lý thuyết cấp số cộng

TỔNG ÔN TOÁN 11

VIP

CHỦ ĐỀ 11. CẤP SỐ CỘNG
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Định nghĩa: (un) là cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N* (d: công sai)
2. Số hạng tổng quát: un = u1 + (n − 1)d với n ≥ 2
3. Tính chất các số hạng: uk =

uk −1 + uk +1
với k ≥ 2
2

4. Tổng n số hạng đầu tiên: S n = u1 + u2 + ... + un =

n(u1 + un ) n [ 2u1 + (n − 1)d ]
=
2
2

B – BÀI TẬP
DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp:

d không phụ thuộc vào n và d là công sai.
• Dãy số (un ) là một cấp số cộng ⇔ un +1 − un =
2b .
• Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ⇔ a + c =
• Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn

giả thiết của bài toán qua u1 và d .
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?

1 1 3
A. Dãy số − ;0; ;1; ;..... là một cấp số cộng:
2 2 2

1

u1 = − 2
.

1
d =

2

1

u1 =

1 1 1

2
B. Dãy số ; 2 ; 3 ;..... là một cấp số cộng: 
.
1
2 2 2

d =

=
;n 3

2
u = −2
C. Dãy số :  – 2; – 2; – 2; – 2; … là cấp số cộng  1
.
d = 0

D. Dãy số: 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001; … không phải là một cấp số cộng.

1
1
− ;d=
Câu 2: Cho một cấp số cộng có u1 =
. Hãy chọn kết quả đúng
2
2

1
1
A. Dạng khai triển : − ;0;1; ;1....
2
2

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

1 1 1
B. Dạng khai triển : − ;0; ;0; .....
2 2 2

1


Tổng ôn Toán 11

C. Dạng khai triển :

1 3 5
;1; ; 2; ;.....
2 2 2

Chủ đề 11. Cấp số cộng

1 1 3
D. Dạng khai triển: − ;0; ;1; .....
2 2 2

−3; u6 =
27 . Tìm d ?
Câu 3. Cho một cấp số cộng có u1 =
A. d = 5 .

B. d = 7 .

11
.
3

B. d =

D. d = 8 .

1
=
; u8 26 Tìm d ?
3

u1
=
Câu 4: Cho một cấp số cộng có
A. d =

C. d = 6 .

3
.
11

C. d =

10
.
3

D. d =

3
.
10

−0,1; d =
0,1 . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:
Câu 5: Cho cấp số cộng ( un ) có: u1 =
A. 1, 6 .

B. 6 .

C.  0,5 .

D. 0, 6 .

−0,1; d =
1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 6. Cho cấp số cộng ( un ) có: u1 =
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6.
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5

B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.
D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.

Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
phương của chúng bằng 120 .
A. 1,5, 6,8

B. 2, 4, 6,8

C. 1, 4, 6,9

D. 1, 4, 7,8

C. d = 3

D. d = 5

3n − 3
C. u=
n

3n − 1
D. u=
n

C. S = 673044

D. S = 141

10
u − u + u =
Câu 8: Cho CSC (un ) thỏa :  2 3 5
26
 u 4 + u6 =

1. Xác định công sai và;
A. d = 2
B. d = 4
2. công thức tổng quát của cấp số

3n − 2
A. u=

n

3n − 4
B. u=
n

2. Tính S = u1 + u4 + u7 + ... + u2011 .
A. S = 673015

B. S = 6734134

−21
u + 3u3 − u2 =
Câu 9: Cho cấp số cộng (un ) thỏa:  5
.
−34
3u7 − 2u4 =

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;
A. u100 = −243

B. u100 = −295

C. u100 = −231

D. u100 = −294

B. S15 = −274

C. S15 = −253

D. S15 = −285

B. S = −1276

C. S = −1242

D. S = −1222

2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
A. S15 = −244
3. Tính S = u4 + u5 + ... + u30 .
A. S = −1286

10
u − u + u =
Câu 10 : Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  2 3 5
26
 u 4 + u6 =

1. Xác định công sai?
A. d=3

B. d=5

C. d=6

D. d=4

C. S = 3028057

D. S = 3028332

2. Tính tổng S= u5 + u7 +…+ u2011
A. S = 3028123
2

B. S = 3021233

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

Câu 11: Cho dãy số ( un ) với : u=
n

1
n + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2

1
n.
2

A. Dãy số này không phải là cấp số cộng.

B. Số hạng thứ n + 1: un +1 =

1
C. Hiệu : un +1 − un =.
2

D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S = 12 .
5

2n + 5 . Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 12. Cho dãy số ( un ) với : u=
n
A. Là cấp số cộng có d = – 2. B. Là cấp số cộng có d = 2.
D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S 4 = 40

2n + 7 .
C. Số hạng thứ n + 1: un +=
1

1
−3; d =. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 13. Cho dãy số ( un ) có: u1 =
2
A. un =−3 +

1
( n + 1) .
2

1
B. un =−3 + n − 1 .

2

C. un =−3 +

1
( n − 1) .
2

1


D. un = n  −3 + ( n − 1)  .
4



u1
Câu 14. Cho dãy số ( un ) có:=

5
A. S5 = .
4

1
−1
=
;d
. Khẳng định nào sau đây đúng?
4
4

4
B. S5 = .
5

5
C. S5 = − .
4

4
D. S5 = − .
5

Câu 15. Cho dãy số ( un ) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?
A. u1 = 16

B. u1 = −16

C. u1 =

1
16

D. u1 = −

10
.
3

D. u1 = −0,3.

1
16

Câu 16. Cho dãy số ( un ) có d = 0,1; S5 = −0,5. Tính u1 ?
A. u1 = 0,3.

B. u1 =

10
.
3

C. u1 =

−1; d =
2; S n =
483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?
Câu 17. Cho dãy số ( un ) có u1 =
A. n = 20 .

B. n = 21 .

C. n = 22 .

D. n = 23 .

Câu 18: Cho một cấp số cộng (un ) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính

S=

1
1
1
+
+ ... +
u1 u2 u2u3
u49u50
A. S =

9
246

B. S =

4
23

C. S = 123

D. S =

49
246

Câu 19: Dãy số (un ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết:

2n + 3
1. u=
n

A. d = −2

B. d = 3

C. d = 5

D. d = 2

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

−3n + 1
2. un =
A. d = −2

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

3


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

n2 + 1
3. u=
n

A. d = ∅
4. un =

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

2
n

1
C. d = −3
D. d = 1
2
Câu 20: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai.
A. d = ∅

B. d =

3n + 1
1. u=
n
A. d = ∅

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

B. d = 3

C. d = −5

D. d = 1

2. un= 4 − 5n
A. d = ∅
3. un =

2n + 3
5

A. d = ∅

B. d =

2
5

C. d = −3

D. d = 1

n +1
n
A. d = ∅

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

n
2n
A. d = ∅

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

4. un =

5. un =

n2 + 1
6. u=
n
A. d = ∅

−0,3; u8 =
8 . Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 21: Cho cấp số cộng ( un ) có: u1 =
A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.
B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.
C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6.
D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7.
Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.
A. 7; 12; 17 .

