Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán chuyên bình định năm học 2018 2019 (vòng 1 có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH
Đề chính thức

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN
NĂM HỌC 2018 – 2019
Môn thi: TOÁN (CHUNG)
Ngày thi: 02/6/2018
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề).

Câu 1: (1,0 điểm)
Cho biểu thức T =

a − 3 3 a + 6
+

a − 9  a − 4


÷ , với a ≥ 0, a ≠ 4, a ≠ 9
a −2 ÷

a

a) Rút gọn T.
b) Xác định các giá trị của a để T > 0
Câu 2: (2,0 điểm)
2
2
1. Cho phương trình x − 2 ( m − 1) x + m − 3m + 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để phương trình
2

2
có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa x1 + x2 − x1 x2 = 5
2018
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 + 2 x − x2 + 7
Câu 3: (2,0 điểm)
Một người dự định đi từ A đến B cách nhau 120 km bằng xe máy với vận tốc không đổi để đến B
vào thời điểm định trước. Sau khi đi được 1 giờ người đó nghỉ 10 phút, do đó để đến B đúng thời điểm
đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6km/giờ so với vận tốc ban đầu trên quãng đường còn lại.
Tính vận tốc ban đầu của người đó.

Câu 4: (4,0 điểm)
Cho tam giác ABC (AB < AC) có các góc đều nhọn nội tiếp trong đường tròn tâm O. AD là
đường kính của đường tròn (O), H là trung điểm của BC. Tiếp tuyến tại D của (O) cắt đường thẳng BC
tại M. Đường thẳng MO cắt AB, AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh MD 2 = MB.MC
b) Qua B kẻ đường thẳng song song với M cắt đường thẳng AD tại P. Chứng minh bốn điểm B,
H, D, P cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh O là trung điểm của EF.
Câu 5: (1,0 điểm)
Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c + ab + bc + ca = 6.
Chứng minh rằng a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3


LỜI GIẢI THAM KHẢO
Câu 1:
a) T =

a − 33 a + 6
+


a − 9  a − 4


÷=
a −2 ÷

a



a −3 


a −3

(

a +3

)(

3

) (

(

a+ 2

a+ 2

)(

)

a− 2

)

+



a −2 

a


3
a 
1
a +3
1
+
=
.
=

÷

÷
a +3 a− 2
a −2 
a +3 a− 2
a− 2
1
> 0 ⇔ a − 2 > 0 ⇔ a > 4 . Vậy a > 4 và a ≠ 9 thì T > 1
b) T > 0 ⇔
a− 2
Câu 2:
1. Phương trình có
1

=T =

∆ ' = b '2 − ac =  − ( m − 1)  − ( m 2 − 3m + 2 ) = m 2 − 2m + 1 − m 2 + 3m − 2 = m − 1
PT có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ ' > 0 ⇔ m − 1 > 0 ⇔ m > 1
b
c
2
Theo hệ thức Vi-et ta có: x1 + x2 = − = 2 ( m − 1) ; x1 x2 = = m − 3m + 2
a
a
2

(

)

(

)

− 3x1 x2 = 5 ⇔  2 ( m − 1)  − 3 m 2 − 3m + 2 = 5
−1 + 29
−1 − 29
⇔ m 2 + m − 7 = 0 ⇔ m1 =
(TMĐK) ; m2 =
(KTMĐK)
2
2
−1 + 29
2
2
Vậy m =
thì PT có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa x1 + x2 − x1 x2 = 5
2
2018
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =
2 + 2 x − x2 + 7
x12 + x22 − x1 x2 = 5 ⇔ x1 + x2

Ta có: 2 +

2

2x − x2 + 7 = 2 +
2018

≥

2

− ( x − 1) + 8 ≤ 2 + 8 = 2 + 2 2 = 2
2

2018

=

(
)
Vậy GTNN của A là 1009 ( 2 − 1) khi x = 1
Do đó: A =

2+

2 x − x2 + 7

2

2 +1

1009
= 1009
2 +1

(

)

(

)

2 +1

2 −1

Câu 3:
Gọi x (km/h) là vần tốc dự định lúc đầu. ĐK x > 0
120
Thời gian dự định đi hết quãng đường AB là
(giờ)
x
Trong 1 giờ đầu xe đi được quãng đường là: 1.x (km); Quãng đường còn lại phải đi là: 120 – x (km)
120 − x
Thời gian đi trên quãng đường còn lại là:
(giờ)
x+6
1 120 − x 120
=
⇔ x 2 + 4 x − 4320 = 0
Ta có phương trình: 1 + +
6
x+6
x
⇒ x1 = 48 (TMĐK); x2 = − 90 (KTMĐK). Vậy vận tốc lúc đầu là 48 (km/h)
Câu 4:
MD MC

=
⇒ MD 2 = MB.MC
a) Δ MDC ∽ Δ MBD (g.g) ⇒
MB MD
·
·
b) Ta có OH ⊥ BC (vì HB = HC). Do đó: OHM
= ODM
= 900 ⇒ Tứ giác OHDM nội tiếp
¶ =D
¶ mà M
¶ =B
µ (so le trong và OM // BP)
⇒M
1

1

1

1


¶ =B
µ ⇒ 4 điểm B, H, D, P cùng thuộc một đường tròn.
⇒D
1
1

c) Kẻ đường thẳng song song với EF cắt AD, AB lần lượt tại I và K

µ =M
¶ (cặp góc đồng vị) mà D
¶ =M
¶ (cmt)
⇒C
1
1
1
1
µ =D
¶ ⇒ Tứ giác IHDC nội tiếp ⇒ Iµ = C
¶
⇒C
1

1

1

2

¶ =C
¶ (vì nội tiếp cùng chắn cung BD)
Mà A
1
2
µ
¶ ⇒ IH // AB ⇒ IH // BK
Do đó: I = A
1

1

Δ CBK có HB = HC và IH // BK nên IK = IC (1)
OE OA
=
Ta có:
(vì Δ AKI có OE // KI)
(2)
IK
IA
OF OA
=
(vì Δ ACI có OF // CI)
(3)
IC
IA
Từ (1), (2) và (3) suy ra: OE = OF.
Câu 5:
Ta có: a 2 + 1 ≥ 2a; b 2 + 1 ≥ 2b; c 2 + 1 ≥ 2c (1)

a 2 + b 2 ≥ 2ab; b 2 + c 2 ≥ 2bc; c 2 + a 2 ≥ 2ac ⇒ 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2 ( ab + bc + ac ) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
a 2 + 1 + b 2 + 1 + c 2 + 1 + 2 ( a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2 ( a + b + c ) + 2 ( ab + bc + ac )
⇔ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 3 ≥ 2 ( a + b + c + ab + bc + ac )
⇔ 3 ( a 2 + b 2 + c 2 ) + 3 ≥ 2.6 = 12 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3
Dấu “= “ xảy ra khi a = b = c = 1

GV: Võ Mộng Trình – THCS Cát Minh – Phù Cát – Bình Định