CHỦ đề 2 vấn đề 4 các DẠNG PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI và QUY về PHƯƠNG TRÌNH bậc HAI TRÊN TRƯỜNG số PHỨC image marked

VẤN ĐỀ 4: CÁC DẠNG PHUƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ QUY VỀ PHƯƠNG
TRÌNH BẬC HAI TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC
LÝ THUYẾT CĂN BẢN CẦN NẮM VỮNG
Căn bậc hai của số thực âm:
- Căn bậc hai của số thực a âm là i a .
Minh họa:

(

)

(

)

1) Căn bậc hai của -2 là i 2 , vì i 2
2) Căn bậc hai của -5 là i 5 , vì i 5

2

= −2.

2

= −5.

Phương trình bậc hai với hệ số thực:
- Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 với a, b, c  , a  0 . Xét biệt số  = b 2 − 4ac
của phương trình. Ta thấy:
+ Khi  = b 2 − 4ac = 0 , phương trình có một nghiệm thực x =

−b
2a

+ Khi  = b 2 − 4ac  0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt, được xác định bởi
x1,2 =

−b  
.
2a

+ Khi  = b 2 − 4ac  0 , phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi
x1,2 =

−b  i 
2a

.

Minh họa:
1) Giải phương trình x 2 + 3x + 4 = 0 trên tập hợp số phức.
Ta có:  = 32 − 4.4 = −7  0.
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phức là: x1,2 =

−3  i 7
2

2) Giải phương trình z 4 + z 2 − 6 = 0 trên tập số phức.
z = 2

2


z
=
2
z = − 2
z4 + z2 − 6 = 0   2

 z = −3  z = i 3

 z = −i 3

3) Giải phương trình z 5 + 9 z 3 + 20 z = 0 trên tập số phức.
Trang 1 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 z = 2i
 z = −2i
 z = −4


z 5 + 9 z 3 + 20 z = 0  z ( z 4 + 9 z 2 + 20 z ) = 0   z 2 = −5   z = i 5

z = 0
 z = −i 5


z = 0
2

Nhận xét:

- Trên tập hợp số phức, mọi phương trình bậc hai đều có hai nghiệm (không nhất thiết phân
biệt).
- Tổng quát, người ta đã chứng minh được rằng mọi phương trình bậc n ( n1)
a0 x n + a1 x1 + ... + an −1 x + an = 0

Trong đó a0 ,..., an  , a0  0 đều có n nghiệm phức (các nghiệm không nhất thiết phân
biệt).
Phương trình bậc hai với hệ số phức:
Minh họa:
1) Giải phương trình x 2 − ? + 20 = 0 trên tập hợp số phức.
Ta có:  = ( i ) − 4.20 = −81
2


i + i 81 i + 9i
=
= 5i
x =
2
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm phức là: 

i − i 81 i − 9i
=
= −4i
x =

2
2

2) Giải phương trình x2 + ( i + 1) x + 2i + 2 = 0 trên tập hợp số phức.
Ta có:  = ( i + 1) − 4 ( 2i + 2 ) = −8 − 6i = ( −1 + 3i ) .
2

2

− ( i + 1) + ( −1 + 3i )

= −1 + i
x =
2
Vậy phương trình đã cho có nghiệm phức là: 
− ( i + 1) − ( −1 + 3i )

= −2i
x =

2
Hướng dẫn: Ở đây ta có chỗ −8 − 6i = ( −1 + 3i ) sẽ gây khó hiểu cho các bạn. Sau đây tác
2

giả xin giải thích, nếu như  của bạn rơi vào trường hợp không phải là số nguyên âm mà là
dạng số phức như trên thì bạn hãy biến đổi sao cho  có dạng  = ( a + bi ) . Cách tìm: ta giải
2

( a + bi )

2

= −8 − 6i để tìm ra a , b .

Trang 2 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


a 2 − b2 = −8
2
Từ phương trình ( a + bi ) = −8 − 6i ta dễ dàng suy ra được 
. Sau đó bạn chọn 1
2ab = −6
cặp ( a; b ) sao cho phù hợp hoặc giải ra kết quả đầy đủ luôn (sẽ mất thời gian). Ở đây tác giả
chọn ( a; b ) = ( −1;3) . Ta được kết quả là:  = −8 − 6i = ( −1 + 3i ) .
2

3) Giải phương trình x3 + 4ix 2 + x = 0 trên tập hợp số phức.
x = 0
x = 0
x = 0
x + 4ix + x = 0   2
 2

2
( x + 2i ) = i 5
 x + 4ix + 1 = 0
 x + 4ix − 4 = −5

3

2

( )

2


x = 0
x = 0

  x + 2i = i 5   x = −2 + 5 i
 x + 2i = −i 5


 x = −2 − i 5 i

(
(

)
)

Hướng dẫn: Ở đây phương trình x 2 + 4ix + 1 = 0 ta có thể giải tương tự như ví dụ 2, tuy
nhiên tác giả biến đổi nhiều hướng khác nhau nhằm giúp cho các bạn rèn luyện kĩ năng hơn.
Một số kỹ năng giải toán số phức nhanh bằng Casio (ở đây là Casio fx-570 VN PLUS):
- Ấn

(CMPLX) để vào toán số phức.

- Sau khi ấn
- Ấn

(i ) để hiện i .

(CMPLX), ấn
(EQN)

( ax

2

+ bx + c = 0 ) để giải phương trình bậc hai với hệ số thực.

Áp dụng:
1) Ấn

nhấn

(EQN)

, nhấn

( ax

2

+ bx + c = 0 ) , nhập

nhấn

, màn hình sẽ hiện

, nhập

, nhấn

nhấn

, nhập

, màn hình sẽ hiện

Ta được các nghiệm phức của phương trình x 2 + 3 x + 4 = 0.

Trang 3 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


2) Ấn

nhấn

(EQN)

, nhấn

( ax

2

+ bx + c = 0 ) , nhập

nhấn

, màn hình sẽ hiện

, nhập

, nhấn

nhấn

, nhập

, màn hình sẽ hiện

Ta được các nghiệm phức của phương trình x 2 + 2 x + 4 = 0 .
- Ấn

(A). Để lưu giá trị vào cho biến A (Tương tự cho một số biến

(STO)

khác).
Áp dụng:
1/ Nhập

ấn

2/ Nhập

(STO)
ấn

(STO)

(A). Khi đó bạn đã gán giá trị 2i cho biến A.
(A). Khi đó bạn đã gán giá trị 2i + 3 cho biến

A.
BÀI TẬP MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z 2 − 2 z + 5 = 0 . Giá trị biểu thức K = z +
A. 3

B.

3

C.

