Bài 40 kc giữa 2 đường chéo nhau

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG CHÉO NHAU
Giáo viên: Nguyễn Tiến Đạt và Vũ Văn Ngọc
 

   
 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.

Định nghĩa 
 Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau trong không gian. Các điểm M, N lần lượt 

 MN  a
. Khi đó, MN được gọi là đoạn
 MN  b

nằm trên các đường thẳng a và b sao cho  

vuông góc chung giữa a và b. Khoảng cách giữa a và b bằng độ dài đoạn MN. 
 
2.

Nhận Xét 
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong 
hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại. 
 

3.

b

Phương Pháp chung 
 Cho a, b là hai đường thẳng chéo nhau. 

B1: Tìm giao điểm I giữa b và mặt phẳng đáy.  
B2: Qua I kẻ đường thẳng Ix song song với a. 
Gọi     là mặt phẳng chứa b và Ix   a      
B3:  d  a ,b   d a ,   d M ,   trong đó M là một 

x

a
M

α

I

đáy

điểm bất kì thuộc đường thẳng a. Và chú ý 
nếu a đi qua chân đường cao H thì  ta chọn 

M  H . 
 
 
 
 
 
 

 
 

1


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
1. Phương pháp
a) Đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo
nhau
Đường  thẳng     cắt  hai  đường  thẳng  a,  b  và  cùng 
vuông góc với mỗi đường ấy gọi là đường vuông góc
chung của a và b. Đoạn thẳng MN gọi là đoạn vuông 
góc chung của a và b. 
b) Một số hướng tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
TH1: Khi  a, b  chéo nhau và  a  b.   
+

Bước 1: Dựng mặt phẳng   P   chứa  b  và vuông 

+

góc với  a tại M.
Bước 2: Trong   P   dựng  MN  b tại  N .

+

Bước 3: Đoạn MN là đoạn vuông góc chung của 

a và  b  d  a, b   MN .
TH2: Khi  a, b  chéo nhau và  a  b.  
Mục tiêu: Chuyển về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. 
 Hướng 1: Chuyển  thông  qua  khoảng  cách  từ 
một đường đến một mặt phẳng.
 Bước 1: Dựng  mặt  phẳng   P    chứa  b  
và song song với  a . 


a//  P 
Bước 2: d  a, b     d a,  P      
b   P



M a
     d M ,  P 







 Hướng 2: Chuyển thông qua khoảng cách giữa 
mặt phẳng song song.
 Bước 1: Dựng hai mặt phẳng   P  ,   Q   
sao cho   a   P   //   Q   b .


Bước 2: Khi đó 



 

d  a , b    d  P  ,  Q    d M ,  Q 


2


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hình chóp  S.ABCD  có đáy là hình vuông cạnh  a . Đường thẳng  SA  vuông góc 
với mặt phẳng đáy,  SA  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng  SB  và  CD  bằng 
 

A.  a.     

 

B. a 2.  

 
C. a 3.  
Lời giải

 

D.  2a.  

Vì  CD  //   SAB    



 



 d  CD ,SB   d CD ,  SAB   d D ,  SAB  .  
Vì 

 DA  AB
 DA   SAB   d D ,  SAB   DA  a.  

 DA  SA









Vậy   d  CD ,SB   d D ,  SAB   a.  

 Chọn đáp án A.

Ví dụ 2: Cho tứ diện đều  ABCD  có cạnh bằng  a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng  AB  và 
CD  bằng 
 

A. 

a 3
.   
2

 

B.

a 2
. 
3

 

C.

a 2
. 
2

 

D. 

a 3
. 
3

Lời giải
Gọi  M ,  N  lần lượt là trung điểm của  AB  và  CD.   
Vì  BCD  và  ACD  là các tam giác đều cạnh bằng  a  

 AN  CD
a 3
    *   
 và  
2
 BN  CD
MN   ABN 
 *   CD   ABN   CD  MN

nên  AN  BN 

 1  
Mặt khác, vì  AN  BN  ABN  cân tại  N  
 MN  AB      2    
Từ   1   và   2   MN   là  đoạn  vuông  góc  chung  của 

AB  và  CD . 
Do đó:  d  AB , CD   MN 

AN 2  AM 2   
2

 a 3   a 2 a 2

. 
 
          
 2   2 
2


3


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />




Vậy  d AB , CD 

a 2
   Chọn đáp án C. 
2

 
Ví dụ 3: Cho hình chóp  S.ABC  có đáy là tam giác đều cạnh  a . Hình chiếu của  S  trên   ABC   
0

trùng với trung điểm của  BC . Biết  SA  hợp với đáy một góc  30 . Khi đó, khoảng cách giữa 
hai đường thẳng  SA  và  BC  bằng 
 

A. 

a 3
.   
2

 

B.

a 3
. 
4

 

C.

a 2
. 
3

 

D. 

2a 2
. 
3

Lời giải
Gọi  H  là trung điểm của  BC  SH   ABC   

 SH  BC      1   
 AH  BC      2 

Vì  ABC  đều   
   
a 3
AH



2
Từ   1  và   2   BC   SAH  . 
Trong   SAH  , kẻ  HK  SA ,    K  SA      3    

 BC   SAH 
 BC  HK     4    
HK

SAH




Vì  

Từ   3   và   4   HK  là đoạn vuông góc chung của   SA  và  BC  d  SA , BC   HK .  

