SKKN Bồi dưỡng năng lực giải toán Số học lớp 6

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Toán học là bộ môn khoa học được coi là chủ lực, bởi trước hết môn Toán
hình thành cho các em học sinh tính chính xác, tính hệ thống, tính khoa học…
Vì thế nếu chất lượng dạy và học môn Toán được nâng cao thì có nghĩa là chúng
ta đã tiếp cận được với nền tri thức khoa học hiện đại, giàu tính nhân văn của
nhân loại.
Cùng với mục tiêu và quan điểm chỉ đạo xây dựng chương trình môn
Toán Trung học cơ sở là hình thành và rèn luyện các kỹ năng như tính toán; thực
hiện các phép biến đổi các biểu thức… Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và
hợp logic, khả năng quan sát, dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian.
Rèn luyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất của
tư duy như linh hoạt, độc lập và sáng tạo. Bước đầu hình thành thói quan tự học,
diễn đạt chính xác và sáng sủa ý tưởng của mình và hiểu được ý tưởng của
người khác, khả năng vận dụng kiến thức toán học vào đời sống và vào các môn
học khác.
Nhưng trên thực tế, đa số học sinh đều rất ngại học toán so với các môn
học khác, đặc biệt là học sinh đầu cấp Trung học cơ sở. Do lần đầu tiên tiếp xúc
với môi trường mới, khi học đa số các em vận dụng kiến thức tư duy còn nhiều
hạn chế, khả năng suy luận chưa nhiều, khả năng phân tích chưa cao do đó việc
giải toán của các em gặp nhiều khó khăn. Vì thế ít học sinh giải đúng, chính xác,
gọn và hợp lí.
Mặc khác trong quá trình giảng dạy do năng lực, trình độ giáo viên mới
chỉ dạy cho học sinh ở mức độ truyền thụ trên tinh thần của sách giáo khoa mà
chưa có phân loại dạng toán, chưa khái quát được cách giải mỗi dạng toán cho
học sinh. Do đó muốn bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh phải diễn đạt
mối quan hệ những dạng toán này đến dạng toán khác và nhằm đáp ứng việc đổi
mới phương pháp trong giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết tốt những
khó khăn, vướng mắc trong học tập và cũng đồng thời góp phần nâng cao chất
lượng bộ môn nay tôi đã xin trình bày vấn đề “Một số biện pháp bồi dưỡng
năng lực giải toán Số học cho học sinh lớp 6 ở trường THCS”

2. PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đề tài được nghiên cứu trong phạm vi chương trình học môn Toán lớp 6
phần Số học của học sinh lớp 63, 64 ở năm học 2015 – 2016, học sinh lớp 61 ở
năm học 2016 – 2017, học sinh lớp 6 2 ở năm học 2017 – 2018 của trường Trung
học cơ sở.....................
3. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Nhằm đề ra các biện pháp giúp cho học sinh có năng lực giải toán trong
chương trình Số học 6, góp phần nâng cao chất lượng dạy học môn Toán 6 nói
riêng và môn Toán ở bậc Trung học cơ sở nói chung.
- Trang 1 -


4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Nghiên cứu qua tài liệu : Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập
Toán 6 tập 1, tập 2 và một số tài liệu có liên quan chương trình Toán 6 (phần Số
học)
Nghiên cứu qua việc thực hành giải bài tập của các em học sinh.
Nghiên cứu qua theo dõi kết quả của các bài kiểm tra.
Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy và học tập của từng đối tượng học sinh
trong lớp.
B. NỘI DUNG
I. CỞ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1. Về phía giáo viên
Trong quá trình học tập trong trường Trung học cơ sở hiện nay còn một
vài giáo viên không xem trọng việc tự học ở nhà của học sinh mà thường giáo
viên chỉ hướng dẫn một cách sơ sài, giáo viên chưa phát huy hết tác dụng của đồ
dùng dạy học, đặt câu hỏi chưa rõ ràng hoặc chưa sát với yêu cầu bài toán, chưa
đưa ra được các bài toán tổng hợp ở cuối chương làm cho học sinh không có
thời gian học bài và làm bài tập ở nhà và tạo áp lực cho học sinh gặp nhiều khó
khăn…

Bên cạnh đó một số giáo viên chưa chú trọng nhiều đến năng lực giải toán
cho học sinh tìm nhiều cách giải, sáng tạo ra bài toán mới.
2. Về phía học sinh
Khả năng tính toán của các em chưa linh hoạt, chưa vận dụng hợp lí các
phương pháp giải, hợp logic, khả năng phân tích, dự đoán kết quả của một số em
còn hạn chế và khả năng khai thác bài toán.
Học sinh không nắm vững được những kiến thức đã học, một số học sinh
không có khả năng phân tích một bài toán từ những gì đề bài yêu cầu sau đó
tổng hợp lại, không chuyển đổi được từ ngôn ngữ bình thường sang ngôn ngữ số
học hoặc không tìm ra phương pháp chung để giải dạng toán về phân số, từ đó
cần có khả năng so sánh các cách giải để trình bày lời giải cho hợp lí. Nhiều học
sinh một bài giải không xác định được đáp án đúng và sai. Vận dụng các cách
giải đó để có thể tạo ra một bài toán mới tổng quát hơn.
3. Nguyên nhân
Do học sinh bị mất căn bản của phần kiến thức về số tự nhiên và số
nguyên.
Cách trình bày lời giải một bài toán chưa thật chặt chẽ và thực hiện các
phép tính chưa chính xác nên hướng dẫn học sinh cần phải thực hiện cho hợp lí.
- Trang 2 -


Chưa có phương pháp học tập hợp lí. Chưa xác định đúng các dạng toán.
Chưa có thời khóa biểu học ở nhà cụ thể và không giải được nhiều bài tập ở lớp.
II. MỘT SỐ GIẢI PHÁP BỒI DƯỠNG CỤ THỂ
1. Bồi dưỡng kiến thức cơ bản về phân số
Việc bồi dưỡng kiến thức cơ bản là một công việc cực kỳ quan trọng vì
kiến thức cơ bản là nền tảng quyết định đến khả năng học tập của các em, đặc
biệt môn Toán càng quan trọng hơn vì lượng kiến thức của bộ môn Toán có mối
quan hệ chặt chẽ với nhau. Trong quá trình học tập đa số các em dễ bị mất các
kiến thức cơ bản, do các em cho rằng các kiến này không quan trọng lắm nên

thường không chú trọng. Trong quá trình dạy học giáo viên cần chú trọng đến
việc bồi dưỡng các kiến thức cơ bản cho các em để nhằm giúp cho các em nắm
vững các kiến thức. Từ đó các em có nền tảng vững chắc và cũng là cơ sở giúp
cho các em học tập một cách tốt hơn. Muốn vậy, trong quá trình giảng dạy toán
giáo viên có thể thông qua hệ thống câu hỏi để học sinh nắm lại các kiến thức đã
học.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (Bài 93 trang 44, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Tính :
a)

