CHINH PHỤC ĐỀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH TRƯỜNG ĐHBK ĐÀ NẴNG NĂM 2018

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐÃ NẴNG
MÔN ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH
------

-TỔNG HỢP CÁC BÀI TẬP TRONG ĐỀ THI TRƯỜNG ĐHBK
ĐÀ NẴNG TỪ NĂM 2010-2017.
-CÁC ĐỀ THI NĂM 2018 CỦA CÁC TRƯỜNG THÀNH VIÊN.
-THAM KHẢO CẤU TRÚC RA ĐỀ NĂM 2018.
-CÁC DẠNG CHẮC CHẮN SẼ RA TRONG NĂM NAY.
-TRÊN 7 ĐIỂM LÀ MỤC TIÊU TỐI THIỂU MÀ CUỐN SÁCH
SẼ MANG LẠI CHO BẠN.
-CÁC PHƯƠNG PHÁP LẠ ĐỂ CHINH PHỤC 10Đ.

NGƯỜI VIẾT:TRẦN QUỐC ĐẠT.
ĐÀ NẴNG,THÁNG 5/2018.



Bài tập
1. Hỏi các tập dưới đây có là một không gian con của hay không ?

{( a, 0, 0) a ∈ } .
= {( a,1,1) a ∈ } .

a) W1 =
b) W2

ĐS: a) W1 là một không gian con của

( a, b ∈

) và với k ∈

3

bất kỳ, ta có u + v = ( a + b, 0, 0) , ku = ( ka, 0, 0 ) ∈ W1 .

b) W2 không là một không gian con của
( a, b ∈

) và với k ∈

vì với u = ( a, 0, 0 ) , v = ( b, 0, 0 ) ∈ W1
3

vì với u = ( a,1,1) , v = ( b,1,1) ∈ W2

, k ≠ 1 , bất kỳ, ta có u + v = ( a + b, 2, 2 ) , ku = ( ka, k, k ) ∉ W2 .

2. Cho không gian vectơ V và a là một vectơ cố đònh thuộc V. Chứng minh rằng tập
là một không gian vectơ con của V.
hợp W = ka k ∈

{

}

ĐS: Với u = ha, v = ka ∈ W ( h, k ∈
u + v = ( h + k ) a, αu = ( αh ) a ∈ W .

3. Trong

3

) và α ∈

bất kỳ, ta có

, cho các vectơ u1 = (1, −2, 3) , u 2 = ( 0,1, −3) . Xét xem vectơ u = ( 2, −3, 3)

có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 hay không ?
⎧ k1
⎪
ĐS: Xét hệ ⎨−2k1
⎪ 3k
⎩ 1

=
+

k2

2

= −3 , ta có

− 3k 2

=

3

⎛1 0 2⎞
⎛1 0 2 ⎞
⎛1 0 2 ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
2
:
=
2
+
2
1
3
:
=
3
+
2
( ) ( ) ( ) → 0 1 1 ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( ) ( ) ( ) →⎜0 1 1 ⎟ .
⎜ −2 1 −3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟
⎜
⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − 3 (1 )

⎜ 3 −1 3 ⎟
⎜ 0 −1 −3 ⎟
⎜ 0 0 −2 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Hệ vô nghiệm : u không là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 .

4. Trong

3

, xét xem vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 không

a) u1 = (1, 0,1) , u 2 = (1,1, 0 ) , u 3 = ( 0,1,1) , u = (1, 2,1) .

b) u1 = ( −2,1, 0 ) , u 2 = ( 3, −1,1) , u 3 = ( 2, 0, −2 ) , u = ( 0, 0, 0) .

⎧ k1
⎪
ĐS: a) Xét hệ ⎨
⎪k
⎩ 1

+ k2

k2

= 1
+ k3

+ k3

= 2 , ta có
= 1

⎛1 1 0 1⎞
⎛1 1 0 1⎞
⎛1 1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
3 ) : = ( 3 ) − (1 )
3 ): = ( 3 ) + ( 2 )
(
(
→ ⎜ 0 1 1 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜0 1
⎜ 0 1 1 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜1 0 1 1⎟
⎜ 0 −1 1 0 ⎟
⎜0 0
⎝
⎠
⎝

⎠
⎝
Hệ có nghiệm ( 0,1,1) : u là tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3

1

0 1⎞
⎟
1 2⎟ .
2 2 ⎟⎠
( u = 0u1 + u 2 + u 3 ).


b) Xét hệ
⎛ −2 3
⎜
⎜ 1 −1
⎜ 0 1
⎝

⎧−2k1 + 3k 2 + 2k 3 = 0
⎪
− k2
= 0 , ta có
⎨ k1
⎪
k 2 − 2k 3 = 0
⎩
⎛ 1 −1 0 0 ⎞
⎛ 1 −1 0 0 ⎞

2 0⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
1) ∼ ( 2 )
2 ) : = ( 2 ) + 2 (1 )
(
(
0 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ −2 3 2 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 2 0 ⎟
⎜ 0 1 −2 0 ⎟
⎜ 0 1 −2 0 ⎟
−2 0 ⎟⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

⎛ 1 −1 0
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜0 1 2
⎜ 0 0 −4
⎝

( 3 ): = ( 3) − ( 2 )

0⎞
⎟

0⎟
0 ⎟⎠

Hệ có nghiệm ( 0, 0, 0) : u là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 ( u = 0u1 + 0u 2 + 0u 3 ).

5. Trong không gian vectơ các ma trận vuông cấp hai M2 (

) , cho bốn vectơ

⎛ 1 3⎞
⎛1 0⎞
⎛1 1⎞
⎛ 0 1⎞
u=⎜
⎟ , u1 = ⎜
⎟ , u2 = ⎜
⎟ , u3 = ⎜
⎟
⎝ 2 2⎠
⎝1 0⎠
⎝ 0 0⎠
⎝ 1 1⎠
Hỏi vectơ u có phải là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 không ?

⎧ k1 + k 2
= 1
⎪
k2 + k3 = 3
⎪
ĐS: Xét hệ ⎨

, ta có
+ k3 = 2
⎪ k1
⎪
k3 = 2
⎩
⎛1 1 0 1⎞
⎛1 1 0 1⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 ) → ⎜ 0 1 1 3 ⎟
⎜ 0 1 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜1 0 1 2⎟
⎜ 0 −1 1 1 ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜ 0 0 1 2⎟
⎜ 0 0 1 2⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 1 0 1⎞
⎛1 1 0 1⎞
⎜
⎟

⎜
⎟
0 1 1 3⎟
3 ): = ( 3) + ( 2 )
( 4 ):= ( 4 ) − 12 ( 3) ⎜ 0 1 1 3 ⎟
(
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜0 0 2 4⎟
⎜0 0 2 4⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜0 0 1 2⎟
⎜ 0 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Hệ có nghiệm ( 0,1, 2 ) : u là tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 , u 3 ( u = 0u1 + u 2 + 2u 3 ).

6. Trong

3

, cho các vectơ u1 = (1, −2, 3) , u 2 = ( 0,1, −3) . Tìm m để vectơ u = (1, m, −3)

là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 .

2


⎧ k1
⎪
ĐS: Xét hệ ⎨−2k1
⎪ 3k
⎩ 1

+

k2

− 3k 2

=

1

=

m , ta có

= −3

⎛1 0 1⎞
⎛1 0
1 ⎞

⎜
⎟
⎟
( 2 ) : = ( 2 ) + 2 (1 ) ⎜
→ ⎜ 0 1 m + 2⎟
⎜ −2 1 m ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
:
3
3
1
=
−
( ) ( ) ()
⎜ 3 −3 − 3 ⎟
⎜ 0 −3 −6 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 0
⎞ ⎛1 0 1 ⎞
1
⎜
⎟ ⎜
⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1
m+2
⎟ = ⎜ 0 1 m + 2⎟
⎜ 0 0 −6 + 3 ( m + 2) ⎟ ⎜ 0 0 3m ⎟

⎝
⎠ ⎝
⎠
Khi m = 0 thì u là một tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 . Khi m ≠ 0 thì u không là một

( 3):= ( 3) + 3( 2)

tổ hợp tuyến tính của u1 , u 2 .
7. Trong 3 , các hệ vectơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính
a) u1 = (1,1, 0 ) , u 2 = ( 0,1,1) , u 3 = (1, 0,1) .

( )
( )
(
)
c) u1 = (1,1,1) , u 2 = (1,1, 2) , u 3 = (1, 2, 3) .
d) u1 = (1,1, 2 ) , u 2 = (1, 2, 5 ) , u 3 = ( 0,1, 3) .

b) u1 = 1,1, 0 , u 2 = 0,1,1 , u 3 = 2, 3,1 .

⎧ k1
⎪
ĐS: a) Xét hệ ⎨k1
⎪
⎩

+ k2
k2

+ k3

= 0

+ k3

= 0

= 0.

⎛1 0 1⎞
⎛1 0 1 ⎞
⎛1 0 1 ⎞
2):= ( 2) − (1)
3) := ( 3 ) − ( 2 )
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(
(
→ ⎜ 0 1 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 1 −1 ⎟ : Hệ độc lập tuyến
Ta có ⎜ 1 1 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜

⎟
⎝0 1 1⎠
⎝0 1 1 ⎠
⎝ 0 0 −2 ⎠
tính.

⎧ k1
⎪
b) Xét hệ ⎨k1
⎪
⎩

+ k2
k2

+ 2k 3

= 0

+ 3k 3

= 0.

+

k3

= 0

⎛1 0 2⎞

⎛ 1 0 1⎞
⎛ 1 0 1⎞
⎜
⎟
⎟
⎟
( 2):= ( 2) − (1) ⎜
( 3) := ( 3 ) − ( 2 ) ⎜
Ta có ⎜ 1 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 1 1 ⎟ : Hệ phụ thuộc tuyến
⎜0 1 1⎟
⎜ 0 1 1⎟
⎜ 0 1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
tính.

⎧ k1
⎪
c) Xét hệ ⎨k1
⎪k
⎩ 1

+

k2

+

+

k2

+ 2k 3

+ 2k 2

k3

+ 3k 3

= 0
= 0.
= 0

3


⎛1 1 1 ⎞
⎛1 1 1⎞
⎛1 1 1⎞
⎜
⎟
⎟
⎟

( 2 ) : = ( 2 ) − (1 ) ⎜
( 2 ) ∼ ( 3) ⎜
Ta có ⎜ 1 1 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ 0 0 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 2 ⎟ : Hệ độc lập tuyến tính.
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 ) ⎜
⎜1 2 3⎟
⎜ 0 1 2⎟
⎜0 0 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎧ k1
⎪
d) Xét hệ ⎨ k1
⎪2k
⎩ 1

k2

+

= 0

+ 2k 2

k3

+

+ 5k 2

+ 3k 3

= 0.
= 0

⎛1 1 0⎞
⎛1 1 0⎞
⎛ 1 1 0⎞
2 ) : = ( 2 ) − (1 )
3 ): = ( 3 ) − 3( 2 )
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(
(
Ta có ⎜ 1 2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 ⎟ : Hệ phụ thuộc
( 3 ) : = ( 3 ) − 2 (1 )
⎜ 2 5 3⎟
⎜ 0 3 3⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝

⎠
⎝
⎠
tuyến tính.

