Sach luyen thi Dai hoc day du 2016

Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357

BÀI TẬP ÔN TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC CHƢƠNG 1
A. CÔNG THỨC ĐẠO HÀM:
Đạo hàm hàm số sơ cấp
( )
( )
(
3. ( )
(√ )

√

(
(

)
)

(

)

(

)

(

)

(√ )

)
)

(

)

( )
)
)

(

)

(

)

(

)

(

)

(
(

)
)
(

)
)

)

|

'

 u  u ' v  uv '
14.   
v2
v
15.  uv  '  u ' v  uv '
16. F '  a x  b   a f  a x  b 



)

)
(

(

)

(
(

(
(

)
)
)

(

√

( )
(

( )

(
(

(

Đạo hàm hàm hợp

( )
( )



'





|

(

|

|

|

)

|

(

'

17. sin 2 x  sin 2 x; cos 2 x   sin 2 x

B. ĐỊNH m ĐỂ HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HAY NGHỊCH BIẾN
 Tìm tập xác định D và đạo hàm
 Hàm số đồng biến trên D ⇔
 Hàm số nghịch biến trên D ⇔
Dấu “=” không xảy ra với hàm nhất biến
LƯU Ý: nếu ( )


( )

⇔,



( )

⇔,
1

(

|
)

)

|

Ths. Nguyễn Minh Tuấn
là nghiệm của f(x) = 0 và


⇔

Mobile 0.984.489.357

⇔{

⇔{

C. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: y = f(x)
a  0
Hàm số có cực trị ⇔ y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt  
.
  0
Hàm số không có cực trị ⇔ y ' không đổi dấu
( )
Hàm số đạt cực trị x = x0 ⇔ {
( )
( )
Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔ {
( )
( )
Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔ {
( )
Chú ý: đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm
triệt tiêu hoặc tại đó đạo hàm không xác định.

D. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT





[
]
PP tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên
,
Tính đạo hàm y
[
]
Cho y, = 0 các nghiệm
Tính f(a), f(b), f(x0), f(x1)…
So sánh các giá trị này và kết luận max, min
Chú í: Nếu tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên (
và suy ra max, min.

) ta lập bảng biến thiên của các hàm số

E. TỪ ĐỒ THỊ (C) y = f(x) SUY RA CÁC ĐỒ THỊ LIÊN QUAN
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.
Đồ thị (C,): y = – f (x) là đối xứng của (C) qua trục Ox.
(| |)
Đồ thị (C,):
,
Ta có (C ) là đồ thị của hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua Oy, (C,) = ( )
( ) trùng với (C) phần

( ) là đối xứng của ( ) qua Oy.
( )
( )
| ( )| {
b. Đồ thị (C,):
( )
( )
Ta có ( ) ( ) ( )
(C1) trùng với (C) phần nằm trên Ox (ứng với
)
(C2) đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) dưới Ox (phần còn lại của (C) ứng với y < 0).
a.

2


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
( )
( )
{
c. Đồ thị (C3)
( )
( )
(*) phần đồ thị (C) ứng với
(**) phần đồ thị (C,) đối xứng của (C) qua Ox, ứng với x < a.

Mobile 0.984.489.357

F. ĐIỀU KIỆN TIẾP XÚC
Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2) y= g(x). (C1) tiếp xúc với (C2) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm:

( )
( )
{
( )
( )
G.

PHƢƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN
DẠNG 1: Phương trình tiếp tuyến tại điểm:
) ( ) là
Phương trình tiếp tuyến của (C): y= f(x) tại điểm (
( )(
Trong đó: M (x0, y0) gọi là tiếp điểm.
( ) là hệ số góc tiếp tuyến ( là biểu thức của ( ) mà đổi x thành
DẠNG 2: Tiếp tuyến có hệ số góc a cho trước:
Gọi là tiếp tuyến của (C) có hệ số góc ( )
Giải phương trình:
( ). Tìm x0 suy ra y0. Từ đó viết PTTT.
CHÚ Ý: Tiếp tuyến ( ) ( )
( )
Tiếp tuyến ( ) ( )
( )
Tiếp tuyến ( ) hợp với chiều dương trục hoành một góc thì hệ số góc của ( )
DẠNG 3: phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) đi qua M (x0, y0)
(
)
Gọi ( ) là tiếp tuyến của (C) qua M (x0, y0), có hệ số góc k ( )
( ) tiếp xúc (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm:
( )
(

) ( )
{
( )
( )
Thế (2) vào (1) rồi giải hệ suy ra x0 k rồi viết PTTT.

)
)

.

H. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ
-

Cho (C): y = f(x). Dựa vào (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình: f(x, m) = 0 (1)
Bước 1: khai triển, biến đổi (1) về dạng f (x) = g(m) (2).
Bước 2: Lập luận: số nghiệm của phương trình (1) là số giao điểm của hai đồ thị (C): y = f(x) và
thẳng (d): y = g(m) (song song với Ox, cắt Oy tại (0; g(m)).
Bước 3: Dựa vào đồ thị (C) biện luận…

BÀI TẬP
Bài 1: Xét tính đơn điệu và tìm cực trị của hàm số:

1) y  3x  2 x
2

3

1
2) y  x3  4 x 2  15 x

3

 x 2  3x  6
4 x2  2 x  1
5) y 
6) y 
x2
2 x2  x  3

1 4
 x4
3
2
3) y  x  x  3 4) y 
 x2 
2
2
2

7) y   x  2   x  1 8) y  x 4  x
3

3

4


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357

9) y  x 2  2 x  5 10) y  x  2 x  x 2 11) y  x  3  2 2  x
13) y 

12) y  x 2  x3

2x  1
1 x
x 1
x2
14) y 
15) y  x  2 x  x 2 16) y 
17) y 
x3
2x  3
2x 1
x 1

Bài 2: Tìm m để hàm số:
1) y  x3  3mx 2   m  2  x  m đồng biến trên tập xác định.
2) y 

mx  4
x3 mx 2
đồng biến trên tập xác định.