B. 6; 10;14 .

Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số
A.

4 5 6 7
; ; ; .
3 3 3 3

B.

C. 8;13;18 .

D. 6;12;18 .

1
16
và
để được cấp số cộng có 6 số hạng.

3
3

4 7 10 13
; ; ; .
3 3 3 3

C.

4 7 11 14
; ; ; .
3 3 3 3

D.

3 7 11 15
; ; ; .
4 4 4 4

Câu 24: Cho dãy số ( un ) với : un= 7 − 2n . Khẳng định nào sau đây là sai?

u 1 5;=
u2 3;=
u3 1 .
A. 3 số hạng đầu của dãy:=

B. Số hạng thứ n + 1: un +1= 8 − 2n .

C. Là cấp số cộng có d = – 2.

D. Số hạng thứ 4: u4 = −1 .

=
u1
Câu 25: Cho dãy số ( un ) có

=
2; d

=
2; S 21 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng.
C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng.
4

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng.

Câu 26: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, n ≥ 2. ?
A. un= u1 + d .

B. un = u1 + ( n + 1) d

C. un = u1 − ( n − 1) d

D. un = u1 + ( n − 1) d

−12; u14 =
18 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
Câu 27: Cho cấp số cộng ( un ) có u4 =
A. u1 = 20, d = −3 .

−22, d =
3.
B. u1 =

−21, d =
−3 .
C. u1 =

−21, d =
−3 .
D. u1 =

−12; u14 =
18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
Câu 28: Cho cấp số cộng ( un ) có u4 =
A. S = 24.

B. S = –24.

C. S = 26.

D. S = –25.

−15; u20 =
60 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
Câu 29: Cho cấp số cộng ( un ) có u5 =
−35, d =
−5 .
A. u1 =

−35, d =
5.
B. u1 =

C. u1 = 35, d = −5

u1 35,
=
d 5.
D.=

−15; u20 =
60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
Câu 30: Cho cấp số cộng ( un ) có u5 =
A. S20 = 200

B. S20 = –200

C. S20 = 250

D. S20 = –25

20, u5 + u7 =
−29 . Tìm u1 , d ?
Câu 31: Cho cấp số cộng (u ) có u2 + u3 =
n
u1 20;
=
d 7 .=
=
d 7.
A.=
B. u1 20,5;
Câu 32: Cho cấp số cộng:

−20,5; d =
−7 .
C. u1 = 20,5; d = −7 . D. u1 =

−2; −5; −8; −11; −14;........ Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên?

=
d 3;S
=
510 .
A.
20

−3;S20 =
−610 .

B. d =

−3;S20 =
610 .
C. d =

D. d = 3;S20 = −610 .

1 1 3 5
; - ; - ; - ;... Khẳng định nào sau đây sai?
2 2 2 2
A. (un) là một cấp số cộng.
B. có d = −1 .

Câu 33: Cho dãy số ( un ) :
C. Số hạng u20 = 19,5 .

Câu 34: Cho dãy số ( un ) có un =

D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là −180 .

2n − 1
. Khẳng định nào sau đây đúng?
3

1
2
; d= − .
3
3

C. (un) không phải là cấp số cộng.
A. (un) là cấp số cộng có u1 =

1
2
; d= .
3
3
D. (un) là dãy số giảm và bị chặn.
B. (un) là cấp số cộng có u1 =

1
. Khẳng định nào sau đây sai?
n+2
A. Các số hạng của dãy luôn dương.
B. là một dãy số giảm dần.

Câu 35: Cho dãy số ( un ) có un =

C. là một cấp số cộng.
Câu 36: Cho dãy số ( un ) (un) có un =

D. bị chặn trên bởi M =

1
.
2

2n 2 − 1
. Khẳng định nào sau đây sai?

3
2(n + 1) 2 − 1
3

1
2
A. Là cấp số cộng có u1 = ; d = ;
3
3

B. Số hạng thứ n+1: un +1 =

2(2n + 1)
C. Hiệu un +1 − un =
3

D. Không phải là một cấp số cộng.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

5


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

Câu 37: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Tìm
các góc còn lại?
A. 75o ; 120o; 165o.

B. 72o ; 114o; 156o.
C. 70o ; 110o; 150o.
D. 80o ; 110o; 135o.
Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng −9 và tổng các bình
phương của chúng bằng 29.
A. 1; 2;3

B. −4; −3; −2

C. −2; −1;0

D. −3; −2; −1

Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành
cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
A.=
b 15,
=
c 20,
=
d 25,
=
a 12

B.=
b 16,
=
c 20,
=
d 25,

=
a 12

C.=
b 15,
c 25,
d 25,
a 12
=
=
=

D.=
b 16,
=
c 20,
=
d 25,
=
a 18

8
u − u =
Câu 40: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  7 3
. Tìm u1 , d ?
 u2 .u7 = 75
d = 2
A. 
u1 = 2, u1 = −17

d = 2
B. 
u1 = 3, u1 = −7

d = 2
C. 
−3, u1 =
−17
u1 =

d = 2
D. 
u1 = 3, u1 = −17

11
u31 + u34 =
Câu 41: Cho cấp số cộng (un) có công sai d > 0 ;  2
. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp
2
101
u31 + u34 =
số cộng đó.

3n − 9
A. u=
n

3n − 2
B. u=
n

3n − 92
C. u=
n

3n − 66
D. u=
n

Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o.
Tìm 2 góc còn lại?
A. 65o ; 90o.
B. 75o ; 80o.
C. 60o ; 95o.
D. 60o ; 90o.
Câu 43: Tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5 A . Xác định
số đo các góc A, B, C .

 A = 100

A.  B = 1200
C = 500


 A = 150

B.  B = 1050
C = 600


 A = 50

C.  B = 600
C = 250


 A = 200

D.  B = 600
C = 1000


Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và

3+ 3
sin A + sin B + sin C = tính các góc của tam giác
2
A. 300 , 600 ,900

6

B. 200 , 600 ,1000

C. 100 ,500 ,1200

D. 400 , 600 ,800

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦

Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp:
2b
• a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC ⇔ a + c =

Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc .

B. a 2 − c 2 = 2ab − 2bc .

C. a 2 + c 2 = 2ab − 2bc .

D. a 2 − c 2 = ab − bc .

Câu 2: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc + 2ac .

B. a 2 − c 2 = 2ab + 2bc − 2ac .

C. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc − 2ac .

D. a 2 − c 2 = 2ab − 2bc + 2ac .

Câu 3: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng
B. −2b, −2a, −2c .

A. 2b 2 , a, c 2 .

D. 2b, −a, −c .

C. 2b, a, c .

Câu 4: Xác định x để 3 số : 1 − x; x 2 ;1 + x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của x .