Vì  SH   ABC   HA  là hình chiếu của  SA  trên   ABC   


  300.   
 SA,  ABC   
SA, HA   SAH







Xét  AHK  vuông tại  K , ta có:  sin HAK 





Vậy  d SA , BC  HK 

HK
  a 3 . 
 HK  AH .sin HAK
AH
4

a 3
 Chọn đáp án B.
4

Ví dụ 4:  Cho hình  chóp  S.ABCD   có  đáy là hình  chữ nhật  với  AD  2 AB  2a ,  cạnh  SA  
vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD   và  SB  tạo với mặt phẳng đáy   ABCD   một góc 

600 . Khoảng cách giữa hai đường thẳng  AB  và  SC  bằng 
a 21
2 a 21
a 21
.     
.   
. 
 
A. 
B.
C.
7
7
14

 

D. 

a 21
. 
21

Lời giải

4

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />




Vì  AB  //   SCD   d  AB , SC   d AB ,  SCD    





                                                     d A ,  SCD   
Trong   SAD  , kẻ  AH  SD ,    H  SD    

CD  AD
 CD   SAD   CD  AH .     
CD  SA

Vì  

 AH  SD
 AH   SCD   d A ,  SCD   AH  
AH

CD




Vì  



 

  60 .  
SB, AB  SBA

   

0

Ta có:  SB, ABCD


Xét  SAB  vuông tại  A , ta có:  tan SBA
Vậy  d  AB , SC   AH 

SA. AD
SA 2  AD 2



SA
  a.tan 60 0  a 3.  
 SA  AB.tan SBA
AB
2 a.a 3

2 a 21

  Chọn đáp án B.
7
4 a 2  3a2

Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ đứng  ABC.ABC  có đáy là tam giác vuông tại  A  với  BC  2 a , 

AB  a . Khi đó, tỉ số 
 

A. 

3d  AA, BC  
a

9
.    
2

B.

  bằng 

3
.   
2

C. 2.    

 

 

D.  1.  

Lời giải
Vì  AA   //   BBC C   









 d  AA,BC    d AA ,  BBC C   d A ,  BBC C  .  
Trong   ABC  , kẻ  AH  BC ,    H  BC  .   

 AH  BC
 AH   BBC C    
 AH  BB

Vì  





 d A,  BBCC   AH 
Ta có:  AC 





3d  AA, BC 
a

AB2  AC 2

. 

BC 2  AB 2  4 a 2  a 2  a 3.    

 d A ,  BBC C  

Vậy 

AB.AC



AB. AC
AB 2  AC 2





a.a 3
a 2  3a 2

3d A ,  BBCC 
a



3.



a 3
. 
2

a 3
2  3   Chọn đáp án B.
a
2

5


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Ví dụ 6: Cho hình lập phương  ABCD.ABCD  có cạnh bằng  a . Gọi  M ,  N  lần lượt là trung 
điểm của  AB  và  CD . Khi đó, tỉ số 

 

A. 

2
.   
4

 

B.

a 2 .d  MN , AC 
V A. ABC D

2
. 
2

 

  bằng 

C.

3 2
. 
4

 

D. 

2
. 
3

Lời giải

1
1
1
AA.SABCD  .a.a 2  a 3 .  
3
3
3
Vì  MN  //   ABC   d  MN , AC   d MN ,  ABC    
Ta có:  V A. ABC D 









                                                            d M ,  ABC   



 

Vì  AM  ABC  B 





 d M ,  ABC  


  MB  1   
d  A ,  ABC   AB 2

d M ,  ABC 

1
d A ,  ABC  .
2





 BC   AABB 
 BC  AH.   
 AH   AABB 

Trong   AA BB  , kẻ  AH  A B ,    H  A B  . Vì  

 AH  AB
 AH   ABC   d A ,  ABC   AH  AB2  BH 2 . 
 AH  BC



Vì  



2

a 2
AB a 2
a 2

 AH  a2  


Ta có:  BH 
. 
 2 
2
2
2





 



Khi đó:  d MN , AC  d M , ABC

Vậy 

a 2 .d  MN , AC 
V A. ABC D

   21 d  A,  ABC   21 AH  a 42 .  

a 2
4  3 2   Chọn đáp án C.
1 3
4
a
3

a2 .


 
 

6


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông với  AC 

Câu 1.

a 2
. Cạnh 
2

bên  SA  vuông góc với đáy,  SB  hợp với đáy góc  600 . Tính theo  a  khoảng cách giữa hai 
đường thẳng  AD  và  SC . 
A.

a 3
.
4

B.

Câu 2.
chóp bằng 
A.

a
6

a 2
.
2

C.

a
. 
2

D.

a 3
.
2

Cho hình chóp tứ giác đều  S.ABCD  có cạnh đáy bằng  a . Biết thể tích khối 
a

3

2
6

. Tính khoảng cách  h  giữa hai đường thẳng  BC  và  SA .
B. a.

.

C.

2a
6

. 

D.

a
.
2

Câu 3.

Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông tâm  O , cạnh  a . Cạnh 
  60 0 . Tính theo  a  khoảng cách giữa hai đường thẳng 
bên  SA  vuông góc với đáy, góc  SBD
AB  và  SO . 

A.

a 3
.
3

B.

a 6
.
4

C.

a 2

. 
2

D.

a 5
.
5

Câu 4.

Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông tâm  O , cạnh bằng  2 . 
Đường thẳng  SO  vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD   và  SO  3 . Tính khoảng cách 
giữa hai đường thẳng  SA  và  BD . 

A. 2.     

B.

30
.
5

C. 2 2.  

D.

2.

Câu 5.

