tuyển tập đề thi tuyển sinh vào 10 chuyên toán

O
N

TUYỂN TẬP
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

VU

HA

IS

NĂM HỌC 2018 - 2019

Sưu tầm và biên soạn: Vũ Hải Sơn
THÁNG 6 - 2018


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

NĂM HỌC 2018 - 2019

Mục lục
1 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM
ĐỊNH (VÒNG 1)

3

2 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG - NAM
ĐỊNH (VÒNG 2)

4

3 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ

O
N

NỘI (VÒNG 1)

5

4 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ
NỘI (VÒNG 2)

6

5 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC KHTN - ĐHQGHN

IS

(VÒNG 1)

7

6 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC KHTN - ĐHQGHN
(VÒNG 2)

8

HA

7 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC
GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH (VÒNG 1)

9

8 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC
GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH (VÒNG 2)

10
11

10 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ

12

11 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM (VÒNG 2)

13

12 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THÀNH PHỐ HÀ NỘI

14

13 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI

15

14 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẮC NINH

16

15 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

17

16 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH

18

VU

9 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THPT CHUYÊN QUỐC HỌC HUẾ


NĂM HỌC 2018 - 2019

19

18 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI NGUYÊN

20

19 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG NAM

21

20 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HẢI DƯƠNG

22

21 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN VÀ CHUYÊN TIN TỈNH HƯNG YÊN

23

22 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG

24

23 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HÀ TĨNH

25

24 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẮC GIANG

26

25 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HÀ NAM

27

28

O
N

17 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI BÌNH

IS

TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

26 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ
AN

HA

27 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ 29
28 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG BÌNH

30

29 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN LAM SƠN - THANH HÓA 31
32

31 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - KHÁNH HÒA

33

VU

30 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG

32 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH LÀO CAI

34

33 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH PHƯỚC

35

34 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BÌNH ĐỊNH

36

35 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẾN TRE

37

36 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH VĨNH PHÚC

38

37 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH ĐỒNG NAI

39

38 ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG NGÃI

40


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

1

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH (VÒNG 1)

Câu 1 ( 2 điểm):
a) Giải phương trình

√
2x + 3 = x

b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 2 đường thẳng y = −x − 2(d1 ) và y =

3
x + 3(d2 ) . Gọi A, B lần lượt là giao
2

điểm của (d1 ) và (d2 ) với trục Oy và C là giao điểm của (d1 ) với (d2 ) . Tính diện tích tam giác ABC

O
N

c) Cho tam giác ABC có AB = 8cm,BC = 17cm, CA = 15cm . Tính chu vi đường tròn nội tiếp tam giác ABC
d) Một hình nón có chu vi đường tròn đáy là 6πcm, độ dài đường sinh là 5cm. Tính thể tích hình nón đó
√
√
√
1
x−1 1− x
√
√
Câu 2 (1,5 điểm) Cho biểu thức P =
x− √
+
:

x
x
x+ x
(Với x > 0; x = 1)
1) Rút gọn biểu thức P

IS

2) Chứng minh rằng với mọi x > 0; x = 1 thì P > 4
Câu 3 ( 2,5 điểm)

1) Cho phương trình x2 − mx − m2 + m − 4 = 0 với m là tham số

a) Chứng minh với mọi giá trị của tham số m, phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

HA

b) Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho (x1 < x2 ). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để |x2 | − |x1 | = 2
√
√
√
2) Giải phương trình 6 x + 2 + 3 3 − x = 3x + 1 + 4 −x2 + x + 6
Câu 4 ( 3, 0 điểm) Cho tam giác ABC với AB < AC ngoại tiếp đường tròn (O;R). Đường tròn (O;R) tiếp xúc với các
cạnh BC; AB lần lượt tại D,N. Kẻ đường kính DI của đường tròn (O;R) . Tiếp tuyến của đường tròn (O;R) tại I cắt các
cạnh AB,AC lần lượt tại E;F.

1) Chứng minh tam giác BOE vuông và EI.BD = F I.CD = R2

VU

2) Gọi P,K lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng BC,AD.Q là giao điểm của BC và AI. Chứng minh AQ = 2KP .
3) Gọi A1 là giao điểm AO với cạnh BC, B1 là giao điểm của BO với cạnh AC . C1 là giao điểm của CO với cạnh AB

và (O1 ; R1 ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh
Câu 5 (1 điểm)

a) giải hệ phương trình:

1
1
1
2
+
+
<
AA1
BB1
CC1
R − OO1



√
√


(2x + 4y − 1) 2x − y − 1 = (4x − 2y − 3) x + 2y


√

√


x2 + 8x + 5 − 2(3y + 2) 4x − 3y = 2 2x2 + 5x + 2

b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + 2bc + 2ca = 7. Tìm GTNN của
11a + 11b + 12c
√
√
Q= √
2
8a + 56 + 8b2 + 56 + 4c2 + 7

——HẾT——–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

2

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
LÊ HỒNG PHONG - NAM ĐỊNH (VÒNG 2)
Câu 1 (2 điểm)
y2
x2 y 2
x2
−
−

(x + y)(1 − y) (x + y)(1 + x) (1 + x)(1 − y)
1
1
1
1
1
1
+
< 2018
1 + 2 + 2 + 1 + 2 + 2 + ... + 1 +
2
1
2
2
3
2017
20182

a) Rút gọn biểu thức P =
b) Chứng minh rằng:
Câu 2 (2 điểm)

O
N

√
2
2
a) giải phương trình: 2 (1
− x) x + 2x − 1 + x = x − 1



 x − 3y − 2 + y(x − y − 1) + x = 0
b) giải hệ phương trình:
√
4y


= x2 − 14y − 8
3 8 − x − √
y+1+1
Câu 3 (3 điểm)

Cho đoạn thẳng AB và C là điểm nằm giữa hai điểm A, B. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, vẽ

IS

nửa đường tròn đường kính AB và nửa đường tròn đường kính BC. Lấy điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính BC
( M khác B, C). Kẻ MH vuông góc với BC ( H ∈ BC), đường thẳng MH cắt nửa đường tròn đường kính AB tại K. Hai
đường thẳng AK, CM giao nhau tại E
a) Chứng minh BE 2 = BC.AB

