Phân dạng và phương pháp giải các chuyên đề giải tích 12 tập 2 (500 trang)

NGUYỄN PHÚ KHÁNH
NGUYỄN TẤT THU – NGUYỄN TẤN SIÊNG
NGUYỄN ANH TRƯỜNG – ĐẬU THANH KỲ
( Nhóm giáo viên chuyên toán THPT )

Dành cho thí sinh lớp 12 ôn tập và thi Đại học, Cao đẳng.
Biên soạn theo nội dung và cấu trúc đề thi của Bộ GD &ĐT.

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


XIN TRÍCH DẪN MỘT PHẦN TÀI LIỆU

CHỦ ĐỀ: HÀM SỐ LŨY THỪA,
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
HÀM SỐ MŨ – HÀM SỐ LOGARIT
A.TÓM TẮT GIÁO KHOA.
1. Lũy thừa với số mũ nguyên:
a. Định nghĩa: Cho n là số nguyên dương và số thực a . Khi đó:
(tích n số a ).
 an  a.a...a
với mọi a  0 .
 a0  1
1
 an 
với mọi a  0 .
an
Ghi chú:
 Với n  0 thì a n có nghĩa  a  0

6

 Với a  0 thì a n 

1
n

a
b. Các tính chất về đẳng thức:
Với hai số thực a, b  0 và m,n là các số nguyên ta luôn có:

 

1. aman  amn
am

3. a m

m n

n

 a mn

a
n
4.  ab   a n bn
an
c. Các tính chất về bất đẳng thức
 Cho m,n là các số nguyên dương , ta có:

2.

n

a
an
5.   
b
bn

 b  0

 Với a  1 thì am  an  m  n

 Với 0  a  1 thì am  an  m  n

Nhận xét: Với a  0 thì am  an  m  n
 Cho 0  a  b và số nguyên m , ta có:
1. am  bm  m  0

2. am  bm  m  0

Nhận xét : Với 0  a  b thì am  bm  m  0 .
 Nếu n là số tự nhiên lẻ thì an  bn  a  b
2. Căn bậc n
a. Định nghĩa: Với n là số nguyên dương, căn bậc n của a là số thực b

thỏa mãn: bn  a .
b. Tính chất: Cho a, b  0 , hai số nguyên dương m,n và hai số nguyên tùy

ý p,q . Ta có:
1. n a.b  n a.n b
3.

n p

a 

 a
n

2.

p

4. n m a  mn a
3. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

5.

n

n

 b  0
b
p q
n
n
Nếu 

thì ap  aq
n m
a

b

a

n

a. Định nghĩa: Cho số thực a  0 và số hữu tỉ r 

a  0

m
( m,n là hai số nguyên
n

m
n

n  0 ). Khi đó ar  a n  a m .
Chú ý : Lũy thừa số mũ hữu tỉ chỉ được định nghĩa cho số thực dương.
b. Tính chất: Lũy thừa với số mũ hữu tỉ có đầy đủ các tính chất như lũy
thừa với số mũ nguyên.
4. Lũy thừa với số mũ thực
a. Định nghĩa: Cho số thực dương a và  là số vô tỉ. Khi đó tồn tại dãy số

hữu tỉ  rn  có giới hạn  và a  lim a n .
r

n


b. Tính chất: Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ các tính chất như lũy thừa
với số mũ nguyên.
Lưu ý :
 Lũy thừa với số mũ nguyên âm và mũ 0 thì cơ số khác không
 Lũy thừa với số mũ hữu tỉ và số thực thì cơ số dương.
5. Logarit.
a) Định nghĩa: Cho a  0,a  1, b  0 thì loga b    a  b .
Đặc biệt: loga b    a  b
b) Tính chất:
 loga 1  0

lg b    10  b

loga a  1

a

 loga b   loga b
 log

a

b

loga 

ln b    e  b



loga a  

loga  x1x2   loga x1  loga x2

1
loga b


loga

Đặc biệt:
1
loga  log 1 b   loga b
b

loga n b 

a

x1
 loga x1  loga x2
x2

1
log a b
n

log a b 

logc b
log c a

a  1  loga b  loga c  b  c  0
 0  a  1  loga b  loga c  0  b  c .

6 . Hàm số mũ
a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng y  a x , trong đó a  0 gọi là cơ số.
b. Tính chất:
* Tập xác định:
* Giới hạn – đạo hàm
1
ex  1
 Giới hạn: lim(1  )x  e và lim
 1.
x0
x0 x
x

 
Đặc biệt:  e  '  e

 

 Đạo hàm: a x '  a x ln a . Từ đó suy ra: a u '  u'a u lna
x

x

 

và eu '  u'.e u .

* Tính đơn điệu: a  1 thì hàm đồng biến, nếu 0  a  1 hàm nghịch biến.
7. Hàm số lũy thừa
a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng: y  x ,  
b. Tính chất:
* Tập xác định:
 Nếu  là số nguyên dương thì tập xác định là
 Nếu  nguyên âm hoặc bằng 0 thì tập xác định là \{0}
 Nếu  không là số nguyên thì tập xác định là (0; )

8




 


1
* Đạo hàm : x '  .x1 từ đó suy ra:  u(x)   '  u'(x).  u(x) 


1
u'(x)
Đặc biệt: n x ' 

và n u(x) ' 
.
n
n. xn 1
n.n un 1 (x)

 





* Tính đơn điệu: Hàm đồng biến trên (0; ) nếu   0 và nghịch biến trên
(0; ) nếu   0 .