Cho hình chóp  S .ABC  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a , tâm  O . Cạnh 
bên  SA  2 a  và vuông góc với mặt đáy   ABCD  . Gọi  H  và  K  lần lượt là trung điểm của 
cạnh  BC  và  CD . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  HK  và  SD . 

A.

a
.   
3

B.

2a
.
3

C. 2a.  

D.

a
.
2

Câu 6.

Cho hình lăng trụ  ABC .A ' B ' C '  có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng 
2a . Hình chiếu vuông góc của  A '  lên mặt phẳng   ABC   trùng với trung điểm  H  của  BC

. Tính theo  a  khoảng cách giữa hai đường thẳng  BB '  và  A ' H . 
A. 2a.    

B. a.

C.

a 3
. 
2

D.

a 3
.
3

Câu 7.

Cho hình hộp chữ nhật  ABCD.A ' B ' C ' D '  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh 
a 2 ,  AA '  2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  BD  và  CD ' . 

A. a 2.  

 

B. 2a.

C.

2a 5
a 5
.   D.
. 
5
5

Câu 8.

Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông tâm  O , cạnh bằng  4a . 
Cạnh bên  SA  2 a . Hình chiếu vuông góc của đỉnh  S  trên mặt phẳng   ABCD   là trung 
điểm của  H  của đoạn thẳng  AO . Tính theo  a  khoảng cách giữa các đường thẳng  SD  và 
AB . 

7


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
A.

4a 22
. 
11

B.

3a 2
11

C. 2a.  

.

D. 4 a.  

Câu 9.

Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh bằng  10 . Cạnh bện 
SA  vuông góc với mặt phẳng   ABCD   và  SC  10 5 . Gọi  M , N  lần lượt là trung điểm 

của  SA  và  BC . Tính khoảng cách giữa  BD  và  MN .  
A. 3 5.  

 

B. 5.

C. 5.  

D. 10.  

Cho  hình  chóp  S .ABC   có  đáy  ABC   là  tam  giác  vuông  tại  B ,  AB  3a , 
BC  4 a . Cạnh bên  SA  vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa  SC  và đáy bằng  60 0 . Gọi  M  
là trung điểm của  AC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  AB  và  SM . 

Câu 10.

A. a 3.  

 

B. 5a 3.

C.

5a
. 
2

D.

10a 3
79

. 

Câu 11.

Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a , tam giác  SAD  
đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng 
SA  và  BD . 

A.

a 21
. 
14

B.

a 2
.
2

C.

a 21
. 
7

D. a.  

Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy  ABCD  là hình thang vuông tại  A  và  D  với 
AB  2a ,  AD  DC  a . Hai mặt phẳng  SAB   và  SAD   cùng vuông góc với đáy. Góc giữa 

Câu 12.

0

SC  và mặt đáy bằng  60 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  AC  và  SB . 

A.

a 6
. 
2

B. 2a.

C. a 2.  

D.

2a 15
. 
5

Câu 13.

Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a . Cạnh  SA  vuông 
góc với đáy, góc giữa  SC  với đáy bằng  600 . Gọi  I  là trung điểm của đoạn thẳng  SB . Tính 
khoảng cách từ điểm  S  đến mặt phẳng   ADI  . 

A. a 6.  

 

B.

a 7
.
2

C.

a 42
. 
7

D. a 7.  

Câu 14.

Cho lăng trụ  ABC .A ' B ' C '  có đáy  ABC  là tam giác đều cạnh bằng  4 . Hình 
chiếu vuông góc của  A '  trên mặt phẳng   ABC   trùng với tâm  O  của đường tròn ngoại 
tiếp tam giác  ABC . Gọi  M  là trung điểm cạnh  AC , tính khoảng cách  giữa hai đường 
thẳng  BM  và  B ' C . 

A. 2.     

B. 2 2.

Câu 15.

C. 1.  

D.

2.   

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam 
0

giác ABC. Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng  60 . Khoảng cách giữa 
hai đường thẳng GC và SA bằng: 
A.

a 5
5

B.

a
.
5

C.

a 5
.
10

D.

a 2
.
5

8


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Câu 16.

Cho hình chóp tam giác  S . ABC  có  SA  vuông góc với mặt đáy, tam giác  ABC
0

vuông cân tại B,  BA  BC  a  , góc giữa  mp( SBC )  với  mp( ABC )  bằng  60 . Gọi I là 
tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SBC  . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  AI  
với  BC  . 

A.

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C.

a 2
.
3

D.

a 6
.
2

 

Câu 17.

Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O,  OB  a, OC  a 3

. Cạnh OA vuông góc với mặt phẳng (OBC),  OA  a 3 , gọi M là trung điểm của BC. 
Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng AB và OM. 
A.  h 

a 5
. 
5

B.  h 

a 3
. 
2

C. h 

a 15
. 
5

D.  h 

a 3
 
15

 

Câu 18. Cho  hình  chóp  S.ABCD  có  đáy  ABCD  là  hình  thoi  tâm  O  cạnh  2a,  góc 
  1200 . Các mặt phẳng   SAB  và   SAD   cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích 

BAD
khối chóp S.ABCD là 

2 3a 3
. Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC 
3

theo a. 
A.  h 

2 5a
. 
5

B. h 

a 3
. 
2

C.  h 

a 6
. 
2

D.  h 

a 6
 

3

 

Câu 19.

Cho  hình  chóp  S.ABCD có  đáy  ABCD  là  hình  vuông  tâm  O  cạnh  a,  cạnh  SA 

vuông góc với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng   ABCD  là  450 , gọi 
G là trọng tâm tam giác SCD. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG 
và AD. 
A.  h 

a 5
. 
2

B.  h 

a 5
. 
3

C.  h 

a 3
. 
2

D. h 

a 2
. 
3

 

Câu 20.