8. Chứng minh rằng hệ vectơ v1 , v2 ,..., v r phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi có

một vectơ v i , i ∈ {1, 2,..., r} là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

ĐS: Chiếu thuận : Khi hệ vectơ v1 , v2 ,..., v r phụ thuộc tuyến tính, ta có các hệ số
không đồng thời bằng 0 sao cho k1 v1 + k 2 v 2 + ... + k r v r = 0 . Bấy giờ,

k1 , k 2 ,..., k r ∈

( )

( )

k

k

nếu k1 ≠ 0 thì v1 = − k 2 v2 + ... + − k r v r , nghóa là v1 là một tổ hợp tuyến tính của
2

2

các vectơ v 2 ,..., v r .
Chiều đảo. Giả sử v1 là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ v 2 ,..., v r , nghóa là tồn
tại các hệ số k 2 ,..., k r ∈

sao cho v1 = k 2 v2 + ... + k r v r . Do v1 − k 2 v2 − ... − k r v r = 0

với các hệ số 1, k 2 ,..., k r không đồng thời bằng 0, ta suy ra hệ vectơ v1 , v 2 ,..., v r phụ
thuộc tuyến tính.
9. Trong không gian các ma trận vuông cấp hai M2 (

) , cho bốn vectơ

⎛1 0⎞
⎛1 1⎞
⎛1 1 ⎞
⎛1 1⎞
e1 = ⎜
⎟ , e2 = ⎜
⎟ , e3 = ⎜
⎟ , e4 = ⎜
⎟
⎝ 0 0⎠
⎝ 0 0⎠
⎝1 0⎠
⎝1 1⎠
Chứng minh rằng hệ {e1 , e2 , e3 , e4 } độc lập tuyến tính.
⎧ k1
⎪
⎪
ĐS: Xét hệ ⎨
⎪
⎪
⎩

+ k2
k2

+ k3

+ k4

= 0

k3

+ k3

+ k4

= 0

+ k4

= 0

k4

= 0

. Ta suy ra hệ độc lập tuyến tính.

10. Mỗi hệ vectơ sau đây có sinh ra 3 không ?
a) v1 = (1,1,1) , v 2 = ( 2, 2, 0 ) , v 3 = ( 3, 0, 0 ) .

(

)

(

)

(

)

b) v1 = 2, −1, 3 , v2 = 4,1, 2 , v3 = 8, −1, 8 .

⎧ k1
⎪
ĐS: a) Xét hệ ⎨k1
⎪k
⎩ 1

+ 2k 2
+ 2k 2

+ 3k 3

= a
= b . Ta có
= c

4


⎛1 2 3 a ⎞
⎛1 2 3 a ⎞
⎛1 2 3 a ⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
2 ) : = ( 2 ) − (1 )
2 ) ∼ ( 3)
(
(
→ ⎜ 0 0 −3 b − a ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 −2 −3 c − a ⎟ .
⎜ 1 2 0 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
:
=
3
−
1
( ) ( ) ()
⎜1 0 0 c ⎟
⎜ 0 −2 −3 c − a ⎟
⎜ 0 0 −3 b − a ⎟
⎝
⎠

⎝
⎠
⎝
⎠
3

Hệ phương trình luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ có sinh ra

⎧2k1 + 4k 2 + 8k 3
⎪
b) Xét hệ ⎨− k1 + k 2 − k 3
⎪ 3k + 2k + 8k
2
3
⎩ 1
⎛ 2 4 8 a⎞
⎛ −1 1
⎜
⎟
⎜
1) ∼ ( 2 )
(
⎜ −1 1 −1 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 2 4
⎜ 3 2 8 c⎟
⎜ 3 2
⎝
⎠
⎝

.

= a
= b . Ta có
=

c

⎛ −1 1 −1 b ⎞
−1 b ⎞
⎟
⎜
⎟
2 ) : = ( 2 ) + 2 (1 )
(
8 a ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 6 6 a + 2b ⎟
3
:
=
3
+
3
1
( ) ( ) ()
⎜ 0 5 5 c + 5b ⎟
8 c ⎟⎠
⎝
⎠

⎛ −1 1 −1

⎞ ⎛ −1 1 − 1
⎞
b
b
⎟ ⎜
⎟
( 3):= ( 3) − 56 ( 2) ⎜
a + 2b
a + 2b ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 6 6
⎟=⎜ 0 6 6
⎜ 0 0 0 c + 5b − 5 ( a + 2b ) ⎟ ⎜ 0 0 0 c + 10 b − 5 a ⎟
6
3
6 ⎠
⎝
⎠ ⎝
Hệ phương trình không luôn luôn có nghiệm : hệ vectơ không sinh ra

3

.

.

3

11. Hệ vectơ nào trong các hệ vectơ sau đây là cơ sở của
a) B1 = (1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) .

{
}
b) B = {(1, 2, 3) , ( 0, 2, 3) , ( 0, 0, 5 )} .
c) B = {(1,1, 2 ) , (1, 2, 5 ) , ( 0,1, 3)} .
d) B = {( −1, 0,1) , ( −1,1, 0 ) , (1, −1,1) , ( 2, 0, 5 )} .
2

3

4

3

ĐS: a) B1 không là một cơ sở của

1 2 3
b) 0 2 3 = 10 ≠ 0 . B2 là một cơ sở của
0 0 5
1 1 2

3

( B1 không sinh ra
3

).

.

1 1 2

3

c) 1 2 5 = 0 1 3 = 0 . B3 không là một cơ sở của
0 1 3 0 1 3
d) B4 không là một cơ sở của

3

.

( B4 không độc lập tuyến tính).

12. Tìm hạng của các hệ vectơ sau (trong không gian vectơ
a) u1 = ( −1, 2, 0,1) , u 2 = (1, 2, 3, −1) , u 3 = ( 0, 4, 3, 0 ) .

(

)

(

)

(

)

(

4

)

)

b) v1 = −1, 4, 8,12 , v 2 = 2,1, 3,1 , v 3 = −2, 8,16, 24 , v 4 = 1,1, 2, 3 .

ĐS: a) Biến đổi
⎛ −1 2 0 1 ⎞
⎛ −1 2 0 1 ⎞
⎛ −1 2 0 1 ⎞
⎜
⎟
⎟
⎟
( 2 ) : = ( 2 ) + (1 ) ⎜
( 3) := ( 3 ) − ( 2 ) ⎜
→ ⎜ 0 4 3 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 4 3 0 ⎟ . Rank = 2
⎜ 1 2 3 −1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜0 4 3 0⎟
⎜ 0 4 3 0⎟
⎜ 0 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
5

b) Biến
⎛ −1 4
⎜
⎜ 2 1
⎜ −2 8
⎜⎜
⎝1 1

đổi
⎛ −1
8 12 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) + 2 (1 ) ⎜
⎟
3 1⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − 2 (1 ) ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 4 ) : = ( 4 ) + (1 )
⎜0
16 24 ⎟
⎟⎟
⎜⎜
2 3⎠
⎝0
⎛ −1 4 8 12 ⎞
⎜
⎟
9

( 3):= ( 3) − 5 ( 2) ⎜ 0 5 10 15 ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
⎜ 0 0 1 −2 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝0 0 0 0⎠

⎛ −1
4 8 12 ⎞
⎟
⎜
9 19 25 ⎟
( 3) ∼ ( 4 ) ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯→
( 2 ) ∼ ( 3) ⎜ 0
0 0 0⎟
⎟⎟
⎜⎜
5 10 15 ⎠
⎝0

4 8 12 ⎞
⎟
5 10 15 ⎟
9 19 25 ⎟
⎟
0 0 0 ⎟⎠

.

Rank = 3.

13. Tìm số chiều và một cơ sở cho không gian vectơ con của 4 sinh bởi các vectơ
v1 = (1, 2, 0, −1) , v 2 = ( 0,1, 3, −2 ) , v 3 = ( −1, 0, 2, 4 ) , v 4 = ( 3,1, −11, 0 ) .
ĐS: Biến đổi

⎛1
⎜
⎜0
⎜ −1
⎜⎜
⎝ 3

2
1
0

0
3
2

⎛1 2
⎛ 1 2 0 −1 ⎞
0 −1 ⎞
−1 ⎞
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟

0 1
3 −2 ⎟
−2 ⎟
( 3 ) : = ( 3 ) + (1 )
( 3):= ( 3) − 2( 2) ⎜ 0 1 3 −2 ⎟
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ) : = ( 4 ) − 3 (1 ) ⎜ 0 2
( 4 ):= ( 4 ) + 5( 2) ⎜ 0 0 −4 7 ⎟
4⎟
2
3⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
1 −11 0 ⎠
⎝ 0 −5 −11 3 ⎠
⎝ 0 0 4 −7 ⎠
⎛ 1 2 0 −1 ⎞
⎜
⎟
0 1 3 −2 ⎟
4 ) : = ( 4 ) + ( 3)
(
⎜
⎯⎯⎯⎯⎯⎯

→
⎜ 0 0 −4 7 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝0 0 0 0 ⎠

{

}

dim = 3 và một cơ sở là e1 = (1, 2, 0, −1) , e2 = ( 0,1, 3, −2 ) , e3 = ( 0, 0, −4,7 ) .

14. Xác đònh số chiều
⎧2x1 + x 2 +
⎪
a) ⎨ x1 + 2x 2
⎪
x2 +
⎩
⎧ x1 − 3x 2 +
⎪
b) ⎨2x1 − 6x 2 +
⎪3x − 9x +
2
⎩ 1
⎧ x1
⎪
⎪2x
c) ⎨ 1
⎪3x1

⎪2x
⎩ 1

− 2x 2
+

x2

− 2x 2
− 5x 2

và tìm một cơ sở cho không gian nghiệm của các hệ sau
3x3 = 0
= 0

x3

= 0

x3

= 0

2x3

= 0

3x 3

+ x3

− x3

− x3
+ x3

= 0
−

x4

+

x5

= 0

x4

+ 2x 4
+

− 2x 4

− 3x5

= 0

− 2x5

= 0

+ 2x5

= 0

6


⎧3x1
⎪
⎪6x
d) ⎨ 1
⎪9x1
⎪3x
⎩ 1

+ 2x 2

+

x3

+ 3x4

+ 5x5

= 0

+ 6x 2

+ 5x3

+ 7x4

+ 4x 2

+ 3x3

+ 2x 2

+ 4x 3

+ 5x4
+ 4x 4

+ 7x5

= 0

+ 9x5

= 0

+ 8x5

= 0

ĐS: a) Biến đổi

⎛ 2 1 3⎞

⎛ 1 2 0⎞
⎛ 1 2 0⎞
1) ∼ ( 2 )
2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 )
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(
(
( 2 ) ∼ ( 3) →
⎜ 1 2 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 2 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 −3 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
:
( ) = ( 3 ) + 3( 2 )
⎜0 1 1⎟
⎜0 1 1⎟
⎜0 1 1⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛1 2 0⎞
⎜
⎟
⎜0 1 1⎟

⎜ 0 0 6⎟
⎝
⎠

dim = 0
b) Biến đổi
⎛ 1 −3 1 ⎞
⎛ 1 −3 1 ⎞
⎜
⎟
⎟
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
→ ⎜ 0 0 0 ⎟ cho nghiệm
⎜ 2 −6 2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
3
:
=
3
−
3
1
( ) ( ) ()
⎜ 3 −9 3 ⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
Không gian nghiệm

{

(

)

⎧k1 = 3m − n
⎪
⎨ k 2 = m , với m, n ∈
⎪ k =n
3
⎩

.

