Bài toán apollonius và một số vấn đề liên quan

KHOA TOÁN - LÝ - TIN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

BÀI TOÁN APOLLONIUS
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Nhóm ngành: Khoa học tự nhiên

Sơn La, 2018


KHOA TOÁN - LÝ - TIN

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

BÀI TOÁN APOLLONIUS
VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

Nhóm ngành: Khoa học tự nhiên

Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thùy Dương
Nam, Nữ: Nữ
Dân tộc: Kinh
Lớp:K56 – ĐHSP ToánNăm thứ: 3
Số năm đào tạo: 4
Ngành học: SP Toán.
Người hướng dẫn khoa học: T.S Mai Anh Đức

Sơn La, 2018


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình thực hiện đề tài nhóm chúng tôi đã nhận được sự giúp đỡ tận tình
của các tổ chức và cá nhân. Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới:
Phòng Đào tạo Đại học, Ban Chủ nhiệm khoa Toán – Lý – Tin, đã tạo điều kiện
cho nhóm chúng tôi thực hiện đề tài.
TS. Mai Anh Đức, người hướng dẫn và giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình
thực hiện đề tài.
Cô Nguyễn Thị Hương Lan chủ nhiệm lớp K56 ĐHSP Toán, các thầy cô trong tổ
bộ môn Toán, cũng như các thầy cô trong thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều
kiện cho chúng tôi thực hiện đề tài.
Trong quá trình học tập và thực hiện đề tài không tránh khỏi thiếu sót, rất mong
các thầy cô góp ý, bổ sung cho chúng tôi để đề tài được hoàn thiện hơn.
Chúng tôi xin chân thành cảm ơn!


MỤC LỤC
PHẦN MỞ ĐẦU ............................................................................................................. 1
1. Lý do lựa chọn đề tài .......................................................................................... 1
2. Lịch sử nghiên cứu.............................................................................................. 2
3. Đối tượng nghiên cứu ......................................................................................... 2
4. Mục đích nghiên cứu .......................................................................................... 3
5. Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................ 3
6. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 3
7. Phương pháp nghiên cứu .................................................................................... 3
8. Cấu trúc của đề tài .............................................................................................. 3
Chương 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN DỰNG HÌNH ...................................... 4
1. Bài toán dựng hình. ............................................................................................. 4

1.1. Bài toán dựng hình được hiểu như thế nào? .................................................... 4
1.2. Các bước giải bài toán dựng hình. ................................................................... 5
2. Các tiên đề của hình học dựng hình .................................................................. 11
2.1. Các tiên đề chung ........................................................................................... 11
2.2. Các tiên đề về thước thẳng và compa trong mặt phẳng ................................. 11
3. Bài toán dựng hình bằng thước thẳng và compa .............................................. 11
4. Các phương pháp dựng hình ............................................................................. 12
4.1. Dựng hình bằng cách sử dụng các bài toán dựng hình cơ bản ...................... 12
4.2. Dựng hình bằng phương pháp đại số ............................................................. 28
4.3. Phương pháp sử dụng các phép biến hình trong mặt phẳng .......................... 34
4.4. Phương pháp quỹ tích tương giao .................................................................. 42
4.5. Các phương pháp khác................................................................................... 46
Chương 2. BÀI TOÁN APOLLONIUS ........................................................................ 47
1. Vài nét về lịch sử bài toán Apollonius .............................................................. 47
2. Bài toán “Kissing coins” ................................................................................... 48
3. Tam giác Euler - Gergonne - Soddy ................................................................. 49
4. Nghiệm Eppstein............................................................................................... 53
5. Nghiệm Gergonne ............................................................................................. 55
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ....................................................................................... 59
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................


KHOA TOÁN - LÝ - TIN
Lớp:
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Bài toán Apollonius và một số vấn đề liên quan
- Sinh viên thực hiện:
1) Nguyễn Thị Thùy Dương
2) Quàng Mai Anh