4 2 4
: . ÷
7 5 7

6  5
8 
b) 9.  +  : 5 − ÷
9 
7  7

Một số câu hỏi hướng dẫn giải câu a
(1) Hãy nêu thứ tự thực hiện phép toán
(2) Hãy nêu quy tắc nhân hai phân số
(3) Để thực hiện phép chia hai phân số ta làm như thế nào ?
Diễn giải
(1) giúp học sinh nhớ lại thứ tự thực hiện các phép tính : thực hiện phép
tính trong ngoặc trước
(2), (3) giúp học sinh nhớ lại quy tắc nhân hai phân số và phép chia phân
số

Giải
4  2 4  4 2.4 4 5.7 4.5.7 5
:  . ÷= :
= .
=
=
7  5 7  7 5.7 7 2.4 7.2.4 2
Một số câu hỏi hướng dẫn giải câu b
(1) Nêu thứ tự thực hiện phép tính bài toán có dấu ngoặc đơn, ngoặc
vuông
(2) Nêu thứ tự thực hiện phép tính bài toán có phép tính chia và trừ
- Trang 3 -


(3) Để cộng hay trừ phân số không cùng mẫu ta làm như thế nào ?
Diễn giải
(1), (2) giúp học sinh ôn lại kiến thức thứ tự thực hiện các phép tính đối
với biểu thức có dấu ngoặc và biểu thức không có dấu ngoặc
(3) giúp học sinh nhớ lại quy tắc cộng hai phân số không cùng mẫu và
phép trừ phân số
Giải
6  5
 6  5 8 
 6  1 8 
 6  9 56  
8 
9.  +  : 5 − ÷ = 9.  + 
− ÷ = 9.  +  − ÷ = 9.  +  − ÷
9 
7  7

 7  7.5 9  
 7  7 9 
 7  63 63  
 6 ( −47 ) 
 54 ( −47 ) 
1
= 9.  +
=
9.

 +
 = 9. = 1
63 
63 
9
7
 63
Ví dụ 2 (Bài 121 trang 52, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Đoạn đường sắt Hà Nội – Hải Phòng dài 102 km. Một xe lửa xuất phát từ
3
Hà Nội đã đi được
quãng đường. Hỏi xe lửa còn cách Hải Phòng bao nhiêu
5
kilômet?
Một số câu hỏi hướng dẫn giải bài tập
(1) Bài toán trên thuộc dạng bài toán nào đã được học ?
(2) Hãy xác định các đại lượng mà bài toán đã cho ?
Diễn giải
(1) giúp học sinh nhận dạng được dạng bài toán để vận dụng đúng công
thức vào giải bài toán

(2) giúp học sinh xác định được các đại lượng mà đề bài đã cho để thực
hiện giải bài toán một cách chính xác
Giải
Đoạn đường xe lửa đã đi 102 .

3
= 61,2 km
5

Đoạn đường xe lửa còn cách Hải Phòng 102 – 61,2 = 40,8 km
Ví dụ 3 (Bài 149 trang 61, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Để đi từ nhà đến trường, trong số 40 học sinh lớp 6B có 6 bạn đi xe buýt,
18 bạn đi xe đạp, số còn lại đi bộ. Hãy tính tỉ số phần trăm số học sinh lớp 6B đi
xe buýt, xe đạp, đi bộ so với số học sinh cả lớp rồi dựng biểu đồ phần trăm dưới
dạng ô vuông.
- Trang 4 -


Một số câu hỏi hướng dẫn giải bài tập
(1) Để dựng được biểu đồ theo yêu cầu của đề bài ta cần làm gì ?
(2) Phát biểu quy tắc tìm tỉ số phần trăm của hai số
(3) Hãy dựng biểu đồ phần trăm dạng ô vuông
Diễn giải
(1) giúp học sinh định hướng được cách giải bài toán theo yêu cầu của đề
bài
(2) giúp học sinh nhớ và vận dụng được quy tắc tìm tỉ số phần trăm của
hai số mà các em đã học ở bài trước
(3) giúp học sinh thực hành vẽ được biểu đồ phần trăm dạng ô vuông một
cách thành thạo
Giải

Số học sinh lớp 6B đi xe buýt chiếm
Số học sinh lớp 6B đi xe đạp chiếm

6
= 15% số học sinh cả lớp
40
18
= 45% số học sinh cả lớp
40

Số học sinh lớp 6B đi xe bộ chiếm 100% – (15% + 45%) = 40% số học
sinh cả lớp
- Biểu đồ phần trăm dạng ô vuông
                                                    
                                                
15%
45%
40%

Qua các bài tập ví dụ trên rèn luyện cho học sinh khả năng phân tích đúng
và biết cách giải đúng bài toán, cho học sinh thấy được mối quan hệ giữa toán
học và thực tế. Do đó trong quá trình dạy học giáo viên cần đặt nhiều câu hỏi
gợi ý nhằm tạo được sự tò mò, hứng thú và muốn khám phá sự hiểu biết của
mình để nhằm làm tăng khả năng học tập và nắm vững kiến thức cho các em.

