Về góc và tọa độ cực trong không gian định chuẩn thực

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHAN THỊ PHƯƠNG

VỀ GÓC VÀ TỌA ĐỘ CỰC TRONG
KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II

PHAN THỊ PHƯƠNG

VỀ GÓC VÀ TỌA ĐỘ CỰC TRONG KHÔNG
GIAN ĐỊNH CHUẨN THỰC

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN HỮU THỌ

HÀ NỘI, 2017

Lời cảm ơn
Qua luận văn này, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các Thầy, Cô trong khoa
Toán - Tin trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 nói chung và các Thầy, Cô
ở Bộ môn Giải tích nói riêng đã dạy bảo, dìu dắt tôi trong suốt thời gian
qua. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới TS.
Nguyễn Hữu Thọ, thầy đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn và giúp đỡ trong
suốt quá trình làm luận văn. Cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp và
tất cả mọi người đã quan tâm, động viên để tôi có thể hoàn thành tốt
nhiệm vụ của mình.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng, xong do thời gian và trình độ còn
hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót nhất định. Tôi rất
mong nhận được ý kiến đóng góp của quý độc giả để luận văn này được
hoàn thiện hơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2017
Học viên

Phan Thị Phương

1


Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Hữu Thọ, luận
văn Thạc sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài " Về góc và tọa độ
cực trong không gian định chuẩn thực" do tôi tự thực hiện. Các kết quả
và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 11 năm 2017

Tác giả

Phan Thị Phương

2


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Lời cam đoan

2

Phần mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1 Không gian Euclid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2 Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3 Khái niệm và một số tính chất cơ bản về góc . . . . . . .

9

1.4 Không gian góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Góc và tọa độ cực trong không gian định chuẩn

18

2.1 Góc Thy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.2 Sự tồn tại tọa độ cực trong không gian định chuẩn . . .

24

Kết luận

40

Tài liệu tham khảo

41

3


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Khái niệm góc và bán kính đã được người xưa sử dụng từ thế kỷ
thứ nhất trước Công nguyên. Nhà thiên văn học Hipparchus (190-120
TCN) đã lập một bảng hàm các dây cung cho biết chiều dài dây cung
cho mỗi góc. Có tài liệu cho rằng ông đã sử dụng tọa độ cực để thiết
lập vị trí các thiên hà. Trong tác phẩm On Spirals, Archimedes đã mô
tả đường xoắn ốc Acsimet, một hàm mà bán kính của nó phụ thuộc vào
góc. Tuy nhiên, công trình của nhà khoa học Hy Lạp không đủ để xây
dựng một hệ tọa độ đầy đủ. Từ thế kỷ thứ 8 trở về sau, các nhà thiên
văn đã phát triển các phương pháp cho việc xấp xỉ và tính toán phương
hướng và khoảng cách từ bất kỳ vị trí nào trên Trái Đất đến Thánh
địa Mecca (Qibla). Sau thế kỷ thứ 9, họ đã sử dụng các hình cầu lượng
giác và các phép chiếu bản đồ để tính toán những con số này một cách
chính xác. Việc tính toán về cơ bản là chuyển tọa độ cực xích đạo của
Mecca thành tọa độ cực của chính Thánh địa đó so với một hệ thống có
kinh tuyến tham chiếu là vòng tròn lớn qua các vị trí nhất định và các
cực của Trái Đất, và có trục cực là đường thẳng qua các vị trí này và
điểm đối cực của nó. Thực tế thuật ngữ tọa độ cực được công nhận do
Gregorio Fontana đưa ra và được sử dụng bởi các nhà văn Italia thế kỷ
18. Thuật ngữ này xuất hiện trong tiếng Anh tại bản dịch Differential
and Integral Calculus của Lacroix do George Peacock dịch năm 1816.
Alexis Clairaut là người đầu tiên đề xuất tọa độ cực trong không gian
4


