PHÂN TÍCH CHUYỂN VỊ CỦA DẦM LIÊN TỤC TIẾT DIỆN THAY ĐỔI DƢỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN_2

luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 1 of 95.

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƢỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI VIỆT NAM
------------------

KS. NGUYỄN VĂN QUẾ

PHÂN TÍCH CHUYỂN VỊ CỦA DẦM LIÊN TỤC TIẾT
DIỆN THAY ĐỔI DƢỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG
BẰNG PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN

LUẬN VĂN THẠC SỸ KỸ THUẬT

NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH THỦY
MÃ SỐ: 60580202
CHUN NGÀNH: KỸ THUẬT XÂY DỰNG CƠNG TRÌNH THỦY

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Phan Anh

HẢI PHÒNG - 2016

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc- tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -

1


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 2 of 95.

LỜI CAM ĐOAN

Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng tôi, dƣới sự hƣớng
dẫn của TS. Nguyễn Phan Anh. Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung
thực và chƣa từng đƣợc ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tơi xin cam đoan rằng các thơng tin trích dẫn trong luận văn đều có cơ sở
khoa học và đã đƣợc chỉ rõ nguồn gốc.

Hải Phòng, ngày 18 tháng 9 năm 2016
Học viên

Nguyễn Văn Quế

i
Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doctieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 3 of 95.

LỜI CẢM ƠN

Trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn, ngồi sự nỗ lực của bản
thân, tơi xin bày tỏ sự cảm ơn sâu sắc tới:
Ban Giám hiệu, Khoa cơng trình, Viện đào tạo sau đại học và các thầy cô
giáo Trƣờng Đại học Hàng hải Việt Nam đã giảng dạy nhiệt tình, tạo điều kiện để
tơi hồn thành chƣơng trình đào tạo, nâng cao kiến thức cơ bản cũng nhƣ kiến
thức chuyên ngành và hoàn thành luận văn.
TS. Nguyễn Phan Anh đã tận tình hƣớng dẫn để luận văn đƣợc hoàn thành
theo đúng các yêu cầu của đề tài.

Các đồng nghiệp, bạn bè và ngƣời thân trong gia đình đã giúp đỡ động viên
trong suốt thời gian học tập và làm luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn!

ii tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 4 of 95.

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN ....................................................................................................... i
LỜI CẢM ƠN ........................................................................................................... ii
MỤC LỤC ................................................................................................................ iii
DANH MỤC CÁC BẢNG ....................................................................................... iv
DANH MỤC CÁC HÌNH ........................................................................................ vi
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
CHƢƠNG 1: TỔNG QUAN CẦU DẦM HẪNG, CẦU DẦM LIÊN TỤC ........... 3
1.1 Các sơ đồ tĩnh học của cầu dầm liên tục và cầu dầm hẫng ................................ 3
1.2 Các sơ đồ tĩnh học của cầu dầm liên tục và cầu dầm hẫng ................................ 6
1.3 Một số hình ảnh cầu dầm liên tục tiết diện thay đổi ở Việt Nam ....................... 8
CHƢƠNG 2: CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN . 10
2.1 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn và các mô hình phân tích bài tốn kết cấu ...... 10
2.2 Phân tích bài tốn động lực học kết cấu – dao động tự do ............................... 12
2.3 Tính tốn hệ thanh bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn .................................. 17
CHƢƠNG 3: TÍNH TOÁN CHUYỂN VỊ CỦA DẦM LIÊN TỤC TIẾT DIỆN
BIẾN ĐỔI DƢỚI TÁC DỤNG CỦA HOẠT TẢI ................................................. 40
3.1 Hoạt tải HL93 .................................................................................................... 40
3.2. Mơ hình nghiên cứu ......................................................................................... 42
3.3. Các kết quả tính chuyển vị của dầm cầu ứng với các vị trí xếp tải: ................ 44
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ................................................................................. 50

TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................................... 51

iii tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 5 of 95.

DANH MỤC CÁC BẢNG
Số bảng

Tên bảng

Trang

3.1

Số liệu các phần tử dầm

42

iv tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 6 of 95.