 2 x  1 đồng biến trên  ;   . 3) y 
3
2
xm

4) y  x3  3x 2  mx  m nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

x3 mx 2
5) y 

 2mx  m  1 nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 3.
3
2
x3
6) y 
  m  1 x 2   m  1 x  1 đồng biến trên 1;  .
3
7) y  x3  3 2m  1 x 2  12m  5 x  2 đồng biến trên  2;  .
8) y 

xm
đồng biến trên  1;   .
xm

3
2
9) y   m  2  x  3x  mx  5 nghịch biến trên  ;   .

Bài 3. Tìm m để hàm số:
3
2
1) y   m  2  x  3x  mx  5 có cực đại, cực tiểu.





2) y  x3  3 m  1 x 2  2m2  m  2 x  m  m  1 có cực đại, cực tiểu.
3
2
3) y  2 x  3 2m  1 x  6m  m  1 x  1 có cực đại tại x=2.
4
2
4) y  mx  2  m  2  x  mx  5 có cực tiểu tại x 









1
.
2

5) y  x3  2  m  1 x 2  m2  4m  1 x  2 m2  1 đạt cực trị tại 2 điểm x1,x2 sao cho:

1 1 1
   x1  x2  .
x1 x2 2
1
3

6) y  mx3   m  1 x 2  3 m  2  x 

1
có cực đại, cực tiểu tại 2 điểm x1,x2 sao cho: x1+2x2 =1.
3

7) y  x4  mx 2  4 x  m có 3 cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận O làm trọng tâm.
8) y  x3  3mx 2  4m2 có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về một phía của 3x - 2y + 8 =0.
9) y  x3  x 2  m có 2 điểm cực A,B sao cho tam giác AOB  1200.
3
2
10) y  2 x  3 m  1 x  6m 1  2m  x có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên y = - 4x.

4


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của:
1) y 

Mobile 0.984.489.357

x 1
tại giao điểm của (C) với trục hoành.
x2

2) y  2 x3  3x 2  9 x  4 tại giao điểm với đường thẳng y=7x+4.
3) y 

5 x  11
tại xA=2. Tính diện tích tạo bởi tiếp tuyến với hai trục tọa độ.
2x  3

x3
4) y 
 2 x 2  3x  1 biết tiếp tuyến song song với y=3x+2.
3
2x  1
4
5) y 
biết tiếp tuyến song song với y   x  2 .
x2
3
Bài 5: Tìm m để hàm số có tiếp tuyến chắn trên Ox, Oy một tam giác có diện tích S
1) y 

1
2x  m
tại A có xA=2 và S= .
2
x 1

2) y 

9
x  3m
tại B có xB  1, S  .
2
x2

3) y  x3  1  m  x  1 tại điểm C có xC  0, S  8.
Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
1) y 

x2  9
trên  2;4
x
4
  
4) y  2sin 2 x  sin 4 x trên  ; 
3
4 2
   
; 
6) y  5cosx  cos5x trên 
4
4


2x  1
trên  2;4
1 x

2) y 

 

3) y  x  2 cos x trên 0; 
 2

5) y  x 

1
 5 trên  0; 
x

7) y  3cos3x  2cos2 x  9cos x  2

6) y  sin 4 x  cos2 x

Bài 7: Cho x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình 12 x 2  6mx  m2  4 

12
 0 . Tìm m để
m2

A  x12  x22 đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
Các bất đẳng thức cơ bản

1) a 2  b2  c 2  ab  bc  ac
1 1
3)  a  b      4
a b
a 3  b3  a  b 
5)


2
 2 

1
 a  b  c 2  ab  bc  ac
3
1 1 1
4)  a  b  c       9
a b c
2) a 2  b 2  c 2 

2

6)

1
1

3
a  b  abc ab  a  b  c 
3

5


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

7)

Mobile 0.984.489.357

ab
ab


4
ab

8)

a 3  b3 a  b
a 2  b2


2
2
2
1
1
2
12)


2
2
1  a 1  b 1  ab

ab
ab
1
c
 2 2



5
a  b  ab a b  a  b   ab ab  1 a  b  c
5

ab
a 3  b3
10)

2
2

9) 3

11)

a
b

 a b
b
a

13) a 2  b 2  c 2  3  2  a  b  c 

14) a 2  b 2  c 2  d 2  e2  a  b  c  d  e 

15) a 2  b 2  c 2  2ab  2bc  2ac
2

abc

ab  bc  ac
16)

3
3

a 2  b2  c2  a  b  c 
17)


3
3



18) a  b  2 ab

19) ab  cd  a 2  c 2 . b 2  d 2

Dấu = xảy ra khi a=b
Dấu = xảy ra khi a.d=b.c
Bài 8: Giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau:

1) 2 x 2 x  2  144

2) x3  3x   x 2  4 x  7





3) 5 x  1  x  3  11 4)3 x 2  9 x 2  3   4 x  2 
5) x3  4 x 2  5 x  6  3 7 x 2  9 x  4
 x3  3x  y 3  3 y
7) 
6
6
 x  y  1

 1  x  x  1  0
2

6) x5  x3  1  3 x  4  0

 2 x  3  4  y  4
8) 
 2 y  3  4  y  4

 x  y  sinx  siny
9) 
sinx  sin y  2

Bài 9: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:
3

3

 x 1
 y 1
2

2
1) Cho x, y>0 thỏa x+y+xy=3. Tìm GTNN của P  4 
 4
  x y

 x 
 y 

16
3 x3 y 3
2
2 2
2) Cho x, y thỏa 3 
.
Tìm
GTLN
của
 
 2
P

x
y

xy y
x x  y2
x2  y 2  2
3) Cho x, y là các số thực thỏa x 2  y 2  z 2  1 . Tìm GTLN của

P

xy
yz
 x3 y 3  y 3 z 3


1  z 2 1  x2
24 x3 z 3

4) Cho a, b, c 

. Tìm GTLN của P 

2
a  b  c  3


a 2  b2  c 2  1 3 a  1 b  1 c  1

2

5) Cho a, b, c là ba cạnh một tam giác thỏa điều kiện 2b+c=abc. Tìm GTNN của

P

3
4
5



bc a a c b a bc
6


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357

BÀI TẬP KHẢO SÁT VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
BÀI TẬP CƠ BẢN
Bài 1: Cho hàm số y   x  3x  1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3  3x2  m  0 .
4
2
Bài 2: Cho hàm số y  x  2 x có đồ thị (C ).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2. ĐS:
3

2

y  24 x  40

Bài 3: Cho hàm số y  2 x  3 có đồ thị (C).
2x 1
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung. ĐS y  8x  3
Bài 4: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C) trong các trường hợp:
a) y  x  3x  2 biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.

