DE THI THU HD

( x − 3x + 4 )
Câu 1: Tính lim
x →∞
4

2

A. 4.

ĐỀ THI THỬ 26.5.2018
B. 1. C. −∞. D. +∞.

Câu 2: Cho hai số phức z1 = 1 + 3i, z2 = −2 − 5i. Phần ảo của số phức z1 + z2 bằng
A. −1.
B. 8.
C. −2.
D. 3.
Câu 3: Cho tập A gồm 6 phần tử. Số tập con (khác rỗng) của A là
2
A. 26.
B. C6 .
C. 26 + 1.
D. 26 − 1.
Câu 4: Một vật chuyển động theo phương trình v = 5t + 10(m / s ). Quãng đường vật đi được kể từ thời điểm t = 0
(giây) đến thời điểm t = 2 (giây) là A. 30m.
B. 17,5m.
C. 10m.
D. 50m.
2
Câu 5: Họ các nguyên hàm của hàm số f ( x ) = x + cos x là
x3

− sin x + C.
3
Câu 6: Cho hàm số f (x) có bảng biến thiên như hình vẽ sau
A. 2 x − sin x + C .

B. 3 x 3 + sin x + C.

C.

Hàm số f (x) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
A. (−∞;3).
B. ( −1;3) .
C. ( 0; 2 ) .

D.

x3
+ sin x + C.
3

D. ( −2;0 ) .

x = 1 + t

Câu 7: Trong không gian Oxyz, một véctơ chỉ phương của đường thẳng d :  y = 2 − 3t là
 z = −1 + t

uu
r
uu

r
uu
r
uu
r
A. u1 (1; 2; −1).
B. u2 (1; 2;1).
C. u3 (1;3;1).
D. u4 (1; −3;1).
1
Câu 8: Cho a = log 2 5. Giá trị biểu thức 2a bằng A. 5. B. 25. C. . D. 32.
5
Câu 9: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8. Diện tích xung quanh của hình
trụ bằng
A. 16π .
B. 4π .
C. 8π .
D. 12π .
Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt phẳng qua ba điểm M (−1;0;0), N (0; 2;0), P(0;0; −3) là
x y z
x y z
x y z
x y z
+ +
= −1. B. + + = −1.
+ +
= 1. D. + + = 1.
A.
C.
−1 2 −3

1 2 3
−1 2 −3
1 2 3
1
Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình 2 x > 2 là: A. (−∞;1). B. ( 0;1) .
C. (−∞;1) \ { 0} .
D. ( 1; +∞ ) .
Câu 12: Cho hàm số f (x) đồng biến trên đoạn [−3;1] thoả mãn f (−3) = 1, f (0) = 2, f (1) = 3. Mệnh đề nào dưới đây
đúng? A. 1 < f (−2) < 2.
B. 2 < f (−2) < 3.
C. f ( −2) < 1.
D. f ( −2) > 3.
Câu 13: Đường cong ở hình vẽ bên là của đồ thị hàm số nào dưới đây ?
1 4
1 4
2
2
A. y = x + 2 x − 1. B. y = − x + 2 x − 1.
2
2
1 4
1 4
2
2
C. y = x − 2 x − 1. D. y = x − 2 x + 1.
2
2
Câu 14: Thể tích của khối hộp đứng có diện tích đáy bằng S, độ dài cạnh bên bằng
h
Sh

Sh
Sh
. C.
.
.
là
A. Sh.
B.
D.
3
6
2
1
1
dx bằng A. tan1.
Câu 15: Tích phân ∫
B. − cot1.
C. − tan1.
D. cot1.
2
0 cos x
Câu 16: Đồ thị của hàm số nào dưới đây có tiệm cận đứng ?
1
1
x
1
.
y=
.
y=

.
y=
.
A. y =
B.
C.
D.
x + x2 + 1
x2 + 1 − x
x2 + 1
x + 1 − x2 + 1
Câu 17: Trong không gian Oxyz, diện tích của mặt cầu ( S ) : x 2 + y 2 + z 2 = 1 là
4π
8π
.
.
A. 4π .
B.
C. 8π .
D.
3
3
Trang 1


Câu 18: Với a là một số thực âm, số điểm cực trị của hàm số y = x 3 + x 2 + ax + 1 là
A. 2.
B. 0.
C. 1.
D. 3.