Cho hình chóp  S .ABC  có đáy  ABC  là tam giác vuông cân tại  A , mặt bên  SBC  

là  tam  giác  đều  cạnh  a   và  mặt  phẳng   SBC    vuông  góc  với  mặt  đáy.  Tính  theo  a  
khoảng cách  h  giữa hai đường thẳng  SA, BC . 
A. h 

a 3
.
2

B. h 

a
.
2

C.  h 

a 3
.
4

D. h 

3a
. 
4

 
9


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Cho hình chóp  S .ABC  có đáy là tam giác đều cạnh  a . Hình chiếu vuông góc 

Câu 21.

của  S  trên mặt phẳng   ABC   là điểm  H  thuộc cạnh  AB  sao cho  HA  2 HB .  Góc 
giữa đường thẳng  SC  và mặt phẳng   ABC   bằng  600 . Tính khoảng cách  h  giữa hai 
đường thẳng  SA  và  BC  theo  a . 
A.  h 

42 a
.
8

B.  h 

42 a
.
12

C.  h 

42 a
.
12

D.  h 

42a
. 
12

 
Cho hình lăng trụ đứng ABC. ABC   có mặt đáy là tam giác đều, cạnh AA  3a

Câu 22.

. Biết góc giữa  ( ABC ) và đáy bằng  450 . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau  AB  
và  CC   theo  a  là: 
A. a . 

B. 3a . 

C.

3a 3
. 
3

D.

3a 3
. 
2

 
Cho hình hộp chữ nhật  ABCD. ABC D  có  AB  3a , AD  5a  , góc tạo bởi  D B  

Câu 23.

và mặt đáy là  450  . Gọi  M   là trung điểm của  BC  . Tính khoảng cách giữa hai đường 
thẳng chéo nhau  BD  và  B M   
A. 

a 661
. 
20

B.

20a
. 
661

C.

a 661
. 
30

D.

30a
. 
661

 

Câu 24.

Cho hình lăng trụ  ABC. ABC   có mặt đáy là tam giác đều cạnh  AB  2a . Hình 

chiếu vuông góc của  A  lên mặt phẳng   ABC   trùng với trung điểm  H  của cạnh AB . 
Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  600 . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau 

AC  và  BB  theo  a  là: 
A.

15
a.
5

B.

2 15
a.
5

C.

2 21
a.
7

D.

39
a.
13

 

Câu 25.

Cho hình lăng trụ  ABC. ABC   có mặt đáy là tam giác đều cạnh  AB  2a . Hình 

chiếu vuông góc của  A  lên mặt phẳng   ABC   trùng với trung điểm  H  của cạnh AB . 
Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  600 . Tính khoảng cách hai đường chéo nhau 

BC  và  AA  theo  a  là: 
A.

2 15
a.
5

B.

15

a.
5

C.

2 21
a.
7

D.

39
a.
13

10


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Câu 26.

Cho hình lăng trụ  ABC. ABC   có mặt đáy đáy  ABC  là tam giác  vuông cân tại 

A ,  AC  a 3 . Hình chiếu vuông góc của  A  lên mặt phẳng   ABC   trùng với trung 
điểm  H  của cạnh BC . Biết góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng  300 . Tính khoảng cách 
giữa hai đường thẳng chéo nhau  AA  và  BC  là: 
A.

6
a . 

4

B.

2
a . 
2

C.

2 7
a . 
7

D.

5 29
a . 
7

 

Câu 27. Cho  hình  chóp  S. ABCD   có  đáy  là  hình  thoi  tâm  O   cạnh  a , 

ABC  600 , SA  SB  SC  2a . Tính khoảng cách giữa  AB  và  SC  
A.

a 11
. 
12

B.

a 11
. 
4

C.

a 2 11
. 
8

D.

3a 11
. 
4

 

Câu 28.

Cho hình chóp đều  S.ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a, tâm  O . Góc 

giữa  SB và mặt phẳng   SAC   bằng  6 0 0 . Gọi  M  là trung điểm của  SB . Tính khoảng 
cách giữa  AM  và  CD .  
A.

a

.
2

B.

a 2
.
2

C.

a
.
4

D. a 2 .

 
III. ĐÁP ÁN
1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

10  11  12  13  14  15  16  17  18 

A 

C 

D 

B 

A 

B 

C 

A 

B 

D 

C 

A 

C 

A 

A 

B 

C 

B 

19  20  21  22  23  24  25  26  27  28 
D 

C 

A 

B 

D 

B 

A 

A 

B 

A 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
IV.

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

a 2
. Cạnh bên  SA  vuông góc với 
2
0
đáy,  SB  hợp với đáy góc  60 . Tính theo  a  khoảng cách giữa hai đường thẳng  AD  và  SC . 
Câu 1. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông với  AC 

A.

a 3
.
4

B.

a 2
.
2

C.

a
. 
2

D.

a 3
.
2

Giải
11


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Ta có  d  AD, SC   d  AD, SBC   d  A, SBC  . 
Kẻ  AK  SB . Khi đó  d  A, SBC   AK 

SA. AB
SA  AB
2

2



a 3
.
4

Câu 2. Cho hình chóp tứ giác đều  S .ABCD  có cạnh đáy bằng  a . Biết thể tích khối chóp bằng 

a3 2
. Tính 
6

khoảng cách  h  giữa hai đường thẳng  BC  và  SA .
A.

a
6

.