8. Hàm số logarit
a. Định nghĩa: Là hàm số có dạng: y  loga x , trong đó 0  a  1 .
b. Tính chất:
* Tập xác định là tập (0; )
* Giới hạn – Đạo hàm:
ln(1  x)
1
 Giới hạn: lim
x0
x
1
u'
. Từ đó, suy ra:  loga u  ' 
 Đạo hàm:  loga x  ' 
x lna

u lna
u'
1
Đặc biệt:  ln x  '  và  ln u  '  .
u
x
* Tính đơn điệu: Hàm đồng biến khi a  1 và nghịch biến khi 0  a  1 .

B.PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN.
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức – Rút gọn
Ví dụ 1.1.1 Rút gọn các biểu thức
A  (32)
C

0,2

 1 
 
 64 

a b
4

a4b



0,25

1

( 3  2) 4 ( 3  2)4

 8 3
 
 27 

2
B 
5

 ab

D
 3 ab  :
3
3
 a b


a  4 ab
4

a4b

Lời giải.
1
5

   

Ta có: A  2

5



 2

( 3  2)| 3 2|

2
B 
5

6



5
 
2

 25 
 
 4 

1
4

2
 
3

1
2( 1 )
2

3.

1
3

3



2
 
3


1
2 7
1
.
2 2   
2
3 6 2 2

5 5
2

2

2 2 2
4
     .
5 5 3
9



3

1

1
2

2
 
3

a3b



2

5 32



C

4

a4b
4



4

a 4b

a b
4



4

a4 a  4 b
4

a b

3

3
D   a 2  3 ab  b2  3 ab  :


3
3
D   a 2  2 3 ab  b2  :





3

4



3

 4 a  4 b  4 a  4 b.

a 3b



 

3

a3b

2

2

a3b

 :
2

3

a3b



2

 1.

Ví dụ 2.1.1 Rút gọn các biểu thức

E

x



y





2

 1 
  4  xy 





4
1
2

a3 a 3  a3 




F
1 3
1

a4 a4  a 4 








Lời giải.
E  x2   y2   2x y   4x y   x2  y 2  2x y  

F

4
1

3
3
a .a
1

3

4 2
 a 3 .a 3
1

a 4 .a 4  a 4 .a



1
4



x



 y



2

 x  y

a 1  a 2
1  a3
1  a  a2 1


 1 a
a 1
a
a
a 1  a 

Ví dụ 3.1.1 Rút gọn các biểu thức
log 3 135 log 3 5
A


log15 3 log 405 5

1
5
B  log 1  log 3 8.log 2 3   log 25 10  log 1
2
2
9

Lời giải.
log 3 135 log 3 5
A

 log 3 135.log 3 15  log 3 5.log 5 405
log15 3 log 405 5

5

A  log3  5.27  .log3 15  log 3 5.log 3  27.15    log 3 5  3  log 3 15  log 3 5  3  log3 15 

A  3  log 3 15  log 3 5   3.log 3
B  log

32

15
3
5

 3log3 2.log2 3  log52 10  21 log 51 25

1
1
5
1 1
3
  log 3 3   log 5 10  log 5     log 5 25   .
2
2
2
2 2
2

Ví dụ 4.1.1 Rút gọn các biểu thức

10


C



lg 5  2 6



20

 lg  49  20 6 






4 ln e  5ln e 3 .5 e

20



D

log7 2.log6 7  log11 3.log6 11
log 2 3.log9 8

Lời giải.
49  20 6 

Ta có:

C



lg 5  2 6



20

1
2
4 ln e

5  2 6 

2



20

 lg 5  2 6
3



 52 6

lg (5  2 6)(5  2 6) 

 
28

1
5

20

0

 5ln e
log7 2 log11 3

log7 6 log11 6 2  log 6 2  log 6 3  2 log 6 6 2
D



3
3
3
3
log 2 3.log 3 2
2

Ví dụ 5.1.1 Rút gọn các biểu thức sau với điều kiện các biểu thức đó tồn tại:





A  log 3b a  2log 2b a  log b a  loga b  logab b   log b a
B

C

2 log 2 2a 2  2

log 2  log 2 2a 1

.log 2 a  log 42 a 4  2
log 2 2a

1
1
1

 ... 
log 2 n! log 3 n!
log n n!

Lời giải.





1. Ta có: A  log 2b a  2log b a  1 1  log b a.logab b   log b a
1 
2
  log b a  1  1 
  log b a
loga ab 


1
2
  log b a  1  1 
  log b a

1  loga b 

log b a 
2 
  log b a  1 .  1 
  log b a  log b a  1  log b a  1
log b a  1 


2. . Ta có: B 


2  4 log 2 a  2(1  log 2 a).log 2 a  4 log 22 a  2
log 2 2a
6 log 22 a  6 log 2 a
 6 log 2 a .
log 2 a  1

2. . Ta có: C  logn! 2  logn! 3  ...  logn! n  logn! (2.3...n)  1 .