HA

b) Từ C kẻ CN vuông góc với AB ( N thuộc nửa đường tròn đường kính AB), Gọi P là giao điểm của NK và CE.
Chứng minh rằng tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác BN E và P N E cùng nằm trên đường BP
c) Cho BC = 2R. Gọi O1 ; O2 lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác M CH và M BH. xác định vị trí điểm
M để chu vi tam giác O1 HO2 lớn nhất
Câu 4 ( 1,5 điểm)

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn 2x2 + 5y 2 = 41 + 2xy

VU

b) Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn n3 + 2019 chia hết cho 6

Câu 5 (1.5 điểm)

a) Cho các số thực dương thỏa mãn

√
√
a+ b=1

Chứng minh rằng 3(a + b)2 − (a + b) + 4ab ≥

1
2

(a + 3b)(b + 3a)

b) Cho 100 điểm trên mặt phẳng sao trong trong bất kỳ 4 điểm nào cũng có ít nhất 3 điểm thẳng hàng. Chứng minh

rằng ta có thể bỏ đi một điểm trong 100 điểm đó để 99 điểm còn lại cùng thuộc 1 đường thẳng.
——HẾT——–
.


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

3

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI (VÒNG 1)
Câu 1: Cho biểu thức

Với x > 1

O
N

√
2x
√
− x+1
2
x−1
√
√
P =
.
1
(x + 1) x + 1 + (x − 1) x − 1 √ 1
−√
x−1
x+1

1. Rút gọn biểu thức P

2. Tìm x để P = x − 1
Câu 2:

Một nhà máy chuyên sản xuất một loại sản phẩm. Năm 2015 nhà máy sản xuất được 5000 sản phẩm. Do ảnh hưởng

IS

của thị trường tiêu thụ nên sản lượng của nhà máy trong các năm 2016 và 2017 đều giảm. Cụ thể: số lượng sản phẩm
nhà máy sản xuất được trong năm 2016 giảm x phần trăm so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm
2015, số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 cũng giảm x phần trăm so với số lượng sản phẩm nhà
máy sản xuất được trong năm 2016. Biết rằng số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất được trong năm 2017 giảm 51 phần

HA

trăm so với số lượng sản phẩm nhà máy sản xuất trong năm 2015. Tìm x.

Câu 3: cho phương trình x3 − x − 1 = 0. giả sử x0 là một nghiệm của phương trình đã cho
1. Chứng minh x0 > 0

2. Tính giá trị của biểu thức

M=

x20 − 1
. 2x20 + 3x0 + 2
x30

VU

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD với BC = a, AB = b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Qua

điểm M dựng đường thẳng cắt đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD tại P và cắt đường thẳng BC tại Q sao cho

B nằm giữa C và Q.

1. Khi M P ⊥ AC hãy

a) Tính P Q theo a và b
b) Chứng minh a.BP = b.P N
2. Chứng minh M N P = M N Q (Không nhất thiết M P và AC vuông góc với nhau)

Câu 5. Các số nguyên x, x1 , x2 , ...x9 thỏa mãn (1 + x1 )(1 + x2 )...(1 + x9 ) = (1 − x1 )(1 − x2 )...(1 − x9 ) = x
Tính P = x.x1 .x2 ...x9
———HẾT——–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

4

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI (VÒNG 2)
Câu 1: Cho số thực x, y không âm thoả mãn (x + 1)(y + 1) = 2. Tính giá trị của biểu thức:
P =

x2 + y 2 −

2(x2 + 1)(y 2 + 1) + 2 + xy

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của Q = x + y + z
Câu 3:
1) Cho biểu thức:
M=

O
N

Câu 2: Cho các số thực x, y, z không âm thoả mãn x2 + y 2 + z 2 + x2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x2 = 6

(a + b)2
a3 + ab2 − a2 b − b3

2) Cho a, b là 2 số nguyên dương, đặt:

IS

Với a, b là các số nguyên dương phân biệt. Chứng minh rằng M không thể nhận giá trị nguyên.

A = (a + b)2 − 2a2 , B = (a + b)2 − 2b2
Chứng minh rằng A, B không đồng thời là số chính phương.

HA

Câu 4: Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC và nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn ngoại tiếp tam giác
BOC cắt đường thẳng AB và AC theo thứ tự tại D và E. Trên đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC lấy P sao cho AP
vuông góc với P C. Đường thẳng qua B song song với OP cắt P C tại Q. Chứng minh rằng:
1) P B = P Q

2) O là trực tâm tam giác ADE
3) P AO = QAC

VU

Câu 5: Có 45 người tham gia một cuộc họp. Quan sát sự quen nhau giữa họ, người ta thấy rằng: nếu 2 người có số

người quen nhau bằng nhau thì họ không quen nhau. Gọi S là số cặp người quen nhau trong cuộc họp (cặp người quen
nhau không kể thứ tự sắp xếp giữa hai người trong cặp)
1) Xây dựng ví dụ để S = 870

2) Chứng minh rằng S ≥ 870
——HẾT——–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

5

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
ĐẠI HỌC KHTN - ĐHQGHN (VÒNG 1)
1) Giải phương trình

√
x2 − x + 2 x3 + 1 = 2 x + 1

O
N

2) Giải hệ phương trình




xy + y 2 = 1 + y

.




x2 + 2y 2 + 2xy = 4 + x

Câu II:

IS

1) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn

(x + y)(3x + 2y)2 = 2x + y − 1

2) Với a, b là các số nguyên thỏa mãn

√

a + 2b = 2 +

b

, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3

HA

b
a
+√
M=√
a + 2b
b + 2a

Câu III: Cho tam giác ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F . Gọi
K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng DE, M là trung của đoạn thẳng DF . 1) Chứng minh rằng hai tam
giác BKM và DEF đồng dạng.

2) Gọi L là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng DF , N là trung điểm của ddaonj DE. Chứng minh rằng
M K và N L song song.

3) Gọi J, X lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng KL, ID. Chứng minh rằng đường thẳng JX vuông góc với

VU

đường thẳng EF

Câu IV: trên mặt phẳng cho hai điểm P, Q phân biệt. Xét 10 đường thẳng nằm trong mặt phẳng trên thỏa mãn các

tính chất sau:

i) không có hai đường thẳng nào song song hoặc trùng nhau.

ii) mỗi đường thẳng đi qua P hoặc Q, không có đường thẳng nào đi qua cả P và Q Hoi 10 đường thẳng trên có thể

chia mặt phẳng thành tối đa bao nhiêu miền. Hãy giải thích.
——-HẾT——–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

6

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
ĐẠI HỌC KHTN - ĐHQGHN (VÒNG 2)
Câu I:
1) Giải hệ phương trình




xy(x + y) = 2

.

