Hằng số vũ trụ trong mô hình vũ trụ chuẩn học

LỜI CẢM ƠN
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Thạc sỹ Phạm Ngọc Thư giảng viên môn Vật Lý
trường Đại học Tây Bắc đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn nhóm đề tài trong suốt quá
trình nghiên cứu đề tài này.
Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô giáo, cùng các bạn sinh viên K56
- ĐHSP Vật Lý đã đóng góp ý kiến, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho nhóm đề tài
trong suốt quá trình thực hiện đề tài này.
Trong quá trình học tập và thực hiện đề tài không tránh khỏi những sai sót là điều
tất yếu, rất mong các thầy cô bỏ qua cho chúng tôi. Đồng thời do trình độ năng lực còn
hạn chế nên bản báo cáo đề tài này không tránh khỏi thiếu sót. Chúng tôi rất mong
nhận được sự góp ý của thầy cô và các bạn để đề tài thêm hoàn thiện hơn.
Xin chân thành cảm ơn !
Xác nhận của giảng viên hƣớng dẫn

Sơn La, Ngày… Tháng… Năm…
Tác giả đề tài
Nguyễn Thị Hoa
Vũ Thị Lan Anh
Bun Khăm – Sua Chêng Hơ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .........................................................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài. ........................................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu ...................................................................................................2
3. Giả thuyết khoa học .....................................................................................................2
4. Đối tượng nghiên cứu ..................................................................................................2
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ..................................................................................................2
6. Phạm vi nghiên cứu .....................................................................................................2
7. Phương pháp nghiên cứu .............................................................................................3
8. Đóng góp đề tài............................................................................................................3

9. Cấu trúc của đề tài. ......................................................................................................3
CHƢƠNG I. THUYẾT TƢƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT VÀ KHÔNG GIAN CONG
.........................................................................................................................................4
1.1. Tọa độ cong .............................................................................................................4
1.1.1. Các quy luật biến đổi .............................................................................................4
1.1.2. Tensor ....................................................................................................................6
1.2. Dịch chuyển song song ............................................................................................6
1.2.1. Định nghĩa .............................................................................................................7
1.2.2. Tìm  A ................................................................................................................7
1.2.3. Liên thông Affine – chỉ số Christofell ..................................................................8
1.3. Đạo hàm hiệp biến trong không gian cong ..............................................................9
1.3.1. Định nghĩa .............................................................................................................9
1.3.2. Tính chất ................................................................................................................9
1.4. Phương trình trắc địa ( geodesic equation) .............................................................10
1.5. Dạng của S trong không gian cong để bất biến với phép biến đổi tổng quát ........10
1.6. Tensor metric. Tensor cong Riemann và mối liên hệ giữa chúng .........................11
1.6.1. Tensor metric. ......................................................................................................11
1.6.2. Tensor cong Riemann. .........................................................................................12
1.6.3. Tensor Ricci .........................................................................................................13
1.6.4. Độ cong vô hướng ...............................................................................................13
1.6.5. Mối liên hệ giữa tensor metric và hình học Riemann .........................................13
1.7. Phương trình Einstein. ............................................................................................14


1.8. Kết luận chương 1. .................................................................................................19
CHƢƠNG II: HẰNG SỐ VŨ TRỤ ............................................................................20
2.1. Lịch sử xuất hiện hằng số vũ trụ  .......................................................................20
2.2. Mối quan hệ giữa  và năng lượng tối..................................................................21
2.3. Hằng số vũ trụ và năng lượng chân không .............................................................23
2.2. Các quan sát biện chứng cho gia tốc Vũ trụ ...........................................................26

2.5. Kết luận chương 2. .................................................................................................30
CHƢƠNG III: MÔ HÌNH VŨ TRỤ CHUẨN HỌC VỚI HẰNG SỐ VŨ TRỤ ....31
3.1. Các nguyên lý cơ bản của vũ trụ. ...........................................................................31
3.2. Metric Robertson Walker. ......................................................................................31
3.3. Lời giải vũ trụ .........................................................................................................34
3.3.1. Lời giải vũ trụ với   0 .....................................................................................34
3.2.1.1. Giai đoạn nào sẽ là giai đoạn kế tiếp sau lạm phát...........................................37
3.3.1.2. Hệ số giãn nở a(t ) của vũ trụ...........................................................................38
3.3.2. Lời giải với   0 ...............................................................................................47
3.4. Kết luận chương 3 ..................................................................................................50
KẾT LUẬN ĐỀ TÀI ....................................................................................................51
TÀI LIỆU THAM KHẢO...........................................................................................52


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong đời sống và khoa học công nghệ thì vũ trụ học đang là một vấn đề thu hút
rất nhiều sự quan tâm. Trong đó lý thuyết tương đối rộng đóng vai trò quan trọng trong
việc xây dựng mô hình và giải thích một số hiện tượng vũ trụ. Mô hình vũ trụ chuẩn
học hiện nay dựa trên cơ sở của lý thuyết tương đối rộng và giả thiết không gian vũ trụ
là đồng nhất và đẳng hướng. Đây là một lý thuyết khoa học đã được kiểm chứng và
được cộng đồng khoa học chấp nhận rộng rãi. Các nhà vật lý học đã tìm ra được
Metric Friedmann – Lemaitre – Robertson – Walker là nghiệm chính xác của phương
trình Einstein mô tả vũ trụ đang giãn nở, cho phép mô tả sự tiến hóa của vũ trụ từ 13,8
tỉ năm trở về trước, khởi nguyên từ vụ nổ lớn (Big Bang).
Như chúng ta đã biết thì vũ trụ được sinh ra từ một vũ nổ lớn. Vụ nổ này là
nguyên nhân sinh ra không gian, thời gian và toàn bộ vật chất, năng lượng trong vũ trụ
mà ngày nay chúng ta đang sinh sống. Sau vụ nổ này, vũ trụ ở vào trạng thái cực nóng
và đặc. Điều này cho thấy bắt đầu một sự giãn nở nhanh chóng. Cùng với sự giãn nở
nhanh của vũ trụ đã làm cho nhiệt độ nền và mật độ vật chất của vũ trụ giảm rất nhanh.