DANH MỤC CÁC HÌNH
Số

Tên hình

Trang

hình
1.1

So sánh sơ đồ hệ thống cầu dầm giản đơn và cầu dầm liên tục

3

1.2

Hệ thống dầm liên tục hai nhịp

4

1.3

Hệ thống dầm liên tục ba nhịp

5

1.4

Hệ thống dầm hẫng 3 nhịp

5

1.5

Các dạng mặt cắt ngang điển hình

6

1.6

Ví dụ kích thƣớc mặt cắt ngang hình hộp

7

1.7

Cầu Tân Đệ

8

1.8

Cầu Thành Trì

9

1.9

Cầu Tân Vũ – Lạch Huyện Hải Phòng

9

2.1

Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu uốn thuần tuý

18

2.2

Góc xoay của dầm

20

2.3

Phần tử thanh chịu kéo nén dọc trục

21

2.4

Phần tử thanh chịu uốn và kéo nén đồng thời

23

2.5

Phần tử thanh chịu lực phân bố dọc trục

27

2.6

Quy đổi lực về nút của lực phân bố trên phần tử

28

2.7

Quy đổi lực về nút của lực tập trung trên phần tử

29

2.8

Véc tơ lực nút phần tử trong toạ độ địa phƣơng và toạ độ tổng thể

30

2.9

Véc tơ chuyển vị nút phần tử trong toạ độ địa phƣơng và toạ độ

30

tổng thể

vi tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 7 of 95.

2.10

Hệ thống chỉ số tổng thể và Hệ thống chỉ số phần tử

33

2.11

Ví dụ áp dụng dầm giản đơn chịu lực tác dụng của lực tập trung

34

2.12

Rời rạc hóa kết cấu

34

3.1

Đặc trƣng của xe tải thiết kế

40

3.2

Xe tải thiết kế (Truck)

40

3.3

Xe 2 trục thiết kế (Tandem)

41

3.4

Tải trọng làn thiết kế (Lane)

41

3.5

Mơ hình dầm cầu 3 nhịp tiết diện biến đổi

42

3.6

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 2

44

3.7

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 3

44

3.8

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 4

45

3.9

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 5

45

3.10

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 6

46

3.11

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 7

46

3.12

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 9

47

3.13

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 10

47

3.14

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 11

48

3.15

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 12

48

3.16

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 13

49

3.17

Chuyển vị của dầm cầu khi đặt tải tại nút 17

49

vii tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-

luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 8 of 95.

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Tại Việt Nam, hiện nay, hệ dầm cầu liên tục tiết diện biến đổi đƣợc sử dụng
ngày càng nhiều. Ƣu điểm của hệ dầm liên tục so với hệ dầm giản đơn là tung độ
dƣơng lớn nhất của biểu đồ bao momen nhỏ hơn, do đó, chiều cao dầm giảm đi và
lƣợng cốt thép sử dụng là ít hơn.
Ngồi ra, tính chất liên tục của bề mặt xe chạy trên các nhịp dầm liên tục
cũng đảm bảo tốt cho xe chạy êm thuận với tốc độ cao qua cầu. Độ võng của dầm
liên tục nhỏ hơn so với độ võng của dầm giản đơn cùng khẩu độ.
Thơng thƣờng, việc tính tốn hệ dầm liên tục tiết diện biến đổi đƣợc thực
hiện trên các phần mềm chuyên dụng nhƣ Midas, RM, … Về mặt bản chất, các
phần mềm này cũng sử nguyên lý của phƣơng pháp phần tử hữu hạn.
Với mục đích tìm hiểu về phƣơng pháp phần tử hữu hạn, từ đó có thể giải
quyết các bài toán phức tạp nhƣ bài toán dao động của dầm cầu dƣới tác dụng của
hoạt tải, của gió, … tác giả thực hiện đề tài “Phân tích chuyển vị của dầm liên
tục tiết diện thay đổi dƣới tác dụng của tải trọng bằng phƣơng pháp phần tử
hữu hạn”. Tác giả sử dụng các công thức gốc trong phƣơng pháp phần tử hữu hạn
để tính tốn, sau đó áp dụng phần mềm tốn học Maple để xác định chuyển vị của
dầm cầu, phần cuối của đề tài, tác giả áp dụng tính tốn cho một mơ hình dầm cầu
cụ thể.
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài
- Nghiên cứu phƣơng pháp phần tử hữu hạn áp dụng cho tính tốn hệ dầm.
- Sử dụng phần mềm Maple để tính chuyển vị của dầm cầu, từ đó có thể xác
định đƣợc ứng suất trong dầm cầu.
- Áp dụng tính cho một mơ hình dầm cầu cụ thể, xác định chuyển vị của hệ
dầm cầu với các vị trí đặt tải khác nhau, sau đó, nhận xét kết quả đạt đƣợc.