3) Đinh Thu Hạnh
4) Phạm Thu Hương
- Lớp: K56 – ĐHSP Toán Năm thứ: 3 Số năm đào tạo: 4
- Người hướng dẫn khoa học: T.S Mai Anh Đức
2. Mục tiêu đề tài:
- Tìm hiểu, trình bày chi tiết bài toán Apollonius và lời giải của nó.
- Tìm hiểu, trình bày chi tiết một số trường hợp đặc biệt của bài toán Apollonius
và lời giải của các bài toán này.
- Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến bài toán Apollonius.
3. Tính mới và sáng tạo:
- Trình bày một số phương pháp để giải bài toán dựng hình.
- Hệ thống các bài toán dựng hình và ví dụ minh họa cụ thể.
- Bước đầu nghiên cứu về bài toán Apollonius và trình bày được một số vấn đề
có liên quan đến bài toán đó.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Trình bày được một số bài toán dựng hình:
+ Nội dung bài toán dựng hình
+ Các bước giải
+ Các phương pháp dựng hình
- Nghiên cứu, tìm hiểu về bài toán Apollonius và một số vấn đề liên quan.
5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội,giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng
và khả năng áp dụng của đề tài:
Việc nghiên cứu, tìm hiểu, trình bày về một số phương pháp dựng hình và bài


toán Apollonius giúp SV có hiểu biết sâu sắc. Trên cơ sở đó SV biết cách tìm hiểu và
nghiên cứu các bài toán cổ điển về hình học khác, góp phần nâng cao kỹ năng chuyên
môn áp dụng vào giảng dạy sau này.
6.Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu của đề tài (ghi rõ tên
tạp chí nếu có) hoặc nhận xét, đánh giá của cơ sở đã áp dụng các kết quả nghiên cứu

(nếu có):
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
Ngày

tháng

năm 201..

Sinh viên chịu trách nhiệm chính

Nhận xét của ngƣời hƣớng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên
thực hiện đề tài (phần này do người hướng dẫn ghi):
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
...................................................................................................................................
Ngày

tháng

năm 201..

Người hướng dẫn


KHOA TOÁN - LÝ - TIN
Lớp:…………………………..

THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN
CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I. SƠ LƢỢC VỀ SINH VIÊN:
Họ và tên: Nguyễn Thị Thùy Dương
Sinh ngày: 04 tháng 07 năm 1997
Nơi sinh: Mộc Châu – Sơn La
Lớp: K56- ĐHSP Toán

Khóa: K56

Địa chỉ liên hệ: TTNT Mộc Châu- Huyện Mộc Châu- Tỉnh Sơn La.
Điện thoại: 01657746145
Email:
II. QUÁ TRÌNH HỌC TẬP:
* Năm thứ 1:
Ngành học: SP Toán

Khoa: Toán- Lý- Tin.

Kết quả xếp loại học tập:
+ Điểm TB học kỳ I: 3.00
+ Điểm TB học kỳ II: 2.95
+ Điểm TB tích lũy ( hệ 4): 2.98
+ Phân loại ĐTBRL học kỳ: Tốt
Sơ lược thành tích:
Giải Khuyến Khích Olympic Giải Tích cấp khoa.
* Năm thứ 2:
Ngành học: SP Toán

Khoa: Toán- Lý- Tin.

Kết quả xếp loại học tập:
+ Điểm TB học kỳ I: 3.67
+ Điểm TB học kỳ II: 4.00
+ Điểm TB tích lũy ( hệ 4): 3.40
+ Phân loại ĐTBRL học kỳ: Xuất sắc
Sơ lược thành tích:


* Năm thứ 3:
Ngành học: SP Toán

Khoa: Toán- Lý- Tin.

Kết quả xếp loại học tập:
+ Điểm TB học kỳ I: 3.53
Sơ lược thành tích:
Giải Nhất SVYT bộ môn Toán cấp khoa.
Sinh viên 5 tốt cấp trường.
Ngày