Ví dụ 6.1.1
1. Tính log 36 24 , biết log12 27  a .
2. Tính log 24 15 theo a, b , biết log2 5  a, log 5 3  b .
3. Tính log 25 24 theo a, b , biết log6 15  a, log12 18  b .
4. Tính log126 150 theo a, b,c , biết log2 3  a, log 3 5  b, log5 7  c.
Lời giải.
1. a  log12 27  3log12 3 
Suy ra log 3 2 

3
3
3


log 3 12 log 22.3
2 log 3 2  1
3

 

3a
2a
và log 2 3 
3a
2a

 

Ta có: log 36 24  log 36 23.3  3log 36 2  log 36 3
Hơn nữa log 36 2 
log 36 3 

1
1
1
3a
và




log 2 36 2 log 2 6 2 1  log 2 3  6  2a

1
1
1
2a



log 3 36 2 log 3 6 2 1  log 3 2  6  2a

Vậy, log 36 24  3log 36 2  log 36 3 
2. log 24 15  log 24 3  log 24 5 


1
3log 3 2  1



1
1

log 3 24 log 5 24

1
.
3log 5 2  log 5 3

Hơn nữa log 3 2  log 3 5.log 5 2 
Vậy, log 24 15 

9a
6  2a

a 1  b 
3  ab

1
1
1
.

log 5 3 log 2 5 ab

.

1
1
3log 5 2  log 5 3    3x  y  với x  log 5 2, y  log 5 3

2
2

y1
1
1



a  log 6 15  log 6 3  log 6 5 
log
2
log 5 2  log 5 3 x  y
5

1

log 5 3

x  2y
1
1
 b  log 18  log 2  2 log 3 


12
12
12

log 5 3
log 5 2 2x  y
2
1 2

log 5 2
log 5 3

b2
1  2b

, y
Suy ra x 
2b  a  ab  1
2b  a  ab  1

3. log 25 24 

12


b5
.
4b  2a  2ab  2
4. log126 150  log126 2  log126 3  log126 5

Vậy, log 25 24 



1
1
1
1




log 2 126 log 3 126 log 5 126 log 2 2  2 log 2 3  log 2 7



1
1

log 3 2  2 log 3 3  log 3 7 log 5 2  2 log 5 3  log 5 7

Từ giả thiết suy ra: log 3 2 

1
1
 , log2 7  log2 3.log3 5.log5 7  abc .
log 2 3 a

log3 7  log3 5.log5 7  bc , log 5 3 

1
1
1
.
 , log 5 2  log 5 3.log 3 2 
ab
log 3 5 b

1  a  2ab
.
1  2a  abc
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

Vậy, log126 150 

A

 7

B  log

log7 9

 log9 270  log9 10

D

1 log 5 3

1
0,2   101lg 3  3  
5
5

 



lg 5  2 6

F

 lg  49  20 6 






4 ln e  5ln e 3 .5 e

E  log

a2
a
C  a lg a  a 2 loga 10 

lg a loga 10



20

35 27

1
 2 log
27

20



128
8 3

2
log7 2.log6 7  log11 3.log6 11

log 2 3.log9 8

Bài 2:
1. Tính log 30 1350 theo a, b . iết log30 3  a,log 30 5  b .
4 2

theo a, b . iết log5 2  a,log 5 3  b .
15
3. iết log6 15  a; log12 18  b . Tính log 25 24 theo a, b
2. Tính log 5

4. iết a  log2 3; b  log 3 7 . Tính log 24 14 theo a, b .
Bài 3: Tìm m,n để các biểu thức sau không ph thu c vào a, b  0


1

 a 10  5
a
5
  log 5
A  3m log 5  a 3 b   4n log 25 
6


5

b


 b 
 b2 
B  m log7 49a6 .5 b  3n log7 7 
  log7 ab
 343a6 


Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau với điều kiện các biểu thức luôn tồn tại.






1. logax  bx  

loga b  loga x

2. log x a  log x a 2  ...  log x a n 

1  loga x

n  n  1
2 log x a

Bài 5: Với giá trị nào của x, y thì các biểu thức sau không đổi với mọi a, b  0 .
3

a 4 b5
5
3
A  2x log 2  ab2 . a 2 b   3y log 32
 log 2 a
4 5 3


a b
3
7
B  y log 3 3  a b2   4xlog 27 (81. ab2 )  6log 3 ab



Dạng 2. Chứng minh Đẳng thức – Bất đẳng thức
Ví dụ 1.2.1 So sánh:
2
1
1. log 3
và log 2 .
3
2
Lời giải.
 1


 2
1. 

 1


 2

1
3

 log 3

1
2

2. log 2 3 và log 3 4

 log 3

1
3

 log 3 3



1
2



1

2

1

 log 3

1

 log 2

2
3

2

2
2
1
1
 log 2  log 2
 log 2 2 2  
3
3
2
2
1
1
1
2. log 3 2.log 3 4   log 3 2  log 3 4   log 3 8  log 3 9  1 ( theo Cô Si)
2

2
2
1
 log 3 2.log 3 4  1  log 3 4 
 log 2 3
log 3 2

Ví dụ 2.2.1 Tìm a, b thỏa mãn đồng th i hai điều kiện sau: 2a  3b  21 và
2lg(a  3b)  lg 4  lga  log b
Lời giải.
Điều kiện: a  3b  0
Ta có: 2lg(a  3b)  lg 4  lga  log b
 lg(a  3b)2  lg(4ab)  (a  3b)2  4ab