1 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 9 of 95.

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu của đề tài
Đối tƣợng nghiên cứu: Dầm cầu liên tục tiết diện biến đổi.
Phạm vi nghiên cứu: Sử dụng phƣơng pháp phần tử hữu hạn để tính chuyển
vị của dầm cầu.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu của đề tài
Đề tài sử dụng các phƣơng pháp nghiên cứu sau:
- Phƣơng pháp thu thập, tổng hợp, phân tích tài liệu: thu thập tất cả các tài
liệu đã có nghiên cứu về nội dung, đối tƣợng nghiên cứu của phƣơng pháp phần tử
hữu hạn.
- Phƣơng pháp tính tốn lý thuyết: ứng dụng để phân tích, tính toán chuyển
vị của dầm cầu dƣới tác dụng của hoạt tải tại các vị trí đặt tải khác nhau.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
- Kết quả nghiên cứu góp phần làm sáng tỏ nguyên lý tính tốn của phƣơng
pháp phần tử hữu hạn đối với bài toán dầm cầu liên tục tiết diện biến đổi.
- Kết quả nghiên cứu là cơ sở để mở rộng phạm vi ứng dụng của phƣơng
pháp phần tử hữu hạn khi tính dao động của dầm cầu dƣới tác dụng của hoạt tải,
của gió, ...

2 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 10 of 95.

Chương 1

TỔNG QUAN CẦU DẦM HẪNG, CẦU DẦM LIÊN TỤC [6]
1.1 Các sơ đồ tĩnh học của cầu dầm liên tục và cầu dầm hẫng

Hình 1.1: So sánh sơ đồ hệ thống cầu dầm giản đơn và cầu dầm liên tục

3 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 11 of 95.

Đối với dầm giản đơn, biểu đồ momen do tải trọng thẳng đứng chỉ có một dấu
dƣơng nhƣ trên hình 1.1.
Nếu thay cho việc dùng hệ thống 3 nhịp dầm giản đơn, chúng ta dùng hệ thống
dầm liên tục 3 nhịp thì biểu đồ momen có một đoạn mang dấu âm ở gần gối giữa, ngoài ra
các trị số tung độ dƣơng lớn nhất của hình bao momen cũng giảm đi.

M

Hình 1.2: Hệ thống dầm liên tục hai nhịp
Nhƣ vậy có thể làm kết cấu nhịp dầm liên tục với chiều cao thấp hơn, ít cốt thép
hơn, nghĩa là tiết kiệm vật liệu hơn so với phƣơng án hệ thống hệ thống dầm giản đơn
nhiều nhịp.
Trong hệ thống dầm liên tục, trên mỗi trụ chỉ cần đặt 1 gối di động hoặc 1 gối cố
định nên trụ cầu cso thể làm nhỏ hơn, tiết kiệm vật liệu hơn.
Áp lực gối thẳng đứng từ kết cấu nhịp dầm liên tục truyền xuống trụ hầu nhƣ đúng
tâm hoặc nén lệch tâm ít và gây ra ứng suất nén phân bố gần nhƣ đều trong mặt cắt thân
trụ và đáy móng trụ. Đây là ƣu điểm so với hệ thống dầm giản đơn nhiều nhịp.
Tuy nhiên trong hệ thống dầm liên tục thì lực hãm xe do 2 nhịp liên tục truyền lên
1 gối cố định đặt ở mố hoặc ở trụ sẽ lớn hơn lực hãm trong phƣơng án hệ thống 2 nhịp
dầm giản đơn. Nhƣ vậy, riêng trụ hoặc mố sẽ tốn vật liệu hơn.