ba chiều, và Leonhard Euler là người đầu tiên thực sự phát triển các ý

tưởng đó. Trong hình học phẳng, góc là miền phẳng nằm giữa hai đường
thẳng cắt nhau. Hai đường thẳng được gọi là cạnh của góc. Giao điểm
của chúng gọi là đỉnh của góc. Khi hai đường thẳng song song với nhau,
không cắt nhau tại điểm nào (hoặc cũng có thể hiểu là cắt nhau tại vô
cực), góc giữa chúng bằng không và không có đỉnh xác định (hoặc đỉnh
ở vô cực). Trong không gian ba chiều, góc giữa hai mặt phẳng (còn được
gọi là góc khối) là phần không gian giới hạn bởi hai mặt phẳng đó, được
đo bằng góc giữa hai đường thẳng trên hai mặt phẳng cùng trực giao
với giao tuyến của hai mặt phẳng.
Với mong muốn có cái nhìn sâu rộng và tổng quan về góc và tọa độ
cực, được sự hướng dẫn của Tiến sỹ Nguyễn Hữu Thọ, tôi chọn đề tài
cho luận văn của mình là
" Về góc và tọa độ cực trong không gian định chuẩn thực".
2. Định hướng nghiên cứu
Trong luận văn này tôi tập trung vào hai nhiệm vụ sau: Khảo sát về
góc và tọa độ cực trong không gian định chuẩn và sự tồn tại của tọa độ
cực trong không gian định chuẩn.
3. Phương pháp nghiên cứu
Đọc và dịch các tài liệu liên quan, phân tích, so sánh, tổng hợp và
nghiên cứu lý thuyết.
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2
chương.
Chương 1. Trình bày một số kiến thức cơ bản về không gian định
chuẩn,khái niệm và một số tính chất cơ bản về góc,không gian góc.
Chương 2. Trình bày về góc Thy, sự tồn tại tọa độ cực trong không
gian định chuẩn.

5

Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
(Kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [1],
[2], [8] và [9])

1.1

Không gian Euclid

Định nghĩa 1.1.1. Cho V là một không gian véc tơ trên trường R. Một
tích vô hướng trên V là một ánh xạ được xác định: , : V × V → R,
(x, y) → x, y thỏa mãn các điều kiện sau:
i. x, x ≥ 0, với mọi x ∈ V ; x, x = 0 khi và chỉ khi x = 0.
ii. kx, y = k x, y với mọi x, y ∈ V, ∀k ∈ R.
iii. x + x, , y = x, y + x, , y , ∀x, x,, y ∈ V .
iv. x, y = y, x , ∀x, y ∈ V .
Định nghĩa 1.1.2. Không gian véc tơ V trên trường số thực R có trang
bị trên nó một tích vô hướng , được gọi là không gian véc tơ Euclid.
Kí hiệu: E = (V, , ) với tích vô hướng trên nó là , .
Ví dụ 1.1.3. Cho V = Rn , (Rn = {x = (x1, x2, ..., xn) |xi ∈ R}). Với x =
(x1, x2, ..., xn) , y = (y1, y2 , ..., yn) ∈ Rn ta định nghĩa x, y =

n

i=1

6

xiyi .

Đây là một tích vô hướng trên Rn và E = (Rn , , ) là một không gian
véc tơ Euclid.
Định lí 1.1.4. Cho E là không gian Euclid. Khi đó với ∀x, y ∈ E ta
luôn có
| x, y | ≤ x . y .
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính.
Định lí 1.1.5. Giả sử E là không gian véc tơ Euclid. Khi đó:
∀x, y ∈ E : x − y ≤ x − y ≤ x + y .

1.2

Không gian định chuẩn

(Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét không gian định chuẩn thực)
Định nghĩa 1.2.1. Cho X là không gian véc tơ trên trường số R và ánh
xạ . : X → R. Ta nói . là chuẩn trên X nếu nó thỏa mãn 4 tính
chất sau:
1. x ≥ 0, với mọi x ∈ X.
2. x = 0 ⇔ x = 0.
3. kx = |k| x , với mọi x ∈ X, k ∈ R.
4. x + y ≤ x + y , với mọi x, y ∈ X.
Nếu . là chuẩn trên X, ta nói (X, . ) là không gian véc tơ định chuẩn
(còn đọc tắt là không gian định chuẩn).
Ví dụ 1.2.2. Không gian R2 với các metric:
d1 (x, y) = |x1 − y1 | + |x2 − y2|
2

d2 (x, y) = (x1 − y1) + (x2 − y2 )

7

2

1
2


d∞ (x, y) = max {|x1 − y1| , |x2 − y2 |}
ở đây x = (x1, x2) và y = (y1 , y2), x, y ∈ R2 lần lượt sinh ra các chuẩn
tương ứng sau:
x−y
x−y
x−y

1

= |x1 − y1 | + |x2 − y2 |
2

2
∞

2

= (x1 − y1 ) + (x2 − y2 )

1
2

= max {|x1 − y1 | , |x2 − y2 |} .

Mệnh đề 1.2.3. Cho không gian định chuẩn (X, . ) trên trường số R
và các dãy {xn } , {yn } ⊂ X, {λn } ⊂ R sao cho lim xn = x, lim yn =
n→∞

y, lim λn = λ. Khi đó:

n→∞

n→∞

1. lim xn = x .
n→∞

2. lim (xn + yn ) = x + y,
n→∞

3. lim (λn xn ) = λx.
n→∞

Hệ quả 1.2.4. Các ánh xạ f, g : X → X xác định bởi
f (x) = x0 + x, g(x) = λ0x, (λ0 ∈ R\ {0})
là đồng phôi.
Mệnh đề 1.2.5.