2) Giải phương trình

O
N





x3 + y 3 + x3 y 3 + 7(x + 1)(y + 1) = 31

√
√
9 + 3 x(3 − 2x) = 7 x + 5 3 − 2x.
Câu II:

IS

1) Cho x, y là các số nguyên sao cho x2 − 2xy − y va xy − 2y 2 − x đều chia hết cho 5. Chứng minh rằng 2x2 + y 2 + 2x + y
cũng chia hết cho 5

2) Cho a1 , a2 , ..., a50 là các số nguyên thỏa mãn

1 ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ a50 ≤ 50 và a1 + a2 + ... + a50 = 100

HA

Chứng minh rằng từ các số đã cho ta có thể chọn một vài số có tổng bằng 50

Câu III: Cho ngũ giác lồi ABCDE nội tiếp đường tròn (O) có CD song song với BE. Hai đường chéo CE và BD cắt
nhau tại P . Điểm M thuộc đoạn thằng BE sao cho M AB = P AE. Điểm K thuộc đoạn thẳng AC sao cho M K song
song với AD, điểm L thuộc đoạn thẳng AD sao cho M L song song với AC. Đường tròn ngoại tiếp tam giác KBC lần
lượt cắt BD, CE tại Q, S (Q khác B, S khác C).

1) Chứng minh rằng ba điểm K, M, Q thẳng hàng.

VU

2) Đường tròn ngoại tiếp tam giác LDE lần lượt cắt BD, CE tại T, R (T khác D, R khác E). Chứng minh năm điểm

M, S, Q, R, T thuộc một đường tròn.
3)Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác P QR tiếp xúc với đường tròn (O)
Câu IV: Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng
ab
+
a+b

bc
b+c

1
1
√
+√
a+b
b+c

≤2
——-HẾT——–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

7

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN PHỔ THÔNG NĂNG
KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH (VÒNG
1)

Bài 2 (2 điểm)

2x2 (7 − x)
√
= x(x − 7)
3−x




(x + 3)(x − 1) = (y − 2)(x + 3)
b) Giải hệ phương trình



(x − 1) y 2 − 5y + 8 = (y − 2)2
a) Giải phương trình

Bài 3 (2 điểm) Cho phương trình x2 − x + 3m − 11 = 0 (1)

O
N

Bài 1 ( 1,0 điểm) Biết 0 < x ≤ y và
√
√

√
√
( x + y)2 + ( x − y)2
x
5
y
x
√
+ √ √
= . Tính
√ √
√
√ +√ √
√
3
y
( x + y)( x − y) + 2(x + 2y)
x( x + y)
y( x + y)

IS

a) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm kép? Tìm nghiệm đó

b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho 2017x1 + 2018x2 = 2019
Bài 4 (2 điểm)

a) Đầu tháng 5 năm 2018, khi đang vào vụ thu hoạch giá dưa hấu bất ngờ giảm mạnh. Nông dân A cho biết vì sợ

HA

dưa hỏng nên phải bán 30 phần trăm số dưa hấu thu hoạch được với giá 1500 đồng mỗi kg, sau đó nhờ phong trào ” giải
cứu dưa hấu” nên đã may mắn bán hết số dưa còn lại với giá 3500đ/kg; nếu trừ tiền đầu tư thì lãi được 9 triệu đồng (
không kể công chăm sóc hơn 2 tháng của cả nhà). Cũng theo ông A, mỗi sào đầu tư ( hạt giống, phân bón...) hết 4 triệu
đồng và thu hoạch được 2 tấn dưa hấu. Hỏi ông A đã trồng bao nhiêu sào dưa hấu
b) Một khu đất hình chữ nhật ABCD ( AB < AC) có chu vi 240 mét được chia thành 2 phần mỗi khu đất hình chữ
nhật ABM N làm chuồng trại và phần còn lại làm vườn thả để nuôi gà (M, N lần lượt thuộc các cạnh AD, BC) Theo

VU

quy hoạch trang trại nuôi được 2400 con gà, bình quân mỗi con gà cần 1 mét vuông diện tích vườn thả và diện tích vườn
thả gấp 3 lần diện tích chuồng trại. Tính chu vi khu đất làm vườn thả.
Bài 5 ( 3 điểm)

Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (T ) tâm O bán kính R; CAD = 45◦ , AC vuông góc với BD và cắt BD tại I,

AD > BC. Dựng CK vuông góc với AD ( K ∈ AD), CK cắt BD tại H và cắt (T ) tại E ( E không trùng với C)
a) tính số đo góc COD. Chứng minh các điểm C, I, K, D cùng thuộc 1 đường tròn và AC = BD

b) Chứng minh A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BHE. Tính IK theo R
c) IK cắt AB tại F . Chứng minh O là trực tâm tam giác AIK và CK.CB = CF.CD
——–HẾT———


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

8

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN PHỔ THÔNG NĂNG
KHIẾU ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH (VÒNG
2)
Bài 1.(1,5 điểm) Cho các phương trình x2 − x + m = 0(1) và mx2 − x + 1 = 0(2) với m là tham số.
a) Tìm m để các phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm dương phân biệt

Chứng minh rằng x1 x2 x3 + x2 x3 x4 + x3 x4 x1 + x4 x1 x2 > 5

O
N

b) Giả sử điều kiện ở câu a) được thỏa mãn, gọi x1 , x2 là 2 nghiệm của (1) và x3 , x4 là 2 nghiệm của (2).

Bài 2.(2 điểm) Cho a,b là hai số nguyên thỏa mãn a3 + b3 > 0
a) Chứng minh rằng a3 + b3 ≥ a + b > 0
b) Chứng minh rằng a3 + b3 ≥ a2 + b2

IS

c) Tìm tất cả các bộ số x,y,z,t nguyên sao cho x3 + y 3 = z 2 + t2 và z 3 + t3 = x2 + y 2
Bài 3.(2 điểm) Cho An = 2018n + 2032n − 1964n − 1984n với n là số tự nhiên
a) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thì An chia hết cho 51

b) Tìm tất cả những số tự nhiên n sao cho An chia hết cho 45

HA

Bài 4.(3 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Một đường tròn qua B,C cắt các cạnh AB,AC lần lượt tại E và F. BF cắt
CE tại D. Lấy điểm K sao cho tứ giác DBKC là hình bình hành.
a) Chứng minh rằng ∆KBC đồng dạng ∆DF E, ∆AKC đồng dạng ∆ADE

b) Hạ DM vuông góc với AB, DN vuông góc với AC. Chứng minh rằng MN vuông góc với AK.
c) Gọi I là trung điểm AD, J là trung điểm MN. Chứng minh rằng đường thẳng IJ đi qua trung điểm của cạnh BC.
d) Đường thẳng IJ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác IMN tại T (T = I). Chứng minh rằng AD tiếp xúc với đường
tròn ngoại tiếp tam giác DTJ.