3

2

b) y  x  2x biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24x.
4

2

c) y  2 x  3 biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  1 x
2x 1

2

ĐS: a) y  9x  25 và y  9 x  14 .

b) y  24 x  40

c) y  2 x  6 và y  2 x  2 .

Bài 5: Cho hàm số y   x  3x  1 có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x 4  3x 2  m  0 có 4 nghiệm phân biệt.
4

2

c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y   x  3x  1 trên [0; 2].
4

2

ĐS: b) 0  m  9 c) min y  3 tại x = 2. max y  13 tại x 
4

[0;2]

[0;2]

4

3
.
2

Bài 6: Cho hàm số y  x  (m  1) x  (2m  1) x  1  3m .
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số có cực trị.
ĐS: m  2 thì hàm số có cực trị.
3

Bài 7: Cho hàm số y 

2

2x 1
có đồ thị (C).
x2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng y = x – m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân
biệt.
BÀI TẬP NÂNG CAO MỘT TÍ
1
3

Bài 1: Cho hàm số y  x3  x 2
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm trên (C) có tung độ bằng 0.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 3.
7


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357

Bài 2: Cho hàm số y  2 x  3(m  1) x  6mx  2m
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
b) Tìm giá trị của m để hàm số đạt cực trị tại x = 1. Khi đó xác định giá trị cực trị của hàm số tại đó.
3

2

2

Bài 3: Cho hàm số y   x  3x  4 có đồ thị (C).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y  9 x  7 .
3

2

c) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y   x  3x  4 trên [1; 3].
3

2

Bài 4: Cho hàm số y  x  mx  m  1 , m là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) của hàm số khi m = 3.
3

2

1
3

1
3

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng d : y  x  .
c) Xác định m để hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 2.
BT 5: Cho hàm số y  x  3mx  3(2m  1) x  1
a) Định m để hàm số đồng biến trên TXĐ.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị với m = 1.
3

2

Bài 6: Cho hàm số y  x  mx  (m  1) có đồ thị (Cm).

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểm M(-1;4).
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = -2.
4

2

c) Tìm m để hàm số y  x  mx  (m  1) có cực đại và cực tiểu.
4

2

1
4

Bài 7:Cho hàm số y  x 4  3x 2 

3
có đồ thị (C).
2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 2.
c) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: x4 12 x2  1  m  0
1
4

BT8: Cho hàm số y  x 4 
a)
b)
c)

d)

m 2 3
x 
(Cm ) .
2
2

Khảo sát hàm số khi m = 1.
Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Tìm điều kiện của m để hàm số có cực đại mà không có cực tiểu.
Biện luận theo m số nghiệm của phương trình x4  2 x2  6  4m  0 .
BT 9: Cho hàm số y 

3x  2
x2

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.
b) Tìm các điểm trên đồ thị của hàm số có hoành độ là những số nguyên.
BT 10: Cho hàm số y 

x 1
x 1

a) Khảo sát hàm số.
b) Cho đường thẳng d có phương trình 2x-y+m = 0. CMR d luôn cắt đồ thị hàm số tại hai điểm A, B
phân biệt với mọi m.
c) Tìm m để AB ngắn nhất.
Bài 11:Cho hàm số y  x  3x  mx  m  2 , m là tham số
3

2

8


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
Mobile 0.984.489.357
a) Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
c) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình y‟‟ = 0.
Bài 12:Cho hàm số y 

3  2x
x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y  mx  2 cắt đồ thị của hàm số đã cho tại hai
điểm phân biệt.
Bài 13: Cho hàm số y  2 x  3 có đồ thị (C).
1 x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng y   x  3 và tiếp xúc với đồ thị (C).
Bài 14: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số:
a) f ( x)   x  3x  9 x  2 trên [ -2;2].

b) f ( x)   x  1  4

c) f ( x)  2sin x  4 sin 3 x trên [0;  ]

d) y  x  4  x 2

3

2

x2

3

e) y  1  x trên [-1;0].

f) y=xlnx trên [1;2]

2x  6

1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2.
a.
b.
c.
d.
3.

BÀI TẬP NÂNG CAO
( )
Cho hàm số:
Định m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = 3.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) khi m = -3.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với (d): 5x + 3y – 3 = 0.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với (d‟): 3x – 5y – 3 = 0.
Dùng (C) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
Định k để phương trình:
có 3 nghiệm phân biệt.
( )
Cho hàm số:
Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3 có đồ thị (C).
(D) là đường thẳng qua điểm uốn của (C) có hệ số góc k. Định k để (D) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến qua O(0;0).
Cho hàm số:
(

a.
b.
c.
4.
a.
b.
c.

trên [-1; 2].

)

Định m để hàm số tăng trên R.
Định m để (Cm) qua điểm A (-2, 0). Khảo sát và vẽ đồ thị (C) với m vừa tìm.
Định m để hàm số có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị đó.
Cho hàm số:
Định m để (Cm) tiếp xúc với trục Ox.
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 có đồ thị (C).
Viết phương trình tiếp tuyến của (C), biết tiếp tuyến vuông góc với (d): 3x + 3y – 3 = 0.
9


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
Mobile 0.984.489.357
( )
5. Cho hàm số
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 có đồ thị (C).
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với (d): x + 3y – 5 = 0.
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn.
6. Cho hàm số:
(C)
a. Khảo sát và vẽ hàm số (C).
b. Viết PTTT của (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy.
c. Viết PTTT của (C) có hệ sốc góc bằng -12.
7. Cho hàm số:
(Cm)
a. Định m để hàm số tăng trên R.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
c. (D) là đường thẳng qua điểm uốn của (C) có hệ số góc k. Định k để (D) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt.
d. Dùng (C) biện luận số nghiệm của phương trình:

(
)
(
) ( )
8. Cho
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = -2.
b. Định m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
c. Định k để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt
.
(
)
9. Cho hàm số:
( )
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 0.
b. Tìm m để phương trình
có 4 nghiệm phân biệt.
c. Định m để (Cm) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt.
10. Cho hàm số:
( )
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C )
b. (D) là đường thẳng qua A (2, 1), có hệ số góc m. Biện luận m số giao điểm của (C) và (D).
c. Tìm điểm trên (C) có tọa độ nguyên.
d. Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ.
11. Cho hàm số:
(

)

a. Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) khi m = -1.

c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với (D): y = -3x + 2.
d. Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ.
12. Cho hàm số:
( )
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. (D) là đường thẳng qua A (1, 1), có hsg là k, biện luận theo k số giao điểm của (C) và (D).
10


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
c. Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với (D):

Mobile 0.984.489.357

d. Chứng minh rằng với mọi điểm M trên (C), tính các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C)
là hằng số.
13. Cho hàm số:
( )
Khảo sát và vẽ đồ thị (C) trên.
Tìm điểm trên (C) cách đều hai trục tọa độ.
Viết PTTT của (C), biết tiếp tuyến song song với y = -5x + 3.
Chứng minh rằng (C) cắt (D): y = x + m tại hai điểm phân biệt.
Chứng minh rằng với mọi điểm M trên (C) thì tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C)
là hằng số.
14. Cho hàm số:
a.
b.
c.
d.
e.

( )
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b. Định m để (C) cắt (D): y = 2x + m tại hai điểm phân biệt.
c. Tìm điểm trên (C) có tọa độ nguyên.
d. Tìm điểm M trên (C), sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận của (C) nhỏ nhất.
15. Cho hàm số:
(
)
( )
Định m để hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Khảo sát hàm số khi m = 2, có đồ thị (C).
Viết PTTT của (C) đi qua A (3, 3).
CMR (C) cắt (D): y = x + a + 1 tại hai điểm phân biệt M, N thuộc hai nhánh của (C). Tìm a để độ dài
MN ngắn nhất.
16. Cho hàm số:
a.
b.
c.
d.

( )
a. Tìm điểm trên (C) có tọa độ nguyên.
b. Viết PTTT của (C) biết tiếp tuyền vuông góc với (D): x + 3y = 0
17. Cho hàm số (C):

a. Tìm điểm trên (C) có tọa độ nguyên.
b. Định k để (d): y = k(x – 3) + 2 cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
c. Viết PTTT của (C) có hệ số góc bằng -3.
18. Cho hàm số:

11


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357
(

)

a. Định m để hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định.
b. Viết phương trình đường thẳng qua A (1, 5) và tiếp xúc với (C) ứng với m= -1.
c. Tìm m để (Cm) cắt trục hoành tại 2 điểm M, N sao cho độ dài
√ .
19. Cho hàm số:

a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
b. Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox và Oy tại A, B và tam giác
OAB có diện tích bằng

1
.
4

20. Cho hàm số:
( )
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
b. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có tọa độ là những số nguyên.
c. Tìm các điểm trên đồ thị (C) sao cho tổng khoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất.
21. Cho hàm số:

( )
a. Tìm M thuộc (C) để M có tọa độ nguyên.
b. Tìm M thuộc (C) để khoảng cách từ M đến Ox gấp 2 lần khoảng cách từ M đến Oy
23.

Cho hàm số y   x3  3x 2  2 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó có thể kẻ được ba tiếp tuyến đến đồ thị

(C).
25. Cho hàm số y  2 x  1 có đồ thị (C).
x 1

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
2. Với điểm M bất kỳ thuộc đồ thị (C) tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại Avà B. Gọi I là giao
điểm hai tiệm cận . Tìm vị trí của M để chu vi tam giác IAB đạt giá trị nhỏ nhất. .
26. Cho hàm số y  x3  3x (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường thẳng (d): y = m(x +1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại một
điểm M cố định và xác định các giá trị của m để (d) cắt (C) tại 3 điểm phân biệt M, N, P sao cho tiếp
tuyến với đồ thị (C) tại N và P vuông góc với nhau.
27. Cho hàm số y  x3  2mx2  (m  3) x  4 có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C1) của hàm số trên khi m = 1.
12


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
Mobile 0.984.489.357
2) Cho (d) là đường thẳng có phương trình y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m
sao cho (d) cắt (Cm) tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .

28. Cho hàm số f ( x)  x4  2(m  2) x2  m2  5m  5
(Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số với m = 1.
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1 tam giác vuông cân.
29. Cho hàm số y = x3 + (1 – 2m)x2 + (2 – m)x + m + 2 (m là tham số)
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời hoành độ của
điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
30. Cho hàm số y  2 x  1 có đồ thị là (C).
x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
2) Chứng minh đường thẳng d: y = –x + m luôn luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tìm m
để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất.
31. Cho hàm số y 

x 1
(C).
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên trục tung tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới (C).
32. Cho hàm số y  x3  3m2 x  2m (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 .
2) Tìm m để (Cm) và trục hoành có đúng 2 điểm chung phân biệt.
33. Cho hàm số y 

x  3m  1
có đồ thị là (Cm) (m là tham số)

 2  m  x  4m

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Xác định m sao cho đường thẳng (d): y =  x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm A, B sao cho độ dài
đoạn AB là ngắn nhất.
34. Cho hàm số y 

2x 1
(C)
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của (C) là
nhỏ nhất.
35. Cho hàm số: y  3x  x3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên đường thẳng y = – x các điểm kẻ được đúng 2 tiếp tuyến tới đồ thị (C).
36. Cho hàm số

y

2x  4
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm trên (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(–3;0) và N(–1; –1).
37. Cho hàm số y 

2x 1

x 1

(C)
13


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
Mobile 0.984.489.357
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm m để đường thẳng d: y = x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB vuông tại
O.
38. Cho hàm số y 

2x  3
x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B.
Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam
giác IAB có diện tích nhỏ nhất.
39. Cho hàm số y  x3  3x2  4 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 4) và có hệ số góc là m. Tìm m để d cắt (C) tại 3 điểm phân
biệt A, M, N sao cho hai tiếp tuyến của (C) tại M và N vuông góc với nhau.
40. Cho hàm số f ( x)  x3  3x2  4 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số .
3

2

1
1


2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: G(x)=  2sin x    3 2sin x    4 .
2
2



41. Cho hàm số y  x 3  3x 2  1 có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ
dài đoạn AB = 4 2 .
42. Cho hàm số y  x  2mx  (m  3)x  4 có đồ thị là (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2) Cho đường thẳng (d): y = x + 4 và điểm K(1; 3). Tìm các giá trị của tham số m sao cho (d) cắt (Cm)
tại ba điểm phân biệt A(0; 4), B, C sao cho tam giác KBC có diện tích bằng 8 2 .
43. Cho hàm số y  x3  3x2  m (1)
3

2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 4.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho

AOB  1200.