Ngồi ra, tính chất liên tục của bề mặt xe chạy trên các nhịp dầm liên tục cũng đảm
bảo tốt cho xe chạy êm thuận với tốc độ cao qua cầu vì trắc dọc trên cầu sẽ là một đƣờng
cong đều đặn, khơng có điểm gẫy góc.
Độ võng của dầm liên tục nhỏ hơn so với độ võng của dầm giản đơn cùng khẩu độ.
Nhìn chung, việc áp dụng hệ thống dầm liên tục là hợp lý ngay cả khi chiều dài
mỗi nhịp chỉ là 12-15m. Qua thực tế khai thác cầu này tỏ ra làm việc tốt.

4 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 12 of 95.

Trƣớc kia, do trình độ cơng nghệ hạn chế , ngƣời ta thƣờng xây các cầu dầm liên
tục chỉ có 2-3 nhịp. Trong khoảng 20-30 năm gần đây để nâng cao chất lƣợng khai thác
cầu và nhờ các tiến bộ công nghệ ngƣời ta đã xây dựng các dầm liên tục có nhiều nhịp
hơn.

M

Hình 1.3: Hệ thống dầm liên tục 2 nhịp
Sơ đồ các hệ dầm liên tục nhiều nhịp có thể đƣợc sửa đổi thành hệ thống dầm hẫng
tĩnh định hoặc siêu tĩnh.

M

Hình 1.4: Hệ thống dầm hẫng 3 nhịp
Các cầu dầm hẫng một nhịp cho ô tô đã từng đƣợc xây dựng nhiều trƣớc đây (hình
1.3) vì ƣu điểm tiết kiệm (khơng cần xây 2 mố) và vì phần hẫng cịn có tác dụng làm giảm
tải cho phần giữa nhịp. Nếu chiều dài đoạn hẫng bố trí hợp lý thì có thể làm cho momen
giữa nhịp do riêng tĩnh tải sẽ gần bằng không.

Việc nối đầu hẫng của cầu khơng có mố và nền đƣờng cần phải đƣợc thực hiện sao
cho nền đƣợc không bị lún nhiều và đảm bảo tăng dần đƣợc độ cứng của nền bên dƣới
phần xe chạy khi xe đi từ đƣờng vào cầu.

5 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 13 of 95.

1.2 Các sơ đồ tĩnh học của cầu dầm liên tục và cầu dầm hẫng

Sau khi quyết định chọn sơ đồ tĩnh học của cầu và các kích thƣớc cơ bản,
ngƣời thiết kế cần lựa chọn dạng mặt cắt của kết cấu nhịp và phân chia kết cấu
nhịp thành các khối lắp ghép hoặc thành các phân đoạn đúc bê tông tại chỗ.
Trong các cầu lớn đều phải dùng dạng mặt cắt hình hộp. Ƣu điểm của dạng
này là có độ cứng chống xoắn cao hơn các dạng mặt cắt hở đến vài chục lần. Do
đó đủ khả năng chịu các lực gây ra bởi hoạt tải đặt lệch tâm ngay cả ở những nhịp
lớn và có mặt cầu rộng. Khuyết điểm của dạng mặt cắt hình hộp là chế tạo nó phức
tạp hơn các dạng mặt cắt hở.

Hình 1.5. Các dạng mặt cắt ngang điển hình

Do trị số mơmen rất lớn, đặc biệt là khi thi công đúc hẫng hay lắp hẫng, nên
dƣới tác dụng của tĩnh tải bản thân kết cấu nhịp thƣờng không xuất hiện mômen
dƣơng trong các kết cấu nhịp dầm liên tục. Mặt khác ở đoạn gần trụ có lực cắt rất
lớn. Do đó phải có các biện pháp cấu tạo hợp lý để tăng cƣờng khả năng chịu
mômen âm và lực cắt của các đoạn kết cấu nhịp gần với trụ.
Có thể tăng cƣờng các mặt cắt gần trụ bằng cách tăng chiều dày thành hộp để
vừa đồng thời giảm ứng suất kéo chủ vừa tăng đƣợc diện tích vùng bê tơng chịu
nén. Bản đáy hộp cũng đƣợc làm dày lên.

6 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 14 of 95.

Hình 1.6. Ví dụ kích thước mặt cắt ngang hình hộp.

