SKKN giúp học sinh hình thành những cơ sở ban đầu cho sự phát triển đứng đắn và lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kĩ năng cơ bản để học sinh tiếp tục học trung học cơ sơ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (225.89 KB, 37 trang )
PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
Bước vào thế kỉ XXI, Giáo dục và đào tạo nước ta đang đứng trước bối
cảnh mới, đó là thời đại của nền kinh tế tri thức, nền văn minh trí tuệ, xu thế hội
nhập và phát triển nhằm thực hiện công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước. Để
đáp ứng nhu cầu về sự phát triển nguồn nhân lực, dưới sự lãnh đạo của Đảng và
Nhà nước, Giáo dục và Đào tạo với mục tiêu từ nay đến năm 2020 là: “Xây dựng
con người Việt Nam thiết tha, gắn bó với lí tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa
xã hội, có đạo đức trong sáng, ý chí kiên cường xây dựng và bảo vệ tổ quốc,
công nghiệp hóa – hiện đại hóa đất nước. Đưa đất nước vượt qua đói nghèo
thành một nước phát triển, sánh vai với các cường quốc năm châu; giữ gìn và
phát huy các giá trị văn hóa của dân tộc, có năng lực tiếp thu tinh hoa văn hóa
nhân loại, làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại; có tư duy sáng tạo,
có kĩ năng thực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, ý thức tổ chức kỉ luật cao,
có sức khỏe”. Đây là nhiệm vụ hết sức khó khăn nhưng có ý nghĩa to lớn đến
tương lai đất nước, đến tiền đồ của dân tộc. Với sứ mạng cao cả như vậy, đòi hỏi
ngành giáo dục và đào tạo phải đổi mới, phát triển và nỗ lực không ngừng.
Giáo dục Tiểu học với mục tiêu là “giúp học sinh hình thành những cơ sở
ban đầu cho sự phát triển đứng đắn và lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm
mỹ và các kĩ năng cơ bản để học sinh tiếp tục học Trung học cơ sơ” (Điều 23luật Giáo dục).
Mỗi môn học ở nhà trường Tiểu học đều góp phần không nhỏ vào việc
hình thành và phát triển phẩm chất, nhân cách của mỗi con người. Môn Toán là
một trong những môn có sự ảnh hưởng lớn đến sự hình thành và phát triển nhân
cách của học sinh Tiểu học. Nó không những trang bị cho các em về kiến thức
toán học mà còn giúp các em rèn luyện phương pháp suy luận, giải quyết vấn đề
1
một cách độc lập, linh hoạt, sáng tạo, góp phần phát triển trí tuệ và hình thành
các phẩm chất quan trọng của người lao động như: tính cần cù, cẩn thận, nề nếp,
tác phong khoa học, có ý chí vượt khó, làm việc có kế hoạch.
Trong môn Toán, nếu như các bài toán có lời văn rất thiết thực, gần gũi với
cuộc sống hàng ngày làm cho các em yêu thích môn Toán, ham học toán hơn, thì
khi giải các dạng toán khó là một vấn đề mang tính trìu tượng, khái quát đối với
học sinh Tiểu học. Đặc biệt là dạng toán tính nhanh, nó chiếm số lượng không
nhiều trong chương trình toán Tiểu học, nhưng nó lại là dạng toán thiên về sự
phát triển trí tuệ, đòi hỏi tư duy lôgíc- một sự phát triển cần thiết trong toán
học.Và dạng toán này là một phần không thể thiếu được trong các đề thi học sinh
giỏi các cấp. Vì vậy tìm ra được cách giải, bước giải từng dạng toán tính nhanh
ngắn gọn, chính xác, dễ hiểu phù hợp với nhận thức và phát triển tư duy của học
sinh theo tôi nghĩ là một việc làm không thể thiếu trong nhà trường Tiểu học.
Trường tiểu học Cao X¸ là một trường có đội ngũ quản lí và đội ngũ giáo
viên đạt chuẩn và trên chuẩn về trình độ, vững vàng về tay nghề, luôn quan tâm
đến chất lượng giáo dục, đặc biệt là chất lượng mũi nhọn. Nhưng trên thực tế, do
điều kiện về thời gian trên lớp có hạn, trình độ học sinh không đồng đều vì thế
việc đào sâu một mạch kiến thức nhất là dạng toán phát triển, vừa khó vừa yêu
cầu cao về tư duy, nên trong quá trình giảng dạy là một vấn đề khó thực hiện.
Bên cạnh đó, một số giáo viên chưa chú trọng đến việc hướng dẫn học sinh tìm
ra các cách giải khác nhau để thấy được cách giải nhanh gọn cho bài toán, nên
một số nội dung của dạng toán nhanh chưa phát huy hết tác dụng.