B. a.

C.

2a
6

. 

D.

a
.
2

Giải

 
Gọi  O  là tâm hình vuông  S . ABCD , suy ra  SO   ABCD  . 
Đặt  SO  x .  

1
1
a3 2
a 2

x
.   
Ta có  VS . ABCD  .S ABCD .SO  a 2 .x 
3
3
6
2
Ta có  BC  AD  nên  BC  SAD  . Do đó  
d  BC , SA   d  BC , SAD   d  B, SAD   2d O , SAD  . 

Kẻ  OK  SE . 
 Khi đó  d O, SAD   OK 

SO.OE
SO  OE
2

2



a
6

. Vậy  d  BC , SA   2OK 

2a
6

.

Câu 3. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông tâm  O , cạnh  a . Cạnh bên  SA  vuông góc với 
  60 0 . Tính theo  a  khoảng cách giữa hai đường thẳng  AB  và  SO . 
đáy, góc  SBD
A.

a 3
.
3

B.

a 6
.
4

C.

a 2
. 
2

D.

a 5
.
5

Giải

12


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Ta có  SAB  SAD   c  g  c  , suy ra  SB  SD .
  60 0 , suy ra 
Lại có  SBD

 

  SBD  đều cạnh  SB  SD  BD  a 2 .

Trong tam giác vuông  SAB , ta có  
 

  SA  SB 2  AB 2  a .

Gọi  E  là trung điểm  AD , suy ra  
 

  OE  AB  và  AE  OE . 

Do đó  
 

d  AB, SO   d  AB, SOE   d  A, SOE  .  

Kẻ  AK  SE .  
Khi đó  d  A, SOE   AK 

SA. AE
SA  AE
2

2



a 5
5

Câu 4.  Cho  hình  chóp  S .ABCD   có đáy  ABCD   là  hình  vuông  tâm  O ,  cạnh  bằng  2 .  Đường  thẳng  SO  
vuông góc với mặt phẳng đáy   ABCD   và  SO  3 . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  SA  và  BD
. 
A. 2.          

B.

30
.
5

C. 2 2.  

D.

2.

Giải
Ta có  BD  SAC  . Kẻ  OK  SA . 

Khi đó  d SA, BD  

SO.OA
SO  OA
2

2



30
.
5

Câu 5. Cho hình chóp  S . ABC  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a , tâm  O . Cạnh bên  SA  2 a  và vuông 
góc với mặt đáy   ABCD  . Gọi  H  và  K  lần lượt là trung điểm của cạnh  BC  và  CD . Tính khoảng cách 
giữa hai đường thẳng  HK  và  SD . 
A.

a
.         
3

B.

2a
.
3

C. 2a.  

D.

a
.
2

13


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Giải

Gọi  E  HK  AC .  
Do  HK  BD  nên  
 

1
d  HK , SD   d  HK , SBD   d  E , SBD   d  A, SBD  .  
2

Kẻ  AF  SO .  
Khi đó  d  A, SBD   AF 
Vậy  d  HK , SD  

SA. AO
SA  AO
2

2



2a
.   
3

1
a
AF  .
2
3

Câu 6. Cho hình lăng trụ  ABC . A ' B ' C '  có đáy là tam giác đều cạnh có độ dài bằng  2a . Hình chiếu vuông 
góc của  A '  lên mặt phẳng   ABC   trùng với trung điểm  H  của  BC . Tính theo  a  khoảng cách giữa hai 
đường thẳng  BB '  và  A ' H . 
A. 2a.        

B. a.

C.

a 3
. 
2

D.

a 3
.

3

Giải

 
Do  BB '  AA '  nên  
 

 

d  BB ', A ' H   d  BB ',  AA ' H   d  B,  AA ' H  . 

 BH  AH

Ta có  
 BH   AA ' H   nên  


 BH  A ' H

 

BC
d  B,  AA ' H   BH 
 a.  
2

14

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Vậy  d  BB ', A ' H   a . 
Câu 7. Cho hình hộp chữ nhật  ABCD. A ' B ' C ' D '  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a 2 ,  AA '  2a . Tính 
khoảng cách giữa hai đường thẳng  BD  và  CD ' . 
A. a 2.      

B. 2a.

C.

2a 5
. 
5

D.

a 5
. 
5

Giải
Gọi  I  là điểm đối xứng của  A  qua  D , suy ra  BCID  là hình bình hành nên  BD  CI .  
Do đó  d  BD , CD '  d  BD, CD ' I   d  D, CD ' I  .  
Kẻ  DE  CI  tại  E , kẻ  DK  D ' E . Khi đó  d  D, CD ' I   DK .   

 
Xét tam giác  IAC , ta có  DE  AC  (do cùng vuông góc với  CI ) và có  D  là trung điểm của  AI  nên suy 
ra  DE  là đường trung bình của tam giác. Suy ra  DE 

Tam giác vuông  D ' DE , có  DK 

D ' D.DE
D ' D  DE
2

2



1
AC  a.   
2

2a 5
.
5

Câu 8. Cho hình chóp  S .ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông tâm  O , cạnh bằng  4a . Cạnh bên  SA  2 a . 
Hình chiếu vuông góc của đỉnh  S  trên mặt phẳng   ABCD   là trung điểm của  H  của đoạn thẳng  AO . 
Tính theo  a  khoảng cách giữa các đường thẳng  SD  và  AB . 
A.

4a 22
. 
11

B.

3a 2
11

.