1. Trên một không gian hữu hạn chiều, hai chuẩn

bất kì luôn tương đương nhau.
2. Trên không gian định chuẩn hữu hạn chiều, một tập là compact khi

và chỉ khi đóng và bị chặn.
3. Một không gian định chuẩn hữu hạn chiều luôn là không gian đầy
đủ. Do đó, một không gian véc tơ con hữu hạn chiều của một không
gian định chuẩn là tập đóng trong không gian đó.

8


Định lí 1.2.6. Nếu hình cầu đơn vị đóng
¯ (0, 1) := {x ∈ X : x ≤ 1}
B
của một không gian định chuẩn X là tập compact thì X là không gian
hữu hạn chiều.

1.3

Khái niệm và một số tính chất cơ bản về góc

Cho X = (X, .. | .. ) là không gian tích vô hướng thực. Ta đã biết
rằng: tích vô hướng luôn có thể được biểu diễn bởi chuẩn, tức là với mọi
→ →
−
→
−
−
→
x,→
y ∈ X, −
x = 0 =−
y ta có

1
−
→
−
x |→
y =
4
=

−
→
→
x +−
y
1
4

2

x y

−
→
− →
x −−
y

2

x

y
+
x
y

2

−

x
y
−
x
y

2

.

Hơn nữa với mọi x, y ∈ X, x = y = 0, góc Euclid cũng được định
nghĩa thông qua chuẩn.
→
−
→
x |−
y
−
→
→
−

∠ ( x , y ) := arccos →
−
→
−
x y
→
−
−
→
y
x
+
→
−
−
→
x
y

1
= arccos
4

2

−

→
−
−

→
y
x
−
→
−
x
y

2

.

Trong luận văn này chúng tôi sẽ xét tới không gian véc tơ tô pô X
được cho bởi ánh xạ liên tục
.. → R+ ∪ {0} ,
ánh xạ này là thuần nhất tuyệt đối, tức là
→
→
r−
x = |r| −
x với mọi x ∈ X; r ∈ R.
Ta sẽ gọi cặp (X, .. ) là không gian véc tơ với trọng thuần nhất.
→
−
Tập Z := {−
x ∈X | →
x = 0} ⊂ X gọi là tập không của không gian
(X, .. ).
9

Sau đây ta sẽ định nghĩa một tích vô hướng trong không gian này.
Cho ánh xạ
.. | ..

: X 2 → R,

♠

−
→
với mọi →
x,−
y ∈X
−
→
→
x |−
y
−
→
→
x |−
y
1 →
−
x
4

♠

♠

−
−
= 0, nếu →
x . →
y =0

=
−
→
y

−
→
→
−
x
y
+ →
→
−
−
x
y

−
→

→
−
x
y
−
→
−
y
x

2

−

2

−
→
, nếu →
x . −
y = 0.

Dễ thấy tích được định nghĩa như trên luôn có tính chất đối xứng tức
là
−
→
→
x |−
y

♠

−
→
= →
y |−
x ♠,

có tính nửa xác định dương:
−
→
→
x |−
x

♠

0,

và tính thuần nhất:
→
→
r.−
x |−
y

♠

−
→

= r. →
x |−
y ♠,

−
→
với mọi →
x,−
y ∈ X, r ∈ R.
Định nghĩa 1.3.1. Cho không gian véc tơ với trọng thuần nhất (X, .. )
−
→
→
→
→
→
với →
x,−
y ∈ X\Z sao cho | −
x |−
y |≤ −
x . −
y , ta định nghĩa một góc
♠

theo góc tọa độ của góc Euclid trong không gian tích tích vô hướng như
sau:
−
→
→

x |−
y ♠
∠T hy (x, y) := arccos −
→
→
x −
y
= arccos

1
4

y
x
+
x
y

10

2

−

y
x
−
x
y

2

.


Do vậy với không gian nửa chuẩn (X, .. ), bộ ba X, .. , .. | ..

♠

thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Bunjakowsky (CSB) tức là
→
→
∀−
x,−
y ∈ X ta có

−
→
→
x |−
y

♠

−
−
≤ →
x . →
y .

Do vậy, trong không gian véc tơ định chuẩn thực (X, .. ) góc ′′∠T hy ′′
→
−
→
−
được xác định với ∀−
x ,→
y = 0.
Đây là một loại góc mới có 8 tính chất rất đẹp, tương tự như các tính
chất đã biết như đối với góc Euclid thực trong không gian tích vô hướng
và tương ứng với góc Euclid trong trường hợp (X, .. ) là không gian
tích vô hướng.
Cho (X, .. ) là không gian định chuẩn thực, với dim(X) > 1 xét
→
−
→
−
−
x,→
y = 0 . Khi đó ta luôn có :
• ∠T hy là một toàn ánh liên tục : [X\ {0}]2 → [0, π] ;
→
−
• ∠T hy (−
x ,→
x ) = 0;
→
−
• ∠T hy (−−
x ,→

x ) = π;
→
−
→
−
• ∠T hy (−
x ,→
y ) = ∠T hy (−
y ,→
x );
→
→
→
→
• Với mọi r, s > 0 : ∠T hy (r−
x , s−
y ) = ∠T hy (−
x,−
y );
→
→
→
−
• ∠T hy (−−
x , −−
y ) = ∠T hy (−
x ,→
y );
→
−

