Giáo trình Toán rời rạc (Khoa CNTT ) ĐHBK

Toán rời rạc
1

(Discrete Mathematics)


Các vấn đề sẽ học trong môn Toán rời rạc
2

 Kỷ thuật đếm cơ bản
 Kỷ thuật đếm nâng cao
 Phương pháp liệt kê
 Các khái niệm về đồ thị
 Cách biểu diễn đồ thị trên máy tính
 Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất và
cây phủ nhỏ nhất
 Bài toán luồng cực đại trên mạng
 Đại số mệnh đề

Các chương trình trong bài học sẽ được
cài đặt trên ngôn ngữ C


Sinh viên sẽ làm gì ở môn học
3

 Làm bài tập về nhà (thường 2 bài trên một buổi học)
 Chuyên cần (sẽ điểm danh nếu thấy cần thiết)
 Thi giữa kỳ
 Thi cuối kỳ

Tài liệu tham khảo
[1]. Kenneth H. Rosen. Toán Rời Rạc ứng dụng trong tin
học. NXB Khoa Học và Kỹ Thuật, 1998.
[2]. Nguyễn Đức Nghĩa, Nguyễn Tô Thành. Toán Rời
Rạc. NXB Giáo Dục, 1999
[3] Kenneth H. Rosen, Mc Graw Hill. Discrete
mathematics and its applications, 1999.


CHƢƠNG 1
KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

TOÁN RỜI RẠC
(DISCRETE MATHEMATICS)

Nguyễn Văn Hiệu

Email:

9/8/2011


6

1.1. Cơ sở của phép đếm.
1.2. Nguyên lý bù trừ
1.2. Các cấu trúc tổ hợp cơ bản.
1.3. Cấu trúc tổ hợp suy rộng.

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Nội dung


7

 Nguyên lý nhân: Giả sử phải thực hiện một thủ tục
gồm hai công việc kế tiếp nhau.
 Để thực hiện công việc thứ nhất có n1 cách,
 Ứng với mỗi cách thực hiện công việc thứ nhất có n2
cách thực hiện công việc thứ hai.

Vậy, có số cách thực hiện thủ tục đó là n1 x n2.

 Nguyên lý cộng: Giả sử phải thực hiện một công
việc và để thực hiện công việc đó, có thể chọn một
trong hai biện pháp khác nhau.
 Biện pháp thứ nhất có n cách thực hiện,
 Biện pháp thứ hai có m cách thực hiện.

Vậy, số cách thực hiện công việc là n + m

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

1.1. Cơ sỡ của phép đếm


8

Cơ sở của nguyên lý nhân? (mối liên hệ)

 Nếu A1, A2, ..., An là các tập hợp hữu hạn thì số phần tử
của tích Descartes của các tập hợp trên bằng tích của các
số lượng phần tử của các tập hợp trên:
|A1 A2  … Am|= |A1|х|A2|х, …,х|Am|

Cơ sở của nguyên lý cộng? (mối liên hệ )

 Nếu A1, A2, ..., An là các tập hợp hữu hạn rời nhau từng
đôi một, thì số phần tử hội của các tập hợp trên bằng
tổng của các số lượng phần tử trong mỗi tập hợp:
|A1 A2  …  Am|= |A1|+|A2|+ …+|Am|

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

1.1. Cơ sở của phép đếm (t)


Ví dụ 1:
9 Ghế ngồi trong một hội trường sẽ được ghi nhãn gồm
một mẫu ký tự và một số nguyên dương không lớn
hơn 100. Hỏi số ghế tối đa có thể được ghi nhãn khác
nhau là bao nhiêu?
Lời giải.

Thủ tục ghi nhãn cho một ghế gồm 2 việc: ghi một
trong 26 mẫu tự và kế tiếp là ghi một trong 100 số
nguyên dương.
Qui tắc nhân cho thấy có 26 x 100 = 2600 cách khác
nhau để ghi nhãn cho một ghế ngồi.
Vây, số ghế tối đa có thể được ghi nhãn khác nhau là

2600.

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Vi dụ


Ví dụ 2: Giả sử ta phải đi từ một vị trí A đến một vị trí C,
10 phải qua vị trí B. Để đi từ A đến B ta có 2 cách đi khác
nhau, và có 3 cách đi từ B đến C. Hỏi có bao nhiêu cách
để đi từ A đến C ?

B

C

A

Lời giải.
Một cách đi từ A đến C gồm 2 việc: đi từ A đến B, rồi đi từ
B đến C. Việc thứ nhất (đi từ A đến B) có 2 cách thực hiện,
việc thứ hai có 3 cách thực hiện. vậy, theo nguyên lý nhân,
số cách đi từ A đến C là 2 x 3 = 6.