B. x = ±2 .

C. x = ±1 .

D. x = 0 .

Câu 5: Xác định x để 3 số : 1 + 2 x; 2 x 2 − 1; −2 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
B. x = ±

A. x = ±3 .
C. x = ±

3
.
4

3
.
2

D. Không có giá trị nào của x .

Câu 6: Xác định a để 3 số : 1 + 3a; a 2 + 5;1 − a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của a .

B. a = 0 .

C. a = ±1

D. a = ± 2 .

Câu 7: Tìm x biết :
1. x 2 + 1, x − 2,1 − 3 x lập thành cấp số cộng ;
A.=
x 4,=
x 3

B.=
x 2,=
x 3

D.=
x 2,=
x 1

C.=
x 2,=
x 5

Câu 8: Cho các số 5 x − y, 2 x + 3 y, x + 2 y lập thành cấp số cộng ; các số ( y + 1) , xy + 1, ( x − 1) lập
2

2

thành cấp số nhân.Tính x, y

=
A. ( x; y )

( 0;0 ) ; 

1 4  3 3 
; ; − ; − 
 3 3   4 10 

=
B. ( x; y )

( 0;0 ) ; 

=
C. ( x; y )

(1;0 ) ; 

=
D. ( x; y )

( 0;1) ; 

11 4   3 3 

; ; − ; − 
 3 3   4 10 

10 4   3 3 
; ; − ; − 
 3 3   4 10 

10 4   13 13 
; ; − ; − 
 3 3   4 10 

Câu 9: Tìm x, y biết: Các số x + 5 y,5 x + 2 y,8 x + y lập thành cấp số cộng và các số

( y − 1)

2

, xy − 1, ( x + 1) lập thành cấp số nhân.
2

3 
3

A. ( x; y ) =  − 3;  ;  3;


2 
2 


Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học


3 
3
B. ( x; y ) =  3; −
 ;  − 3; −


2  
2 


7


Tổng ôn Toán 11


3 
3
C. ( x; y ) =  3;
 ;  3;


2  
2 


Chủ đề 11. Cấp số cộng


3 
3
D. ( x; y ) =−
 3; −
 ;  3;

2  
2 


Câu 10: Tìm x, y biết: Các số x + 6 y,5 x + 2 y,8 x + y lập thành cấp số cộng và các số

5
x + y , y − 1, 2 x − 3 y lập thành cấp số nhân.
3

3 1
A. ( x; y ) =( −3; −1) ;  ; 
8 8

1 1
B. ( x; y ) =( −3; −1) ;  ; 
8 8

3 1
C. ( x; y ) = ( 3;1) ;  ; 
8 8

 12 1 
D. ( x; y ) =( −3; −1) ;  ; 
 8 8

Câu 11: Xác định a, b để phương trình x3 + ax + b =
0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A.=
b 0, a < 0

B.=
b 0,=
a 1

C.=
b 0, a > 0

D. b > 0, a < 0

Câu 12: Tìm m để phương trình: mx 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m − 1 =0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp
số cộng.
A. m = −

9
16

B. m = −1

C. m = −

7

16

D. m = −

9
12

Câu 13: Tìm m để phương trình: x3 − 3mx 2 + 4mx + m − 2 =
0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân
1

m= −

A.
27

m = 0

10

m=

B.
7

m = 0

 m = −1
C. 
m = 0

10

m= −

D.
27

m = 0

Câu 14: Xác định m để:
1. Phương trình x3 − 3 x 2 − 9 x + m =
0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. m = 16

B. m = 11

C. m = 13

D. m = 12

2. Phương trình x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 =0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

4
9
C. m = 4 hoặc m = −2
A. m = 2 hoặc m = −

8

4
9
D. m = 3 hoặc m = −1
B. m = 4 hoặc m = −

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

C– HƯỚNG DẪN GIẢI

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH CẤP SỐ CỘNG VÀ CÁC YẾU TỐ CỦA CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp:

d không phụ thuộc vào n và d là công sai.
• Dãy số (un ) là một cấp số cộng ⇔ un +1 − un =
2b .
• Ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng ⇔ a + c =
• Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn

giả thiết của bài toán qua u1 và d .
Câu 1: Khẳng định nào sau đây là sai?
1

u
=
−

1

1 1 3
2.
A. Dãy số − ;0; ;1; ;..... là một cấp số cộng: 
2 2 2
1
d =

2
1

u1 = 2
1 1 1
.
B. Dãy số ; 2 ; 3 ;..... là một cấp số cộng: 
2 2 2
1
d =
=
;n 3

2
u = −2
C. Dãy số :  – 2; – 2; – 2; – 2; … là cấp số cộng  1
.
d = 0

D. Dãy số: 0,1; 0, 01; 0, 001; 0, 0001; … không phải là một cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:

Chọn B.

1 1 1
Dãy số ; 2 ; 3 ;..... không phải cấp số cộng do
2 2 2

1

u1 = 2
⇒ u2 =
1.

1
d =

2

1
1
− ;d=
Câu 2: Cho một cấp số cộng có u1 =
. Hãy chọn kết quả đúng
2
2

1
1
A. Dạng khai triển : − ;0;1; ;1....
2
2

1 1 1
B. Dạng khai triển : − ;0; ;0; .....
2 2 2

1 3 5
;1; ; 2; ;.....
2 2 2

1 1 3
D. Dạng khai triển: − ;0; ;1; .....
2 2 2

C. Dạng khai triển :
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

−3; u6 =
27 . Tìm d ?
Câu 3. Cho một cấp số cộng có u1 =
A. d = 5 .

B. d = 7 .

C. d = 6 .

D. d = 8 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

Ta có: u6 = 27 ⇔ u1 + 5d = 27 ⇔ −3 + 5d = 27 ⇔ d = 6
Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

9


Tổng ôn Toán 11

=
u1
Câu 4: Cho một cấp số cộng có
11
.
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
A. d =

B. d =

Ta có: u8 = 26 ⇔ u1 + 7 d = 26 ⇔

Chủ đề 11. Cấp số cộng

1
=
; u8 26 Tìm d ?
3
3
.

11

C. d =

10
.
3

D. d =

3
.
10

1
11
+ 7 d = 26 ⇔ d =
3
3

−0,1; d =
0,1 . Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là:
Câu 5: Cho cấp số cộng ( un ) có: u1 =
A. 1, 6 .