VU

Bài 5.(1,5 điểm) Đội văn nghệ của một trường THCS có 8 học sinh. Nhà trường muốn thành lập các nhóm tốp ca,

mỗi nhóm gồm đúng 3 học sinh (mỗi học sinh có thể tham giác vài nhóm tốp ca khác nhau). Biết rằng hai nhóm tốp ca
bất kỳ có chung nhau nhiều nhất 1 học sinh.
a) Chứng minh rằng không có học sinh nào tham gia từ 4 nhóm tốp ca trở lên.
b) Có thể thành lập được nhiều nhất là bao nhiêu nhóm tốp ca như vậy?
——-HẾT——–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

9

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THPT CHUYÊN
QUỐC HỌC HUẾ
Câu 1: (1,5 điểm)
x
√
√ +1 :
x x+ √
x

x+ x+1
a) Chứng minh rằng P = √
x−1

Cho biểu thức P =

√
√
2 x
x
√ − √
√
x− x x x+ x−x−1

với x > 0, x = 1

O
N

b) Tìm các giá trị của x sao cho P = 7
Câu 2: (1,5 điểm)

Cho parabol (P ) : y = x2 và đường thẳng (d) : y = mx + 4. Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P )
tại hai điểm phân biệt A, B nằm khác phía đối với trục tung, khi đó tìm giá trị của m để diện tích tam giác OAB nhỏ
nhất.
Câu 3: (2,0 điểm)

IS

a) Cho phương trình x2 + x + m − 2 = 0 (x là ẩn số). Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm

phân biệt x1 , x2 thỏa mãn 3x21 + 2x22 + x1 x2 − x2 = 7
b) Giải phương trình

3

Câu 4: (3,0 điểm)

1
−x+
3

3

2
+x=1
3

HA

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Gọi C là trung điểm của AO, đường thẳng d qua C và vuông góc với
AB cắt nửa đường tròn (O) tại I. Gọi K là một điểm bất kì trên đoạn thẳng CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường
tròn đã cho tại M khác A. Tiếp tuyến với nửa đường tròn (O) tại M cắt d tại N . Gọi D là giao của BM vầ d.
a) Chứng minh tứ giác ACM D nội tiếp và tam giác M N K cân tại N
b) Khi K là trung điểm CI, hãy tính diện tích tam giác ABD theo R
c) Chứng minh khi K di động trên CI thì đường tròn ngoại tiếp tam giác AKD đi qua một điểm cố định khác A

VU

Câu 5: (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho 6n2 + 10n +

√
n2 + 2n + 52 + 2018 là số chính phương

b) Một quân cờ di chuyển trên một bảng ô vuông kích thướng 18x18 theo một trong 3 cách: đi lên một ô, đi sang bên

phải một ô, đi xuống bên trái một ô. Chứng minh rằng không tồn tại một ô nào trên bảng ô vuông đã cho để từ đó quân
cờ có thể đi qua tất cả các ô của bảng, mỗi ô đúng một lần và kết thúc tại ô kề bên phải của ô xuất phát.
———-HẾT———-


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

10

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
QUỐC HỌC HUẾ

Câu 1: (1,5 điểm)
a) Cho các biểu thức P (x) =

√
√
2x − 12 x − 32
và Q(x) = x + x + 3. Tìm số nguyên x0 sao cho P (x0 ) và Q(x0 ) là
x − 16

các số nguyên, đồng thời P (x0 ) là ước của Q(x0 ).
b) Cho t =

x2

x2
x
. Tính giác trị biểu thức A = 4
theo t.
−x+1
x + x2 + 1

a) Cho parabol (P ) : y =

O
N

Câu 2: (2 điểm)

1 2
11
3
x và đường thẳng (d) : y =
x − . Gọi A, B là các giao điểm của (P ) và (d). Tìm tọa
4
8
2

độ điểm C trên trục tung sao
cho CA + CB có giá trị nhỏ nhất.


2x2 + xy − y 2 − 5x + y + 2 = 0
b) Giải hệ phương trình


x2 + y 2 + x + y − 4 = 0

IS

Câu 3: (1,5 điểm)

a) Xác định các giá trị của m để phương trình x2 − 2mx − 6m − 9 = 0 (x là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2
1
1
1
+
=
x1
2x2
3
√
√
√
√
b) Giải phương trình 3 3x2 − x + 1 − 3 3x2 − 7x + 2 − 3 6x − 3 = 3 2

thỏa mãn điều kiện

HA

Câu 4: (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC ( AB < AC) nội tiếp đường tròn tâm O, có ba đường cao là AD, BE, CF và trực tâm H.
Gọi M là giao của AO và BC và P, Q lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ M đến AB, AC.
a) Chứng minh rằng H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF .
b) Chứng minh HE.M Q = HF.M P
c) Chứng minh

AB
M B DB
.
=
M C DC
AC

2

VU

Câu 5: (2 điểm)
a) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng

1
1
1
49
+
+ ≥
16x 4y z
16

b) Cho số tự nhiên z và các số nguyên x, y thỏa mãn x + y + xy = 1. Tìm giá trị của x, y, z sao cho (2z+1 + 42)(x2 +

y 2 + 1 + x2 y 2 ) là số chính phương lớn nhất.
——-HẾT——–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

11

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN ĐẠI HỌC SƯ
PHẠM TP.HCM (VÒNG 2)

Câu 1 (2 điểm)
a) Cho các số thực x, y khác 0 và thỏa mãn x2 y + xy 2 = x2 − xy + y 2 . Chứng minh rằng

1
1
+
x y

2

. Từ

1
1

+ 3 ≤ 16
x3
y

b) Giải phương trình 3(x2 − 3x + 1) +

3(x4 + x2 + 1) = 0

Câu 2 (2 điểm)

O
N

đó suy ra

x3 + y 3
=
x3 y 3

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình x2 y 2 = x2 + 2xy + 8y 2

b) Cho S là tập hợp tất cả các số tự nhiên biểu diễn dưới dạng x2 + 3y 2 với x, y là các số nguyên, tức là S =
n ∈ N | n = x2 + 3y 2 trong đó x, y là các số nguyên. Chứng minh các tính chất sau của dãy S.
1) Nếu m ∈ S, n ∈ S thì m.n ∈ S
Câu 3 (2 điểm)

IS

2) Nếu n ∈ S và n chia hết cho 2 thì n chia hết cho 4.