C. 2a.  

D. 4 a.  

Giải
. Do  AB  CD  nên  d SD , AB   d  AB, SCD   d  A, SCD  

4 
d H , SCD  .  
3 

Kẻ  HE  CD , kẻ  HL  SE . 
Tính được  
 

SH  SA2  AH 2  a 2 ,  HE 

3
AD  3a.  
4

15


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Khi đó  
 

d  H , SCD   HL 

Vậy  d SD, AB  

SH .HE
SH  HE
2

2



3a 2
11

. 

4
4 a 22
HL 
.
3
11

Câu 9 Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh bằng  10 . Cạnh bện  SA  vuông góc với 
mặt phẳng   ABCD   và  SC  10 5 . Gọi  M , N  lần lượt là trung điểm của  SA  và  BC . Tính khoảng cách 
giữa  BD  và  MN .  
A. 3 5.      

B.

5.

C. 5.  

D. 10.  

Giải
Gọi  P  là trung điểm  CD  và  E  NP  AC , suy ra  PN  BD  nên  BD   MNP  . 
1
Do đó  d  BD, MN   d  BD ,  MNP   d O ,  MNP   d  A,  MNP  . 
3

Kẻ  AK  ME .  
Khi đó  
 

d  A,  MNP   AK .  

Tính được  
 

SA  SC 2  AC 2  10 3  MA  5 3 ;  

 

  AE 

3

15 2
AC 
.  
4
2

Tam giác vuông  MAE , có  AK 

Vậy  d  BD, MN  

MA. AE
MA 2  AE 2

 3 5.  

1
AK  5 .
3

Câu 10. Cho hình chóp  S . ABC  có đáy  ABC  là tam giác vuông tại  B ,  AB  3a ,  BC  4 a . Cạnh bên  SA  
0
vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa  SC  và đáy bằng  60 . Gọi  M  là trung điểm của  AC , tính khoảng 
cách giữa hai đường thẳng  AB  và  SM . 
A. a 3.      

B. 5a 3.

C.

5a

. 
2

D.

10a 3
79

. 

Giải

16


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />


   
, ABC   SC
, AC  SCA
Xác định  60 0  SC
 

 

  5a 3.   
              và  SA  AC .tan SCA

Gọi  N  là trung điểm  BC , suy ra  MN  AB . 

Lấy điểm  E  đối xứng với  N  qua  M ,  
 

      

suy ra  ABNE  là hình chữ nhật. 

Do đó  d  AB, SM   d  AB, SME   d  A, SME  .  
Kẻ  AK  SE . 
 Khi đó  d  A, SME   AK 

SA. AE
SA  AE
2

2



10a 3
79

.

Câu 11. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a , tam giác  SAD  đều và nằm trong 
mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  SA  và  BD . 
A.

a 21
.   

14

B.

a 2
.
2

C.

a 21
. 
7

D. a.  

Giải

Gọi  I  là trung điểm của  AD  nên suy ra  SI  AD  SI   ABCD  . 

17


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Kẻ  Ax  BD . Do đó  d  BD, SA   d  BD, SAx   d  D, SAx   2d  I , SAx  . 
Kẻ  IE  Ax , kẻ  IK  SE . Khi đó  d  I , SAx   IK .  
Gọi  F  là hình chiếu của  I  trên  BD , ta có  IE  IF 

SI .IE

Tam giác vuông  SIE , có  IK 

Vậy  d  BD, SA   2 IK 

SI  IE
2

2



AO a 2

. 
2
4

a 21
. 
14

a 21
.
7

Câu 12.  Cho  hình  chóp  S . ABCD   có  đáy  ABCD   là  hình  thang  vuông  tại  A   và  D   với  AB  2a , 
0
AD  DC  a . Hai mặt phẳng  SAB   và  SAD   cùng vuông góc với đáy. Góc giữa  SC  và mặt đáy bằng  60
. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  AC  và  SB . 
A.

a 6
.     
2

B. 2a.

C. a 2.  

D.

2a 15
. 
5

Giải



  và  SA  AC .tan SCA
  a 6 . 
, ABCD   SC
, AC  SCA
Xác định  60 0  SC
Gọi  M  là trung điểm  AB , suy ra  ADCM  là hình vuông nên  CM  AD  a . 
Xét tam giác  ACB , ta có trung tuyến  CM  a 

1
AB  nên tam giác  ACB  vuông tại  C . 
2

Lấy điểm  E  sao cho  ACBE  là hình chữ nhật, suy ra  AC  BE . 
Do đó  d  AC , SB   d  AC , SBE   d  A, SBE  . Kẻ  AK  SE .   
Khi đó  d  A,SBE   AK 

SA. AE
SA  AE
2

2



a 6
.  
2

Câu 13. Cho hình chóp  S . ABCD  có đáy  ABCD  là hình vuông cạnh  a . Cạnh  SA  vuông góc với đáy, góc 

18


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
0

giữa  SC  với đáy bằng  60 . Gọi  I  là trung điểm của đoạn thẳng  SB . Tính khoảng cách từ điểm  S  đến 
mặt phẳng   ADI  . 
A. a 6.      

B.

a 7
.
2

C.

a 42
. 
7

D. a 7.  

Giải


  và  SA  AC .tan SCA
  a 6 . 
, ABCD   SC
, AC  SCA
Xác định  60  SC
0

3.VS . ADI
a 42

Ta có  d S , ADI  
. 
SADI
7

● 

VS . AID
SI
1
1
1
a3 6

  VS . AID  VS . ABD  VS . ABCD 
. 
VS . ABD SB 2
2
4
12


 AD  AB
● Ta có  
 AD  SAB   AD  AI  hay tam giác  AID  


 AD  SA
vuông tại  A . 