→
→
• ∠T hy (−
x ,→
y ) + ∠T hy (−−
x,−
y ) = π.
Các tính chất trên đều dễ dàng chứng minh. Tuy nhiên góc ′′∠T hy ′′
có tính chất quan trọng dưới đây, và tính chất này không hề dễ chứng
minh, đó chính là nội dung của định lí sau :
−
−
Định lí 1.3.2. Cho trước hai véc tơ độc lập tuyến tính →
x ,→
y , khi đó
luôn tồn tại một phép đồng phôi giảm
Θ : R → (0; π)
11


→
→
→
t → ∠T hy (−
x,−
y + t−
x ).
Định lí này sẽ được chứng minh trong chương sau (trong mục "Sự tồn
tại của tọa độ cực"). Trong luận văn chúng ta sẽ chỉ xét góc ∠T hy trong
không gian Euclid hai chiều.

Cho X = (X, τ ) là không gian véc tơ tô pô thực tùy ý, tức là một
không gian véc tơ thực X được trang bị một tô pô τ với phép cộng hai
véc tơ và phép nhân một véc tơ với một số thực là liên tục. Hơn nữa,
.. xác định một phiếm hàm dương trên X:
.. : X → R+ ∪ {0} liên tục
Trong đó R+ ∪ {0} cho ta tô pô Euclid thông thường.
Chúng ta xét các điều kiện sau :
→
−
1. Với mọi r ∈ R và với mọi x ∈ X : r−
x = |r| →
x ; ("tính thuần
nhất tuyệt đối")
→
−
→
−
2. −
x = 0 nếu và chỉ nếu →
x = 0 ; ("tính xác định dương")
−
−
−
→
3. Với mọi →
x ,→
y ∈ X : →
x +−
y

−
→
−
x + →
y ; ("bất đẳng thức

tam giác")
−
−
−
→
4. Với mọi →
x ,→
y ∈X: →
x +−
y

2

−
→
+ →
x −−
y

2

=2

−

→
x

2

→
+ −
y

2

.

("đẳng thức hình bình hành")
Nếu .. thỏa mãn (1) thì ta gọi .. là một trọng thuần nhất trên X;
nếu .. thỏa mãn (1) và (3) thì ta gọi .. là một nửa chuẩn trên X;
nếu .. thỏa mãn (1), (2) và (3) thì ta gọi .. là một chuẩn trên X;
nếu .. thỏa mãn (1), (2), (3) và (4) thì ta gọi (X, .. ) là một không
gian tích vô hướng.
Và lúc này ta gọi (X, .. ) tương ứng là một không gian với trọng thuần
nhất; không gian véc tơ nửa chuẩn hay một không gian véc tơ định
chuẩn; hoặc không gian tích vô hướng.
12


Bây giờ xét ánh xạ liên tục .. | .. : X 2 → R. Ta xét một số điều kiện
sau :
−
→
→

→
−
→
(1) Với mọi r ∈ R và với mọi →
x,−
y ∈ X : r−
x |−
y =r →
x |−
y ; ("tính
thuần nhất")
−
−
−
→
−
→
(2) Với mọi →
x ,→
y ∈X: →
x |−
y = →
y |−
x ; ("tính đối xứng")
−
−
→
(3) Với mọi →
x ∈X: →
x |−

x

−
→
0 ; ("tính nửa xác định dương")

→
−
→
−
−
→
−
(4) →
x |−
x = 0 nếu và chỉ nếu →
x = 0 ; ("tính xác định")
−
−
−
−
→
→
−
→
−
→
(5) Với mọi →
x ,→
y ,→

z ∈X : →
x |−
y +−
z = →
x |−
y + →
x |−
z . ("tính
tuyến tính theo thành phần thứ hai")
Nếu .. | .. thỏa mãn (1), (2), (3), khi đó ta gọi .. | .. là tích thuần nhất
trong X;
Nếu .. | .. thỏa mãn (1), (2), (3), (4), (5) khi đó ta gọi .. | .. là một tích
vô hướng trên X.
Lúc này ta gọi cặp (X, .. | .. ) tương ứng là không gian véc tơ tích thuần
nhất hoặc không gian tích vô hướng.
Chú ý 1.3.3. Hai lần ta đều gọi là không gian tích vô hướng nhưng có
thể hiểu hai định nghĩa trên là như nhau, như ta đã biết: một chuẩn được
dựa trên một tích vô hướng nếu và chỉ nếu thỏa mãn đẳng thức hình bình
hành.
Xét .. là một phiếm hàm dương X. Khi đó ta định nghĩa hai tập
con đóng của X như sau :
S = S(X,

.. )

→
−
:= {−
x ∈X| →
x = 1}

là mặt cầu đơn vị của X.
B := B(X,

.. )

→
→
:= {−
x ∈X| −
x
13

1}


là hình cầu đơn vị của X.
Bây giờ giả sử rằng X là không gian véc tơ thực được trang bị một
phiếm hàm dương .. và một tích .. | .. . Khi đó bộ ba (X, .. , .. | .. )
thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy-Schwarz-Bunjakowsky khi và chi khi
−
−
−
→
với mọi →
x ,→
y ∈ X ta có bất đẳng thức | →
x |−
y |

−
→
−
x . →
y .

