Đề thi môn Phương trình vi phân

Đề thi kết thúc học phần ĐHQG TP HCM

ĐỀ THI CUỐI HỌC KỲ I
Năm 2011
MÔN: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

(Thời gian làm bài: 90 phút)
t
 x t  f (t , x)
tương đương với phương trình tích phân x(t )  x0   f ( s, x( s ))ds
 x (t0 )  t0
t0

Câu I. Hãy chứng minh bài toán 

Câu II. Định lý tồn tại nghiệm Picard – Lindelof như sau:

Xét bài toán điều kiện đầu sau:

 x t  f (t , x)
(1). Trong đó f  C (U , R ) với U là 1 tập hợp mở trong R2 và

x
(
t
)

t
 0

0

(t0 , x0 )  U . Giả sử tồn tại tập V   t0  T , t0  T   BS ( x0 )  U sao cho f thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x trên
V.




Đặt M  sup f (t , x) , T0  min T ,
( t , x )V

S 
 . Khi đó bài toán (1) có nghiệm duy nhất x trên V   t0  T , t0  T 
M

và lim K n ( x0 )  x.n .
n 

a. Khi chứng minh định lý trên bằng phương pháp ánh xạ co, người ta đã chọn không gian Banach x ? X nào?
b. Khi chứng minh định lý trên bằng phương pháp ánh xạ co, người ta đã chọn ánh xạ co k nào? Kiểm tính chất
co của ánh xạ k này?

5n (n 2  1)
Câu III. Cho không gian Banach X, ánh xạ K : X  X và x0  X . Giả sử: K ( x)  K ( y ) 
xy
n!
n

với mọi x, y  X . Hãy chứng minh tồn tại duy nhất u  X thỏa mãn K (u )  u và

n

lim K n ( x0 )  u
n 

Câu IV. Giả sử các số thực a, b, c, d thỏa mãn: a < b và c > d. Gọi X là không gian C ( a, b  , R) với chuẩn sup, gọi Y
là không gian C ( a, b  ,  d , e ) với chuẩn sup. Biết rằng X là 1 không gian Banach.
a. Dùng định nghĩa của tính chất đóng, chứng minh Y là không gian con của X.
b. Dùng định nghĩa của tính chất đầy đủ, chứng minh Y là không gian con đóng của X.
(Chú thích: không được áp dụng định lý: “ Không gian con đóng của 1 không gian Banach là 1 không gian Banach”)

Trung tâm gia sư VIP –