Đa số học sinh có ý thức học tập. Nhưng học sinh trường tôi chủ yếu là con
em nông thôn nên điều kiện phục vụ cho học tập còn hạn chế. Một số em chưa
chịu suy nghĩ nên khi giải các bài toán tính nhanh rất ngại làm, lúng túng hoặc
2
làm theo cách tính thông thường mất thời gian. Số lượng phụ huynh thực sự
quan tâm đến việc học của con em mình tỉ lệ còn thấp
* Kết quả khảo sát thực tế : ( Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm )
Trong quá trình giảng dạy, tôi yêu cầu các em có trình độ học lực từ trung
bình khá trở lên làm các bài tập sau:
- Lần 1: Tính nhanh:
1) 54 × 113 + 45 × 113 + 113
2) 133 : 7 + 154 : 7 + 413 : 7
3) ( 1000 – 99 + 97 – 80 +15) × ( 16 – 2 × 8)
4) 2009 + ( 237 – 79 × 3) : (22 + 24 + 26 + 28 + 30 + 32 + 34)
Thời gian làm bài: 25 phút
Thang điểm: mỗi bài đúng 2,5 điểm. (Không tính nhanh mỗi bài đúng cho 1
điểm)
Đối tượng: 28 em học sinh lớp 4A
Kết quả đạt được:
Số
HS
KS
28
Kết quả khảo sát
Khá
Trung bình
Giỏi
Yếu
TS
%
TS
%
TS
%
TS
%
4
14,3
7
25
11
39,9
6
21,4
- Lần 2: Tính nhanh
1) 54 × 375 – 1125 × 15 + 375
2)
4 15 9 24
3 12 8 5
3)
2009 2010 1
2008 2010 2009
3
4)
1
1
1 1 1
+ + + +
30 20 12 6 2
Thời gian làm bài: 25 phút
Thang điểm: mỗi bài đúng 2,5 điểm. (Không tính nhanh mỗi bài đúng cho 1
điểm). Đối tượng: 28 em học sinh lớp 4A
Kết quả đạt được:
Số
HS
KS28
TS
2
Giỏi
%
7,1
Kết quả khảo sát
Khá
Trung bình
%
TS
%
TS
9
32,2
10
35,7
TS
7
Yếu
%
25
Sau khi quan sát học sinh làm bài và chấm bài tôi thấy các em rất lúng túng
trong khi làm, một số em thực hiện tính theo quy tắc thông thường. Chẳng hạn :
bài 4 (lần 2) có em thực hiện quy đồng mẫu số các phân số rồi tính nên số rất lớn
khó tính và không đúng yêu cầu của đề bài nên kết quả thấp. Nguyên nhân chủ
yếu là do các em chưa nắm vững và vận dụng linh hoạt các tính chất, mối quan
hệ của bốn phép tính cộng, trừ, nhân, chia.
Từ kết quả khảo sát và thực tế nhiều năm giảng dạy ở khối lớp 4,5 tôi thấy
dạng toán này học sinh còn ngại làm, hoặc làm không đúng cách, bị sai kết
quả. Và khi chấm thi học sinh giỏi các cấp, tôi thấy đa số học sinh không làm
được các dạng bài này. Một phần là do các em ngại suy nghĩ, chưa phát huy
phương pháp suy luận lôgic trong toán học, một phần do giáo viên hướng dẫn
chưa đúng cách, chưa đưa ra được phương pháp giải cụ thể phù hợp với trình
độ nhận thức của các em. Xuất phát từ những vấn đề nêu trên, từ năm học
2009-2010 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm này vào trong công tác
giảng dạy, và đặc biệt là công tác bồi dưỡng học sinh năng khiếu. Sau hai
năm thực nghiệm, tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến kinh nghiệm với nội dung:
4
“Hướng dẫn học sinh lớp 4,5 giải một số bài toán thuộc dạng tính nhanh”
nhằm nâng cao chất lượng học tập, giúp học sinh tự tin và hăng say học tập.
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở lí luận:
Nhiệm vụ cơ bản của việc dạy học Toán trong nhà trường phổ thông là
làm cho học sinh nắm được một hệ thống các kiến thức Toán học phổ thông,
cơ bản, hiện đại và những kĩ năng cơ bản (vận dụng kiến thức, thực hành, suy
luận) trên cơ sở đó phát triển năng lực trí tuệ ( năng lực nhận thức, tư duy độc
lập, sáng tạo…), xây dựng những quan điểm tư tưởng, tình cảm và có thái độ
đúng đắn đối với các sự kiện, hiện tượng thực tiễn. Từ lâu, giáo dục tiểu học
đã nhấn mạnh sự cần thiết phải tính đến các đặc điểm lứa tuổi và sự phát triển
tư duy của trẻ trong giáo dục. Đối với học sinh Tiểu học khả năng tư duy trìu
tượng của các em đang phát triển nhưng tư duy cụ thể vẫn chiếm ưu thế. Vì
vậy, muốn các em phát triển trình độ nhận thức, phát triển tư duy trìu tượng
phải hướng dẫn các em tư duy cụ thể. Nhất là trong môn Toán đòi hỏi học
sinh phải biết tư duy, biết suy luận. Vì vậy, học sinh càng phải nắm vững
kiến thức từ những ví dụ cụ thể, từ đó các em có thể suy nghĩ giải các bài tập
cùng dạng, cùng mạch kiến thức và bài toán mở rộng, nâng cao dần và phát
triển tư duy lôgic. Tìm ra cách giải hay, ngắn gọn, chính xác và đặc biệt học
sinh làm tốt dạng toán tính nhanh sẽ chứng tỏ học sinh nắm vững kiến thức đã
học và phát triển rất tốt năng lực tư duy, khả năng suy luận sáng tạo.
Đối với các giáo viên, vấn đề quan trọng không phải là chỉ làm sao dạy
được cho học sinh các kiến thức trong chương trình, mà còn nắm vững khả
năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán, có ý thức và kế hoạch khai thác các
khả năng giáo dục đó thông qua các biện pháp sư phạm cụ thể, nhằm góp
phần đào tạo học sinh thành những con người có nhân cách phát triển toàn
5
diện. Tiêu chí hàng đầu của việc dạy – học là dạy cách học, dạy cách tư duy.
