Một mở rộng định lý tồn tại vector riêng của toán tử (k,uo) lõm chính quy trong không gian banach với nón cực trị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ HỒNG PHƯƠNG

MỘT MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI
VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K,u0) - LÕM CHÍNH QUY
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

VŨ HỒNG PHƯƠNG

MỘT MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ TỒN TẠI
VECTOR RIÊNG CỦA TOÁN TỬ (K,u0) - LÕM CHÍNH QUY
TRONG KHÔNG GIAN BANACH VỚI NÓN CỰC TRỊ

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN PHỤ HY

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Nguyễn Phụ
Hy, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn
thành luận văn này.
Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn
thể các Thầy, Cô giáo khoa Toán, đặc biệt là Tổ Toán Giải tích, Phòng Sau
đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và giúp đỡ tác giả
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè
đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành
luận văn này.
Hà Nội, tháng 7 năm 2017
Tác giả

Vũ Hồng Phương


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, luận
văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Một mở rộng định lý tồn tại
vector riêng của toán tử (K,u0 ) - lõm chính quy trong không gian Banach
với nón cực trị do tôi tự làm.
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa
những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Hà Nội, tháng 7 năm 2017

Tác giả

Vũ Hồng Phương


1

Mục lục

Mở đầu

3

1

6

Không gian Banach nửa sắp thứ tự
1.1

Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.1.1

Khái niệm nón trong không gian Banach . . . . . .

6

1.1.2

Quan hệ thứ tự trong không gian Banach . . . . . . 10

1.2

Quan hệ thông ước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.3

Phần tử u0 - đo được . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4

Một số nón đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5

2

Khái niệm nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian

1.4.1

Nón chuẩn tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.4.2

Nón cực trị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự Lp (p > 1) . . . . . 23
1.5.1

Xây dựng không gian tuyến tính thực Lp . . . . . . 23

1.5.2

Xây dựng không gian định chuẩn Lp . . . . . . . . 24

1.5.3

Xây dựng không gian Banach nửa sắp thứ tự Lp . . 28

Mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0 ) - lõm


2

chính quy
2.1

34

Khái niệm toán tử (K,u0 ) - lõm chính quy . . . . . . . . . . 34
2.1.1

Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.1.2

Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2

Toán tử (K,u0 ) - lõm chính quy trong không gian Lp . . . . 36

2.3

Mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0 ) lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.4

Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Kết luận

53

Tài liệu tham khảo

54


3

Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Lý thuyết điểm bất động là một ngành toán học lý thuyết có nhiều ứng
dụng. Lý thuyết điểm bất động được nghiên cứu theo nhiều hướng khác
nhau và gắn liền với tên tuổi nhiều nhà toán học nổi tiếng như: Lipschitz,

Kraxnoxelxki, Braide, Aylenbec,.... Các nhà toán học đã xét các toán tử
khác nhau: toán tử đơn điệu, toán tử đo được, toán tử có đạo hàm Fréchet
hay đạo hàm tiệm cận, toán tử lõm,....
Nhà toán học Nga nổi tiếng Kraxnoxelxki đã nghiên cứu về toán tử lõm
tác dụng trong không gian Banach thực với một nón cố định (1956), các
nghiệm riêng của các phương trình toán tử (1962).
Phát triển các kết quả của nhà toán học Nga Kraxnoxelxki, GS.TS
Bakhtin nghiên cứu về các phương trình không tuyến tính với các toán
tử lõm đều (1959), các nghiệm dương của các phương trình không tuyến
tính với các toán tử lõm (1984), sau đó mở rộng cho toán tử (K,u0 ) - lõm
tác dụng trong không gian Banach thực với hai nón cố định có điểm trong
chung (1984).
Các lớp toán tử được các giáo sư Kraxnoxelxki, Bakhtin nghiên cứu
và công bố những kết quả về lớp toán tử lõm tác dụng trong không gian


4

Banach với một nón cố định, các toán tử đều có chung tính chất u0 - đo
được.
Năm 1987, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã nghiên cứu về các vectơ riêng
của toán tử lõm chính quy và vào năm 2013 là về các vectơ riêng dương
của toán tử (K,u0 ) - lõm chính quy. Tác giả đã mở rộng và phát triển các
kết quả về toán tử lõm cho lớp toán tử lõm chính quy tác dụng trong không
gian Banach với một nón cố định nhưng không yêu cầu toán tử có tính chất
u0 - đo được.