Trong giai đoạn thiết kế sơ bộ cần đƣa ra một số phƣơng án với chiều khác
nhau của kết cấu nhịp để so sánh lựa chọn phƣơng án hợp lý. Có thể dựa vào một
số kinh nghiệm sau:
- Đối với cầu dầm liên tục đƣờng sắt thi ông đúc bê tông tại chỗ bằng BTCT
thƣờng chiều cao mặt cắt giữa nhịp vào khoảng (1/16-1/20)L. Các cầu ơ tơ tƣơng
tự có thể lấy chiều cao thấp hơn, bằng (1/20-1/35)L.
- Đối với các cầu ô tô bằng BTCT DUL với nhịp dài hơn 60m, có chiều cao
kết cấu nhịp thay đổi thì ở các đoạn gần trụ chọn chiều cao bằng (1/5-1/25)L.
- Chiều cao mặt cắt giữa nhịp phụ thuộc vào sơ đồ tĩnh học của cầu. Đối với
dầm liên tục có thể lấy bằng (1/27-1/40)L. Đối với cầu dầm hẫng và cầu khung Tdầm đeo thì chiều cao đó phụ thuộc vào chiều cao dầm để sao cho có đủ chỗ đặt
gối chốt và đảm bảo vẻ đẹp kiến trúc.
- Trong các cầu dầm hẫng có chốt và cầu khung T có chốt thì chiều ở giữa
nhịp lấy nhỏ chỉ cần theo yêu cầu cấu tạo đủ chỗ đặt chốt (1/37-1/64)L.

7 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 15 of 95.

Khi chọn kích thƣớc mặt cắt hình hộp cần lƣu ý rằng ứng suất do uốn dầm
thƣờng phân bố không đều theo chiều rộng bản nắp và bản đáy của hộp. Trị số lớn
nhất của ứng suất thƣờng xuất hiện ở vùng tiếp giáp giữa thành hộp với bản đáy

hoặc bản nắp hộp.
Để giảm chiều dày vữa đệm tạo độ dốc ngang của tầng phủ mặt xe chạy trên
cầu, ngƣời ta thƣờng làm cho bản mặt cầu BTCT có sẵn độ dốc ngang cần thiết đủ
để thoát nƣớc mƣa.
1.3 Một số hình ảnh cầu dầm liên tục tiết diện thay đổi ở Việt Nam

Hình 1.7. Cầu Tân Đệ

8 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 16 of 95.

Hình 1.8. Cầu Thành Trì

Hình 1.9. Cầu Tân Vũ – Lạch Huyện Hải Phòng

9 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc-


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 17 of 95.

Chương 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT VỀ PHƢƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN
2.1 Phƣơng pháp phần tử hữu hạn và các mơ hình phân tích bài tốn kết cấu
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn (PP PTHH) là một phƣơng pháp mà có ƣu
điểm rất lớn trong việc tính tốn các kết cấu có cấu trúc phức tạp và đƣa ra đƣợc
kết quả tƣơng đối chính xác. Trong PP này, cấu trúc thực đƣợc chia thành nhiều
miền con (các phần tử) giả thiết là liên tục chúng đƣợc gọi là phần tử hữu hạn. Các

phần tử này đƣợc kết nối với nhau tại các điểm định trƣớc trên biên phần tử gọi là
nút. Từ cấu trúc thực tế dƣới tác dụng của các tải trọng rất khó để tìm đƣợc lời giải
chính xác, một lời giải gần đúng đƣợc giả thiết trong mỗi phần tử hữu hạn đó là,
các phần tử khác nhau đƣợc xấp xỉ thích hợp sao cho chúng có thể hội tụ tới
nghiệm chính xác khi kích thƣớc phần tử đƣợc giảm dần. Trong suốt q trình tính
tốn các lực cân bằng tại các nút và tính tƣơng thích chuyển vị giữa những phần tử
đƣợc thỏa mãn toàn bộ cấu trúc. Ở đây khái niệm lực đƣợc hiểu là các ngoại lực và
các nội lực khái niệm chuyển vị đƣợc hiểu là dịch chuyển dài và dịch chuyển góc.
Phƣơng pháp phần tử hữu hạn có 2 ƣu điểm:
Có khả năng tính đƣợc những kết cấu có hình dạng phức tạp. Do đó cho
phép ngƣời kỹ sƣ suy nghĩ sáng tạo trong những mơ hình cụ thể
Lịch sử phát triển của phƣơng pháp phần tử hữu hạn song song với sự phát
triển của máy tính điện tử. Do đó cho phép sử dụng máy tính thế hệ mới.
Ý nghĩa cơ bản của phƣơng pháp phần tử hữu hạn:
Các cấu trúc cần tính tốn đƣợc phân thành một số hữu hạn phần tử đơn
giản, chú ý đến tính chất liên tục, các điều kiện cân bằng, phƣơng trình chuyển
động của mỗi phần tử. Từ đó tổng hợp lại cho phép giải toàn hệ. Các điều kiện về
liên tục cân bằng đƣợc xây dựng ở một số hữu hạn nút. Đối với phần tử thanh một