2a  3b  21
2a  3b  21

Do đó, ta có hệ :  2
2

(a  b)(a  9b)  0
a  10ab  9b  0

2a  3b  21 a  9


.
a  9b  0
b  1

Ví dụ 3.2.1 Chứng minh rằng:

14


1. Với x2  4y2  12xy ta luôn có : ln  x  2y   2 ln 2 
 1
1
2. Với mọi số thực x , ta có: log 1 

2
 2x
2x
2

1
 ln x  ln y  .
2


7


8


Lời giải.
1. Điều kiện: x, y  0
Giả thiết có x2  4y2  12xy  x2  4y2  4xy  16xy
  x  2y   16xy  ln  x  2y   ln 16xy 

2

2

 2ln  x  2y   4ln 2  ln x  ln y  ln  x  2y   2ln 2 

1
ln x  ln y  .
2
2. Theo bất đẳng thức giữa trung bình c ng và trung bình nhân, ta có:
1
2x

1


2

 x2

2

1

1

.
 2.
2 x 2  x2

1
x  x2
2 2

1
 
2

x  x2  2
2

x  x2  2

 1
1 
1 2
x  x2  2
  log 1  
Như vậy, log 1 


2 
 2x
2
2
2x 
2
2
2
 1

1 
1
1
7
7
   x      .
Hay log 1 

2 
 2x
2
2
8
8
2 x 
2
1
Đẳng thức xảy ra khi x  .
2

Ví dụ 4.2.1 Chứng minh các bất đẳng thức sau:
xy
2y
1. ln 
với x  0 và y  0 ;

 x  2x  y
b

a



1 
1 
2.  2a     2 b 
 với a  b  0
a

2 

2b 

Lời giải.
1. Đặt t 

xy
1
x

xy
 tx  x  y  y  x(t  1) .
x
2y
2x(t  1)
t 1
Do đó:
.

2

2x  y 2x  x(t  1)
t 1
t


ài toán trở thành chứng minh: ln t  2

t 1
với mọi t  1 .
t 1

2(t  1)
, t 1
t 1

Xét hàm số: f(t)  ln t 

1
4
(t  1)2
Ta có: f '(t)  

 0 t  1
t (t  1)2 t(t  1)2

t 1
với t  1 đpcm.
t 1
2. Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
 f(t)  f(1)  0 t  1 hay ln t  2

b

a



   4  1
ln  4  1 ln  4  1
 bln  4  1  a ln  4  1 

a
b
ln  4  1
Xét hàm số : f  t  
, t   0;  
 a 1 
 b 1 
a
2  a   2  b   4 1

2 

2 

b

b

a

a

a

b

b

 1

t

t

Ta có : f '  t  

t



t

 
 4  1

4 ln 4  4t  1 ln 4t  1
t

2

t

 0;  
Vậy : a  b  0  f  a   f  b  
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: So sánh các số sau
1
1
1. log 2 và log 1
2
3



  0, t  0 nên hàm số nghịch biến trên
  ln  4  1 .

ln 4a  1

b

a

b

2. log0.3 0.2 và log0.2 0.3

3

3. log 5 16 và log 2 3  log 3 8 

4
3

4. 300500 và 500300

 1  1 log 4
 1 log 9log 6

 log
4
9
7
7
log
8
log 2
5 
 25 125  .49 7 và 72  49 2
5
5.  814 2








Bài 2:

1. Gọi c là cạnh huyền, a và b là hai cạnh góc vuông của m t tam giác
vuông, trong đó c  b  1,a  1 . Chứng minh rằng:
logc b a  logcb a  2logc b a.logcb a .

2. Cho a, b  0 thỏa mãn a2  b2  7ab . Chứng minh rằng:

16


ab 1
  log 2012 a  log 2012 b  .
3
2
3. Tìm các số thực a, b thỏa mãn đồng th i hai điều kiện sau:
log 2012

2
2

2a  5ab  2b  3  0
b. 

log 3  a  2b   2 log 3  b  2a   5
4. Cho a, b,c  0 theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp của m t cấp số nhân.


2a  3b  21
a. 

2 lg  a  3b   lg 4  lg a  lg b

Chứng minh rằng: 3log 2 a  2log 3 c  log
4

2

b3 .

5. Cho a, b,c,x  0; x  1 . Chứng minh rằng: logx a, logx b, log x c theo thứ tự
lập thành cấp số c ng khi và chỉ khi a, b,c theo thứ tự là cấp số nhân.
6. Cho a, b,c là đ dài ba cạnh tam giác ABC với 0  c  b  1 và c  b  1 .
Chứng minh logc b a  logcb a  2logc b a logcb a  ABC vuông tại C .
CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC
Bài 3:
1. Cho logabc 2012  loga 2012  log b 2012  logc 2012 . Chứng minh rằng: trong
bà số a, b,c luôn tồn tại m t số nhỏ hơn 1 .
2. Cho a, b  0 thỏa mãn a2  b2  14ab . Chứng minh rằng:
ab 1
log 2012
  log 2012 a  log 2012 b  .
4
2
Bài 4: Cho các số thực a, b  1 . Chứng minh rằng:
log c
log a
log b
ab
2. a b  b c  c a  3 3 abc
2
Bài 5: Cho các số thực a, b,c  2 . Chứng minh bất đẳng thức:

1. lna  ln b  2 ln

log bc a2  logca b2  loga  b c2  3

Bài 6:
1. Cho các số thực x, y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P



8x  8 y  7 2x  2y  2 y  2x



4x 2y  4 y  2x

1
 a, b,c,d  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
4

1

1

1

1
F  loga  b    log b  c    log c  d    logd  a  
4

4
4
4









2. Cho


3. Cho a, b,x  0; b,x  1 thỏa mãn: log x

a  2b
1
. Tính giá
 log x a 
3
log x2
b

2

2a  3ab  b

trị của biểu thức: P 

 a  2b 2

2

khi a  b .