B. 6 .

C.  0,5 .

D. 0, 6 .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

1
−0,1 + ( 7 − 1) .0,1 =
u1 + ( n − 1) .0,1 ⇒ u7 =
Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) là: un =
2

−0,1; d =
1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 6. Cho cấp số cộng ( un ) có: u1 =
A. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 0,6.
C. Số hạng thứ 6 của cấp số cộng này là: 0,5

B. Cấp số cộng này không có hai số 0,5 và 0,6.
D. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,9.

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

−0,1 + ( n − 1) .1 =−
n
Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) là: un =

11
.
10

11
8
= 0,5 ⇔ k =
(loại). Tương tự số 0,6
10
5
Câu 7: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình
Giả sử tồn tại k ∈ * sao cho uk = 0,5 ⇔ k −
phương của chúng bằng 120 .
A. 1,5, 6,8

B. 2, 4, 6,8

C. 1, 4, 6,9

D. 1, 4, 7,8

Hướng dẫn giải:
Giả sử bốn số hạng đó là a − 3 x; a − x; a + x; a + 3 x với công sai là d = 2 x .Khi đó, ta có:
 ( a − 3 x ) + ( a − x ) + ( a + x ) + ( a + 3 x ) =
20

2
2
2
2
120
( a − 3 x ) + ( a − x ) + ( a + x ) + ( a + 3 x ) =

=

4a 20
=

a 5
⇔ 2
⇔
2
120  x =
±1
4a + 20 x =
Vậy bốn số cần tìm là 2, 4, 6,8 .
Chú ý:
* Cách gọi các số hạng của cấp số cộng như trên giúp ta giải quyết bài toán gọn hơn.
* Nếu số hạng cấp số cộng là lẻ thì gọi công sai d = x , là chẵn thì gọi công sai d = 2 x rồi viết các số
hạng cấp số dưới dạng đối xứng.
p
 a + a + ... + an =
* Nếu cấp số cộng (an ) thỏa:  21 22
thì:
2
s2
a1 + a2 + ... + an =

10

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

(

)

12 ns 2 − p 2
n ( n − 1) 
1
.
a1
=
.d  và d = ±
p−
n
2
n2 n2 − 1


(

)

Chủ đề 11. Cấp số cộng

10
u − u + u =
Câu 8: Cho CSC (un ) thỏa :  2 3 5
26
 u 4 + u6 =

1. Xác định công sai và;

A. d = 2

B. d = 4

C. d = 3

D. d = 5

3n − 3
C. u=
n

3n − 1
D. u=
n

C. S = 673044

D. S = 141

2. công thức tổng quát của cấp số

3n − 2
A. u=
n

3n − 4
B. u=
n

2. Tính S = u1 + u4 + u7 + ... + u2011 .
A. S = 673015

B. S = 6734134

Hướng dẫn giải:
Gọi d là công sai của CSC, ta có:
10
10
u + 3d =
(u1 + d ) − (u1 + 2d ) + (u1 + 4d ) =
u = 1
⇔ 1
⇔ 1

13 d = 3
26
u1 + 4d =
(u1 + 3d ) + (u1 + 5d ) =

1. Ta có công sai d = 3 và số hạng tổng quát : un = u1 + (n − 1)d = 3n − 2 .
2. Ta có các số hạng u1 , u4 , u7 ,..., u2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai d ' = 3d , nên
ta có: S =

670
( 2u1 + 669d ') = 673015
2

−21
u + 3u3 − u2 =

Câu 9: Cho cấp số cộng (un ) thỏa:  5
.
−34
3u7 − 2u4 =

1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;
A. u100 = −243

C. u100 = −231

D. u100 = −294

B. S15 = −274

C. S15 = −253

D. S15 = −285

B. S = −1276

C. S = −1242

D. S = −1222

B. u100 = −295

2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
A. S15 = −244
3. Tính S = u4 + u5 + ... + u30 .
A. S = −1286

Hướng dẫn giải:
−21
u + 4d + 3(u1 + 2d ) − (u1 + d ) =
Từ giả thiết bài toán, ta có:  1
−34
3(u1 + 6d ) − 2(u1 + 3d ) =
−7
u + 3d =
u = 2
.
⇔ 1
⇔ 1
−34
d = −3
u1 + 12d =

u1 + 99d =
−295
1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u100 =

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

11


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

15

−285
2. Tổng của 15 số hạng đầu: S15 =
[ 2u1 + 14d ] =
2
3. Ta có: S = u4 + u5 + ... + u30 =

27
[ 2u4 + 26d ]
2

=
27 ( u1 + 16d ) =
−1242 .
Chú ý: Ta có thể tính S theo cách sau:

S=
S30 − S3 =
15 ( 2u1 + 29d ) −

3
−1242 .
( 2u1 + 2d ) =
2

10
u − u + u =
Câu 10 : Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  2 3 5
26
 u 4 + u6 =

1. Xác định công sai?
A. d=3

B. d=5

C. d=6

D. d=4

C. S = 3028057

D. S = 3028332

2. Tính tổng S= u5 + u7 +…+ u2011
A. S = 3028123

B. S = 3021233

Hướng dẫn giải:
10
10
u + d − (u1 + 2d ) + u=
u=
1 + 4d
1 + 3d
1. Ta có:  1
⇔
26
=
1 + 3d + u1 + 5d

u=
u1 + 4d 13

⇔ u1 = 1, d = 3 ; u5 =u1 + 4d =1 + 12 =13
2. Ta có u5 , u7 ,..., u2011 lập thành CSC với công sai d = 6 và có 1003 số hạng nên

S=

1003
( 2u5 + 1002.6 )= 3028057 .
2

Câu 11: Cho dãy số ( un ) với : u=
n

1
n + 1 . Khẳng định nào sau đây là đúng?
2

A. Dãy số này không phải là cấp số cộng.

1
C. Hiệu : un +1 − un =.
2
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: un +1 =

B. Số hạng thứ n + 1: un +1 =

1
n.
2

D. Tổng của 5 số hạng đầu tiên là: S = 12 .
5

1
1
1
1
( n + 1) + 1= n + 1 + = un + ∀n ∈ * ⇒ Đáp án C đúng.
2
2
2
2

2n + 5 . Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 12. Cho dãy số ( un ) với : u=
n
A. Là cấp số cộng có d = – 2. B. Là cấp số cộng có d = 2.

2n + 7 .
C. Số hạng thứ n + 1: un +=
1

D. Tổng của 4 số hạng đầu tiên là: S 4 = 40

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

Phương pháp loại trừ: A hoặc B sai.
12

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Thật vậy un +1 = 2 ( n + 1) + 5= 2n + 5 + 2= un +2 ∀n ∈ * ⇒ đáp án A sai.

Chủ đề 11. Cấp số cộng

1
−3; d =. Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 13. Cho dãy số ( un ) có: u1 =
2
A. un =−3 +

1
( n + 1) .
2

1
B. un =−3 + n − 1 .
2

C. un =−3 +

1
( n − 1) .

2

1


D. un = n  −3 + ( n − 1)  .
4



Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Sử dụng công thức SHTQ un = u1 + ( n − 1) d

u1
Câu 14. Cho dãy số ( un ) có:=

5
A. S5 = .
4
Hướng dẫn giải:.
Chọn C.

( ∀n ≥ 2 ) . Ta có: un =−3 + ( n − 1)

1
−1
=
;d
. Khẳng định nào sau đây đúng?