2

2
là:
z −1

D. 1

HƯỚNG DẪN GIẢI

 z = 1 + 2i
Phương trình z 2 − 2 z + 5 = 0 có hai nghiệm là:  1
 z2 = 1 − 2i
Khi đó: K1 = z1 +

K1 = z1 +

2
2
= 1 + 2i + = 1 + i = 12 + 12 = 2
z1 − 1
2i
2
2
2
= 1 − 2i − = 1 − i = 12 + ( −1) = 2
z1 − 1
2i

So bốn đáp án, chỉ có đáp án C thỏa mãn.
 Chọn C

Ví dụ 2: Số phức z thỏa mãn phương trình z =
A. z = 2 − i, z = −i

B. z = 1 − i, z = i

1 − 2i
− 2 = 0 là:
z

C. z = 2 + i, z = −i

D. z = 2 − i, z = 1 − i

HƯỚNG DẪN GIẢI

Trang 4 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Đặt

z = a + bi , khi đó

a + bi −

z = a − bi phương trình

z−

1 − 2i
− 2 = 0 tương đương với:
z

1 − 2i
− 2 = 0  a 2 + b 2 − 1 + 2i − 2 ( a − bi ) = 0  ( a 2 + b 2 − 1 − 2a ) + ( 2 + 2b ) i = 0
a − bi

Đồng nhất hai vế ta được:

a = 2
 a 2 + b 2 − 1 − 2a = 0
a = 0
a = 2


hoặc 
   a = 0  

b = −1
2 + 2b = 0
b = −1 b = −1

Vậy có hai số phức z thỏa mãn đề là z = 2 − i, z = −i
So bốn đáp án, chỉ có đáp án A thỏa mãn.
 Chọn A.

Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 − 2i ) z −

2−i
= ( 3 − i ) z. Tọa độ biểu diễn của z
1+ i

trong mặt phẳng Oxy là:
 3 5
B. M  ; 
 10 10 

1 5
A. M  ; 
 10 10 

 3 7
C. M  ; 
 10 10 

1 7
D. M  ; 
 10 10 

HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ giả thuyết (1 − 2i ) z −

(1 − 2i ) z −

2−i
= ( 3 − i ) z ta có:
1+ i

2−i
−2 + i
−2 + i
1 7
= (3 − i ) z 
= (2 + i) z  z =
z= + i
1+ i
1+ i
10 10
(1 + i )( 2 + i )

1 7
Vậy tọa độ biểu diễn của z trong mặt phẳng Oxy là M  ; 
 10 10 

 Chọn D.

Ví dụ 4: Số thực x,y thỏa mãn đẳng thức ( 2 − i )( x + 1) + y ( 2 + i ) = 8 + 2i là:
A. x = 2, y = 3

B. x = 0, y = 3

C. x = 1, y = 2

D. x = 3, y = 0

HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ đẳng thức ( 2 − i )( x + 1) + y ( 2 + i ) = 8 + 2i ta có:

2x − xi + 2 − i + 2 y + yi = 8 + 2i  ( 2x + 2 y + 2) + ( − x − 1 + y ) i = 8 + 2i
Đồng nhất hệ số hai vế ta được:
2 x + 2 y + 2 = 8  x = 0


− x + y − 1 = 2
y = 3

Trang 5 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


 Chọn B.

Ví dụ 5: Phần thực của số phức z biết z =
A. 8

(

) (i −1)

2i − 1

B. 9

3

2

là:

C. 10

D. 7

HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ giả thiết ta có: z =

(

) (i −1)

2i − 1

3

2

= −2i

(

)

3

2i − 1 = 2 2 − 10i  z = 2 2 + 10i

Vậy phần ảo của số phức z là 10
 Chọn C.

Ví dụ 6: Phần ảo của số phức z biết z =
A. 6

(

)(

5 − i 1 − 5i

B. 4

)

2

là:

C. 3

D. 5

HƯỚNG DẪN GIẢI
Từ giả thiết ta có:
z=

(

)(

5 − i 1 − 5i

) =(
2

)(

)

5 − i −4 − 2 5i = −6 5 − 6i  z = −6 5 + 6i

Vậy phần ảo của số phức z là 6.
 Chọn A.

Ví dụ 7: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + i − 1 = 0 và z.z = 4 . Các giá trị của z thỏa đề
là:
A. z = −2i, z = i

B. z = −2i, z = 1

C. z = i, z = 2

D. z = −2i, z = 2

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt z = a + bi , khi đó z = a − bi
Khi đó: z + i − 1 = 0  a + bi + i − 1 = 0 

( a − 1) + (b + 1)
2

z.z = 4  ( a + bi )( a − bi ) = 4  a 2 + b2 = 4

(2)

Từ (1) suy ra a 2 − 2a + b 2 + 2b = 0

(3)

Thế (2) vào ta được a − b = 2

(4)

2

= 0  ( a − 1) + ( b + 1) = 0 (1)
2

2

a = 0
2
Từ (2) và (4) ta được: a 2 + ( a − 2 ) = 4  
a = 2

- Với a = 0  b = −2 . Khi đó z = −2i
- Với a = 2  b = 0 . Khi đó z = 2
Vậy có hai giá trị của z thỏa đề là z = −2i, z = 2
 Chọn D.

Trang 6 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ví dụ 8: Chọn số phức z thỏa mãn z 2 = z + z là:
2

A. z = 0, z =

−1 1
−1 1
+ i, z =
− i
2 2
2 2

1
1

C. z = 0, z = i, z = − i
2
2

B. z = 1, z =

−1 1
1 1
+ i, z = − i
2 2
2 2

D. z = i, z =

−1
−1
,z =
2
2

HƯỚNG DẪN GIẢI
Nhận xét phương trình z 2 = z + z có ba đại lượng lien hệ nhau là z , z , z
2

Đặt z = a + bi , khi đó z = a 2 + b2 , z 2 = a 2 + 2abi − b2 . Ta có:
z 2 = z + z  a 2 + 2abi − b 2 = a 2 + b 2 + a − bi  2b 2 + a − bi − 2abi = 0
2

Đồng nhất hai vế ta được:
2b 2 + a = 0

1
1


a
a
=
=
−
−

2

2b + a = 0
a = 0
 b=0
2 v 
2
v 

 



b = 0
b = 1
b = − 1
b + 2ab = 0
  a = −1



 

2
2
2
1 1
1 1
Vậy các số phức z thỏa đề là: z = 0, z = − + i, z = − − i
2 2
2 2

 Chọn A.

Ví dụ 9: Cho số phức z thỏa điều kiện z = 5 2 và z 2 là số thuần ảo. Số các giá trị của z
thỏa đề là:
A. 5

B. 4

C. 2

D. 3

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt z = a + bi , khi đó: z = a2 + b2 , z 2 = a 2 + 2abi − b2 .
Ta có: z = 5 2 = a2 + b2
a = b
Vì z 2 = a 2 + 2abi − b 2 là số thuần ảo nên: a 2 − b2 = 0  
 a = −b

- Khi a = b , ta có: z = 5 2 = a2 + b2 = 2 b  a = b = 5
  a = −5

b = 5
2
2
- Khi a = −b , ta có: z = 5 2 = a + b = 2 b  
 a = 5

 b = −5

Vậy có 4 giá trị của z thỏa đề là:
Trang 7 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


z = 5 + 5i, z = −5 − 5i, z = −5 + 5i, z = 5 − 5i

 Chọn B.