44. Cho hàm số y  x 3   x .
1) Khảo sát sự biến thiên và đồ thị (C) của hàm số.

2) Dựa và đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình: x3 – x = m3 – m
45. Cho hàm số y  ( x – m)3 – 3x
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 1.
 x  1 3  3x  k  0

2) Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm:  1
.
1
2
3
 log 2 x  log 2 ( x  1)  1
3
2
x2
46. Cho hàm số y 
.
x 1

14


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
Mobile 0.984.489.357
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng (d) y = – x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai
điểm phân biệt A, B. Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn AB.
47. Cho hàm số: y  x  (2m  1) x  2m (m là tham số ).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt cách đều nhau.

48. Cho hàm số y  x4  5x2  4, có đồ thị (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2) Tìm m để phương trình | x4  5x2  4 | log2 m có 6 nghiệm.
4

2

49. Cho hàm số y  x 4  2mx 2  m2  m
(1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = –2.
0

2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có 3 điểm cực trị lập thành một tam giác có một góc bằng 120
50. Cho hàm số: y = x3 + 3x2 + mx + 1 có đồ thị (Cm) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp
tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.
51. Cho hàm số y =

2x 1
.
1 x

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận, A là điểm trên (C) có hoành độ là a. Tiếp tuyến tại A
của (C) cắt hai đường tiệm cận tại P và Q. Chứng tỏ rằng A là trung điểm của PQ và tính diện tích
tam giác IPQ.
52. Cho hàm số y  x4  mx3  2x2  3mx  1 (1) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m = 0.
2) Định m để hàm số (1) có hai cực tiểu.

53. Cho hàm số: y  x 4  2 x 2  1 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x4  2 x2  1  log2 m  0 (m>0)
54. Cho hàm số y = x  2 (1).
2x  3

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần
lượt tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OAB cân tại gốc tọa độ O.
55. Cho hàm số y  x 4  2(m2  m  1)x 2  m  1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.

1 3 2
8
56. Cho hàm số y  x  x  3x  (1)
3
3
15


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
Mobile 0.984.489.357
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Lập phương trình đường thẳng d song song với trục hoành và cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt
A, B sao cho tam giác OAB cân tại O (O là gốc toạ độ).
57. Cho hàm số y  x 4  mx 2  m  1 (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2.
2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Tìm m để các
tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau.

2x 1
.
x 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi M là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm trên đồ thị (C) điểm I có hoành độ dương

58. Cho hàm số y 

2

2

sao cho tiếp tuyến tại I với đồ thị (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn MA  MB  40 .
59. Cho hàm số y  x3  3x 2  mx  1 có đồ thị (Cm) (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (Cm) cắt đường thẳng d: y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp
tuyến của (Cm) tại D và E vuông góc với nhau.

2x 1
.
x 1
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M
vuông góc với đường thẳng MI.

60. Cho hàm số y 

(2m  1) x  m2
61. Cho hàm số y 

.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y  x .
62. Cho hàm số y  x  2

2x  3

(1).

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1).
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại
hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại O.
1
3

63. Cho hàm số y  x3  2 x 2  3x. .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết tiếp tuyến này đi qua gốc tọa độ O.
64. Cho hàm số y  x 4  2m2 x 2  m4  2m (1), với m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn cắt trục Ox tại ít nhất hai điểm phân biệt, với mọi.
16


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357

65. Cho hàm số y  x  3 .
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình đường thẳng d qua điểm I  1;1 và cắt đồ thị (C) tại hai điểm M, N sao cho I là
trung điểm của đoạn MN.

2x
.
x2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng khoảng cách từ giao hai đường tiệm cận của
(C) đến tiếp tuyến là lớn nhất.

66. Cho hàm số y 

67. Cho hàm số y  f ( x)  x  mx  2m (1) ( m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại duy nhất một điểm.
3

2

68. Cho hàm số y  2 x3  9mx 2  12m2 x  1 (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x 2CÑ  xCT

2x 1
.
x 1

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại
các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB.

69. Cho hàm số y 

70. Cho hàm số y  x 4  2m2 x 2  1 (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 1.
2) Chứng minh rằng đường thẳng y  x  1 luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm phân biệt với mọi
giá trị của m.
71. Cho hàm số y  x3 –3x 2  2 .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x 2  2 x  2 
72. Cho hàm số y=-x3 +3x2 +3mx – 1
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m=0.

2. Tìm m để hàm số nghịch biến trên khoảng  0.  )  .

73. Cho hàm số y  x 4  5x 2  4, có đồ thị (C).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C).
2. Tìm m để phương trình x 4  5x 2  4  log2 m có 6 nghiệm.
17

m
.
x 1


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

a.
b.
c.
d.
e.
1.
a.

Mobile 0.984.489.357
ỨNG DỤNG KHẢO SÁT HÀM SỐ
Định lý: Cho hàm số y=f(x) xác định trên D và có đạo hàm f‟(x). Nếu hàm số y=f(x) đồng biến hay
nghịch biến trên D thì ta có các tính chất sau:
f(u)=f(v) thì u=v
Phương trình f(x)=0 có duy nhất một nghiệm trên D.
f(x) đồng biến, f(y) nghịch biến thì f(x)=f(y) có duy nhất một nghiệm.
f đồng biến và f(u)>f(v) thì u>v.
f nghịch biến và f(u)>f(v) thì uGiải phương trình và hệ phương trình:
3

x  2  8x3  60x 2  151x  128

c.

2x 3 +7x 2  5x+4=2  3x  1 3x  1

b.
2. Giải hệ phương trình:

d.