Giả sử (X, .. ) là không gian véc tơ với trọng thuần nhất. Với mỗi v
→
−
→
mà −
v = 0 ta xác định véc tơ
1 →
→
−
sign(−
v ) := →
v,
−
v
→
v ) là hình chiếu của v lên mặt cầu đơn vị S(X,
như vậy sign(−

.. ) .

Lấy A là một tập con tùy ý của không gian véc tơ tuyến tính thực X.
Xét A có tính chất:
−
−

với →
x ,→
y ∈ A và với 0

−
→
t < 1 ta luôn có t→
x + (1 − t)−
y ∈ A.

Tập A như vậy được gọi là tập lồi. Hình cầu đơn vị B trong không gian
nửa chuẩn cũng là một tập lồi vì nó thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.
Tập A lồi trong không gian véc tơ tô pô tuyến tính X = (X, τ ) được
gọi là lồi chặt nếu:
−
−
−
→
Với mọi →
x ,→
y ∈ A và với ∀0 < t < 1 ta luôn có t→
x + (1 − t)−
y ∈ int(A).
Xét A là một tập con của không gian véc tơ thực X, khi đó bao lồi của
tập A
n

−
−
ti →

xi |n ∈ N, ti ∈ [0, 1] , →
xi ∈ A, i = 1, n,

conv(A) := ∪
i=1

n

ti = 1 ,
i=1

là tập lồi nhỏ nhất chứa A. Lấy cặp (X, .. ) là không gian véc tơ có
trọng thuần nhất với hình cầu đơn vị B của X. Xét ..

|conv(B)

là phiếm

−
hàm Minkowsky của conv(B) trong X, nghĩa là với mọi ∀→
x ∈ X ta có:
−
→
x

conv(B)

= inf r > 0
14

1−
→
x ∈ conv(B)
r

.


→
Do đó −
x

conv(B)

−
→
x . Lưu ý rằng với không gian véc tơ với trọng

thuần nhất (X, .. ) cặp X, ..

|conv(B)

là một không gian véc tơ nửa

định chuẩn. Khi đó ta gọi .. hay cặp (X, .. ) tương ứng là khả chuẩn
nếu và chỉ nếu cặp X, ..

|conv(B)

là không gian véc tơ định chuẩn.

Đặt (X, ... ) là không gian véc tơ có trọng thuần nhất thực, tập con
→
→
Z của X, Z := {−
x ∈X| −
x = 0} được gọi là tập không của (X, .. ).

1.4

Không gian góc

Trong mặt phẳng, góc Euclid đã được nghiên cứu cách đây hơn 2000
năm. Với ý tưởng "khoảng cách (metric)" và "chuẩn" khi đó sẽ dẫn đến
các khái niệm về tính trực giao và góc trong không gian metric và góc
trong không gian định chuẩn.
Cho (X, .. | .. ) là một không gian tích vô hướng và .. là chuẩn
tương ứng với tích vô hướng đó được xác định bởi
−
→
x :=

−
→
→
x |−
x .

Khi đó bộ ba (X, .. , .. | .. ) thỏa mãn bất đẳng thức Cauchy→
−

→
−
Schwarz-Bunjakowsky (CSB), và với mọi −
x ,→
y = 0 ta đã biết góc
Euclid

→
−
→
x |−
y
−
→
→
−
∠Euclid ( x , y ) := arccos →
−
→
x −
y

với tất cả các tính chất đẹp đẽ.
Bây giờ ta sẽ tìm cách định nghĩa "Không gian góc". Tất nhiên nếu
chúng ta hiểu các góc như ta đã biết ở không gian tích vô hướng thì nó
hoàn toàn thỏa mãn các tính chất của góc đã biết. Nhưng để tránh điều
đó và muốn có thêm các tính chất khác so với góc Euclid, ta sẽ chỉ xét
không gian tích vô hướng như là "Không gian góc".
Định nghĩa 1.4.1. Cho (X, .. ) là không gian véc tơ trọng thuần
→

→
nhất thực, tập Z := {−
x ∈X| −
x = 0} là tập không. Ta gọi bộ ba
15


(X, .. , .. | .. ) là một "Không gian góc" nếu các điều kiện (An1) , (An2) ,
(An3) , (An4) , (An5) dưới đây được thỏa mãn.
• (An1) ∠X : [X\Z]2 → [0, π] là hàm liên tục.
−
→
→
• (An2) Với mọi →
x ∈ X\Z ta có ∠X (−
x,−
x ) = 0.
−
→
→
• (An3) Với mọi →
x ∈ X\Z ta có ∠X (−−
x,−
x ) = π.
−
−
→
→
→
−

• (An4) Với mọi →
x ,→
y ∈ X\Z ta có ∠X (−
x,−
y ) = ∠X (−
y ,→
x ).