(

)

Ví dụ 10: Tính mô đun của số phức z, biết: ( z − 2 )( i + 2 ) + z − 1 (1 − i ) = 4 − i
A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
Đặt z = a + bi , khi đó z = a − bi.
Phương trình đã cho tương đương:

( a + bi − 2)(i + 2) + ( a − bi −1)(1 − i ) = 4 − i
 ai − b − 2i + 2a + 2bi − 4 + a − bi − 1 − ai − b + i = 4 − i
 ( 3a − 2b − 5) + ( b − 1) i = 4 − i

3a − 2b − 5 = 4
a = 3
Đồng nhất hệ số hai vế ta được: 

 z =3
b − 1 = 1
b = 0
 Chọn C.

BÀI TẬP TỰ RÈN LUYỆN
Câu 1: Căn bậc hai của số thực a 0 là:
A.

B. a

a

C. −a

D. i a

C. −2

D. − 4

Câu 2: Căn bậc hai của −4 là:
B. 2i

A. 2

Câu 3: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 với a, b, c 
a  0,  0 là:

A. x1,2 =

−b  i 
2a

B. x1,2 =

−b  
2a

C. x1,2 =

−b
2a

D. x1,2 =

c
a

D. x1,2 =

−1  i 5
2

Câu 4: Nghiệm của phương trình x 2 + x + 1 = 0 trên tập hợp số phức là:
A. x1,2 =

−1  3
2

B. x1,2 =

−1  i 3
2

C. x1,2 =

 3
2

Câu 5: Nghiệm của phương trình −3x 2 + 2 x − 1 = 0 trên tập hợp số phức là:
A. x1,2 =

1 i 3
3

B. x1,2 =

 2
3

C. x1,2 =

1 2
3

D. x1,2 =

1 i 2
3

Trang 8 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 6: Cho phương trình 7 x 2 + 3x + 2 = 0 có hai nghiệm phức x1,2 =

−b  i 
2a

, giá trị của

biểu thức P = a + b −  bằng:

Câu 7: Cho phương trình 5 x 2 − 7 x +
biểu thức M =

C. −57

B. −37

A. 57

D. 37

−b  i 
87
= 0 có hai nghiệm phức x1,2 =
, giá trị của
2a
20

a+b−
bằng:
3

A. 4

B. 6

C. 2

D. 3

Câu 8: Cho z = a + bi là một số phức. Phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm
nghiệm là:

A. x 2 − 2ax + a 2 + b 2 = 0

B. x 2 + 2ax + a 2 + b 2 = 0

C. x 2 + ax − a 2 − b 2 = 0

D. x 2 + ax + b = 0

Câu 9: Cho z = 2 + 3i là một số phức. Phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm
nghiệm là:
A. x 2 − 2 x + 5 = 0

B. x 2 − 4 x + 9 = 0

C. x 2 − 4 x + 13 = 0

D. x 2 − 3 x + 5 = 0

Câu 10: Cho phương trình x2 − ( 5 − i ) x + 8 − i = 0 có hai nghiệm phức x1 , x2 . Vậy giá trị
x1 , x2 là:

A. x1 = i, x2 = 1 − 3i

B. x1 = 1 + i, x2 = 3 − 2i

C. x1 = −2 + i, x2 = 3 − 2i

D. x1 = 2 + i, x2 = 3 − 2i

Câu 11: Cho phương trình x 2 + 7 x + 2 = 0 có hai nghiệm phức x1 , x2 . Vậy giá trị biểu thức

x12 + x2 2 − 5 x1 x2 là:

A. 35

B. 32

C. 41

D. 27

C. −2 + 2i, 2 − 2i

D. −1 + 5i,1 − 5i

Câu 12: Căn bậc hai của số phức −4 − 2 5i là:
A. −2 + 5i, 2 − 5i

B. −2 + 3i,3 − 2i

Câu 13: Số phức nào nhận
A. i − 2

2 − i làm một căn bậc hai:

B. 2 − i

C. 1 − 2 2i

D. 1 − 3 2i

Câu 14: Gọi x1 , x2 lần lượt là nghiệm của phương trình phức x2 + ( i − 3) x + 4 − 3i = 0. Tổng
phần thực của 2 số x1 , x2 là:
A. 2

B. 3

C. 7

D. 5

Trang 9 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 15: Gọi x1 , x2 lần lượt là nghiệm của phương trình phức x2 + ( i − 3) x + 4 − 3i = 0. Tổng
phần ảo của 2 số x1 , x2 là:
B. − i

A. −1

D. −2i

C. 2

Câu 16: Gọi A,B là hai điểm biểu diễn cho các số phức là nghiệm của phương trình
x 2 + 4 x + 9 = 0 . Tính AB?

A. 5 2

C. 1 − 5

B. 2 2

D. 2 5

Câu 17: Nghiệm của phương trình ( x + 2 − i ) + 4 ( x + 2 − i ) + 7 = 0 trên tập số phức là:
2

( 3 + 1) i; x = −4 + ( − 3 + 1) i
D. x = −2 + ( 3 + 1) i; x = −2 + ( − 3 + 1) i

A. x1 = −4 + 3i; x2 = −4 + 3i

B. x1 = −4 +

C. x1 = −2 + 3i; x2 = −2 − 3i
Câu 18: Căn bậc hai của số phức
A. 1 −

1
i
2

B.

2

1

2

1 1
− i
2 2

D.

1 − 2 2i
4

1 1
−
i
2
2

C.

1
2− i
2

Câu 19: Nghiệm của phương trình ( x 2 + 4 x + 6 )( x 2 + 4 x + 8 ) = −1 trên tập số phức là:

(
C. x = −2 + (
A. x1 = −4 +
1

)
3 + 1) i; x

(
= −2 + ( −

)
3 + 1) i

3 + 1 i; x2 = −4 + − 3 + 1 i
2

B. x1 = −4 + 3i; x2 = −4 + 3i
D. x1 = −2 + 3i; x2 = −2 − 3i

Câu 20: Nghiệm của phương trình ( x 2 − 4 x + 10 )( x 2 − 4 x + 8 ) = 8 trên tập số phức là:
A. x = 2  2 2i; x = 2  2i

B. x = 2  2 2i; x = 2  i

C. x = 2  2i; x = 2  2i

D. x = 2  2i; x = 1  2i

Câu 21: Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình x2 + ( i − 3) x + 4 − 3i = 0 . Giá trị K = x1 + x2
bằng:
A. 5 5

C. 2 5

B. 2 2

D. 5 2

Câu 22: Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình x2 + (8 + i ) x + 17 + 7i = 0 . Giá trị A = x1 + x2
bằng:
A.

65

B.

56

C.

52

D.