- Trang 5 -


2. Bồi dưỡng việc định hướng cách giải bài toán
Việc xác định cách giải bài toán chính xác sẽ giúp cho học sinh giải quyết

các bài toán một cách nhanh chóng, dễ hiểu, ngắn gọn và tránh mất được thời
gian. Chính vì vậy, đòi hỏi mỗi giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh khả
năng định hướng cách giải bài toán là điều không thể thiếu trong quá trình dạy
học toán.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (câu d, bài 110 trang 49, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Tính : D = 0, 7 . 2

2
5
. 20 . 0,375 .
3
28

Giáo viên cần nêu một vài câu hỏi gợi mở có mục đích định hướng cách
giải bài toán cho học sinh
(1) Để thực hiện được phép tính trên, trước tiên chúng ta cần làm gì ?
(2) Các phân số đó đã được tối giản chưa ?
(3) Để nhân các phân số ta thực hiện như thế nào ?
Diễn giải
(1), (2) giúp học sinh khi thấy dạng bài toán trên trước khi thực hiện tính
phải viết số thập phân, hỗn số dưới dạng phân số và viết dưới dạng phân số tối
giản
(3) rèn luyện kỹ năng tính toán và vận dụng tính chất cơ bản của phép
nhân phân số khi có thể
Giải

2
5
7 8

375 5
7 8
3 5
D = 0, 7.2 .20.0,375. = . .20.
. = . .20. .
3
28 10 3
1000 28 10 3
8 28
5 5
7
 8 3 5
=  .20 ÷.  . ÷. = 14.1. = = 2,5
28 2
 10
  3 8  28
Ví dụ 2 (câu a, bài 76 trang 39, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Tính giá trị biểu thức sau một cách hợp lí :

A=

7 8 7 3 12
. + . +
19 11 19 11 19

Câu hỏi gợi mở định hướng cách giải bài toán
(1) Có nhận xét gì về các số hạng trong biểu thức trên ?
(2) Ta có thể vận dụng tính chất cơ bản nào của phép nhân phân số để tính
được bài toán này.

- Trang 6 -


Diễn giải
(1) giúp học sinh phát hiện được số hạng thứ nhất và số hạng thứ hai có
chung phân số
(2) giúp học sinh biết vận dụng phù hợp các tính chất cơ bản của phép
nhân phân số vào tính toán như tính chất phân phối của phép nhân đối với phép
cộng, nhân với số 1...
Giải

A=

7 8 7 3 12 7  8 3  12 7
12
. + . + = .  + ÷+ = .1 +
19 11 19 11 19 19  11 11  19 19
19
=

7 12 19
+ =
=1
19 19 19

Ví dụ 3 (Bài 9.21 trang 72, sách Các dạng toán và phương pháp giải Toán 6 – tập 2)
Tính nhanh :

S=

3
3
3
3
3
+
+
+
+
1.4 4.7 7.11 11.14 14.17

Định hướng cách giải bài toán
Đối với dạng bài toán như thế này thì không thể tiến hành quy đồng mẫu
để tính tổng mà thì cần phải tìm ra quy luật của nó.
Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích từng số hạng của tổng trên thành
hiệu của hai phân số (từ đó phát hiện được quy luật của các số hạng đã cho).

3
1 3
1 1 3
1 1
3
1 1
3
1 1
= 1− ;
= − ;
= − ;
= − ;
= −

1.4
4 4.7 4 7 7.11 7 11 11.14 11 14 14.17 14 17
Sau khi phân tích xong các số hạng trên ta cộng tất cả các phân số đã
được phân tích lại và sẽ tìm được tổng cần tính.
Giải

S=

3
3
3
3
3
+
+
+
+
1.4 4.7 7.11 11.14 14.17

= 1−

1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 16
+ − + − + − + − = 1− =
4 4 7 7 11 11 14 14 17
17 17

Ví dụ 4 (Bài 20 trang 142, sách Các dạng toán và phương pháp giải Toán 6 – tập 2)
Tổng số tuổi của ba anh em là 58. Biết rằng
số tuổi của anh thứ hai và bằng

3
2
số tuổi của em út bằng
4
3

1
số tuổi của anh cả. Tính số tuổi của mỗi
2

người.
- Trang 7 -


Định hướng cách giải bài toán
Để tính được số tuổi của mỗi người theo như số liệu mà đề bài đã cho thì
lấy số tuổi của anh cả làm đơn vị so sánh
(1) Tính tuổi em út bằng mấy phần tuổi anh cả ?
(2) Tính tuổi người anh thứ hai bằng mấy phần tuổi anh cả ?
(3) Tính tuổi của ba anh em bằng mấy phần tuổi anh cả ?
(4) Tính số tuổi của anh cả, số tuổi người anh thứ hai, số tuổi em út
Giải
Tuổi người em út bằng

1 3 2
: = (tuổi anh cả)
2 4 3
1 2 3
: = (tuổi anh cả)

2 3 4

Tuổi người anh thứ hai bằng
Tuổi của ba anh em bằng

2 3
29
+ +1 =
(tuổi anh cả)
3 4
12

Vậy tuổi người anh cả là 58 :

29
= 24 (tuổi)
12

Vậy tuổi người anh thứ hai là 24.
Vậy tuổi người em út là 24.

3
= 18 (tuổi)
4

2
= 16 (tuổi)
3

Đây một dạng bài toán mà học sinh lớp 6 gặp rất ít vì trong chương trình

sách giáo khoa cũng hạn chế cho những dạng bài tập như thế này. Các bài toán
dạng này hầu như chỉ có học sinh khá, giỏi mới giải được vì những bài toán này
đòi hỏi khả năng phân tích, tư duy, suy luận rất khá cao so với mặt bằng chung
của học sinh hiện nay. Tuy vậy, trong quá trình giảng dạy nếu có thời gian thì
giáo viên cũng cần tăng cường những bài tập như vậy để làm tăng khả năng tư
duy, suy luận cho những học sinh khá, giỏi và gây được hứng thú công việc học
toán của các em.
Qua ví dụ minh họa trên nhằm giúp cho học sinh nắm vững các kiến thức
và làm quen dần các bước phân tích, khả năng quan sát, khả năng tư duy, khả
năng lập luận một cách chặt chẽ hơn, tìm ra được quy luật chung để vận dụng
các kiến thức đã học vào giải bài toán. Việc định hướng giải bài toán cho học
sinh là một công việc khá quan trọng trong việc bài giải toán, nó đòi hỏi phải
định hướng đúng nên giáo viên cần rèn luyện thường xuyên cho học sinh nhằm
làm tăng khả năng suy luận, lập luận một cách logic, giải quyết bài toán một
cách nhanh chóng và tránh được mất thời gian khi giải bài toán.
- Trang 8 -


3. Bồi dưỡng năng lực giải toán cho các đối tượng học sinh bằng cách phân
loại dạng bài toán
Việc phân loại dạng bài toán nhằm giúp cho học sinh nắm vững các kiến
thức đã học. Qua đó cũng đánh giá được mức độ học tập của các em đồng thời
cũng tăng khả năng học toán, giải toán cho các em và từ đó cũng giúp cho giáo
viên có được nhiều phương án giảng dạy một cách hợp lý hơn nhằm đem lại
hiệu quả học tập tốt nhất cho học sinh.
* Ví dụ minh họa
Đối với học sinh yếu
Ví dụ 1 (Bài 42 trang 26, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Cộng các phân số (rút gọn kết quả nếu có thể)
a)