2

x

 2  x  1  3x 3  8
2

 3  x 2  2 x  3  y

3  y2  2 y  3  x


4)



 3x  1  4  2x  1  y  1  3y

 x 3  x  2  y3  3y 2  4 y
 5 3
x  y  1  0
8) 

7) 

 x  y  2x  y   4  6x  3y







4 y 2  1  1  8 x 2 y3

log 2 x  1  log x  y  1  4 x 2  4 x  2 

x 3  2  3y   1
 3 
 3

13) 

3
2
2

 x y  2  3 14) log3  2 y  2   4 x  4 x  1  1  2





 



 x 3 4 y2  1  2 x 2  1 x  6


 2
2
2
x y 2  2 4y  1  x  x  1
10) 
3
2
3
2

 x  3x  2  y  3y

3 x  2  y2  8y


12)

 4 x 2  1 x   y  3 5  2 y  0
9) 
4 x 2  y 2  2 3  4 x  7







 x  1  x 2 y  1  y2  1

6) 

 x 6x  2xy  1  4xy  6x  1

3
3
2

 y  y  x  3x  4x  2

2
 1 x  y  2  y 1
5) 



3x



 x  1  y  1  x 3
3) 
4
 x  1  y

 x2  1  4x2 y  x


 2
11)  x y  x  2  0

6 x  1  8x3  4x  1

1
 2
8y2 
x

1
2 3 2 y  x
2
4

2) 
2
7
  xy 3
2

x

y


2
2


x5  xy 4  y10  y 6

1) 
2


 4x  5  y  8  6



3



18



 x  y

2



 1   x  y   4 x  x  1
2


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357

 y2  x 2 x 2  1
 2
e

y 1
15) 
3log  x  2 y  2   2 log  x  y  4   3
2
2






 1  42 x  y 512 x  y  1  22 x  y 1

 3
y  4 x  1  ln y 2  2 x  0


17)





x  y  e  e

log2 x  3log y  2  0
1
 2
2
20) 

x

y

18)

16)

 x  y  cos x  cos y

 2
1
4 x y  3y  2  0

 x 3  5x  y3  5y
 8 4
 x  y  1

 x  x 2  2 x  2  3y 1  1

2
x 1
y  y  2y  2  3  1
19) 

 3  x  2  x  2 y 2 y  1  0


3
2 2  x   2 y  1  1

21)

22)

2

x  x  2y
 2

y  y  2x

2  2 x  13  2 x  1   2 y  3 y  2

23)  4 x  2  2 y  4  6

3

2 y  2 x 1  x  3 1  x  y

2
 y  2 x  1  2 xy 1  x
24) 

3
3
2

 y  y  x  3x  4 x  2

2

 1 x  y  2  y 1
25) 

 y 4  4 x  2 xy 2 x  4  5
 x
3
3
y
2  x  y  2
26) 


y  y2  9
2
2
 x  y  x  xy  y  2  6 ln

x  x2  9

27)  x 3  2 x  1  y 2



 x11  xy10  y 22  y12

 4
7 y  13x  8  2 y 4 3 x 3x 2  3y 2  1
27) 




 x 3  2  3y   8

3
 x y  2  6



28)





ln 1  x   ln 1  y   x  y

1
 1
 x  y 1
29) 
30)

 x 3  3y 2  y 3  3y 2

1
1

 2 x  y2  2 y  y2  2
31) 



 x  y  1  x 2  1  y 2  y 2013  x 2013

 x  1  y3  3x 2  4 x  5

2008x  2008y   log2009 y  log2009 x  xy  1
 2 2
 x  y  1
32)

3
3
2
2

 x  y  5x  14 y  97 x  28 y  755

 x  3 x  4    y  114  y 
33) 

 x 3  5xy 2  42  0
 2
2
2 x  5xy  5y  x  10 y  35  0
34) 

x
 3

3
x

x

log

8
y
 2y 1
2

y
6 2  x  3y 1  y  2  2 y  3 1  y  3x 2  x  2 x
36) 

2
 x 2  xy  1  0
4y  x  7  y  1  6  x  x


35)

4

19


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357

CÁC CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC KHÔNG BAO GIỜ QUÊN
1. Hai cung đối nhau: -x và x
cos( x)  cos x;
tan( x)   tan x;

sin( x)   sin x
cot( x)   cot x

2. Hai cung bù nhau:   x và x
sin(  x)  sin x

cos(  x)   cos x

tan(  x)   tan x

cot(  x)   cot x

3. Hai cung phụ nhau:


 x và x
2








sin   x   cos x
cos   x   sin x tan   x   cot x
2

2

2

4. Hai cung hơn kém nhau Pi:   x và x
sin(  x)   sin x
cos(  x)   cos x
tan(  x)  tan x



cot   x   tan x
2


cot(  x)  cot x

5. Các hằng đẳng thức lƣợng giác

1


e
.
sin

x

cos
x

2
sin
x



cos 2 x
4

1
1
c. 1  cot 2 x 
d . tan x.cot x  1
f . sin 4 x  cos 4 x   3  cos 4 x 
2
sin x
4
6. Công thức cộng lƣợng giác
cos( x  y )  cos x.cos y  sin x.sin y; cos( x  y )  cos x.cos y  sin x.sin y
sin( x  y )  sin x.cos y  sin y.cos x; sin( x  y)  sin x.cos y  sin y.cos x
a. sin 2 x  cos 2 x  1

b. 1  tan 2 x 

7. Công thức nhân đôi

1
2
2
sin 2 x  2sin x cos x   sin x  cos x   1  1   sin x  cos x   sinxcosx  sin 2 x
2
2
2
2
2
cos 2 x  cos x  sin x  2cos x  1  1  2sin x
8. Công thức nhân ba:
sin 3x  3sin x  4sin 3 x

cos3x  4cos3 x  3cos x

9. Công thức hạ bậc:

sin 2 x 

1
1  cos 2 x   1  cos2 x
2

cos 2 x 

1
1  cos 2 x   1  sin 2 x
2

10. Công thức biến đổi tích thành tổng

1
1
cos x.cos y  cos( x  y )  cos( x  y ) ; sin x.sin y  cos( x  y )  cos( x  y ) 
2
2
1


sin x.cos y  sin( x  y )  sin( x  y )  ; sinx  cos x  2 sin  x  
2
4

11 . Công thức biến đổi tổng thành tích
20


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357

x y
x y
x y
x y
cos
; cos x  cos y  2sin
sin
2
2
2

2
x y
x y
x y
x y
sin x  sin y  2sin
cos
; sin x  sin y  2cos
sin
2
2
2
2
cos x  cos y  2cos

1/Phương trình lượng giác cơ bản .

u  v  k 2
u    v  k 2

sin u = sin v  

cos u = cos v  u =  v + k2.