Phẩm chất cần phát huy mạnh mẽ là tính tư duy chủ động của học sinh. Như
nhà triết học Magarit Mead đã nói “Không nên dạy cho trẻ em những gì
chúng phải suy nghĩ, mà dạy cho chúng cách suy nghĩ”, kiến thức chỉ có được
qua tư duy của con người. Do đó việc hướng dẫn cho các em cách giải các bài
toán thuộc dạng tính nhanh một cách chính xác, ngắn gọn là một việc làm cần
thiết và vô cùng quan trọng trong quá trình giảng dạy môn Toán.
II. Thực trạng của vấn đề
* Sách giáo khoa: Hiện nay trong chương trình SGK Toán 4, 5 các bài
toán dạng tính nhanh chiếm số lượng không nhiều, nằm rải rác ở các bài học
với yêu cầu tính bằng cách thuận tiện nhất. Nội dung của các bài toán tính
nhanh chủ yếu dựa vào sự vận dụng các tính chất giao hoán, tính chất kết
hợp, nhân một số với một tổng, một số quy tắc nhân chia nhẩm ( với 10; 100;
1000…hay 0,1;0,01; 0,001…) và mối quan hệ của chúng. Các bài tập đó học
sinh đại trà cũng có thể làm được.
* Sách bồi dưỡng Toán Tiểu học:
Bài tập trong sách tham khảo, sách bồi dưỡng là các bài tập nâng cao đòi
hỏi sự vận dụng lí thuyết ở mức độ khái quát, tổng hợp và kĩ năng tính toán
dài, phức tạp hơn. Các bài tập tính nhanh trong các sách tham khảo và sách
nâng cao thường dành cho đối tượng học sinh khá, giỏi. Muốn làm được các
bài tập đó, ngoài việc nắm vững kiến thức cơ bản thì các em phải hiểu được
mối liên hệ giữa các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và biết vận dụng nó một
cách linh hoạt.
Để đáp ứng yêu cầu đổi mới về nội dung, chương trình SGK và đổi mới
phương pháp dạy học thì người giáo viên phải “huy động” kiến thức một cách
tổng hợp, linh hoạt và sáng tạo trong giảng dạy, giúp học sinh phát huy cao độ
6
tính tự lực, tích cực, chủ động tiếp thu kiến thức. Bồi dưỡng khả năng tư duy
lôgic, phát triển năng lực toán học và trí thông minh cho học sinh. Qua công
tác giảng dạy và tìm hiểu, tôi đã luôn đặt ra cho mình câu hỏi: Cần phải làm
gì để giúp các em nắm vững cách giải bài toán dạng toán tính nhanh, đặc biệt
là học sinh khá giỏi? Vì vậy, tôi đã nghiên cứu một số bài toán thuộc dạng
này, sau đó tiến hành tổng hợp và phân loại chúng. Khi hướng dẫn học sinh
giải các bài tập đó, tôi đưa ra các biện pháp thực hiện như sau:
- Khai thác tốt các kiến thức và kĩ năng cơ bản mà học sinh cần đạt được ở
sách giáo khoa nhằm khắc sâu, củng cố và mở rộng kiến thức.
- Xây dựng và sử dụng các bài tập có tính phân loại và phân bậc.
- Chú ý hướng dẫn học sinh phát hiện, phân tích các nguyên nhân dẫn tới
các sai lầm của các em và sửa chữa, khắc phục.
- Hướng dẫn tìm lời giải và khai thác bài toán một cách hợp lí.
Khi các em đã nắm được cách giải quyết thì các em có hứng thú học tập,
yêu thích môn học, chất lượng học tập sẽ được nâng cao.
III. Quá trình thực nghiệm giải pháp mới:
1. Tổng hợp và phân tích các bài toán tính nhanh:
Các bài toán tính nhanh có số lượng không nhiều , được chia làm 4 dạng
cơ bản sau:
- Dạng 1: Các bài toán tính nhanh dựa vào sự vận dụng các tính chất của 4
phép tính
- Dạng 2: Các bài toán tính nhanh liên quan đến rút gọn phân số
- Dạng 3: Các bài toán tính nhanh dựa vào xét thành phần của phép tính
- Dạng 4: Các bài toán tính nhanh một dãy tính về phân số
- Dạng 5: Các bài toán tính nhanh liên quan đến dãy số cách đều.
2. Hướng dẫn cách giải:
7
2.1. Dạng 1: Các bài toán tính nhanh dựa vào sự vận dụng các tính chất
của 4 phép tính
Dạng toán này gần gũi với kiến thức cơ bản đã học. Học sinh hay mắc sai
lầm trong dạng toán này là: thực hiện lần lượt các phép tính trong biểu thức.
Để giúp các em làm tốt dạng toán này thì giáo viên phải hướng dẫn các em
nắm chắc các tính chất của 4 phép tính: cộng, trừ, nhân, chia về số tự nhiên,
số thập phân, và phân số ( tính chất giao hoán, tính chất kết hợp, nhân một số
với một tổng, nhân một số với một hiệu…) Và phải biết quan sát, nhóm các
số hạng, thực hiện phép tính nào trước, phép tính nào sau, từ đó tìm được kết
quả tròn chục, tròn trăm, tròn nghìn… rồi tính nhẩm rất dễ và nhanh gọn
Ví dụ: Tính nhanh:
Ví dụ 1:
248 × 36 + 63 × 248 + 348
* Hướng dẫn học sinh:
- Quan sát, nhận xét các số hạng
- Vận dụng đưa về dạng nhân một số với một tổng
- Tính giá trị biểu thức đó
Bài giải
248 × 36 + 63 × 248 + 248
= 248 × 36 + 63 × 248 + 248 × 1
= 248 × (36 + 63 +1)
= 248 × 100
=24800
Ví dụ 2:
5
7 15
+ +
20 11 20
* Hướng dẫn học sinh:
8
- Quan sát các phân số, nhận xét: có hai phân số cùng mẫu số thực hiện
trước
- Vận dụng tính chất giao hoán để tính
Bài giải:
5
7 15
5 15
7
20 7
7
7
+ + =( )+ =
=1+ =1
20 11 20
20 20
11 20 11
11
11
Ví dụ 3:
4,7 × 5,5 - 4,7 × 4,5
* Hướng dẫn học sinh
- Nhận xét số bị trừ, số trừ
- Vận dụng đưa về nhân một số với một hiệu
- Tính giá trị biểu thức
Bài giải:
4,7 × 5,5 – 4,7 × 4,5 = 4,7 × ( 5,5 – 4,5) = 4,7 × 1 = 4,7
Ví dụ 4: 38,6 + 2,09 + 7,91
* Hướng dẫn học sinh
- Quan sát, nhận xét: Tổng của số hạng thứ hai và số hạng thứ ba là số tròn
chục
- Vận dụng tính chất kết hợp để tính
Bài giải:
38,6 + 2,09 + 7,91 = 38,6 + (2,09 + 7,91) = 38,6 + 10 = 48,6
Ví dụ 5: 13276 – (4500 + 3276)
* Hướng dẫn học sinh
- Quan sát, nhận xét: Lấy số bị trừ trừ đi số hạng thứ hai của tổng sẽ được
một số tròn chục nghìn
- Vận dụng tính chất một số trừ đi một tổng
Bài giải:
9
13276 – ( 4500 + 3276) = 13276 – 3276 -4500 = 10000 – 4500 = 5500
Ví dụ 6: 455 : (5 × 7)
* Hướng dẫn học sinh:
- Quan sát, nhận xét
- Vận dụng tính chất chia một số cho một tích
Bài giải:
455 : (5 ×7) = 455 : 5 : 7 = 91 : 7 = 13
2.2. Dạng 2: Các bài toán tính nhanh liên quan đến rút gọn phân số
Các bài tập ở dạng này có phần khó hơn dạng 1. Học sinh thường mắc sai
lầm ở dạng này là: chưa biết cách phân tích các thừa số thành tích để rút gọn.
Có bài cả tử số và mẫu số là một tích, hoặc có bài cần một vài phép biến đổi
để đưa về dạng tích rồi rút gọn. Vì vậy giáo viên cần hướng dẫn cụ thể, chi
tiết để học sinh hiểu được cách làm.
a. Cả tử số và mẫu số là dạng tích:
Ví dụ 1:
4 5 6
12 15
* Hướng dẫn học sinh:
- Quan sát cả tử số và mẫu số
- Tách các thừa số ở mẫu số thành tích có chứa các thừa số ở tử số
- Rút gọn rồi tính
Bài giải:
4 5 6 4 5 2 3 2
=
=
12 15
3 4 3 5 3
Ví dụ 2:
1998 20092009
2009 19981998
* Hướng dẫn học sinh:
-Nhận xét quy luật đặc biệt trong các thừa số ở tử số và mẫu số
10
- Tách các thừa số đó thành tích
- Rút gọn phân số
Bài giải:
1998 20092009 1998 2009 10001
=
=1
2009 19981998 2009 1998 10001
Ví dụ 3:
*
1995 1990 1997 1993 997
×
×
×
×
1997 1993 1994 1995 995
Hướng dẫn học sinh:
Cách 1:
- Vận dụng tính chất giao hoán để nhóm các phân số mà mẫu số của phân số
này bằng tử số của phân số kia.
- Thực hiện rút gọn phân số, sau đó phân tích để tích trên trở thành phân số
có tử số bằng mẫu số.
Bài giải
1995 1990 1997 1993 997
1995 1997
1990 1993 997
×
×
×
×
=(
×
)×(
×
)×
1997 1993 1994 1995 995
1997 1994
1993 1995 995
=(
=
1995 1990 997
1990 997
×
)×
=
×
1994 1995 995
1994 995
995 2 997
=1
997 2 995
Cách 2:
- Vận dụng quy tắc phân số: lấy tử số nhân với tử số, mẫu số nhân với mẫu
số
- Thực hiện rút gọn phân số, sau đó phân tích để tích trên trở thành phân số
có tử số bằng mẫu số.