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhọ nhất của biểu thức P =
b) Chứng minh rằng với x, y là các số thực lớn hơn 2 thì

√
√
x − 1 + 6 − 3x khi 1 ≤ x ≤ 2.

y2
x2
+
≥ 16
y−2 x−2

HA

Câu 4 (2 điểm).Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H và ba đường cao AD, BE, CF . Gọi M, N, K lần lượt là trực
tâm của các tam giác AEF, BDF và CDE. Phân giác trong góc HCA và HBA cắt nhau tại P .
a) Chứng minh rằng BC = AH.tanBAC

b) Chứng minh P thuộc đường tròn đường kính BC.

c) Chứng minh tam giác M N K và tam giác DEF bằng nhau.
Câu 5 (1 điểm) Cho đường tròn tâm O và một điểm S nằm ngoài (O). Kẻ các cát tuyến SAB và SCD đến (O) (A

VU

nằm giữa S và B,C nằm giữa S và D). Đường thẳng (d) vuông góc với OS tại S và cắt các đường thẳng BC và AD tại

E và F . Chứng minh rằng OE = OF .
Câu 6 (1 điểm) Có 6 đội bóng thi đấu vòng tròn một lượt, tức là hai đội bóng bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận.

Trong mỗi trận đấu, đội thắng được 3 điểm, đội thua được 0 điểm, Nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được 1 điểm, Kết

thức giải thì tổng điểm của các đội là các số tự nhiên liên tiếp. Hỏi đội vô địch được mấy điểm? Giải thích rõ các câu trả
lời.

——-HẾT——–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

12

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TIN THÀNH PHỐ HÀ
NỘI

√
1) Giải phương trình x2 +
2x
+
7
=
(x
+
3)
x2 + 5



(x − y) x2 − y 2 = 1
2) Giải hệ phương trình

(x + y) x2 + y 2 = 1

Bài II:

O
N

Bài I:

1) tìm tất cả các cặp số nguyên thỏa mãn 4x2 + 8xy + 3y 2 + 2x + y + 2 = 0

2) Cho hai số nguyên dương a, b thỏa mãn 3a2 + a = 4b2 − b. Chứng minh a + b là một số chính phương
Bài III:

1) Với x, y, z là các số thực thay đổi thỏa mãn xyz = 1, chứng minh:

IS

1
1
1
+
+
=1
xy + x + 1 yz + y + 1 zx + z + 1

1

2) Với xyz là các số thực dương thay đổi thỏa mãn xyz ≥ 1, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = √
+
xy + x + 1
1
1
√
+√
yz + y + 1
zx + z + 1
Bài IV: Cho tam giác nhọn ABC cân tại A, đường cao BE và nội tiếp đường tròn (O; R). Kẻ đường kính BD của

HA

đường tròn (O). Đường thẳng BE cắt đường thẳng AD và AO lần lượt tại I và H.
1) Chứng minh BH.BI = 2R2

2) Gọi M là trung điểm cạnh AB. Lấy điểm N thuộc tia đối của tia OA sao cho . Chứng minh tứ giác AM N C nội
tiếp.

3) Goi K là trung điểm của BC. Chứng minh đường thẳng KE đi qua trung điểm của đoạn thẳng OI.
Bài V:

VU

Trên một đường tròn cho 2018 điểm phân biệt. An và Bình cùng chơi trò chơi như sau: Mỗi lượt chơi, một bạn sẽ nối

hai điểm trong 2018 điểm đã cho để được một dây cung sao cho dây cung được vẽ không có điểm chung với bất kỳ dây
cung nào đã vẽ trước đó. Hai bạn luân phiên thức hiện trò chơi của mình. Bạn đầu tiên không thể thực hiện được lượt
chơi của mình là người thua cuộc. Nếu An là người đi trước, hãy chỉ ra chiến thuật chơi để An luôn là người thắng cuộc.
——-HẾT——-

TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

13

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ
NỘI

Bài I (2,0 điểm)
√
1) Giải phương trình: x2 +
3x
+
8
=
(x
+
5)
x2 + x + 2


y 2 − 2xy = 8x2 − 6x + 1
2) Giải hệ phương trình:

 y 2 = x3 + 8x2 − x + 1

O

N

Bài II (2,5 điểm)

1) Cho p,q là hai số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh p4 + 2019q 4 chia hết cho 20.
√
√
2) Cho các số nguyên dương a, b, c, d thoả mãn a < b ≤ c < d; ad = bc; d − a ≤ 1
a) Chứng minh a + d > b + c
b) Chứng minh a là một số chính phương

IS

Bài III (1,5 điểm)
1) Với x, y, z là các số thực thoả mãn xyz = 1, chứng minh

1
1
1
+
+
=1
xy + x + 1 yz + y + 1 zx + z + 1

1
1 1
+ + = 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
x y z

HA

2) Với x,y,z là các số thực dương thay đổi và thoả mãn
P =

1

2x2

+

y2

+3

+

1
2y 2

+

z2

1
+√
2
2z + x2 + 3
+3

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tứ giác ABCD (không có 2 cạnh nào song song với nhau) nội tiếp đường tròn (O). Các tia BA và CD cắt nhau ở
F. Gọi E là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Vẽ hình bình hành AEDK.
1) Chứng minh tam giác FKD đồng dạng với tam giác FEB

VU

2) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AD, BC. Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua trung điểm

của EF.