7
−8
+
−25 25

b)

1 −5
+
6 6

c)

6 −14
+
13 39

Do đối tượng là học sinh yếu nên khi giải bài toán cần đặt nhiều câu hỏi
gợi mở ở mức độ dễ và xác với yêu cầu câu hỏi.
(1) Có nhận xét về mẫu hai phân số trong các phép cộng trên
(2) Để biến đổi phân số có mẫu âm thành phân số có mẫu dương ta làm
như thế nào ?
(3) Để rút gọn phân số ta làm như thế nào ?
(4) Để cộng hai phân số không cùng mẫu ta thực hiện như thế nào ?
(5) Hãy nêu lại các bước quy đồng mẫu nhiều phân số
Giải
a)

7

−8 −7 −8 ( −7 ) + ( −8 ) −15 −3
+
=
+
=
=
=
−25 25 25 25
25
25
5

b)

1 −5 1 + ( −5 ) −4 −2
+
=
=
=
6 6
6
6
3

c)

6 −14 18 −14 18 + ( −14 )
4
+
=

+
=
=
13 39 39 39
39
39

Qua những bài toán như thế này nhằm giúp cho học sinh nắm lại các kiến
cơ bản đặt biệt là những học sinh yếu kém nên giáo viên cần thường xuyên đặt
nhiều câu hỏi gợi ý, từ đó học sinh mới có thể giải được những bài toán cao hơn.

- Trang 9 -


Đối với học sinh trung bình
Ví dụ 2 ( ?2 .trang 28, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Tính nhanh :

B=

−2 15 −15 4 8
+ +
+ +
17 23 17 19 23

C=

−1 3 −2 −5
+ +
+

2 21 6 30

Đối với học sinh trung bình khi giảng dạy cần đặt các câu hỏi dễ hiểu, gợi
ý các chi tiết rõ ràng để các em dễ nắm được cách giải nội dung bài tập một cách
hợp lí hơn.
(1) Nhận xét các phân số trong bài toán
(2) Ta sẽ vận dụng kiến thức nào đã học để thực hiện bài toán trên
(3) Phát biểu quy tắc rút gọn phân số
(4) Phát biểu quy tắc cộng hai phân số không cùng mẫu ta
Giải

B=

−2 15 −15 4 8  −2 −15   15 8  4
+ +
+ +
=
+
÷+  + ÷+
17 23 17 19 23  17 17   23 23  9
= ( −1) + 1 +

C=

4
4 4
= 0+ =
9
9 9

−1 3 −2 −5  −1 −2 −5  3  −1 −2 −1  1
+ +
+
= +
+
= +
+ ÷+
÷+
2 21 6 30  2
6 30  21  2
6
6  7
1 −6
 −3 −2 −1  1
= +
+ ÷+ = −1 + =
6
6  7
7 7
 6

Qua bài toán này nhằm giúp cho học sinh vận dụng được các kiến thức
cộng phân số và tùy thuộc vào đối tượng học sinh mà giáo viên có thể đặt câu
hỏi gợi ý thêm cho học sinh.
Đối với học sinh khá, giỏi
Ví dụ 3 (Bài 11.18 trang 86, sách Các dạng toán và phương pháp giải Toán 6 – tập 2)
Tính tích :

A=

3 8 15
2499
. .
.....
4 9 16
2500

Đối với học sinh khá giỏi khi giảng dạy giáo viên chỉ nêu sơ cách làm và
để cho học sinh tự độc lập suy nghĩ cách giải nào cho hợp lí nhất.

- Trang 10 -


Giáo viên nêu hướng giải bài toán : phân tích tử và mẫu rồi rút gọn phân
số
Giải

3 8 15 2499 1.3 2.4 3.5
49.51
A = . . ...
=
.
.
.....
4 9 16 2500 2.2 3.3 4.4
50.50
=

1.2.3.....49 3.4.5.....51 1 51 51
.

= . =
2.3.4.....50 2.3.4.....50 50 2 100

Ví dụ 4 (Bài 156 trang 27, sách bài tập Toán 6 – tập 2)

1
1
số cam và
2
2
1
1
1
quả; lần thứ hai bán số cam còn lại và quả; lần thứ ba bán số cam còn lại
3
3
4
3
và quả. Cuối cùng còn lại 24 quả cam. Hỏi số cam bác nông dân đã mang đi
4
bán ?
Một bác nông dân mang cam đi bán. Lần thứ nhất bán

Giáo viên hướng dẫn cách giải cho học sinh
- Biểu diễn đề bài theo sơ đồ sau :

- Để tìm được số cam mà bác nông dân mang đi bán thì ta cần tính được :
(1) Số cam còn lại sau lần bán thứ hai là bao nhiêu ?

3

quả sau lần bán thứ ba sẽ chiếm mấy phần
4
3
số cam của lần bán thứ hai ? (chiếm số cam bán lần thứ hai)
4
(2) 24 quả còn lại cộng với

(3) Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất là bao nhiêu ? (thực hiện tương tự
như tìm số cam còn lại sau lần bán thứ hai)
(4) Số cam mà bác nông dân mang đi bán là bao nhiêu ? (thực hiện tương
tự như tìm số cam còn lại sau lần bán thứ hai)
(5) Để tính được bài toán này ta phải vận dụng kiến thức nào đã học ?
(tìm một số biết giá trị một phân số của nó)
- Trang 11 -


Giải
Số cam còn lại sau lần bán thứ hai :

3 3

24
+

÷: = 33 quả
4 4

Số cam còn lại sau lần bán thứ nhất :

1 2


 33 + ÷: = 50 quả
3 3

Số cam bác nông dân mang đi bán :

1 1

 50 + ÷: = 101 quả
2 2

Đây là một trong những bài toán mà học sinh thường rất ngán ngại trong
giải toán vì đa số các em còn nhỏ nên khả năng phân tích bài toán chưa cao. Vì
vậy trong quá trình giảng dạy giáo viên nên hướng dẫn cho học sinh tập quen
dần cách phân tích những dạng toán này. Nhằm làm tăng dần khả năng phân tích
cho học sinh và đồng thời cũng tăng khả năng giải toán cho học sinh.
4. Bồi dưỡng năng lực giải toán bằng nhiều cách và biết lựa chọn phương
án tối ưu
Trong quá trình giải toán cũng như bồi dưỡng học sinh giỏi, mỗi học sinh
luôn không ngừng tìm tòi nghiên cứu những những phương pháp dạy tối ưu
nhất. Từ đó giúp học sinh lĩnh hội các phương pháp giải toán hay, phát huy được
tính sáng tạo của mình để tìm ra được nhiều cách giải hay và hợp lí.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1
So sánh hai phân số :
a)

