Bài tập định tính và tự luận định luật Keple

BI TP V CC NH LUT KEPLER
Bài 1:
Một hành tinh chuyển động xung quanh Mặt Trời theo một đờng elip sao cho khoảng
cách cực tiểu từ nó đến Mặt Trời là r, còn khoảng cách cực đại là R. Tìm chu kì quay của nó
quanh Mặt Trời.
Bài 2:
Một vật không lớn lắm bắt đầu rơi vào Mặt Trời từ một khoảng khoảng cách bằng bán
kính quỹ đạo của Trái Đất. Vận tốc ban đầu của vật trong hệ quy nhật tâm bằng 0. Hỏi sự rơi
kéo dài trong thời gian trong bao lâu.
Bài 3:
Tởng tợng rằng ta có thể tạo ra một mẫu Hệ Mặt Trời nhỏ hơn tự nhiên lần, nhng
bằng các vật liệu có cùng khối lợng riêng trung bình của Mặt Trời và các hành tinh. Khi đó
chu kì quay của các mẫu hành tinh theo các quỹ đạo của chúng sẽ biến đổi nh thế nào?
Bài 4:
Một sao đôi, đó là hệ gồm hai ngôi sao chuyển động xung quanh tâm quán tính của
chúng dới tác dụng của lực hấp dẫn. Tìm khoảng cách giữa các thành phần của sao đôi, nếu
khối lợng tổng cộng của nó là M và chu kì quay là T.
Bài 5:
Một hành tinh A chuyển động theo quỹ đạo elip xung quanh Mặt Trời. Tại thời điểm
khi nó ở cách MT một khoảng r
0
, vận tốc của nó bằng v
0
và góc giữa bán kính véctơ r
0
và vận
tốc v
0
là . Tìm khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất giữa MT và hành tinh này trong quá trình
chuyển động.
Bài 6:

Một vệ tinh chuyển động trong mặt phẳng xích đạo của Trái Đất và ở gần mặt đất.
Năng lợng cần thiết để phóng vệ tinh theo chiều quay của Trái Đất nhỏ hơn năng lợng phóng
theo chiều ngợc lại bao nhiêu lần? Bỏ qua sức cản của không khí.
Bài 7:
Một vệ tinh nhân tạo của Mặt Trăng chuyển động theo quỹ đạo tròn có bán kính lớn
hơn bán kính của Mặt Trăng lần. Khi chuyển động vệ tinh chịu tác dụng của lực cản yếu
của vũ trụ, phụ thuộc vận tốc theo công thức F=v
2
, trong đó a là hằng số; Tìm thời gian
chuyển động của vệ tinh cho đến khi nó rơi lên bề mặt của Mặt Trăng.
Bài 8:
Tính công tối thiểu cần thực hiện để đa một con tàu vũ trụ khối lợng m=2.10
3
kg từ
Trái Đất lên Mặt Trăng. Biết khối lợng Trái Đất gấp 81 lần khối lợng Mặt Trăng, khoảng
cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng gấp 60 lần bán kính TĐ.
Bài 9(đề thi QT năm 79 Liên Xô).
Con tàu vũ trụ với khối lợng M=12tấn đi quanh
Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn ở độ cao h=100km. Để
chuyển sang quỹ đạo hạ cánh, động cơ hoạt động
trong một thời gian ngắn. Vận tốc khí phụt ra khỏi
ống là u=10
4
m/s. Bán kính của Mặt Trăng là
R
t
=1,7.10
3
km, gia tốc trọng trờng trên bề mặt Mặt
Trăng là g=1,7m/s

2
.
a. Hỏi phải tốn bao nhiêu nhiên liệu để động cơ hoạt động ở điểm A làm con tàu đáp xuống
Định luật Keple
1
A
B
A
C
Mặt Trằng ở điểm B.
b. Trong phơng án thứ 2, ở điểm A con tàu nhận xung lợng hớng về tâm Mặt Trăng và
chuyển sang quỹ đạo tiếp tuyến với Mặt Trăng ở C (hình vẽ). Trờng hợp này tốn bao nhiêu
nhiên liệu?
Bài 10:(đề thi QT năm 85 Nam T)
Có hai phơng án thám hiểm bằng tàu vũ trụ đi ra ngoài thái dơng hệ. Trong phơng án
1, con tàu đợc phóng lên với vận tốc đủ lớn để trực tiếp thoát khỏi thái dơng hệ. Trong phơng
án 2, con tàu tiến lại gần một hành tinh ở xa Mặt Trời, và dới tác dụng của hành tinh này, vận
tốc của con tàu đổi hớng và tăng độ lớn cần thiết để thoát ra khỏi thái dơng hệ (giả thiết con
tàu chuyển động hoặc dới tác dụng của lực hấp dẫn của Mặt Trời hoặc lực hấp dẫn của hành
tinh).
a. Theo phơng án 1, tính vận tốc cực tiểu V
a
đối với Trái Đất và hớng của nó so với h-
ớng vận tốc của Trái Đất.
b. Giả thiết rằng con tàu đợc phóng theo hớng của câu a, nhng với vận tốc V
b
bé hơn
V
a
. Xác định vận tốc của tàu khi nó đi qua quỹ đạo của Sao Hoả, nghĩa là xác định thành