3) Chứng minh đường thẳng EF tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác EMN.
Bài V (1,0 điểm)

Cho tập hợp S =

x ∈ Z|1 ≤ x ≤ 50

Xét A là một tập hợp con bất kì của tập hợp S và có tính chất: Không có ba

phần tử nào của tập hợp A là số đo độ dài ba cạnh của một tam giác vuông.
1) Tìm một tập hợp A có đúng 40 phần tử và thoả mãn điều kiện đề bài.
2) Có hay không có một tập hợp A có đúng 41 phần tử và thoả mãn điều kiện đề bài?
Hãy giải thích câu trả lời.
——HẾT——–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

14

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH BẮC NINH

Câu 1: (2,5 đ)
a) Rút gọn biểu thức
√
√
a + a2 − b 2
a − a2 − b 2
√
√
P =
−
a − a2 − b 2
a + a2 − b 2

với |a| > |b| > 0

√
4 a4 − a2 b 2
:
b2


x3 − x3 = 35
1
2

O
N

2
 b) Cho phương trình x + ax + b = 0(1), x là ẩn , a, b là tham số. Tìm a,b sao cho (1) có nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn

 x1 − x2 = 5

Câu 2:(2.5 đ)
a) Giải phương trình

√
√
x + 3 + 3x + 1 = x + 3

IS

b) Cho các số thực a, b, c thảo mãn 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3 Tìm Max và Min của biểu thức

P =

Câu 3:(1.5đ)

a2 + b 2 + c2
ab + bc + ca

HA

a)Tìm cặp số nguyên tố (x; y) thỏa mãn x2 − 2y 2 = 1

b) Chứng minh rằng nếu hiệu các lập phương của 2 số nguyên liên tiếp là bình phương của một số tự nhiên n thì n
là tổng 2 số chính phương liên tiếp.
Câu 4:( 3.0 đ)

1)Từ A ngoài (O) vẽ 2 tiếp tuyến AB,AC (B,C là tiếp điểm ) . AO cắt BC tại H. Đường tròn đường kính CH cắt (O)
tại điểm thứ 2 là D. Gọi T là trung điểm BD

VU

a) Chứng minh ABHD nội tiếp
b) Gọi E là giao điểm thứ 2 của đường tròn đường kính AB với AC. S là giao của AO với BE. Chứng minh TS//HD
2) Cho (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại 2 điểm A,b. Gọi MN là tiếp tuyến chung của 2 đường tròn với M thuộc (O1 ), N

thuộc O2 . Qua A kẻ đường thẳng d song song với MN cắt O1 ; O2 ; BM ; BN lần lượt tại C,D,F,G. Gọi E là giao của CM
và DN. Chứng minh EF=EG
Câu 5: Cho 20 số tự nhiên, mỗi số có ước nguyên tố không vượt quá 7. Chứng minh rằng luôn chọn được ra 2 số sao

cho tích của chúng là 1 số chính phương.
——-HẾT——–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

15

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ HỒ
CHÍ MINH

Câu 1. (1 điểm)
Cho a,b,c là ba số thực thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0 và a2 = 2(a + c + 1)(a + b − 1). tính giá trị của biểu thức
A = a2 + b 2 + c2 .
Câu 2. (2 điểm)

O
N

√
2
a) Giải phương trình: 4 x + 3 = 1 + 4x + .
x


 x2 + y 3 = 1
b) Giải hệ phương trình:

x2 + y 5 = x3 + y 2
Câu 3. (2 điểm)

IS

Cho tam giác ABC(AB < AC) vuông tại A có đường cao AH. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC.
√
√
√
a) Chứng minh rằng: BE CH + CF BH = AH BC
b) Gọi D là điểm đối xứng của B qua H và gọi O là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua D và vuông góc với
BC cắt AC tại K. Chứng minh rằng: BK vuông góc với AO.
Câu 4. (1,5 điểm)

1
>0
2

HA

a) Chứng minh rằng : x4 − x +

b) Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện x2 − xy + y 2 = 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x2 + y 2

Câu 5. (1,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AMB.
Đường thẳng AC cắt (O) tại điểm thứ hai K. Đường thẳng BK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại L. Các đường

VU

thẳng CL và KM cắt nhau tại E. Chứng minh rằng E nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ACM.
Câu 6. (2 điểm)

Các số nguyên dương từ 1 đến 2018 được tô màu theo quy tắc sau: Các số mà khi chia cho 24 dư 17 được tô màu

xanh; Các số mà khi chia cho 40 dư 7 được tô màu đỏ. Các số còn lại được tô màu vàng.
a) Chứng tỏ rằng không có số nào được tô cả hai màu xanh và đỏ. Hỏi có bao nhiêu số được tô màu vàng ?
b) Có bao nhiêu cặp số (a, b) sao cho a được tô màu xanh, b được tô màu đỏ và |a − b| bằng 2 ?
———-HẾT———-


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

16

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THPT CHUYÊN
ĐẠI HỌC VINH

Câu 1 (1,5 điểm). Cho phương trình x2 − (2m + 3)x + 3m − 1 = 0, m là tham số.
a) Tìm tất cả các số thực m để phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 , x2 thỏa mãn điều kiện x21 + x22 − x1 x2 = 7.
b) Tìm tất cả các số nguyên m để phương trình đã cho có nghiệm nguyên.
Câu 2 (3,0 điểm).

hết cho p. Chứng minh rằng n + p là só chính phương.

O
N

√
√
√
x
+ x + 3 = 2x2 + 4x + 3
1
1


 x+ +y− =3
x
y

b) Giải hệ phương trình
1
1


x2 + 2 + y 2 + 2 = 5
x
y
Câu 3 (1,0 điểm). Cho số tự nhiên n (n ≥ 2) và số nguyên tố p thỏa mãn p − 1 chia hết cho n đồng thời n3 − 1 chia
a) Giải phương trình

1+

a3
(b + 1)3

1+

b3
≤ 9.
(a + 1)3

IS

Câu 4 (1,0 điểm). Cho các số thực không âm a, b thỏa mãn (a − b)2 = a + b + 2. Chứng minh rằng

Câu 5 (3,0 điểm) Cho 2 đường tròn (O; R) và (O′ ; r) cắt nhau tại 2 điểm A và B (R > r) sao cho O và O′ ở hai phía
đối với đường thẳng AB. Gọi K là điểm sao cho OAO′ K là hình bình hành.

HA

a) Chứng minh rằng tam giác ABK là tam giác vuông.

b) Đường tròn tâm K bán kinh KA cắt đường tròn (O; R) và (O′ ; r) theo thứ tự tại M và N (M, N khác A). Chứng
minh rằng ABM = ABN .

c) Trên đường tròn (O; R) lấy điểm C thuộc cung AM không chưa B (C khác A, M ). Đường thẳng CA cắt đường
tròn (O′ ; r) tại D. Chứng minh rằng KC = KD.