{( 3m − n, m, n ) m, n ∈ } = ( 3,1, 0) , ( −1, 0,1) . dim = 2 và một cơ
(

)}

sở là e1 = 3,1, 0 , e2 = −1, 0,1 .

c) Biến đổi
⎛ 1 −2 1 −1 1 ⎞
⎛ 1 −2
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
⎜
⎟
( 3):= ( 3) − 3(1) ⎜ 0 5
⎜ 2 1 −1 2 −3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯

→
( 4 ):= ( 4 ) − 2(1) ⎜ 0 4
⎜ 3 −2 −1 1 −2 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝ 2 −5 1 −2 2 ⎠
⎝ 0 −1
⎛ 1 −2 1 −1 1 ⎞
⎛ 1 −2
⎜
⎟
⎜
( 3):= ( 3) + 4 ( 2) ⎜ 0 −1
⎜ 0 −1 −1 0 0 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ): = ( 4 ) + 5 ( 2 ) ⎜ 0 0
⎜ 0 4 −4 4 −5 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜
⎝ 0 5 −3 4 −5 ⎠
⎝0 0

1 −1 1 ⎞
⎟
−3 4 −5 ⎟
( 2) ∼ ( 4 )
⎯⎯⎯⎯→
−4 4 −5 ⎟
⎟

−1 0 0 ⎟⎠
1 −1 1 ⎞
⎟
−1 0 0 ⎟
( 4 ): = ( 4 ) − ( 3 ) →
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
−8 4 −5 ⎟
⎟
−8 4 −5 ⎟⎠

⎛ 1 −2 1 −1 1 ⎞
⎜
⎟
⎜ 0 −1 −1 0 0 ⎟
⎜ 0 0 −8 4 −5 ⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝0 0 0 0 0 ⎠
⎧
k1 = − 12 m + 78 n
⎪
⎪k 2 = − 18 ( 4m − 5n ) = − 12 m + 58 n
⎪
cho nghiệm ⎨ k = 1 ( 4m − 5n ) = 1 m − 5 n , với m, n ∈
3
8
2
8
⎪
k4 = m

⎪
⎪
k5 = n
⎩
Không gian nghiệm

7

.


{( −
=

1
2

)

m + 78 n, − 12 m + 58 n, 12 m − 58 n, m, n m, n ∈

( −1,1,1, 2, 0) , (7, 5, −5, 0, 8)

} = (−

1 , 1 , 1 ,1, 0
2 2 2

{

) , ( 78 , 58 , − 58 , 0,1)

.

}

dim = 2 và một cơ sở là e1 = ( −1,1,1, 2, 0 ) , e2 = ( 7, 5, −5, 0, 8 ) .

d) Biến đổi
⎛3 2 1
⎜
⎜6 4 3
⎜9 6 5
⎜⎜
⎝3 2 4

⎛3
⎜
⎜0
⎜0
⎜⎜
⎝0

⎛3
3 5⎞
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
⎟
5 7⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − 3 (1 ) → ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯

( 4 ) : = ( 4 ) − (1 )
⎜0
7 9⎟
⎟⎟
⎜⎜
4 8⎠
⎝0
⎛3
3 5⎞
⎟
⎜
0
−1 −3 ⎟
3) ∼ ( 4 )
(
⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜
1
( 3 ): = 4 ( 3 ) ⎜ 0
0 0⎟
⎟⎟
⎜⎜
4 12 ⎠
⎝0

2 1
0 1
0 0
0 0

2 1

0 1 −1
0 2 −2
0 3 1
2 1

3

0 1 −1
0 0 1
0 0 0

⎧ k1 = − 2 m + 4 n
3
3
⎪
k2 = m
⎪
⎪
cho nghiệm ⎨
, với m, n ∈
k3 = 0
⎪
k 4 = −3n
⎪
⎪
k5 = n
⎩
Không gian nghiệm

{( −
=

2
3

)

m + 43 n, m, 0, −3n, n m, n ∈

( −2, 3, 0, 0, 0) , ( 4, 0, 0, −9, 3)

3

5⎞
⎟
−3 ⎟
( 3) := ( 3) − 2 ( 2 ) →
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
4 ): = ( 4 ) − 3( 2 )
(
−6 ⎟
⎟⎟
3⎠
5⎞
⎟
−3 ⎟
3⎟
⎟

0 ⎟⎠

.

} = (−

2 ,1, 0, 0, 0
3

),(

4 , 0, 0, −3,1
3

{

)

.

}

dim = 2 và một cơ sở là e1 = ( −2, 3, 0, 0, 0 ) , e2 = ( 4, 0, 0, −9, 3) .

15. Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở chính tắc B và trong cơ sở B ′ = {f1 , f2 , f3}

với f1 = (1, 0, 0 ) , f2 = (1,1, 0 ) , f3 = (1,1,1) .

(

)

(

a) u = 3,1, −4 .

ĐS: a) ⎣⎡ u ⎦⎤
B

b) ⎣⎡ u ⎦⎤
B

16. Trong

⎧ k1
⎛ 3⎞
⎪
⎜ ⎟
= ⎜ 1 ⎟ . Hệ ⎨
⎪
⎜ −4 ⎟
⎝ ⎠
⎩

⎧ k1
⎛1⎞
⎪
⎜ ⎟
= ⎜ 3 ⎟ . Hệ ⎨
⎪

⎜1⎟
⎝ ⎠
⎩
4

)

b) u = 1, 3,1 .

+ k2
k2

+ k2
k2

+ k3
+ k3

k3

+ k3
+ k3
k3

3

⎧ k1 = 2
⎛ 2⎞
⎪
⎜ ⎟

= 1 cho ⎨ k 2 = 5 và ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ = ⎜ 5 ⎟ .
B
⎪ k = −4
⎜ −4 ⎟
= −4
⎝ ⎠
⎩ 3

=

= 1

⎧k1 = −2
⎛ −2 ⎞
⎪
⎜ ⎟
= 3 cho ⎨ k 2 = 2 và ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ = ⎜ 2 ⎟ .
B
⎪ k =1
⎜1⎟
= 1
⎝ ⎠
⎩ 3

, xét tập
W = ( a1 , a 2 , a 3 , a 4 ) : a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 0

{

}

a) Kiểm chứng rằng W là một không gian vectơ con của
8

4

.


b) Kiểm chứng các vectơ sau nằm trong W
v1 = (1, 0, 0, −1) , v 2 = ( 0,1, 0, −1) , v 3 = ( 0, 0,1, −1) , v 4 = (1,1, −1, −1)
c) Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở cho W.
ĐS: W là không gian nghiệm của phương trình tuyến tính thuần nhất
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 nên là một không gian vectơ con của 4 .

b) 1 + 0 + 0 + ( −1) = 0 nên v1 ∈ W ; 0 + 1 + 0 + ( −1) = 0 nên v 2 ∈ W ;

0 + 0 + 1 + ( −1) = 0 nên v 3 ∈ W ; 1 + 1 + ( −1) + ( −1) = 0 nên v 4 ∈ W .

c) Với x 2 = m , x 3 = n , x 4 = p , m, n, p ∈
W=

bất kỳ, ta được x1 = − m − n − p . Suy ra

{( −m − n − p, m, n, p ) m, n, p ∈ } . Vì

( −m − n − p, m, n, p ) = m ( −1,1, 0, 0) + n ( −1, 0,1, 0) + p ( −1, 0, 0,1)
ta suy ra W = ( −1,1, 0, 0 ) , ( −1, 0,1, 0 ) , ( −1, 0, 0,1) . Do đó, dim W = 3
B = {e1 = ( −1,1, 0, 0 ) , e2 = ( −1, 0,1, 0) , e3 = ( −1, 0, 0,1)}

và

là một cơ sở cho W.
17. Trong 3 , cho cơ sở chính tắc
B = e1 = (1, 0, 0 ) ,e2 = ( 0,1, 0) ,e3 = ( 0, 0,1)
và cơ sở

{

}

{

}

B ′ = f1 = ( 2,1,1) ,f2 = (1, 2,1) ,f3 = (1,1, 2 ) .

Tìm ma trận đổi
⎛2
⎜
ĐS: PB →B′ = ⎜ 1
⎜1
⎝

cơ sở từ B qua B ′ và ma trận đổi
⎛ 3
1 1⎞
−1
⎟
1⎜

2 1 ⎟ ; PB′ →B = ( PB →B′ ) = ⎜ −1
4⎜
1 2 ⎟⎠
⎝ −1

{

cơ sở từ B ′ qua B .
−1 −1 ⎞
⎟
3 −1 ⎟
−1 3 ⎟⎠

}

18. Trong, cho hai cơ sở B = u1 = (1,1, 0 ) ,u 2 = ( 0,1,1) ,u 3 = (1, 0,1) và

{

}

B ′ = v1 = ( 2,1,1) ,v2 = (1, 2,1) ,v3 = (1,1, 2 ) .

Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B ′ và ma trận đổi cơ sở từ B ′ qua B .
ĐS: Gọi C là cơ sở chính tắc của 3 . Ta có
⎛1 0 1⎞
⎛ 1 1 −1 ⎞
−1
⎜
⎟

⎟
1⎜
= ⎜ −1 1 1 ⎟
PC →B = ⎜ 1 1 0 ⎟ ; PB →C = PC →B
2⎜
⎜0 1 1⎟
⎟
⎝
⎠
⎝ 1 −1 1 ⎠

(

PC →B′

)

⎛2 1 1⎞
⎜
⎟
= ⎜ 1 2 1 ⎟ ; PB′ →C = PC →B′
⎜1 1 2⎟
⎝
⎠

(

)

−1

⎛ 3 −1 −1 ⎞
1⎜
⎟
= ⎜ −1 3 − 1 ⎟
4⎜
⎟
⎝ −1 − 1 3 ⎠

9


⎛1 1
1⎜
Suy ra PB →B′ = PB →C ⋅ PC →B′ = ⎜ −1 1
2⎜
⎝ 1 −1
⎛ 3 −1 −1 ⎞ ⎛ 1
⎟⎜
1⎜
PB′ →B = PB′ →C ⋅ PC →B = ⎜ −1 3 −1 ⎟ ⎜ 1
4⎜
⎟⎜
⎝ −1 − 1 3 ⎠ ⎝ 0
19. Trong

−1 ⎞ ⎛ 2 1 1 ⎞ ⎛ 1
⎟⎜
⎟ ⎜
1 ⎟⎜1 2 1⎟ = ⎜0

1 ⎟⎠ ⎜⎝ 1 1 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 1
⎛ 1 −1
0 1⎞
⎟ 1⎜
1 0⎟ = ⎜ 1 1
2⎜
1 1 ⎟⎠
⎝ −1 1

1 0⎞
⎟
1 1⎟ ;
0 1 ⎟⎠
1⎞
⎟
−1 ⎟ .
1 ⎟⎠

3

, cho hai cơ sở
B = u1 = (1, 2, 0 ) ,u 2 = (1, 3, 2 ) ,u 3 = ( 0,1, 3)

{
}
B ′ = {v = (1, 2,1) ,v = ( 0,1, 2 ) ,v = (1, 4, 6 )}
1

2

và vectơ u = ( a, b, c ) ∈

3

3

.

a) Tìm tọa độ của vectơ u trong cơ sở B và cơ sở B ′ .
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B ′ và ma trận đổi cơ sở từ B ′ qua B .
c) Kiểm chứng ⎡⎣ u ⎤⎦ = PB → B ′ ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ và ⎡⎣ u ⎤⎦ ′ = PB ′→ B ⎡⎣ u ⎤⎦ .
B

B

B

B

ĐS: a) Ta có
⎛ k1 ⎞
⎧ k1 + k 2
⎜ ⎟
⎪
⎣⎡ u ⎦⎤B = ⎜ k 2 ⎟ ⇔ u = k1u1 + k 2u 2 + k 3u 3 ⇔ ⎨2k1 + 3k 2 + k 3
⎪
⎜k ⎟
2k 2 + 3k 3
⎝ 3⎠
⎩

Biến đổi
⎛1 1 0 a ⎞
⎛1 1 0 a ⎞
⎛1 1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 )
3 ): = ( 3 ) − 2 ( 2 )
(
(
⎜ 2 3 1 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 b − 2a ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1
⎜0 2 3 c ⎟
⎜0 2 3 c ⎟
⎜0 0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝

= a
= b
=

c

⎞

0
a
⎟
1 b − 2a ⎟
1 c − 2b + 4a ⎟⎠

ta được k 3 = 4a − 2b + c ; k 2 = −6a + 3b − c ; k1 = 7a − 3b + c . Vậy
⎛ 7a − 3b + c ⎞
⎜
⎟
⎣⎡ u ⎦⎤B = ⎜ −6a + 3b − c ⎟
⎜ 4a − 2b + c ⎟
⎝
⎠
Tương tự,
⎧ k1
⎛ k1 ⎞
+ k3
⎜ ⎟
⎪
⎡⎣ u ⎤⎦ = ⎜ k 2 ⎟ ⇔ u = k1u1 + k 2u 2 + k 3u 3 ⇔ ⎨2k1 + k 2 + 4k 3
B′
⎪k
⎜k ⎟
⎝ 3⎠
⎩ 1 + 2k 2 + 6k 3
Biến đổi
⎛1 0 1 a ⎞
⎛1 0 1 a ⎞
⎛1 0

⎜
⎟
⎜
⎟
2
:
=
2
−
2
1
3
:
=
3
−
2
2
( ) ( ) ( ) → 0 1 2 b − 2a ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( ) ( ) ( ) →⎜0 1
⎜ 2 1 4 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟
⎜
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 )
⎜1 2 6 c ⎟
⎜0 2 5 c − a ⎟
⎜0 0
⎝
⎠

⎝
⎠
⎝

10

= a
= b
=

c

⎞
1
a
⎟
2 b − 2a ⎟
1 c − 2b + 3a ⎟⎠


ta được k 3 = 3a − 2b + c ; k 2 = −8a + 5b − 2c ; k1 = −2a + 2b − c . Vậy
⎡⎣ u ⎤⎦
B′

⎛ −2a + 2b − c ⎞
⎜
⎟
= ⎜ −8a + 5b − 2c ⎟
⎜ 3a − 2b + c ⎟
⎝

⎠

cơ sở chính tắc của 3 . Ta có
⎛ 7 −3 1 ⎞
1 0⎞
−1
⎟
⎜
⎟
= ⎜ −6 3 −1 ⎟
3 1 ⎟ ; PB →C = PC →B
⎜ 4 −2 1 ⎟
2 3 ⎟⎠
⎝
⎠
⎛1 0 1⎞
⎛ −2 2 −1 ⎞
−1
⎜
⎟
⎜
⎟
PC →B′ = ⎜ 2 1 4 ⎟ ; PB′ →C = PC →B′
= ⎜ −8 5 −2 ⎟
⎜1 2 6⎟
⎜ 3 −2 1 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠

⎛ 7 −3 1 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞ ⎛ 2 −1 1 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
Suy ra PB →B′ = PB →C ⋅ PC →B′ = ⎜ −6 3 −1 ⎟ ⎜ 2 1 4 ⎟ = ⎜ −1 1 0 ⎟ ;
⎜ 4 −2 1 ⎟ ⎜ 1 2 6 ⎟ ⎜ 1 0 2 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ −2 2 −1 ⎞ ⎛ 1 1 0 ⎞ ⎛ 2 2 −1 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
PB′ →B = PB′ →C ⋅ PC →B = ⎜ −8 5 −2 ⎟ ⎜ 2 3 1 ⎟ = ⎜ 2 3 −1 ⎟ .
⎜ 3 −2 1 ⎟ ⎜ 0 2 3 ⎟ ⎜ − 1 − 1 1 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
b) Gọi C là
⎛1
⎜
PC →B = ⎜ 2
⎜0
⎝

(

(

)

)

c) Kiểm chứng
⎛ 7a − 3b + c ⎞ ⎛ 2 −1 1 ⎞ ⎛ −2a + 2b − c ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟
⎜ −6a + 3b − c ⎟ = ⎜ −1 1 0 ⎟ ⎜ −8a + 5b − 2c ⎟ ; và
⎜ 4a − 2b + c ⎟ ⎜ 1 0 2 ⎟ ⎜ 3a − 2b + c ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠
⎛ −2a + 2b − c ⎞ ⎛ 2 2 −1 ⎞ ⎛ 7a − 3b + c ⎞
⎜
⎟ ⎜
⎟⎜
⎟
⎜ −8a + 5b − 2c ⎟ = ⎜ 2 3 −1 ⎟ ⎜ −6a + 3b − c ⎟
⎜ 3a − 2b + c ⎟ ⎜ −1 −1 1 ⎟ ⎜ 4a − 2b + c ⎟
⎝
⎠ ⎝
⎠⎝
⎠

20. Trong
và

3

, cho các hệ vectơ
B1 = u1 = (1,1,1) ,u 2 = (1,1, 2 ) ,u 3 = (1, 2, 3)

{

}

{

}

B2 = v1 = ( 2,1, −1) ,v2 = ( 3, 2, 5 ) ,v3 = (1, −1, m )
3

a) Chứng minh rằng B1 là cơ sở của

.

b) Tìm tọa độ của vectơ u = ( a, b, c ) trong cơ sở B1 .

c) Tìm m để B2 là một cơ sở của

3

.

11


⎛ 2 1 −1 ⎞
⎛ 1 −1 m ⎞
⎛1
⎜
⎟
⎟
(1 ) ∼ ( 3 ) ⎜
( 2):= ( 2) − 3(1) ⎜
→ 0
⎜ 3 2 5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 3 2 5 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 3 ) : = ( 3 ) − 2 (1 ) ⎜
⎜ 1 −1 m ⎟
⎜ 2 1 −1 ⎟
⎜0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎛ 1 −1
⎞ ⎛ 1 −1
m
⎟ ⎜
( 3):= ( 3) − 53 ( 2) ⎜
5 − 3m
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 5

⎟ = ⎜0 5
⎜ 0 0 −1 − 2m − 3 ( 5 − 3m ) ⎟ ⎜ 0 0
5
⎝
⎠ ⎝

−1

m

⎞
⎟
5 5 − 3m ⎟
3 −1 − 2m ⎟⎠
⎞
m
⎟
5 − 3m ⎟
−4 − 15 m ⎟⎠

d) Với m = 0 , tìm các ma trận đổi cơ sở PB → B và PB → B .
1

2

2

1

1 1 1

ĐS: a) 1 1 2 = −1 ≠ 0
1 2 3
b) Ta có
⎧ k1 + k 2
⎛ k1 ⎞
⎜ ⎟
⎪
⎡⎣ u ⎤⎦ = ⎜ k 2 ⎟ ⇔ u = k1u1 + k 2u 2 + k 3u 3 ⇔ ⎨k1 + k 2
B1
⎪k + 2k
⎜k ⎟
2
⎝ 3⎠
⎩ 1
Biến đổi
⎛1 1 1 a ⎞
⎛1 1 1 a ⎞
⎛1
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
2 ) : = ( 2 ) − (1 )
3) ∼ ( 2 )
(
(
0
0
1

b
a
0
→
−
⎯⎯⎯⎯→
⎜ 1 1 2 b ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜
⎟
⎜
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 )
⎜1 2 3 c ⎟
⎜0 1 2 c − a ⎟
⎜0
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝

+

k3

+ 2k 3
+ 3k 3

= a
= b
=

c

1 1 a ⎞
⎟
1 2 c − a⎟
0 1 b − a ⎟⎠
⎛ a+b−c ⎞
⎜
⎟
ta được k 3 = b − a ; k 2 = c − 2b + a ; k1 = −c + b + a . Vậy ⎣⎡ u ⎦⎤ = ⎜ a + 2b − c ⎟ .
B
⎜ b−a ⎟
⎝
⎠
cơ sở chính tắc của 3 . Ta có
⎛ 1 1 −1 ⎞
1 1⎞
−1
⎜
⎟
⎟
= ⎜ 1 −2 1 ⎟
1 2 ⎟ ; PB →C = PC →B
1
1
⎜ −1 1 0 ⎟
2 3 ⎟⎠
⎝
⎠

⎛2 3 1⎞
⎛ 5 5 −5 ⎞
−1
⎟
1 ⎜
⎜
⎟
=
PC →B = ⎜ 1 2 −1 ⎟ ; PB →C = PC →B
1 1
3⎟
⎜
2
2
2
20 ⎜
⎟
⎜ −1 5 0 ⎟
⎝ 7 −13 1 ⎠
⎝
⎠
⎛ 1 1 −1 ⎞ ⎛ 2 3 1 ⎞ ⎛ 4 0 0 ⎞
⎜
⎟⎜
⎟ ⎜
⎟
Suy ra PB →B = PB →C ⋅ PC →B = ⎜ 1 −2 1 ⎟ ⎜ 1 2 −1 ⎟ = ⎜ −1 4 3 ⎟ ;
1
2
1

2
⎜ − 1 1 0 ⎟ ⎜ − 1 5 0 ⎟ ⎜ − 1 − 1 −2 ⎟
⎝
⎠⎝
⎠ ⎝
⎠
⎛ 5 5 −5 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎞
⎛ 5 0
0 ⎞
⎟⎜
⎟
⎟
1 ⎜
1 ⎜
PB →B = PB →C ⋅ PC →B =
1 1
3 ⎟ ⎜1 1 2⎟ =
5 8 12 ⎟ .
⎜
⎜
2
1
2
1
20 ⎜
⎟ ⎜ 1 2 3 ⎟ 20 ⎜ −5 −4 −16 ⎟
7
13
1
−

⎝
⎠⎝
⎠
⎝
⎠
c) Gọi C là
⎛1
⎜
PC →B = ⎜ 1
1
⎜1
⎝

(

)

(

)

21. Cho hai hệ vectơ trong không gian 4
B : a1 = ( 0,1, 0, 2 ) , a 2 = (1,1, 0,1) , a 3 = (1, 2, 0,1) , a 4 = ( −1, 0, 2,1) ,
12


B ′ : b1 = (1, 0, 2, −1) , b2 = ( 0, 3, 0, 2) , b3 = ( 0,1, 3,1) , b4 = ( 0, −1, 0,1) .
a) Chứng minh chúng là hai cơ sở của 4 .
b) Tìm ma trận đổi cơ sở từ B qua B ′ .
c) Tìm tọa độ của v = ( 2, 0, 4, 0) đối với cơ sở B ′ .

