2D2 7 1 4c45 01 CUM LIEN TRUONG NGHE AN copy

y

x

Câu 45. [2D2-7.1-4] (LIÊN TRƯỜNG NGHỆ AN LẦN 1 - 2018) Cho ,
là các số thực thỏa mãn điều kiện:
2
2
1
3x + y − 2.log 2 ( x − y ) = 1 + log 2 ( 1 − xy ) 
M = 2 ( x 3 + y 3 ) − 3 xy
2
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.
17
13
3
7
2
2
A. .
B. .
C.
.
D.
.
Lời giải
Đáp án A
x > y

 xy < 1

Điều kiện:
.
2
1
3( x − y ) .32( xy −1) .log 2 ( x − y ) = log 2 ( 2 ( 1 − xy ) )
2
Biến đổi điều kiện thành

⇔ 3( x − y ) .log 2 ( x − y ) = 32( 1− xy ) .log 2 2 ( 1 − xy ) ( *)
2

2

.

f ( t ) = 3 .log 2 t
t

Xét hàm số

với

f ( t)

Suy ra hàm số

( *)
Từ

2

( 0; +∞ )

= 2 ( 1 − xy ) ⇔ x 2 + y 2 = 2 ⇔ ( x + y ) = 2 + 2 xy

( x + y)

u = x+ y

2

≤ 2 ( x2 + y2 ) = 4

, vì

nên

−2 ≤ u ≤ 2

với mọi

t>0

.

.

2

ta có

Ta có

. Ta có

3t
>0
t ln 2

luôn đồng biến và liên tục trên khoảng

( x − y)

Đặt

t >0

f ′ ( t ) = 3t ln 3.log 2 t +

( x + y)
⇔ xy =
2

2

−2
.

.


u2 − 2   u2 − 2 
= 2u  2 −
÷− 3 
÷
M = 2 ( x + y ) ( x 2 + y 2 − xy ) − 3xy = 2 ( x + y ) ( 2 − xy ) − 3 xy
2   2 

g ( u) =

Xét hàm số

2u ( 6 − u

2

) − 3( u
2

2

− 2)

3
= −u 3 − u 2 + 6u + 3
2

u = 1
⇔
g ′ ( u ) = −3u − 3u + 6 g ′ ( u ) = 0

u = −2
Có
;
.
13
g ( −2 ) = −7 g ( 1) = 2 g ( 2 ) = 1
Ta có
;
;
.
x + y = 1
13
 2
max M = max g ( u ) =
2
[ −2;2]
x + y = 2
u =1
2
Vậy
khi
hay


1+ 3
1− 3
x =
x =



2
2
x + y = 1



⇔
1
 y = 1− 3
 y = 1+ 3
 xy = − 2



2
2
suy ra
hoặc
.
2

với

u≤2

.

.