Câu 6 (0,5 điểm). Cho 17 số tự nhiên mà các chữ số của mỗi số được lấy từ tập hợp 1, 2, 3, 4. Chứng minh rằng ta có

VU

thể chọn được 5 ó trong 17 số đã cho sao cho tổng của 5 số này chia hết cho 5.
——HẾT——-


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

17

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI BÌNH

Câu 1: (2 điểm)
1) Cho phương trình x2 − 2mx + m2 − 2m + 4 = 0 (1) (với m là tham số). Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm
không âm x1 , x2 . Tính theo m giá trị biểu thức P =
2) Cho hàm số y =

√
√
x1 + x2 và tìm min của P.

x2 + 2
. Tìm tất cả giá trị x nguyên để y nguyên.
x+2

Câu 2: (2 điểm)

2) Giải phương trình: (4x3 − x + 3)3 = x3 +

O
N

1) Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện a + 2b + 5c = 0. Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm.
3
2

Câu 3: (1 điểm)

Hai cây nến cùng chiều dài và làm bằng các chất liệu khác nhau, cây nến thứ nhất cháy hết với vận tốc đều trong
3 giờ, cây nến thứ 2 cháy hết trong vận tốc đều trong 4 giờ. Hỏi phải cùng bắt đầu đốt lúc mấy giờ chiều đề đến 4 giờ

Câu 4: (1 điểm)

IS

chiều phần còn lại của cây nến thứ hai dài gấp đôi phần còn lại của cây nến thứ nhất.

Cho các số x,y dương thoả mãn điều kiện (x +
P =x+y

1 + y 2 ) = 2018. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

HA

Câu 5: (3.5 điểm)

√
1 + x2 )(y +

1) Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 3, BC = 5, đường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai
nửa đường tròn đường kính BH và HC. Hai nửa đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại E,F.
a) Tình diện tích nửa đường tròn đường kính BH.

b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và đường thẳng EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và
CH.

2) Cho nửa đường tròn đường kính AB=2R. Tìm kích thước hình chữ nhật MNPQ có hai đỉnh M, N thuộc nửa đường

VU

tròn, hải đỉnh P, Q thuộc đường kính AB sao cho SMN P Q đạt max.
Câu 6: (0.5 điểm)

1
1
1
+ 2 + 2 =1

a2
b
c
1
1
1
+√
+√
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = √
5a2 + 2ab + 2b2
5b2 + 2bc + 2c2
5c2 + 2ca + 2a2

Cho a, b, c là các số dương thoả mãn điều kiện

———-HẾT———


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

18

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH THÁI
NGUYÊN

Câu 1:(1,5 điểm )
Không dùng máy tính cầm tay, rút gọn biểu thức:

Câu 2(1,5 điểm)

O
N

√
√
√
3 5
5
3+ 5
√
+√
−
A= √
5+2
5−1 3+ 5

Giải hệ phương trình




x2 + y 2 + 3 = 4x


x3 + 12x + y 3 = 6x2 + 9

IS

Câu 3:( 1 điểm)
Tìm các số x; y nguyên dương thỏa mãn

16(x3 − y 3 ) = 15xy + 371

HA

Câu 4:(1 điểm) Giải phương trình

√
√
2x − 3 + 5 − 2x = 3x2 − 12x = 14

Câu 5:( 1, 5 điểm)

Cho x, y, z là các số thực dương.Chứng minh

x2

VU

8x2 + 3y 2 + 14xy

+

y2

z2
x+y+z
+√

≤
2
2
2
2
5
8z + 3x + 14xz
8y + 3z + 14yz

Câu 6:

Cho ∆ABC cân có∠BAC = 1000 . Điểm D thuộc nửa mặt phẳng không chứa A có bờ BC sao cho ∠CBD =

150 ; ∠BCD = 350 . Tính số đo ∠ADB
Câu 7: Cho ∆ABC nội tiếp (O), AB < AC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H( D ∈ AC, E ∈ AB). Gọi M là

trung điểm BC. Tia MH cắt (O) tại N.
a) Chứng minh A, D, E, H, N cùng thuộc một đường tròn
b) Lấy điểm P trên đoạn BC sao cho ∠BHP = ∠CHM . Q là hình chiếu vuông góc của A lên đường thẳng HP. Chứng
minh DENQ là hình thang cân
c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ tiếp xúc với (O)
———–HẾT———-


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

19

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH QUẢNG
NAM

Câu 1(2 điểm):

√
√
√
√
√
2a b + 2 ab
a+1
ab + a
√
√
với a > 0; b > 0 và ab = 1.
+
+1 :
1 − ab
ab + 1
1 − ab
√
√
√
Rút gọn biểu thức A và tìm giá trị lớn nhất của nó khi a + b = ab
a) Cho biểu thức: A =

b) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn đẳng thức: x2 y 2 − x2 − 6y 2 = 2xy

O

N

Câu 2(2 điểm):

√
√
√
√
3
x2+ 4x + 3 − 3 2x2 − 3x − 2 = 3 3x2 − 2x + 2 − 3 4x2 − 9x − 3
 3 27

8x + 3 = 18
y
b) Giải hệ phương trình:
4x2
6x



+ 2 =1
y
y
Câu 3(1 điểm):
a) Giải phương trình

đỉnh của tam giác đều.
Câu 4(2 điểm):

IS

Cho hai hàm số y = 2x2 và y = |mx|. Tìm m để đồ thị của hai hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt là ba

Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh AD lấy điểm M sao cho AM = 3M D.Kẻ tia Bx cắt cạnh CD tại

HA

I sao cho ∠ABM = ∠M BI. Kẻ tia phân giác ∠CBI, tia này cắt cạnh CD tại N .
a) So sánh M N với AM + N C

b) Tính diện tích tam giác BM N theo a.

Câu 5(2 điểm): Cho đường tròn tâm (O), dây cung AB không qua O. Điểm M nằm trên cung lớn AB. Các đường
cao AE, BF của tam giác ABM cắt nhau ở H.
a) CM: OM vuông góc EF .