Câu 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, phương trình mặt phẳng qua A(2;1;3) và vuông góc với đường thẳng
x y z
Δ : = = là
1 2 3
A. x + 2 y + 3 z − 14 = 0.
B. 2 x + y + 3 z − 13 = 0. C. x + 2 y + 3 z − 13 = 0. D. 2 x + y + 3 z − 14 = 0.
Câu 20: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; −2;3) và hai mặt phẳng
( P ) : x + y + z + 1 = 0;(Q) : x − y + z − 2 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng qua A, song
song với (P) và (Q).
 x = 1 + 2t
 x = −1 + t
x = 1
x = 1 + t




.
A.  y = −2 .
B.  y = 2
C.  y = −2 .
D.  y = −2 .
 z = 3 + 2t
 y = −3 − t
 z = 3 − 2t
z = 3 − t





Câu 21: Cho hình lập phương ABCD. A′B ′C ′D ′ cạnh bằng a. Khoảng cách giữa hai
a 2
B. a.
C. a 2.
D. a 3.
.
2
Câu 22: Cho tập A gồm 6 phần tử. Chọn ngẫu nhiên một tập con của A. Xác suất để chọn được một tập con gồm
15
57
15
57
.
.
.
.
đúng 2 phần tử của A bằng
A.
B.
C.
D.
63
64
64
63
Câu 23: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có tất cả các cạnh bằng a. Góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng
(ABCD) bằng
đường thẳng BD và A′D ′ bằng

A. 45°.

A.

C. 30°.
D. 90°.
1
1
1
+
+ ... +
= M. Chọn khẳng định đúng trong các
Câu 24: Cho x > 0, x ≠ 1 thỏa mãn biểu thức
log 2 x log 3 x
log 2017 x
khẳng định sau:

B. 60°.

A. x = 2017

2017!
M

B. x = 2017 M C. x =

2017!
D. x M = 2017!
M

Câu 25: Cho ba số dương a,b,c có tổng bằng 81 và theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Giá trị biểu thức

P = 3log 3 (ab + bc + ca) − log 3 abc bằng
A. 4. B. 9. C. 3. D. 12.
244
244
28
2
. C.
.
.
Câu 26: Tổng các nghiệm của phương trình log 3 (3 x) + log 3 (9 x) = 7 là: A. 84. B.
D.
3
81
81
a
a a
n
2
n
Câu 27: Cho (2 x + 1) = a0 + a1 x + a2 x + ... + an x thỏa mãn a0 + 1 + 22 + ... + nn = 4096. Tìm a5 .
2 2
2
5 5
7
5
5 5
7
5
A. 2 C10 .
B. 2 C12 .

C. 2 C12 .
D. 2 C10 .
Câu 28: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A′B ′C ′ có tất cả các cạnh bằng a. Côsin góc giữa hai đường thẳng AB′
và BC′ bằng

Trang 2


1
3
2
C. .
D. .
.
2
4
4
Câu 29: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị hàm số y = f ' ( x ) như hình bên. Biết f ( a ) > 0, hỏi đồ
A.

1
.
4

B.

thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại nhiều nhất bao nhiêu điểm?
B. 3 điểm.

A. 4 điểm.

C. 1 điểm. D. 2 điểm.

Câu 30: Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số y = − x 4 + mx 2 nghịch biến trên khoảng (2; +∞).
A. 7.
B. 8.
C. 4.
D. 3.
2
Câu 31: Cho số phức z = m + 3 + (m − 1)i, với m là tham số thực thay đổi. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z
thuộc đường cong (C). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và trục hoành.
4
8
2
1
A. .
B. .
C. .
D. .
3
3
3
3
e
ln x − 1
1 e+a
dx = ln 
Câu 32: Cho ∫ 2
÷ với a,b,c là các số nguyên dương. Giá trị biểu thức a + b + c bằng
2