Bài 7:
2

2

1. Chứng minh rằng: 3sin x  3cos x  2 3 với x  .
2. Cho logabc 2010  loga 2010  log b 2010  logc 2010 . Chứng minh rằng trong
bà số a, b,c luôn tồn tại m t số nhỏ hơn 1 .
3. Cho a, b  0 thỏa mãn a2  b2  14ab . Chứng minh rằng:
ab 1
log 3
  log 3 a  log 3 b  .
4
2
Bài 8: Chứng minh rằng:
1
1. ln(1  x)  x  x2 x  0
2

2. ln(1  x)  x 

x2 2x3


2
3

x  0

Dạng 3. Tìm tập xác định của hàm số
Phƣơng pháp:
0  a  1
.
 Hàm số y  loga f  x  xác định  
f  x   0


f  x   0
.
 Hàm số y  logg x  f  x  xác định  

0  g  x   1



 Hàm số y  f  x 



g(x)

xác định  f  x   0 .

Ví dụ 1.3.1 Tìm tập xác định của các hàm số sau:

1
1. y  5x  2x2  2  ln
2. y  x2  4x  3 log 2 (25  4x2 )
2
x 1
3. y  log2x1 (3x  1)  2log3x1(2x  1)
4. y  log 3x 2  1  1  4x2 


Lời giải.
1
2  x  2
2x2  5x  2  0

1. Điều kiện 

 1 x  2.
2
 x  1
x  1  0

  x  1

18


Vậy, D  (1; 2] .
x  3

x2  4x  3  0

5
 x1
2. Điều kiện 
 
   x  1.
2
2
5
 5
25  4x  0
 2  x  2
 5 
Vậy, D    ;1 .
 2 

1
0  2x  1  1 x  

3. Điều kiện: 
3
0  3x  1  1 x  0


 1

Vậy, D    ;   \0 .
 3


2

0  3x  2  1
x   3
4. Điều kiện: 

2
1  1  4x  0
x   1 ; x  0

3
 2
  1 
Vậy, D    ;   \  ,0  .
 3
  3 

Ví dụ 2.3.1 Tìm tập xác định các hàm số sau:

 x2  1  
1. y  log 2 log 1 

 x2  3  



2

2. y 



x 1

Lời giải.
1. Hàm số xác định khi và chỉ khi :

 x2  1  
 x2  1 
x2  1 1
log 2 log 1 
  x 1
   0  log 1 
 1 0 
2
 x2  3  
 x2  3 
2

x

3





2

2
Vậy: D  
 1;1 .

2. Hàm số xác định khi và chỉ khi :

x  0
x  0



 2 x
2x  x  3  0


ln 2x  x  3  ln 3  0
2 x






 
 

2
2



ln 2x  x  3  ln 3



x  0

3

 x  3  0  1  x 
2

1

 x 0
 x  0, x  2



9
0  x  4
 1 1 9

 D   0;    ;  .
1
 4 4 4
x 

4
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm tập xác định các hàm số sau:

1. y  ln

1

x 1

4. y  5x  2x2  2  ln

2. y  ln  x  x2  4 


3. y  


3x  2


2
x  1  2  ln x2 1 




2

1
2

x 1

5. y  x  4x  3 log 2 25  4x2



6. y  log2x1  3x  1  2log3x1  2x  1
7. y  log

3x  2

 1  1  4x2 





CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC
Bài 2: Tìm tập xác định của các hàm số sau:
x 1
2. y  x2  4x  3  log x (x2  4)
1. y  4  x2  log 2
x1


x2
3. y  ln  x2  1  x  log 2
x3





2

4. y  x  2



log x  log 2 ( x2  2x 3) 



Bài 3: Tìm m để hàm số sau xác định với x 
 x2  mx  1 2 
3 x2  mx  1
 

1. y  ln 
 x2  x  1 3 
2
x2  x  1



2. y  log2 (2x2  3x  2m  1)
3. y  log 3

x2  2mx  m  2

4. y  log 2

x2  3

x2  mx  1
3x2  2mx  2m  1

Dạng 4. Tính giới hạn và đạo hàm
Phƣơng pháp:

ln 1  x 

ex  1
 1.
x0
x0 x
x
u x
ln 1  u  x 
e   1
 lim
1.
Hệ quả: lim u  x   0  lim
x  x0
x  x0 u  x 
x  x0
u x
 Sử d ng các giới hạn đặc biệt: lim