VU

b) Đường tròn tâm H bán kính HM cắt M A, M B tại C, D. CMR: khi M di động trên cung lớn AB thì đường thẳng
kẻ từ H vuông góc với CD luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 6(1 điểm):

Cho ba số thực dương a, b, c.CMR:
a2 + b 2
c2 + b 2
a2 + c2
3(a2 + b2 + c2 )
+
+
≤

a+b
c+b
a+c
a+b+c
———–HẾT———–


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

20

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN TỈNH HẢI DƯƠNG

Câu 1: (2,0 điểm)
1) Cho x = a + 1 −

1 + a2 +

a2
(a > 0) và P =
(a + 1)2

√
x+

Rút gọn P theo a

Chứng minh

x(4 − y)(4 − z) +

√
x−2 x+1+1
.
x2 − 2x + 1

√
xyz = 4

y(4 − z)(4 − x) +

z(4 − x)(4 − y) −

Câu 2: (2,0 điểm)
3
1) Giải phương trình 2(x + 1) x + = x2 + 7
x


3x2 + xy − 4x + 2y = 2
2) Giải hệ phương trình

x(x + 1) + y(y + 1) = 4

Câu 3: (2,0 điểm)

√

xyz = 8

O
N

2) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z +

√

IS

1) Đặt N = a1 + a2 + a3 + ... + a2017 + a2018 ,M = a51 + a52 + a53 + ... + a52017 + a52018 . với a1 , a2 , a3 , ..., a2017 , a2018 là
những số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu N chia hết cho 30 thì M chia hết cho 30.
2) Tìm tất cả số tự nhiên n và k để (n8 + 42k+1 ) là số nguyên tố.

Câu 4: (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính BC. Gọi A là điểm di động trên nửa đường tròn (A khỏc
B, C). Kẻ AD ⊥ V C (D thuộc BC) sao cho đường tròn đường kính AD cắt AB, AC và nửa đường tròn (O) lần lượt tại
1)Tính

HA

E, F, G (G khác A). Đường thẳng AG cắt BC tại H.

AD3
theo R và chứng minh H, E, F thẳng hàng
BE.CF

2) Chứng minh rằng F G.F H + GH.CF = CG.HF

3) Trên BC lấy M cố định (M khác B, C). Gọi N, P lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác M AB và M AC.

Xác định vị trí của A để diện tích tam giác M N P nhỏ nhất.
Câu 5: (1,0 điểm) Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

VU

b
c
2a
√
+√
+√
− a2 − 28b2 − 28c2
2
2
1+a
1+b
1 + c2
——–HẾT———


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

21

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN VÀ CHUYÊN TIN
TỈNH HƯNG YÊN

Câu 1:

√
1
x+1
√ :
√ và B = x4 − 5x2 − 8x + 2025 với x > 0; x = 1
Cho các biểu thức A = √
x x + x + x −x2 + x x
a) Rút gọn A

b) Tìm giá trị của x để biểu thức T = B − 2A2 đạt giá trị nhỏ nhất.

O
N

Câu 2:a)Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị 2 hàm số y = x2 ; y=x-m cắt nhau tại 2 điểm phân biệt A(x1 ; y1 ) và
B = (x2 ; y2 ) sao cho (x1 − x2 )8 + (y1 − y2 )8 = 162

b) Tìm các giá trị nguyên của x để x4 + (x + 1)3 − 2x2 − 2x là số chính phương
Câu 3:

IS

√
√
a) Giải phương trình 2x3
− 108x + 45 = x 48x + 20 − 3x2




x2 + x + y 2 + y = (x + 1)(y + 1)
b) Giải hệ phương trình
2
2

y
x


+
=1

y+1
x+1
Câu 4

Cho đường tròn (O; R) và 1 đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn.Trên D lấy 1 điểm M bất kỳ. Từ M

HA

kẻ tiếp tuyến M A, M B với (O) (A, B là tiếp điểm). Kẻ đường kính AC của đường tròn (O). Tiếp tuyến của đường tròn
(O) tại C cắt đường thẳng AB tại E.

a) Chứng minh rằng BE.M B = BC.OB

b) Gọi N là giao điểm của CM với OE. Chứng minh đường thẳng đi qua trung điểm 2 đoạn thẳng OM và CE vuông
góc với đường thẳng BN .

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của dây AB khi M di động trên đường thẳng d.Biết R = 8cm và khoảng cách từ O đến

VU

d = 10cm.
Câu 5.

Cho a, b là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện a > 0 và a + b ≥ 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

8a2 + b
+ b2
4a

———HẾT———


TUYỂN TẬP ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN

22

NĂM HỌC 2018 - 2019

ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO 10 CHUYÊN TOÁN THÀNH PHỐ
HẢI PHÒNG

Câu 1:
a) Cho biểu thức P =
P >

1
7

√
1
1
x+1
√ với x > 0 và x = 4. Rút gọn biểu thức P . Tìm giá trị của x để
: √
+
4−x
2 x−x
2− x

nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x21 = 6x1 + x2
Câu 2:
√
√
2
3x
− 2 − x + 1 = 2x + x − 6



y 2 − xy − 2x2 = 6(x + y)
b) Giải hệ phương trình



(4x + 1)2 = 3(4y − 21)

a) Giải phương trình

O
N

b) Cho phương trình x2 + 6x − 6m − m2 = 0 (1) (với m là tham số). Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai

IS

Câu 3: Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường

tròn (B, C là các tiếp điểm). Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm D,E (D nằm giữa A và E). Gọi H là giao
điểm của BC và AO.

a) Chứng minh D là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

HA

b) Trên cung nhỏ CD của đường tròn (O) lấy điểm F tùy ý (F khác C,D).Từ A kẻ đường thẳng vuông góc với lần
lượt cắt FC, FE lần lượt tại M,N.
Chứng minh rằng

AB
BD
NF
BD2
=
và
=
AE
BE

NE
BE 2

c) MB cắt (O) tại P (P khác B). chứng minh rằng NH song song với PD.
Câu 4:

VU

Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn abc = 2. Chứng minh rằng
√
√
√
a3 + b 3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b
Câu 5:

a) Với mỗi số nguyên dương n, ký hiệu Sn = 12 + 22 + 32 + ... + n2 .Chứng minh rằng 24(2n + 3)Sn + 1 là số chính

phương.

b) Đặt tùy ý 2018 tấm bìa hình vuông canh bằng 1 nằm trong một hình vuông lớn có cạnh bằng 131. Chứng minh

rằng trong hình vuông lớn, ta luôn đặt được một một hình tròn bán kính 1 sao cho hình tròn trên không có điểm chung
với bất cứ hình vuông nào.
———Hết———-