c  e−b 
1 ln x − x
A. 6.
B. 9.
C. 10.
D. 4.
Câu 33: Cho tứ diện ABCD đều cạnh 3a. Tính diện tích xung quanh của hình nón có đỉnh là A, đường tròn đáy là
đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
9π a 2
3 2π a 2
3 3π a 2
2
A. 3 3π a .
B.
C.
D.
.
.
.
4
2
2
2
2
Câu 34: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 x + 2 mx + 2 − 22 x + 4 mx + m + 2 = x 2 + 2mx + m có
nghiệm thực.
A. (−∞;0] ∪ [4; +∞). B. (0; 4).
C. (−∞;0] ∪ [1; +∞). D. (0;1).
Câu 35: Có bao nhiêu giá trị của m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z = 1 và z − 3 + i = m .
A. 0

D. 3
f ( x) ≤ 3.
Câu 36: Cho hàm số f ( x) = x − 3x + m . Có bao nhiêu số nguyên m để min
[1;3]
B. 1

3

C. 2

2

A. 4.
B. 10.
C. 6.
Câu 37: Cho hàm số f (x) có đồ thị của hàm số f ′( x ) như hình vẽ bên

D. 11.

Có bao nhiêu số nguyên m > −10 để hàm số y = f ( x + m) nghịch biến trên khoảng (0; 2)?
A. 2.
B. 7.
C. 5.
D. 9.
1
1
, f (1) = ln . Biết
Câu 38: Cho hàm số f (x) xác định trên (−∞; −1) ∪ (0; +∞) và f ′( x ) = 2
2

x +x
2

∫( x

2

+ 1) f ( x )dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a,b,c là các số hữu tỉ. Giá trị biểu thức a + b + c bằng

1

A.

27
.
2

B.

1
.
6

C.

7
.
6

3

D. − .
2

 z1 + z2 + z3 = 0

2
2
2
Câu 39: Cho 3 số phức z1; z2 ; z3 thỏa 
2 2 . Tính A = z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1
 z1 = z2 = z3 =
3

A.

2 2
3

B. 2 2

C.

8
3

D.

8 3
3
Trang 3

Câu 40: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; −2;3), B (−3;0;1) và đường thẳng d :

x − 2 y +1 z +1
=
=
. Điểm
1
2
−2

M (a; b; c ) thuộc d sao cho MA2 + MB 2 nhỏ nhất. Giá trị biểu thức a + b + c bằng
A. −1.
B. 2.
C. 1.
D. −2.
f ( 1) f ( 3) ... f ( 2n − 1)
2
Câu 41: Cho f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + 1 ∀n ∈ N* và đặt un =
. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao
f ( 2 ) f ( 4 ) ... f ( 2n )
10239
cho log 2 un + un < −
?
A. n = 23
B. n = 29
C. n = 33
D. n = 21
1024

2
3
Câu 42: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn điều kiện f ( 1 + 2 x ) = x − f ( 1 − x ) . Lập phương trình tiếp tuyến với đồ
thị hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = 1?
1
6
1
6
1
6
1
6
A. y = − x −
B. y = − x +
C. y = x −
D. y = x +
7
7
7
7
7
7
7
7
3
2
Câu 43: Cho hàm số y = x + (m + 3) x − (2m + 9) x + m + 6 có đồ thị (C). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m
để (C) có hai điểm cực trị và khoảng cách từ gốc toạ độ O đến đường thẳng nối hai điểm cực trị là lớn nhất.
3 2
3 2

A. m = −6 ±
B. m = −3 ±
C. m = −3 ± 6 2.
D. m = −6 ± 6 2.
.
.
2
2
Câu 44: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3x 2 + 1 có đồ thị ( C ) . Xét điểm A1 có hoành độ x1 = 1 thuộc ( C ) . Tiếp tuyến của

( C)

tại A1 cắt ( C ) tại điểm thứ hai A2 ≠ A1 có hoành độ x2 . Tiếp tuyến của ( C ) tại A2 cắt ( C ) tại điểm thứ hai

A3 ≠ A2 có hoành độ x3 . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của ( C ) tại An −1 cắt ( C ) tại điểm thứ hai An ≠ An −1 có
100
hoành độ xn . Tìm giá trị nhỏ nhất của n để xn > 5 .

