chương 6 đạo hàm và tích phân xác định

Chương 6 Đạo hàm và tích phân xác định


Chương 6 Đạo hàm và tích phân xác định
6.1. Đặt vấn đề
6.2. Tính gần đúng đạo hàm

6.3. Tính gần đúng tích phân xác định
Bài tập


6.1 Đặt vấn đề
Trong thực tế:
• Hàm y = f(x) ở dạng bảng số và công thức tường mình chưa
biết.
• Hoặc hàm số f(x) phức tạp.
=> để tính đạo hàm hoặc tích phân của f(x) ta chọn công
thức gần đùng.
• Công thức gần đúng còn cho phép chúng ta dễ lập trình trên
máy tính.
xk

x0

…

xn

yk = f(xk)

y0

…

yn


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Cho hàm y = f(x) và bảng số
xk

x0

…

xn

yk = f(xk)

y0

…

yn

Để tính gần đúng đạo hàm, ta xấp xỉ hàm bằng công thức Taylor ,
đa thức nội suy Lagrange L(x) hay đa thức nội suy Newton N(x).
Khi đó ta có:
f’(x)  T’(x) và f”(x)  T” (x)
(6.1)
f’(x)  L’(x) và f”(x)  L” (x)

(6.2)

f’(x)  N’(x) và f”(x)  N” (x)

(6.3)


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
6.2.1 Biểu diễn f(x) qua chuỗi Taylor bậc 2
f ' ( x0 )(x  x 0 ) f " ( x0 )(x  x 0 )2
f ( n ) ( x0 )( x  x0 )n
(6.4)
f ( x )  f ( x0 ) 

 ... 
1!
2!
n!
Đặt: h  x  x0  x  x0  h

f "( x0 ) 2
f  x0  h   f ( x0 )  f '( x0 )h 
h
2

(6.5)

Khi |h| khá bé ta có:

f ( x0  h)  f ( x0 )
f '( x0 ) 
h

(6.6)


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Sai số:

f "( )
M
R( x0 ) 
h  h; f "( x )  M , x  [x 0 , x 0  h]
2
2

Ví dụ 6.1: Cho f(x) = x3 + 2x2 – 3. Tính f’(1)?

Giải: chọn h = 0.001 ta có:
f (1  0.001)  f (1) (1.0013  2  1.0012  3)  (13  2  12  3)
f ' 1 

0.001
0.001
0.007005

 7.005001
0.001

Sai số:

f "( x )  6 x  4  f "(1)  10  M
M
10

h   0.001  0.005
2
2

(6.7)


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
6.2.2 Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy
Xấp xỉ hàm f(x) bằng đa thức nội suy Pn(x) tại n + 1 mốc:

f ( x )  Pn ( x )  R( x )

(6.8)

f '( x )  Pn' (x)  R ' ( x )

(6.9)

 f '( x)  Pn' (x),  x  [a, b]
Sai số:

(6.10)

f ( n 1) (c) n
R '( x ) 
( x  xi ), c  [a, b]

(n  1)! i 0
R '( x ) 

max f 
 a ,b 

n 1

 x

 n  1 !

 x  x0   x  xn 



(6.11)
(6.12)


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
n

L( x)   pn( k )  x  yk

(6.11)

k 0

(k )
n

p

x  x0  x  x1   x  xk 1  x  xk 1  x  xn 

 x 
 xk  x0  xk  x1   xk  xk 1  xk  xk 1  xk  xn 

(6.12)

Trường hợp các mốc cách đều xk+1 – xk = h = const
Đặt q = (x – x0)/h
1 q  q  1  q  n 

L  x  
yk
k ! n  k ! q  k 
k 0
n

nk

(6.13)

6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
Tính đạo hàm tại 2 mốc:
x

x0

x1

y

y0

y1

y0 = f(x0) và
y1 = f(x1) = f(x0 + h)

Đa thức nội suy Lagrange có dạng
x  x0
x  x1
L  x  
y0 
y1
h
h
y1  y0 f  x0  h   f  x0 
f  x 


h
h
h  x1  x0

(6.12)
 x trên [x0 , x1]

(6.13)
(6.14)


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
Ví dụ 6.2: Cho f(x) = ln(x). Tính f’(1.2)?

Giải: chọn h = 0.001 ta có:
f (1.2  h )  f (1.2) f (1.201)  f (1.2)
f '(1.2) 

h
0.001
0.183155  0.182322

 0.832986
0.001

1
1
𝑓′(𝑥) = ⇒ 𝑓′(1.2) =
= 0.833333

𝑥
1.2


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
Tính đạo hàm tại 3 mốc:
x

x0

x1

x2

y

y0

y1

y2

x2 – x1 = x 1 – x0 = h
y0 = f(x0)
y1 = f(x1) = f(x0 + h)
y2 = f(x2) = f(x0 + 2h)

Đa thức Lagrange có dạng
L  x

x  x1  x  x2 
x  x0  x  x2 
x  x0  x  x1 




y 
y 
y
2

0

2

1

2

2h
h
2h
x  x0
x  x1
x  x2
L  x  
y


2
y

y

y

y  2 y1 
1
2
2  2
2  0
2  0
2h
2h
2h

L  x  

y2  2 y1  y0
h2

2

(6.15)

(6.16)
(6.17)