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Vi dụ


Ví dụ 3: Hỏi có bao nhiêu xâu bit khác nhau có độ

11
dài một byte ?
Lời giải.
Mỗi bit có thể được chọn theo 2 cách, vì mỗi bit
là 0 hoặc 1.
Vậy, qui tắc nhân cho phép ta kết luận rằng có 28
= 256 chuỗi bit có độ dài 8.

Hỏi có bao nhiêu xâu bit khác nhau có độ dài n ?

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Vi dụ


Ví dụ 4: Có bao nhiêu ánh xạ đi từ một tập hợp
12
gồm m phần tử vào một tập hợp gồm n phần tử ?

Lời giải: Một ánh xạ đi từ tập A gồm m phần tử
vào một tập B gồm n phần tử tương ứng với việc
chọn lựa một trong n phần tử của B cho mỗi phần
tử của A. Do đó, theo qui tắc nhân, có n.n. ... .n =
n mũ m ánh xạ từ A vào B.

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Vi dụ

Ví dụ 6: Có bao nhiêu đơn ánh đi từ một tập m
13
phần tử vào một tập n phần tử ?
Lời giải.
 khi m > n thì không có một đơn ánh nào.
 m <= n. Giả sử các phần tử trong miền xác định của
ánh xạ là a1, a2,…,am.
Có n cách chọn ảnh qua ánh xạ cho phần tử a1.
Vì ánh xạ là đơn ánh nên đối với phần tử a2 ta chỉ có
n-1 cách chọn ảnh tương ứng (do giá trị ảnh được
chọn cho a1 không thể được chọn lại cho a2).
Tổng quát, giá trị ảnh của phần tử ak chỉ có thể được
chọn theo n-k+1 cách.
Theo qui tắc nhân, có n.(n-1). ... .(n-m+1) đơn ánh

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Vi dụ


Ví dụ 7: Tính giá trị của biến k của đoạn chương
14
trình sau:
k := 0
for( i1 = 0; i1 <=n1 ; i1 ++)
for (i2 = 0 ; i2 <= n2 ; i2 ++)
.
.
.
for ( inm = 0 ; i2 <= nnm ; inm ++)

k += 1;

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Vi dụ


Ví dụ 8:
15
Một sinh viên có thể chọn một đề tài từ một trong 3
danh sách.
Số đề tài trong các danh sách lần lượt là 23, 15, 19.
Hỏi sinh viên có bao nhiêu cách chọn một đề tài.
Lời giải:
Sinh viên có thể chọn một đề tài trong danh sách
thứ thứ nhất theo 23 cách, trong danh sách thứ hai
theo 15 cách, và trong danh sách thứ ba theo 19
cách.
Do đó số cách chọn đề tài là 23+15+19 = 57.

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Vi dụ


Ví dụ 9:
16
Tính giá trị của biến k của đoạn chương trình sau:
k := 0
for( i1 = 1; i1 <=n1 ; i1 ++)

k += 1;
For( i2 = 1 ; i2 <= n2 ; i2 ++)
k +=1;
.
.
.
for (inm= 1 ; i2 <= nnm ; inm ++)
k += 1;

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Vi dụ


Ví dụ 10:
17

Đếm số xâu bít khác nhau có độ dài 1 byte có
hai bit đầu 00 hoặc 11.
Lời giải:
Gọi A, B là xâu nhị phân độ dài 8 có hai bit đầu
00 hoặc 11 tương ứng.
|A|=|B|=26=64. Có AB=Ø.
Vậy, theo nguyên lý cộng, số byte có hai bit đầu
00 hoặc 11 là :
|A|+|B|=64+64=128.

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Ví dụ

Ví dụ 11:
X= {0,1,2,3,4,5}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên
khác nhau có ba chữ số từ X chia hết cho 2;

18

Lời giải:
Gọi số tự nhiên abc thỏa mản đk bài toán.
 Th1: c=0 ; c có 1 cách chọn; a có 5 cách chọn, b
có 4 cách chon. => 1.4.5 =20 cách
 Th2: c#0; c có 2 cách chọn; a có 4 cách chọn, b
có 4 cách chọn
=> 2.4.4=32 cách
Vậy tổng cộng có 20+32 =52 cách.

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Ví dụ


19

? Có bao nhiêu phương án trã lời đối với một sinh
viên giả sữ mỗi câu hỏi sinh viên đều trả lời
4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 * 4 = 410
? Có bao nhiêu phương án trã lời đối với một
sinh viên giả sữ mỗi câu hỏi sinh viên có thể
không trã lời?

