2D2 4 4 3c50 DE SO 10 gắn ID liennguyen copy

x, y

Câu 50. [2D2-4.4-3] (THPTQG - ĐỀ CHUẨN NÂNG CAO-SO7-2018) Cho
là các số thực thỏa mãn điều kiện
2
2
1
3x + y − 2.log 2 ( x − y ) = 1 + log 2 ( 1 − xy )  .
M = 2 ( x 3 + y3 ) − 3xy.
2
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
13
17
7
3
2
2
A.
B.
C.
D.
Lời giải
Đáp án B
2
2
2
2
1
2
3x + y − 2.log 2 ( x − y ) = 1 + log 2 ( 1 − xy )  ⇔ 3x + y − 2.log 2 ( x − y ) = log 2 ( 2 − 2xy )
2

Ta có

⇔ 3x

2

+ 2xy + y 2 − 2 + 2xy

.log 2 ( x − y ) = log 2 ( 2 − 2xy ) ⇔ 3(
2

f ( t ) = 3 .log 2 t

( 0; +∞ )

t

Xét hàm số

x−y)

2

.log 2 ( x − y ) = 32 −2xy.log 2 ( 2 − 2xy )

f ' ( t ) = 3t ln 3.log 2 t +

trên khoảng

3t

> 0; ∀t > 0
t.ln 2

, có
2
2
2
f ( t)
( 0; +∞ ) f ( x − y )  = f ( 2 − 2xy ) ⇒ x + y = 2
Suy ra
là hàm số đồng biến trên
mà
2
3
3
M = 2 x + y − 3xy = 2 ( x + y ) ( x + y ) − 3xy  − 3xy


Khi đó
2
⇔ 2M = 2 ( x + y )  2 ( x + y ) − 3.2xy  − 3.2xy


2
2
2
2 ( x + y ) 2 ( x + y ) − 3 ( x + y ) + 6 − 3 ( x + y ) + 6



(

)

2
2
= 2 ( x + y ) 6 − ( x + y )  − 3 ( x + y ) + 6 = −2a 3 − 3a 2 + 12a + 6,



f ( a ) = −2a 3 − 3a 2 + 12a + 6
Xét hàm số

trên
13
2
M
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức
là
.

a = x + y ∈ ( 0; 4 )

với
max f ( a ) = 13.

( 0; 4 )

( 0;4 )

, suy ra