ĐS: a)

0

1 0 2

1

1 0 1

1

2 0 1

= −4 ;

−1 0 2 1

b) Gọi C là
⎛0
⎜
1
PC →B = ⎜
⎜0
⎜⎜
⎝2

cơ
1
1

0
1

⎛1
⎜
0
=⎜
⎜2
⎜⎜
⎝ −1

0

PC →B′

3
0
2

1

0

2 −1

0

3

0

2

0

1

3

1

0 −1 0

1

= 15 .

chính tắc của 4 . Ta có
⎛ 2 0
−1 ⎞
⎟
⎜
−1
0⎟
1 ⎜ −6 4
; P
= PC →B
=
−4 ⎜ 2 −4
2 ⎟ B →C

⎜⎜
⎟⎟
1⎠
⎝ 0 0
⎛ 15
0 0⎞
⎟
⎜
−1
1 −1 ⎟
1 ⎜ 7
; PB′ →C = PC →B′
=
15 ⎜ −10
3 0⎟
⎟⎟
⎜⎜
1 1⎠
⎝ 11

sở
1
2
0
1

(

)

(

)

2
−2
0
−2
0
3
0
−6

−2 ⎞
⎟
−2 ⎟
2⎟
⎟
0 ⎟⎠
0 0⎞
⎟
−2 3 ⎟
5 0⎟
⎟
−1 9 ⎟⎠

Suy ra
PB →B′ = PB →C ⋅ PC →B′

PB′ →B = PB′ →C ⋅ PC →B

⎛ 2
⎜
1 ⎜ −6
=
−4 ⎜ 2
⎜⎜
⎝ 0
⎛ 15
⎜
1 ⎜ 7
=
15 ⎜ −10
⎜⎜
⎝ 11

0

2

4 −2
−4 0
0

−2

0

0

3

−2

0

5

−6 −1

⎛ 8 −4
−2 ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎞
⎟⎜
⎟
⎜
− 2 ⎟ ⎜ 0 3 1 −1 ⎟
1 ⎜ −8 8
=
2 ⎟ ⎜ 2 0 3 0 ⎟ −4 ⎜ 0 −8
⎟⎜
⎟
⎜⎜
0 ⎟⎠ ⎜⎝ −1 2 1 1 ⎟⎠
⎝ −4 0
⎛ 0 15
0 ⎞ ⎛ 0 1 1 −1 ⎞
⎟⎜
⎟
⎜
3 ⎟ ⎜ 1 1 2 0 ⎟ 1 ⎜ 9 13

=
0 ⎟ ⎜ 0 0 0 2 ⎟ 15 ⎜ 0 −10
⎟⎜
⎟
⎜⎜
9 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 1 1 1 ⎟⎠
⎝ 12 14

4
−4
−2
−6
15
16
−10
8

−2 ⎞
⎟
−6 ⎟
;
6⎟
⎟
0 ⎟⎠
−15 ⎞
⎟
−8 ⎟
20 ⎟
⎟
−4 ⎟⎠

.
⎛ 2⎞
⎛ 15
⎛ 30 ⎞
0 0 0⎞ ⎛ 2⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜ ⎟
0⎟
3 −2 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ 1 ⎜ 6 ⎟
1 ⎜ 7
⎜
c) ⎡⎣ v ⎤⎦ =
; ⎡ v ⎤ = PB′→C ⋅ ⎡⎣ v ⎤⎦ =
=
C
C
⎜ 4 ⎟ ⎣ ⎦B′
15 ⎜ −10 0 5 0 ⎟ ⎜ 4 ⎟ 15 ⎜ 0 ⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜ ⎟⎟
⎝ 0⎠
⎝ 11 −6 −1 9 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝ 18 ⎠
d) Tìm tọa độ của v đối với cơ sở B .
⎛ 2 0 2 −2 ⎞ ⎛ 2 ⎞

⎛ 12 ⎞
⎜
⎟⎜ ⎟
⎜
⎟
1 ⎜ −6 4 −2 −2 ⎟ ⎜ 0 ⎟
1 ⎜ −20 ⎟
⎡⎣ v ⎤⎦ = PB →C ⋅ ⎡⎣ v ⎤⎦ =
=
B
C
−4 ⎜ 2 −4 0 2 ⎟ ⎜ 4 ⎟ −4 ⎜ 4 ⎟
⎜⎜
⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎝ 0 0 −2 0 ⎠ ⎝ 0 ⎠
⎝ −8 ⎠
22. Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở của không gian con W sinh bởi hệ vectơ sau
a) u1 = (1, 0, 0, −1) , u 2 = ( 2,1,1, 0 ) , u 3 = (1,1,1,1) , u 4 = (1, 2, 3, 4 ) , u 5 = ( 0,1, 2, 3) trong
4

.

13


b)

u1 = (1,1,1,1, 0 ) ,

u 5 = (1, 1, 1, 0, 0) trong

u 3 = ( 2, 2, 0, 0, 1) ,

u 2 = (1,1, 1, 1, 1) ,
5

u 4 = (1,1, 5, 5, 2 ) ,

.

ẹS: a) Bieỏn ủoồi

1

2
1

1
0


1
0 0 1


( 2 ) : = ( 2 ) 2 (1 ) 0
1 1 0
( 3 ) : = ( 3 ) (1 )

1 1 1
0
( 4 ) : = ( 4 ) (1 )


2 3 4
0

0
1 2 3


1

0
3) ( 5 )
(
0

0
0


1
0 0 1


( 3) := ( 3 ) ( 2 )
1 1 2
0

4 ): = ( 4 ) 2 ( 2 )
(

0
1 1 2
( 5 ) := ( 5 ) ( 2 )


2 3 5
0

0
1 2 3


1
0 0 1


1 1 2
0
4 ) : = ( 4 ) ( 3)
(

0
0 1 1


0 1 1
0

0
0 0 0


0 0 1

1 1 2
0 0 0

0 1 1
0 1 1

0 0 1

1 1 2
0 1 1

0 0 0
0 0 0

{

}

dim = 3 vaứ moọt cụ sụỷ laứ B = e1 = (1, 0, 0, 1) ; e2 = ( 0,1,1, 2 ) ; e3 = ( 0, 0,1,1)
b) Bieỏn ủoồi

1 1 1 1 0
1 1

( 2):= ( 2) (1)
1 1 1 1 1
0 0
3 ) : = ( 3 ) 2 (1 )
(
2 2 0 0 1 0 0
( 4 ) : = ( 4 ) (1 )



( 5 ) : = ( 5 ) (1 )
1 1 5 5 2
0 0
1 1 1 0 0
0 2



1 1 1 1 0
1 1



0 2 2 1 0
0 2
4 ): = ( 4 ) + 2 ( 3 )
(

0 0 2 2 1 0 0
( 5 ): = ( 5 ) ( 3 )



0 0 4 4 2
0 0
0 0 3 2 1
0 0




{

1

1

0

3 2 1
( 2) ( 5)
2 2 1

4 4 2
2 1 0
1

1

0

2 1 0
2 2 1

0 0 0
0 0 0

}

dim = 3 vaứ moọt cụ sụỷ laứ B = e1 = (1,1,1,1, 0) ; e2 = ( 0, 2, 2, 1, 0 ) ; e3 = ( 0, 0, 2, 2, 1)

14


Bài tập
1. Trong các ánh xạ sau đây, ánh xạ nào là ánh xạ tuyến tính
a) f :

3

→

3

, f ( x1 , x 2 , x3 ) = ( x1 , 0, 0 ) .

b) f :

3

→

2

, f ( x1 , x 2 , x 3 ) = ( x1 , − x3 )

c) f :

4

→

2

d) f :

3

→

2

e) f :

3

→

3

, f ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) = ( x1 + x 2 , x 3 − x4 ) .
, f ( x1 , x 2 , x 3 ) = ( x1 x 2 , x 3 ) .

, f ( x1 , x2 , x 3 ) = ( x1 + 3, x 2 , x3 ) .

(

)

(

)

ĐS: a) Có. Với u = x1 , x 2 , x 3 , v = y1 , y 2 , y 3 ∈

3

và α, β ∈

, ta có

f ( αu + β v ) = f ( αx1 + β y1 , αx 2 + β y 2 , αx 3 + β y 3 ) = ( αx1 + β y1 , 0, 0 )

= α ( x1 , 0, 0 ) + β ( y1 , 0, 0 ) = αf ( x1 , x 2 , x 3 ) + β f ( y1 , y 2 , y 3 ) = αf ( u ) + β f ( v )

(

)

(

)

b) Có. Với u = x1 , x 2 , x 3 , v = y1 , y 2 , y 3 ∈

3

và α, β ∈

f ( αu + β v ) = f ( αx1 + β y1 , αx2 + β y 2 , αx3 + β y 3 ) =

( ( αx

1

, ta có

+ β y1 ) , − ( αx3 + β y 3 )

)

= α ( x1 , − x 3 ) + β ( y1 , − y 3 ) = αf ( x1 , x 2 , x 3 ) + β f ( y1 , y 2 , y 3 ) = αf ( u ) + β f ( v )

(
) (
) 4 và α, β ∈ , ta có
f ( αu + β v ) = f ( αx1 + β y1 , αx2 + β y 2 , αx3 + β y 3 , αx4 + β y 4 )
= ( ( αx1 + β y1 ) + ( αx2 + β y 2 ) , ( αx3 + β y 3 ) − ( αx4 + β y 4 ) )

= α ( x1 − x 2 , x3 − x 4 ) + β ( y1 − y 2 , y 3 − y 4 )
= αf ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) + β f ( y1 , y 2 , y 3 , y 4 ) = αf ( u ) + β f ( v )

c) Có. Với u = x1 , x 2 , x 3 , x 4 , v = y1 , y 2 , y 3 , y 4 ∈

d)

Không

vì

với

u = (1,1, 0 ) , v = (1, 0, 0 ) ∈

3

,

ta

có

f ( u ) = f (1,1, 0) = (1, 0 ) , f ( v ) = ( 0, 0) và do đó

u + v = ( 2,1, 0 ) ,

f ( u + v ) = f ( 2,1, 0 ) = ( 2, 0 ) ≠ f ( u ) + f ( v ) = (1, 0 )
e)

Không

vì

với

u = (1, 0, 0 ) , v = ( 0, 0, 0 ) ∈

3

,

ta

có

f ( u ) = f (1, 0, 0 ) = ( 4, 0, 0 ) , f ( v ) = ( 3, 0, 0) và do đó

u + v = (1, 0, 0 ) ,

f ( u + v ) = f ( 2,1, 0 ) = ( 4, 0, 0 ) ≠ f ( u ) + f ( v ) = ( 7, 0, 0 )
2. Cho f : V → W là một ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian vectơ và
S = {u1 , u 2 ,..., u r } là một hệ các vectơ của V. Chứng minh rằng nếu hệ vectơ

{f ( u ) , f ( u ) ,..., f ( u )}
1

2

r

độc lập tuyến tính (trong W) thì hệ vectơ S cũng độc lập

tuyến tính (trong V).