Để chứng minh sự tồn tại vectơ riêng của các toán tử, trong công trình
của các nhà toán học kể trên đã bổ sung các điều kiện phù hợp cho các
toán tử.

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về lớp toán tử này, nhớ sự giúp đỡ,
hướng dẫn tận tình của Thầy giáo, PGS.TS Nguyễn Phụ Hy, tôi chọn
nghiên cứu đề tài: "Một mở rộng định lý tồn tại vector riêng của toán
tử (K,u0 ) - lõm chính quy trong không gian Banach với nón cực trị".

2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài này nhằm mở rộng một số định lý về sự tồn tại vectơ riêng của
các toán tử (K,u0 ) - lõm chính quy ( không có tính chất u0 - đo được) trong
không gian Banach bằng cách bổ sung các điều kiện cho nón: nón cực trị.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu về không gian Banach nửa sắp thứ tự.


5

Tìm hiểu về sự tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0 ) - lõm chính quy
trong không gian Banach với nón cực trị.
Một mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0 ) - lõm chính
quy.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: các kiến thức cơ sở cần thiết, các kết quả về toán
tử (K,u0 ) - lõm chính quy, sự tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0 ) - lõm
chính quy trong không gian Banach với nón cực trị.
Phạm vi nghiên cứu: các tài liệu và bài báo trong và ngoài nước có liên
quan đến vectơ riêng của toán tử (K,u0 ) - lõm chính quy trong không gian
Banach với nón cực trị.

5. Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, tổng hợp các kiến thức liên quan tới mục đích nghiên cứu.

6. Đóng góp của luận văn
Luận văn trình bày tổng quát về:
Không gian Banach nửa sắp thứ tự.
Một số tính chất cơ bản về toán tử (K,u0 ) - lõm chính quy.
Toán tử (K,u0 )- lõm chính quy trong không gian Lp [a;b] (p > 1).
Một mở rộng định lý tồn tại vectơ riêng của toán tử (K,u0 ) - lõm chính
quy.


6

Chương 1
Không gian Banach nửa sắp thứ tự
1.1
1.1.1

Khái niệm nón và quan hệ sắp thứ tự trong không gian
Banach
Khái niệm nón trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.1.
Giả sử E là không gian Banach thực. Tập con K của không gian E được
gọi là một nón, nếu K thỏa mãn các điều kiện:
1) K là một tập đóng trong không gian E;
2) Với ∀x, y ∈ K thì x + y ∈ K ;
3) Với ∀x ∈ K , ∀t ∈ R+ thì tx ∈ K ;
4) Với ∀x ∈ K và x = θ thì −x ∈
/ K ( θ là kí hiệu phần tử không của

không gian E).

Định lý 1.1.1.
Nếu K là một nón trong không gian định chuẩn thực, thì θ ∈ K và K là
một tập lồi.
Chứng minh.


7

Thật vậy
*) ∀x ∈ K , ∀t ∈ R, t ≥ 0 ta có tx ∈ K , do đó với t = 0 ta có θ = 0.x ∈ K .
*) ∀x, y ∈ K , ∀t ∈ [0; 1] ta có tx ∈ K , (1−t)y ∈ K suy ra tx+(1−t)y ∈ K .
Vậy, K là tập lồi.
Định lý 1.1.2.
Giao của một họ nón tùy ý chứa ít nhất hai phần tử là một nón trong
không gian E.
Chứng minh.
Giả sử K1 , K2 ,..., Kn là các nón (n ∈ N∗ , n ≥ 2) trong không gian E và
n

Kj chứa ít nhất hai phần tử.

K=
j=1

Ta chứng minh K là một nón.
*) Do các tập K1 , K2 ,..., Kn là các tập đóng, nên tập K đóng trong không
gian E.
*) ∀x, y ∈ K thì x, y ∈ Kj ,(j = 1, n) ⇒ x + y ∈ Kj , (j = 1, n)

⇒ x + y ∈ K.

*) ∀x ∈ K , t ≥ 0 thì x ∈ Kj , (j = 1, n) nên tx ∈ Kj , (j = 1, n)
⇒ tx ∈ K .

*) ∀x ∈ K , x = θ (vì K có ít nhất hai phần tử) thì x ∈ Kj , (j = 1, n), nên
−x ∈
/ Kj , (j = 1, n) ⇒ −x ∈
/ K.

