Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình navier stokes ( Luận văn thạc sĩ)

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ THÙY DƯƠNG

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

THÁI NGUN, 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

ĐẠI HỌC THÁI NGUN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

VŨ THỊ THÙY DƯƠNG

TÍNH CHÍNH QUY CỦA NGHIỆM YẾU CỦA HỆ
PHƯƠNG TRÌNH NAVIER - STOKES

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:
PGS. TSKH NGUYỄN MINH TRÍ

Thái Ngun - Năm 2014

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Lời cam đoan
Tơi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi. Các kết quả nêu
trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai cơng bố trong bất kỳ
cơng trình nào khác.
Thái Ngun, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Vũ Thị Thùy Dương

i
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Một số ký hiệu
• C(U ) = {u : U → R | u liên tục}.
• C(U¯ ) = {u ∈ C(U ) | u liên tục đều}.
• C k (U ) = {u : U → R | u là liên tục khả vi k lần}.

• C k (U¯ ) = {u ∈ C k (U ) | Dα u là liên tục đều với mọi |α| ≤ k }.
¯ ) thì Dα u thác triển liên tục tới U¯ với mọi đa chỉ
Do đó: nếu u ∈ C k (U
số α, |α| ≤ k .
• L2 ([a, b], Rm ): tập các hàm khả tích bậc hai trên [a, b] và lấy giá trị
trong Rm .
• C ∞ (U ) =
C ∞ (U¯ ) =

∞

C k (U ) = {u : U → R | u là khả vi vơ hạn lần}, và

k=0

∞

C k (U¯ ).

k=0

• Cc (U ), Cck (U ), ...,, ký hiệu các hàm trong C(U ), C k (U ), ..., với giá
compact.
• Lp (U ) = {u : U → R | u là đo được Lebesgue, u

Lp (U )

< ∞}.

Trong đó

u

Lp (U )

p

1
p

|u| dx

=
U

(1 ≤ p < ∞).
• L∞ (U ) = {u : U → R | u là đo được Lebesgue, u

L∞ (U )

Trong đó

u

L∞ (U )

= ess sup |u|.
U

•

Lploc (U )

= {u : U → R | u ∈ Lp (V ), với mọi V ⊂⊂ U }.

ii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>
< ∞}.


Mục lục

Lời cam đoan

i

Một số ký hiệu

ii

Mục lục

iii

Mở đầu

1

1 Một số kiến thức chuẩn bị

3

1.1

Khơng gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2

Khơng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1

Đạo hàm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2

Khơng gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.3

Khơng gian H −1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.4

Khơng gian phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . .

6

Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.1

Bất đẳng thức Cauchy với ε . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.2

Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.3

Bất đẳng thức nội suy đối với chuẩn Lp . . . . . . .

8

1.3.4

Bất đẳng thức Gronwall . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3.5

Bất đẳng thức Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3.6

Bất đẳng thức Hardy - Littlewood . . . . . . . . . .

9

1.3

2 Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes
2.1

10

Phương trình Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

iii
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

2.2

2.3

2.1.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.1.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Tốn tử Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2

Tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes . . . . . . . 13
2.3.1

Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.2

Sự tồn tại và duy nhất của nghiệm yếu của hệ Navier
- Stokes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình Navier
- Stokes

17

3.1

Nghiệm yếu chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2

Điều kiện chính quy của nghiệm yếu thơng qua tiêu chuẩn
năng lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Tài liệu tham khảo

30

iv

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Mở đầu
Hệ phương trình Navier-Stokes lần đầu tiên được nghiên cứu vào năm
1822, cho đến nay đã có rất nhiều cơng trình nghiên cứu viết về phương
trình này tuy nhiên những hiểu biết của ta về phương trình này còn q
khiêm tốn. Muốn hiểu được hiện tượng sóng dập sau đi con tàu chạy
trên mặt nước hay hiện tượng hỗn loạn của khơng khí sau đi máy bay
khi bay trên bầu trời, ... chúng ta đều phải tìm cách giải hệ phương trình
Navier-Stokes. Do nhu cầu của Khoa học và Cơng nghệ mà việc nghiên
cứu hệ phương trình Navier-Stokes ngày càng trở nên thời sự và cấp thiết.
Hệ phương trình Navier-Stokes mơ tả sự chuyển động của chất lỏng
trong Rn (n = 2 hoặc n = 3). Ta giả thiết rằng chất lỏng khơng nén
được lấp đầy Rn . Ta tìm một hàm vector vận tốc u(t, x) = (ui (t, x)), i =