1


ĐS:

Với

sao

k1 , k 2 ,..., k r ∈

f ( k1u1 + k 2u 2 + ... + k r u r ) = f ( 0 ) .

cho

Do

f

là

k1u1 + k 2u 2 + ... + k r u r = 0 ,

ánh

xạ

tuyến

tính,

f ( k1u1 + k 2u 2 + ... + k r u r ) = k1f ( u1 ) + k 2 f ( u 2 ) + ... + k r f ( u r ) .

{f ( u ) , f ( u ) ,..., f ( u )}

Vì

1

2

độc

r

lập

tuyến

tính

nên

ta

f ( 0) = 0

đẳng

có
và

thức

k1f ( u1 ) + k 2 f ( u 2 ) + ... + k r f ( u r ) = 0 kéo theo k1 = k 2 = ... = k r = 0 .
Vậy S độc lập tuyến tính.
3. Cho ánh xạ f :

2

→

2

xác đònh bởi

f ( x, y ) = ( x + 2y, 2x + y )
a) Chứng minh rằng f là một toán tử tuyến tính trên

{

2

.

}

b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = u1 = ( 2,1) , u 2 = ( 3, 2 ) .
ĐS: a) Với u = ( x1 , y1 ) , v = ( x2 , y 2 ) ∈

2

và α, β ∈

, ta có

f ( αu + β v ) = f ( αx1 + β x2 , αy1 + β y 2 )
=

( ( αx

1

+ β x2 ) + 2 ( αy1 + β y 2 ) , 2 ( αx1 + β x2 ) + ( αy1 + β y 2 )

= α ( x1 + 2y1 , 2x1 + y1 ) + β ( x2 + 2y 2 , 2x2 + y 2 )

)

= αf ( x1 , y1 ) + βf ( x2 , y 2 ) = αf ( u ) + β f ( v )
b) Ta có f ( u1 ) = ( 4, 5 ) , f ( u 2 ) = ( 7, 8 ) và
⎛k ⎞
⎧2k
⎡ f ( u1 ) ⎤ = ⎜ 1 ⎟ ⇔ ⎪⎨ 1
⎣

⎦B ⎜ k ⎟
⎝ 2⎠
⎩⎪ k1

+ 3k 2

= 4

+ 2k 2

⎧⎪k = −7
⇔⎨ 1
= 5
⎩⎪ k 2 = 6

⎛k ⎞
⎧2k
⎡ f ( u 2 ) ⎤ = ⎜ 1 ⎟ ⇔ ⎪⎨ 1
⎣
⎦B ⎜ k ⎟
⎝ 2⎠
⎩⎪ k1

+ 3k 2

= 7

+ 2k 2

⎧⎪k = −10

⇔⎨ 1
= 8
⎩⎪ k 2 = 9

⎛ −7 ⎞
⎛ −10 ⎞
⎛ −7 −10 ⎞
Vậy ⎡⎣ f ( u1 ) ⎤⎦ = ⎜ ⎟ , ⎡⎣ f ( u 2 ) ⎤⎦ = ⎜
và do đó ⎡⎣ f ⎤⎦ = ⎜
⎟
⎟.
B
B
B
9 ⎠
⎝ 6⎠
⎝ 9 ⎠
⎝ 6

4. Cho ánh xạ tuyến tính f :

3

→

2

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( 2x1 , x2 − x3 )

{

}

a) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = e1 = (1, 0, 0) , e2 = ( 0,1, 0) , e3 = ( 0, 0,1) trong
3

{

}

và cơ sở C = f1 = (1, 0 ) , f2 = ( 0,1) trong

b) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B trong
trong

2

.

2

2

.

3

{

}

và cơ sở C ′ = f1′ = (1, 2 ) , f2′ = (1,1)


{

}

c) Tìm ma trận của f đối với cơ sở B ′ = e1′ = (1,1,1) , e′2 = ( 0,1, 2 ) , e′3 = ( 0, 0,1) trong
3

2

và cơ sở C ′ trong

.

⎛ 2⎞
⎛ 0⎞
ĐS: a) f ( e1 ) = ( 2, 0) , f ( e2 ) = ( 0,1) , f ( e3 ) = ( 0, −1) cho ⎣⎡ f ( e1 ) ⎦⎤ = ⎜ ⎟ , ⎡⎣ f ( e2 ) ⎤⎦ = ⎜ ⎟
C
C
⎝ 0⎠
⎝1⎠
⎛0⎞
⎛2 0 0 ⎞
và ⎡⎣ f ( e2 ) ⎤⎦ = ⎜ ⎟ . Suy ra ⎣⎡ f ⎦⎤
=⎜

⎟.
B ,C
C
⎝ −1 ⎠
⎝ 0 1 −1 ⎠

⎛k ⎞
⎧k
⎧⎪k1 = −2
+ k2 = 2
⎡ f ( e1 ) ⎤ = ⎜ 1 ⎟ ⇔ ⎨⎪ 1
⇔
⎨
⎣
⎦C ′ ⎜ k ⎟
⎝ 2⎠
⎩⎪2k1 + k 2 = 0
⎩⎪ k 2 = 4
⎛k ⎞
⎧⎪ k
⎧⎪ k = 1
+ k2 = 0
⎛ −2 1 −1 ⎞
cho ⎣⎡ f ⎦⎤
b) ⎡⎣ f ( e2 ) ⎤⎦ = ⎜ 1 ⎟ ⇔ ⎨ 1
⇔⎨ 1
=⎜
⎟
B ,C ′
⎜k ⎟

C′
⎝ 4 −1 1 ⎠
⎝ 2⎠
⎩⎪2k1 + k 2 = 1
⎩⎪k 2 = −1
⎛k ⎞
⎧k
⎧⎪k1 = −1
+ k2 = 0
⎡ f ( e2 ) ⎤ = ⎜ 1 ⎟ ⇔ ⎪⎨ 1
⇔
⎨
⎣
⎦C ′ ⎜ k ⎟
⎝ 2⎠
⎩⎪2k1 + k 2 = −1
⎩⎪ k 2 = 1

c)

Ta

f ( e1′ ) = f (1,1,1) = ( 2, 0 ) ,

có

f ( e′2 ) = f ( 0,1, 2 ) = ( 0, −1)

f ( e′3 ) = f ( 0, 0,1) = ( 0, −1) . Ta có

⎛k ⎞
⎧k
⎧⎪k1 = −2
+ k2 = 2
⎡ f ( e1 ) ⎤ = ⎜ 1 ⎟ ⇔ ⎪⎨ 1
⇔
⎨
⎣
⎦C ′ ⎜ k ⎟
⎝ 2⎠
⎩⎪2k1 + k 2 = 0
⎩⎪ k 2 = 4
⎛k ⎞
⎧k
⎧⎪k1 = −1
+ k2 = 0
⎛ −2 −1 −1 ⎞
⎡ f ( e2 ) ⎤ = ⎜ 1 ⎟ ⇔ ⎪⎨ 1
⎡⎣ f ⎤⎦
cho
=
⇔
⎨
⎜
⎟
⎣
⎦C ′ ⎜ k ⎟
B ,C ′
⎝4 1 1⎠
⎝ 2⎠

⎩⎪2k1 + k 2 = −1
⎩⎪ k 2 = 1
⎛k ⎞
⎧k
⎧⎪k1 = −1
+ k2 = 0
⎡ f ( e2 ) ⎤ = ⎜ 1 ⎟ ⇔ ⎪⎨ 1
⇔
⎨
⎣
⎦C ′ ⎜ k ⎟
⎝ 2⎠
⎩⎪2k1 + k 2 = −1
⎩⎪ k 2 = 1

5. Cho ánh xạ ϕ :

4

→

3

xác đònh bởi

ϕ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( x1 − 2x2 , x2 − 2x3 , x3 − 2x4 )

a) Chứng minh rằng ϕ là một ánh xạ tuyến tính.
b) Tìm ma trận của ϕ trong cặp cơ sở ( B , C ) , với

{

}

B = e1 = (1, −1, 0, 0) , e2 = ( 0,1, −1, 0) , e3 = ( 0, 0,1, −1) , e4 = ( 0, 0, 0,1) ,

{

}

C = f1 = (1,1,1) , f2 = (1,1, 0 ) , f3 = (1, 0, 0 ) .