61

Câu 23: Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình x2 − ( 2m −1) x + 1 − 3mi = 0 . Tìm m để x1 + x2 = 0 :
A. m = −1

B. m =

1
2

C. m = 1

D. m = 2

Trang 10 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 24: Gọi x1 , x2 là nghiệm phương trình x2 − ( 2m −1) x + 1 − 3mi = 0 . Tìm m để x1 x2 = 0
1
A. m = i
3

1
C. m = − i
3

B. m = −3i

D. m = 3i

Câu 25: Số nghiệm của phương trình phức ( z 4 − 1)( z 2 − 1)( z 3 + 1) = 0 là:
A. 7

B. 5

C. 4

D. 6

Câu 26: Phương trình x2 + ( a + 1) x + b − 2 = 0 có giá trị a , b bao nhiêu để nhận x = 1 − i làm
một nghiệm:
A. a = −3, b = 2

B. a = −2, b = 3

C. a = −3, b = 4

D. a = −3, b = −4

Câu 27: Chọn khẳng định Sai:
A. Căn bậc hai của 1 − 2 2i là

2 −i

B. Căn bậc hai của −1 − 4 3i là

3 − 2i

D. Căn bậc hai của −1 + 2 2i là 1 + 2 2i

C. Căn bậc hai của −8 + 6i là 1 + 3i
Câu 28: Chọn khẳng định Đúng:

A. Phương trình x 2 + 2 x + 5 = 0 có hai nghiệm nguyên phân biệt.
B. −4 − 2 5i có hai căn bậc hai là 1 − 5i và −1 + 5i
C. Phương trình x2 + ( 2 − i ) x + 3i − 2 = 0 có tích hai nghiệm bằng 3i
D. Mỗi số phức chỉ có một căn bậc hai.
Câu 29: Cho phương trình bậc hai x 2 + 3 x + 12 = 0 . Chọn khẳng định Sai:
A. Phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
B. Tích hai nghiệm bằng 12
C. Hai nghiệm phương trình là số phức lien hợp với nhau
D. Tổng hai nghiệm bằng −3

Câu 30: Số nghiệm của phương trình phức z 4 − 16 = 0 là:
A. 5

B. 4

C. 6

D. 3

Câu 31: Cho phương trình z 4 − 2 z 3 + 2 z 2 − 2 z + 1 = 0 . Tổng các nghiệm của phương trình đó
là:
A. i

B. 1 + i

C. 1

D. 1 − i

Câu 32: Cho phương trình ( z 2 + z + 3) − 3 ( z 2 + z + 3) + 2 = 0 . Tổng các nghiệm của phương
2

trình đó là:
A. 2

B. 1

C. -1

D. 0

Trang 11 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 33: Cho phương trình ( z 2 + 3) − 4 ( z 2 + 3) + 3 = 0 . Giá trị tuyệt đối của hiệu các nghiệm
2

phức của phương trình đó là:
A.

B. 2 2i

2i

Câu 34: Cho phương trình

(z

2

C. 2i

D. 3 2i

+ 4 z + 4 ) + ( z 2 + 4 z + 4 ) − 6 = 0 . Tổng bình phương các
2

nghiệm phức của phương trình đó là:
A. 9

B. 16

C. 2

D. 8

Câu 35: Cho phương trình z 4 − 32 − 4 = 0 . Chọn đáp án sai:
A. Phương trình có 2 nghiệm thực và 2 nghiệm phức
B. Tổng 2 nghiệm phức của phương trình bằng 0
C. Tổng 2 nghiệm thực của phương trình bằng 0
D. Tất cả đáp án trên đều sai
Câu 36: Nghiệm của phương trình phức z 4 − 2 z 3 + 5 z 2 − 8 z + 4 = 0 là:
A. 2i, −2i, −1

D. i, −i, −1

C. i, −i,1

B. 2i, −2i,1

Câu 37: Gọi z1 , z2 là nghiệm phương trình z 2 + 2 z + 6 = 0 . Giá trị của biểu thức
P = z1 + z2
2

2

bằng:

A. 15

B. 9

C. 6

D. 12

Câu 38: Gọi z1 , z2 là nghiệm phương trình z 2 + 4 z + 12 = 0 . Chọn phương án Đúng:
A. z1 + z2 = 5

B. z1 − z2 = 1

C. z1 − z2 = 0
2

2

D. z1 + z2 = 2

Câu 39: Số nghiệm của phương trình z 2 + z + 2 = 0 là:
A. 0

B. 3

C. 2

D. 1

Câu 40: Số nghiệm của phương trình ( z − 3) + z − 3 = 0 là:
2

A. 0

B. 2

C. 3

D. 1

Câu 41: Bộ số thực ( a; b ) để phương trình z 3 + 2 z 2 − az + b = 0 nhận z = 1 − i làm nghiệm là:
a = 2
A. 
b = 3

a = 6
B. 
b = 8

a = 6
C. 
b = 4

a = 4
D. 
b = 8

Câu 42: Số thực x,y thỏa mãn đẳng thức x ( 3 + i ) + y (1 − i ) = 12 + 3i là:
2

x = 4
A. 

y = 0

x = 3
B. 
y =1

x = 2
C. 
y = 0

x = 4
D. 
y =1

Trang 12 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 43: Gọi z1 , z2 là nghiệm phương trình z 2 − iz + 2 = 0 . Khi đó mô đun của số phức

( z1 −1)( z2 −1) bằng:
A.

B.

7

C. 10

5

Câu 44: Nghiệm của phương trình

z − 3 − 2i
= z − 3i trên tập số phức là:
z −i

z = 0
C.  
 z = 2i

z = 1
B.  
 z = 2i + 1

 z = −1
A.  
z = i +1

D. 3

z = 0
D.  
 z = 2i + 1

Câu 45: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện (1 + i )( z − i ) + 2 z = 2i . Mô đun của số phức

w=

z − 2z +1
là:

z2

A. 5

B. 10

C.

3

D. 1

Câu 46: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z + (1 − i ) z = 9 − 2i . Phần ảo của số phức z là:
A. 5

B. 3

C. 4

D. 2

Câu 47: Cho 2 số thực x,y thỏa phương trình x + 2 + (1 − y ) i = 3 − 2i + 2 yi . Khi đó giá trị của
P = x2 − 2 xy − y 2 là:

A. −1

C. −2

B. 2

Câu 48: Phần ảo của số phức z biết z =
A. 1

(

3 +i

B. 0

D. 1

) (1 − 3i ) là:
2

C. 2

D. 3

Câu 49: Cho số phức z thỏa điều kiện z + ( i − 1) z = 2 − 3i . Phần thực và ảo của z lần lượt là:
C. −5 và 2

B. −7 và 3

A. −3 và −2

D. −7 và 2

Câu 50: Cho số phức z thỏa điều kiện 2 z + 3 (1 − i ) z = 1 − 9i . Mô đun của z là:
B. 10

A. 13

C. 15

D. 14

Đáp án
1-D

2-B

3-A

4-B

5-D

6-A

7-C

8-A

9-C

10-D

11-A

12-D

13-C

14-B

15-A

16-D

17-B

18-C

19-D

20-A

21-C

22-A

23-B

24-C

25-D

26-C

27-D

28-B

29-A

30-B

31-C

32-D

33-B

34-C

35-A

36-B

37-D

38-C

39-A

40-D

41-B

42-A

43-C

44-D

45-B

46-A

47-C

48-B

49-D

50-A

Trang 13 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1: Đáp án D
❖ Phân tích:
Tương tự căn bậc hai của một số thực dương, từ đẳng thức i 2 = −1 , ta nói i là một căn
bậc hai của −1 ; − i cũng là một căn bậc hai của −1 . Tổng quát, các căn bậc hai của số thực
a 0 là i a .