A. 235

B. 234

C. 118

D. 117

2
Câu 45: Cho số phức z thoả mãn điều kiện z + z + z − z = 2 z . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = z − 3 − 2i .

A. 19 + 37 .

B.

C. 2 + 5.

37 + 19 .

D. 5 + 2.

Câu 46: Cho một cấp số cộng ( un ) có u1 = 1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên 24850 . Tính giá trị của biểu thức
1
1
1
1
+
+ ... +
+
?
u1u2 u2u3
u48u49 u49u50

4
9
49
C. S =
D. S =
23
246
246
Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln ( m + 2sin x + ln ( m + 3sin x ) ) = sin x có nghiệm?

A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
3
2
Câu 48: Xét các số thực với a ≠ 0, b > 0 sao cho phương trình ax − x + b = 0 có ít nhất hai nghiệm thực. Giá trị lớn
4
15
27
4
nhất của biểu thức a 2b bằng:
A.
B.
C.
D.
27
4
4
15
S=

A. S = 123

B. S =

2
Câu 49: Cho hai số thực a > 1, b > 1 . Biết phương trình a xb x −1 = 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Tìm giá trị nhỏ

2

 xx 
nhất của biểu thức S =  1 2 ÷ − 4 ( x1 + x2 ) .
 x1 + x2 

A. 4

B. 3 3 2

C. 3 3 4

D.

3

4

Câu 50: Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a.4 x − b.2 x + 50 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và
phương trình 9 x − b.3x + 50a = 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x3 + x4 > x1 + x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức S = 3a + 2b .
A. 49
B. 51
C. 78
D. 81

Trang 4


Câu 20: Đáp án D
Dựa vào đồ thị hàm số f ' ( x ) ta có BBT của hàm số f ( x ) có dạng như hình vẽ

x

−∞

y'

a
0

-

y

+

0

-

f ( b)

f ( a)

+∞

c

b

0

+

f ( c)

Do f ( a ) > 0 nên đồ thị hàm số y = f ( x ) cắt trục hoành tại nhiều nhất 2 điểm khi f ( c ) < 0.
Câu 25: Đáp án D
Có ac = b 2 và
log 3 abc = log 3 b3 = 3log 3 b
.

2
2
log
ab
+
bc
+
ca
=
log
b
(
a
+
c
)
+
b
=

log
b
(81
−
b
)
+
b
=
log
81
b
=
4
+
log
b
(
)
(
)
(
)
3
3
3
3
3

Vậy P = 3 ( 4 + log 3 b ) − 3log 3 b = 12.

Câu 26: Đáp án C
Phương trình tương đương với
x = 3
 log 3 x = 1
⇔
.
( 1 + log 3 x ) + ( 2 + log 3 x ) = 7 ⇔ log x + 3log 3 x − 4 = 0 ⇔ 
x = 1
log
x
=
−
4
 3
81

Câu 27: Đáp án C
2

2
3

1
vào hai vế đẳng thức ta có:
2
a
a a
2n = a0 + 1 + 22 + ... + nn = 4096 ⇔ n = 12 ⇒ a5 = C125 25.
2 2
2

Câu 28: Đáp án A
Thay x =

uuur uuuu
r uuur uuuu
r uuur
AB′2 + AC ′2 − B′C ′2 AB′2 + AB 2 − BB′2 a 2
′
′
′
′
Có AB .BC = AB AC − AB =
−
= .
2
2
2
2
uuur uuuu
r
a
′.BC ′
AB
u
u
u
r
u
u
u

u
r
1
Do đó cos AB′, BC ′ = cos AB′, BC ′ =
2
=
= .
(
)
AB′.BC ′
2a. 2a 4

(

)

(

)

Câu 35: Có bao nhiêu giá trị của m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn z.z = 1 và z − 3 + i = m .
A. 0

B. 1
C. 2
Lời giải:
Gọi z = x + yi , ( x, y ∈ R ) ,ta có hệ:
2
2


 x + y = 1(1)