Vậy, K là một nón.
Định lý 1.1.3.
Nếu tập con F của E là một tập khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn và không
chứa phần tử không, thì tập K(F ) = {z ∈ E : z = tx, x ∈ F, t ∈ R+ } là


8

một nón.
Chứng minh.
*) Ta thấy F ⊂ K(F ) và F = Ø, nên K(F ) = Ø. Với mọi x ∈ F ta
chứng minh tồn tại hai số thực dương m, M sao cho m ≤ x ≤ M . Thật
vậy, do tập F bị chặn nên tồn tại M > 0: x ≤ M, ∀x ∈ F .
Đặt m = inf x .
x∈F

Giả sử m = 0, thì tồn tại {xn }∞
n=1 ⊂ F sao cho lim xn = 0 hay
n→∞

lim xn = θ trong không gian E. Do F là tập đóng, nên θ ∈ F , trái với giả

n→∞

thiết F không chứa phần tử không.
Vậy, m > 0 và x ≥ inf x = m > 0, ∀x ∈ F .
x∈F

*) K(F) là tập đóng.
Lấy bất kì dãy {zn }∞
n=1 ⊂ K(F ) sao cho lim zn = z trong không gian E.
n→∞

Nếu z = θ, thì z = 0.x, x ∈ F ⇒ z = θ ∈ K(F ).
1
Nếu z = θ, thì với ε =
z > 0, (∃n0 ∈ N∗ )∀n ≥ n0 ta có
2
1
zn − z < ε =
z .
2
1
3
1
z ⇒
z < zn <
z ,
Khi đó, zn − z ≤ zn − z <
2

2
2
∀n ≥ n0 . Vì zn ∈ K(F ) nên zn = tn .xn với tn ≥ 0, xn ∈ F .
1
3
Do đó,
z < tn xn = tn xn <
z ⇒ xn > 0, ∀n ∈ N∗ , n ≥ n0
2
2
1
3
và
z z , ∀n ∈ N∗ , n ≥ n0 .
2 xn
2 xn
Theo chứng minh trên, (∀n ∈ N∗ ) có m ≤ xn ≤ M , nên
1
3
z < tn <
z , ∀n ≥ n0 tức là dãy {tn } bị chặn.
2M
2m
Vì vậy, tồn tại dãy con tni ⊂ {tn } sao cho lim tni = t0 .
i→∞
1
3
Suy ra,
z < t0 <

z , nên t0 > 0.
2M
2m


9

Ta có
1
1
z
=
t0 x n i − z =
t0 xni − tni xni + tni xni − z
t0
t0
t0
1
1
≤
t0 − tni xni +
zni − z
t0
t0
M
1
≤
t0 − tni +
zni − z → 0 khi i → ∞.
t0

t0
z
z
Suy ra, xni −
→ 0 khi i → ∞, nên xni → khi i → ∞.
t0
t0
1
1
Mặt khác, do F đóng suy ra z ∈ F , do đó z = t0 ( z) ∈ K(F ).
t0
t0
Vậy, K(F) đóng.
xni −

*) Ta chứng minh z, z ∈ K(F ) thì αz + βz ∈ K(F )(α, β ≥ 0).
Do z, z ∈ K(F ), nên z = t1 x1 , z = t2 x2 (t1 , t1 ≥ 0, x1 , x2 ∈ F ).
Nếu αt1 + βt2 = 0 thì αt1 = βt2 = 0
⇒ z + z = αt1 x1 + βt2 x2 = θ ∈ K(F ).

Nếu αt1 + βt2 = 0 ta có
βt2
αt1
x1 +
x2 .
αt1 + βt2
αt1 + βt2
Do F lồi, nên biểu thức trong dấu ngoặc vuông thuộc F .

αz + βz = (αt1 + βt2 )

Vậy, αz + βz ∈ K(F ).
*) Ta chứng minh K(F ) ∩ (−K(F )) = {θ}
Giả sử điều này không đúng. Giả sử tồn tại z ∗ ∈ K(F ), z ∗ = θ và
−z ∗ ∈ K(F ).

Khi đó, z ∗ = t x , t > 0, x ∈ F và −z ∗ = t x , t > 0, x ∈ F ;
t
t
θ = z ∗ + (−z ∗ ) = t x + t x = (t + t )
x +
x
t +t
t +t
1
t
t
.θ =
x +
x ∈ F (F là tập lồi),
⇒θ=
t +t
t +t
t +t
trái với giả thiết θ ∈
/ F.