 1 và lim



 Sử d ng các công thức đạo hàm

20




Lưu ý: Để tính đạo hàm hàm số y  f  x 
hàm. C thể: ln y  g  x  .ln f  x  

g(x)

ta lấy loganepe hai về rồi lấy đạo

y'
 g  x  .ln f  x  ' .
y 

eax  e bx
x0
x

Ví dụ 1.4.1 Tìm các giới hạn sau : A  lim
Lời giải.

eax  1
e bx  1
 b lim
ab.
x0 ax
x0 bx

Ta có: A  a lim

Ví dụ 2.4.1 Tìm các giới hạn sau :
2x 1 1

e

A  lim

x0

e
x

3 1 3x 1

B  lim

ln



3

 

3x  1  1  ln

x0

x

Lời giải.
e

A  lim

x0

e

Mà lim

2x 1 1

1

2x 1 1

1

2x  1  1

x0
3

Và lim

x0

B  lim

3

3
2x  1  1
e 13x 1  1
1  3x  1
. lim
 lim
. lim
3
x0 1  3x  1 x0
x
x
2x  1  1 x0
3 13x 1

1

x0 3 1  3x

1

 lim

e

 1 ; lim

x0

2x  1  1
1
x

1  3x  1
 1 . Nên A  1  1  2 .
x

ln

x0

 lim



3

 

3x  1  1  ln
x



x1 1



ln 1  3 1  3x  ln 2

x0

 lim







ln 1  1  x  ln 2

x0
x


1

3
1  3x  1 
ln  1 
1 x 1 
2
  lim 
 IJ
x0
x0
x

x

1

ln  1  3 1  3x  1  3
2
1
 . 1  3x  1  1 .1.1  1 .
Mà I  lim 
1 3
2 x0
x
2
2
1  3x  1
2

1

ln  1 
1 x 1 
2
1
 . 1  x  1  1 .1. 1  1 .
J  lim 
1
2 x0
x
2 2 4
1 x 1

2


1
ln  1 
2
 lim 



x























x1 1




Vậy B 

1 1 1
  .
2 4 4

Ví dụ 3.4.1 Tính đạo hàm các hàm số sau:
2x  1

1. y  ln  x  x2  1 



2. y 

3. y  log 3 (3x2  2x  1)

4. y  e

5x
3 2

x 1 x

 33x1

Lời giải.
 x  x2  1  '


1
 
1. Ta có: y'  
x  x2  1
x2  1
x

x

1
1
ln 2
2 1


2. Ta có: y        y' 
.
2 x ln 5 x ln 5(ln 2  ln 5)
 5 5
x ln
5

3. Ta có: y' 



(3x2  2x  1)'



3x2  2x  1 ln 3

4. Ta có: y'  e





6x  2



3x 2  2x  1 ln 3

.

'

3 2
x 1  x  3



2
3x 1
(3x  1)'ln 3
 x  1  x  3





3 2
2x
 e x 1  x 

2
 33 x  1






'

2



 1   33x ln 3 .





Ví dụ 4.4.1
x

khi x  0
 x  1 e
1.Tìm a để hàm số y  
có đạo hàm tại x  0 .
2

x  ax  1 khi x  0
3
3

 1  ax  cos x ,x  0
2. Tìm a, b để hàm số y  
có đạo hàm tại x  0 .

ln 1  2x   b  1,x  0

Lời giải.

   lim

1. y' 0



 

y  x  y 0

x0

y' 0  lim

x0

x

y  x  y 0
x

 lim

x0

 x  1 ex  1 
x


ex  1 
lim  e  x 
0

x 
x0 

x2  ax  1  1

 lim  x  a   a
x
x0
x0

 lim

   

Hàm số có đạo hàm tại x  0  y' 0  y' 0  a  0 .

22


2. Hàm số có đạo hàm tại x  0 khi nó liên t c tại x  0 .Khi đó
lim y  x   lim y  x   y  0   b  1
x0

x0

 

Mặt khác : y' 0  lim

 

y' 0  lim

x0

ln 1  2x 

x0

x

3

1  ax  3 cos x a
 và
x
3

2

   

Hàm số có đạo hàm tại x  0  y' 0  y' 0  a  6
Vậy a  6, b  1 thoả yêu cầu bài toán.
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Tìm các giới hạn sau :
ex  1

H  lim

x 1 1
 1

I  lim 
 1  ln 1  tan 2 x

x0  sin 2 x

Bài 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:
x0



5

1. y  2x3  1




1  x  1

J  lim
,
x0

x

a x  xa
xa x  a

K  lim



3. y  10 sin 3x

4. y 

x

2 1
5

6. y  2 ln
7. y  e

x

Dạng 5. Ứng dụng –



5. y  log 3 3x2  2x  1

3

2. y  ln x

  0

x2  2x  3
x2  2x  3

3 2
x 1 x

 33x1

chứng minh đẳng thức – bất đẳng thức

Ví dụ 1.5.1 Chứng minh rằng: hàm số y  f(x)  5x ( x2  1  x) đồng biến trên
.
Lời giải.
TXĐ: D 


x
Ta có: f '(x)  5x ln 5  x2  1  x   5x 
 1
 2



 x 1


1 

 5x ( x2  1  x)  ln 5 


x2  1 



 x2  1  x  x2  x  0



 f '(x)  0 x 
Ta có: 
1
1
 ln 5 
0
ln 5  1 

x2  1
x2  1

Vậy hàm số đồng biến trên .