2
2
2

( x − 3) + ( y + 1) = m ( m ≥ 0)
Ta thấy m = 0 ⇒ z = 3 − i không thỏa mãn z.z = 1 suy ra m > 0 . Xét trong
hệ tọa độ Oxy tập hợp các điểm thỏa mãn (1) là đường tròn (C1 ) có
O (0;0), R1 = 1 , tập hợp các điểm thỏa mãn (2) là đường tròn (C2 ) tâm
I ( 3; −1), R2 = m ,ta thấy OI = 2 > R1 suy ra I nằm ngoài (C1 ) . Để có duy

D. 3

nhất số phức z thì hệ có nghiệm duy nhất khi đó tương đương với (C1 ), (C2 )
tiếp xúc ngoài và tiếp xúc trong, điều điều này xảy ra khi
OI = R1 + R2 ⇔ m + 1 = 2 ⇔ m = 1 hoặc R2 = R1 + OI ⇔ m = 1 + 2 = 3 .
Câu 36: Đáp án D
Với u = x3 − 3 x 2 + m có u ′ = 3x 2 − 6 x; u ′ = 0 ⇔ x = 0; x = 2
Trang 5


 min u = min { u ( 1) ; u ( 3) ; u ( 0 ) ; u ( 2 ) } = min { m − 2; m; m − 4} = m − 4
 [ 1;3]
Do đó 
u = max { u ( 1) ; u ( 3) ; u ( 0 ) ; u ( 2 ) } = max { m − 2; m; m − 4} = m
 max
 [ 1;3]
* Nếu m − 4 ≥ 0 ⇔ m ≥ 4 ⇒ min f ( x ) = m − 4 ≤ 3 ⇔ m ≤ 7 ⇒ m ∈ { 4,5, 6, 7} .
[ 1;3]

f ( x ) = −m ≤ 3 ⇔ −3 ≤ m ⇒ m ∈ { −3, −2, −1, 0} .
* Nếu m ≤ 0 ⇒ min
[ 1;3]

u < 0; max u > 0 ⇒ min f ( x ) = 0 (thỏa mãn).
* Nếu 0 < m < 4 khi đó min
[ 1;3]
[ 1;3]
[ 1;3]

Vậy m ∈ { −3,..., 7} có tất cả 11 số nguyên thỏa mãn. Chọn đáp án D.
Chú ý: Đối với hàm số trị tuyệt đối f ( x ) = u . Gọi M = max u; m = min u . Khi đó
f ( x ) = max { M , m }
* max
[ a ;b ]

[ a ;b ]

[ a ;b ]

f ( x ) = m.
* m ≥ 0 ⇒ min
[ a ;b ]

f ( x ) = −M .
* M ≤ 0 ⇒ min
[ a ;b ]

f ( x ) = 0.

* m.M < 0 ⇒ min
[ a ;b]
Câu 37: Đáp án D
 x + m ≤ −1
 x ≤ −m − 1
⇔
.
Có y ′ = f ′ ( x + m ) ≤ 0 ⇔ 
1 ≤ x + m ≤ 4
 −m + 1 ≤ x ≤ −m + 4

Vậy hàm số f ( x + m ) nghịch biến trên mỗi khoảng ( −∞; −m − 1) ; ( −m + 1; −m + 4 )
Vậy theo yêu cầu bài toán có điều kiện
−m − 1 ≥ 2
( 0; 2 ) ⊂ ( −∞; −m − 1)
 m ≤ −3

⇔  −m + 1 ≤ 0 ⇔ 
.