1, 2, ..., n và hàm áp suất p(t, x), xác định tại vị trí x ∈ Rn và thời gian
t > 0, thỏa mãn hệ phương trình Navier-Stokes như sau:
∂ui
+
∂t

n

uj
j=1

∂ui
∂p
= ν ui −
+ fi (t, x)
∂xj
∂xi

(x ∈ Rn , t > 0, i = 1, 2, ..., n), u = (u1 , u2 , ..., un ),
n

div u =
i=1

∂ui
= 0 (x ∈ R, t > 0).
∂xi

Với điều kiện ban đầu

u(0, x) = u0 (x).
Ở đây, hàm vector u0 (x) là hàm khả vi vơ hạn với div u0 = 0, fi (t, x)
là những hàm đã biết biểu thị các lực tác động bên ngồi, ν là một hệ số
dương.
Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo.
Cụ thể như sau:
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Nghiệm yếu của hệ phương trình Navier-Stokes.
Trong chương này trình bày khái niệm phương trình Stokes, tốn tử
Stokes, hệ phương trình Navier - Stokes, sự tồn tại và duy nhất của nghiệm
yếu của hệ phương trình Navier - Stokes.
Chương 3: Tính chính quy của nghiệm yếu của hệ phương trình NavierStokes.
Chương này trình bày kết quả chính về tính chính quy của nghiệm yếu
của hệ phương trình Navier - Stokes. Một nghiệm yếu u của hệ phương
trình Navier - Stokes gọi là chính quy nếu động năng hoặc năng lượng
1
phân tán là liên tục Holder trái, như một hàm của t với số mũ Holder
2
và nửa chuẩn Holder đủ nhỏ, theo [3].
Cuối cùng, tơi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới thầy
PGS. TSKH Nguyễn Minh Trí, người đã tận tình hướng dẫn, tạo mọi điều
kiện giúp đỡ tơi hồn thành luận văn này. Tơi xin chân thành cảm ơn Ban
chủ nhiệm Khoa Sau đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Tốn – Trường Đại
học Sư phạm – Đại học Thái Ngun cùng các thầy, cơ giáo đã giảng dạy
khố học, xin chân thành cảm ơn ThS Đào Quang Khải - Phòng Phương
trình vi phân đã quan tâm, động viên và giúp đỡ tơi trong suốt thời gian
học tập và làm luận văn này.

2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này trình bày sơ bộ về khơng gian Holder, khơng gian
Sobolev và một số bất đẳng thức cơ bản.

1.1

Khơng gian Holder

Cho U ⊂ Rn là một tập mở và 0 < γ ≤ 1.
Định nghĩa 1.1.1. (i) Hàm số u : U → R được gọi là liên tục Holder
bậc γ nếu tồn tại hằng số C > 0 sao cho

|u(x) − u(y)| ≤ C|x − y|γ , x, y ∈ U.
Khi γ = 1, hàm số u được gọi là liên tục Lipschitz.

(ii) Nếu u : U → R là bị chặn và liên tục, ta định nghĩa:
u

¯)
C(U

= sup |u(x)|.
x∈U

(iii) Nửa chuẩn Holder bậc γ của u : U → R là
[u]C 0,γ (U¯ ) = sup

x,y∈U

x=y

|u(x) − u(y)|
|x − y|γ

và chuẩn Holder bậc γ là

u

¯)
C 0,γ (U

= u

¯)
C(U

+ [u]C 0,γ (U¯ ) .

3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

¯ ) gồm tất cả các hàm số
Định nghĩa 1.1.2. Khơng gian Holder C k,γ (U
u ∈ C k (U¯ ), mà chuẩn
u

¯)
C k,γ (U

Dα u

=

¯)
C(U

[Dα u]C 0,γ (U¯ )

+
|α|=k

|α|≤k

¯ ) gồm tất cả các hàm số u sao cho
là hữu hạn. Như vậy, khơng gian C k,γ (U
các đạo hàm riêng cấp k của nó là bị chặn và liên tục Holder bậc γ .