(kZ)
(kZ)

tanu = tanv  u = v + k

(kZ)

cotu = cotv  u = v + k

(kZ)

2/ Phương trình đặc biệt :
sinx = 0  x = k , sinx = 1  x =  + k2 ,sinx = -1  x = -  + k2
2

2

cosx = 0  x =  + k  , cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2 .
2

3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx .
Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a2 + b2  0

a
a2  b2

sin x 

b
a2  b2

c

cos x 

 cos sin x  sin  cosx 

a2  b2

c
2

a b

 sin  x    

2

c
2

a b

2

. Xong !!!

Chú í : + PT (1) có nghiệm  a2 + b2  c2 .
+ Nếu c=0 ta chia hai vế PT(1) cho cosx: a tanx + b =0 dễ hơn.


+ Nếu a=b ta sử dụng cơng thức sinx  cos x  2 sin  x   nhanh hơn !
4

Bài tập : A. Giải các phương trình sau:
1)

3 cos x  sin x  2

,

3) 3 sin 3x  3 cos 9 x  1  4 sin 3x ,
3

5) cos 7 x  sin 5x  3 (cos 5x  sin 7 x) ,
7)

3(1  cos 2 x)
 cos x
2sin x

2. cos x  3 sin x  1
4
4
4. sin x  cos ( x 

 1
)
4 4

6. tan x  3cot x  4(sin x  3 cos x)
8. sin 2 x  sin 2 x 

1
2

2
1  cosx  1  cosx  
1

9) Rút gọn biểu thức: A 
1 
 . Tính giá trị của A nếu cosx=  và  x   .
2
s inx 
sin x 
2
2
21


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
B. Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác :

Mobile 0.984.489.357

1.

2cos2x +5sinx – 4 = 0 ,

2.

2cos2x – 8cosx +5 = 0

3.

2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x

4.

2(sin4x + cos4x) = 2sin2x – 1

5.

sin42x + cos42x = 1 – 2sin4x

6.

7.

3
 3  2 tan 2 x
cos x

8.

cos

4x
 cos 2 x
3

5tan x -2cotx - 3 = 0

4sin x  12cos x  7
9. 6sin 2 3x  cos12 x  4

10.
C. Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản:
1.Tìm x  0;14 nghiệm đúng phương trình cos3x  4cos 2x  3cos x  4  0
4

2

2.  2cos x 1 2sin x  cos x   sin 2 x  sin x
3. cos x  cos 2x  cos3x  cos 4x  0
4. sin 2 x  sin 2 3x  cos2 2 x  cos2 4 x
 x  7
5. Cho sin x cos 4 x  sin 2 2 x  4sin 2     . Tìm nghiệm của pt thoả x  1  3
 4 2 2
6. sin3 xcos3x+cos3 x sin 3x  sin3 4 x
7. sin 2 3x  cos2 4 x  sin 2 5x  cos2 6 x

8.  sin x  sin 3x   sin 2 x   cos x  cos3x   cos 2 x
9. cos10 x  2cos2 4 x  6cos3x cos x  cos x  8cos x cos2 3x
10. 4sin3 x  3cos3 x  3sin x  sin 2 x cos x  0 11. sin x  cos x  1  sin 2x  cos 2x  0
12.  2sin x  1 3cos 4 x  2sin x  4   4cos2 x  3
13. sin 6 x  cos6 x  2  sin8 x  cos8 x 

14. cos x cos 2 x cos 4 x cos8 x  1



15. 8cos3  x    cos3x
3


16. tan 2 x  tan x tan 3x  2

17. tan 2 x  cot 2 x  cot 2 2 x 

16

 2
2 x
2 x
18. sin    tan x  cot  0
2
2 4

11
3

cot 2 x  tan 2 x
 16 1  cos 4 x 
19. sin 2 x  cot x  tan 2 x   4cos x
20.
cos 2 x
7    

1
4
4
21. sin x  cos x  cot  x   cot   x  22. 2 tan x  cot 2 x  2sin 2 x 
8 
3 6
sin 2 x


3  sin x  tan x 
 2 1  cos x   0
23.
tan x  sin x
2

1  cos x   1  cos x 
4 1  sin x 
2

24.

2

 tan 2 x sin x 

1
1  sin x   tan 2 x
2

22


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357
sin x  cos x 1
  tan x  cot 2 x 
25. cos3x tan 5x  sin 7 x

26.
sin 2 x
2
1
1
 

27. tan 2 x cot 2 2 x cot 3x  tan 2 x  cot 2 x  cot 3x
28. 2 2 sin  x   
4  sin x cos x

D. Phƣơng trình bậc hai đối với một hàm số lƣợng giác:
cos3x  sin 3x 

1. Tìm nghiệm trên  0;2  của phương trình sau: 5  sin x 
  3  cos 2 x
1  2sin 2 x 

 3
  
2. cos2 3x cos 2 x  cos2 x  0
3. cos4 x  sin 4 x  cos  x   sin  3x     0
4 
4 2

4

4. 5sin x  2  3 1  sin x  tan 2 x
6.
8.