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc10 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 18 of 95.

chiều, các điều kiện liên tục, tƣơng thích tƣơng ứng với điều kiện thực với mơ
hình vật lý.
Lời giải tĩnh học cần phải thoả mãn 3 điều kiện sau đây:
Điều kiện cân bằng: các nội lực và ngoại lực của hệ tạo thành một hệ lực
cân bằng ở mỗi nút. Điều kiện này gọi là điều kiện rằng buộc về lực.
Điều kiện tƣơng thích: các phần tử của hệ phải phù hợp về mặt biến dạng

(điều kiện rằng buộc về chuyển vị).
Quan hệ giữa các lực và biến dạng: mối liên hệ giữa các nội lực và biến
dạng đƣợc xác định bằng liên hệ nội lực của vật liệu. Điều kiện đơn giản nhất là
mối liên hệ tuyến tính định luật Hooke:  = D
Tuỳ theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ trong bài toán kết cấu ngƣời ta chia ra làm
ba mơ hình sau:
 Mơ hình tƣơng thích: biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị
trong phần tử, ẩn số là các chuyển vị và đạo hàm của nó đƣợc xác định từ hệ
phƣơng trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange hoặc định lý dừng
của thế năng tồn phần.
 Mơ hình cân bằng: biểu diễn một cách gần đúng dạng gần đúng của ứng
suất hoặc nội lực trong phần tử. Ẩn số là các lực tại nút và đƣợc xác định từ hệ
phƣơng trình thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Castigliano hoặc định lý
dừng của năng lƣợng bù toàn phần.
 Mơ hình hỗn hợp: biểu diễn gần đúng dạng phân bố của các chuyển vị và
ứng suất trong phần tử. Coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt,
các ẩn số đƣợc xác định từ hệ phƣơng trình lập trên nguyên lý biến phân Reisner –
Helinge.

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc11 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 19 of 95.

Sau khi tìm đƣợc các ẩn số bằng việc giải một hệ phƣơng trình đại số vừa
nhận đƣợc thì cũng có nghĩa là ta tìm đƣợc các xấp xỉ biểu diễn đại lƣợng cần tìm
trong tất cả các phần tử và từ đó cũng tìm đƣợc các đại lƣợng cịn lại.
Trong 3 mơ hình trên, mơ hình tƣơng thích đƣợc sử dụng rộng rãi hơn cả.
Trong đồ án này cũng chỉ trình bày PP PTHH theo mơ hình tƣơng thích.
2.2 Phân tích bài tốn động lực học kết cấu – dao động tự do

Trong các bài toán động lực học tải trọng đặt vào kết cấu thƣờng biến thiên
theo thời gian, vì vậy chuyển vị của phần tử là một hàm đƣợc biểu diễn theo các
biến toạ độ điểm và thời gian:
u ( x, y, z, t ) 
v( x, y, z, t ) 


ue = ue (x, y, z, t) =  w( x, y, z, t )  e

Hàm này có thể đƣợc biểu diễn qua các bậc tự do (véctơ chuyển vị nút) của
phần tử nhƣ sau:
ue = ue (x, y, z, t)= H(x, y, z) qe (t) = Hqe

(2.1)

Trong đó: H(x, y, z) - ma trận các hàm dạng;
qe(t) - vectơ chuyển vị nút phần tử.
Theo lý thuyết đàn hồi, phƣơng trình liên hệ vi phân giữa các thành phần
chuyển vị với độ biến dạng (phƣơng trình Cauchy) là:
 = u

với:

(2.2)

0
0 
  / x
 0
 / y

0 

 0
0
 / z 


0 
 / y  / x
  0  / z  / y - ma trận toán tử vi phân


0
 / x 
  / z

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc12 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 20 of 95.
ε   x