1≤ m ≤ 2


( 0; 2 ) ⊂ ( −m + 1; −m + 4 )
  2 ≤ −m + 4
Vậy m ∈ { −9,..., −3;1; 2} có tất cả 9 số nguyên thỏa mãn.
Câu 38: Đáp án C
1
 x 
dx = ln 

÷+ C
x +x
 x +1
1
 x 
Do f ( 1) = ln ⇒ C = 0 ⇒ f ( x ) = ln 
÷.
2
 x +1 
2
2
 x 
2
2
Vậy I = ∫ ( x + 1) f ( x ) dx = ∫ ( x + 1) ln 
÷dx
 x +1
1
1
1


 x 
du = 2
dx
u
=
ln



÷


x +x
x
+
1


⇒
.
Đặt 
3
 dv = ( x 2 + 1) dx v = x + x


3
Có f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) dx = ∫

2

2

2
2
 x3
  x 
 x3
 1
14 2 4 1

x2 + 3
−
+
x
.
dx
=
ln
−
ln
−
dx
Vậy I =  + x ÷ln 
÷ 2
÷ ∫
3 3 3 2 ∫1 3 ( x + 1)
 3
  x +1  1 1  3
 x +x
2

2

x2 + 3
1 
4 
1
dx = ∫  x − 1 +
Trong đó K = ∫
÷dx = ( 1 + 8ln 3 − 8ln 2 ) .

3 x + 1)
31
x +1 
6
1 (
2

14  2  4  1  1
22
1
ln  ÷− ln  ÷− ( 1 + 8ln 3 − 8ln 2 ) = −6 ln 3 + ln 2 − .
3 3 3 2 6
3
6
1
22 1 7
Vậy a + b + c = −6 + − = .
3 6 6
Do đó

∫( x

2

+ 1) f ( x ) dx =

Trang 6


 z1 + z2 + z3 = 0


2
2
2
Câu 39: Cho 3 số phức z1; z2 ; z3 thỏa 
2 2 . Tính A = z1 + z2 + z2 + z3 + z3 + z1
 z1 = z2 = z3 =
3

8
2 2
8 3
A.
B. 2 2
C.
D.
3
3
3
 z1 + z2 = − z3
8
2
2
2

Lời giải: Ta có:  z1 + z3 = − z2 ⇒ A = − z1 + − z2 + − z3 = . Chọn C.
3
z + z = −z
1
 2 3

f ( 1) f ( 3) ... f ( 2n − 1)
2
Câu 41: Cho f ( n ) = ( n 2 + n + 1) + 1 ∀n ∈ N* và đặt un =
. Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất
f ( 2 ) f ( 4 ) ... f ( 2n )
sao cho log 2 un + un < −
A. n = 23

10239
?
1024

(

B. n = 29

C. n = 33

)
(
) ( ( n + 1) + 1) ∀n ∈ N .
( 1 + 1) ( 2 + 1) ( 3 + 1) ( 4 + 1) ... ( ( 2n − 1) + 1) ( ( 2n )
=
( 2 + 1) ( 3 + 1) ( 4 + 1) ( 5 + 1) ... ( ( 2n ) + 1) ( ( 2n + 1)

2
2
Lời giải: Ta có: f ( n ) = n + n + 1 + 1 = n + 1

Đến đây ta dễ dàng có: un

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

D. n = 21

*

2

2

2

2

)=
+ 1) 2n

+1

2

1
.
+ 2n + 1

10239
1
1
1
= log 2
+
⇒ un <
⇒ n ≥ 23 . Chọn A.
1024
1024 1024
1024
2
3
Câu 42: Cho hàm số y = f ( x ) thỏa mãn điều kiện f ( 1 + 2 x ) = x − f ( 1 − x ) . Lập phương trình tiếp tuyến với đồ thị

Ta có: log 2 un + un < −

hàm số y = f ( x ) tại điểm có hoành độ x = 1?
1
6
1
6
1
6
1
6
A. y = − x −
B. y = − x +
C. y = x −
D. y = x +
7
7
7
7
7
7
7
7
2
3
2
Lời giải: Ta xét x = 0 ta được f ( 1) = − f ( 1) ⇒ f ( 1) ( f ( 1) + 1) = 0 ⇒ f ( 1) = 0 ∨ f ( 1) = −1 .

2
2
Lại có 4 f ( 1 + 2 x ) f ′ ( 1 + 2 x ) = 1 + 3 f ( 1 − x ) f ′ ( 1 − x ) thay x = 0 ta có 4 f ( 1) f ′ ( 1) = 1 + 3 f ( 1) f ′ ( 1) .