Từ đó ta đi đến kết quả:
A. a xác định khi và chỉ khi a  0 , theo đề bài ta có a 0 vì vậy

a không xác định,

loại đáp án A.
B. Với a 0 , ta có a = −a , không thỏa, loại đáp án B.
C. Tương tự đáp án B, loại.
Nhận xét: Rất nhiều em không nắm kĩ lý thuyết SGK nên còn mơ hồ về khái niệm căn
bậc hai của một số thực âm.
❖ Sai lầm thường gặp: Một số em quên điều kiện a 0 của đề bài, nên dễ khoanh nhầm
đáp án A.
Câu 2: Đáp án B
❖ Phân tích:
Từ đẳng thức i 2 = −1 , ta xác định được căn bậc hai của số thực âm, chẳng hạn:

(

)

(

)

Căn bậc hai của −2 là i 2 , vì i 2
Căn bậc hai của −3 là i 3 , vì i 3

2

= −2 .

2

= −3 .

Căn bậc hai của −4 là 2i , vì ( 2i ) = −4 .
2

Quan sát nhanh 4 đáp án, ta thấy chỉ có đáp án B có phần ảo i và

4 = 2 , các đáp án

khác không thỏa mãn.
Nhận xét: Tương tự câu 1, câu 2 giúp ta cụ thể hóa định nghĩa căn bậc hai của số thực âm
và cách quan sát nhanh để loại các đáp án nhiễu.
Câu 3: Đáp án A
❖ Phân tích:
Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 với a, b, c  a  0 , xét biệt số  = b 2 − 4ac , ta
thấy: căn bậc hai của -2 là i 2
Trang 14 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


b
.
2a

-

Khi  = 0 , phương trình có một nghiệm thực x = −

-

Khi   0 , phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1,2 =

-

Khi   0 , phương trình có nghiệm phức xác định bởi công thức x1,2 =

−b  
2a

−b  i a

2a
B) Theo phân tích trên, đây là công thức nghiệm của phương trình bậc hai có nghiệm thực
phân biệt khi   0 , theo đề bài thì   0 nên ta loại.
C) Theo phân tích trên, đây là công thức nghiệm của hương trình bậc hai có một nghiệm thực
khi  = 0 , theo đề bài thì   0 nên ta loại.
D) Đây là công thức của định lý Viet, không thỏa yêu cầu đề bài nên ta loại.
Nhận xét: Do chưa quen với phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức nên nhiều học
sinh mắc sai lầm, dẫn đến khoanh sai đáp án.
❖ Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh đọc không kĩ yêu cầu đề bài với giả thuyết   0
nên thường khoanh nhầm sang đáp án B.
Câu 4: Đáp án B

❖ Phân tích:
Dễ dàng thấy phương trình đã cho có  = −3  0 nên có nghiệm phức, loại đáp án A và C.
Vì  = −3 suy ra

 = −3 , chỉ có đáp án D thỏa đề

❖ Nhận xét: Ta có thể giải toán bằng cách thế các hệ số vào công thức nghiệm của
phương trình x1,2 =

−b  i a
2a

, nhưng như vậy sẽ tốn nhiều thời gian hơn việc quan

sát nhanh giá trị của  .
Câu 5: Đáp án D
❖ Phân tích:
Dễ dàng thấy phương trình đã cho có  = −2  0 nên có nghiệm phức, loại đáp án B và C
Vì  = −2 suy ra

 = −2 , chỉ có đáp án D thỏa đề

Câu 6: Đáp án A
❖ Phân tích:
Từ giả thiết ta có: a = 7, b = 3 , lại có  = b 2 − 4ac = −47 . Khi đó:

P = a + b −  = 7 + 3 + 47 = 57
❖ Nhận xét: Ta không cần quan tâm đến công thức nghiệm x1,2 =

−b  i a
2a

mà chỉ cần

tính các giá trị a , b và  để thế vào biểu thức P cần tính, điều nàu giúp rút ngắn thời
gian hơn.
Trang 15 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải

❖ Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh do chú tâm đến công thức nghiệm
x1,2 =

−b  i a
2a

nên dễ nhầm lẫn giữa  và − dẫn đến sai xót khi tính giá trị của

biểu thức P, khi đó P = −37 , dẫn đến việc khoanh nhầm đáp án B. Ngoài ra, học
sinh có thể tính nhanh giá trị của biểu thức P bằng máy tính casio Fx-570ES hoặc
Vinacal theo các thao tác sau:
-

Nhập 32 − 4.7.2 ứng với biểu thức  = b 2 − 4ac . Màn hình sẽ hiện ra kết quả −47 ,
bấm AC.

-

Nhập 7+3-Ans ứng với biểu thức P = a + b −  . Màn hình sẽ hiện ra kết quả là 57 ,
chọn đáp án A.

Câu 7: Đáp án C
❖ Phân tích:
Từ giả thiết ta có: a = 5, b = −7 , lại có  = b 2 − 4ac = −38 .
Khi đó: M =

a+b−
5 − 7 + 38
=

= 2.
3
3

❖ Nhận xét: Ta không cần quan tâm đến công thức nghiệm x1,2 =

−b  i a
2a

mà chỉ cần

tính các giá trị a , b và  để thế vào biểu thức M cần tính, điều này giúp rút ngắn thời gian
hơn. Ngoài ra, học sinh có thể tính nhanh giá trị của biểu thức M máy tính Casio Fx-570ES
hoặc Vinacal theo thao tác sau:
-

Nhập

1
. 5 − 7 − Ans ứng với biểu thức M =
3

a+b−
. Màn hình sẽ hiện ra kết
3

quả là 2, chọn đáp án C.
Câu 8: Đáp án A
❖ Phân tích:
Dựa vào định nghĩa. Nếu z = a + bi thì z = a − bi

Khi đó z + z = 2a
z.z = ( a + bi )( a − bi ) = a 2 − ( bi ) = a 2 + b 2
2

Theo định lý Viet, z , z là nghiệm của phương trình x 2 − 2ax + a 2 + b 2
❖ Nhận xét: Dạng bài khá lạ, học sinh lần đầu gặp có thể gặp nhiều khó khăn, nhưng
nếu nắm các kiến thức cơ bản về số phức liên hợp z , ta có thể dần định hướng được cách
Trang 16 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


làm, với 2 nghiệm z , z , ta lien tưởng ngay đến định lý Viet và áp dụng, dẫn đến kết quả
chính xác.
❖ Sai lầm thưởng gặp: Nhiều học sinh nhầm lẫn về định lý Viet phương trình dạng
x 2 − Sx + P (với S là tổng 2 nghiệm, P là tích 2 nghiệm) thành x 2 + Sx + P nên khoanh đáp án

B, đây là đáp án không chính xác.
Câu 9: Đáp án C.
❖ Phân tích:
Dựa vào định nghĩa, nếu z = a + bi thì z = a − bi . Khi đó:
z = 2 + 3i, z = 2 − 3i
z + z = 2a = 4
z.z = a 2 + b 2 = 13

Theo định lý Viet, z , z là nghiệm của phương trình x 2 − 4 x + 13
❖ Nhận xét: Đây là trường hợp cụ thể hóa của câu 8, ngoài cách trên, ta có thể sử dụng
máy tính cầm tay Casio Fx-570ES hoặc Vinacal theo các bước tuần tự như sau:
-

Chuyển sang chế độ CMPLX như sau: Bấm Mode → 2.