10

Suy ra, nếu z ∗ ∈ K(F ) và z ∗ = θ, thì −z ∗ ∈
/ K(F ).
Do đó, K(F ) thỏa mãn các điều kiện của nón. Vậy, K(F ) là một nón.
1.1.2

Quan hệ thứ tự trong không gian Banach

Định nghĩa 1.1.2.
Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E.
Với x, y ∈ E ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K, x < y nếu y − x ∈K\ {θ}.
Định lý 1.1.4.
Quan hệ ” ≤ ”, xác định trong định nghĩa 1.1.2 là một quan hệ sắp thứ
tự trong không gian E.
Chứng minh.
Thật vậy:
*) (∀x ∈E) x ≤ x vì x − x = θ ∈K.
Quan hệ ” ≤ ” có tính chất phản xạ.
*) (∀x, y, z ∈E: x ≤ y, y ≤ z ) ⇒ y − x ∈K, z − y ∈K
⇒ z − x = (z − y) + (y − x) ∈K ⇒ x ≤ z .

Quan hệ ” ≤ ” có tính chất bắc cầu.
*) (∀x, y ∈E: x ≤ y, y ≤ x) ta chứng minh x = y .
Nếu x = y thì y − x = θ, theo giả thiết x ≤ y ⇒ y − x ∈ K .
Do K là nón, nên x − y = −(y − x) ∈
/ K , mâu thuẫn với giả thiết y ≤ x.
Vậy x = y .
Quan hệ ” ≤ ” có tính chất phản đối xứng.
Vậy, quan hệ ” ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trên không gian E theo nón

11

K.
Từ nay về sau ta coi hai cách viết ”x ≤ y” hay ”y ≥ x” là như nhau và
ta nói hai phần tử x, y so sánh được với nhau.
Tuy nhiên, trường hợp không phải hai phần tử nào x, y ∈ E cũng so sánh
được với nhau, ta gọi không gian E thực nửa sắp thứ tự theo nón K; còn
trường hợp hai phần tử bất kì x, y∈E đều so sánh được với nhau, ta nói
không gian E thực sắp thứ tự theo nón K.

1.2

Quan hệ thông ước

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E.
Định nghĩa 1.2.1.
Với hai phần tử x, y ∈ E ta nói phần tử x thông ước với phần tử y, nếu
có hai số dương α, β sao cho
αy ≤ x ≤ βy.

Định lý 1.2.1.
Quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E.
Chứng minh.
*) Quan hệ thông ước có tính chất phản xạ.
∀x ∈ E thì x thông ước với x, vì tồn số 1 > 0 để 1.x ≤ x ≤ 1.x.

*) Quan hệ thông ước có tính chất đối xứng.
Giả sử x, y thuộc tập E, x thông ước với y. Khi đó, tồn tại hai số dương
1
1

α, β sao cho αy ≤ x ≤ βy ⇒ x ≤ y ≤ x. Vậy, y thông ước với x.
β
α


12

*) Quan hệ thông ước có tính chất bắc cầu.
Giả sử x, y, z thuộc tập E, sao cho x thông ước với y, y thông ước với z.
Khi đó, tồn tại các số dương a, b, c, d sao cho ay ≤ x ≤ by, cz ≤ y ≤ dz
⇒ (a.c)z ≤ x ≤ (b.d)z và ac > 0, bd > 0. Nên x thông ước với z.

Vậy, quan hệ thông ước là một quan hệ tương đương trên không gian E.
Giả sử u0 ∈ K\ {θ}. Kí hiệu K(u0 ) là tập tất cả phần tử của không gian
E thông ước với phần tử u0 .
Định lý 1.2.2.
Tập hợp K(u0 )= {x ∈ E : ∃α > 0, ∃β > 0, αu0 ≤ x ≤ βu0 } là một tập
lồi và K(u0 )⊂K\ {θ}.
Chứng minh.
*) K(u0 ) là tập lồi.
Thật vậy:
∀x, y ∈ K(u0 ) thì tồn tại các số thực dương α, β, α1 , β1 sao cho
αu0 ≤ x ≤ βu0 , α1 u0 ≤ y ≤ β1 u0 . ∀t ∈ [0; 1], ta có 1 − t ≥ 0,
tαu0 ≤ tx ≤ tβu0 , (1 − t)α1 u0 ≤ (1 − t)y ≤ (1 − t)β1 u0
⇒ tα + (1 − t)α1 u0 ≤ tx + (1 − t)y ≤ tβ + (1 − t)β1 u0 .