tháng

năm 201

Xác nhận của cố vấn học tập

Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài

PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do lựa chọn đề tài
Trong giai đoạn hiện nay, đất nước đang trong thời kỳ hội nhập, đòi hỏi toàn Đảng,
toàn dân phải biết nâng cao kiến thức góp phần thúc đẩy sự nghiệp công nghiệp hóa– hiện
đại hóa đất nước. Trong đó, nhà giáo là nòng cốt chiếm vai trò quan trọng trong nghành
giáo dục.
Chính vì vậy những năm gần đây, ngành giáo dục đã có những bước đổi mới toàn
diện về phương pháp dạy học trong nhà trường để góp phần nâng cao chất lượng học tập
của học sinh.
Trong các môn học ở trường THPT, môn toán có vị trí đặc biệt quan trọng vì toán
học là công cụ của nhiều môn học khác. Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát
triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ, rèn luyện cho học sinh khả năng tư duy, tính chính
xác hợp logic. Qua đó, có tác dụng rèn luyện và phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh.
Trong các phân môn của toán học thì hình học là một trong những phân môn có lịch
sử rất lâu đời. Sau quá trình phát triển lâu dài, hình học đã có được một hệ thống kiến
thức đồ sộ, đồng thời có được một khối lượng hết sức phong phú về thuật giải, có lẽ
không ở đâu lại đòi hỏi nhiều kỹ năng trong quá trình giải bài toán như bài toán hình học,
đặc biệt là trong việc giải các bài toán dựng hình.
Ở trường phổ thông, việc giải các bài toán dựng hình giúp phát triển tư duy logic và
tính tích cực của học sinh nhiều hơn việc giải các bài toán về tính toán hay các bài toán
khác. “Không có bài toán nào làm phát triển trong học sinh tính nghiêm túc và đúng đắn
trong tư duy, đồng thời lại có sức hấp dẫn lớn đối với họ như các bài toán dựng hình”
(Theo I.U.Petecsen. “Phương pháp và lý thuyết giải toán dựng hình hình học”).
Đa số các bài toán về tính toán đòi hỏi không nhiều các phép vẽ phụ, thường được
dùng để củng cố các kiến thức thiết thực: các định lý, các tính chất của các hình,... muốn
phát triển tư duy logic cho học sinh một cách tốt nhất thì nên cho họ giải các bài toán
dựng hình. Sự có mặt của phần phân tích, chứng minh và biện luận trong quá trình giải đa
số các bài toán dựng hình chứng tỏ rằng, các bài toán đó là nguồn gốc hình thành trong

1


học sinh những thói quen tư duy logic. Bởi lẽ, khi giải toán các bài toán chứng minh hình
học, học sinh thường có sẵn hình vẽ cụ thể, xác định, còn khi giải toán dựng hình, học
sinh phải tự tạo ra hình vẽ cần thiết, trong đó phải xét sự liên quan giữa các yếu tố cho
trước không tĩnh tại, mà chịu những biến đổi khác nhau trong quá trình giải. Khi giải toán
dựng hình, ta phát hiện mối liên hệ tương hỗ giữa các yếu tố cho trước và thấy được sự
thay đổi của một số yếu tố này có ảnh hưởng tới các yếu tố khác và toàn bộ hình như thế
nào. Do đó, ta đã dạy cho học sinh phép tư duy biện chứng.
Ngoài ra, các bài toán dựng hình góp phần củng cố kiến thức đã học vì khi giải mỗi
bài ấy hầu như phải ứng dụng kiến thức của nhiều chương khác nhau trong sách hình học.
Điều đó rất phù hợp với quan điểm dạy học “Tích cực hóa hoạt động của người học” hiện
nay.
Với những lý do nêu trên chúng tôi quyết định lựa chọn đề tài của mình là: “Bài
toán Apollonius và một số vấn đề liên quan”.
2. Lịch sử nghiên cứu
Bài toán Apollonius được mệnh danh là "bài toán nổi tiếng mọi thời đại", đó là bài
toán yêu cầu dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước. Có đến tám
đường tròn có thể dựng được thỏa mãn yêu cầu này. Tổng quát bài toán này là bài toán:
Dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đối tượng (các điểm, đường thẳng, đường tròn)
cho trước.
Một trong những trường hợp đặc biệt của bài toán này là bài toán dựng đường tròn
nội tiếp hay ngoại tiếp một tam giác cho trước. Các đường tròn này rất quen thuộc trong
hình học phổ thông.
Trải qua hơn 22 thế kỷ, đã có rất nhiều nhà toán học nổi tiếng trên thế giới nghiên
cứu bài toán và đưa ra lời giải như: Euclid, Papus, Euler… J. D. Gergonne (1816),
Frederick Soddy (1936), David Eppstein (2001) và gần đây nhất là David Gisch (2004).
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Bài toán Apollonius; Bài toán tổng quát của bài toán Apollonius; các trường hợp đặc

biệt và một số vấn đề liên quan.
2


4. Mục đích nghiên cứu
Trình bày đầy đủ và có hệ thống lời giải của bài bài toán Apollonius, lời giải bài
toán tổng quát của bài toán Apollonius.
Góp phần rèn luyện và phát triển kỹ năng giải các bài toán dựng hình cho nhóm tác
giả trong dạy học ở trường phổ thông.
5. Phạm vi nghiên cứu
Lời giải bài toán Apollonius; lời giải bài toán tổng quát của bài toán Apollonius và
một số vấn đề liên quan.
6. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận về bài toán dựng hình.
- Tìm hiểu lịch sử bài toán Apollonius.
- Nghiên cứu lời giải bài toán Apollonius.
- Nghiên cứu lời giải bài toán tổng quát của bài toán Apollonius.
- Nghiên cứu lời giải một số trường hợp đặc biệt của bài toán Apollonius.
- Sưu tầm, nghiên cứu một số vấn đề liên quan.
7. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu.
- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết.
- Phương pháp giả thuyết.
8. Cấu trúc của đề tài
Đề tài được nhóm tác giả trình bày thành hai chương chính.
Chương 1. Một số vấn đề về bài toán dựng hình.
Chương 2. Bài toán Apollonius.
Ngoài hai chương chính, đề tài còn có các mục như: Mở đầu, Kết luận và kiến nghị,
Tài liệu tham khảo...
3

Chƣơng 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
1. Bài toán dựng hình.
1.1. Bài toán dựng hình đƣợc hiểu nhƣ thế nào?
Chúng ta đã biết muốn dựng một hình bất kỳ, điển hình như dựng một ngũ giác đều
ta cần xác định độ lớn của nó. Người đã học về hình học dễ nhận ra hình ngũ giác đều bao
gồm 5 đỉnh nằm trên một đường tròn.
Vậy để dựng ngũ giác đều bất kì ta dựng đường tròn đường kính bất kỳ tâm O,
đường kính AC. Qua O dựng đường trung trực BD của AC. Dựng trung điểm M của AO,
sau đó dựng:
Đường tròn tâm M bán kính MB ta có  M;MB  AC = N.
Dựng đường tròn tâm B bán kính BN ta có  B;BN   (O;OA) = E;F.
Dựng đường tròn tâm F bán kính FB ta có  F;FB  (O;OA) = B;I.
Dựng đường tròn tâm E bán kính EB ta có  E;EB  (O;OA) = B;H.
Nối B, F, I, H, E ta được một ngũ giác đều.
Ở trên dựa vào những điều kiện đã biết, dùng phương pháp hình học hợp lý, chính
xác dựng một hình cần thiết đó chính là lời giải của bài toán dựng hình.
Cho bộ dụng cụ dựng hình B đặc trưng bởi hệ các phép dựng hình cơ bản  α  .
Dựng hình H thỏa mãn các điều kiện T nào đó đã cho được hiểu là thực hiện liệt kê dãy
hữu hạn các phép dựng cơ bản  α  cần thực hiện để nhận được hình H.
Bài toán dựng hình là bài toán yêu cầu dựng hình H thỏa mãn điều kiện T bằng bộ
dụng cụ B.
Nếu trong bài toán không cho bộ dụng cụ B thì ta hiểu là bài toán dựng hình bằng
thước thẳng và compa.
Việc giải một bài toán dựng hình là tìm tất cả các nghiệm hình (các hình H thỏa
mãn điều kiện của bài toán) bằng một số hữu hạn các phép dựng cơ bản, tức là chỉ ra một
4

dãy hữu hạn các phép dựng cơ bản sao cho sau khi thực hiện các phép dựng đó thì ta thu
được hình cần dựng. Do đó một bài toán dựng hình có thể có một nghiệm, vô số nghiệm
hoặc vô nghiệm. Giải một bài toán dựng hình là chỉ ra đúng tập hợp nghiệm của bài toán
đó.
Xét về mặt toán học, để giải một bài toán, ta chỉ cần:
Xác lập một số hữu hạn trường hợp bao hàm tất cả những khả năng có thể xảy ra đối
với việc lựa chọn những dữ kiện.
Đối với mỗi trường hợp, trả lời câu hỏi: Bài toán có nghiệm hay không và nếu có thì
có bao nhiêu nghiệm?
Chú ý:
Trường hợp bài toán chỉ yêu cầu về độ lớn, thì tất cả các hình dựng được bằng nhau,
nhưng có vị trí khác nhau được xem là một nghiệm.
Bài toán dựng hình được xem là giải xong nếu:
Đã dựng được các hình không bằng nhau : H1 ,H2 ,...,H n thỏa mãn điều kiện của bài
toán.
Chứng tỏ rằng mọi hình thỏa mãn yêu cầu của bài toán đều bằng một trong các hình

Hi (i  1,2,...,n).
Đối với mỗi trường hợp mà bài toán có nghiệm, nêu ra phương pháp dựng từng
nghiệm có thể có được (bằng những dụng cụ đã cho) hay xác lập rằng bài toán không thể
dựng được với những dụng cụ đó.
Nhưng trong thực tế, khi giải một bài toán dựng hình tương đối phức tạp vì nảy
sinh vấn đề cần lập luận thế nào hay dựa vào căn cứ gì để tìm ra phương pháp giải bài
toán, để tìm được tập nghiệm của bài toán,... Việc giải quyết các vấn đề đó đòi hỏi ta phải
có một dàn ý, một sơ đồ lập luận xác định.
1.2. Các bƣớc giải bài toán dựng hình.

5

Trong các tài liệu mà tôi tìm hiểu được có rất nhiều cách chia các bước giải một bài
toán dựng hình; có tài liệu chia làm 4 bước, 5 bước hoặc 6 bước, có khi chỉ chia làm 3
bước.
Tuy nhiên việc tách ra quá nhiều bước hay gộp lại thu gọn các bước là việc làm dễ
gây ra nhầm lẫn dài dòng khó hiểu trong quá trình giải hoặc quá tóm tắt khiến người đọc
chưa nắm bắt hết việc giải bài toán dựng hình. Nên chúng tôi sử dụng quy trình giải bao
gồm 4 bước giải cơ bản của một bài toán dựng hình. Cụ thể như sau:
1.2.1. Bƣớc1: Phân tích.
Quá trình vận động của tư duy, tìm tòi cách dựng gọi là bước phân tích. Ở bước này,
ta phải phát hiện được những mối liên hệ nào đó giữa các hình đã cho và hình muốn dựng
giúp cho ta sau này dựng được hình cần tìm.
Để dựng hình H thường phân tích quy về dựng hình H1 , để dựng hình H1 lại cần
phải dựng hình H 2 ,... sau một số hữu hạn bước dẫn đến dựng hình H n , trong đó hình H n
cần dựng là một trong các bài toán dựng hình cơ bản hoặc các phép dựng hình cơ bản.
Khi phân tích chúng ta cần quan tâm các vấn đề sau:
Chúng ta giả định hình cần dựng là dựng được và phác vẽ hình đó, cố gắng làm nổi
bật các yếu tố đã cho và các yếu tố cần dựng lên hình vẽ, để lập liên hệ giữa chúng, nếu
bài toán liên quan đến vị trí giữa các yếu tố đã cho thì nên vẽ hình trong trường hợp tổng
quát nhất.
Chúng ta thường chuyển việc dựng hình về dựng các bộ phận của nó hoặc các bộ
phận phụ. Vì vậy, nhiều khi cần thiết phải vẽ thêm các yếu tố mới (điểm, đường thẳng,
đoạn thẳng, đường tròn,...) để tìm cách dựng. Định hướng việc lựa chọn các yếu tố mới
tùy thuộc vào hướng đưa về các bài toán cơ sở, các bài toán quen thuộc.
Khi phân tích đối với các bài toán cần sắp xếp vị trí các yếu tố đã cho, chúng ta
thường bắt đầu từ một trường hợp riêng nào đó. Vì vậy nên lựa chọn cách dựng tổng quát
nhất, bao trùm được càng nhiều trường hợp riêng càng tốt.
Chú ý:
6

Các cách phân tích khác nhau dẫn đến các cách dựng khác nhau.
Ví dụ 1: Dựng tam giác ABC biết BC = a, đường cao AH = h, trung tuyến
AM  m.

Lời giải:

Giả sử ta dựng được ΔABC có cạnh BC = a, đường cao AH = h, trung tuyến
AM  m.

AH là đường cao của ABC  H  BC. Để dựng được ABC ta chỉ cần dựng
được điểm A. Vì AM  m; AH  h nên ta có: A  p  (M;m) với p là đường thẳng song
song với BC và cách BC một khoảng bằng h. Mặt khác AM là trung tuyến của ABC
nên suy ra M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Từ đó ta có cách dựng.
Ví dụ 2: Dựng đường tròn nội tiếp ABC cho trước.
Lời giải

7


Giả sử dựng được đường tròn nội tiếp ABC. Để dựng được đường tròn trên ta cần
xác định được vị trí tâm đường tròn và độ lớn của bán kính. Giả sử O là tâm đường tròn
nội tiếp và OM là bán kính đi qua một trong các tiếp điểm của đường tròn với các cạnh
của tam giác (chẳng hạn, tiếp điểm của đường tròn với cạnh BC). Như vậy đoạn thẳng
OM vuông góc với đường thẳng BC, do đó OM là khoảng cách từ tâm đường tròn

ngoại tiếp đến đường thẳng BC của tam giác. Vì tất cả các bán kính của đường tròn là
bằng nhau nên tâm đường tròn phải cách đều tất cả các cạnh của tam giác, do đó các
đường thẳng OA,OB và OC là phân giác (trong) của các góc của tam giác ABC.
1.2.2. Bƣớc 2: Dựng hình.
Bước dựng hình đòi hỏi phải chỉ ra thứ tự các phép dựng cơ bản hoặc các bài toán

dựng hình cơ bản thích ứng với bộ dụng cụ đã chọn để có hình cần dựng.
Như vậy, về nguyên tắc khi dựng hình không đòi hỏi phải vẽ hình. Tuy nhiên để
thuận tiện trong bước chứng minh và để luyện kỹ năng thực tế, chúng ta thường mô tả
trực quan bước dựng hình nhờ dụng cụ cho trước.
Ví dụ 3: Trở lại bài toán dựng hình ở ví dụ 1 ta có:
+ Dựng đoạn thẳng BC  a
+ Dựng trung điểm M của đoạn thẳng BC.
+ Dựng đường thẳng p BC và cách BC một khoảng bằng h.
8


+ Dựng đường tròn (M;m) : (M;m)  p  A.
+ Nối A với M, nối A với B và nối A với C.
+ Từ A dựng AH  BC : AH  BC  H.
Ví dụ 4: Trở lại bài toán ở ví dụ 2 ta có:
+ Dựng đường phân giác của các góc BAC, ABC.
+ Dựng giao điểm O của hai đường phân giác vừa dựng.
+ Dựng OM  BC.
+ Dựng đường tròn (O;OM).
1.2.3. Bƣớc 3: Chứng minh.
Đây là bước chỉ rõ hình vừa dựng được thỏa mãn các yêu cầu của bài toán. Bước
chứng minh đạt kết quả: Nếu hình cần dựng có thể dựng được thì dựng như vậy là đúng.
Ví dụ 5: Trở lại bài toán ở ví dụ 1 ta có:
Theo cách dựng ta có:
+ BC  a.

H  BC

+ AH  BC  AH  h nên ta suy ra AH là đường cao của ABC và có độ dài
A  p


bằng h.
+ A  (M;m)  AM  m mặt khác M là trung điểm của BC nên AM là trung
tuyến của ABC và có độ dài bằng m.
Vậy ABC là tam giác cần dựng.
Ví dụ 6: Trở lại bài toán ở ví dụ 2 ta có:
Theo cách dựng ta có:

OM  AB  AB tiếp xúc với đường tròn (O;OM).
9


Mặt khác d(O;AB)  OM.
Lại có tâm O cách đều tất cả các cạnh của tam giác ABC vì O là giao điểm của
các đường phân giác của các góc của tam giác ABC. Nên suy ra:

d(O;AB)  d(O;BC)  d(O;AC)  OM.
Vậy đường tròn (O;OM) là đường tròn cần dựng.
1.2.4. Bƣớc 4: Biện luận.
Nội dung biện luận là tìm mối liên hệ giữa các yếu tố đã cho xác định điều kiện
dựng được và chỉ rõ dựng được bao nhiêu nghiệm hình.
Để biện luận chúng ta thường căn cứ vào thứ tự từng bước dựng nhằm xác định
điều kiện dựng được trong từng bước, cuối cùng tổng hợp các bước để kết luận điều kiện
dựng được của bài toán.
Tuy nhiên không nên vội vàng khi mỗi bước dựng nào đó không thực hiện được để
kết luận bài toán vô nghiệm, mà cần xét xem có cách dựng nào khác không?
Ví dụ 7: Trở lại bài toán ở ví dụ 1 ta có:
Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm A của đường thẳng p và đường
tròn (M;m), mặt khác ta luôn có 2 cách dựng đường thẳng p ( p nằm phía trên BC hoặc

p nằm phía dưới BC), từ đó dễ dàng suy ra:
+ Nếu m  h : Có 4 giao điểm A suy ra bài toán có 4 nghiệm hình.
+ Nếu m  h : Có 2 giao điểm A suy ra bài toán có 2 nghiệm hình.
+ Nếu m  h : Không có điểm A thỏa mãn suy ra bài bài không có nghiệm hình.
Ví dụ 8: Trở lại bài toán ở ví dụ 2 ta có:
Số nghiệm của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm O của các đường phân giác
trong của các góc của tam giác ABC. Mặt khác giao điểm của các dường phân giác trong
của ABC là duy nhất. Từ đó dễ dàng suy ra bài toán chỉ có duy nhất một nghiệm hình.

10


2. Các tiên đề của hình học dựng hình
2.1. Các tiên đề chung
- Mỗi hình đã cho xem là đã dựng được.
- Nếu đã dựng được hai hay một số hữu hạn hình thì hợp của chúng là đã dựng.
- Nếu đã dựng được hai hình thì có thể nhận biết được hiệu của chúng có phải là tập
hợp rỗng hay không.
- Nếu hiệu của hai hình là khác rỗng thì hiệu đó là đã dựng.
- Có thể dựng được điểm tùy ý thuộc hình đã dựng (vì hình là tập hợp điểm).
- Có thể dựng được điểm tùy ý không thuộc hình đã dựng.
2.2. Các tiên đề về thƣớc thẳng và compa trong mặt phẳng
a) Thước cho phép thực hiện các phép dựng hình sau:
- Dựng đoạn thẳng nối hai điểm đã dựng.
- Dựng tia xuất phát từ một điểm đã dựng và đi qua một điểm khác đã dựng.
- Dựng đường thẳng đi qua hai điểm đã dựng.
b) Compa cho phép thực hiện các phép dựng hình sau:
- Dựng đường tròn có tâm là điểm đã dựng và bán kính bằng đoạn thẳng đã dựng
(hai đầu mút của đoạn thẳng đó).
- Dựng được bất kì cung nào trong hai cung bù nhau của một đường tròn, nếu tâm

đường tròn và các điểm đầu mút của các cung đó đã dựng.
3. Bài toán dựng hình bằng thƣớc thẳng và compa
Ta nói rằng dựng một hình H bằng bộ dụng cụ thước và compa có nghĩa là liệt kê
thứ tự các phép dựng cơ bản hoặc các bài toán cơ bản của bộ dụng cụ đo để nhận được
hình H.

11


Xét về cơ bản hầu hết các bài toán đều dựng được bẳng thước thẳng và compa tuy
nhiên không phải mọi bài toán dựng hình đều có thể giải bằng thước và compa (mặc dù có
thể giải bằng dụng cụ khác).
Trước hết ta thấy một bài toán dựng hình đều quy về dựng một số các đoạn thẳng
mà độ dài biểu thị qua các đoạn thẳng đã cho. Điều kiện cần và đủ để một đoạn thẳng
dựng được bằng thước thẳng và compa là độ dài của nó biểu thị được qua các độ dài các
đoạn thẳng đã cho nhờ một số hữu hạn phép tính cộng, trừ, nhân, chia và căn bậc lũy thừa
của hai (khi phép toán có nghĩa). Nếu không thỏa mãn điều kiện trên thì bài toán dựng
hình không thể giải bằng thước thẳng và compa.
Một số bài toán không dựng được bằng thước thẳng và compa:
Ví dụ 9: Dựng tam giác ABC biết hai cạnh BC = a, AB = c và đường phân giác của
góc A là AD = d.
Lời giải:
Ta đã biết sự liên hệ giữa phân giác d với ba cạnh của tam giác ABC.

bc(b2 + c2 - a 2 )  d 2 (b2 + c2  2bc) - 2b2c2 (1)
Đặt b = x , (1) trở thành phương trình bậc ba đối với x:

cx3 + (2c2 - d 2 )x 2 + (c3 - a 2c - 2cd 2 )x - d 2c2 = 0 (2)
Để dựng được tam giác ABC ta cần dựng được cạnh b là nghiệm của phương trình
(3), nhưng (3) là một phương trình bậc ba cho nên bài toán nói chung không giải được

bằng thước và compa (chẳng hạn khi cho a = c = 1 và d  3 ).
4. Các phƣơng pháp dựng hình
4.1. Dựng hình bằng cách sử dụng các bài toán dựng hình cơ bản
Có nhiều bài toán dựng hình đơn giản thường được đặc biệt dùng làm những bộ
phận cấu thành trong việc giải các bài toán phức tạp hơn. Các bài toán như vậy gọi là
những bài toán sơ cấp về dựng hình. Sau đây là một số bài toán sơ cấp thường gặp ứng
dụng vào giải bài toán dựng hình:
12


Bài toán 1: Dựng trung trực của một đoạn thẳng. Dựng trung điểm của một đoạn
thẳng.
a) Dựng đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Lời giải:
Bước 1: Phân tích.
Giả sử ta dựng được đường trung trực EF của đoạn thẳng AB
Gọi I là giao điểm của EF và AB.

E, F thuộc đường trung trực của AB.
Do đó E, F cách đều 2 đầu mút A, B của AB.

 AE  BE  d(A;E)  d(B;E)  E  (A;AE)  (B;AE)
AF  BF  d(A;F)  d(B;F)  F  (A;AF)  (B;AF),
Do đó ta chỉ cần dựng đường tròn (A, AB) và (B;AB) vì E, F là giao điểm của hai
đường tròn (A;AB) và (B;AB).
Khi đó AE  EB  BF  AF vì đều là bán kính của đường tròn tâm A, B.
Từ đó ta có cách dựng.
Bước 2: Cách dựng.

13

+ Dựng đoạn thẳng AB bất kì
+ Dựng đường tròn (A, AB)
+ Dựng đường tròn (B, AB)
+ Dựng giao điểm E,F của 2 đường tròn đó
+ Dựng đường thẳng EF
Bước 3: Chứng minh.
Ta có: Hai đường tròn (A, AB) và (B,AB) có cùng bán kính AB
Nên: AE  EB  BF  AF 1

 Tứ giác AEBF là hình thoi
Gọi I là giao điểm của EF và AB

EF  AB

(2)
AI  IB
Từ (1) và (2)  EF cách đều hai mút A, B của AB
Nên E, F thuộc đường trung trực của AB hay EF là đường trung trực của đoạn
thẳng AB.
Bước 4: Biện luận.

!(A,AB)
nên bài toán trên có duy nhất một nghiệm hình.

!(B,AB)


Theo bài ra ta có 

b) Dựng trung điểm P của đoạn thẳng MN
Lời giải:
Bước 1: Phân tích
Giả sử đã dựng được P là trung điểm của MN
14


Vì P là trung điểm nên ta có: PM  PN tức là P cách đều M và N
Do đó ta chỉ cần dựng đường thẳng trung trực của MN cắt MN tại P từ đó ta có
cách dựng.
Bước 2: Dựng hình.

Cho trước đoạn thẳng MN
+ Dựng đường trung trực của MN
+ Đường trung trực cắt MN tại điểm P là trung điểm của AB
Bước 3: Chứng minh
Theo cách dựng ta có đường trung trực của MN. Theo tính chất của đường trung
trực PM  PN. Vậy P là trung điểm của MN.
Bước 4: Biện luận.
Theo bài ra ta có dựng được duy nhất một đường trung trực của MN, theo đó có
duy nhất một điểm P thỏa mãn điều kiện đề bài. Vậy bài toán có duy nhất một nghiệm
hình.
Bài toán 2: Dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng
đã cho.
Lời giải:
15


Bước 1: Phân tích.

d '  d
Giả sử dựng được đường thẳng d ' sao cho: 
'
A  d
Lấy O  d  d ', lấy B  d, B  0.
Khi ấy tồn tại đường tròn (C) có tâm A, bán kính AB sao cho (C)  d  A,C.

AB  AC

AO  BC
 AO là đường trung trực của ABC hay d ' là đường trung trực qua A.

A  (B, BA)

 A  (B, BA)  (C,CA).
A  (C,CA)
Mặt khác: lấy N  (B,BA) d '  N (B,BA).

 N  (C,CA)  N  (B,BA)  (C,CA).
16


Nối A với N ta có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Bước 2: Dựng hình.
Lấy B  d. .
+ Dựng đường tròn (C) có tâm A bán kính AB sao cho: (C)  d  B,C.
+ Dựng đường tròn (B;BA) và (C;CA) sao cho: (B,BA)  (C,CA)  A, N.
+ Nối A với N ta được đường thẳng cần dựng.
Bước 3: Chứng minh.

Theo bước dựng 2  AB  AC (*)

BA  BN
Theo bước dựng 3  
(**)
CA  CN
Từ (*), (**) ta suy ra được: AB  AC  BN  CN.

 ABCN là hình thoi  BC  AN hay d  d ' .
Bước 4: Biện luận.
+ Nếu B  d : AB  d(A,d)  (C)  d  {B} thì ta dựng được đường thẳng d'  AB
(theo tiên đề 1). Đó là đường thẳng thỏa mãn điều kiện bài toán.
+ Nếu B  d : AB  d(A,d)  (C)  d  {B,C} thì ta dựng được đường thẳng d '
theo cách dựng trên.
Vậy bài toán có hai nghiệm hình.
Bài toán 3: Dựng đường phân giác của một góc đã cho.
Lời giải:

17