5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 510

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Ví dụ 12: Một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 10
câu hỏi. Có bốn câu trả lời cho mỗi câu hỏi.


18*325 = 5850

Có bao nhiêu khả năng chọn một đại diện
mà đại diện đó thuộc chuyên ngành toán hoặc
chuyên ngành khoa học máy tính?
18+325 = 343

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Ví dụ 13: Một trường đại học danh tiếng có 18
chuyên ngành toán và 325 chuyên ngành khoa
20 học máy tính
Có bao nhiêu khả năng chọn hai đại diện một
thuộc chuyên ngành toán và một thuộc chuyên
ngành khoa học máy tính?


Ví dụ 14: Trên một phiên bản của ngôn ngữ BASIC
21

tên của một biến là một chuỗi gồm 1 hoặc 2 ký
tự, mỗi ký tự là mẫu tự hoặc ký số thập lục phân

và không phân biệt giữa chữ in hoa và chữ
thường. Hơn nữa, một tên biến phải bắt đầu bởi
một mẫu tự và tên biến phải khác với 5 chuỗi gồm
2 ký tự đã được dành riêng cho ngôn ngữ. Hỏi có
bao nhiêu tên biến khác nhau trong BASIC.
Lời giải. Đặt V là số tên biến khác nhau trong BASIC,
V1 là số biến gồm một ký tự, và V2 là số biến gồm hai ký tự.
Theo qui tắc cộng ta có V = V1 + V2.
V1 = 26.
V2 = 26.36 - 5 = 931.
Vậy có V = V1 + V2 = 26 + 931 = 957 tên khác nhau

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Một số bài toán đếm phức tạp hơn


Ví dụ 15: Mỗi người sử dụng trên một hệ thống
22
máy tính có một "password" dài từ 6 đến 8 ký tự,
trong đó mỗi ký tự là một chữ in hoa hoặc là một ký
số thập phân. Mỗi "password" phải có ít nhất một
ký số. Hỏi có bao nhiêu password khác nhau ?
Lời giải. Đặt P là số lượng tất cả các
"password", và P6, P7, P8 lần lượt là số các
"password" có độ dài 6, 7, 8. Do qui tắc cộng
ta có P = P6 + P7 + P8.
Để tính P6 cho dễ, ta tính số chuỗi có độ dài
6 gồm các chữ in hoa hay ký số thập phân,
kể cả các chuỗi không có ký số thập phân,

và trừ cho số chuỗi (với độ dài 6) không có
ký số thập phân. Theo qui tắc nhân, số chuỗi
gồm 6 ký tự là 366 và số chuỗi không có ký số
là 266. Suy ra

P6 = 366 - 266 = 1 867 866 560.
Tương tự, ta có thể tính ra
được :
P7 = 367 - 267 = 70 332 353
920.
P8 = 368 - 268 = 2 612 282 842
880.
Từ đó ta tính được :
P = P6 + P7 + P8 = 2 684 483
063 360.

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Một số bài toán đếm phức tạp hơn


23

 Giả sử có 2 công việc có thể tiến hành đồng thời. Số
cách thực hiện 1 trong hai công việc = tổng số cách
thực hiện từng công việc – số cách thực hiện cả hai
công việc.
 Cho A và B là hai tập hữu hạn. Khi đó

|AB| = |A| + |B| - |AB|

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

1.2. Nguyên bù trừ


Ví dụ 1: Một lớp ngoại ngữ Anh-Nga. Có 24 sinh
24

viên tiếng Nga, 26 sinh viên tiếng Anh, 15 sinh
viên vừa Anh và Nga. Hỏi lớp có bao nhiêu sinh
viên.
Lời giải:
Gọi A là tập các sinh viên tiếng Nga,
B là tập các sinh viên tiếng Anh.
|AB| - Số sinh viên vừa tiếng anh vừa tiếng Nga

Khi đó, số sinh viên của lớp là |AB|.

|AB| =|A|+|B| -|AB|=24+26-15=35

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Ví dụ


25

Ví dụ 2: Đếm số xâu có độ dài 1 byte có 2 bit đầu

00 hoặc 2 bit cuối 11.
Giải:

0

0

0 0

A=2.2.2.2.2.2=64
1 1

B==2.2.2.2.2.2=64

1 1

|AB|=2.2.2.2=16

|AB|=|A|+|B|-|AB|= 64+64-16=112

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Ví dụ


| A1  A2  A3 | ?

26

| A1  A2  A3 || A1 |  | A2 |  | A3 |  | A1  A2 |  | A1  A3 |  | A2  A3 |  | A1  A2  A3 |

CHƢƠNG 1: KỸ THUẬT ĐẾM CƠ BẢN

Ví dụ