Do các số
tα + (1 − t)α1 ≥ t min {α, α1 } + (1 − t) min {α, α1 } = min {α, α1 } > 0

và tβ + (1 − t)β1 ≥ t min {β, β1 } + (1 − t) min {β, β1 } = min {β, β1 } > 0,

nên tx + (1 − t)y ∈ K(u0 ).
Vậy, ∀x, y ∈ K(u0 ), ∀t ∈ [0; 1] thì tx + (1 − t)y ∈ K(u0 ). Do đó, K(u0 ) là
tập lồi.


13

*) K(u0 )⊂K\ {θ}
Thật vậy:
∀x ∈ K(u0 ) thì tồn tại hai số thực dương α, β sao cho αu0 ≤ x ≤ βu0 .

Do u0 ∈ K \ {θ}, nên θ < αu0 ≤ x ⇒ x ∈ K \ {θ}.
Vậy, K(u0 ) ⊂ K \ {θ}.

1.3

Phần tử u0 - đo được

Định nghĩa 1.3.1.
Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E ,
u0 ∈ K \ {θ}. Phần tử x ∈ E được gọi là u0 - đo được, nếu tồn tại các số

không âm t1 , t2 sao cho −t1 u0 ≤ x ≤ t2 u0 .
Kí hiệu Eu0 là tập tất cả các phần tử x ∈ E có tính chất u0 - đo được.
Định lý 1.3.1.
Eu0 = {x ∈ E : ∀t1 , t2 ≥ 0, −t1 u0 ≤ x ≤ t2 u0 } là không gian vectơ con

của không gian E .
Chứng minh.
*) Ta thấy θ ∈ Eu0 , vì với mọi t ≥ 0 ta có −tu0 ≤ θ ≤ tu0 . Suy ra, Eu0

khác rỗng.
*) (∀x, y ∈ Eu0 ) (∃t1 ≥ 0, ∃t2 ≥ 0, ∃t3 ≥ 0, ∃t4 ≥ 0) sao cho:
−t1 .u0 ≤ x ≤ t2 .u0 và −t3 .u0 ≤ y ≤ t4 .u0 .

Khi đó: −(t1 + t3 ).u0 ≤ x + y ≤ (t2 + t4 ) ⇒ x + y ∈ Eu0 .
*) (∀x ∈ Eu0 )(∃t1 ≥ 0, ∃t2 ≥ 0) sao cho −t1 .u0 ≤ x ≤ t2 .u0 .
Khi đó ∀α ∈ R ta có:


14

Nếu α ≥ 0 ⇒ −t1 .u0 ≤ x ≤ t2 .u0 và αt1 ≥ 0, αt2 ≥ 0
⇒ −(αt1 ).u0 ≤ αx ≤ (αt2 ).u0 .

Nếu α < 0 ⇒ −t1 .u0 ≤ x ≤ t2 .u0 và −αt1 ≥ 0, −αt2 ≥ 0
⇒ −(−αt1 ).u0 ≤ −αx ≤ (−αt2 ).u0
⇒ −(−αt2 ).u0 ≤ α.x ≤ (−αt1 ).u0 và −αt2 ≥ 0, −αt1 ≥ 0.

Do đó, ∀α ∈ R thì αx ∈ Eu0 .
Vậy, Eu0 là không gian vectơ con của không gian E .
Định lý 1.3.2.
Với mỗi x ∈ Eu0 tồn tại các số không âm nhỏ nhất α = α(x), β = β(x)
sao cho −αu0 ≤ x ≤ βu0 .
Chứng minh.
Giả sử x ∈ Eu0 . Khi đó, tồn tại các số không âm t1 , t2 sao cho
−t1 u0 ≤ x ≤ t2 u0 .