-

Xác định được z = 2 − 3i , ta bấm ( 2 + 3i ) + ( 2 − 3i ) , màn hình hiển thị kết quả: 4.

-

Bấm AC, tiếp tục nhập ( 2 + 3i )( 2 − 3i ) , màn hình hiển thị kết quả: 13.
Vậy phương trình cần tìm là x 2 − 4 x + 13

Câu 10: Đáp án D
❖ Cách 1:
Phương trình đã cho có a = 1, b = i − 5, c = 8 − i
Khi đó  = ( i − 5 ) − 4. ( 8 − i ) = −8 − 6i − ( 3i − 1)
2

2

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức
x1.2 =

−b  i 
2a

ta được x1 = 2 + i; x2 = 3 − 2i

❖ Cách 2:
Ta không quan tâm đến việc tìm cụ thể các giá trị của x1 , x2 , quan sát nhanh thấy các đáp
án A, B, C, D có tổng x1 + x2 khác nhau, nên ta chỉ cần tìm ra tổng x1 + x2 đúng là được
Theo định lý Viet: x1 + x2 =

−b
= 5 − i = ( 2 + i ) + ( 3 − 2i )
a

Trang 17 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Câu 11: Đáp án A
❖ Cách 1:
Phương trình đã cho có a = 1, b = 7, c = 2 . Khi đó:
 = 7 2 − 4.2 = 41

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm phức
x1.2 =

−b  i 
2a

ta được: x1 =

−7 + 41
−7 − 41
; x2 =
2
2

Khi đó: x12 + x2 2 − 5 x1 x2 = ( x1 x2 ) − 7 x1 x2 = 35
2

❖ Cách 2:

Ta không cần quan tâm đến việc tìm cụ thể giá trị của x1 , x2 , quan sát nhanh thấy biểu
thức cần tính

x12 + x2 2 − 5 x1 x2 có liên quan đến định lý Viet, ta thử biến đổi

x12 + x2 2 − 5 x1 x2 = ( x1 x2 ) − 7 x1 x2
2

Theo định lý Viet, ta có: x1 + x2 = −7; x1 x2 = 2
Thế vào biểu thức đề bài ta có:
x12 + x2 2 − 5 x1 x2 = ( x1 x2 ) − 7 x1 x2 = ( −7 ) − 7.2 = 35
2

2

Câu 12: Đáp án D

(

Ta có biến đổi như sau: −4 − 2 5i = 1 − 2 5i − 5 = 1 − 5

)

2

Suy ra −4 − 2 5i có hai căn bậc hai là: −1 + 5i và 1 − 5i
❖ Nhận xét: Ngoài cách làm trên, ta có thể thế ngược đáp án bằng cách bình phương lần
lượt các giá trị ở các đáp án A, B, C, D. Quy trình bấm máy bằng Casio Fx-570ES hoặc
Vinacal theo các bước sau:
-

Chuyển máy sang chế độ CMPLX bằng cách bấm Mode → 2.

-

Nhập −1 + 5i

(

)

2

(

)

2

hoặc −1 − 5i , màn hình hiển thị kết quả −4 − 2 5i

Câu 13: Đáp án C
Vì số phức cần tìm nhận

(

)

2

2 − i . Ta có:

(

2 −i

)

2

2 − i làm một căn bậc hai nên giá trị của nó bằng với

= 1 − 2 2i

❖ Nhận xét: Quy trình bấm máy Casio Fx-570ES hoặc Vinacal theo các bước sau:
-

Chuyển máy sang chế độ CMPLX bằng cách bấm Mode → 2

Trang 18 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


-

Nhập

(

)

2

2 − i , màn hình hiển thị kết quả 1 − 2 2i

Câu 14: Đáp án B
❖ Cách 1:
Ta giải phương trình x2 + ( i − 3) x + 4 − 3i = 0 bằng công thức nghiệm của phương trình
bậc hai hệ số thực có nghiệm phức x1.2 =

−b  i 
2a

. Khi đó ta có các hệ số

a = 1, b = i − 3, c = 4 − 3i và:

 = ( i − 3) − 4 ( 4 − 3i ) = −8 + 6i = 1 + 6i + ( 3i ) = (1 + 3i )
2

2

2

x1 = 2 + i
x2 = 1 − 2i

Tổng phần thực x1 , x2 là 3
❖ Cách 2:
Vì đề yêu cầu tính tổng phần thực của x1 , x2 nên ta không nhất thiết phải tính được giá trị
cụ thể của x1 , x2 mà chỉ cần tính tổng x1 + x2 rồi tìm phần thực của tổng này, cũng chính là

kết quả mà đề bài yêu cầu. Ta tính bằng định lý Viet như sau:
Theo định lý Viet: x1 + x2 =

−b
= 3−i
a

Phần thực của tổng x1 + x2 là 3 nên tổng phần thực của x1 , x2 cũng là 3.
Câu 15: Đáp án A
❖ Cách 1:
Ta giải phương trình x2 + ( i − 3) x + 4 − 3i = 0 bằng công thức nghiệm của phương bậc
hai hệ số thực có nghiệm phức

x1.2 =

−b  i 
2a

. Khi đó ta có các hệ số

a = 1, b = i − 3, c = 4 − 3i và:

 = ( i − 3) − 4 ( 4 − 3i ) = −8 + 6i = 1 + 6i + ( 3i ) = (1 + 3i )
2

2

2

x1 = 2 + i

x2 = 1 − 2i

Tổng phần ảo x1 , x2 là −1
❖ Cách 2:

Trang 19 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Vì đề yêu cầu tính tổng phần ảo x1 , x2 nên ta không nhất thiết phải tính được giá trị cụ
thể của x1 , x2 mà chỉ cần tính tổng x1 + x2 rồi tìm phần ảo của tổng này, cũng chính là kết quả
mà đề bài yêu cầu. Ta tính bằng định lý Viet như sau:
Theo định lý Viet: x1 + x2 =