T

 y  z  xy  yz  zx 
- véc tơ biến dạng

u  u v w

T

- véc tơ chuyển vị theo các trục x, y, z

Từ định luật Hooke tổng quát ta có phƣơng trình liên hệ giữa ứng suất và
biến dạng là:
 =D

(2.3)

với:


1 
 
1 


 
 1 
E
D

0
0
1   1  2   0
 0
0
0

0

0
 0

là ma trận hằng số đàn hồi
σ   x  y

 z  xy  yz  zx 





0
0
0

0
0
1  2  / 2


0
1

2

/
2
0




0
0
1  2  / 2 
0
0

0
0

0
0

T

- véc tơ ứng suất

Các véc tơ biến dạng và ứng suất của phần tử đƣợc biểu diễn qua các
chuyển vị nút qe có dạng nhƣ sau:
e = ue = Hqe= Aqe

(2.4)

e =De = DAqe

(2.5)

với: A=H
Vận tốc các điểm của phần tử:

u e 

ue (x, y, z, t)
 H(x, y, z)q e (t) = Hq e
t

(2.6)

( q e (t) là vectơ vận tốc nút phần tử)
Để thiết lập phƣơng trình động lực học cho cơ hệ, ta sử dụng phƣơng trình
Lagrange loại 2 dƣới dạng:

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc13 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 21 of 95.

d  L

dt  q i

 L



q i
 qi

(2.7)

L = T-

Trong đó :

T - Động năng của cơ hệ
 - Thế năng của cơ hệ
 - hàm hao tán
q i và q i - véc tơ chuyển vị và vận tốc của nút thứ i

Động năng và thế năng của phần tử thứ e đƣợc tính theo cơng thức:
Te 

1
 u eTu e dV
2 Ve

(2.8)

1 T
εe σe dV   uTe ge dV   uTe pe dS

2 Ve
Ve
Se

(2.9)

e 

Trong đó:

Ve – thể tích phần tử ; Se – diện tích mặt cắt phần tử.

 - khối lƣợng riêng của vật liệu
ge- véc tơ lực khối của phần tử
pe - véc tơ lực mặt của phần tử
u e - là vectơ vận tốc của phần tử

Nếu xem rằng tồn tại các lực cản tỉ lệ với vận tốc chuyển động thì biểu thức
hàm hao tán của phần tử thứ e đƣợc biểu diễn nhƣ sau:
e 

1
 u eTu e dV

2V

(2.10)

(  - là hệ số cản của vật liệu trên một đơn vị thể tích)

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc14 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 22 of 95.

Thay (2.6) vào (2.8) ta nhận đƣợc cơng thức tính động năng của phần tử e
thông qua các véc tơ chuyển vị nút qe:
Te 


1
1 T
1
T
T




u
u
dV

q

H
H
dV

 q e  q eT Meq e
e
e
e




2 Ve
2  Ve

2


T
Với: Me    H HdV là ma trận khối lƣợng phần tử
Ve

(2.11)

(2.12)

Thế (2.4) và (2.5) vào (2.9) ta nhận đƣợc cơng thức tính thế năng của phần
tử e thông qua các véc tơ chuyển vị nút qe:
e 

1 T
εe σe dV   uTe ge dV   uTe pe dS
2 Ve
Ve
Se




1 
 qTe   AT DAdV  qe  qeT   HT g e dV +  HT pe dS 

V

2  Ve

Se

 e

1
 qTe K eqe - qeT Pe
2

(2.13)

với:
K e   AT DAdV - ma trận độ cứng phần tử

(2.14)

Ve

Pe =  HT ge dV +  HT pe dS
Ve

Se

- vectơ tải phần tử

(2.15)

Cơng thức tính hàm hao tán của phần tử e thông qua các véc tơ chuyển vị
nút qe có đƣợc bằng cách thay (2.6) vào (2.10):
e 

với:


1
1 
1
 u Te u e dV  q Te    HT HdV  q e  q eT Beq e


2V
2  Ve
2


Be    HT HdV - là ma trận cản của phần tử
Ve

(2.16)

(2.17)

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc15 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 23 of 95.