Ví dụ 2.5.1
1. Phương trình ln  x  1  ln  x  2  

1
 0 không có nghiệm thực.
x2

2. Với mọi số thực x ta luôn có: ln  1  1  e2x   e x  x .


Lời giải.
1. Xét hàm số : f  x   ln  x  1  ln  x  2  
khoảng  1;   .
Ta có f '  x  

1
, xác định và liên t c trên
x2

1
1
1
1
1




 0, x  1
2
x  1 x  2 x  2
 x  1 x  2   x  2 2

 f  x  liên t c và đồng biến trên khoảng  1;   và lim f  x    ,

lim f  x   0 suy ra f  x   0, x  1 .

x1

x

Vậy phương trình cho không có nghiệm thực
2. Đặt t  ex bài toán trở thành “ Chứng minh rằng t  0 luôn có
1
ln  1  1  t 2    ln t ”.


 t
1
Xét hàm số f  t   ln  1  1  t 2    ln t với t  0

 t
1 1
1  t2  t
  
 0 , suy ra y  f  t 
2
2
2
2
2 t
t
t
1

t
2 1  t 1  1  t 


đồng biến trên khoảng
 1  1  t2 
1  1  t2
0
 1  lim ln
Mặt khác lim
t 

t  
t
t



 1  1  t2 
  lim 1  0 điều này chứng tỏ hàm số y  f  t 
Suy ra lim ln
t  
t
 t  t


nhận Ox làm m t tiệm cận ngang

Ta có f '  t  

2t

24


Ta thấy y  f  t  đồng biến trên  0;   và hàm số có tiệm cận ngang là y  0
khi t   nên f  t   0 t  0

Ví dụ 3.5.1 Cho 0  x  1 . Chứng minh rằng:

ln x
1


x 1
x

Lời giải.
x  1 , bất phương trình cho tương đương ln x 

Xét hàm số f  x   ln x 
Ta có: f '  x  

x 1

2 x   x  1

x



x 1
x

.

với x  1 .
2 x 2 x

 0 (do cô si) khi x  1 .
2x x
2x x
f  x  nghịch biến trên khoảng 1;   , suy ra f  x   f 1  0 khi x  1 , bất đẳng

thức đã cho đúng.
0  x  1 , bất phương trình cho tương đương ln x 

x 1
x

.

x 1

với 0  x  1 . Tương tự trên, hàm số f  x  nghịch
x
biến trên khoảng  0;1 , suy ra f  x   f 1  0 , bất đẳng thức đẳng thức đã cho
Xét hàm số f  x   ln x 

đúng.
Ví dụ 4.5.1 Cho các số thực không âm x, y,z thỏa mãn z  y  z  3 . Tìm giá trị
nhỏ nhất của: P 

1
1
1


4  2ln 1  x   y 4  2ln 1  y   z 4  2ln 1  z   x

Lời giải.
Giả thiết 0  x, y,z  3 suy ra 4  2ln 1  x   y  0, 4  2ln 1  y   z  0 và
4  2ln 1  z   x  0 . Theo bất đẳng thức giữa trung bình c ng và trung bình

nhân , ta có: P 

9
, biểu
4  2ln 1  x   y  4  2ln 1  y   z  4  2ln 1  z   x

thức có dạng: P 

9
12  f  x   f  y   f  z 

Xét hàm số f  t   2ln 1  t   t, t  0; 3 , có f   t   1  t .
1 t
Lập bảng biến thiên hàm f  t  , với t  0; 3 suy ra 0  f  t   2ln 2  1 .
Do đó P 

9
3

.
12  f  x   f  y   f  z  3  2 ln 2


3
, khi x  y  z  1 .
3  2 ln 2
CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP
Bài 1: Chứng minh rằng :

Vậy min P 

1. Nếu y  esin x thì y'cos x  y.sin x  y"  0 .
2. Nếu y  ln  cos x  thì y'tan x  y" 1  0 .
3. y  ln

2
x
thỏa mãn phương trình: y' 1  x  .e y  1 , x   0;1 .
1 x

4. . y  x 3cos  ln x   4sin  ln x  thỏa mãn: x2 y'' xy' 2y  0
Bài 2: Chứng minh rằng:
1. ex  1  x, x 
Bài 3:
1. y  xlogx 2
2. y  e  x

2

x

2. ex  1  x 

1
3. ln 1  x   x  x2 x  0
2

x2
, x  0 .

2

 x  0,x  1 . Giải bất phương trình: y'  0 .

.Giải phương trình: y'' y' 2y  0 .

3. y  ln  x  x2  1  . Giải phương trình: 2xy' 1  0 .





Bài 4: Xét tính đơn điệu của hàm số : y  ln x4  3x2  4
Bài 5:
1. Xác định a để hàm số y  log

3
2

 2a  3a  2a 2 





x đồng biến trên khoảng  0;   .

2. Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:
5
b. y  5x  x2  1  x 

a. y  2x  ln 1  x2


2
CÁC BÀI TOÁN DÀNH CHO HỌC SINH ÔN THI ĐẠI HỌC
Bài 6:
9  5x  5 x  2  15  5x  1 
1. Cho hàm số: y  
 
  6 . Tìm giá trị lớn nhất và
4  5x  5x  2  2  5x  1 
nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 
 1;1 .