5. 2sin 3x  1  2cos 3x  1
sin x



cos x 2sin x  3 2  2 cos 2 x  1
1  sin 2 x

1

x

7. cos x.cos x .cos 3x  sin x sin x sin 3x  1
2

2

2

2

2






9. cos  2 x    cos  2 x    4sin x  2  2 1  sin x 
4
4



4cos3 x  3 2 sin 2 x  8cos x

10. 3cot x  2 2 sin x   2  3 2  cos x
2

4

2

4sin 2 2 x  6sin 2 x  9  3cos 2 x
0
11.
cos x

12. Cho f  x   sin x  1 sin 3x  2 sin 5x . Giải pt f '  x   0 .
3

13. sin8 x  cos8 x 

5

17
cos 2 2 x
16

5x
x
 5cos3 x sin
2
2
6x
8x
16. 2 cos 2  1  3cos
5
5

14. sin

15. sin 2 x  cot x  tan 2 x   4cos2 x
 
17. tan 3  x    t anx  1
4


18.

sin 4 2 x  cos 4 2 x
 cos 4 4 x




tan   x  tan   x 
4


4


1
2

1  cot 2 x cot x   0
4
cos x sin 2 x
5
20. sin8 x  cos8 x  2  sin10 x  cos10 x   cos 2 x
4
cos 2 x
1
21. cot x  1 
22. sin 2 x  2 tan x  3
 sin 2 x  sin 2 x
1  tan x
2
2
23. cot x  tan x  4sin 2 x 
24. 1  tan x 1  sin 2 x   1  tan x
sin 2 x

19. 48 

E. Phƣơng trình bậc nhất theo sinx và cosx:
 2 6 
1.Tìm x   ;  thoả cos7 x  3sin7x =  2

 5 7 
2. 3sin3x  3 cos9 x  1  4sin 3x
3

1 

3. tan x  sin 2 x  cos 2 x  2  2cos x 
0
cos x 

23


Ths. Nguyễn Minh Tuấn
3
1

4. 8sin x 
cos x sin x
6. sin 2x  2cos 2x  1  sin x  4cos x

Mobile 0.984.489.357
5. 9sin x  6cos x  3sin 2x  cos 2x  8
7. 2sin 2x  cos 2x  7sin x  2cos x  4
2


9. sin 2 x  3 cos 2 x  5  cos  2 x  
6




8. sin 2x  cos 2x  3sin x  cos x  2



10. 2cos3 x  cos 2 x  sin x  0

2x
11. 1  cot 2 x  1  cos
2

12. 4  sin 4 x  cos4 x   3 sin 4 x  2

13. 1  sin 3 2 x  cos3 2 x  1 sin 4 x

14. tan x  3cot x  4  sin x  3 cos x 

15. sin3 x  cos3 x  sin x  cos x

  1
16. cos 4 x  sin 4  x   
4 4


sin 2 x

2

17. 4sin x cos x  4cos x sin3x  3 3 cos 4 x  3
3

3

SỐ PHỨC
CÁC CÔNG THỨC LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC
 Số i: i 2  1
 Số phức: z  a  bi, a, b 
 Số phức liên hợp: z  a  bi .
 Môđun của số phức: | z | a 2  b2
 Phép toán trên tập số phức:

(a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i
(a  bi )  (c  di )  (a  c)  (b  d )i
(a  bi )(c  di )  (ac  bd)  (ad  bc)i
a  bi (a  bi )(c  di )

c  di
c2  d 2

 Căn bậc hai của số thực a âm là : i | a |
 Phương trình bậc hai trên tập số phức az  bz+c=0 (a  0) :
2

b
* Nếu  = 0 thì p.trình có một nghiệm kép (thực) x = -

2a

* Nếu  > 0 thì phương trình có hai nghiệm thực x1,2 =

b  
.
2a

* Nếu  < 0 thì phương trình có hai nghiệm phức x1,2 =

b  i 
.
2a

BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1: Thực hiện các phép tính
a) (4  2i)  (1  3i)

b) (2  i)  (6  5i)

c) (2  i)(1  2i)

d) (2  3i)

2

24


Ths. Nguyễn Minh Tuấn

Mobile 0.984.489.357

f) (4  3i)  1  i

e) 2  i

2i

3  2i

Bài 2: Tìm cặp số thực a, y biết
(3x  2)  (2 y  1)i  ( x  1)  ( y  5)i

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức

b) x2  2 x  5  0

a) z 2  z  1  0

c) z 4  2 z 2  3  0

BÀI TẬP RÈN THÊM
Bài 1: Tìm nghịch đảo của các số phức sau:
a) z = 3 + 4i

b) z = 1  2i

c) z =  2 + 3i

Bài 2:Thực hiện các phép tính sau:
A = (1  i) 2

B = (2 + 4i) 2
D = (1+ i)3  13i
E=

1
(1  i)(4  3i)

F=

5  6i
4  3i

7  2i
8  6i

G=

Bài 3: Giải các phương trình sau trên tập số phức
a) iz + 2  i = 0

b) (2 + 3i)z = z 1

c) (2  i)z  4 = 0

Bài 4: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a') z2  z  1 b') z2  2z  5  0

c') z2  z  1  0

a)  9  5i  z   7  2i   0

b) z 2  9  0

c) z 2  2 z  3  0

d ) z 2  5z  7  0

e). z 2  3z  6  0

f ).3z 2  5z  2  0

g ). z 4  3z 2  6  0

Bài 5: Tìm phần thực,phần ảo, số phức đối và số phức liên hợp của các số phức sau :
a) z  i   2  4i   1  2i 

b) z 



3  2i



2

c) z   3  2i   1  2i 

10

 1 i 
e) z  
  1  i  
 1 i 
33

1
1
d ) z   i9  9 
2i 
i 

3

 2  5i  2  5i  

3

1
i

f ) z  1  1  i   1  i   ...  1  i 
2

100

Bài 6 : Tìm các số thực x và y, biết:
a) 3x 1  (2  3 y)i  7  x  ( y  6)i
c) 4 x  y  2  ( x  2 y)i  x  3 y  ( y  x  4)i
e)

x 3 y 3

i
3i 3i

f)

b) 2 x  3  (2 y  1)i  3 y  1  ( x  2)i
d) (1  2i) x  (1  2 y)i  1  i

x  2 y 1

i
1  2i 1  2i

Bài 7 :Tính z1  z2 , z1  z2 , z1.z2 , z1  2 z2 , 2z1  z2 biết:
a) z1  5  6i, z2  1  2i

b) z1  3  2i, z2  4  3i

1
2

1
3

1
2

c) z1    i, z2    i

Bài 8 : Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
b) Phần thực của z thuộc đoạn [2;1] .
25