Bằng cách “ghép nối” phần tử trên toàn hệ, các đại lƣợng động năng, thế
năng và hàm hao tán có thể biểu diễn qua vectơ chuyển vị vận tốc nút tổng thể nhƣ
sau:
m

1  m

1
T   Te  q Te   Me  q e  q T Mq
2  e=1
2
e=1


(2.18)

m
1  m

 m

   e  qT   K e  q - qT   Pe  Pn 
2  e=1 
e=1
 e=1


1
 qT Kq - qT P
2

(Pn – véctơ các tải trọng đặt tại các nút)

m
1  m


1
   e  q T   Be  q  q T Bq
2  e=1 
2
e=1

trong đó:

(2.19)

(2.20)

m

M   Me
e1

- ma trận khối lƣợng tổng thể

(2.21)

m

K   Ke
e=1

- ma trận độ cứng tổng thể

(2.22)

- ma trận cản tổng thể

(2.23)

m

B   Be
e=1

m

P   Pe  Pn
e=1

- vectơ tải tổng thể

(2.24)

m

 Chú ý: trong các biểu thức trên


e1

là tổng quy ƣớc, không phải là phép

cộng ma trận thơng thƣờng, mà có thể hiểu là phép cộng có sắp xếp khi ghép nối
m phần tử.

Thay các biểu thức của động năng, thế năng, hàm hao tán từ (2.18), (2.19),
(2.20) vào phƣơng trình Lagrange (2.7) ta đƣợc:

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc16 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 24 of 95.

 + Bq + Kq = P
Mq

(2.25)



( q - vectơ gia tốc nút tổng thể)
Sau khi áp dụng các điều kiện động học, ta nhận đƣợc phƣơng trình động
lực học của hệ:
 + Bq + Kq = P
Mq

(2.26)

Phƣơng trình (2.26) đƣợc gọi là phƣơng trình dao động cƣỡng bức của kết
cấu.
Các trƣờng hợp riêng:
- Nếu tải trọng ngoài P = 0 thì phƣơng trình (2.26) trở thành
 + Bq + Kq = 0
Mq

(2.27)

đây là phƣơng trình dao động tự do có cản của kết cấu
- Trong trƣờng hợp khơng cản (B = 0) phƣơng trình dao động của hệ có
dạng:
 + Kq = 0
Mq

(2.28)

đây là phƣơng trình dao động tự do khơng cản của kết cấu. Từ phƣơng trình này ta
có thể tính tốn các tần số riêng và các dạng dao động riêng của kết cấu.
- Trong trƣờng hợp bài toán tĩnh (xác định chuyển vị tĩnh, q = 0, q = 0 ),
phƣơng trình (2.26) trở thành:
Kq = P

(2.29)

2.3 Tính tốn hệ thanh bằng phƣơng pháp phần tử hữu hạn
2.3.1 Ma trận độ cứng phần tử
2.3.1.1 Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu uốn thuần tuý

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc17 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -


luan van thac si - luan van thac si kinh te - luan an tien - luan van 25 of 95.

w2

w1

E, J , F

2

1
l

Hình 2.1: Ma trận độ cứng của phần tử thanh chịu uốn thuần tuý
Chọn: q1 = w1 , q2 = 1 ; q3 = w2 , q4 = 2 ;
Vectơ chuyển vị của một phần tử thanh chịu uốn thuần tuý
qe   w1 1 w2  2  = q1 q2
T

q3

q4 

T

(2.30)

Theo giáo trình sức bền vật liệu có:
EJw  M

(2.31)

Nghiệm của phƣơng trình có dạng đa thức xấp xỉ bậc 3:
w(x)=1+2x+3x2+4x3

(2.32)

(1, 2, 3, 4: đƣợc xác định từ các điều kiện biên)
Áp dụng các điều kiện biên: w(0) = q1, w’(0) = q2, w(l) = q3, w’(l) = q4 ta
nhận đƣợc:
q1  w(0)  1

q 2  dw(0)   2
dx


2
3
q 3  w(l )  1   2l   3l   4l

dw(l )
  2  2 3l  3 4l 2
q 4 
dx




1  q1
  q
2
 2

1
 3  2  3q1  2q 2l  3q3  q 4l 

l


1
 4  3  2q1  q 2l  2q3  q 4l 
l


(2.33)

Footer Page - Footer Page - kho luan van - tai lieu - 123doc18 tieu luan - khoa luan-tai chinh ngan hang - thuong mai -