o không xác đònh
Chú ý:
 p dụng công thức cung (góc) bù , ta tính được các giá trò
lượng giác của 1200 1350 1500 1800

VD : sin1200 = sin600 =

3
, tan1350 =- tan450 = 1 v.v...
2

 Khi biết sin của 00 300 450 600 90o , áp dụng công thức cung
(góc) phụ, ta cũng tính được các giá trò lượng giác của 00
300 450 600 90o
VD: cos600 = sin300 =

1
, cot600 = tan300 = 3 , v.v...
2
3

 GIÁ TRỊ LƯƠNG GIÁC CỦA CUNG(GÓC) HƠN KÉM
BỘI 2π ,BỘI π
sin(α +k.2π )
=sinα ;
cos(α +k.2.π)=cosα
tan(α +kπ)=tga ;
cot(α +kπ)=cotgα
π
π
VD: sin( +k.2π )=sin = 1,với ∀k ∈ ¢ , tan(300 +k1800)=tg300 với
2
2
∀k ∈ ¢ , cosk.2 π =cos0 =1 v.v..



Cách nhớ:
“Hai cung hơn kém bội chẵn π
Cos chúng bằng nhau sin cũng bằng
Còn tang hơn kém bội π
Cotang cũng thế chúng mình nhớ ghi”
 CÔNG THỨC CỘNG :
Đối với sin và cos :



1/ cos( a − b) = cos a cos b + sin a sin b
2/ cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b
3/ sin(a + b) = sin a cos b + co s a sin b
4/ sin(a − b) = sin a cos b − co s a sin b
Cách nhớ:
Cos thì cos cos sin sin
Sin thì sin cos

cos sin rõ ràng

Cos thì đổi dấu hỡi nàng
Sin thì giữ dấu xin chàng nhớ cho!.

Đối với tan


tan a + tan b

1 − tan a tan b
tan a − tan b
6/ tan(a − b) =
1 + tan a tan b

5/ tan(a + b) =



Cách nhớ:
Tang của tổng bằng tổng hai tang
Chia 1 trừ tích các tang oai hùng
Tang của hiệu bằng hiệu hai tang
Chia 1 cộng tích các tang oai hùng
 CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI
sin 2a = 2sin a.cos a
(1)
2
2
cos2a = cos a − sin a (2)
= 2 cos 2 a − 1 (3)
(4)
= 1 − 2sin 2 a
2 tan a
tan 2a =
(5)
1 − tan 2 a





Cách nhớ:
Sin gấp đơi = đơi sin cos
Cos gấp đơi = cos bình trừ sin bình
= hai cos bình trừ 1
=1 trừ hai sin bình
Tang gấp đôi
Tan đôi ta lấy đôi tan
Chia 1 trừ tiếp bình tan, ra liền
Cách nhớ bằng suy luận :

Từ công thức cộng :
sin(a + b) = sin a cos b + co s a sin b thay b bỡi a & rút gọn thì có ngay công
thức (1)
cos( a + b) = cos a cos b − sin a sin b ………………………………………………..(2)
Từ hệ thức cơ bản : sin2 a + cos2 a = 1⇒ sin2 a = 1− cos2 ahoặccos2 a = 1− sin2 a Thay vào
(2) thì có ngay công thức (3),(4)
1+ cos2a
(1)
2
Chia (1) & (2) vế theo vế ,VP cho ta tan2a ,VT tiếp
tục chia tử &mẫu
2 tan a
1− cos2a
sin2 a =
(2)
cho cos2a thì được
2
1 − tan a

2
1− cos2a
CÔNG THỨC HẠ BẬC
tan2 a =
(3)
1+ cos2a
cos2 a =




 Cách nhớ:
Cos bình hạ bậc nâng cung
1 cộng với cos mình cùng chia 2
Sin bình cũng thế thôi em
Nhưng 1 trừ cos sau rồi mới chia
Tang bình bình tỉnh nhe em
Bình sin, bình cos đem chia thấy liền

Cách nhớ bằng suy luận :
Từ công thức nhân đôi (3) ,suy ra công thức hạ bậc (1)
Từ công thức nhân đôi (4) ,suy ra công thức hạ bậc (2)
Chia (2) cho (1) vế theo vế thì có ngay công thức (3)
 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
a+b
a −b
.cos
2
2
a+b

a −b
cosa − cosb = −2sin
.sin
2
2
a+b
a −b
sin a + sin b = 2sin
.cos
2
2
a+b
a −b
sin a − sin b = 2cos
.sin
2
2
cosa + cosb = 2cos



Cách nhớ:
“ cos cộng cos bằng hai cos cos ,
cos trừ cos bằng trừ hai sin sin ,
sin cộng sin bằng hai sin cos ,
sin trừ sin bằng hai cos sin
Tan mình cộng với tan ta
Bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình”

 CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
1
cos(α + β ) + cos(α − β )

2
1
sinα sin β = − 
cos(α + b) − cos(α − β )

2
1
sinα cosβ = 
sin(α + β ) + sin(α − β )

2
cosα cosβ =



Cách nhớ:
Cos cos nửa cos-cộng, cộng cos-trừ
Sin sin trừ nửa cos-cộng trừ cos-trừ
Sin cos nửa sin-cộng cộng sin-trừ

Cách nhớ bằng suy luận :

Từ công thức cộng dễ dàng

 a+ b
 2 = α

a = α + β
⇒
suy ra công thức tích thành tổng ,bằng cách đặt 
b = α − β
 a− b = β
 2

 VÀI CÔNG THỨC LƯNG GIÁC KHÁC :
Công thức nhân 3

sin 3a = 3 sin a − 4 sin 3 a

cos 3a = 4 cos 3 a − 3 cos a
π
π
π
π




sin a − cos a = 2 sin  a −  = − 2 cos a + 
ˆ sin a + cos a = 2 sin  a +  = 2 cos a − 
4
4
4
4






1
ˆ cos 4 a + sin 4 a = 1 − sin 2 2a
2

Chú ý: Một công thức lượng giác ta nên vận dụng linh hoạt ,có khi áp
dụng từ VT sang VP và ngược lại