4
4

4
B. S5 = .
5

5
C. S5 = − .
4

4
D. S5 = − .
5

n  2u1 + ( n − 1) d  n ( u1 + un )
=
, n ∈ *
2
2

Sử dụng công thức tính tổng n số hạng=
đầu tiên: S n
Tính được: S5 = −

1
2

5
4

Câu 15. Cho dãy số ( un ) có d = –2; S8 = 72. Tính u1 ?
A. u1 = 16

B. u1 = −16

C. u1 =

1
16

D. u1 = −

1
16

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n ( u1 + un )

 S n =
=
u1 + u8 2 S8 : 8 =
u8 + u1 18
2
16.
⇒
⇒
⇒ u1 =


7d
−14
Ta có: d = un − u1
u8 − u1 =
u8 − u1 =

n −1

Câu 16. Cho dãy số ( un ) có d = 0,1; S5 = −0,5. Tính u1 ?
A. u1 = 0,3.

B. u1 =

10
.
3

C. u1 =

10
.
3

D. u1 = −0,3.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

un − u1 = ( n − 1) d
4.0,1

u5 − u1 =

⇒
⇒ u1 =
−0,3 . Suy ra chọn đáp án D.
2Sn
Ta có : u + u =
u
+
u
=
−
0,
25
5
1

 n 1
n


−1; d =
2; S n =
483. Tính số các số hạng của cấp số cộng?
Câu 17. Cho dãy số ( un ) có u1 =
A. n = 20 .

B. n = 21 .

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. n = 22 .

D. n = 23 .
13


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

n  2u1 + ( n − 1) d 
 n = 23
⇔ 2.483 = n. ( 2. − 1 + ( n − 1) .2 ) ⇔ n 2 − 2n − 483 = 0 ⇔ 
Ta có: S n = 
2
 n = −21
Do n ∈ N * ⇒ n =
23 .
Câu 18: Cho một cấp số cộng (un ) có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu bằng 24850 . Tính

S=

1
1
1
+

+ ... +
u1 u2 u2u3
u49u50
A. S =

9
246

B. S =

4
23

C. S = 123

D. S =

49
246

Hướng dẫn giải:
Gọi d là công sai của cấp số đã cho

50 ( 2u1 + 99=
d ) 24850 ⇒=
d
Ta có: S=
100

⇒ 5S=

=
=

497 − 2u1
= 5
99

5
5
5
+
+ ... +
u1u2 u2u3
u49u50

u −u
u2 − u1 u3 − u2
+
+ ... + 50 49
u1u2
u2u3
u49u50
1 1 1 1
1
1
1
1
− + − + ... +
−
+

−
u1 u2 u2 u3
u48 u49 u49 u50

1 1
1
1
245
= −
= −
=
u1 u50 u1 u1 + 49d 246
49
⇒S= .
246
Câu 19: Dãy số (un ) có phải là cấp số cộng không ? Nếu phải hãy xác định số công sai ? Biết:

2n + 3
1. u=
n
A. d = −2

B. d = 3

C. d = 5

D. d = 2

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

1
2

C. d = −3

D. d = 1

−3n + 1
2. un =
A. d = −2

n2 + 1
3. u=
n
A. d = ∅
4. un =

2
n

A. d = ∅

14

B. d =

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

Hướng dẫn giải:

1. Ta có: un +1 − un= 2(n + 1) + 3 − (2n + 3)= 2 là hằng số
Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d = 2 .
2. Ta có: un +1 − un =−3(n + 1) + 1 − (−3n + 1) =−3 là hằng số
Suy ra dãy (un ) là cấp số cộng với công sai d = −3 .
3. Ta có: un +1 − un = (n + 1) 2 + 1 − (n 2 + 1) = 2n + 1 phụ thuộc vào n . Suy ra dãy (un ) không phải là cấp
số cộng.
4. Ta có: un +1 − u=
n

2
2
−2
− =
phụ thuộc vào n
n + 1 n n(n + 1)

Vậy dãy (un ) không phải là cấp số cộng.
Câu 20: Xét xem các dãy số sau có phải là cấp số cộng hay không? Nếu phải hãy xác định công sai.

3n + 1
1. u=
n
A. d = ∅

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

B. d = 3

C. d = −5

D. d = 1

2. un= 4 − 5n
A. d = ∅
3. un =

2n + 3
5

A. d = ∅

B. d =

2
5

C. d = −3

D. d = 1

n +1
n
A. d = ∅

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

n
2n
A. d = ∅

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

B. d = 3

C. d = −3

D. d = 1

4. un =

5. un =

n2 + 1
6. u=
n
A. d = ∅
Hướng dẫn giải:
1. Ta có: un +1 − un= 3(n + 1) + 1 − 3n − 1= 3
Dãy (un ) là CSC có công sai d = 3 .

−5
2. Ta có: un +1 − un =

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

15


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

Dãy (un ) là CSC có công sai d = −5

2
2
3. Ta có: un +1 − un =. Dãy (un ) là CSC có công sai d =
5
5
1
−
⇒ (un ) không là CSC
4. Ta có: un +1 − un =
n(n + 1)
5. Tương tự ý 4 dãy (un ) không là CSC
6. Tương tự ý 4 dãy (un ) không là CSC.

−0,3; u8 =
8 . Khẳng định nào sau đây là sai?
Câu 21: Cho cấp số cộng ( un ) có: u1 =
A. Số hạng thứ 2 của cấp số cộng này là: 1,4.
C. Số hạng thứ 4 của cấp số cộng này là: 3,6.

B. Số hạng thứ 3 của cấp số cộng này là: 2,5.
D. Số hạng thứ 7 của cấp số cộng này là: 7,7.

Hướng dẫn giải:
Chọn D.

11
Ta có: u8 =8 ⇔ u1 + 7 d =8 ⇔ 0,3 + 7 d =8 ⇔ d =
10

11
6,9
( n − 1) ⇒ u7 =
10
Câu 22: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng.
B. 6; 10;14 .
C. 8;13;18 .
A. 7; 12; 17 .

0,3 +
Số hạng tổng quát của cấp số cộng ( un ) là: un =

D. 6;12;18 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
u2 = 2 + 5 = 7
u1 = 2

Khi đó 
⇒ 22 = u1 + 4d ⇔ d = 5 ⇒ u3 = 7 + 5 = 12
u5 = 22
u = 12 + 5 = 17
 4

Câu 23: Viết 4 số hạng xen giữa các số

4 5 6 7
; ; ; .
3 3 3 3

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
A.


u1 =
Ta có 
u
=
 6

B.

16
1
và
để được cấp số cộng có 6 số hạng.
3
3

4 7 10 13
; ; ; .
3 3 3 3

1

u2 =
16
3
⇒ u1 + 5d = ⇔ d =1 ⇒ 

16
3
u
=
 4
3

C.

4 7 11 14
; ; ; .
3 3 3 3

D.