Trường hợp 1: Nếu f ( 1) = 0 thay vào ta thấy 0 = 1 vô lý.

1
Trường hợp 2: Nếu f ( 1) = −1 thì thay vào −4 f ′ ( 1) = 1 + 3 f ′ ( 1) ⇒ f ′ ( 1) = − .
7
1
1
6
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = − ( x − 1) − 1 = − x − .
7
7
7

Câu 44: Cho hàm số y = 2 x 3 − 3 x 2 + 1 có đồ thị ( C ) . Xét điểm A1 có hoành độ x1 = 1 thuộc ( C ) . Tiếp tuyến của ( C )
tại A1 cắt ( C ) tại điểm thứ hai A2 ≠ A1 có hoành độ x2 . Tiếp tuyến của ( C ) tại A2 cắt ( C ) tại điểm thứ hai A3 ≠ A2
có hoành độ x3 . Cứ tiếp tục như thế, tiếp tuyến của ( C ) tại An −1 cắt ( C ) tại điểm thứ hai An ≠ An −1 có hoành độ xn .
100
Tìm giá trị nhỏ nhất của n để xn > 5 .

A. 235
B. 234
C. 118
D. 117
Lời giải: Ta có: xk = a ⇒ Tiếp tuyến tại Ak có phương trình hoành độ giao điểm:
2 x 3 − 3x 2 + 1 = 2a 3 − 3a 2 + 1 + ( 6a 2 − 6a ) ( x − a ) ⇔ ( x − a )

2

( 2 x + 4a − 3) = 0 ⇔ xk +1 = −2 xk +

3
2

1

α
=
−
 x1 = −2α + β = 1


4

1⇒
1
 x2 = 4α + β = − 2  β =

2
1
1
1
1
n
100
k
100
Do đó xn = − . ( −2 ) + > 5 . Chọn n = 2k + 1 ⇒ − .4 . ( −2 ) + > 5 ⇔ 4k + 1 > 2.5100
4
2
4

2
 x1 = 1

n
Vậy 
3 ⇒ xn = α . ( −2 ) + β . Xét
 xn +1 = −2 xn + 2

Trang 7


100
⇔ 4k > 2.5100 − 1 ⇔ k > log 4 ( 2.5 − 1) ⇒ Chọn k = 117 ⇒ n = 235 .

Câu 45: Đáp án A
Có z = a + bi ⇒ 2a + 2b = 2
Khi đó P =

( a − 3)

2

(

a 2 + b2

)

2

⇔ a2 + b2 = a + b .

+ ( b − 2 ) . Ta thấy rằng P sẽ đạt giá trị lớn nhất khi a, b cùng âm.
2

2

2

1 
1 1

Khi đó điều kiện là a + b = −a − b ⇔  a + ÷ +  b + ÷ = và
2 
2
2

2

2

1 
1

P = a 2 + b 2 − 6a − 4b + 13 = −7a − 5b + 13 = −7  a + ÷− 5  b + ÷+ 19
2 
2

≤

2
2

1 
1 
2
2
7
+
5
a
+
+
b
+
(
)   2 ÷  2 ÷ ÷÷ + 19 =



(7

2

1
+ 52 )  ÷ + 19 = 19 + 37
2

a 2 + b 2 = −a − b


a + 1 b + 1

2=
2 ⇔ ( a; b ) =  − 37 + 7 37 ; − 37 + 5 37 
Dấu bằng đạt tại 

÷
÷
−5
74
74


 −7
 a < 0, b < 0


Câu 46: Cho một cấp số cộng ( un ) có u1 = 1 và tổng của 100 số hạng đầu tiên 24850 . Tính giá trị của biểu thức
S=

1
1
1
1
+
+ ... +
+
?
u1u2 u2u3
u48u49 u49u50

A. S = 123

Lời giải: Ta có: u100 + u1 = 497 ⇒ u100
Lại có: 5S =

4
9
C. S =
23
246
= 496 = 1 + 99d ⇒ d = 5 ⇒ u50 = 246 .