• (An5) Với mọi x, y ∈ X\Z và với mọi r, s > 0 ta có
∠X (r.x, s.y) = ∠X (x, y) .
Hơn nữa, ta còn có thêm các tính chất sau : .

• (An6) Với mọi x, y ∈ X\Z ta có ∠X (−x, −y) = ∠X (x, y).

• (An7) Với mọi x, y ∈ X\Z ta có ∠X (x, y) + ∠X (−x, y) = π.

• (An8) Với mọi x, y, x + y ∈ X\Z ta có
→
∠X (x, x + y) + ∠X (x + −
y , y) = ∠X (x, y) .
• (An9) Với mọi x, y, x − y ∈ X\Z ta có
→
→
→
∠X (x, y) + ∠X (−x, y − −
x ) + ∠X (−−
y ,x− −
y ) = π.

16

−
−
−
→
• (An10) Với mọi →
x ,→
y ,→
x −−
y ∈ X\Z ta có
→
−
→
→
→
→
→
−
∠X (−−
y ,→
y −−
x ) + ∠X (−
x,−
x −−
y ) = ∠X (−−
x ,→
y ).
−
−

• (An11) Với hai véc tơ →
x ,→
y ∈ X\Z độc lập tuyến tính ta có một
phép đồng phôi giảm
Θ : R → (0, π)
→
−
→
t → ∠X (−
x ,→
y + t.−
x).
Chú ý 1.4.2. Ta có thể kết hợp các yếu tố để được các điều kiện ở trên.
Nếu ta xây dựng một góc ∠Y cho mỗi phần tử (Y, .. ) của một lớp K,
và nếu (X, .. ) |(X, .. ) là một không gian tích vô hướng ⊂ K, khi
đó với mỗi không gian tích vô hướng (Y, .. ) ta luôn có ∠Y = ∠Euclid.

17


Chương 2
Góc và tọa độ cực trong không gian
định chuẩn
(Kiến thức trong chương này được tham khảo chủ yếu từ các tài liệu [3],
[8] và [9].)
Trong luận văn, chúng ta chỉ xét không gian định chuẩn thực. Trước
hết chúng ta sẽ xét khái niệm của một loại góc (góc Thy) và các tính
chất cơ bản của nó (ngoài những tính chất đã nhắc tới ở cuối Chương
1).

2.1

Góc Thy

Cho không gian véc tơ thực X được trang bị một phiếm hàm dương ..
và một tích .. | .. .
−
→
−
→
Giả sử với hai phần tử →
x,−
y ∈ X, →
x . −
y = 0 và thỏa mãn
−
→
|→
x |−
y |

−
→
−
x . →
y ,

khi đó ta có thể định nghĩa góc giữa hai phần tử đó như sau
→
−

→
x |−
y
→
−
→
−
∠ ( x , y ) := arccos −
.
→
→
x . −
y
18


Nếu bộ ba (X, .. , .. | .. ) thỏa mãn bất đẳng thức CBS, khi đó ta có
→
−
→
→
thể xác định được rằng: với mọi −
x ,→
y ∈ X, −
x . −
y = 0 ta có
−
→
→
x |−

y
∈ [0, π]
∠ (x, y) := arccos −
→
→
x . −
y
Xét cặp (X, .. ) là không gian véc tơ với trọng thuần nhất, do đó
(X, .. ) thỏa mãn tính chất "thuần nhất tuyệt đối " (1). Ta định nghĩa
→
−
một tích .. | .. trên X. Với mọi −
x ,→
y ∈ X:
♠

−
→
→
x |−
y
−
→
→
x |−
y
1 →
−
x
4

♠

♠

−
−
= 0, nếu →
x . →
y =0

=
−
→
−
→
x
y
+ →
→
−
−
x
y

−
→
y

−

→
→
−
x
y
−
→
−
x
y

2

−

2

−
→
, nếu →
x . −
y = 0.

Chú ý rằng trong trường hợp (X, .. ) là không gian tích vô hướng,
định nghĩa này vẫn phù hợp với định nghĩa thông thường của tích vô
hướng. Ta có tích
.. | ..