ĐS: a) Với u = ( x1 , x2 , x3 , x4 ) , v = ( y1 , y 2 , y 3 , y 4 ) ∈

3

4

và α, β ∈

, ta có

và


ϕ ( αu + β v ) = ϕ ( αx1 + βy1 , αx2 + β y 2 , αx3 + β y 3 , αx4 + β y 4 )
=

( ( αx

1

+ β y1 ) − 2 ( αx2 + β y 2 ) , ( αx2 + β y 2 ) − 2 ( αx3 + β y 3 ) ,

( ( αx

3

+ βy 3 ) − 2 ( αx4 + β y 4 ) ⎤⎦

= α ( x1 − 2x2 , x2 − 2x3 , x3 − 2x4 ) + β ( y1 − 2y 2 , y 2 − 2y 3 , y 3 − 2y 4 )
= αϕ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) + βϕ ( y1 , y 2 , y 3 , y 4 ) = αϕ ( u ) + βϕ ( v )

b)

Ta

có

ϕ ( e1 ) = ϕ (1, −1, 0, 0) = ( −1, −1, 0 ) ,

ϕ ( e2 ) = ϕ ( 0,1, −1, 0 ) = ( −2, −1, −1) ,

ϕ ( e3 ) = ϕ ( 0, 0,1, −1) = ( 0, −2, −1) , ϕ ( e4 ) = ϕ ( 0, 0, 0,1) = ( 0, 0, −2 ) nên
⎡
⎤
⎣ ϕ ( e1 ) ⎦C

⎧ k1
⎛ k1 ⎞

⎜ ⎟
⎪
= ⎜ k 2 ⎟ ⇔ ⎨ k1
⎪
⎜ ⎟
⎝ k3 ⎠
⎩ k1

⎡ ϕ ( e2 ) ⎤
⎣
⎦C

⎧ k1
⎛ k1 ⎞
⎜ ⎟
⎪
= ⎜ k 2 ⎟ ⇔ ⎨ k1
⎪
⎜ ⎟
⎝ k3 ⎠
⎩ k1

⎡
⎤
⎣ ϕ ( e3 ) ⎦ C

⎧ k1
⎛ k1 ⎞
⎜ ⎟
⎪

= ⎜ k 2 ⎟ ⇔ ⎨ k1
⎪
⎜ ⎟
⎝ k3 ⎠
⎩ k1

⎡
⎤
⎣ ϕ ( e4 ) ⎦ C

⎧ k1
⎛ k1 ⎞
⎜ ⎟
⎪
= ⎜ k 2 ⎟ ⇔ ⎨ k1
⎪
⎜ ⎟
⎝ k3 ⎠
⎩ k1

Vậy, ⎣⎡ ϕ⎦⎤
B ,C

+ k2

+ k3

⎧ k1 = 0
⎪
= −1 ⇔ ⎨ k 2 = − 1

⎪
= 0
⎩ k3 = 0

+ k2

+ k3

= −2

⎧ k1 = −1
⎪
= −1 ⇔ ⎨ k 2 = 0
⎪
= −1
⎩k 3 = −1

+ k3

⎧ k1 = −1
⎪
= −2 ⇔ ⎨ k 2 = − 1
⎪
= −1
⎩ k3 = 2

+ k3

⎧k1 = −2
⎪

= 0 ⇔ ⎨ k2 = 2
⎪
= −2
⎩ k3 = 0

+ k2

+ k2
+ k2
+ k2
+ k2

+ k2

= −1

0

=

0

=

⎛ 0 −1 −1 −2 ⎞
⎜
⎟
= ⎜ −1 0 −1 2 ⎟
⎜ 0 −1 2 0 ⎟
⎝

⎠

6. Cho phép biến đổi tuyến tính f :

3

3

→

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x 2 − 2x3 , x1 + x2 , x1 ) .

{

}

Tìm ma trận của f đối với cơ sở B = e1 = (1,1, 0 ) , e2 = ( 0,1,1) , e3 = (1, 0,1) .
ĐS:

Ta

có

f ( e1 ) = ϕ (1,1, 0 ) = (1, 2,1) ,

f ( e3 ) = ϕ (1, 0,1) = ( −2,1,1) nên
⎡ f ( e1 ) ⎤
⎣

⎦B

⎧ k1
⎛ k1 ⎞
⎜ ⎟
⎪
= ⎜ k 2 ⎟ ⇔ ⎨ k1
⎪
⎜ ⎟
⎝ k3 ⎠
⎩

+ k2
k2

+ k3
+ k3

= 1

⎧ k1 = 1
⎪
= 2 ⇔ ⎨k2 = 1
⎪
= 1
⎩k 3 = 0

4

f ( e2 ) = ϕ ( 0,1,1) = ( −1,1, 0 ) ,

⎡ f ( e2 ) ⎤
⎣
⎦B

⎧ k1
⎛ k1 ⎞
⎜ ⎟
⎪
= ⎜ k 2 ⎟ ⇔ ⎨ k1
⎪
⎜k ⎟
⎝ 3⎠
⎩

⎡
⎤
⎣ f ( e3 ) ⎦B

⎧ k1
⎛ k1 ⎞
⎜ ⎟
⎪
= ⎜ k 2 ⎟ ⇔ ⎨ k1
⎪
⎜k ⎟
⎝ 3⎠
⎩

Vậy, ⎣⎡ ϕ⎦⎤
B

+ k2
k2

+ k2
k2

+ k3

= −1

⎧ k1 = 0
⎪
1 ⇔ ⎨ k2 = 1
⎪
0
⎩k 3 = −1

=
+ k3

=

+ k3

= −2

⎧ k1 = −1

⎪
1 ⇔ ⎨ k2 = 2
⎪
1
⎩ k 3 = −1

=
+ k3

=

⎛ 1 0 −1 ⎞
⎜
⎟
= ⎜1 1 2 ⎟
⎜ 0 −1 −1 ⎟
⎝
⎠

7. Xác đònh ánh xạ tuyến tính f : 3 →
B = e1 = (1,1, 0 ) , e2 = ( 0,1,1) , e3 = (1, 0,1) là

{

3

}

có ma trận đối với cơ sở

⎛1 2 0 ⎞
⎜
⎟
A = ⎜ 0 1 −2 ⎟ .
⎜1 2 1 ⎟
⎝
⎠
Với u = ( 3, −2, 0 ) , tìm tọa độ của f ( u ) đối với cơ sở B .
ĐS: Gọi C là cơ sở chính tắc của

PB → C = ( PC → B )

−1

3

. Ta có PC → B

⎛1 0 1⎞
⎜
⎟
= ⎜ 1 1 0 ⎟ nên
⎜0 1 1⎟
⎝
⎠

⎛ 1 1 −1 ⎞
1⎜
⎟
= ⎜ −1 1 1 ⎟ . Do đó, ma trận của f đối với cơ sở (chính tắc) C

2⎜
⎟
⎝ 1 −1 1 ⎠

cho bởi

(

⎡⎣ f ⎤⎦ = PC →B
C

)

−1

⎛ 1 1 −1 ⎞ ⎛ 1 2 0 ⎞ ⎛ 1 0 1 ⎞
⎛ 1 −2 −3 ⎞
1⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟ 1⎜
⎟
= ⎜ −1 1 1 ⎟ ⎜ 0 1 −2 ⎟ ⎜ 1 1 0 ⎟ = ⎜ 1 0 −1 ⎟ Vớ
2⎜
⎟⎜
⎟⎜
⎟ 2 ⎜5 6 5 ⎟
⎝ 1 −1 1 ⎠ ⎝ 1 2 1 ⎠ ⎝ 0 1 1 ⎠
⎝
⎠

⎛ x1 ⎞
⎜ ⎟
= ⎜ x2 ⎟ và
⎜x ⎟
⎝ 3⎠

⎡⎣ f ⎤⎦ PC →B
C

i u = ( x1 , x2 , x 3 ) , ta có ⎡⎣ u ⎤⎦
C

⎡
⎤
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎣ f ( u ) ⎦C = ⎣ f ⎦ C ⎣ u ⎦ C

⎛ x1 − 2x2 − 3x3 ⎞
2
⎛ 1 −2 −3 ⎞ ⎛ x1 ⎞ ⎜
⎟
⎟ ⎜ ⎟ ⎜ x1 − x3 ⎟
1⎜
= ⎜ 1 0 −1 ⎟ ⎜ x2 ⎟ = ⎜
⎟
2
2⎜
⎟ ⎜ x ⎟ ⎜ 5x1 + 6x2 + 5x3 ⎟
5
6

5
⎝
⎠⎝ 3 ⎠ ⎜
⎟
2
⎝
⎠

Do đó f ( x1 , x2 , x 3 ) = f ( u ) =

(

x1 − 2x2 − 3x3
2

,

x1 − x3
2

,

5

5x1 + 6x2 + 5x3
2

)

Với u = ( 3, −2, 0 ) , ta có ⎣⎡ u ⎦⎤ = PB →C ⎣⎡u ⎦⎤
B
C

⎡ f ( u )⎤ = ⎡ f ⎤ ⎡u ⎤
⎣
⎦B ⎣ ⎦B ⎣ ⎦B

1
⎛ 1 1 −1 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 2 ⎞
⎟
1⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜
= ⎜ −1 1 1 ⎟ ⎜ −2 ⎟ = ⎜ − 52 ⎟ và
2⎜
⎟⎜ ⎟ ⎜ 5 ⎟
⎝ 1 −1 1 ⎠ ⎝ 0 ⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠

9
1
⎛1 2 0 ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ − 2 ⎞
⎟
⎟ ⎜
⎜
⎟⎜
= ⎜ 0 1 −2 ⎟ ⎜ − 52 ⎟ = ⎜ − 15
⎟.
2
⎜ 1 2 1 ⎟ ⎜⎜ 5 ⎟⎟ ⎜⎜ −2 ⎟⎟
⎝

⎠⎝ 2 ⎠ ⎝
⎠
4

8. Cho phép biến đổi tuyến tính f :
⎛1
⎜
−1
A=⎜
⎜2
⎜⎜
⎝0

4

→

với ma trận đối với cơ sở chính tắc là

0 2 1⎞
⎟
2 0 1⎟
.
0 1 1⎟
⎟
0 2 1 ⎟⎠

Xác đònh Ker f và tìm một cơ sở của nó.
ĐS: Ta có f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( x1 + 2x 3 + x 4 , − x1 + 2x2 + x 4 , 2x1 + x 3 + x4 , 2x 3 + x4 ) .
Do Kerf =

{( x , x , x , x ) f ( x , x , x , x ) = 0} , với
1

f ( x1 , x2 , x3 , x4 )

1

Do

2

3

4

1

⎧ x1
⎪
⎪− x
=0⇔⎨ 1
⎪2x1
⎪
⎩

2

3

4

+ 2x3

+ 2x 2

x3

+

2x3

+ x4

= 0

+ x4

= 0

+ x4

= 0

+ x4

= 0

0 2 1

−1 2 0 1
= −2 ≠ 0 nên hệ phương trình thuần nhất nhận được là hệ Cramer.
2 0 1 1
0

0 2 1

Suy ra Kerf = {0} và không có cơ sở.
9. Cho ánh xạ tuyến tính f :

4

3

→

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( 2x1 + 3x2 + 5x 3 + 6x 4 , 3x1 + 4x2 + 6x 3 + 7x 4 , 3x1 + x 2 + x3 + 4x 4 )
Tìm một cơ sở của Ker f và một cơ sở của Im f .
ĐS: Ta có Kerf =
f ( x1 , x2 , x3 , x4 )

{( x , x , x , x ) f ( x , x , x , x ) = 0} , với
1

2

⎧2x1
⎪

= 0 ⇔ ⎨3x1
⎪3x
⎩ 1

3

4

1

2

3

4

+ 3x2

+ 5x3

+ 6x 4

= 0

+ 4x2

+ 6x 3

+ 7x4

= 0

+

+

x2

x3

Biến đổi
6

+ 4x4

= 0


⎛2 3
⎛ 2 3 5 6⎞
3
⎜
⎟
( 2 ) : = ( 2 ) − 2 (1 ) ⎜
3
4
6
7
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→ ⎜ 0 − 12

⎜
⎟
( 3):= ( 3) − 23 (1) ⎜
⎜
⎟
5
⎜
⎝3 2 1 4⎠
⎝0 − 2

Cho

x4 = m ,

với

⎛2 3
6⎞
⎟
⎜
3 ): = ( 3 ) − 5 ( 2 )
(
−2 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 − 12
⎟
⎜
−5 ⎠⎟
⎝0 0

5
− 23

− 13
2

m∈

.