*) Trước hết, ta chỉ ra tồn tại số β không âm nhỏ nhất, sao cho x ≤ βu0 .
Thật vậy: xét ánh xạ
f : R −→ E

t −→ f (t) = tu0 − x

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với
một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục. Và từ tính đóng
của nón K trong không gian E, suy ra f −1 (K) là tập đóng trong không
gian R.
Giả sử inf f −1 (K) = −∞.
−1
Khi đó, ∃ (tn )∞
n=1 ⊂ f (K) sao cho tn u0 − x ∈ K và lim tn = −∞.
n→∞


15

(∃N > 0, ∀n ≥ N ) tn < 0, nên (∀n ≥ N )
1
1
x = − (tn u0 − x) ∈ K.
tn
tn
1
Cho qua giới hạn trong biểu thức −u0 + x khi n → ∞, ta được −u0 ∈ K ,
tn
mâu thuẫn với tính chất của nón K .
−u0 +

Do đó, inf f −1 (K) = β ∈ f −1 (K).
Ta xét tập A = {t ≥ 0 : tu0 − x ∈ K}. Hiển nhiên t2 ∈ A hay A = Ø.
Theo chứng minh trên, tồn tại inf {t ≥ 0 : tu0 − x ∈ K} = β(x) ∈ f −1 (K),

nghĩa là β(x) ≥ 0 và x ≤ β(x)u0 .
Vậy, tồn tại số không âm β(x) nhỏ nhất, sao cho x ≤ β(x)u0 .
*) Ta chỉ ra sự tồn tại số thực α(x) ≥ 0 nhỏ nhất, sao cho −α(x)u0 ≤ x.
Xét ánh xạ
g : R −→ E
t −→ g(s) = su0 + x

Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với
một phần tử trong không gian Banach E , nên g liên tục. Và từ tính đóng
của nón K trong không gian E , suy ra g −1 (K) là tập đóng trong không
gian R.
−1
Giả sử inf(g −1 (K)) = −∞ thì ∃ (sn )n=1
∞ ⊂ g (K), sao cho

lim sn = −∞.

n→∞

1
Khi đó, (∃n0 ∈ N∗ )(∀n ≥ n0 )sn < 0. Do đó − (x + sn u0 ) ∈ K
sn
−x
⇒
− u0 ∈ K .
sn
1
Cho qua giới hạn trong biểu thức −u0 + x khi n → ∞, ta được −u0 ∈ K ,
sn
mâu thuẫn với tính chất của nón K . Nên, inf(g −1 (K)) ∈ g −1 (K).

16

Ta xét tập B = {s ≥ 0 : x + su0 ∈ K}. Hiển nhiên s1 ∈ B hay B = Ø.
Theo chứng minh trên, tồn tại
inf {s ≥ 0 : x + su0 ∈ K} = α(x) ∈ g −1 (K), nghĩa là α(x) ≥ 0 và
−α(x)u0 ≤ x.

Vậy, tồn tại số không âm α(x) nhở nhất sao cho = α(x)u0 ≤ x.
Định lý được chứng minh.
Định lý 1.3.3.
Ánh xạ:
.

u0

: Euo −→ R
x −→ x

uo

= max α(x), β(y)

là một chuẩn trên không gian vectơ Euo và .

u0

gọi là u0 - chuẩn.

Chứng minh.
Thật vậy, .

u0

là một ánh xạ từ Eu0 vào tập số thực không âm R+ , do

định nghĩa tính u0 - đo được của phần tử x. Ta kiểm tra các tiên đề về
chuẩn:
*) (∀x ∈ Eu0 ) x

u0

≥ 0, x

u0

= 0 ⇔ max α(x); β(x) = 0

⇔ α(x) = β(x) = 0 ⇔ x = θ.

*) (∀x ∈ Eu0 )(∀λ ∈ R) theo định lý 1.3.2, tồn tại các số không âm nhỏ
nhất α(x), β(x), sao cho −α(x)u0 ≤ x ≤ β(x)u0 , nên
x

u0

= max α(x), β(x) .

Với λ ≥ 0 ta có: −λα(x)u0 ≤ λx ≤ λβ(x)u0 .

⇒ λx

u0

= max λα(x), λβ(x)

= λ max α(x), β(x) = λ x

u0

= |λ| x

u0

.


17

Với λ < 0 thì −λ > 0 ta có: −(−λ)α(x)u0 ≤ −λx ≤ (−λ)β(x)u0
⇒ −λx

u0

= max −λα(x), −λβ(x)

= −λ max α(x), β(x) = −λ x

Vậy, (∀x ∈ Eu0 )(∀λ ∈ R) λx

u0

= |λ| x

u0

= |λ| x

u0

.

u0 .

*) (∀x, y ∈ Eu0 ) ta có ∃t1 , t2 , t3 , t4 ≥ 0 sao cho−t1 u0 ≤ x ≤ t2 u0 ,
−t3 u0 ≤ y ≤ t4 u0 .