6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
L  x  

x  x0
x  x1
x  x2
y

2
y

y

y

y  2 y1 
1
2
2  2
2  0
2  0
2h
2h
2h

3 y0  4 y1  y2 3 f  x0   4 f  x0  h   f  x0  2h 
f   x0   L  x0  

2h

2h

(6.18)

công thức sai phân tiến
y0  4 y1  3 y2 f  x0   4 f  x0  h   3 f  x0  2h 
f   x2   L  x2  

2h
2h

(6.19)

công thức sai phân lùi
y2  y0 f  x0  2h   f  x0 
f   x1   L  x1  

2h
2h

công thức sai
phân hướng tâm

(6.20)


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
Công thức sai phân hướng tâm thường được viết dưới dạng
f   x0  

f  x0  h   f  x0  h 
2h

(6.21)

Công thức sai phân lùi được viết dưới dạng
f  x0  2h   4 f  x0  h   3 f  x0 
f   x0  
2h

(6.22)

Sử dụng công thức sai phân hướng tâm để xấp xỉ đạo hàm cấp 2
f   x0  

f  x0  h   2 f  x0   f  x0  h 
h2

(6.23)


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
Sử dụng công thức sai phân hướng tâm để xấp xỉ đạo hàm cấp 2:
y2  2 y1  y0
L  x  
h2

(6.24)

y2  2 y1  y0
f   x  
h2

(6.25)


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
Sai số:
TH1: Đạo hàm cấp 1 có 2 mốc

M2 h

2

M 2  max f   x 

(6.26)

M 3  max f (3)  x 

(6.27)

x a ,b

TH2: Đạo hàm cấp 1 có 3 mốc

M 3h


3

2

x a ,b


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
Sai số:
TH3: Đạo hàm cấp 1 có 3 mốc hướng tâm
M 3  h2

6

(6.28)

TH4: Đạo hàm cấp 2 có 3 mốc
M 4h 2

12

M 4  max f (4)  x 
x a ,b

(6.29)


6.2 Tính gần đúng đạo hàm

Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
Ví dụ 6.3:

Tính f’(x) khi x = 0

f  x   e x

x

–0.5

0

0.5

y

1.6487

1

0.6065

Giải:
h = 0.5
Sử dụng công thức hướng tâm:
f   x1   L  x1  

Sai số:

y2  y0 0.6065  1.6487

 1.0422
2h
2  0 .5

M 3  h 2 (0.5) 2


 0.041667
6
6


6.2 Tính gần đúng đạo hàm
Tính đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange
Ví dụ 6.4: Tính f’(x) khi x = -1 và x = 1; f  x   2x
x

–1

0

1

y

0.5

1

2

Giải: h = 1
Sử dụng công thức sai phân tiến:
f   1  L  1 

3 y0  4 y1  y2 3  0.5  4  1  2

1
2h
2 1

Sử dụng công thức sai phân lùi:
f  1  L 1 

y0  4 y1  3 y2 0.5  4  1  3  2

 0.5
2h
2 1


6.3 Tính gần đúng tích phân
Đặt vấn đề
Theo công thức Newton-Leibnitz:



b

a

f ( x)dx  F ( x) a  F (b)  F (a ), F '( x)  f ( x)
b

(6.30)

Trong thực tế hàm f(x) có thể cho ở dạng bảng, khi đó khái niệm nguyên hàm không
còn ý nghĩa.
==> thay hàm f(x) bằng một đa thức nội suy sau đó tính tích phân gần đúng của đa thức.



b

a

b

f ( x )dx   Pn ( x )dx
a

(6.31)


6.3 Tính gần đúng tích phân
Tích phân hình thang
Ta chia [a, b] thành n đoạn con bằng nhau bởi các điểm chia xi:
a = x0 < x1 < … < xn-1 < xn = b

𝑏−𝑎
𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ, ℎ =
, 𝑖 = 0,1, . . , 𝑛
n
Đặt yi = f(xi). Ta có:



b

a

x1

x2

xn

x0

x1

xn 1

f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx ...  

f (x)dx

(6.32)

6.3 Tính gần đúng tích phân
Tích phân hình thang
Đối với về phải, mỗi tích phân ta thay hàm f(x) bằng một đa thức Newton bậc nhất p1(x).
Với tích phân thứ nhất ta có:



x1

x0

x1

f (x)dx   p1 (x)dx
x0

Đổi biến x = x0 + ht => dx = hdt, ứng với x0 là t = 0, x1 là t = 1.



x1
x0

2

t 1

t
p1 (x) dx  h  ( y0  t y0 )dt  h( y0t  y0 )

0
2
t 0
1

y0
y0  y1
 h ( y0 
)h
, y0  y1  y0
2
2
x1
y0  y1
  f (x) dx  h
x0
2


6.3 Tính gần đúng tích phân
Tích phân hình thang
Về mặt hình học

y1=f(x1)

B
y=f(x)

(y0 + y1)/2
y0=f(x0)

A
h

0

x0

x1

x


6.3 Tính gần đúng tích phân
Tích phân hình thang
Tương tự với tích phân i + 1, do vậy ta có:

h
a f (x) dx  2 [(y0  y1 )  (y1  y2 )  ...  (yn1  yn )]
y0  y n
 h[
 y1  y 2  ...  y n 1 ]
2
(b  a )
h
n
b

(6.33)
(6.34)

(6.35)


6.3 Tính gần đúng tích phân
Tích phân hình thang
Về mặt hình học:

ba
h
n
f(x)

x0

h

x1

h

x2

h

x3

h

x4

x


6.3 Tính gần đúng tích phân
Tích phân hình thang
Sai số:

h2  b  a  M 2
12

M 2  max f   x 
x a ,b

(6.36)
(6.37)