Ta

được

6⎞
⎟
−2 ⎟
⎟
5⎠

5
− 23
1

x 3 = −5x4 = −5m ;

x 2 = −3x 3 − 4x 4 = 15m − 4m = 11m ;

x1 =

1
2

( −3x2 − 5x3 − 6x4 ) = 12 ( −33m + 25m − 6m ) = 7m

Kerf =

và do đó

{(7m,11m, −5m, m ) m ∈ } = (7,11, −5,1) .

Vậy một cơ sở cho Ker f là
Ta có Im f =

{( a, b, c ) ∈

f ( x1 , x2 , x3 , x4 )

3

{(7,11, −5,1)} .

∃ ( x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈

⎧2x1
⎪
= ( a, b, c ) ⇔ ⎨3x1
⎪3x
⎩ 1

+ 3x2

4

}

, f ( x1 , x2 , x3 , x4 ) = ( a, b, c ) và vì

+ 5x3

+ 4x2

+ 6x 3

+

+

x2

x3

+ 6x 4

+ 7x 4

+ 4x4

= a
= b
= c

⇔ ( a, b, c ) = ( 2x1 + 3x2 + 5x3 + 6x4 , 3x1 + 4x2 + 6x 3 + 7x 4 , 3x1 + x 2 + x 3 + 4x4 )
⇔ ( a, b, c ) = x1 ( 2, 3, 3) + x 2 ( 3, 4,1) + x 3 ( 5, 6,1) + x 4 ( 6,7, 4 )
ta suy ra Im f =

( 2, 3, 3) , ( 3, 4,1) , ( 5, 6,1) , ( 6,7, 4 )

⎛2
3⎞
⎜
⎟
1⎟
( 2):= ( 2) − 23 (1) ⎜ 0
⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→
( 3):= ( 3) − 52 (1) ⎜ 0
1⎟
( 4 ) : = ( 4 ) − 3 (1 ) ⎜
⎟
⎜
4 ⎠⎟
⎝0
⎛2 3
3 ⎞
⎜
7⎟
1
( 4 ):= ( 4 ) − 49 ( 3) ⎜ 0 − 2 − 2 ⎟
⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜
0 0
4 ⎟

⎜
⎟
⎜0 0
0 ⎟⎠
⎝

⎛2
⎜
⎜3
⎜5
⎜⎜
⎝6

3
4
6
7

3
− 12

. Biến đổi

3 ⎞
⎛2 3
⎜
7 ⎟
−2 ⎟
0 − 12
3) : = ( 3 ) − 3( 2 )

(
⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→
( 4 ): = ( 4 ) − 4 ( 2 ) ⎜ 0 0
− 13
2 ⎟
⎜
⎜
−5 ⎠⎟
⎝0 0

− 23

−2

3 ⎞
⎟
− 72 ⎟
4 ⎟
⎟
9 ⎠⎟

( 2, 3, 3) , ( 0, − 12 , − 72 ) , ( 0, 0, 4 ) = ( 2, 3, 3) , ( 0, −1, −7 ) , ( 0, 0,1)
được một cơ sở cho Im f là {( 2, 3, 3) , ( 0, −1, −7 ) , ( 0, 0,1)} .
ta suy ra Im f =

10. Cho ánh xạ tuyến tính f :

3

3

→

xác đònh bởi

f ( x1 , x2 , x3 ) = ( x1 − 2x 2 + x3 , x2 + x 3 , x1 + x 2 − 2x3 )
Xác đònh số chiều và tìm một cơ sở cho Ker f , Im f .
ĐS: Ta có Kerf =

{( x , x , x ) f ( x , x , x ) = 0} , với
1

2

3

1

2

3

7

và ta nhận


f ( x1 , x2 , x3 )

⎧ x1
⎪
=0⇔⎨
⎪x
⎩ 1

− 2x 2

+

x3

= 0

x2

+

x3

= 0

x2

+

− 2x 3

= 0

Biến đổi
⎛ 1 −2 1 ⎞
⎛ 1 −2 1 ⎞
⎛ 1 −2 1 ⎞
⎜
⎟
⎟
⎟
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 ) ⎜
( 3) := ( 3 ) − 3( 2 ) ⎜
→ ⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 1 1 ⎟
⎜ 0 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎜ 1 1 −2 ⎟
⎜ 0 3 −3 ⎟
⎜ 0 0 −6 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

{( 0, 0, 0)} . Vậy dim Kerf = 0 và Ker không có cơ sở.

Ta suy ra Kerf =
Ta có Im f =

f ( x1 , x2 , x 3 )

{( a, b, c) ∈

3

∃ ( x1 , x2 , x3 ) ∈

⎧ x1
⎪
= ( a, b, c ) ⇔ ⎨
⎪x
⎩ 1

− 2x 2
x2

+

x2

+
+

4

}

, f ( x1 , x2 , x 3 ) = ( a, b, c ) và vì

x3

x3

− 2x3

= a
= b
= c

⇔ ( a, b, c ) = ( x1 − 2x 2 + x 3 , x 2 + x3 , x1 + x2 − 2x 3 )
⇔ ( a, b, c ) = x1 (1, 0,1) + x2 ( −2,1,1) + x3 (1,1, −2)
ta suy ra Im f =

(1, 0,1) , ( −2,1,1) , (1,1, −2)

. Biến đổi

⎛1 0 1⎞
⎛1 0 1 ⎞
⎛1 0 1 ⎞
2 ) : = ( 2 ) + 2 (1 )
3 ): = ( 3 ) − ( 2 )
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
(
(
→ ⎜ 0 1 3 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
→⎜0 1 3 ⎟

⎜ −2 1 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
( 3 ) : = ( 3 ) − (1 )
⎜ 1 1 −2 ⎟
⎜ 0 1 −3 ⎟
⎜ 0 0 −6 ⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠

(1, 0,1) , ( 0,1, 3) , ( 0, 0, −6) = (1, 0,1) , ( 0,1, 3) , ( 0, 0,1)
ta nhận được một cơ sở cho Im f là {(1, 0,1) , ( 0,1, 3) , ( 0, 0,1)} .
ta suy ra Im f =

và dim Im f = 3

11. Trong các ma trận sau đây, ma trận nào chéo hóa được ? Nếu chéo hóa được,
xác đònh ma trận chéo hóa nó cũng như ma trận chéo nhận được.
⎛ 1 −1 ⎞
⎟
⎝1 3 ⎠
⎛1 0 0⎞
⎜
⎟
c) A = ⎜ 1 −1 1 ⎟
⎜2 0 1⎟
⎝
⎠

⎛ 1 −4 −8 ⎞
⎜
⎟
e) A = ⎜ −4 7 −4 ⎟
⎜ −8 −4 1 ⎟
⎝
⎠

a) A = ⎜

ĐS: a)

1−λ

−1

1

3−λ

⎛2 1⎞
⎟
⎝ 2 3⎠
⎛ 5 4 6⎞
⎜
⎟
d) A = ⎜ 4
5 6⎟
⎜
⎟

⎝ −4 −4 −5 ⎠
⎛ 0 0 1⎞
⎜
⎟
f) A = ⎜ 0 1 1 ⎟
⎜ 1 −1 1 ⎟
⎝
⎠
b) A = ⎜

2

= (1 − λ )( 3 − λ ) + 1 = λ 2 − 4λ + 4 = ( λ − 2 ) = 0 ⇔ λ = 2 .

8


Ta được một trò riêng λ = 2 . Lúc đó không gian riêng V2 tương ứng là không gian
nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận các hệ số
⎛ −1 −1 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) + (1 ) ⎛ − 1 − 1 ⎞
→⎜
⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
1
1
⎝
⎠
⎝ 0 0⎠

Ta suy ra V2 =

{( −m, m ) m ∈ } = ( −1,1)

và vì dim V2 = 1 < 2 = dim

2

, ta suy ra

ma trận này không chéo hóa được.
2−λ
1
b)
= ( 2 − λ )( 3 − λ ) − 2 = λ 2 − 5λ + 4 = ( λ − 1)( λ − 4 ) = 0 ⇔ λ = 1 ∨ λ = 4 .
2
3−λ
Ta được hai trò riêng λ = 1 và λ = 4 . Với λ = 1 , không gian riêng V1 tương ứng là
không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận các hệ
số
⎛1 1⎞
( 2):= ( 2) − (1) ⎛ 1 1 ⎞
→⎜
⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
⎝1 1⎠
⎝ 0 0⎠
Ta suy ra V2 =

{( −m, m ) m ∈ } = ( −1,1)

Với λ = 4 , không gian riêng V1 tương ứng là không gian nghiệm của hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất có ma trận các hệ số
⎛ −2 1 ⎞
( 2 ) : = ( 2 ) + (1 ) ⎛ − 2 1 ⎞
→⎜
⎜
⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯
⎟
⎝ 2 −1 ⎠
⎝ 0 0⎠
Ta suy ra V4 =

{( m, 2m ) m ∈ } = (1, 2) .

Vì dim V1 + dim V4 = 2 = dim
gồm các vectơ riêng C =

2

nên ma trận này chéo hóa được. Với cơ sở của

{( −1,1) , (1, 2)}

2

và với ma trận đổi cơ sở từ cơ sở chính tắc

⎛ −1 1 ⎞

sang cơ sở C , P = ⎜
⎟ , ta có P là ma trận chéo hóa A và ma trận chéo
⎝ 1 2⎠
⎛1 0⎞
nhận được là D = P −1 ⋅ A ⋅ P = ⎜
⎟.
⎝0 4⎠
1−λ
0
0
2
−1 − λ
1
−1 − λ
= (1 − λ ) ( − 1 − λ ) = 0 ⇔ λ = ± 1 .
1 = (1 − λ )
c) 1
0
1−λ
2
0
1−λ

của

2

Ta được hai trò riêng λ = 1 và λ = −1 . Với λ = 1 , không gian riêng V1 tương ứng là
không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhất có ma trận các hệ
số

⎛ 0 0 0⎞
⎛ 2 0 0⎞
⎛ 2 0 0⎞
1) ∼ ( 3)
⎜
⎟
⎜
⎟
⎟
( 2):= ( 2) − 12 (1) ⎜
(
⎜ 1 −2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 1 −2 1 ⎟ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ ⎜ 0 −2 1 ⎟
⎜ 2 0 0⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎜ 0 0 0⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎝
⎠
Ta suy ra V1 =

{( 0, m, 2m ) m ∈ } = ( 0,1, 2)

Với λ = −1 , không gian riêng V−1 tương ứng là không gian nghiệm của hệ phương
trình tuyến tính thuần nhất có ma trận các hệ số
9