3 7 11 15
; ; ; .
4 4 4 4

1
4
4
7
+ 1 = ; u3 = + 1 =
3
3
3
3.
10
13

; u5
=
3
3

Câu 24: Cho dãy số ( un ) với : un= 7 − 2n . Khẳng định nào sau đây là sai?

u 1 5;=
u2 3;=
u3 1 .
A. 3 số hạng đầu của dãy:=

B. Số hạng thứ n + 1: un +1= 8 − 2n .

C. Là cấp số cộng có d = – 2.

D. Số hạng thứ 4: u4 = −1 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Thay n = 1; 2;3; 4 đáp án A, D đúng
16

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

un +1 = 7 − 2 ( n + 1) = 5 − 2n = 7 − 2n + (−2) = un + (−2)∀n ∈ * . suy ra đáp án B sai

=
u1
Câu 25: Cho dãy số ( un ) có

=
2; d

=
2; S 21 2 . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. S là tổng của 5 số hạng đầu của cấp số cộng.
B. S là tổng của 6 số hạng đầu của cấp số cộng.
C. S là tổng của 7 số hạng đầu của cấp số cộng.
D. S là tổng của 4 số hạng đầu của cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

n  2u1 + ( n − 1) d 
n = 6
⇔ 2.21 2 = n. 2. 2 + ( n − 1) . 2 ⇔ n 2 + n − 21 = 0 ⇔ 
Ta có: S n = 
2
 n = −7

(

)

Do n ∈ N * ⇒ n =
6 . Suy ra chọn đáp án B.
Câu 26: Công thức nào sau đây là đúng với cấp số cộng có số hạng đầu u1 , công sai d, n ≥ 2. ?
A. un= u1 + d .

B. un = u1 + ( n + 1) d

C. un = u1 − ( n − 1) d

D. un = u1 + ( n − 1) d

.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Công thức số hạng tổng quát : un = u1 + ( n − 1) d , n ≥ 2 .

−12; u14 =
18 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
Câu 27: Cho cấp số cộng ( un ) có u4 =
A. u1 = 20, d = −3 .

−22, d =
3.
B. u1 =

−21, d =
−3 .
C. u1 =

−21, d =

−3 .
D. u1 =

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
u1 3d
−12
u =+
u1 + 3d =
d = 3
Ta có :  4
. Suy ra chọn đáp án C
⇔
⇔
18
u1 + 13d
u1 = −21
u14 =
u1 + 13d =

−12; u14 =
18 . Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
Câu 28: Cho cấp số cộng ( un ) có u4 =
A. S = 24.

B. S = –24.

C. S = 26.

D. S = –25.

Hướng dẫn giải:
Chọn A.

=
Sử dụng kết quả bài 17.
Tính được S n

n  2u1 + ( n − 1) d 
16  2. ( −21) + 15.3
=
24 .
⇒ S16 =
2
2

−15; u20 =
60 . Tìm u1, d của cấp số cộng?
Câu 29: Cho cấp số cộng ( un ) có u5 =
−35, d =
−5 .
A. u1 =

−35, d =
5.
B. u1 =

C. u1 = 35, d = −5

u1 35,

=
d 5.
D.=

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
−15
u= u1 + 4d
u + 4d =
d = 5
Ta có :  5
⇔ 1
⇔
u1 + 19d
60
u1 = −35
u1 + 19d =
u20 =

−15; u20 =
60 . Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
Câu 30: Cho cấp số cộng ( un ) có u5 =
A. S20 = 200

B. S20 = –200

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

C. S20 = 250

D. S20 = –25
17


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

Hướng dẫn giải:
Chọn C.

=
Sử dụng kết quả bài 17.
Tính được S n

n  2u1 + ( n − 1) d 
20  2. ( −35 ) + 19.5
250 .
=
⇒ S 20 =
2
2

20, u5 + u7 =
−29 . Tìm u1 , d ?
Câu 31: Cho cấp số cộng (u ) có u2 + u3 =
n

u1 20;
=

d 7 .=
=
d 7.
B. u1 20,5;
A.=

−20,5; d =
−7 .
C. u1 = 20,5; d = −7 . D. u1 =

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
20
2u + 3d =
u = 20,5
.
Áp dụng công thức un = u1 + (n − 1) d ta có  1
⇔ 1
−29
d = −7
2u1 + 10d =

Câu 32: Cho cấp số cộng:

−2; −5; −8; −11; −14;........ Tìm d và tổng của 20 số hạng đầu tiên?

=
d 3;S
=
510 .

A.
20

−3;S20 =
−610 .
B. d =

610 .
−3;S20 =
C. d =

D. d = 3;S20 = −610 .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có −5 =−2 + (−3); −8 =−5 + (−3); −11 =−8 + (−3); −14 =−11 + (−3);.... nên d = −3 .

nu1 +
Áp dụng công thức S=
n

n(n − 1)
d , ta có S 20 = −610 .
2

1 1 3 5
; - ; - ; - ;... Khẳng định nào sau đây sai?
2 2 2 2
A. (un) là một cấp số cộng.
B. có d = −1 .

Câu 33: Cho dãy số ( un ) :

D. Tổng của 20 số hạng đầu tiên là −180 .

C. Số hạng u20 = 19,5 .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có −

1 1
3
1
5
3
= + (−1); - =− + (−1); - =− + (−1);..... . Vậy dãy số trên là cấp số cộng với công sai
2 2
2
2
2
2

d = −1 .

u1 + 19d =
−18,5 .
Ta có u20 =
Câu 34: Cho dãy số ( un ) có un =

2n − 1

. Khẳng định nào sau đây đúng?
3

1
2
; d= − .
3
3
C. (un) không phải là cấp số cộng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
A. (un) là cấp số cộng có u1 =

Ta có un=
+1 − un

2(n + 1) − 1 2n − 1 2
1
−=
và u1 = .
3
3
3
3

Câu 35: Cho dãy số ( un ) có un =

18

1

2
; d= .
3
3
D. (un) là dãy số giảm và bị chặn.
B. (un) là cấp số cộng có u1 =

1
. Khẳng định nào sau đây sai?
n+2
Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

A. Các số hạng của dãy luôn dương.

B. là một dãy số giảm dần.

C. là một cấp số cộng.

D. bị chặn trên bởi M =

1
.
2

Hướng dẫn giải:

Chọn C.

=
u1
Ta có

1
1
1
; u2 =
; u3
=
. u2 − u1 ≠ u3 − u2 nên dãy số không phải là cấp số cộng.
3
4
5

Câu 36: Cho dãy số ( un )

2n 2 − 1
(un) có un =
. Khẳng định nào sau đây sai?
3

1
2
A. Là cấp số cộng có u1 = ; d = ;
3
3
2(2n + 1)

C. Hiệu un +1 − un =
3
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ta có u=
n +1 − un

B. Số hạng thứ n+1: un +1 =

2(n + 1) 2 − 1
3

D. Không phải là một cấp số cộng.

2(n + 1) 2 − 1 2n 2 − 1 2(2 n + 1)
. Vậy dãy số trên không phải cấp số cộng.
−=
3
3
3

Câu 37: Cho tứ giác ABCD biết 4 góc của tứ giác lập thành một cấp số cộng và góc A bằng 30o. Tìm
các góc còn lại?
A. 75o ; 120o; 165o.
B. 72o ; 114o; 156o.
C. 70o ; 110o; 150o.
D. 80o ; 110o; 135o.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Ta có: u1 + u2 + u3 + u4 = 360 ⇔ 30 + 30 + d + 30 + 2d + 30 + 3d = 360 ⇔ d = 40 .