−3
−4
và

7
−7

b)

11
−17
và
12
−18

Trong quá trình giảng dạy giáo viên cho học sinh tự tìm các cách giải
khác rồi gọi học sinh lên bảng trình bày và nhận xét cách làm trước lớp
Giải
a)

−3
−4
và
7
−7

Cách 1
So sánh các phân số có cùng mẫu dương

−4 4
−3 4
−3 −4
= . Vì −3 < 4 nên
< , do đó

<
−7 7
7 7
7 −7
- Trang 12 -


Cách 2
Sử dụng tính chất nếu

c p
a p
a c
> và > thì >
d q
b q
b d

−3
−4 4
−3 −4
< 0 và
= > 0 nên
<
7
−7 7
7 −7
Cách 3
Sử dụng tính chất nếu

a c
< thì ad < bc và ngược lại (b > 0, d > 0)
b d

−4 4
−3 4
−3 −4
= . Vì (−3).7 < 4.7 nên
< , do đó
<
−7 7
7 7
7 −7
b)

11
−17
và
12
−18

Cách 1
So sánh các phân số có cùng mẫu dương

11 11.3 33 −17 17 17.2 34
=
=
=
=
=

;
12 12.3 36 −18 18 18.2 36
Vì 33 < 34 nên

33 34
11 −17
<
<
, do đó
36 36
12 −18

Cách 2
So sánh các phân số có cùng tử dương

11 11.17 187 −17 17 17.11 187
=
=
=
=
=
;
12 12.17 204 −18 18 18.11 198
Vì 204 > 198 nên

187 187
11 −17
<
<
, do đó

204 198
12 −18

Cách 3
Sử dụng tính chất nếu

a c
< thì ad < bc và ngược lại (b > 0, d > 0)
b d

−17 17
11 17
11 −17
= . Vì 11.18 < 12.17 nên
< , do đó
<
−18 18
12 18
12 −18
Cách 4
Sử dụng phần bù đơn vị

11 1
−17 17 1
+ = 1 và
= + =1
12 12
−18 18 18
- Trang 13 -

Vì

1
1
11 17
11 −17
>
< , do đó
<
nên
12 18
12 18
12 −18

Qua ví dụ trên ta thấy cách 1 phương án tối ưu để so sánh hai phân số vì
chỉ cần qua một phép biến đổi đơn giản đã đi đến kết quả, còn cách còn lại thì
phức tạp và hơi lạ so với học sinh. Vì vậy khi hướng dẫn học sinh giải một bài
tập thì giáo viên nên hướng dẫn tất cả các cách giải để từ đó cho học sinh tự lựa
chọn cách làm nào dễ nhất và hợp lý nhất cho mình.
Ví dụ 2 (câu a, bài 93 trang 44, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Tính :

4 2 4
: . ÷
7 5 7
Giải
Cách 1
Thực hiện đúng theo thứ tự thực hiện các phép tính

4  2 4  4 2.4 4 5.7 4.5.7 5
:  . ÷= :
= .
=
=
7  5 7  7 5.7 7 2.4 7.2.4 2
Cách 2
Thực hiện theo công thức a : (b . c) = (a : b) : c

4 2 4 4 4 2 4 4 2
2
5 5
:  . ÷ = :  . ÷ =  : ÷: = 1: = 1. =
7 5 7 7 7 5 7 7 5
5
2 2
Ví dụ 3
Tính :
a) 2

1
.2
3

b) 6

2
: 2
5

Giải
Cách 1
Thực hiện phép nhân hoặc phép chia hỗn số với một số nguyên bằng cách
viết hỗn số dưới dạng phân số rồi thực hiện phép nhân hoặc chia phân số cho
b a.b a
a
(c ≠ 0)
một số nguyên theo công thức a. =
; :c =
c
c
b
b.c

1
7
7.2 14
2
=
=4
a) 2 .2 = .2 =
3
3
3
3
3
2
32
32 16
1

:2 =
=
=3
b) 6 : 2 =
5
5
5.2 5
5
- Trang 14 -


Cách 2
Thực hiện phép nhân hoặc phép chia hỗn số với một số nguyên, ta có thể
viết hỗn số dưới dạng một tổng của một số nguyên với một phân số rồi áp dụng
tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng hoặc tính chất phân phối
của phép nhân đối với phép trừ

1
1
1
2
2

a) 2 .2 =  2 + ÷.2 = 2.2 + .2 = 4 + = 4
3
3
3
3
3


2
2
2
2
1
1

= 3+ = 3
b) 6 : 2 =  6 + ÷: 2 = 6 : 2 + : 2 = 3 +
5
5
5
5.2
5
5

Ví dụ 4 (câu a, bài 77 trang 39, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Tính giá trị biểu thức sau :

1
1
1
−4
A = a. + a. − a. với a =
2
3
4
5
Giải
Cách 1

Thay a vào biểu thức A và thực hiện theo thứ tự thực hiện các phép tính
Thay a =

A=
=

−4
vào biểu thức A ta được :
5

−4 1 −4 1 −4 1 −4 −4 −4
. + . − . =
+
−
5 2 5 3 5 4 10 15 20
−24 −16 12 −28 −7
+
+
=
=
60
60 60 60 15

Cách 2
Thay a vào biểu thức A, thực hiện theo thứ tự các phép tính và kết hợp rút
gọn trong khi quá trình tính toán.
Thay a =

A=

−4
vào biểu thức A ta được :
5

−4 1 −4 1 −4 1 −2 −4 1 −1 −4 −3 −4 −7
. + . − . =
+
+ =
+
=
+
=
5 2 5 3 5 4 5 15 5 5 15 15 15 15

Cách 3
Sử dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, đặt a làm
thừa số chung và thực hiện tính toán trong ngoặc trước sau đó mới thay giá trị a
vào để tính.