B. S =

D. S =

49
246

u −u
u −u
u2 − u1 u3 − u2
1
1
1
49
+
+ ... + 49 48 + 50 49 = −
= 1−

⇒ S=
u1u2
u2u3
u48u49
u49u50
u1 u50
246
246

Câu 47: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình ln ( m + 2sin x + ln ( m + 3sin x ) ) = sin x có nghiệm?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
Lời giải:  m + 2sin x + ln ( m + 3sin x )  + ln  m + 2sin x + ln ( m + 3sin x )  = ( m + 3sin x ) + ln ( m + 3sin x )
⇔ a + ln a = b + ln b ⇔ a = b ⇔ m + 2sin x + ln ( m + 3sin x ) = m + 3sin x ⇔ ln ( m + 3sin x ) = sin x

t
⇔ m + 3sin x = esin x ⇔ m = esin x − 3sin x . Xét hàm số f ( t ) = e − 3t với t ∈ [ −1;1] .
1

sin x
1
 max e − 3sin x = f ( −1) = + 3
t
e
⇒ e − 3 ≤ m ≤ + 3 . Chọn B.
Vì f ′ ( t ) = e − 3 < 0 ∀t ∈ [ −1;1] nên: 
e
 min esin x − 3sin x = f ( 1) = e − 3



Câu 48: Xét các số thực với a ≠ 0, b > 0 sao cho phương trình ax 3 − x 2 + b = 0 có ít nhất hai nghiệm thực. Giá trị lớn
nhất của biểu thức a 2b bằng:
4
15
27
4
A.
B.
C.
D.
27
4
4
15
2
Lời giải: y ' = 0 ⇔ x = 0 và x =
. Từ đây ta có tọa độ 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là A ( 0; b ) và
3a
4 
4 
 2

B  ;b −
y A . yB ≤ 0 ⇔ b  b −
÷≤ 0
2 ÷. Để có ít nhất 2 giao điểm với trục hoành thì
27 a 
27 a 2 

 3a


Trang 8


⇔ ( 27 a 2b − 4 ) b ≤ 0 ⇔ a 2b ≤

4
(Vì b > 0 ). Chọn A.
27

2
Câu 49: Cho hai số thực a > 1, b > 1 . Biết phương trình a xb x −1 = 1 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 . Tìm giá trị nhỏ

2

 xx 
nhất của biểu thức S =  1 2 ÷ − 4 ( x1 + x2 ) .
 x1 + x2 
A. 4

B. 3 3 2
C. 3 3 4
 x1 + x2 = − log b a
2
Lời giải: Ta có: x − 1 + x log b a = 0 ⇒ 
 x1 x2 = −1

D.

3

4

2

 1 
1
1
+ 2log b a + 2log b a ≥ 3 3
.2log b a.2log b a = 3 3 4
Khi đó S = 
÷ + 4log b a =
2
2
log
a
( logb a )
( logb a )
 b 
Dấu bằng đặt tại

1

1

( log b a )

2

32
1
= 2log b a ⇔ log b a = 3 ⇔ a = b . Chọn đáp án C.
2

Câu 50 Xét các số nguyên dương a, b sao cho phương trình a.4 x − b.2 x + 50 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 và
phương trình 9 x − b.3x + 50a = 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 thỏa mãn x3 + x4 > x1 + x2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức S = 3a + 2b .
A. 49
B. 51
C. 78
D. 81
 ∆1 > 0; S1 > 0; P1 > 0
⇔ b 2 − 200a > 0
Lời giải: Ta có: 
 ∆ 2 > 0; S2 > 0; P2 > 0
50
50
 x1 + x2
= 2 x1 .2 x2 =
⇔ x1 + x2 = log 2
2
a
a
Khi đó 
. Vì vậy:
3x1 + x2 = 3x3 .3x4 = 50a ⇔ x + x = log ( 50a )
3
4

3

 50 
x3 + x4 > x1 + x2 ⇔ log 3 ( 50a ) > log 2  ÷ ⇒ a ≥ 3 ⇒ b 2 > 200a ≥ 600 ⇒ b ≥ 25 ⇒ S = 2a + 3b ≥ 81
 a 

Trang 9