−b
= 3−i
a

Phần ảo của tổng x1 + x2 là −1 nên tổng phần ảo của x1 , x2 cũng là −1 .
❖ Nhận xét: Dạng bài này ta nên dùng cách hai để tiết kiệm thời gian hơn
❖ Sai lầm thường gặp: Khi học sinh tính được x1 + x2 = 3 − i bằng một trong hai cách
trên, nhiều học sinh dễ khoanh nhầm đáp án B vì hiểu sai định nghĩa phần ảo của số phức. Ta
có phân tích sau:
Một số phức là một biểu thức có dạng a + bi , trong đó a,b là những số thực và i là số
thỏa mãn i 2 = −1 . Trong đó: i được gọi là đơn vị ảo, a được gọi là phần thực, b được gọi là
phần ảo
Câu 16: Đáp án D
❖ Phân tích:
Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn cho số phức z1 = a1 + b1i, z2 = a2 + b2i
Khi đó độ dài AB được tính bằng công thức AB =

( a1 − a2 ) + (b1 − b2 )
2

2

Để xác định được độ dài AB, ta tính tọa độ các điểm A, B trước. Với phương trình
x 2 + 4 x + 9 = 0 , ta có: x1 = −2 + 5i; x2 = −2 − 5i

(

)

(

Suy ra A −2; 5 , B −2; − 5
Khi đó: AB =

( −2 + 2 )

2

+

(

)

5+ 5

)

2

=2 5

Câu 17: Đáp án A
Quan sát thấy phương trình ( x + 2 − i ) + 4 ( x + 2 − i ) + 7 = 0 có biểu thức lặp đi lặp lại
2

là ( x + 2 − i ) ta lien tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Đặt t = x + 2 − i , phương trình trở
thành t 2 + 4t + 7 = 0
Giải phương trình trên bằng công thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số thực có
nghiệm phức hoặc máy tính Casio Fx-570ES ta được: t1 = −2 + 3i; t2 = −2 − 3i
Thay trở lại biến x ta được: x1 + 2 − i = −2 + 3i; x2 + 2 − i = −2 − 3i
Trang 20 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


(

)

(

)

Tương đương với x1 = −4 + 1 + 3 i; x2 = −4 + 1 − 3 i
❖ Nhận xét: Dạng phương trình có biểu thức lặp lại ta thường dùng cách đặt ẩn phụ để
dễ nhìn, dễ giải từ đó đi đến kết quả nhanh hơn. Ngoài ra, ta có thể giải quyết nhanh bài toán
mà không cần giải phương trình, quan sát bốn đáp án thấy các giá trị của x đều khác nhau, ta
sử dụng máy tính Casio Fx-570ES hoặc Vinacal để tìm xem đáp án nào có nghiệm thỏa mãn

đề theo các bước:
Chuyển máy sang chế độ CMPLX bằng cách bấm Mode → 2
Lần lượt gán các đáp án vào máy, ở đây thử đáp án C và A:
• Nhập vào màn hình biểu thức −2 + 3i . Bấm Shift + RCL+ (-) ứng với gán giá trị
−2 + 3i cho biến A.
•

Nhập vào biểu thức ( x + 2 − i ) + 4 ( x + 2 − i ) + 7 . Bấm CALC, màn hình hiển thị X?
2

Bấm ALPHA +A
• Màn hình hiển thị kết quả 18 − 8i , tức −2 + 3i không trải nghiệm, loại đáp án C
Với đáp án A ta cũng bấm máy tương tự:
• Nhập vào màn hình biểu thức −4 + 1 + 3 i . Bấm SHIFT+ RCL+ (-) ứng với gán giá

(

(

)

)

trị −4 + 1 + 3 i cho biến A.
•

Nhập biểu thức ( x + 2 − i ) + 4 ( x + 2 − i ) + 7 . Bấm phím CALC, màn hình hiển thị X?
2

Bấm ALPHA + A.

• Màn hình hiển thị kết quả 0, tức −4 + 1 + 3 i là nghiệm.

(

)

Câu 18: Đáp án C
Ta lần lượt bình phương các đáp án rồi thế ngược lên để tìm đáp án thỏa đề. Ta nhận
2

 1 1  1− 2 2
thấy: 
− i =
i
4
 2 2 
❖ Nhận xét: Với dạng bài này, không cần phải khai triển hay biến đổi biểu thức, ta chỉ
cần thế ngược đáp án để ra kết quả một cách nhau nhất.
Câu 19: Đáp án D
✓ Cách 1:
Quan sát thấy phương trình ( x 2 + 4 x + 6 )( x 2 + 4 x + 8 ) = −1 có biểu thức lặp lại là x 2 + 4 x ta
lien tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Nếu đặt t = x 2 + 4 x , phương trình trở thành

(t + 6)(t + 8) = −1
Giải phương trình trên bằng công thức nghiệm phương trình bậc hai hệ số thực hoặc máy tính
Casio Fx-570ES ta được nghiệm duy nhất t = −7
Trang 21 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Thay trở lại biến x ta được: x 2 + 4 x + 7 = 0

Tương đương với : x1 = −2 + 3i; x1 = −2 − 3i
✓ Cách 2:
Quan sát thấy phương trình ( x 2 + 4 x + 6 )( x 2 + 4 x + 8 ) = −1 có biểu thức lặp lại là x 2 + 4 x ta
liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Nhưng lần này ta đặt t = x 2 + 4 x + 7 . Xem thử vì sao
lại đặt như thế nhé, phương trình trở thành:

(t −1)(t + 1) = −1  t 2 −1 = −1  t = 0
Thay trở lại biến x ta được: x 2 + 4 x + 7 = 0
Tương đương với: x1 = −2 + 3i

x2 = −2 − 3i
❖ Nhận xét: Thông thường ta dễ dàng chọn cách 1, vì nó dễ thấy, dễ làm, nhueng tinh
tế hơn, cách 2 cho ta cách biến đổi rất ấn tượng, giúp bài toán được giải quyết nhanh
hơn, gọn và đẹp mắt hơn. Về bản chất, hai cách đặt ẩn phụ đều quy về phương trình
để giải ra nghiệm.Ngoài ra, ta có thể giải quyết nhanh bài toán mà không cần giải
phương trình, quan sát bốn đáp án thấy các giá trị của x đều khác nhau, ta sử dụng
máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal để tìm xem đáp án nào là nghiệm thỏa mãn
đề theo các bước:
+ Nhập vào màn hình biểu thức −2 + 3i . Bấm SHIFT + RLC + (-) ứng với gán giá trị
−2 + 3i cho biến A.