=
=
=
u 4 150 .
u2 70;
u3 110;
Vâỵ
Câu 38: Tìm ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng −9 và tổng các bình
phương của chúng bằng 29.
A. 1; 2;3

B. −4; −3; −2

C. −2; −1;0

D. −3; −2; −1

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Gọi ba số hạng của CSC là a − 2 x; a; a + 2 x với d = 2 x

a = −3
a − 2 x + a + a + 2 x =−9

⇔
Ta có: 

1.
2

2
2
29
( a − 2 x ) + a + ( a + 2 x ) =
 x = ± 2
Câu 39: Cho bốn số nguyên dương, trong đó ba số đầu lập thành một cấp số cộng, ba số sau lập thành
cấp số nhân. Biết tổng số hạng đầu và cuối là 37, tổng hai số hạng giữa là 36, tìm bốn số đó.
A.=
b 15,
=
c 20,
=
d 25,
=
a 12

B.=
b 16,
=
c 20,
=
d 25,
=
a 12

C.=
b 15,
=
c 25,
=

d 25,
=
a 12

D.=
b 16,
=
c 20,
=
d 25,
=
a 18

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

19


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

a + d = 37
a = 37 − d
c + b = 36
c = 36 − b



Gọi bốn số đó là a, b, c, d ta có hệ : 
⇔
a + c = 2b
d = 73 − 3b
2
2


bd = c
b(73 − 3b) = (36 − b)

⇔ b= 16, c= 20, d= 25, a= 12 .
8
u − u =
. Tìm u1 , d ?
Câu 40: Cho cấp số cộng (un) thỏa mãn  7 3
 u2 .u7 = 75

d = 2
A. 
u1 = 2, u1 = −17

d = 2
B. 
u1 = 3, u1 = −7

d = 2
C. 
−3, u1 =

−17
u1 =

d = 2
D. 
u1 = 3, u1 = −17

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
8
u + 6d − u1 − 2d =
d = 2
Ta có:  1
⇔
75
u1 = 3, u1 = −17
(u1 + d )(u1 + 6d ) =

11
u31 + u34 =
Câu 41: Cho cấp số cộng (un) có công sai d > 0 ;  2
. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấp
2
101
u31 + u34 =
số cộng đó.

3n − 9
A. u=
n

3n − 2
B. u=
n

3n − 92
C. u=
n

3n − 66
D. u=
n

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
11
2u1 + 63d =
u = −89
Ta có: 
⇔ 1
2
2
101 d = 3
(u1 + 30d ) + (u1 + 33d ) =

Vậy un = 3(n − 1) − 89 = 3n − 92 .
Câu 42: Cho tam giác ABC biết 3 góc của tam giác lập thành một cấp số cộng và có một góc bằng 25o.
Tìm 2 góc còn lại?
A. 65o ; 90o.
B. 75o ; 80o.

C. 60o ; 95o.
D. 60o ; 90o.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Ta có : u1 + u2 + u3 = 180 ⇔ 25 + 25 + d + 25 + 2d = 180 ⇔ d = 35 .

=
u2 60;
=
u3 90.
Vâỵ
Câu 43: Tam giác ABC có ba góc A, B, C theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng và C = 5 A . Xác định
số đo các góc A, B, C .

20

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

 A = 100

A.  B = 1200
C = 500


 A = 150

B.  B = 1050

C = 600


 A = 50

C.  B = 600
C = 250


Chủ đề 11. Cấp số cộng

 A = 200

D.  B = 600
C = 1000


Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Từ giả thiết bài toán ta có hệ phương trình :
0
 A = 200
 A=
C 5 A
+ B + C 180=



⇔  B= 3 A ⇔  B= 600 .
 A + C= 2 B

C = 5 A


0
0
=
=
9 A 180

C 100

Câu 44: Cho tam giác ABC biết ba góc tam giác lập thành cấp số cộng và

3+ 3
sin A + sin B + sin C = tính các góc của tam giác
2
A. 300 , 600 ,900

B. 200 , 600 ,1000

C. 100 ,500 ,1200

D. 400 , 600 ,800

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ba góc của tam giác: 300 , 600 ,900

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

21


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

DẠNG 2: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ DÃY SỐ LẬP THÀNH CẤP SỐ CỘNG
Phương pháp:
2b
• a, b, c theo thứ tự đó lập thành CSC ⇔ a + c =

Câu 1: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc .

B. a 2 − c 2 = 2ab − 2bc .

C. a 2 + c 2 = 2ab − 2bc .

D. a 2 − c 2 = ab − bc .

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi:
b − a = c − b ⇔ ( b − a ) = ( c − b ) ⇔ a 2 − c 2 = 2ab − 2bc .
2

2

Suy ra chọn đáp án B.

Câu 2: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, đẳng thức nào sau đây là đúng?
A. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc + 2ac .

B. a 2 − c 2 = 2ab + 2bc − 2ac .

C. a 2 + c 2 = 2ab + 2bc − 2ac .

D. a 2 − c 2 = 2ab − 2bc + 2ac .

Hướng dẫn giải:
Chọn C.
a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
b − a = c − b ⇔ ( b − a ) = ( c − b ) ⇔ a 2 − c 2 = 2ab − 2bc
2

2

⇔ a 2 + c 2 = 2c 2 + 2ab − 2bc = 2ab + 2c ( c − b )
= 2ab + 2c ( b − a ) = 2ab + 2bc − 2ac
Câu 3: Cho a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng, ba số nào dưới đây cũng lập thành một cấp số cộng
?
A. 2b 2 , a, c 2 .

B. −2b, −2a, −2c .

C. 2b, a, c .

D. 2b, −a, −c .

Hướng dẫn giải:

Chọn B.
Ta có a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi a + c =
2b

⇔ −2 ( b + c ) = −2.2a ⇔ ( −2b ) + ( −2c ) = 2 ( −2a )
⇔ −2b, −2a, −2c lập thành một cấp số cộng
Câu 4: Xác định x để 3 số : 1 − x; x 2 ;1 + x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của x .

B. x = ±2 .

C. x = ±1 .

D. x = 0 .

Hướng dẫn giải: :
Chọn C.
Ba số : 1 − x; x 2 ;1 + x lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi x 2 − (1 − x ) =1 + x − x 2

⇔ 2x2 =
2⇔ x=
±1 suy ra chọn đáp án C.
Câu 5: Xác định x để 3 số : 1 + 2 x; 2 x 2 − 1; −2 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?