phần song song và vuông góc với quỹ đạo ấy. Giả thiết rằng Sao Hoả ở xa khi con tàu đi qua
quỹ đạo của nó.
c. Giả thiết, theo phơng án 2, con tàu đi vào trờng hấp dẫn của Sao Hoả. Tính vận tốc
phóng cực tiểu từ Trái Đất, để con tàu thoát ra khỏi hệ Mặt Trời.
d. Phơng án 2 có thể tiết kiệm động năng hơn, tính giá trị cực đại của tỷ số giữa động
năng tiết kiệm đợc và động năng theo phơng án 1.
Bài 11:(đề thi QT năm 96 Nauy)
Trong bài này ta xét một vài nét đại lợc về độ lớn của thuỷ chiều ở giữa đại dơng. Ta
đơn giản bài toán bằng cách đa ra các giả thiết sau đây:
- Trái Đất và Mặt Trăng đợc xem nh hệ cô lập.
- Khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng coi nh không đổi.
- Bề mặt TĐ bị đại dơng bao phủ hoàn toàn.
- Các hiệu ứng động lực học do TĐ quay quanh trục của nó bỏ qua.
- Lực hấp dẫn của TĐ có thể xác định bằng cách xem toàn bộ khối lợng tập trung ở tâm.
Cho biết:
- Khối lợng TĐ: M=5,98.10
24
kg.
- Khối lợng MT: M
m
=7,3.10
22
kg.
- Bán kính TĐ: R=6,37.10
6
m.
- Khoảng cách từ tâm TĐ đến tâm MT: L=3,84.10
8
m
- Hằng số hấp dẫn: G=6,67.10

-11
m
3
/kg.s
2
.
a. TĐ và MT quay với vận tốc góc quanh khối tâm chung C của chúng. C là điểm cách tâm
TĐ bao xa? Xác định .
Bây giờ ta dùng hqc quay quanh C cùng với MT và tâm TĐ. Trong hqc này dạng của bề mặt
chất lỏng trên TĐ không thay đổi. Trong mặt phẳng P đi qua C và vuông góc với trục quay,
vị trí của chất điểm trên mặt chất lỏng của TĐ có thể xác định bằng các toạ độ r, nh hình
vẽ. r là khoảng cách tính từ tâm TĐ. Ta sẽ khảo sát hình dạng của mặt chất lỏng trên TĐ nằm
trong mặt phẳng P: r()=R+h().
b. Xét một chất điểm khối lợng m của mặt chất lỏng trên TĐ (nằm trong mặt phẳng P).
Trong hqc này, nó chịu tác dụng của lực li tâm và lực hấp dẫn do MT và TĐ gây ra. Hãy viết
Định luật Keple
2
biểu thức của thế năng tơng ứng với 3 lực ấy.
Chú thích: mọi lực F(r) hớng theo phơng bán kính tới một tâm
nào đó đều bằng giá trị âm của đạo hàm của thế năng đối xứng
cầu V(r):
c. Tìm dạng của phần lồi lên do thuỷ chiều h() (một cách gần
đúng) theo các đại lợng M, M
m
Khoảng cách giữa mức thuỷ
triều cao và thấp trong mô hình ấy bằng bao nhiêu mét?
Cho công thức tính gần đúng:
1)-cos3(
2
1

+cosa+1
2acos-+1
1
2
2
2
a
a
khi a khá nhỏ so với 1 đơn vị.
Bài 12:(đề thi QT năm 99 Italia)
Sao mộc quay quanh mặt trời theo một quỹ đạo elip mà ta có thể coi gần đúng nh một
vòng tròn có bán kính trung bình là R.
1. Tính tốc độ V của hành tinh trên quỹ đạo MT.
2. Khi trạm ở giữa MT và Sao Mộc, tìm khoảng cách từ trạm đến Sao Mộc để cho lực
hấp dẫn của hành tinh này và của MT cân bằng lẫn nhau.
Một trạm vũ trụ khối lợng m=825kg bay lại gần Sao Mộc. Để đơn giản, ta xem nh quỹ
đạo của trạm nằm hoàn toàn trêm mặt quỹ đạo của Sao Mộc, coi lực hấp dẫn của Sao Mộc
với trạm là lớn so với các lực khác. Trong hqc gắn với MT tốc độ ban đầu của trạm là
v
0
=10
4
m/s (dọc theo chiều dơng của trục oy) trong khi đó tốc độ của Sao Mộc thì hớng theo
chiều âm của trục ox; ta gọi tốc độ ban đầu là tốc độ của trạm khi ở khá xa Sao Mộc, nhng
lực hút của MT trong miền này cũng bỏ qua đợc so với lực hút của Sao Mộc. Và giả sử rằng
trạm đi qua đằng sau Sao Mộc hình vẽ.
3. Xác định phơng chuyển động của trạm (tức góc giữa phơng chuyển động của nó
với Ox) và tốc độ v của nó đối với Sao Mộc khi ở khá xa Sao Mộc.
4. Tìm giá trị cơ năng toàn phần E của trạm trong hqc gắn với Sao Mộc. Biết quỹ đạo
của trạm trong hqc gắn với Sao Mộc là một hypebol với phơng trình trong hệ tọa độ cực gắn