Mô hình vũ trụ chuẩn học đã đưa ra cách giải thích hoàn thiện về nhiều hiện
tượng quan sát thấy trong vũ trụ, bao gồm sự có mặt của những nguyên tố nhẹ, cấu
trúc vĩ mô của vũ trụ, sự giãn nở của vũ trụ từ các quan sát về vận tốc rời xa của các
thiên hà do Edwin Hubble thực hiện vào cuối những năm 1920. Một bằng chứng khác
cho mô hình vũ trụ chuẩn học này là sự khám phá ra bức xạ nền vi sóng vũ trụ (cosmic
microwave backgroud – CMB) vào năm 1965, nó khớp với dự đoán trước đó của
thuyết Big Bang về bức xạ còn lại sau khi phát ra từ Big Bang. Tuy vậy bằng chứng
này cũng đồng thời chính là mâu thuẫn quan trọng buộc người ta phải xem xét lại mô
hình vũ trụ theo mô tả của Big Bang. Khó khăn gặp phải của lý thuyết mô tả vũ trụ
được hé lộ. Khó khăn khi so sánh với lý thuyết của vật lý hạt cơ bản về các vấn đề
như phân cực từ, vấn đề hấp dẫn.... Hơn nữa, mô hình vũ trụ chuẩn học còn gặp phải
những khó khăn cơ bản khi giải thích các vấn đề về vũ trụ phẳng, vấn đề về đường
chân trời, vấn đề đơn cực từ... Các hạn chế trên của mô hình vũ trụ trụ chuẩn học hiện
được xem là có thể giải quyết được bằng lý thuyết vũ trụ lạm phát. Mô hình vũ trụ
chuẩn học được nghiên cứu với sự xuất hiện của hằng số vũ trụ. Nó được đề xuất từ

1


lúc mới hình thành phát triển của thuyết tương đối rộng để có thể miêu tả một nghiệm
vũ trụ tĩnh suy ra từ phương trình trường Einstein nhưng sau đó các nhà thiên văn từ
bỏ nó khi các quan sát thực nghiệm trong thập niên 1930 cho thấy vũ trụ đang giãn nở.
Hiện tại, hằng số vũ trụ học được khôi phục trở lại nhằm giải thích kết quả quan sát vũ
trụ đang giãn nở gia tốc. Hằng số vũ trụ học là cách giải thích đơn giản nhất cho năng
lượng tối, nguyên nhân chưa được hiểu rõ gây ra sự giãn nở gia tốc này. Vật lý lượng
tử cũng tiên đoán sự tồn tại của nó dưới dạng năng lượng chân không, mặc dù độ lớn
tính toán từ lý thuyết lượng tử không khớp với giá trị đo được của vật lý vũ trụ họ. Với
việc xuất hiện của hằng số vũ trụ thì việc đi tìm lời giải vũ trụ là điều mà hết sức cần
thiết. Tuy nhiên, trong chương trình đào tạo đại học hiện nay tài liệu tham khảo về vấn
đề này dành cho sinh viên còn rất hạn chế, nếu có thì cũng rất trừu tượng, không

chuyên, một số tài liệu nước ngoài khó hiểu, được dịch không sát nghĩa. Việc có một
tài liệu cụ thể về vấn đề này thực sự là rất quan trọng. Xuất phát từ những vấn đề ở
trên, chúng tôi nhận thấy đề tài “Hằng số vũ trụ  trong mô hình vũ trụ chuẩn
học” là một đề tài rất hay nên đã mạnh dạn tìm hiểu và nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
Trình bày được những nội dung chủ yếu của thuyết tương đối rộng, các đại lượng
đặc trưng và các phép biến đổi tổng quát trong không gian cong, lý thuyết hấp dẫn
Einstein với đối tượng là thế giới thực, từ đó xây dựng mô hình vũ trụ chuẩn học với
sự xuất hiện của hằng số vũ trụ.
3. Giả thuyết khoa học
Nếu vận dụng mô hình vũ trụ chuẩn học với sự xuất hiện của hằng số vũ trụ học

 thì có thể giải thích được kết quả vũ trụ đang giãn nở gia tốc.
4. Đối tƣợng nghiên cứu
Hằng số vũ trụ  trong mô hình vũ trụ chuẩn học.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống hóa cơ sở lí luận có liên quan đến thuyết tương đối tổng quát, không
gian cong và mô hình vũ trụ chuẩn học với sự xuất hiện của hằng số vũ trụ.
Tìm hiểu sự xuất hiện và đi tìm lời giải của vũ trụ với hằng số vũ trụ  .
6. Phạm vi nghiên cứu
Nội dung của thuyết tương đối tổng quát, không gian cong và mô hình vũ trụ
chuẩn học với sự xuất hiện của hằng số vũ trụ.

2


7. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tiến hành tìm và đọc hiểu các giáo trình chuyên
nghành, các nguồn tài liệu chọn lọc liên quan để xây dựng hệ thống cơ sở lý thuyết.
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia:

+ Nhờ giảng viên hướng dẫn xem xét, nhận xét và đánh giá.
+ Tham khảo ý kiến của các giảng viên dạy bộ môn Vật lý thiên văn và Vật lý lý
thuyết.
8. Đóng góp đề tài

- Trình bày chi tiết nội dung về thuyết tương đối tổng quát và không gian cong,
mô hình vũ trụ chuẩn học với hằng số vũ trụ.