Trong tam giác vuông  SAB , ta có 
 

SB  SA2  AB 2  a 7 . 

1
a 7
. 
Suy ra  AI  SB 
2
2
Diện tích tam giác  ADI  là  SADI 

1
a2 7
AD.AI 
. 
2
4

3.VS . ADI
a 42

Vậy  d S , ADI  
.
SADI
7
Câu 14. Cho lăng trụ  ABC . A ' B ' C '  có đáy  ABC  là tam giác đều cạnh bằng  4 . Hình chiếu vuông góc của 

A '  trên mặt phẳng   ABC   trùng với tâm  O  của đường tròn ngoại tiếp tam giác  ABC . Gọi  M  là trung 
điểm cạnh  AC , tính khoảng cách giữa hai đường thẳng  BM  và  B ' C . 
A. 2.          

B. 2 2.

C. 1.  

D.

2.  

Giải
 
Gọi  M '  là trung điểm  A ' C ' , suy ra  BM  B ' M '  nên  BM   B ' M ' C  . 
Do đó  d  BM , B ' C   d  BM ,  B ' M ' C   d  M ,  B ' M ' C  . 
Ta có  MC  MB , suy ra  MC  M ' B ' .  1  
Theo  cách  dựng  thì  A ' M ' CM   là  hình  bình  hành  nên 
A ' M  M ' C . 
Mà 

19


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />

MC  BM


 MC  A ' BM  MC  A ' M . 



 MC  A ' O

Từ đó suy ra  MC  M ' C .  2  

Từ  2  và  2 , suy ra  
 

MC   B ' M ' C   nên  d  M ,  B ' M ' C   MC  2 .  

Câu 15. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác
ABC. Góc giữa đường thẳng SA với mặt phẳng (ABC) bằng 600 . Khoảng cách giữa hai đường
thẳng GC và SA bằng:
a
a 5
a 5
a 2
A.
B. .
C.
.
D.
.
5
5
10
5
Hướng dẫn giải

[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và BC. Gọi H là hình chiếu của G lên
đường thẳng đi qua A và song song với CG. GK là đường cao của tam giác GHS.
Khi đó, d (GC, SA)  d (GC,(SAH ))  GK . Ta có: AG 



  60
,( ABC )  SAG
SA
d (GC , SA)  GK 

0

 SG  AG.tan 60 0  a, GH  AM 

GS.GH
GS  GH
2

a 3
;
3

2



a
, suy ra
2

a 5
.
5

20

Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
z

S

S

K

K

y

x

H
A

C
G

M

H
C

A
G

N

B

B

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với G  O , Ox  GA,Oy//NC,Oz  GS (Hình vẽ).
a 3
  a 3 a 

Khi đó, A 
;0;0 , C 
; ;0 ; S 0;0; a  , suy ra GS 0;0; a  ,
  6 2 
 3
  a 3 a 
GC 
; ;0 ,

6 2 

  
GC , AS  .GS

  a 3


a 5

AS 
;0; a  suy ra d (SA, GC )    
 

GC , AS 

5
3




Câu 16. Cho hình chóp tam giác S . ABC có SA vuông góc với mặt đáy, tam giác ABC vuông
cân tại B, BA  BC  a , góc giữa mp( SBC ) với mp( ABC ) bằng 600 . Gọi I là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác SBC . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AI với BC .
A.

a 3
.
4

B.

a 3
.
2

C.

a 2

.
3

D.

a 6
.
2

Hướng dẫn giải

[Cách 1] Phương pháp dựng hình
Vì tam giác SAC vuông tại A nên tâm đường ròn ngoại tiếp tam giác SAC là trung điểm
  60 0
I của SC. Ta góc giữa mp(SBC) với mp(ABC) là góc SBA, theo bài góc SBA
 a 3 .
Suy ra SA  AB.tan SBA
Kẻ AD // BC, D là đỉnh thứ tư của hình bình bình hành ABCD.
Kẻ OE  AD tại E. OH  IE tại H.
21


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Khi đó: d ( AI , BC )  d (BC ,(IAD))  2d (O,(IAD))  2.OH
Ta có OH 

OE .OI
OE 2  OI 2



a 3
a 3
, suy ra d ( AI , BC )  2d (O ,( IAD ))  2.OH 
.
4
2
S

S

I

I

J
H
D

E

B

A

O

C

A

B

B

[Cách 2] Phương pháp tọa độ.
Gọi O là trung điểm của AC, vì tam giác ABC vuông cân tại B nên OB  AC .
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, với Ox  OB,Oy  OC,Oz  OI .
a 2


a 2
a 2  
a 2 
, A 0; 
Khi đó, B 
;0;0,C (0;
;0), I 0;0;
;0 ,

 2

2
3  
2

  a 2 a 2    a 2 a 2 
,
suy ra BC 
;

;0 , AI 0;
;



2
2
2
3 
  
 BC , AI  .BA

  a 2


a 3
a 2 

.
BA 
;
;0 . Suy ra d ( BC , AI )    

 BC , AI 

2
2
2



[Cách 3] Phương pháp thể tích.
Kẻ IJ // BC , J thuộc cạnh SB.
Suy ra d ( AI , BC )  d (BC,( AIJ ))  d (S,( AIJ )) .

1
Ta có: Tam giác AIJ vuông tại J và AJ  SB  a ;
2
2
1
a
a V
1
1
a3 3
IJ  BC  suy ra SAIJ  . S . AIJ   VS . AIJ  VS . ABC 
.
2
2
4
4
24
4 VS . ABC
Suy ra d ( AI , BC )  d (S ,( AIJ )) 

3VS . AIJ
a 3
.