♠

: X2 → R

và thỏa mãn (2) (tính chất đối xứng) cũng như (3) (tính chất nửa xác
→
−
→
→
→
x |−
x ♠ với mọi −
x ∈ X.
định dương). Rõ ràng −
x =
Ta sẽ chứng tỏ tính chất (1) (tính chất thuần nhất). Với số thực r > 0
ta có
→
→
r−
x |−
y

♠

−
→
=r →
x |−
y

♠

−
→
=− →
x |−
y

♠,

vì cặp (X, .. ) thỏa mãn (1).
Bây giờ ta chứng minh rằng
→
→
−−
x |−
y

♠.

−
−
Với − →
x . →
y = 0, ta có
−
→
−→
x |−
y

♠

1 −
−
=− →
x . →
y .
4

−
→
→
−
x
y
+ →
→
−
−
x
y
19

2

−

−
→
→

−
x
y
− →
→
−
−
x
y

2


và
−
→
−→
x |−
y

→
−
→
y
−−
x
+ →
→
−
−

−x
y

1
→
→
−−
x . −
y
♠=
4
1 →
−
−
x . →
y .
=
4

→
−
−
→
x
y
− →
→
−
−
y

x

2

−

2

−

→
−
→
y
−−
x
− →
→
−
−
−x
y

→
−
−
→
y
x
+ →

→
−
−
x
y

2

2

,

vì thế
→
→
−−
x |−
y

♠

−
→
=− →
x |−
y ♠.

Khi đó ta cũng dễ dàng suy ra, với mỗi số thực r < 0 ta cũng có:
→
→

r−
x |−
y

♠

−
→
=r →
x |−
y

♠,

và tính thuần nhất (1) được chứng minh và vì thế cặp (X, .. ) là một
không gian véc tơ tích thuần nhất.
Định nghĩa 2.1.1. Cho (X, .. ) là không gian trọng thuần nhất, với
→
−
→
→
→
→
mọi −
x ,→
y ∈ X\Z (nghĩa là −
x . −
y = 0) thỏa mãn −
x |−
y ♠

→
−
→
x . −
y , ta định nghĩa "góc Thy" là góc xác định bởi
→
−
→
x |−
y ♠
−
→
→
−
∠Thy ( x , y ) : = arccos →
−
→
x . −
y
→
−
→
−
x
y
1
.
+
= arccos
→

−
−
→
4
x
y

2

−

→
−
−
→
y
x
−
→
−
−
→
x
y

2

.

Ta có mệnh đề sau.

Mệnh đề 2.1.2.

• (a) Nếu (X, .. ) là một không gian véc tơ nửa

định chuẩn thực, khi đó bộ ba X, .. , .. | .. ♠ thỏa mãn bất đẳng
→
−
thức CSB, và do đó "Góc Thy" ∠T hy (−
x ,→
y ) được xác định với mọi
→
−
→
→
→
x,−
y mà −
x . −
y =0.
• (b) Nếu (X, .. ) là một không gian véc tơ nửa định chuẩn thực khi
đó bộ ba (X, .. , ∠T hy ) thỏa mãn các điều kiện (An1), (An2), (An3)
và , (An4), (An5) . Do đó (X, .. , ∠T hy ) là một không gian góc.
20


• (c) Nếu (X, .. ) là một không gian véc tơ nửa định chuẩn thực khi
đó bộ ba (X, .. , ∠T hy ) thỏa mãn (An6), (An7).
• (d) Nếu (X, ..|..

là không gian tích vô hướng, khi đó bộ ba

→
→
(X, .. , ..|.. IP ) thỏa mãn bất đẳng thức CBS và với mọi −
x,−
y
→
−
→
→
thì ∠T hy (−
x ,→
y ) = ∠Euclid (−
x,−
y ).
IP )

• (e) Nếu (X, .. ) là không gian véc tơ định chuẩn thực, khi đó bộ ba
(X, .. , ∠T hy ) nói chung không thỏa mãn (An8), (An9), (An10).
• (f ) Nếu (X, .. ) là không gian véc tơ nửa định chuẩn thực thì bộ ba
(X, .. , ∠T hy ) nói chung không thỏa mãn (An8), (An9), (An10), (An11).
Chứng minh. (a) Nếu (X, .. ) là không gian véc tơ nửa định chuẩn thực,
→
−
x
khi đó từ bất đẳng thức tam giác và −
= 1, ta có
→
x
−
→

|→
x |−
y ♠| =
→
−
−
→
y
x
+ →
→
−
−
x
y
→
−
x
1 →
−
−
→
x . y . max
+
→
−
4
x
1 −
→

→
→
. →
x . −
y .22 = −
x . −
y
4

1 −
−
x . →
y .
= . →
4

→
−
−
→
y
x
− →
− −
→
−
x
y
2
→

−
→
−
→
−
y
y
x
− −
, −
→
−
→
→
y
x
y
2

2

2

.

(b) Bằng cách sử dụng (a) và để ý rằng .. là thuần nhất, ta sẽ nhận
được kết quả (b).
(c) Điều kiện (An6) là hiển nhiên vì ..|..