Suy ra:
−(t1 + t3 )u0 ≤ x + y ≤ (t2 + t4 )u0 ,
x+y

u0

= max inf(t1 + t3 ), inf(t2 + t4 ) ,

x

u0

= max {inf t1 , inf t2 }, y

x

u0

+ y

u0

≥ inf t1 + inf t3 ≥ inf(t1 + t3 ),

x

u0

+ y

u0

≥ inf t2 + inf t4 ≥ inf(t2 + t4 ).

Nên x

u0

hay x + y

+ y
u0

Vậy, ánh xạ .

u0

= max {inf t3 , inf t4 }. Do đó

≥ max inf(t1 + t3 ), inf(t2 + t4 ) = x + y

≤ x
u0

u0

u0

+ y

u0

u0 .

là một chuẩn trên không gian Eu0 và chuẩn .

u0

được

gọi là u0 - chuẩn.

1.4

1.4.1

Một số nón đặc biệt
Nón chuẩn tắc

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E ,
u0 ∈ K \ {θ}.

Định nghĩa 1.4.1.


18

Nón K được gọi là nón chuẩn tắc nếu:
(∃δ > 0)(∀e1 , e2 ∈ K : e1 = e2 = 1) e1 + e2 ≥ δ .

Định lý 1.4.1.
Các mệnh đề sau tương đương
1) K là nón chuẩn tắc;
2)(∃M > 0)(∀y ∈ K \ {θ})(∀x ∈ Ey ) x

3) (∃N > 0)(∀x, y ∈ K : x ≤ y) x

E

E

≤M x

≤N y

y

y

E

(1.1)

;

E.

Chứng minh.
1) ⇒ 2)
Giả sử K là nón chuẩn tắc, nhưng bất đẳng thức (1.1) không xảy ra, nghĩa
là
(∀n ∈ N∗ )(∃yn ∈ K \ {θ})(∃xn ∈ Eyn ) xn

E

> n xn

yn

yn

E

(1.2)

∞
Hệ thức (1.2) chứng tỏ xn = θ, (xn )∞
n=1 ⊂ E, (yn )n=1 ⊂ K \ {θ},
xn E
xn yn <
và từ định nghĩa yn - chuẩn trong không gian Eyn :
n yn E
xn E
xn E
−
y n ≤ xn ≤
yn , ∀n ∈ N∗ .
n yn E
n yn E
xn E
xn E
Ta thấy, gn = xn +
yn ∈ K , hn = −xn +
yn ∈ K .
n yn E
n yn E
Khi đó, với mọi n ≥ 2 ta có
xn E
1
yn E = xn E (1 − ) > 0;
gn E ≥ xn E −
n yn E
n
xn E

1
hn E ≥ −xn E −
yn E = xn E (1 − ) > 0.
n yn E
n
Suy ra, gn ∈ K \ {θ} , hn ∈ K \ {θ} , ∀n = 2, 3, ...

Ta lại có


19

gn

E

≤ xn

E

+

hn

E

≤ −xn

E

xn E
1
yn E = xn E (1 + ), n = 1, 2, 3, ...
n yn E
n
xn E
1
−
yn E = xn E (1 + ), n = 1, 2, 3, ...
n yn E
n

Mặt khác,
gn
hn
gn
hn
hn
hn
+
=
+
+
−
gn E
hn E
gn E
gn E
hn E
gn E

2 xn E
gn E − hn E
=
yn +
hn .
n yn E gn E
gn E hn E

Do đó
2 xn E
gn E − hn E
gn
hn
4
+
≤
+
≤
(n = 2, 3, ...),
gn E
hn E
n gn E
gn E
n−1
hn
gn
+
= 0.
nên lim
n→∞

gn E
hn E E
Điều này mâu thuẫn với tính chuẩn tắc của nón K . Vì vậy
(∃M > 0)(∀y ∈ K \ {θ})(∀x ∈ Ey ) xn

E

≤ M xn

y

yn

E.

2) ⇒ 3)
Giả sử mệnh đề 2) thỏa mãn. Giả sử x, y ∈ K, x ≤ y
Nếu y = θ ⇒ x = θ ⇒ x
Khi đó, x

E

E

= y

=0≤0=M y

E

E

= 0.

(∀M > 0).