S AIJ
2

22


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
Câu 17.Cho hình tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB  a, OC  a 3 . Cạnh
OA vuông góc với mặt phẳng (OBC), OA  a 3 , gọi M là trung điểm của BC. Tính khoảng cách
h giữa hai đường thẳng AB và OM.
A. h 

a 5
.
5

B. h 

a 3
.
2

C. h 

a 15
.
5

D. h 

a 3
15

.
Hướng dẫn giải

Cách 1 : phương pháp dựng hình
Gọi N là điểm đối xứng của C qua O. Khi đó OM //BN ( tính chất đường trung bình )
do đó OM //  ABN  . Suy ra d  OM , AB   d  OM ,  ABN    d  O,  ABN   .
Dựng OK  BN , OA   OBC   BN  OA  BN  AK
Dựng OH  AK khi đó OH   ABN  . Từ đó d  OM , AB   OH
Tam giác ONB vuông tại O, đường cao OK nên
1
1
1
1
1
4


 2 2  2
2
2
2
OK
ON
OB
3a
a
3a
Tam giác AOK vuông tại O, đường cao OH nên

A

1
1
1
4
1
5
a 15


 2  2  2  OH 
2
2
2
OH
OK
OA
3a 3a
3a
5
a 15
.
5
Cách 2 : Phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Vậy d  OM , AB  

H

N

K

C

O

M
B

a a 3 
Khi đó O  0;0;0  , A 0;0; a 3 , B  a;0;0  , C 0; a 3;0 , M  ;
; 0  .
2
2
z


A
  a a 3  

Suy ra OM  ;
; 0  , AB  a;0;  a 3 , OB   a;0; 0 
2 2

   3a 2  a 2 3 a 2 3   
a 2 15
O
 AB, OM   

 AB, OM  
;
;
,


  2



2
2 
2

  
M
 AB, OM  .OB a 15
B



Vậy d  AB, OM  
.
 
x
5
 AB, OM 















C

23

y


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
  1200 . Các
Câu 18. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O cạnh 2a, góc BAD
mặt phẳng  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt đáy. Thể tích khối chóp S.ABCD là

2 3a 3
3

. Hãy tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng SB và AC theo a.
A. h 

2 5a
.
5

B. h 

a 3
.
2

C. h 

a 6
.
2

D. h 

a 6
3

.
Hướng dẫn giải

Cách 1 : phương pháp dựng hình
Hai mặt phẳng  SAB  và  SAD  cắt nhau theo giao tuyến SA
và cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  nên SA   ABCD  .
Dựng đường thẳng d qua B và song song với AC.
Dựng AH  d , AK  SH . Ta chứng minh được AK   SBH 

AC //HB  AC //  SBH   d  AC , SB   d  AC ,  SBH    AK
BO  AC , AH  HB  AH  AC suy ra AH //BO .

Vậy tứ giác AHBO là hình chữ nhật nên AH  BO  a 3
Diện tích hình thoi ABCD là S ABCD  AB.BC.sin 600  2 3a 2
Suy ra AH 

3VS . ABCD
a
S ABCD

Tam giác SAH vuông tại A, đường cao AK nên
1
1
1
1
1
4
a 3
a 3
. Vậy d  AC , SB  
.

 2  2  2  2  AK 
2
2
AK
AH
SA
3a

a
3a
2
2
z
S
S

K

d

D

A

D

A
H

O

B

x B

C

O

C

y

Cách 2 : phương pháp tọa độ
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ, Oz //SA . Khi đó ta có





O  0;0;0  , A  a;0;0  , B 0; 3a;0 , C  a;0;0  , S  a;0; a 



Suy ra SB  a; a 3; a , OB  0; a 3;0 , OC   a;0;0 









24


Thầy NGUYỄN TIẾN ĐẠT /> Thầy VŨ VĂN NGỌC />
  

OC , SB  .OB a 3



Vậy d  AC , SB  
.
 
2
OC, SB 


Câu 19. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA vuông góc
với mặt đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng  ABCD  là 450 , gọi G là trọng tâm tam
giác SCD. Tính khoảng cách h giữa hai đường thẳng chéo nhau OG và AD.
A. h 

a 5
.
2

B. h 

a 5
.
3

C. h 

a 3
.

2

D. h 

a 2
.
3

Hướng dẫn giải

Cách 1 : phương pháp dựng hình
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD, AB.
AD //MN  AD //  SMN   d  AD, MN   d  AD,  SMN    d  A,  SMN  

MN  AB, MN  SA  MN   SAB    SMN    SAB 
Dựng AK  SN  AH   SMN   d  A,  SMN    AK
Lại có SA   ABCD  nên AC là hình chiếu của SC lên mặt phẳng  ABCD 

 SC, AC  SCA
Từ đó suy ra  SC ,  ABCD    
   450 .
Vậy giác SAC vuông cân, suy ra SA  AC  a 2
Tam giác SAN vuông tại A, đường cao AK suy ra :
1
1
1
1
4
9
a 2

.
 2
 2  2  2  AK 
2
2
AK
SA
AN
2a
a
2a
3
S

z
S

K

G

A

N
O

B

C
Cách 2 : phương pháp tọa độ

D
M

x

D

G

A

M

O

B

y

C

Chọn hệ tọa độ như hình vẽ, theo cách 1 ta tính được SA  a 2



Khi đó A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; a;0  , D  0; a;0  , S 0;0; a 2


25