¯ ) là khơng gian Banach với
Định lý 1.1.1. Khơng gian Holder C k,γ (U
chuẩn

1.2
1.2.1

·

¯ ).
C k,γ (U

Khơng gian Sobolev
Đạo hàm yếu

Định nghĩa 1.2.1. Giả sử u, v ∈ L1loc (U ) và α là một đa chỉ số. Ta nói
rằng v là đạo hàm yếu cấp α của u nếu

uDα φdx = (−1)|α|
U

vφdx
U

đúng với mọi hàm thử φ ∈ Cc∞ (U ). Ký hiệu Dα u = v.
Bổ đề 1.2.1. (Tính duy nhất của đạo hàm yếu). Một đạo hàm yếu cấp α
của u nếu tồn tại thì được xác định một cách duy nhất (sai khác trên tập
có độ đo khơng).

1.2.2

Khơng gian Sobolev

Định nghĩa 1.2.2. Cố định 1 ≤ p ≤ ∞ và cho k là số ngun khơng
âm. Khơng gian Sobolev Wpk (U ) là tập tất cả các hàm khả tổng địa phương

u : U → R sao cho với mỗi đa chỉ số α, |α| ≤ k , đạo hàm yếu Dα u tồn
tại và thuộc Lp (U ).

Chú ý: Nếu p = 2 ta có H k (U ) = W2k (U ) (k = 0, 1, 2, ...) là khơng
gian Hilbert. Chú ý rằng H 0 (U ) = L2 (U ).

4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

Định nghĩa 1.2.3. Nếu u ∈ Wpk (U ), ta định nghĩa chuẩn của nó là

1/p


α p


(1 ≤ p < ∞)
U |D u| dx
|α|≤k
u Wpk (U ) =



ess sup |Dα u|
(p = ∞).

U

|α|≤k

Định nghĩa 1.2.4. Bao đóng của Cc∞ (U ) trong H k (U ) được ký hiệu là
◦

H k (U ).
◦

Như vậy, ta coi H k (U ) như là tập các hàm u ∈ H k (U ) sao cho

Dα u = 0 trên ∂U với mọi |α| ≤ k − 1.
Ta ký hiệu |u| = u

L2 (Ω) .

Chuẩn Dirichlet
1/2

n

∇u

L2 (Ω)

|Di u|2 dx

=
Ω i=1

được ký hiệu là u .

Khơng gian H −1

1.2.3

◦

Định nghĩa 1.2.5. Khơng gian đối ngẫu của H 1 (U ) được kí hiệu là

H −1 (U ), tức là f ∈ H −1 (U ) nếu f là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn
◦

trên H 1 (U ).
Định nghĩa 1.2.6. Nếu f ∈ H −1 (U ) thì
◦

f

H −1 (U )

= sup{ f, u |u ∈ H 1 (U ), u

◦

H 1 (U )

≤ 1}.
◦

Ta viết <, > để kí hiệu giá trị của f ∈ H −1 (U ) trên u ∈ H 1 (U ).

Định lý 1.2.1. (Cấu trúc của H −1 )
(i) Giả thiết f ∈ H −1 (U ). Khi đó tồn tại các hàm f 0 , f 1 , ..., f n trong

L2 (U ) sao cho
n
0

f, v =

f vxi )dx (v ∈ H 1 (U )).

(f v +
U

◦
i

i=1

5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>

(ii) Hơn nữa,
1/2

n

f

H −1 (U )

1.2.4

= inf{

U

i 2

f thỏa mãn (i), f 0 , ..., f n ∈ L2 (U )}.

|f | dx
i=0

Khơng gian phụ thuộc thời gian
· .

Cho X là khơng gian Banach thực với chuẩn
Định nghĩa 1.2.7. Khơng gian

Lp (0, T ; X)
gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → X với
1/p

T

u

Lp (0,T ;X)

u(t) p dt

=

< ∞ với 1 ≤ p < ∞, và

0

u

L∞ (0,T ;X)

u(t) < ∞.

= ess sup
0≤t≤T

Định nghĩa 1.2.8. Khơng gian

Lp (0, T ; Lq )
gồm tất cả các hàm đo được u : [0, T ] → Lq với
1/p

T

u

Lp (0,T ;Lq )

=

u(t, x)
0

p
Lq dt

T

|u(t, x)|q dx

=
0

Ω

u(t)

Lq (Ω)

với 1 ≤ p < ∞, và

u

L∞ (0,T ;Lq )

= ess sup

< ∞.

0≤t≤T

Định nghĩa 1.2.9. Khơng gian

C([0, T ]; X)
gồm tất cả các hàm liên tục u : [0, T ] → X với

u

C([0,T ];X)

= max u(t) < ∞.
0≤t≤T

6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu

ĐHTN

/>
1/p

p/q

dt

<∞


Luận vận đậy đu ở file:Luận vận Full