- Trang 15 -


1
1
1
7
1 1 1
 6 4 3
A = a. + a. − a. = a.  + − ÷ = a.  + − ÷ = a.
2

3
4
12
2 3 4
 12 12 13 
Thay a =

A=

−4
vào biểu thức A ta được :
5

−4 7 −4.7 −7
. =
=
5 12 5.12 15

Từ ví dụ trên giáo viên có thể nêu cho học sinh các bước giải bài toán
dạng này như sau :
+ Bước 1: Rút gọn biểu thức đã cho (tùy theo nội dung bài toán mà ta có
các cách rút gọn khác nhau)
+ Bước 2: Thay giá trị của biến đã cho vào biểu thức đã được rút gọn.
+ Bước 3: Tính giá trị của biểu thức khi đã thay giá trị của biến vào ở
bước 2
Ví dụ 5 (Bài 121 trang 52, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Đoạn đường sắt Hà Nội – Hải Phòng dài 102 km. Một xe lửa xuất phát từ
3
Hà Nội đã đi được
quãng đường. Hỏi xe lửa còn cách Hải Phòng bao nhiêu

5
kilômet?
Giải
Cách 1
Đoạn đường xe lửa đã đi 102 .

3
= 61,2 (km)
5

Đoạn đường xe lửa còn cách Hải Phòng 102 – 61,2 = 40,8 (km)
Cách 2
Đoạn đường xe lửa đã đi 1 −

3 5 3 2
= − = (quãng đường)
5 5 5 5

2
Đoạn đường xe lửa còn cách Hải Phòng 102. = 40,8 (km)
5
Ví dụ 6 (Bài 141 trang 58, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)

1
Tỉ số của hai số a và b bằng 1 . Tìm hai số đó biết rằng a – b = 8
2
Giải
Cách 1
Sử dụng sơ đồ đoạn thẳng
- Trang 16 -

1 3
Ta có 1 = như vậy a : b = 3 : 2. Ta có sơ đồ :
2 2

Theo sơ đồ, ta được a = 8 . 3 = 24
Theo sơ đồ, ta được b = 8 . 2 = 16
Cách 2
Sử dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau và các phép biến đổi
Ta có

a
1 3
3
= 1 = nên a = .b
b
2 2
2

3
1
3 
Do đó a − b = .b − b =  − 1÷.b = .b
2
2
2 
nhưng a – b = 8 nên

b = 8:

1
.b = 8 , suy ra :
2

1
3
3
= 16 ; a = .b = .16 = 24
2
2
2

Cách 3
Sử dụng biến số mới
Ta có

a
1 3
= 1 = nên a = 3 . k ; b = 2 . k ( k ∈ Z, k ≠ 0 )
b
2 2

mà a – b = 8 suy ra 3. k – 2. k = 8 hay k = 8
Vậy a = 3 . k = 3 . 8 = 24; b = 2 . k = 2 . 8 = 16
Ở ví dụ này, cách 1 ta thấy khá đơn giản vì dựa vào sơ đồ đoạn thẳng học
sinh sẽ có kết quả ngay nhưng không phải bài toán nào ta cũng sử dụng được
cách này. Còn đối với cách 2 và cách 3 ta phải sử dụng nhiều phép biến đổi hơn,
tính toán nhiều hơn nhưng với hai cách này ta có thể giải được mọi dạng toán có
lời văn. Do đó, khi dạy bài tập dạng này giáo viên cần hướng dẫn kỹ cách 2 và 3

để học sinh có thể lĩnh hội được về giải toán bằng cách lập phương trình và hệ
phương trình ở các lớp tiếp theo.
5. Bồi dưỡng năng lực phân tích, tổng hợp và so sánh
Nhằm giúp học sinh từng bước tăng khả năng tư duy, rèn luyện phương
pháp suy luận và sáng tạo trong giải toán

- Trang 17 -


* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (Bài 83 trang 41, sách giáo khoa Toán 6 – tập 2)
Lúc 6 giờ 50 phút bạn Việt đi xe đạp từ A để đến B với vận tốc 15 km/h.
Lúc 7 giờ 10 phút bạn Nam đi xe đạp từ B để đến A với vận tốc 12km/h. Hai bạn
gặp nhau ở C lúc 7 giờ 30 phút. Tính quãng đường AB.
Giáo viên nêu câu hỏi dẫn dắt học sinh phân tích bài toán

(1) Để tính quãng đường AB ta làm như thế nào ? (quãng đường AB =
quãng đường AC + quãng đường BC)
(2) Để tính được quãng đường AC ta làm như thế nào ? (lấy thời gian đi
từ A đến C nhân với vận tốc 15 km/h)
(3) Để tính được quãng đường BC ta làm như thế nào ? (lấy thời gian đi
từ B đến C nhân với vận tốc 12 km/h)
(4) Làm thế nào để tìm được thời gian đi từ A đến C ? (lấy thời gian đến C
trừ cho thời gian lúc đi từ A)
(5) Làm thế nào để tìm được thời gian đi từ B đến C ? (lấy thời gian đến C
trừ cho thời gian lúc đi từ B)
Giải
Thời gian bạn Việt đi quãng đường AC là :
7 giờ 30 phút – 6 giờ 50 phút = 40 phút =
Quãng đường AC dài : 15 .

2
h
3

1
= 10 (km)
2

Thời gian bạn Nam đi quãng đường BC là :
7 giờ 30 phút – 7 giờ 10 phút = 20 phút =
Quãng đường AC dài : 12 .

1
h
3

1
= 4 (km)
3

Độ dài quãng đường AB là : 10 + 4 = 14 (km)

- Trang 18 -


Ví dụ 2 (Bài 133 trang 24, sách bài tập Toán 6 – tập 2)
Một người mang một rổ trứng đi bán. Sau khi bán

4

số trứng và 2 quả thì
9

còn lại 28 quả. Tính số trứng mang đi bán.
Giáo viên nêu câu hỏi dẫn dắt học sinh để phân tích bài toán, giáo viên
biểu diễn bài toán dưới dạng sơ đồ đoạn thẳng để học sinh quan sát

(1) Quan sát sơ đồ và cho biết số trứng trong rổ được chia làm mấy phần ?
(chia làm 9 phần)

4
số trứng thì trong rổ còn lại tất cả bao nhiêu quả trứng
9
và số trứng này chiếm mấy phần số trứng trong rổ ? (còn lại tất cả 30 trứng và
5
chiếm số trứng trong rổ)
9
(2) Sau khi bán

(3) Để tính được số trứng trong rổ khi mang đi bán là bao nhiêu thì ta phải
5

làm như thế nào ?  30 : ÷
9

(4) Đây là dạng bài toán gì mà ta đã học ? (bài toán tìm một số biết giá trị
một phân số của nó)
Giải

5

số trứng chính là 28 + 2 = 30 (quả)
9
Vậy số trứng trong rổ mang đi bán là 30 :