với hqc này là:
)cos
mMG
b'Ev2
+1(
b'v
GM
=
r
1
22
22
22

(1)
Trong đó b là khoảng cách từ một trong hai đờng tiệm cận đến Sao Mộc (đợc gọi là
thông số va chạm), E là cơ năng toàn phần của trạm trong hqc gắn với Sao Mộc, G là hằng số
hấp dẫn, M là khối lợng của Sao Mộc, r, là các toạ độ cực.
5. Dùng phơng trình (1) mô tả quỹ đạo của trạm để tính góc lệch tổng cộng trong
hqc gắn vơi Sao Mộc. Biểu diễn nó nh hàm của vận tốc ban đầu v và b.
6. Cho rằng trạm không thể đi qua Sao Mộc ở khoảng cách tính đến tâm của Sao Mộc
nhỏ hơn 3 lần bán kính Sao Mộc, hãy tính thông số va chạm nhỏ nhất và góc lệch cực đại có
thể thực hiện đợc.
7. Tìm phơng trình cho ta vận tốc cuối cùng v của trạm trong hqc gắn với MT nh một
hàm của tốc độ của Sao Mộc V, tốc độ ban đầu v
0
và góc lệch .
8. Dùng kết quả trên để tính giá trị bằng số của tốc độ cuối cùng v trong hqc MT khi
góc lệch là lớn nhất có thể đạt đợc.
Cho:

Định luật Keple
3
TĐ
MT

r
- khối lợng của Sao Mộc: M=1,901.10
27
kg.
- Năm trên Sao Mộc: T=374,32Ms.
- Khối lợng MT: M
s
=1,991.10
30
kg.
- Bán kính xích đạo của Sao Mộc: R
m
=69,8Mm
Bài 13:
Một con tàu vũ trụ chuyển động theo quỹ đạo tròn quanh TĐ trong mặt phẳng quỹ đạo
của Mặt Trăng với vận tốc góc bằng vận tốc góc của MT. Trong thời gian chuyển động, tàu
nằm trên đờng thẳng nối tâm TĐ và MT, khoảng cách từ tàu đến TĐ đợc chọn sao cho lực
hút của hai hành tinh lên tàu cân bằng nhau. Hỏi động cơ của tàu có hoạt động không? Trọng
lợng của nhà du hành vũ trụ trên tàu nh thế nào? khối lợng ngời này là 70kg, chu kì quay của
MT quanh TĐ là T=27,3 ngày đêm. Khối lợng TĐ lớn hơn khối lợng MT 81 lần, còn khoảng
cách L từ TĐ tới MT bằng 60 lần bán kính TĐ, lấy bán kính TĐ là 6400km.
Bài 14:
Một con tàu vũ trụ quanh MT theo quỹ đạo tròn bán kính R=3,4.10
6
m. Hỏi phải nén từ

tàu một mẫu quốc huy theo phơng tiếp tuyến với quỹ đạo với vận tốc bao nhiêu để nó rơi lên
mặt đối diện của MT? Sau thời gian bao lâu nó rơi lên MT? Cho gia tốc rơi tự do của mọi vật
ở gần bề mặt MT nhỏ hơn TĐ 6 lần. Bán kính MT bằng 1,7.10
6
m.
Bài 15:
Một con tàu vũ trụ tới gần MT theo một quỹ đạo hình parabol gần nh tiếp tuyến với bề
mặt MT. Để chuyển sang quỹ đạo tròn tiếp theo, tức là quỹ đạo tròn gần với bề mặt MT, tại
thời điểm bay sát nhất với MT, một động cơ hãm đợc phát động. Xác định vận tốc chuyển
động của tàu sau đó. Lợng nhiên liệu đã đốt cháy phải chiếm tỷ lệ bao nhiêu trong khối lợng
ban đầu của tàu, nếu động cơ hãm phụt ra sản phẩm đốt với vận tốc tơng đối v=4.10
3
m/s so
với tàu.
Bài 16:
Một thiên thạch bay về phía một hành tinh (dọc theo đờng thẳng đi qua tâm hành tinh)
va vào một trạm vũ trụ tự động quay xung quanh hành tinh theo quỹ đạo là một đờng tròn
bán kính R. Kết quả là thiên thạch ở nguyên trong trạm và làm thay đổi quỹ đạo của trạm sao
cho khoảng cách nhỏ nhất tới tâm hành tinh là R/2. Tính vận tốc của thiên thạch ngay trớc
khi va chạm. Biết khối lợng trạm lớn gấp 10lần khối lợng thiên thạch. Khối lợng hành tinh là
M. Hằng số hấp dẫn là G. ĐS: u=
R
GM58

Định luật Keple
4