- Bổ sung vào nguồn tài liệu tham khảo cho sinh viên ngành sư phạm vật lý và
những giáo viên quan tâm.
9. Cấu trúc của đề tài
Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục các tài liệu tham khảo thì đề tài gồm
3 chương.
Chương I: Thuyết tương đối tổng quát và không gian cong
Chương II: Hằng số vũ trụ
Chương III: Mô hình vũ trụ chuẩn học với hằng số vũ trụ

3


CHƢƠNG I
THUYẾT TƢƠNG ĐỐI TỔNG QUÁT VÀ KHÔNG GIAN CONG
Theo cơ học cổ điển, nguyên lý Galileo phát biểu “Mọi hiện tượng cơ học diễn ra
như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính”. Nguyên lý này được Galileo đưa vào
năm 1632 và một thời gian dài nội dung của nguyên lý là không thay đổi. Sau này,
Albert Einstein đã mở rộng nguyên lý này thành một tiên đề của lý thuyết tương đối
hẹp: “Mọi hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tính” [3].
Lý thuyết có một đặc điểm nổi bật là sự thay thế những biến đổi Galileo của cơ học
Newton bằng phép biến đổi Lorentz. Lý thuyết này xét trong không gian phẳng mà
trường hấp dẫn đồng đều ở mọi nơi. Tuy nhiên, trường hấp dẫn trên thực tế là không

đồng đều, càng gần ngôi sao và các hành tinh thì trường hấp dẫn càng mạnh. Như vậy
lý thuyết tương đối hẹp mâu thuẫn với thực tế. Về sau, Einstein đã xây dựng thuyết
tương đối rộng để phát biểu các định luật vật lý cho tất cả các hệ tọa độ. Thuyết tương
đối rộng được phát biểu như sau: “Mọi hiện tượng vật lý diễn ra như nhau trong mọi
hệ quy chiếu (hệ quy chiếu quán tính và phi quán tính)” [4]. Thuyết được đặc trưng
bởi không gian cong mà trường hấp dẫn không đồng đều.
Nguyên lý tương đương của Galileo đã tổng quát hóa lên phép biến đổi tọa độ tổng
quát: Phương trình mô tả trường hấp dẫn là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ tổng
quát. Chính vì vậy, chúng tôi sẽ tổng quát các kiến thức cơ bản của thuyết tương đối
và vũ trụ học.
1.1. Tọa độ cong [2, 3, 4]
1.1.1. Các quy luật biến đổi
Ta khảo sát phép biến đổi tổng quát từ hệ tọa độ cũ x  sang hệ tọa độ mới x

x  x ( x)

(1.1)

x  x ( x)

(1.2)





Vi phân tuân theo quy luật biến đổi

x v
dx

x v

(1.3)

x 
dx  v dxv
x

(1.4)

dx 


4


Đối với biến đổi Lorentz, đạo hàm riêng

dx 
là hằng số. Biến đổi (1.3) và (1.4)
dx

có tính nghịch đảo.

x x
  v

v
x x

(1.5)

Quy luật biến đổi của toán tử vi phân như sau


x v 

x x x v

(1.6)


xv 

x  x  xv

(1.7)

Như ta đã biết, một trường vô hướng  ( x) là bất biến dưới phép biến đổi tọa độ
tổng quát, tức là

 ( x)   ( x)   ( x( x))

(1.8)

Định nghĩa đạo hàm của trường 

 ( x) 

 ( x) v

| x  const
x 

(1.9)

với   v .
Mặt khác ta có

 ( x  dx)   ( x)   ( x)dx   O(dx 2 )
 ( x  dx)   ( x)   ( x)dx  O(dx2 )
 ( x  dx)   ( x) 

(1.10)

x   ( x) v
dx
xv x 

Vì trường vô hướng  là bất biến với phép biến đổi tọa độ lên ta rút ra quy luật
biến đổi của đạo hàm trường vô hướng như sau:

 ( x) 

x
 ( x)  x  , v

x

(1.11)

Các vectơ hiệp biến trong không thời gian bốn chiều biến đổi giống như đạo hàm
vô hướng dưới phép biến đổi Lorentz. Quy luật biến đổi này được tổng quát hóa cho
trường hợp phép biến đổi tổng quát. Tức là vectơ và tensor biến đổi dưới phép biến đổi
tọa độ tổng quát.
- A là vectơ phản biến dưới biến đổi tọa độ tổng quát nếu nó biến đổi theo

5


A 

x v
A
x v

(1.12)

A 

x v
Av
x

(1.13)

- A là vectơ hiệp biến nếu

1.1.2. Tensor
Tensor là tổ hợp của nhiều thành phần mà mỗi thành phần tensor biến đổi như
một vectơ. Hạng của tensor là số lượng các thành phần của tensor.

- Tensor hiệp biến là tensor mà các thành phần của tensor biến đổi như một vectơ
hiệp biến.
 Tensor hiệp biến hạng 2

    

x x 

x x 

(1.14)

 Tensor hiệp biến hạng n



1 ... n

 

1 ... n

x1 xn 1 ... n
 1 ... vn 
x
x

(1.15)

- Tensor phản biến là tensor mà các thành phần của tensor biến đổi như một
vectơ phản biến.
 Tensor phản biến hạng n
 1 ... n  1 ... n 

x1 x n
...
  ...
x1 xn 1 n

(1.16)

- Tensor hỗn hợp hạng (m, n) là tensor gồm m thành phần phản biến và n thành
phần hiệp biến.

11......vnn  1 ...1 ...vnn 

xv1 xvn
...
 ...
x1 xn 1 n

(1.17)

1.2. Dịch chuyển song song [2, 3, 4]
Trong không gian phẳng, đạo hàm không gian của tensor hạng  m, n  là tensor
hạng  m, n  1 , ví dụ: đạo hàm của trường vô hướng là tensor hạng nhất, đạo hàm của
tensor hạng nhất là tensor hạng hai. Tuy nhiên, trong không gian cong thì điều này
không đúng, đạo hàm của một vectơ không biến đổi như tensor hạng hai. Việc tìm một
đại lượng đặc trưng cho sự thay đổi của một vectơ tại hai điểm, biến đổi như một

6


tensor, chính là lý do để đưa ra khái niệm về dịch chuyển song song.
1.2.1. Định nghĩa
Trong không gian phẳng, với tọa độ hình chữ nhật x  , khi dịch chuyển song song
vectơ A từ vị trí này sang vị trí khác thì không thay đổi hướng và độ lớn, dễ dàng xây
dựng các tensor hạng cao hơn bằng cách lấy vi phân.
y

A

A

0

x

Trong không gian cong, khi dịch chuyển song song vectơ từ vị trí này đến ví trí
khác, thì hướng của vectơ sẽ thay đổi, hay nói cách khác là các phần của vectơ sẽ thay

A

A  A   A

dịch chuyển song song

đổi:
với  A gọi gọi là dịch chuyển song song của một vectơ.

- Trong không gian phẳng:  A  0
A
A

- Trong không gian cong  A  0 : độ cong của không gian tạo ra sự khác biệt
của vectơ trước và sau dịch chuyển song song.
1.2.2. Tìm  A

- Khảo sát một vectơ trong hệ tọa độ x  có các thành phần là A , trong hệ tọa độ
y  có các thành phần là B . Khi thực hiện phép biến đổi tọa độ tổng quát từ hệ x 
sang hệ y  thì các thành phần của vectơ sẽ biến đổi:

7


A 

y v
x v
B
và
B

Av
v

x 
y 

(1.18)

x 

y  v
x  v

x
và
y

y
x v
y v

(1.19)

Lấy biến phân

 y v 
Bv 


x



 A   

 y v

  
 x


 y v
B

 v  

 x

 y v
  
 x


 Bv



  Bv


(1.20)

 y v 

Tính    
 x 
 y v

 
 x

  y v


 x



x 

 y v  
  dx 
 x


2 yv
dx  y v

   dx  
x x
x x 

(1.21)

x
A
y v

Có Bv 

(1.22)

Thay (1.21), (1.22) vào (1.20) ta được

2 yv
 2 y v x 
 x
 A    dx
A    v dx A   dx  A
 
x x
y
x x y




với 

(1.23)

 2 y v x
   v là hệ số liên kết không gian giữa hai điểm của không gian.
x x y

1.2.3. Liên thông Affine – chỉ số Christofell

 

A
A

 2 y v x
   v
x x y

x   x 
x

 A  A   A  A   dx  A
8


 kết nối 2 điểm trong không gian cong là đối xứng với hai chỉ số  ,  và không

phải tensor hạng ba.
1.3. Đạo hàm hiệp biến trong không gian cong [2]
1.3.1. Định nghĩa
Để lấy đạo hàm của một trường vectơ, ta phải dịch chuyển song song A  x  từ
x tới x  dx trước khi thực hiện phép trừ. Khi đó ta có

lim

A  x  dx   A  x    A  x 
dxv

dx 0

 lim

A  x  dx   A  x 
dx v

dx 0



A
x

v

  A

dx 
  A v
dx



(1.24)

Đây chính là đạo hàm hiệp biến (covariant derivative) của vectơ. Thông thường
người ta ký hiệu đạo hàm hiệp biến bằng dấu chấm phẩy, để phân biệt với đạo hàm
thường ký hiệu bởi dấu chấm phẩy.
A ;  A ,v   A

(1.25)

Đạo hàm hiệp biến biến đổi như một tensor dưới phép biến đổi tọa độ tổng quát.
Tương tự như trên, ta xây dựng được đạo hàm hiệp biến cho vectơ phản biến.

B;v 

B 
 v  B,v  v B
v
x

(1.26)

1.3.2. Tính chất
a. Đối với trường vô hướng ;  ,



b. A B



;

 A; B  A B;

Như vậy quy tắc lấy đạo hàm hiệp biến như quy tắc vi phân của tích. Quy tắc này
đứng cho các tensor hạng cao hơn.
c. Liên thông Affine  
-   là đối xứng với hai chỉ số  ,

-   không phải là tensor hạng ba.
Chứng minh
Trong hệ trục tọa độ x   , chỉ số liên kết có dạng

A ; 

A
  A

x

9

(1.27)


trong đó A , A ;v là tensor biến đổi như sau:

x 
A   A
x
x x 
A ;v  
A ;
x x
Thay vào phương trình (1.27) ta có

(1.28)
(1.29)

r
x s xt
x r x  Ar
2 xr
k x

A


A


Ar
(1.30)
s ;t
r
v
x xv
x xv x x xv
xk
Sử dụng phương trình (1.24) và đơn giản những số hạng đồng nhất hai vế, ta thu được
r
x s xt r
 2 xr
k x
 
 st Ar   v Ar  v k Ar
x xv
x x
x

Vì Ar là tùy ý nên hệ số trước thành phần Ar phải bằng nhau. Nghĩa là

x r
x s xt r
2 xr



st
xk x xv
x xv
xl
xl x r xl
 k   kl ta thu được
Nhân cả hai vế với r và sử dụng hệ thức
r
k

x x
x
x
kv

kv 

xl x s xt r xl  2 x r
 st  r
x r x xv
x x xv

(1.31)

(1.32)

(1.33)

Đây là quy luật biến đổi của hệ số liên kết dưới phép biến đổi tọa độ tổng quát.
Quy luật biến đổi này chứng tỏ hệ số liên kết không phải tensor hạng ba. Điều này có
nghĩa là trong một hệ tọa độ nào đó, hệ số liên kết bằng không nhưng khi chuyển sang
hệ tọa độ khác thì các hệ số liên kết có thể khác không.
1.4. Phƣơng trình trắc địa (geodesic equation) [2]
Phương trình trắc địa ( phương trình quỹ đạo) là phương trình mô tả dịch chuyển
song song của một vectơ pháp tuyến trên quỹ đạo chuyển động của một hạt.
Dạng của phương trình
v
xv  
x x   0
v
với 


(1.34)

1
 g ,  g ,  g ,  là liên thông Affine kết nối hai điểm trong không
2

gian
1.5. Dạng của S trong không gian cong để bất biến với phép biến đổi tổng quát [4]

x   x  x v  
dx  dx 

xr v
x
x v

x 4 v
d x  J 1d 4 x
v
x

 d 4 x  Jd 4 x

10


g v  g  v  J 2 g v

det g v

det g v  J 2 det g v  J 
 d 4x 

det g v
det g v

d 4 x 

det g v

 det g v
 det g v

d 4 x

  det g v d 4 x   det g  v d 4 x
 S   d 4x  g L
với g  det g   g  là tensor hiệp biến hạng hai
1.6. Tensor metric. Tensor cong Riemann và mối liên hệ giữa chúng [2]
1.6.1. Tensor metric
 Định nghĩa
- Trong không gian phẳng, khoảng bất biến giữa hai sự kiện được xác định bởi:
2

ds 2  dt 2  d x  v dx  dxv

(1.36)

với v  Diag 1, 1, 1, 1 là một tensor metric trong không gian phẳng.
(1.35)
- Trong không gian cong, metric   v được thay thế bằng yếu tố g v và khoảng
cách không – thời gian ds 2 giữa hai điểm cách nhau bởi dịch chuyển dx 
ds 2  dt 2   dr 2  r 2 d 2  r 2 sin 2  .d 2   g v dx  dx v

(1.37)

bất biến g v   1, 1, r 2 , r 2 sin 2  
 Quy ước
- Thành phần thời gian là dương  g00  0 
- Thành phần không gian là âm  g kk  0 

 0

ds   0
 0

2

 Tính chất
- Tensor metric là đối xứng: g v  gv
- Tensor g v là tensor hiệp biến hạng hai
Chứng minh: Dựa vào tính bất biến của ds 2

11

(1.38)


ds 2  ds2  g v dx dxv
 g v dx  dx v  g v dx dxv

x  xv 
 g v dx dx  g v  dx
dx (lấy vi phân theo x và xv )

x
x


 g v 

v

x x 
g
x xv

- Nghịch đảo của tensor metric g v là tensor metric g v thỏa mãn
g v g v   v

(1.39)

- Tensor metric và dùng để hạ bậc chỉ số
g v gv  

(1.40)

dx  g  dx

(1.41)

A  g  A

(1.42)

A  g  A

(1.43)

1.6.2. Tensor cong Riemann

 Định nghĩa

- Tensor cong Riemann được định nghĩa dưới dạng







R
v    ,v    v ,     v     

(1.44)

 Ý nghĩa
- Dưới tác dụng của phép dịch chuyển song song một vectơ, không gian phẳng và

không gian cong thu được hai kết quả không trùng nhau, sai khác một lượng R
v A ,

chính độ cong của không gian tạo ra sự khác biệt này.

- Tensor cong R
v đặc trưng cho độ cong của không gian.



- Trong không gian phẳng R
v  0 và R v  0 trong không – thời gian cong. Vì

nếu g v là hằng số thì ký hiệu Christofell bằng không ở mọi nơi, nếu g v  v thì
tensor mitrix sẽ là   v ở mọi nơi. Do vậy sự tồn tại trường hấp dẫn chỉ qua sự khác

không của tensor cong Riemann R
v  0.

 Tính chất
- Tính phản xứng

(1.45)

Rv   Rv

12


- Tính chất hoán vị vòng
Rv  R v  R v  0

(1.46)

- Tính chất đối xứng và phản đối xứng
Rv   R v

(1.47)

Rv  Rv

(1.48)

1.6.3. Tensor Ricci

Co chỉ số đầu với chỉ số cuối của tensor cong Riemann R
v được tensor hạng

hai, gọi là tensor Ricci đối xứng theo  ,  :

R
v  R  R

(1.49)

1.6.4. Độ cong vô hướng

R  R  R

(1.50)

1
và Gv  Rv   v R được gọi là tensor Einstein
2

1.6.5. Mối liên hệ giữa tensor metric và hình học Riemann

- Hình học Riemann là hình học mô tả không gian cong thỏa mãn tính chất: khi
khảo sát vùng không gian là nhỏ thì một cách gần đúng có thể coi vùng không gian đó
là phẳng.

- Metric g v mô tả tính chất hấp dẫn của hệ quy chiếu, để phù hợp với tính chất

của hình học Riemann (khảo sát trong một khoảng không gian nhỏ g v  v : hình
học phẳng) thì đạo hàm hiệp biến của metric g v; phải bằng không. Từ điều kiện đó
ta có

g v
x



gv
x



g 
x

v

 g   g   v

(1.51)

 g v  gv 

(1.52)

 g   g  v

(1.53)

Cộng (1.52) với (1.53) rồi trừ đi (1.51) ta được

g v
x





gv
x





g 
x

13

v

 2 g v

(1.54)


Hay v 

1 
g  g  ,v  gv ,  g v , 
2

(1.55)

Đây chính là mối liên hệ giữa tensor metric và hình học Riemann.
1.7. Phƣơng trình Einstein.
Để xem sự phân bố vật chất ảnh hưởng đến hình học không gian hay hình học
không gian quyết định đến nội dung vật lý? Einstein đi tìm mối quan hệ đó như sau:
Trong thuyết tương đối hẹp, khi có Lagrangian bất biến L( x) thì tác dụng được
định nghĩa bởi: S   d 4 xL( x) cũng bất biến.
Trong lý thuyết tương đối rộng thì không vậy. Để xây dựng tác dụng bất biến thay
vì d 4 ( x) ta phải tìm phần tử bất biến tương ứng.
Từ quy luật biến đổi của tensor mitric g v ( x)

x x 
g v ( x)  
g ( x)
x xv

(1.56)

Ta có thể suy ra quy luật của biến đổi định thức

g 00
g
g  det( g  )  10
g 20

g30

g 01
g11
g 21
g31

g 02
g12
g 22
g32

g 03
g13
g 23
g33

(1.57)

Kí hiệu: ( g ) là ma trận với phần tử ở hàng  , cột v là g  ( x)

  xv 
 x 
   là ma trận với phần tử ở hàng  , cột v là   
x 
x 
Ta viết (1.56) thành

x
x

 g ( x)       g ( x)    
x 
x 

(1.58)

 x 
g   J 2 g với J  det 

  x 

(1.59)

T

Và từ đây suy ra

Mặt khác:
d 4 x  Jd 4 x

(1.60)

 gd 4 x   gd 4 x

(1.61)

Từ (1.59) và (1.60) ta thấy rằng

14

Vậy trong lý thuyết tương đối rộng, từ Lagrangian bất biến ta có thể lập tác dụng
bất biến dạng:
S   d 4 x  g L( x )

(1.62)

Tác dụng mô tả hệ trường vật chất và trường hấp dẫn có dạng như sau:
S   d 4 x  g  R  L  , ,    S g  S

(1.63)

với S g   d 4 x  g R mô tả bản thân trường hấp dẫn.
S   d 4 x  g L  , ,  mô tả trường vật chất tương tác với trường hấp dẫn.

Phương trình chuyển động thu được từ nguyên lý tác dụng tối thiểu đối với tác
dụng (1.63) là

S  S g  S  0

(1.64)

Ta lần lượt tính S g và S
 Tính S g

S g có thể trình bày dưới dạng
S g   d 4 x  g R

  G  gd x  
4





 g i
x

i

d x
4

(1.65)

Ở đây G chỉ chứa các tensor g v và các dẫn suất đầu tiên của nó. Tích phân thứ
hai có hình thức phân kỳ của một đại lượng nhất định  i .
Ta có
S g    R  gd 4 x    G  gd 4 x

(1.66)

Phía bên trái là một vô hướng, do đó các biểu thức bên phải cũng là một vô hướng.
Đại lượng G đáp ứng các điều kiện trên nên ta có thể viết:

S g  

c3
  R  gd 4 x
16 k

c3

  G  gd 4 x
16 k
trong đó k  6,67 1011

N .m2
là hằng số hấp dẫn.
kg 2

15

(1.67)


Đặt   R  gd 4 x  S g
Ta xét
S g    R  gd 4 ( x)
   g v Rv  gd 4 ( x)





  d 4x 

 g g v Rv   g g v Rv   g g v Rv

Tính các biến phân của vế phải. Ta có




g









 g v


Để tính

g

 g



(1.68)

v

1

g
 g v
2  g  g v

(1.69)

g
ta làm như sau, viết g dưới dạng
 g v
g

Từ đó suy ra dg 

1
. v .  .g  .gv .g  .g 
4!

1
. v . .dg  .gv .g .g 
3!

(1.70)
(1.71)

Ta có dg   dg .g  .g

(1.72)

 v .g  .gv .g .g    .g

(1.73)

 .  3!

(1.74)

Thay (1.72), (1.73), (1.74) vào (1.71) ta được
(1.75)

dg  dg.g  .dg
Từ đây suy ra

g
 g .g  v
 g v

Kết quả là

 

g

   2 1 g gg

 g v

v



1
.g.g v g v
2 g



 g v
.g . g v
2

16

(1.76)


Ta tìm được

 S g    R  gd 4 x
 1

  d 4 x  g   g v .R  Rv   g v   g v Rv  gd 4 x
 2


(1.77)

Để tính  Rv ta dùng hệ quy chiếu quán tính định xứ, tại đó liên thông Affine:
v  0 . Từ đó suy ra:

 Rv   Rv


    v    


 v   

   v   


(1.78)



  g v Rv  gd 4 x   Rv d 4 x  g g v v
  


(1.79)

Vì trong hệ quy chiếu quán tính
(1.80)


 g v    g v  
g  v   g   0

Do đó vế phải của (1.79) có thể đưa g v vào trong  và viết

d

4






x  g g v . Rv    d 4 x  g v  g v
    g vv 

(1.81)

Tiếp tục biến đổi vế trái

Xét v F v với F v  g v
hoặc bằng g vv

Ta có v F v   v F v  v F 
1
v  .g v   v g    g v   g 
2
1
 .g v   g
2



1 g
.
  g v

2 g  gv

1
    ln g 
2
1
   ln   g 
2

17

(1.82)




1
 g
g

1
   g .F 
g

nên v F v 

(1.83)

Ta có  d 4 x  g .v F v   d 4 x v





g F v  0 .

 1

Do đó S g     g v .R  Rv  g v  gd 4 x
 2


Như vậy S g  

(1.84)

(1.85)

c3  1
 v
gd 4x
  g v .R  Rv  g

16 k  2


(1.86)

1
Tv g v  gd 4 x


2c

(1.87)

 Tính S
S 

với T v là tensor năng – xung lượng của vật chất.
Thay (1.86), (1.87) vào (1.64) ta được



c3  1
1
 v
 gd 4 x   Tv g v  gd 4 x  0
  g v .R  Rv  g

16 k  2
2c


c3 
1
8 k
 v

 gd 4 x  0
 Rv  g v .R  4 Tv  g


16 k 
2
c

1
8 k
 Rv  g v .R  4 Tv  0
2
c
1
8 k
hay Rv  g v .R  4 Tv
2
c

(1.88)
(1.89)

Đây là những phương trình cơ bản của thuyết tương đối tổng quát. Chúng được
gọi là phƣơng trình Einstein. Do đó các phương trình của trường này có thể được
viết dưới dạng:
Rv 

8 k 
1

T  Rg v 
4  v
c 

2


(1.91)

Trong chân không Tv  0 dẫn đến Rv  0
Như vậy phương trình trường Einstein (1916) là
1
8 k
G v  Rv  Rg v  4 Tv
2
c

trong đó Gv : tensor Einstein

18

(1.92)


Rv : tensor Ricci
R : độ cong vô hướng

T v : tensor năng – xung lượng
Các tensor Gv và Rv là những hàm số của g v - mô tả hình học của không thời
gian. Bên trái ta có không gian cong, còn bên phải là sự phân bố vật chất và năng
lượng.
Các kết luận này dẫn đến kết luận tính chất hình học của không thời gian được
quyết định bởi trường vật chất.
Quy ước lấy các hằng số c  1,

 1 , nhưng vẫn giữ nguyên hằng số Newton thì

phương trình Einstein có dạng:
1
Rv  Rg v  8 GTv
2

(1.93)

(thay kí hiệu hằng số hấp dẫn k bởi kí hiệu G ).
Sau này Einstein đã sửa đổi phương trình của mình bằng việc đưa thêm vào hằng
số vũ trụ  bằng cách thay Lg  R  2 (không còn dạng Lg  R ) nên phương trình
dưới hình thức như sau:
1
Rv  Rg v  g v  8 GTv
2

(1.94)

1.8. Kết luận chƣơng I.
Thuyết tương đối tổng quát được đặc trưng bởi không gian cong mà trường hấp
dẫn không đồng đều. Với việc nghiên cứu trường hấp dẫn trong không gian cong đã
tìm ra

- Các quy luật biến đổi, phép biến đổi tọa độ tổng quát.
- Đưa vào được một số khái niệm: tensor metric, tensor độ cong Riemann, phép
dịch chuyển song song.

- Phương trình trắc địa mô tả quỹ đạo chuyển động của một hạt.

- Phương trình Einstein.

19


CHƢƠNG II: HẰNG SỐ VŨ TRỤ
2.1. Lịch sử xuất hiện hằng số vũ trụ  [1, 7, 9]
Albert Einstein là người đầu tiên đề xuất hằng số vũ trụ và được ký hiệu bằng
chữ cái Hy Lạp “lamda” () , như là một sửa chữa toán học lý thuyết của thuyết tương
đối. Hằng số vũ trụ lần đầu tiên xuất hiện trong một bài báo năm 1917 của Einstein có
tựa đề là “Xem xét Vũ trụ trong lý thuyết tương đối tổng quát” (Einstein 1917). Hằng
số vũ trụ được xem như một lực hấp dẫn để giữ cho vũ trụ ở trạng thái cân bằng tĩnh.
Trong vũ trụ học hiện đại, nó là ứng cử viên hàng đầu cho năng lượng tối, gây ra gia
tốc của sự mở rộng vũ trụ.
Trong bài báo Einstein đã đề cập với hình thức luận đơn giản của nó, thuyết
tương đối rộng dự đoán rằng vũ trụ phải mở rộng hoặc co lại. Einstein cho rằng vũ trụ
là tĩnh, vì vậy ông thêm thuật ngữ mới này để ngăn chặn việc mở rộng [9]. Vào thời
điểm đó, các quan sát vũ trụ của con người về các ngôi sao trong thiên hà của chúng ta
bị hạn chế, do đó quan sát trong thời kỳ này bằng chứng biện minh thực sự cho giả
định hằng số vũ trụ là tĩnh.
Vào các năm 1922 và 1924, nhà toán học và khí tượng người Nga Alexandre
Friedmann, khi giải các phương trình lúc đầu (1916) của Einstein (không có hằng số
vũ trụ học) đã tìm ra những nghiệm mô tả những vũ trụ biến thiên theo thời gian. Theo
một nghiệm thì vũ trụ sẽ nở ra mãi mãi (vũ trụ mở) còn theo nghiệm kia thì vũ trụ nở
ra nhưng đến một lúc nào đó sẽ co lại (vũ trụ đóng).
Năm 1927, Georges Lemaitre đã giải các phương trình sau (1917) của Einstein
(có hằng số vũ trụ học), cũng tìm ra những nghiệm mô tả một vũ trụ biến động và nói
riêng thu được cả các kết quả của Friedmann mà ông không biết.
Rồi năm 1929, nhà thiên văn người Mỹ Edwin Hubble đã khám phá ra một hiện
tượng thiên văn đặc biệt: Các vạch trong quang phổ của ánh sáng phát ra từ các thiên

hà ở xa bị dịch chuyển về phía các vạch đỏ so với các vạch trong quang phổ của một
nguồn ánh sáng trên Trái Đất. Sự dịch chuyển này được giải thích theo hiệu ứng
Doppler (tần số của một nguồn dao động thay đổi khi có nguồn chuyển động, tăng lên
nếu nguồn chạy x người quan sát và giảm đi trong trường hợp ngược lại) , chứng tỏ
rằng các thiên hà đang chạy xa nhau ra với tốc độ tỉ lệ với khoảng cách giữa chúng và
như vậy có nghĩa là vũ trụ của chúng ta đang nở ra, điều mà Friedmann lần đầu tiên đã

20


tìm ra bằng tính toán.
Sau các khám phá lý thuyết và bằng chứng thực nghiệm thì Einstein đã bác bỏ
hằng số vũ trụ  và thú nhận rằng: “Đây là sai lầm ngớ ngẩn nhất trong đời tôi”
Các phương trình Einstein ban đầu là
1
R  Rg   8 GT
2

(2.1)

với quy ước lấy các hằng số c  1,  1, nhưng vẫn giữ nguyên hằng số Newton G [8].
 Rv : tensor độ cong Ricci
 R : độ cong vô hướng (vô hướng Ricci)
 g  : tensor metric
 G: hằng số hấp dẫn
 T v : tensor ứng suất – năng lượng
Hằng số vũ trụ  xuất hiện trong phương trình sửa đổi của Einstein dưới hình
thức:
1
R  Rg   g   8 GT

2

(2.2)

Theo những hướng nghiên cứu khác nhau, trong vũ trụ học cũng như trong vật lý
hạt, có nhiều nhà vũ trụ học chủ trương phục hồi thuật ngữ hằng số vũ trụ trên cơ sở lý
thuyết. Lý thuyết trường hiện đại liên kết thuật ngữ này với mật độ năng lượng của
chân không. Mật độ năng lượng của chân không  vac được định nghĩa với  vac 


8 G

.Với mật độ năng lượng này có thể so sánh với các dạng năng lượng khác của vật chất
trong vũ trụ, nó sẽ đòi hỏi Vật lý mới. Chính vì vậy thuật ngữ hằng số vũ trụ có ý
nghĩa sâu sắc đối với vật lý hạt và sự hiểu biết của chúng ta về các lực cơ bản của tự
nhiên.
2.2. Mối quan hệ giữa  và năng lƣợng tối
Với kết quả quan sát vũ trụ đang giãn nở gia tốc thì đầu những năm 1990 việc
khôi phục hằng số vũ trụ là cần thiết. Đây được xem như sự hồi sinh của hằng số vũ
trụ và có vẻ như Einstein đã đúng.
Ngày nay hằng số vũ trụ cho biết rằng mô hình chuẩn của vũ trụ giãn nở lạm phát
đòi hỏi sự có mặt của một loại năng lượng của chân không lượng tử đang tràn ngập vũ
trụ của chúng ta, năng lượng tối (dark energy). Trong vũ trụ học vật lý và thiên văn

21


học, năng lượng tối là một dạng năng lượng chưa biết rõ chiếm phần lớn vũ trụ và có
khuynh hướng tăng tốc độ giãn nở của vũ trụ. Hiệu ứng của năng lượng tối: một áp
suất chân không âm không thay đổi. Dựa theo thuyết tương đối rộng ta thấy rằng áp

suất âm này có tác dụng nhưng ngược chiều với lực hấp dẫn ở thang đo khoảng cách
lớn. Chính vì vậy nó là nguyên nhân gây ra gia tốc của sự giãn nở vũ trụ. Như chúng ta
đã biết, năng lượng tối có ở mọi nơi và choán đầy vũ trụ của chúng ta. Để hiểu được
bản chất của năng lượng tối, chúng ta phải đi sâu vào vật lý lượng tử của thế giới hạ
nguyên tử. Khi ở thang vi mô, không gian được coi là trống rỗng hay chân không hoàn
hảo lại hoàn toàn trống rỗng mà được choán đầy bởi một trường gọi là Higgs. Chính
trường này đã làm cho các quark và lepton có khối lượng. Trường Higgs làm chậm
chuyển động của hạt, cho chúng khối lượng và giữ cho cấu trúc của nguyên tử ổn định.
Nếu không có trường Higgs, electron có thể chuyển động với tốc độ ánh sáng, nguyên
tử sẽ bị phá vỡ cấu trúc và phân rã ngay lập tức. Năng lượng chân không với các hạt
lượng tử trong chân không hoàn hảo của thế giới vi mô có thể là nguồn gốc của năng
lượng tối. Việc khám phá ra lý thuyết đối xứng, cho phép hiểu rõ mối liên hệ giữa
năng lượng tối và trường Higgs. Sự tồn tại của các boson Higgs sẽ đóng một vai trò
quan trọng về thành phần năng lượng tối. Hằng số vũ trụ sẽ đóng vai trò gì về lực đẩy
bí mật của năng lượng tối gia tốc sự giãn nở của vũ trụ? Các phép đo về cường độ và
sự thăng giáng của phông bức xạ nền cùng với các phép đo khác về sự phân bố các
đám thiên hà, sao siêu mới đã cho thấy rằng, năng lượng tối có mối liên hệ nhất định
với hằng số vũ trụ. Chẳng hạn, có những siêu sao mới ở rất xa, chúng có thể phát ra
cùng một lượng năng lượng tại các pha cực đại sáng. Nếu đo được độ sáng của những
sao siêu mới này chúng ta có thể biết được khoảng cách tới chúng, chúng được gọi là
những siêu sao mới loại Ia. Từ khoảng cách và tốc độ của sao siêu mới này chúng ta
biết được vũ trụ đang giãn nở theo thời gian như thế nào và tốc độ giãn nở này có
tương thích với lực đẩy gây ra bởi năng lượng tối không? Sự thay đổi tốc độ giãn nở
được xác định bằng việc so sánh sự dịch chuyển đỏ của những thiên hà ở xa với độ
sáng biểu kiến của những siêu sao mới loại Ia tìm thấy trong những thiên hà đó. Rồi
bằng việc đo tốc độ và tương tác giữa các đám thiên hà trong vũ trụ cho phép chúng ta
xác định được tổng khối lượng của chúng. Các phép đo cho thấy, khối lượng tổng
cộng lớn hơn rất nhiều khối lượng nhìn thấy do các sao và các đám khí nóng phát xạ
tia X...trong các đám thiên hà. Việc coi mật độ của các đám thiên hà như một hệ thức

22