5 30.9
=
= 54 (quả)
9
5

Ví dụ 3
Lớp 6A có 40 học sinh. Khi người ta tiến hành điều tra về việc thích học
môn Ngữ văn và Toán thì có kết quả như sau có 25 học sinh thích môn Ngữ văn,
có 30 học sinh thích học môn Toán, 2 học sinh không thích học môn Ngữ văn và
môn Toán. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp 6A thích học cả hai môn Ngữ
văn và Toán ?
Giáo viên nêu câu hỏi dẫn dắt học sinh phân tích bài toán
(1) Số học sinh thích học môn Ngữ văn và học môn Toán là bao nhiêu ?
(số học sinh cả lớp – số học sinh không thích học môn Ngữ văn và môn Toán)
- Trang 19 -


(2) Tìm số học sinh chỉ thích học môn Ngữ văn ? (số học sinh thích học
môn Ngữ văn và học môn Toán – số học sinh thích học môn Ngữ văn)
(3) Tìm số học sinh chỉ thích học môn Toán ? (số học sinh thích học môn
Ngữ văn và học môn Toán – số học sinh thích học môn Toán)
(4) Tìm số học sinh thích học cả hai môn Ngữ văn và Toán ? (số học sinh
thích học môn Ngữ văn và học môn Toán – (số học sinh chỉ thích học môn Ngữ
văn + số học sinh chỉ thích học môn Toán))
Giải

Số học sinh thích học môn Ngữ văn và học môn Toán
40 – 2 = 38 học sinh
Số học sinh chỉ thích học môn Ngữ văn
38 – 30 = 8 học sinh
Số học sinh chỉ thích học môn Toán
38 – 25 = 13 học sinh
Số học sinh thích học cả hai môn Ngữ văn và Toán
38 – (8 + 13) = 17 học sinh
Ví dụ 4 (Bài 44 trang 21, sách Luyện giải và ôn tập Toán 6 – tập 1)
Một phép chia có thương là 9 và dư là 8. Hiệu giữa số bị chia và số chia là
88. Tìm số bị chia và số chia
Giáo viên nêu câu hỏi dẫn dắt học sinh phân tích bài toán
(1) Trong phép chia có dư có công thức tổng quát a = b.q + r (0 < r < b),
trong đó a là số bị chia, b là số chia, q là thương, r là số dư. Dựa vào công thức
hãy cho biết đề bài cho ta điều gì ? (a = b.9 + 8 hay a = 9b + 8)
(2) Đề bài còn cho ta biết điều gì ? (a – b = 88)
(3) Với giá trị a = 9b + 8 khi thay vào biểu thức a – b = 88 thì ta sẽ được
biểu thức mới như thế nào ? (9b + 8 – b = 88)
(4) Khi tính biểu thức 9b + 8 – b = 88 ta sẽ có được điều gì ? (tìm được số
chia b = 10)
(5) Để tìm được số bị chia ta làm như thế nào ? (lấy giá trị b = 10 thay vào
biểu thức a = 9b + 8)
Giải
Trong phép chia có dư có công thức tổng quát a = b.q + r (0 < r < b)
Theo đề bài ta có : a = 9b + 8
và a – b = 88
Thay a = 9b + 8 vào biểu thức a – b = 88 ta được :
- Trang 20 -

9b + 8 – b = 88
8b = 88 – 8
b = 80 : 8 = 10
suy ra a = 9.10 + 8 = 98
Vậy số bị chia là 98 và số chia là 10
Ví dụ 5 (Bài 10.18 trang 68, sách Các dạng toán và phương pháp giải Toán 6 – tập 1)
Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29 + 210. Chứng tỏ rằng :
a) A M3

b) A M31

Giải
a) A = 2 + 22 + 23 + …… + 210
a) A = (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + (27 + 28) + (29 + 210)
a) A = 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + 25(1 + 2) + 27(1 + 2) + 29(1 + 2)
a) A = 3.(2 + 23 + 25 + 27 + 29) M3
b) A = 2 + 22 + 23 + …… + 210
a) A = (2 + 22 + 23 + 24 + 25) + (26 + 27 + 28 + 29 + 210)
a) A = 2(1 + 2 + 22 + 23 + 24) + 26(1 + 2 + 22 + 23 + 24)
a) A = 2 . 31 + 26 . 31 = 31.(2 + 26) M31
Qua các ví dụ trên cho thấy việc làm tăng khả năng phân tích bài toán và
việc lựa chọn phương pháp phân tích không phải vấn đề dễ do đó đòi hỏi giáo
viên và học sinh cần phải rèn luyện thường xuyên. Vì vậy trong quá trình giảng
dạy hướng dẫn phân tích bài toán giáo viên cần lựa chọn phương pháp phân tích
phù hợp và làm cho học sinh dễ hiểu.
6. Bồi dưỡng việc sáng tạo ra bài toán mới từ một bài toán đã cho
Trong quá trình dạy toán nói chung và bồi dưỡng học sinh giỏi nói riêng,
mỗi giáo viên phải cố gắng không ngừng tìm tòi, nghiên cứu tìm ra phương pháp
giảng dạy mới nhất, hiệu quả nhất. Hướng dẫn học sinh pháp huy tính chủ động,
tích cực, sáng tạo, linh hoạt, huy động thích hợp các kiến thức và khả năng vào

các tình huống khác nhau, không dừng lại ở cái đã biết mà phải quy những cái
chưa biết về cái đã biết. Giúp các em hiểu được mình, tự làm chủ kiến thức toán
học.
* Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (Bài 87 trang 18, sách bài tập Toán 6 – tập 2)

1
1
(n ∈ Z, n > 0) . Chứng tỏ rằng tích của hai
và
n
n +1
1 1
1
1
= −
phân số này bằng hiệu của chúng .
n n +1 n n +1
a) Cho hai phân số

- Trang 21 -


b) Áp dụng kết quả trên để tính giá trị biểu thức sau :

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A= . + . + . + . + . + . + .
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
Giáo viên nêu câu hỏi dẫn dắt học sinh phân tích bài toán và định hướng
cách giải bài toán

(1) Để chứng minh một đẳng thức ta có những phương pháp nào ? (chứng
minh vế trái bằng vế phải, vế phải bằng vế trái, hai vế của đẳng thức bằng biểu
thức thứ ba)

1 1

1
=
(2) Vế trái cho ta được kết quả gì ?  .
÷
 n n + 1 n.(n + 1) 
(3) Để tính vế phải cho ta làm như thế nào ? (Vế phải ta có thể coi là phép
trừ hai phân số không cùng mẫu, ta quy đồng mẫu và thực hiện phép trừ hai
phân số không cùng mẫu ta sẽ có kết quả)

1 1
. có thể được viết dưới dạng hiệu của hai
2 3
1 1 1 1
phân số như thế nào ?  . = − ÷
 2 3 2 3
(4) Theo kết quả ở câu a thì

Giải
a)

1 1
1.1
1
.