2. Cho hàm số: y  2  3

  2  3 
2x

2x





8 2  3


trị nhỏ nhất của hàm số.
Bài 7: Chứng minh rằng:
0  a  b  c  d
1. a b .bc .cd .da  ad .dc .cb .ba với 
 bc  ad

26

   2  3   . Tìm giá
x

x


xy
2y
2. ln 
với x  0 và y  0 .

 x  2x  y

3. a2 ln b  b2 lna  lna  ln b với 0  a  b  1 .
b

a




1 
1 
4.  2a     2 b 
 với a  b  0 .
a

2 

2b 
Bài 8:
1. Cho 0  k  1 và a, b,c là 3 số dương . Chứng minh rằng :
1

1

1

 a k  bk  k  bk  c k  k  c k  a k  k

 
 
 abc.



 2 
2
2 






2. Cho hai số thực a, b  0 thỏa a  b  1 và 1  k  2 . Chứng minh rằng:





3 1k
a k bk a k  bk  2   .

1
3. Chứng minh rằng : ln  1  1  x2    ln x, x  0

 x
x
4. Chứng minh rằng :
 ln 1  x   x, x  0
1 x

 xa 
5. Cho x,a, b  0,a  b . Chứng minh rằng: 

xb



6. Chứng minh rằng : 2x  3x

  2
y

 x  1
7. Chứng minh rằng: x  

 2 

y

 3y



x

x b

a
 
 b

b

, xy0 .

x 1

x

với mọi x  1 .

HƢỚNG DẪN GIẢI.
Dạng 1. Tính giá trị biểu thức – Rút gọn
Bài 1:
1
log7 32
2
A7

B  log

1
2
5

  log9 270  log 9 10   7

51 

C  a lg a 

10
10

lg 3

log7 3

 log

32

33  3  6  3

3  log5 3
10 3 1 17
 .5
 2 
 .3 
5
3 5
15

a2
a2

 a lg a  0
lg a lg a


D



lg 5  2 6



20

1
2
4 ln e



 lg 5  2 6

1
3
 5ln e 5



20







lg  5  2 6 5  2 6 

 
28

20



lg1
0
10

5
2 20
775
.
3   2. .  

8
3 3
72
log7 2 log11 3

log7 6 log11 6 2  log 6 2  log 6 3  2 log 6 6 2
F


 .
3
3
3
3
log 2 3.log 3 2
2
Bài 2:

E

1. Để ý : 1350  32.5.30
log 30 1350  log 30 32.5.30  log 30 32  log 30 5  log 30 30  2a  b  1 .
5
1
1
 5 1 1 


 log 5  2 2 .3 2 .5 2   log 5 2 2  log 5 3 2  log 5 5 2


15


5
1
1 5a  b  1
.
 a b 
2
2
2
2
log 2 24 3  log 2 3
3. Ta có: log 25 24 

log 2 25
2 log 2 5

2. log 5

4 2

1  a  log 2 3  log 2 5  a

log 15  a log 2 6

Từ giả thiết   2


log 2 18  blog 2 12

 2  b  log 2 3  1  2b

2b  1
log 2 3 

5b

2b

 log 25 24 
ab

a

2b


1
2
ab

 a  2b  1
lg 5 
2

2b

log 2 14 1  log 2 7

4. Ta có: log 24 14 
log 2 24 3  log 2 3

Mặt khác: ab  log 2 3.log 3 7  log 2 7  log 24 14 

1  ab
.
3a

Bài 3:
3
1
6

2n 
10
5
5



A  3m log 5 a  log 5 b 
log 5 a
 log 5 b 5   log 5 a  log 5 b

 5 






3
1
 2n 
6

 3m  log 5 a  log 5 b  
 10 log 5 a  log 5 b   log 5 a  log 5 b
5
5
5
5





28

 9m

 3m 12n


 4n  1  log 5 a  

 1  log 5 b
25
 5

 5

 9m

55
 5  4n  1  0
m  51
.
 A không ph thu c vào a, b  

 3m  12n  1  0
n  25
 5

25
34


1

B  m  2  6 log 7 a  log 7 b   2n  2 log 7 b  3  6 log 7 a 
5


1
  log7 a  log 7 b 
2

1
m
1
  6m  12n   log7 a    4n   log 7 b  2m  6n
2
2

 5

10

1
m

6m  12n  2  0

33
 B không ph thu c vào a, b  

m

1
29
  4n   0
n 
 5

2
264
Bài 4:
loga bx loga b  loga x
1. logax  bx  

loga ax
1  loga x

2. log x a  log x a 2  ...  log x a n 


1  2  ...  n n  n  1
.

loga x
2 loga x

1
2
n

 ... 
loga x loga x

loga x

Bài 5:
 26x y

 22x 11y 

 1  log 2 a  

1. Ta có: A  
 log 2 b
20 
 15 20

 15
5
5
Từ đó ta tìm được: x  ; y  .
8
3
 2y 4x

 4y 8x

16x

 3  log 3 a  

 3  log 3 b 
2. Ta có: B  

3
 3 21

 9 21


Từ đó tìm được: x  

63
27
.
;y 
16
8

Dạng 2. Chứng minh Đẳng thức – Bất đẳng thức
Bài 1: