HỆ RỜI RẠC TUYẾN TÍNH BẤT BIẾN TRONG MIỀN TẦN SỐ

HỆ RỜI RẠC TUYẾN TÍNH BẤT
BIẾN TRONG MIỀN TẦN SỐ


R.4.1
Nếu h[n] là đáp ứng xung của hệ rời rạc LTI trong miền thời
gian thì H(ej) là đáp ứng tần số bằng cách lấy biến đổi Furie
rời rạc của h[n]:


H (e j )   h(n)e  j n
n 


R.4.2. H(ej) là hàm phức của  với chu kỳ 2 và có thể được biểu
diễn bằng phần thực và phần ảo hoặc theo độ lớn và pha.
Do đó:
j
j
j
j
j ( )

H (e )  H

re

( e )  j H im ( e )  H (e ) e

Trong đó:
H re (e j ) và H im (e j )

tương ứng là phần thực và phần ảo của H (e j )

 (  )  a r g  H ( e j )  : đáp ứng pha
H ( e j )

: đáp ứng biên độ của hệ LTI
 


R.4.3. Hàm tăng ích G() của hệ LTI được định nghĩa như
sau:

G (  )  20 log 10 H ( e

j

)

A() = -G() : hệ số suy hao của hệ LTI


R.4.4. Đối với hệ thống rời rạc được đặc trưng bởi đáp ứng
xung thực h[n], hàm biên độ là một hàm chẵn và pha là hàm
lẻ theo , nghĩa là:

H (e j )  H (e  j )

 ( )   (  )
Tương tự, H re ( e j ), H im ( e j ) tương ứng là hàm chẵn và hàm lẻ

theo 


R.4.6. Thời gian truyền nhóm của hệ rời rạc tuyến tính bất
biến theo thời gian được định nghĩa như sau:

d c ( )
 ( ) 
d
Trong đó: c() là hàm trãi pha. Nếu pha được tính bằng
radian thì trễ nhóm được tính bằng s.
R.4.7. Đáp ứng trạng thái bền y[n] của hệ thống tuyến tính bất
biến hệ số thực có đáp ứng tần số H(e j) và tín hiệu vào
x[n] = A cos (0n + ) , với A là hệ số thực được cho như sau:

y [n]  A H ( eoj ) cos ( o n   (o )   )


R.4.8. Từ công thức tổng chập biểu diễn cho hệ rời rạc tuyến tính
bất biến theo thời gian, ta suy ra đáp ứng tần số của hệ rời rạc LTI
được tính bằng tỉ số giữa Y(ej) và X(ej)
j
Y
(
e
)
j
H (e ) 
X ( e j )

Trong đó :

Y(ej) là biến đổi Furie của tín hiệu ra y[n]
X(ej) là biến đổi Furie của tín hiệu vào x[n]


R.4.9. Đối với hệ thống tuyến tính bất biến theo thời gian
được đặc trưng bởi phương trình sai phân hệ số hằng thì đáp
ứng tần số H(ej) được biểu diễn dưới dạng:
M

pk e 

jk


d
e
 k

jk



H (e j )  k N0

k 0


R.4.10.Biến đổi z, H(z) của chuỗi đáp ứng xung {h[n] }

được gọi là hàm truyền đạt hoặc hàm hệ thống. Từ công
thức tổng chập biểu diễn cho hệ thống tuyến tính bất biến
theo thời gian ta suy ra hàm truyền H(z) chính là tỉ số giữa
Y(z) (biến đổi z của đầu ra y[n] ) và X(z), (biến đổi z của tín
hiệu vào x[n])

Y ( z)
H ( z) 
X ( z)


R.4.11. Nếu miền hội tụ (ROC) của H(z) có chứa đường tròn
đơn vị thì đáp ứng tần số của hệ rời rạc LTI được tính như sau:

H (e j )  H ( z ) z e j
R.4.12. Đối với hàm truyền H(z) hệ số thực ta có:
j 2

H ( e )  H ( e j ) H * ( e j )  H ( e j ) H ( e  j )  H ( z ) H ( z  1 )

z e j


R.4.13. Một hệ rời rạc LTI được đặc trưng bởi phương trình sai
phân tuyến tính hệ số hằng thì hàm truyền H(z) được biểu diễn:
Y ( z ) p0  p1 z  1  ......  p M z  M
H ( z) 

X ( z ) d 0  d1 z  1  .....  d N z  N
M

H ( z) 

p 0  (1   k z  1 )
k 1
N

d 0  (1   k z  1 )
k 1

Trong đó:

1, 2, …., M là các điểm không
1, 2, …., N là các điểm cực

Nếu N > M thì thêm (N-M) điểm không tại z = 0
Nếu N < M thì thêm (M-N) điểm cực tại z = 0
 


R.4.15. Tất cả các điểm cực của hàm truyền nhân quả ổn
định đều phải nằm hoàn toàn bên trong đường tròn đơn vị.
 
R.4.16. Bộ lọc lý tưởng là bộ lọc có đáp ứng biên độ bằng 1
trong dải thông , bằng 0 trong dải chắn và có pha 0 bất kỳ.
Đáp ứng tần số của bốn bộ lọc số pha không lý tưởng
với đáp ứng xung hệ số thực được biểu diễn như hình vẽ.


HLP(ej)

HHP(ej)

1

-

1



-c

0

c

-





-c

0

(a)

c



(b)

HBP(ej)

HBS(ej)

1

1


-

-c2

-c1

0

(c)

c1

c2




-

-c2

-c1

0

c1

c2



(d)

Đáp ứng tần số của các bộ lọc lý tưởng
(a)Lọc thông thấp (b) Lọc thông cao(c) Lọc thông dải (d) Lọc chắn dải


R.4.17. Đáp ứng xung hLP[n] của bộ lọc thông thấp lý tưởng có dạng:
sin( c n)
hLP [ n] 
, - n  
n

R.4.18. Hàm truyền của bộ lọc thông thấp bậc 1:
1  1 z1
H LP ( z ) 

.
2 1  z1
Trong đó: <1 thì hệ ổn định. Tần số c gọi là tần số cắt
3dB và liên hệ với tham số  qua công thức:

1  sin  c
 
cos  c


R.4.19
Hàm truyền của bộ lọc thông cao bậc 1 có đáp ứng xung dài
vô hạn có dạng:

1 1 z1
H HP ( z ) 
.
2 1  z1
Hệ thống sẽ ổn định khi <1


R.4.20. Hàm truyền của bộ lọc thông dải bậc 2 với đáp ứng xung
dài vô hạn có dạng:

1 
1 z2
H BP ( z ) 
.
2 1   (1   ) z -1   z -2
Đáp ứng biên độ sẽ bằng 0 tại  = 0 và  =  . Giá trị cực đại

bằng 1 ứng với  = 0, 0 được gọi là tần số giữa của bộ lọc
thông dải. Khi đó:

 0 cos  1 (  )

Băng thông 3-dB (3dB) là độ sai khác giữa hai tần số cắt 3dB
và được tính như sau:

 3dB

2
 c 2   c1 cos (
)
2
1
1


R.4.21. Hàm truyền của bộ lọc chắn dải bậc hai có đáp ứng xung
dài vô hạn được tính bằng công thức:

1
1  2  z -1  z  2
H BS ( z ) 
.
2 1   (1   ) z  1   z  2

Đáp ứng biên độ bằng 1 tại  = 0 , và bằng 0 tại  = 0, 0
được gọi là tần số suy giảm đỉnh của bộ lọc.
0 và 3dB cũng được tính như trên.

R.4.22.Với K bộ lọc thông thấp bậc 1 mắc nối tiếp thì hàm
truyền của hệ thống sẽ là:
K
1
1  1 z 

G LP ( z ) 
.
-1 
 2 1  z 
Tham số  và K liên hệ với tần số cắt 3dB qua biểu thức

1  (1  B) cos  c  sin  c 2 B  B 2

1  B  cos  c
Trong đó

B  2  K  1 / K


R.4.23. Bộ lọc pha không có thể thực hiện xử lý tín hiệu vào
với chiều dài hữu hạn không theo thời gian thực một cách dễ
dàng nếu điều kiện nhân quả được relaxed. Trong sơ đồ sau, tín
hiệu vào hữu hạn được đưa qua bộ lọc nhân quả hệ số thực có
hàm truyền là H(z), tín hiệu ra sau đó được lấy nghịch đảo và
được đưa qua bộ lọc thêm một lần nữa. Quá trình này được mô
tả như sau:
x[n]

H(z)
v[n]

u[n]

u[n] = v[-n], y[n] = w[-n]

H(z)
w[n]


R.4.24. Chúng ta có thể thiết kế hàm truyền với đáp ứng xung
hữu hạn (FIR) và đáp ứng pha tuyến tính. Nếu hàm truyền có
đáp ứng xung đối xứng thì:
h [ n] h [ N  n ] ,

0 n  N

hoặc đáp ứng xung phản đối xứng thì:
h [ n]  h [ N  n] ,

0n N

N : bậc của hàm truyền và h[n] có chiều dài là N + 1. Có 4 loại
hàm truyền:
Loại 1: Đáp ứng xung đối xứng với chiều dài lẻ
Loại 2: Đáp ứng xung đối xứng với chiều dài chẵn.
Loại 3: Đáp ứng xung phản đối xứng với chiều dài lẻ
Loại 4: Đáp ứng xung phản đối xứng với chiều dài chẵn.

R.4.25. Hàm truyền FIR loại 2 có một không tại z = -1, do đó
không thể dùng để thiết kế bộ lọc thông cao. Hàm truyền FIR
loại 3 có không tại z = 1 và z = -1 nên cũng không thể dùng để
thiết kế bộ lọc thông thấp, thông cao và chắn dải. Bộ lọc FIR
loại 4 cũng không thể dùng để thiết kế lọc thông thấp do xuất
hiện không tại z = 1. Chỉ có bộ lọc FIR loại 1 mới được sử
dụng để thiết kế các loại bộ lọc.


R.4.26. Hàm truyền H(z) hệ số thực gọi là nhân quả và ổn
định nếu:
H (e j ) 1, 
R.4.27. Hàm truyền A(z) có đáp ứng biên độ bằng 1 cho mọi
tần số, nghĩa là:
A(e j ) 2 1,



thì A(z) được gọi là hàm truyền thông tất. Khi đó hàm
truyền thông tất IIR hệ số thực bậc M nhân quả có dạng:

Trong đó:

z  M DM ( z  1 )
A( z ) 
DM ( z )

DM(z) là đa thức của M

R.4.28. Hàm truyền nhân quả và ổn định với tất cả các điểm
không nằm bên trong hoặc trên đường tròn đơn vị gọi là hàm
truyền pha cực tiểu. Ngược lại hàm truyền nhân quả và ổn
định với tất cả các điểm không nằm ngoài đường tròn đơn vị
gọi là hàm truyền pha cực đại.
R.4.29. Một tập M hàm truyền { H0(z), H1(z),…,HM-1(z) }
được gọi là bù trễ lẫn nhau nếu tổng các hàm truyền của
chúng bằng một bội số nguyên lần của trễ đơn vị, nghĩa là:
M 1

 n0
H
(
z
)


z
,  0
 k
k 0

Trong đó n0 là số nguyên không âm.


Hàm truyền bù trễ H1(z) và hàm truyền FIR pha tuyến tính
loại 1 H0(z) có chiều dài L lẻ liên hệ với nhau qua biểu thức:

H 1 ( z )  z  ( L  1) / 2  H 0 ( z )
R.4.30. Tập hợp M bộ lọc { Hi(z), i = 0,1,…,M-1 }được gọi
là bù toàn thông nếu:
M1

H

i

( z )  A( z )

i 1

R.4.31. Tập hợp M bộ lọc số { Hi(z), i = 0,1,….,M-1} được
gọi là bù năng lượng lẫn nhau nếu tổng bình phương các
đáp ứng biên độ bằng 1
M1


i 0

2

H i (e j ) 1,




R.4.32. Để Am(z) là hàm thông tất hệ số thực bậc m thì:
d m  d m  1 z  1  d m 2 z  2  .......  d1 z  ( m  1)  z  m

Am ( z ) 
1  d1 z  1  d1 z  1  .....  d m  1 z  ( m  1)  d m z  m

Suy ra hàm thông tất hệ số thực bậc m-1 có dạng:
 Am z  k m 
Am  1 ( z )  z 

1

k
A
(
z
)
m m


d 'm -1  d m'  2 z  1  ....  d1' z  ( m  2 )  z  ( m  1)

1  d1' z  1  ....  d m'  2 z  ( m  2 )  d m'  1 z  ( m  1)

Trong đó:

d i  d m d m i
d 
,
2
1 dm
'
i

i 1,2,..., m - 1