=
=
n n + 1 n.(n + 1) n.(n + 1)
1
1
n +1 − n
1
−
=
=
n n + 1 n.(n + 1) n.(n + 1)
Vậy

1 1
1
1
.
= −
n n +1 n n +1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
b) A = . + . + . + . + . + . + . b)
2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 9
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
=  − ÷+  − ÷+  − ÷+  − ÷+  − ÷+  − ÷+  − ÷
 2 3 3 4  4 5 5 6 6 7  7 8 8 9
=

1 1 9 2
7

− = − =
2 9 18 18 18

- Trang 22 -


Sáng tạo bài toán mới
Bài 1. Tính nhanh

A=

1 1
1
1
1
1
+ +
+ +
+
6 12 20 30 42 56

B=

1
1
1
1
1
1
1

+
+ +
+ +
+
30 42 56 72 90 110 132

C=

1 1
1
1
1
+ + + +
15 35 63 99 143

Bài 2. Tính

Hướng dẫn và đáp án
Bài 1.

A=

1
1
1
1
1
1
+
+

+
+
+
2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8

1 1 1 1
1 1 1 1 3
=  − ÷+  − ÷+ ... +  − ÷ = − =
 2 3 3 4
7 8 2 8 8
B=

1
1
1
1
1
1
1
+
+
+
+
+
+
5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 10.11 11.12

7
1 1 1 1
1 1 1 1

=  − ÷+  − ÷+ ... +  − ÷ = − =
5 6 6 7
 11 12  5 12 60
Bài 2.

C=

1
1
1
1
1
+
+
+
+
3.5 5.7 7.9 9.11 11.13

Tích của các mẫu là hai số cách đều hai đơn vị nên ta nhân tử cho
2 và chia mẫu cho 2 đối với mỗi phân số trong tổng.

1 2
2
2
2
2 
= 
+
+
+

+
÷
2  3.5 5.7 7.9 9.11 11.13 
11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
=  − + − + − + − + − ÷
2  3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 
1  1 1  1 10 5
=  − ÷= . =
2  3 13  2 39 39
Qua ví dụ trên cho thấy, từ một đẳng thức đã được chứng minh và sau đó
được áp dụng vào một bài toán cụ thể về tính tổng thì giáo viên có thể giúp học

- Trang 23 -


sinh giải được các bài toán khác cùng loại với bài toán ban đầu nhưng khi chưa
phân tích, tìm hiểu học sinh cứ tưởng đó là những bài toán hoàn toàn khác nhau.
Ví dụ 2 (Bài 8.16 trang 62, sách Các dạng toán và phương pháp giải Toán 6 – tập 2)
Chứng tỏ rằng tổng của ba phân số sau đây nhỏ hơn 2

A=

10 9 11
+ +
27 16 34

Giáo viên hướng dẫn học sinh cách giải bài tập
Giải
Ta có

10 10 2 9
9 3 11 11 1
<
= ;
< = ;
<
=
27 25 5 16 15 5 34 33 3

Do đó A =

10 9 11 2 3 1
+ +
< + +
27 16 34 5 5 3

Suy ra A < 1 +

1
<2
3

Vậy A < 2
Sáng tạo bài toán mới
Bài 1. Chứng tỏ rằng tổng của các phân số sau đây lớn hơn

B=

1
2

1 1 1
1
+ + + ........ +
12 13 14
22

Bài 2. Cho tổng C =

1 1 1
1
1
+ + + ..... + +
. Chứng tỏ rằng C > 1
10 11 12
99 100

Bài 3. Cho tổng D =

1 1 1
1
+ + + ..... + . Chứng tỏ rằng D < 2
5 6 7
17

Hướng dẫn và đáp án
Bài 1.
Mỗi phân số
Do đó B =

1 1 1
1
1
, , ,......, đều lớn hơn
12 13 14
21
22

1 1 1
1
1
1
1
1
+ + + .... +
>
+
+
+ .... +
12 13 14
22 22 22 22
22

11 1
=
Suy ra B >
22 2

11 phân số

- Trang 24 -


Bài 2.

1
1   1
1
1
1 
 1 1 1
C =  + + + ... + + ÷+  + + ... + +
÷
89 90   91 92
99 100 
 10 11 12
C1

C2

1
1
1 
81 9
 1
+ + .......... + ÷ suy ra C1 >
=
Ta có C1 >  +
90 
90 10

 90 90 90
81 phân số

1
1 
10
1
 1
+
+ ............. +
=
Ta có C2 > 
÷ suy ra C2 >
100 
100 10
 100 100
10 phân số

Vậy C = C1 + C 2 >

9 1 10
+ =
= 1 suy ra C > 1
10 10 10

Bài 3.

1 1 
1 1 1 1 1  1 1
D =  + + + + ÷+  + + ... + + ÷

16 17 
 5 6 7 8 9   10 11
D2

D1

1 1 1 1 1 5
+ + + + = = 1 suy ra D1 < 1
5 5 5 5 5 5
1 1
8
1 1
Ta có D 2 <  + + ...... + + ÷ suy ra D 2 < = 1
8 8
8
8 8
Ta có D1 <

8 phân số

Vậy D = D1 + D2 < 1 + 1 = 2 suy ra D < 2
III. BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Qua việc áp dụng đề tài, bản thân tôi nhận thấy :
- Trong quá trình soạn giảng thì người giáo viên cần phải xây dựng hệ
thống câu hỏi dẫn dắt để giúp các em phân tích bài toán, định hướng cách giải
bài toán và cũng từ đó rèn cho các em có những lựa chọn cách giải bài toán phù
hợp với sự hiểu biết mình.
- Dưới sự hướng dẫn tận tình của giáo viên thì quá trình học tập của
học sinh sẽ gặp nhiều thuận lợi và cũng góp phần làm tăng thêm hứng thú học
tập ở học sinh.

- Khi giảng dạy giáo viên cần chú trọng phát huy đồng đều các đối
tượng học sinh trong lớp, trong quá trình xây dựng kiến thức mới hay rèn luyện
kỹ năng làm toán của học sinh.
- Trang 25 -