Nếu y = θ ⇒ x + y = θ hay x + y ∈ K \ {θ} , x ∈ Ex+y , vì
−(x + y) ≤ x ≤ x + y , nên x

x+y

≤ 1.
y

E

≤M y

Do đó (∃N = M > 0)(∀x, y ∈ K : x ≤ y) x

E

≤N y

Từ đó và từ mệnh đề 2) x

E

≤M x

y+x

E.
E.

3) ⇒ 1)
Giả sử mệnh đề 3) thỏa mãn.
Giả sử e1 , e2 ∈ K, e1 = e2 = 1.
Ta có, e1 ∈ K \ {θ} , e1 + e2 ∈ K \ {θ} , e1 ≤ e1 + e2 , nên


20

≤ N e1 + e2 E .
1
> 0) e1 + e2
Do đó (∃δ =
N
Suy ra, K là nón chuẩn tắc.
1 = e1

E

≥ δ.

E

Vậy, ba mệnh đề là tương đương.
Định lý 1.4.2.
Nếu K là nón chuẩn tắc thì một dãy hội tụ theo u0 - chuẩn cũng hội

tụ theo chuẩn trên không gian E và Eu0 là không gian Banach theo u0 chuẩn.
Chứng minh.
*) Trước hết ta chứng minh một dãy điểm (xn )∞
n=1 ⊂ Eu0 hội tụ tới
x ∈ Eu0 theo u0 - chuẩn thì dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E .

Thật vậy, giả sử dãy điểm (xn )∞
n=1 ⊂ Eu0 hội tụ tới x ∈ Eu0 theo u0 chuẩn, nghĩa là lim xn − x
∀(ε > 0)(∃n0

n→∞
∈ N∗ )(∀n

u0

= 0 hay

≥ n0 ) xn − x

< ε.

u0

Từ định nghĩa u0 - chuẩn, suy ra −εu0 ≤ xn − x ≤ εu0 , ∀n ≥ n0 .
Do đó θ ≤ xn − x + εu0 ≤ 2εu0 , ∀n ≥ n0 .
Vì K là nón chuẩn tắc, nên từ xn − x + εu0 ≤ 2εu0 , ta có (∃N > 0)
xn − x

E

⇒ xn − x

− εu0
E

≤ xn − x + εu0

≤ ε(1 + 2N ) u0

⇒ lim xn − x
n→∞

E

E

E

E

≤ 2N ε u0

E

, ∀n ≥ n0 .

, ∀n ≥ n0

= 0.

Vậy dãy đó hội tụ theo chuẩn trên không gian E.
*) Tiếp theo, ta chứng minh Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn.
Giả sử (xn )∞
n=1 là một dãy cơ bản bất kì trong không gian Eu0 theo u0 -


21

chuẩn, nghĩa là
(∀ε > 0)(∃n0 ∈ N∗ )(∀n, m ≥ n0 ) xn − xm

u0

< ε.

Từ định nghĩa u0 - chuẩn, suy ra
−εu0 ≤ xn − xm ≤ εu0 , ∀n, m ≥ n0 .

(1.3)

Do đó, θ ≤ xn − xm + εu0 ≤ 2εu0 , ∀n, m ≥ n0 .
Vì K là một nón chuẩn tắc, nên từ xn − xm + εu0 ≤ 2εu0 ta có
xn − xm

E

− εu0

E

Từ đó ta có xn − xm

≤ xn − xm + εu0

E

≤ ε(1 + 2N ) u0

E

E

≤ 2N ε u0

E

, ∀n, m ≥ n0 .

, ∀n, m ≥ n0 .

Điều này cho thấy dãy (xn )∞
n=1 là một dãy cơ bản trong không gian Banach
E nên ∃x ∈ E sao cho lim xn − x
n→∞

E

= 0.

Qua giới hạn trong hệ thức (1.3) khi m → ∞ ta nhận được

−εu0 ≤ xn − x ≤ εu0 , ∀n ≥ n0 .

Chứng tỏ xn − x ∈ Eu0 . Do đó x = xn − (xn − x) ∈ Eu0 và
xn − x

u0

≤ ε, ∀n ≥ n0 , hay dãy (xn )∞
n=1 hội tụ trong Eu0 theo u0 -

chuẩn.
Vậy, Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn.
1.4.2

Nón cực trị

Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E .
Định nghĩa 1.4.2.
Tập hợp con M ⊂ E :
Tập M được gọi là bị chặn trên bới phần tử u ∈ E nếu (∀x ∈ M )x ≤ u.
Tập M được gọi là bị chặn dưới bởi phần tử v ∈ E nếu (∀x ∈ M )v ≤ x.