1995 1990 1997 1993 997 1995 1990 1997 1993 997
×
×
×
×
=
1997 1993 1994 1995 995 1997 1993 1994 1995 995
11
=
1990 997
995 2 997
=
=1
1994 995
997 2 995
b. Cả tử số và mẫu số đều phân tích được thành dạng tích, hoặc cả tử
số và mẫu số bằng nhau để rút gọn rồi tính
Ví dụ 1:
5454 171717
5757 191919
* Hướng dẫn học sinh:
Với bài này giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích tử số và mẫu số thành
tổng, sau đó rút gọn theo các bước:
- Bước 1: Phân tích thành tổng:
5454 = 5400 + 54
171717 = 170000 + 1700 + 17
5757 = 5700 + 57
191919 = 190000 + 1900 + 19
- Bước 2: Chuyển thành dạng một số nhân với một tổng rồi viết dưới dạng tích:
5400 + 54 = 54 × (100 + 1) = 54 × 101
5700 + 57 = 57 × (100 + 1) = 57 × 101
170000 + 1700 + 17 = 17 × (10000 + 100 + 1) = 17 × 10101
190000 + 1900 + 19 = 19 × (10000 + 100 + 1) = 19 × 10101
- Bước 3: Rút gọn rồi tính
5454 171717
54 101 17 10101
54 17
3
1
=
=
=
=
5757 191919
57 101 19 10101
57 19
57 19
Nhưng với bài nào học sinh cũng phân tích như vậy thì rất mất thời gian. Ở
bài đầu tiên của dạng này giáo viên phải hướng dẫn các em thật kĩ bước 1 và
bước 2 để các em hiểu bản chất của tích
54 101
…Ở những bài sau giáo viên chỉ
57 101
cần hướng dẫn các em nhận ra các số được lặp lại ở tử số và mẫu số là số nào,
rồi lấy tử số, mẫu số chia cho chính số lặp lại đó để tìm thương, rồi viết dưới
12
dạng tích để rút gọn và tính. Như ở ví dụ trên, học sinh sẽ thấy tử số ở phân số
thứ nhất có số 54 lặp lại 2 lần, mẫu số có 57 lặp lại 2 lần, học sinh sẽ lấy:
5454 : 54 = 101 và viết 5454 = 54 × 101;
5757 : 57 = 101 và viết 5757 = 57 × 101
Tương tự với phân số thứ hai rồi tính:
5454 171717
54 101 17 10101
=
5757 191919
57 101 19 10101
=
Ví dụ 2:
54 17
3
1
=
=
57 19
57 19
1 3 5 2 6 10 4 12 20 7 21 35
1 5 7 2 10 14 4 20 28 7 35 49
* Hướng dẫn học sinh:
- Tìm quy luật về các số hạng ở tử số và các mẫu số.
- Đưa ra nhận xét: Mỗi thừa số của số hạng đứng sau đều gấp mỗi thừa số
của số hạng đứng trước một số lần.
- Viết dãy tính về dạng một số nhân với một tổng.
- Thực hiện rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức.
Bài giải:
1 3 5 2 6 10 4 12 20 7 21 35
1 5 7 2 10 14 4 20 28 7 35 49
=
1 3 5 1 2 3 2 5 2 1 4 3 4 5 4 1 7 3 7 5 7
1 5 7 1 2 5 2 7 2 1 4 5 4 7 4 1 7 5 7 7 7
1 3 5 (1 2 2 2 4 4 4 7 7 7)
= 1 3 5 (1 2 2 2 4 4 4 7 7 7)
=
Ví dụ 3:
1 3 5 3
=
1 3 5 7
15 14 1
13 15 14
* Hướng dẫn học sinh:
13
- Nhận xét các số ở tử số và mẫu số
- Biến đổi bằng cách tách tử số hoặc mẫu số để xuất hiên các thành phần
giống nhau ở cả tử số và mẫu số.
- Rút gọn
Bài giải:
15 14 1
15 (13 1) 1 15 13 15 1 15 13 14
=
=
=
=1
13 15 14
13 15 14
13 15 14
13 15 14
Ví dụ 4:
19,8 : 0,2 44,44 2 13,2 : 0,25
3,3 88,88 : 0,5 6,6 : 0,125 5
* Hướng dẫn học sinh:
- Vận dụng quy tắc chia nhẩm cho 0,2; 0,25; 0,5; 0,125
- Viết lần lượt các phép chia số thập phân cho 0,2; 0,25; 0,5; 0,125 thành phép
nhân lần lượt với 5; 4; 2; 8
-Thực hiên rút gọn và tính giá trị biểu thức
Bài giải:
19,8 : 0,2 44,44 2 13,2 : 0,25 19,8 5 44,44 2 13,2 4
= 3,3 88,88 2 6,6 8 5
3,3 88,88 : 0,5 6,6 : 0,125 5
=
6 2
=3
2 2
Để làm được tốt bài tập trên thì giáo viên yêu cầu học sinh làm nhiều bài
tập về nhân chia các số với 0,1; 0,01; 0,001;…;0,125; 0,25; 0,5;…để giúp các
em nhớ và vận dụng.
Như vậy đối với dạng toán này giáo viên cần phải hướng dẫn học sinh biết
quan sát, phân tích để nhóm, ghép hoặc biến đổi để tử số và mẫu số của các
phân số xuất hiện những thừa số giống nhau để có thể rút gọn cho nhau. Giáo
viên phải làm mẫu để học sinh hiểu được các bước và cách làm. Khi các em
đã hiểu thì sẽ làm thành thạo các bài tương tự.
14
2.3. Dạng 3: Các bài toán tính nhanh dựa vào xét thành phần của phép
tính
Dạng bài này chủ yếu là rèn cho học sinh óc quan sát, nhận xét và khả
năng tính nhẩm. Khi làm dạng bài này học sinh dễ mắc phải sai lầm là không
suy nghĩ, xác định thành phần phép tính trước khi tính mà các em sẽ thực
hiện lần lượt các phép tính theo quy tắc nên rất dài và mất nhiều thời gian.
Các biểu thức thuộc dạng này bao giờ cũng có phép trừ nên sẽ có một thừa
số, số bị chia hoặc tử số của phân số bằng 0. Do đó, mặc dù phép tính nhìn
phức tạp nhưng khi biết biến đổi thì rất là đơn giản. Khi làm giáo viên cần
hướng dẫn:
- Quan sát các phép tính trong bài toán, nếu bài toán có phép nhân và trong
các thừa số có chứa phép tính trừ hoặc trong biểu thức có số bị chia (tử số)
có phép trừ thì cần phải xem chúng có thuộc dạng này không.
- Nhẩm các phép tính trừ xem số bị trừ và số trừ có bằng nhau không
- Thực hiện tính
Ví dụ 1:
(1000 – 99 +97 – 80 + 15) × (16 – 2 ×8)
* Hướng dẫn học sinh
- Nhận xét thấy thừa số thứ hai có phép trừ và giá trị bằng 0
- Tính thừa số thứ hai trước
- Thực hiện tính giá trị biểu thức
Bài giải:
(1000 – 99 +97 – 80 + 15) × (16 – 2 ×8)
= (1000 – 99 +97 – 80 + 15) × (16 – 16)
= (1000 – 99 +97 – 80 + 15) × 0 = 0
Ví dụ 2:
1234 × 5987 × ( 45 – 22,5 × 2) :2009
* Hướng dẫn học sinh:
15
-Nhận xét thấy thừa số thứ ba có phép trừ và giá trị bằng 0
- Tính thừa số thứ ba trước, sau đó vận dụng tính chất nhân một số với 0
- Thực hiện tính giá trị biểu thức
Bài giải:
1234 × 5987 × ( 45 – 22,5 × 2) :2009
= 1234 × 5987 × ( 45 – 45) :2009
= 1234 × 5987 × 0 :2009
= 0: 2009 = 0
Ví dụ 3:
1991 1999 1990 1999 2008 1004 2
×
19911992
123
* Hướng dẫn học sinh:
- Nhận xét thấy tử số của phân số thứ hai có phép trừ và nhẩm kết quả bằng 0
- Tính tử số của phân số thứ hai trước
- Thực hiện tính giá trị biểu thức
Bài giải:
1991 1999 1990 1999 2008 1004 2
×
19911992
123
Ví dụ 4:
=
1991 1999 1990 1999 2008 2008
×
19911992
123
=
1991 1999 1990 1999
×0 = 0
19911992
25 4 0,5 40 5 0,2 20 0,25 1414 1515
×
1 2 4 8 ... 128 156
2020 2121
* Hướng dẫn học sinh:
- Quan sát, nhận xét: Tử số ở phân số thứ nhất có phép trừ và kết quả phép
trừ đó bằng 0.
- Tính tử số ở phân số thứ nhất trước
- Thực hiện tính giá trị biểu thức
16
Bài giải:
25 4 0,5 40 5 0,2 20 0,25 1414 1515
×
1 2 4 8 ... 128 156
2020 2121
=
25 4 (0,5 20) ( 0,25 40) × (5 × 0,2) 1414 1515
×
1 2 4 8 ... 128 156
2020 2121
=
100 10 × 10 × 1
1414 1515
×
1 2 4 8 ... 128 156 2020 2121
= 0×
1414 1515
=0
2020 2121
2.4. Dạng 4: Các bài toán tính nhanh một dãy tính về phân số
Các bài toán thuộc dạng này có nhiều kiểu bài khác nhau, mỗi kiểu bài đều
được viết theo một quy tắc và có cách tính khác nhau.
a. Các bài toán về tính tổng của n phân số có tử số bằng 1 và mẫu số là
tích các số tự nhiên liên tiếp.
1
1
1
1
1
+
+
+
+
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
Ví dụ: Tính nhanh
Nếu giáo viên không hướng dẫn thì học sinh không thể tính nhanh mà sẽ thực
hiện theo cách tính bình thường như sau:
1
1
1
1
1
+
+
+
+
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
=
1 1 1
1
1
+ + + +
2 6 12 20 30
=
1 30 1 10 1 5
1 3
1 2
+
+
+
+
2 30 6 10 12 5 20 3 30 2
=
30 10 5
3
2
50 5
+ + + +
=
=
60 60 60 60 60
60 6
Làm như trên rất dài và mất thời gian, với các bài tập có mẫu số lớn thì
khó thực hiện . Chính vì thế khi dạy về phân số giáo viên cần cho học sinh thực
hiện và so sánh kết quả của các phép tính như:
17
1 1 1
1 1 1 3 1 2 3 2 1
1 1 1 1
× = và - =
= - = . Do đó : × = 2 3 6
2 3 2 3 3 2 6 6 6
2 3 2 3
Tương tự:
1 1
1
1 1
1
× =
và - = .
3 4 12
3 4 12
Do đó:
1 1 1 1
× = 3 4 3 4
…….
Khi học sinh hiểu được bản chất, giáo viên đưa ra công thức tính như sau:
1
1
1
1
=
×(
)
n (n m)
m
n nm
Sau đó cho các em vận dụng làm bài tập từ dễ đến khó.
Vận dụng cách tính nhanh này vào các ví dụ sau:
ví dụ 1:
1
1
1
1
1
+
+
+
+
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6
1 1
1 2
1 1
2 3
1 1
1 6
5
6
1 1
3 4
1 1
4 5
1 1
5 6
= - + - + - + - + = - =
Ví dụ 2:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
* Hướng dẫn học sinh:
- Quan sát, nhận xét về tử số và mẫu số
- Đưa ra nhận xét: Các phân số đều có tử số là 1, mẫu số là tích của hai số tự
nhiên liên tiếp mà thừa số thứ nhất ở mẫu số của phân số sau chính là thừa số thứ
hai ở mẫu số của phân số liền trước nó.
-Hướng dẫn học sinh tách mỗi phân số thành tích của hai phân số và viết dưới
dạng hiệu của hai phân số đó:
1
1 1 1 1
= × = 1 2 1 2 1 2
1
1 1 1 1
= × = 2 3 2 3 2 3
….