22

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

B. x = ±

A. x = ±3 .

3
.
4
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
C. x = ±

Chủ đề 11. Cấp số cộng

3
.
2

D. Không có giá trị nào của x .

Ba số : 1 + 2 x; 2 x 2 − 1; −2 x theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi

2 x 2 − 1 − 1 − 2 x =−2 x − 2 x 2 + 1

⇔ 4x2 =
±
3⇔ x=

3
. Suy ra chọn đáp án B.

2

Câu 6: Xác định a để 3 số : 1 + 3a; a 2 + 5;1 − a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng?
A. Không có giá trị nào của a .

B. a = 0 .

C. a = ±1

D. a = ± 2 .

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Ba số : 1 + 3a; a 2 + 5;1 − a theo thứ tự lập thành một cấp số cộng khi và chỉ khi
a 2 + 5 − (1 + 3a ) =1 − a − ( a 2 + 5 )

⇔ a 2 − 3a + 4 =−a 2 − a − 4 ⇔ a 2 − a + 4 =
0 . PT vô nghiệm
Suy ra chọn đáp án A.
Câu 7: Tìm x biết :
1. x 2 + 1, x − 2,1 − 3 x lập thành cấp số cộng ;
A.=
x 4,=
x 3

B.=
x 2,=
x 3

D.=

x 2,=
x 1

C.=
x 2,=
x 5

Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Ta có: x 2 + 1, x − 2,1 − 3 x lập thành cấp số cộng

⇔ x 2 + 1 + 1 − 3 x = 2( x − 2) ⇔ x 2 − 5 x + 6 = 0 ⇔ x = 2; x = 3
Vậy=
x 2,=
x 3 là những giá trị cần tìm.
Câu 8: Cho các số 5 x − y, 2 x + 3 y, x + 2 y lập thành cấp số cộng ; các số ( y + 1) , xy + 1, ( x − 1) lập
2

2

thành cấp số nhân.Tính x, y

=
A. ( x; y )

( 0;0 ) ; 

1 4  3 3 
; ; − ; − 
 3 3   4 10 

=
B. ( x; y )

( 0;0 ) ; 

=
C. ( x; y )

(1;0 ) ; 

=
D. ( x; y )

( 0;1) ; 

11 4   3 3 
; ; − ; − 
 3 3   4 10 

10 4   3 3 
; ; − ; − 
 3 3   4 10 

10 4   13 13 
; ; − ; − 
 3 3   4 10 

Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

23


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

Ta có các số 5 x − y, 2 x + 3 y, x + 2 y lập thành CSC nên suy ra 2 ( 2 x + 3 y ) = 5 x − y + x + 2 y hay

2 x = 5 y (1)
Các số ( y + 1) , xy + 1, ( x − 1) lập thành CSN suy ra
2

( xy + 1)

2

2

= ( y + 1) ( x − 1) ⇔ ( 4 + 2 y − 2 x )( 4 xy + 2 x − 2 y ) = 0 (2)
2

2

Thay (1) vào (2) ta được : ( 4 + 2 y − 5 y ) (10 y 2 + 5 y − 2 y ) =
0

4
3
⇔ y ( 4 − 3 y )(10 y + 3) =
0⇔ y=
0, y = , y =
− .
3
10

=
Vậy ( x; y )

( 0;0 ) ; 

10 4   3 3 
; ; − ; −  .
 3 3   4 10 

Câu 9: Tìm x, y biết: Các số x + 5 y,5 x + 2 y,8 x + y lập thành cấp số cộng và các số

( y − 1)

2

, xy − 1, ( x + 1) lập thành cấp số nhân.
2

3 
3


A. ( x; y ) =  − 3;  ;  3;


2 
2 



3 
3
B. ( x; y ) =  3; −
 ;  − 3; −


2  
2 



3 
3
C. ( x; y ) =  3;
 ;  3;


2  
2 




3 
3
D. ( x; y ) =−
 3; −
 ;  3;

2  
2 


Hướng dẫn giải:
Chọn D.
y 2(5 x + 2 y )
 x + 5 y + 8 x + =
Ta có hệ: 
giải hệ này ta tìm được
2
2
2
( x + 1) ( y − 1) = ( xy − 1)


3 
3
( x; y ) =
 − 3; −
 ;  3;
 .
2
2


 

Câu 10: Tìm x, y biết: Các số x + 6 y,5 x + 2 y,8 x + y lập thành cấp số cộng và các số

5
x + y , y − 1, 2 x − 3 y lập thành cấp số nhân.
3

3 1
A. ( x; y ) =( −3; −1) ;  ; 
8 8

1 1
B. ( x; y ) =( −3; −1) ;  ; 
8 8

3 1
C. ( x; y ) = ( 3;1) ;  ; 
8 8

 12 1 
D. ( x; y ) =( −3; −1) ;  ; 
 8 8

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
 x + 6 y + 8 x +=
y 2(5 x + 2 y )


Ta có hệ: 
giải hệ này ta tìm được
5
2
( x + 3 y )(2 x − 3 y ) =( y − 1)

3 1
( x; y ) =( −3; −1) ;  ;  .
8 8

24

Tài liệu dành riêng cho ✦ THÀNH VIÊN VIP ✦


Tổng ôn Toán 11

Chủ đề 11. Cấp số cộng

Câu 11: Xác định a, b để phương trình x3 + ax + b =
0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A.=
b 0, a < 0

B.=
b 0,=
a 1

C.=
b 0, a > 0

D. b > 0, a < 0

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đáp số:=
b 0, a < 0 . Khi đó phương trình có ba nghiệm lập thành CSC là x =0, x =± −a .
Câu 12: Tìm m để phương trình: mx 4 − 2 ( m − 1) x 2 + m − 1 =0 có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp
số cộng.
A. m = −

9
16

B. m = −1

C. m = −

7
16

D. m = −

9
12

Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Đáp số : m = −

9
16

Câu 13: Tìm m để phương trình: x 3 − 3mx 2 + 4mx + m − 2 =
0 có ba nghiệm lập thành cấp số nhân
1

m= −
A. 
27

m = 0

10

m=
B. 
7

m = 0

 m = −1
C. 
m = 0

10

m= −
D. 
27


m = 0

Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Giả sử phương trình có ba nghiệm a, b, c lập thành CSN

abc= 2 − m
⇒ m =2 − b3 thay vào phương trình ta có
Suy ra  2
b = ac
4
10

−
b =⇒ m =

3
27
(3b − 4)(b − 2) =0 ⇔

3
b = 2 ⇒ m = 0
3

Thay ngược lại ta thấy không có giá trị nào của m thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 14: Xác định m để:
1. Phương trình x3 − 3 x 2 − 9 x + m =
0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.
A. m = 16

B. m = 11

C. m = 13

D. m = 12

2. Phương trình x 4 − 2 ( m + 1) x 2 + 2m + 1 =0 (1) có bốn nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng.

4
9
C. m = 4 hoặc m = −2
A. m = 2 hoặc m = −

Tài liệu KYS Chuẩn mực của tài liệu tự học

4
9
D. m = 3 hoặc m = −1
B. m = 4 hoặc m = −

25