+ Nhập biểu thức ( x 2 + 4 x + 6 )( x 2 + 4 x + 8 ) = −1 . Bấm CALC, màn hình hiển thị X?
Bấm ALPHA + A
+ Màn hình hiển thị kết quả 0, tức −2 + 3i là nghiệm
Vậy đáp án đúng ở đây là đáp án A.
Câu 20: Đáp án A
✓ Cách 1:
- Quan sát thấy phương trình ( x 2 − 4 x + 10 )( x 2 − 4 x + 8 ) = 8 có biểu thức lặp lại là x 2 − 4 x ta
liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Nếu đặt t = x 2 − 4 x , phương trình trở thành:

(t + 10)( t + 8) = 8
- Giải phương trình trên bằng máy tính Casio Fx-570ES ta được nghiệm:
Trang 22 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


t1 = −6
t2 = −12

- Thay trở lại biến x ta được hai phương trình:
x2 − 4 x + 6 = 0
x 2 − 4 x + 12 = 0

- Tương đương với
x = 2  2i; x = 2  2 2i

✓ Cách 2:
- Quan sát thấy phương trình ( x 2 − 4 x + 10 )( x 2 − 4 x + 8 ) = 8 có biểu thức lặp lại là x 2 − 4 x ta
liên tưởng đến phương pháp đặt ẩn phụ. Nhưng lần này ta đặt t = x 2 − 4 x + 9 , xem thử vì sao
lại đặt như thế nhé, phương trình trở thành:

(t −1)(t + 1) = 8  t 2 −1 = 8  t = 3
- Thay trở lại biến x ta được:
x2 − 4 x + 6 = 0
x 2 − 4 x + 12 = 0

- Tương đương với:
x = 2  2i; x = 2  2 2i

❖ Nhận xét: Thông thường ta dễ dàng chọn cách 1, vì nó dễ thấy, dễ làm, nhưng tinh tế
hơn, cách hai cho ta một bước biến đổi rất ấn tượng, giúp bài toán được giải quyết

nhanh hơn, gọn và đẹp mắt hơn. Về bản chất, hai cách đặt ẩn phụ đều quy về phương
trình để giải ra nghiệm.Ngoài ra, ta có thể giải quyết nhanh bài toán mà không cần
giải phương trình, quan sát bốn đáp án thấy các giá trị của x đều khác nhau, ta sử
dụng máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal để tìm xem đáp án nào là nghiệm thỏa
mãn đề theo các bước:
+ Nhập vào màn hình biểu thức 2 + 2i . Bấm SHIFT + RLC + (-) ứng với gán giá
trị 2 + 2i cho biến A.
+ Nhập biểu thức ( x 2 − 4 x + 10 )( x 2 − 4 x + 8 ) = 8 . Bấm phím CALC, màn hình hiển
thị X? Bấm ALPHA + A
+ Màn hình hiển thị kết quả 0, tức 2 + 2i là nghiệm
Vậy đáp án đúng ở đây là đáp án A.
Câu 21: Đáp án C
Trang 23 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


- Để tính được x1 , x2 ta cần xác định x1 , x2 bằng công thức nghiệm của phương trình bậc
hai hệ số thực có nghiệm phức với a = 1, b = i − 3, c = 4 − 3i . Ta có:
 = ( i − 3) − 4 ( 4 − 3i ) = 6i − 8 = ( 3i + 1)
2

2

x1 = 2 + i
x2 = 1 − 2i

- Khi đó:

K = x1 + x2 = 22 + 12 + 12 + 22 = 2 5
❖ Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh nhầm lẫn giữa x1 + x2 và x1 + x2 dẫn đến tính
sai kết quả khi chưa phân biệt giữa định lý Viet và mô đun của số phức.

Câu 22: Đáp án A
✓ Cách 1:
- Để tính được x1 + x2 ta cần xác định x1 , x2 bằng công thức nghiệm của phương trình bậc
hai hệ số thực có nghiệm phức với a = 1, b = −8 − i, c = 17 + 7i , ta có:
x1 = 5 − i
x2 = 2i + 3

-Khi đó:
x1 + x2 = i + 8
A = x1 + x2 = 82 + 12 = 65

❖ Sai lầm thường gặp: Nhiều học sinh nhầm lẫn giữa x1 + x2 và x1 + x2 dẫn đến tính
sai kết quả khi chưa phân biệt giữa định lí Viet và môđun của số phức.
✓ Cách 2:
- Theo định lý Viet ta có: x1 + x2 = i + 8
- Khi đó: A = x1 + x2 = 82 + 12 = 65
- Trong bốn đáp án chỉ có đáp án A thõa mãn.
❖ Nhận xét: Rõ ràng cách 2 rất nhanh gọn, ta không phải tính từng nghiệm cụ thể, chỉ
cần hiều về bản chất định lý Viet và môđun số phức là có thể thực hiện được.
Câu 23: Đáp án B
- Theo phản xạ các bài tập trước, ta dùng Viet tính ngay kết quả mà không cần thông qua
bước tinh nghệm để tránh rườm rà, sai sót khi tính toán.
- Theo định lý Viet: x1 + x2 = 2m − 1
Trang 24 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải


Ta có: x1 + x2 = 0  2m − 1 = 0  m =

1
2

Câu 24: Đáp án C
- Theo phản xạ các bài tập trước, ta dùng Viet tính ngay kết quả mà không cần thông qua
bước tinh nghệm để tránh rườm rà, sai sót khi tính toán.
- Theo định lý Viet: x1 x2 = 1 − 3mi
Ta có: x1 x2 = 0  1 − 3mi = 0  m =

−1
i
3

Câu 25: Đáp án D
- Ta có biến đổi sau: ( z 4 − 1)( z 2 − 1)( z 3 + 1) = 0  ( z 2 − 1) ( z 2 + 1)( z 3 + 1) = 0
2

 z = 1
 z = i
 z −1 = 0

 2
2

z
+
1
=
0
 ( z 2 − 1) ( z 2 + 1) ( z + 1) ( z 2 − z + 1) = 0  
 z = 1+ 3
z +1 = 0

2


2
 1− 3
 z − z + 1 = 0
z =

2
2

Vậy phương trình đã cho có 6 nghiệm thỏa mãn đề.
Câu 26: Đáp án C

x = 1 − i làm một nghiệm của phương trình x2 + ( a + 1) x + b − 2 = 0 khi:

(1 − i ) + ( a + 1)(1 − i ) + b − 2 = 0  ( −3 − a ) i + a + b − 1 = 0
2

−3 − a = 0
a = −3


a + b − 1 = 0
b = 4

- Nhận xét: Ta có thể giải quyết bài toán bằng máy tính CASIO fx570-ES hoặc Vinacal bằng
cách thế ngược đáp án, thế từng giá trị của các đáp án A,B,C,D
- Chuyển máy sang chế độ CMPLX: Bấm MODE → 2
- Nhập 1 − i , bấm SHIFT + RLC + (-) để lưu giá trị 1 − i vào biến nhớ A

 a = −3
- Với 
phương trình trở thành: x 2 − 2 x + 2 = 0 . Nhập x 2 − 2 x + 2 = 0 Vào máy tính,
b = 4

bấm phím CALC, màn hình hiển thị X? Bấm Alpha + A + =, màn hình hiển thị 0, vậy
 a = −3
thỏa đề.

b = 4

Câu 27: Đáp án D
Trang 25 – Website chuyên đề thi thử file word có lời giải