18
1
1 1 1 1
= × = 9 10 9 10 9 10
- Thực hiện tính giá trị biểu thức:
Bài giải:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1
1 2
1 1
2 3
1 1
3 4
1 1
4 5
1 1
5 6
1 1
9 10
= - + - + - + - + - ….+ 1 1 9
=
1 10 10
= -
1 1 1
1
1
1
1
1
1
+ + + + + + + +
2 6 12 20 30 42 56 72 90
Ví dụ 3:
=
1
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
+
+
1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9 10
1 1
1 2
1 1
2 3
1 1
3 4
1 1
4 5
1 1
5 6
1 1
9 10
= - + - + - + - + - ….+ 1 1
9
= 10
1 10
= Ví dụ 4:
1
1
1
1
1
+
+
+…+
+
1 2 3 2 3 4 3 4 5
36 37 38 37 38 39
Với bài toán trên thì học sinh thấy được mẫu số là tích của ba số tự nhiên
liên tiếp. Ta thấy:
2
1
1
=
1 2 3 1 2 2 3
2
1
1
=
2 3 4 2 3 3 4
………
2
1
1
=
37 38 39 37 38 38 39
Do đó khi đối chiếu với phân tích trên thì sẽ phải gấp tử số lên 2 lần hay
chính là nhân biểu thức trên với 2 để bài toán trở về ví dụ 1
19
* Hướng dẫn học sinh
-Tìm quy luật của tử số và mẫu số: tử số là 1, mẫu số là tích của ba số tự
nhiên liên tiếp mà thừa số thứ nhất của mẫu số sau chính là thừa số thứ ba của
mẫu số liền trước nó.
- Nhân biểu thức với 2
- Viết các phân số đó dưới dạng hiệu của hai phân số có tử số là 1 và mẫu số
là tích hai số tự nhiên liên tiếp
- Tính giá trị biểu thức
Bài giải
Đặt A =
1
1
1
1
1
+
+
+…+
+
1 2 3 2 3 4 3 4 5
36 37 38 37 38 39
A×2 =
2
2
2
2
2
+
+
+…+
+
1 2 3 2 3 4 3 4 5
36 37 38 37 38 39
A×2=
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+
+…+
1 2 2 3 2 3 3 4 3 4 4 5
37 38 38 39
A×2=
1
1
1 2 38 39
1
2
A×2= A×2=
1
1482
370
741
A=
370
:2
741
A=
185
741
b. Các bài toán về tính tổng của n phân số(n>1; n€N) trong đó tử số bằng
1 và mẫu số là các số chẵn (lẻ) liên tiếp hoặc cách đều).
Kiểu bài này cũng tương tự kiểu bài trên, khi các em làm thành thạo kiểu
bài trên thì các em tiếp thu nhanh kiểu bài này. Nhưng khi hướng dẫn giáo
20
viên cũng cần cung cấp cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản để giúp các
em biết cách làm thông qua các ví dụ cụ thể:
- Hướng dẫn học sinh thực hiện các phép tính:
1 1 1
× =
2 4 8
Hay
và
1 1 2 1 1
- = - =
2 4 4 4 4
Do đó
1
1 1
=( - ):2
2 4
2 4
hoặc
1 1
1
1 1 1
× =
và - =
4 6 24
4 6 12
Hay
1
1 1
=( - ):2
4 6
4 6
1
1
1 1
= ×( - )
2 4 2
2 4
Do đó;
hoặc
2
1 1
= 2 4 2 4
2
1 1
= 2 6 4 6
1
1
1 1
= ×( - )
4 6 2
4 6
…..
- Khi học sinh đã hiểu về mối quan hệ giữa các phép tính này thì các em sẽ
biết vận dụng để làm tốt các bài tập.
Ví dụ 1:
1
1
1
1
+
+
+…+
2 4 4 6 6 8
96 98
* Hướng dẫn học sinh
- Nhận xét về tử số và mẫu số: tử số là 1, mẫu số là tích của hai số chẵn liên
tiếp mà thừa số thứ nhất ở mẫu số của phân số sau chính là thừa số thứ hai
ở mẫu số của phân số liền trước nó.
- Từ quy luật của mẫu số, ta chọn cách nhân biểu thức với 2
- Viết từng phân số dưới dạng hiệu của hai phân số mà số trừ của nhóm
trước bằng số bị trừ của nhóm sau.
- Thực hiên tính giá trị biểu thức
Bài giải:
1
1
1
1
+
+
+…+
2 4 4 6 6 8
96 98
21
Đặt A =
1
1
1
1
+
+
+…+
2 4 4 6 6 8
96 98
A×2 =
2
2
2
2
+
+
+…+
2 4 4 6 6 8
96 98
1 kinh
1 1 nghiệm
1 1
1 1
Sáng 1kiến
A×2 = - + - + - +…+ 2 4
4 6
6 8
96 98
1 1
2 98
A×2 = A×2 =
A=
24
:2
49
A=
Ví dụ 2:
24
49
12
49
1 1
1
1
1
+ + + +
3 15 35 63 99
* Hướng dẫn học sinh:
- Quan sát mẫu số rồi nhận xét: tách mẫu số thành tích hai số lẻ liên tiếp.
- Viết từng phân số dưới dạng hiệu của hai phân số mà số trừ của nhóm
trước bằng số bị trừ của nhóm sau.