♠

là thuần nhất, và điều

kiện (An7) dễ chứng minh nếu ta để ý rằng: arccos(r) + arccos(−r) = π.
(d) Nếu (X, ..|.. IP ) là không gian tích vô hướng với chuẩn tương ứng
→
−
→
−
→
x :=
x |−
x IP , khi đó do ..|.. ♠ = ..|.. IP nên ta có
→
−
→
→
∠T hy (−
x ,→
y ) = ∠Euclid (−
x,−
y ).

21


R2 , ..

(e) Ta phải lấy phản ví dụ. Gọi cặp

p

, với trọng Holder

.. p , p > 0, ta định nghĩa
(x1, x2)
Cặp R2 , ..

p

p

:=

p

|x1|p + |x2 |p .

là không gian véc tơ chuẩn nếu và chỉ nếu p

1. Với

p = 2 ta thường trang bị chuẩn Euclid thông thường. Do đó ta xét trường
hợp p = 1 khi đó ta dễ dàng tính toán.
→
−
Xét hai véc tơ −
x := (1, 0) , →
y := (0, 1), cả hai véc tơ đều có chuẩn
..

1

bằng 1. Khi đó ta có
→
−
∠T hy (−
x ,→
y)=
= arccos

−
→
→
−
x
y
+
→
−
−
→
x 1
y

1
4

2

−
1 1

−
→
→
−
x
y
−
→
−
−
→
x 1
y

2
1 1

1
(1, 0) + (0, 1) 1 2 − (1, 0) − (0, 1)
4
π
1
[4 − 4] = arccos (0) = = 900,
4
2

= arccos

= arccos

2
1

và
→
−
→
∠T hy (−
x ,→
x +−
y)=
= arccos

1
4

1
(1, 0) + (1, 1)
2

2

1
− (1, 0) − (1, 1)
2
1

2

1

1 2
2 − 12
4
3
= arccos
≈ 41, 410.
4

= arccos

3
→
→
−
Tính toán tương tự ta có ∠T hy (−
x +−
y ,→
y ) = arccos
. Do đó
4
→
−
→
→
→
→
→
→

∠T hy (−
x ,→
x +−
y ) + ∠T hy (−
x +−
y ,−
y ) = ∠T hy (−
x,−
y ),
điều này mâu thuẫn với (An8).
22


Điều kiện (An9) nghĩa là tổng ba góc trong một tam giác là π
Ta có thê lấy ví dụ tương tự không gian định chuẩn R2 , ..
→
−
tơ đơn vị −
x := (1, 0) , →
y := (0, 1) .Ta lại có

1

với véc

3
π
−
→
→

→
→
→
→
−
x,−
y −−
x ) = ∠T hy (−−
y ,−
x −−
y ) = arccos
,
∠T hy (−
x ,→
y ) = ; ∠T hy (−→
2
4
do đó
→
−
→
→
→
→
−
→
∠T hy (−
x ,→
y ) + ∠T hy (−−
x,−

y −−
x ) + ∠T hy (−−
y ,→
x −−
y ) < π,
nên điều kiện (An9) là không thỏa mãn.
Đối với điều kiện (An10), ta sử dụng không gian tương tự cùng với
→
−
→
x := (1, 0) và −
y := (0, 1). Ta có
π
3
→
→
→
→
→
→
→
→
∠T hy (−−
x,−
y ) = ; ∠T hy (−
y ,−
y −−
x ) = ∠T hy (−
x,−
x −−

y ) = arccos
,
2
4
nên điều kiện (An10) cũng không thỏa mãn.
(f ) Ta xét ví dụ như phần (e) để chứng minh rằng các điều kiện
(An8), (An9), (An10) nói chung không thỏa mãn. Hoặc có thể thay đổi
để nó để không có không gian định chuẩn nào khác. Xét cặp R3 , ..

ˆ1

với
..

ˆ1 (x, y, z)

:= |x| + |y|.

Rõ ràng đây là một không gian nửa định chuẩn, nhưng không là một
không gian định chuẩn vì không thỏa mãn các điều kiện (An8), (An9),
(An10). Chúng ta xét ví dụ sau: cho (X, .. ) := R2 , ..

là một không

gian nửa định chuẩn với nửa chuẩn được định nghĩa như sau:
(x1, x2) := |x1| .
Từ đó Z = {(0, x2) |x2 ∈ R} là tập không. Ta chỉ có thể nhận được
→
−
→

−
hai góc, với mọi −
x ,→
y ∈ R2 \Z sao cho ∠T hy (−
x ,→
y ) ∈ {0, π}. Vậy nên
→
−
(An 11) không thỏa mãn: lấy −
x := (1, 0) ; →
y := (1, 1), khi đó với mọi
→
−
→
t ∈ R\ {−1} ta thấy với t > −1, thì ∠T hy (−
x ,→
y + t−
x ) = 0, và với
23