- Thực hiện phép tính
Bài giải:
1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
+ + + + =
+
+
+
+
3 15 35 63 99 1 3 3 5 5 7 7 9 9 11
1 1
1 3
1 1
3 5
1 1
5 7
1 1
7 9
1 1
):2
9 11
= ( - ):2+ ( - ):2+( - ):2+( - ):2+( 1 1
1 3
1 1
3 5
1 1
5 7
1 1
7 9
1 1
):2
9 11
=( - + - + - + - + 1 1
10
5
):2= :2=
1 11
11
11
=( -
22
Ví dụ 3:
4
4
4
4
4
+
+
+…+
+
1 3 3 5 5 7
17 19 19 21
* Hướng dẫn học sinh: - Quan sát tử số và mẫu số rồi nhận xét: tử số của các
phân số là 4, mẫu số là Sáng
tích hai
số kinh
lẻ liên
tiếp mà thừa số thứ nhất ở mẫu số
kiến
nghiệm
của phân số sau chính là thừa số thứ hai ở mẫu số của phân số liền trước nó.
- Tách tử số ( 4 = 2 x 2) đưa về dạng như ví dụ 1
- Viết từng phân số dưới dạng hiệu của hai phân số mà số trừ của nhóm trước
Trịnh Thị Yến
bằng số bị trừ của nhóm sau
+Thực hiện tính
Bài giải:
4
4
4
4
4
+
+
+…+
+
1 3 3 5 5 7
17 19 19 21
=2 x (
2
2
2
2
2
+
+
+…+
+
)
1 3 3 5 5 7
17 19 19 21
1 1
1 3
1 1
3 5
1 1
5 7
= 2 x ( - + - + - +…+
1
1 1 1
- + - )
17 19 19 21
1 1
20
40
19
)=2x
=
=1
1 21
21
21
21
=2x( -
Khi học sinh đã làm được các bài tập trên thì giáo viên hướng dẫn các em
làm bài tập tương có mẫu số là tích của các số cách đều
Ví dụ 4:
1
1
1
1
+
+
+…+
1 4 4 7 7 10
96 99
* Hướng dẫn học sinh:
- Học sinh nhận xét: Mẫu số là tích của các số cách đều nhau 3 đơn vị
- Viết từng phân số dưới dạng hiệu của hai phân số mà số trừ của nhóm
trước bằng số bị trừ của nhóm liền sau
- Thực hiện tính
Bài giải:
23
1
1
1
1
+
+
+…+
1 4 4 7 7 10
96 99
1 1
1 4
1 1
4 7
1 1
1 1
):3+…+( - ):3
7 10
96 99
= ( - ):3+ ( - ):3+( -
1 1 1Sáng
1 kiến
1 1 kinh nghiệm
1 1
1 1
98
= ( - + - + - +…+ - ):3 = ( - ) : 3 =
1 4
4 7
7 10
96 99
1 99
297
Như vậy, đối với hai kiểu bài trên giáo viên giúp học sinh biết cách quan sát
nhanh và đặc biệt quan tâm đến mẫu số, biết tách mẫu số thành tích của hai số
TrịnhtựThị
Yếnliên tiếp, hai số lẻ hoặc hai số chẵn liên tiếp, hai số cách đều nhau
nhiên
liên tiếp. Sau đó vận dụng các mối liên hệ giữa phép nhân và phép trừ các
phân số có kết quả đặc biệt vào dãy tính để tìm ra kết quả một cách nhanh
nhất.
c. Các bài toán về tính tổng của n phân số có tử số là 1 và mẫu số của
hai phân số liền nhau gấp nhau một số lần.
Ví dụ:
1 1 1 1
1
1
1
+ + + + + +
2 4 8 16 32 64 128
* Hướng dẫn học sinh:
Cách 1: Trước khi cho học sinh làm bài tập kiểu này thì giáo viên cho học
sinh thực hiện và so sánh kết quả của các phép tính:
1 1 3
1 3
+ = và 1- =
2 4 4
4 4
1 1 1 7
+ + =
2 4 8 8
1
8
và 1- =
Do đó :
7
8
1 1 1 1
15
1 15
+ + + =
và 1- =
2 4 8 16
16
16 16
1 1
1
+ = 12 4
4
Do đó :
1 1 1
1
+ + = 12 4 8
8
Do đó:
1 1 1 1
1
+ + +
= 12 4 8 16
16
…..
Như vậy học sinh thấy được tổng các phân số dạng trên bằng 1 trừ đi phân số
cuối cùng của dãy tính.
24
Bài giải:
1 1 1 1
1
1
1
1
127
+ + + + + +
= 1=
2 4 8 16 32 64 128
128 128
Cách 2:
- Tìm quy luật của tử số và mẫu số: tử số bằng 1, mẫu số của phân số liền
Sáng kiến kinh nghiệm
sau gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần
- Từ quy luật của mẫu số ta nhân biểu thức với 2
Trịnh
Yến
- Thị
Thực
hiện tính giá trị biểu thức
Bài giải:
Đặt A =
1 1 1 1
1
1
1
+ + + + + +
2 4 8 16 32 64 128
1
2
1
4
1
8
Ax 2 = ( + + +
1
1
1
1
+ + +
)x 2
16 32 64 128
1
2
1
4
1
8
1
1
1
+ +
16 32 64
1
2
1
4
1
8
1
1
1
+ +
16 32 64
1
2
1
4
1
8
1
1
1
1
1
+ + +
16 32 64 128 128
A x 2 = 1+ + + +
A x 2 = 1+ + + +
A x 2 = 1+ + + +
Ax 2 = 1 +
A= 1 A=
A
-
1
128
1
( Cùng bớt đi A)
128
127
128
Giáo viên cho học sinh nhận xét bài giải theo hai cách: khi mẫu số của hai
phân số liền nhau gấp nhau 2 lần thì gấp tổng đó lên hai lần rồi tính như trên.
Từ đó các em vận dụng các bài tương tự.
25
