Tài liệu HOT Ngân hàng ĐỀ trắc Nghiệm TOÁN HÌNH ĐƯỜNG THẲNG và mặt PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN (File Word Có Đáp án và Lời Giải chi tiết)

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Trang 1

Quan hệ song song – HH 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Trang 2

Quan hệ song song – HH 11


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN
A – LÝ THUYẾT TÓM TẮT
1. Các tính chất.
• Có một và chỉ một đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt.
• Có một và chỉ một mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
• Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt cùng thuộc một mặt phẳng thì mọi điểm của đường
thẳng đều thuộc mặt phẳng đó.
• Có bốn điểm không cùng thuộc một mặt phẳng.
• Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa.
Vậy thì: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung đi qua
điểm chung ấy. Đường thẳng đó được gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng .
• Trên mỗi mặt phẳng các, kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng.
2. Các cách xác định một mặt phẳng

• Ba điểm không thẳng hàng thuộc mặt phẳng. (mp(ABC), (ABC))
• Một điểm và một đường thẳng không đi qua điểm đó thuộc mặt phẳng. (mp(A,d))
• Hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng. (mp(a, b))
3. Các quy tắc vẽ hình, biểu diễn của hình không gian
• Hình biểu diễn của đường thẳng là đường thẳng, của đoạn thẳng là đoạn thẳng.
• Hình biểu diễn của hai đường thẳng song song là hai đường thẳng song song, của hai đường thẳng
cắt nhau là hai đường thẳng cắt nhau.
• Hình biểu diễn phải giữ nguyên quan hệ thuộc giữa điểm và đường thẳng.
• Đường nhìn thấy vẽ nét liền, đường bị che khuất vẽ nét đứt.
4. Hình chóp và hình tứ diện.
a) Hình chóp.
(α)
(α)
A1 A2 ... An
S
Trong mặt phẳng
cho đa giác lồi
. Lấy điểm nằm ngoài
.
A
,
A
,...,
A
SA
A
,
SA
A
,...,

SAn A1
S
n
1
2
n
1 2
2 3
Lần lượt nối với các đỉnh
ta được tam giác
. Hình gồm đa giác
A1 A2 ... An
SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn A1
S . A1 A2 ... An
n
và tam giác
được gọi là hình chóp, kí hiệu là
.
A1 A2 ... An
SA1 , SA2 ,..., SAn
S
Ta gọi là đỉnh, đa giác
là đáy, các đoạn
là các cạnh bên,
A1 A2 , A2 A3 ,..., An A1
SA1 A2 , SA2 A3 ,..., SAn A1
là các cạnh đáy, các tam giác
là các mặt bên…
b) Hình Tứ diện
A, B, C , D

ABC , ABD,
Cho bốn điểm
không đồng phẳng. Hình gồm bốn tam giác
( BCD )
ACD
ABCD
và
được gọi là tứ diện
.

B - BÀI TẬP
a, b
A
Câu 1: Cho 2 đường thẳng
cắt nhau và không đi qua điểm . Xác định được nhiều nhất bao
nhiêu mặt phẳng bởi a, b và A ?
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4.
Trang 3


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

Quan hệ song song – HH 11

( a, b ) , ( A, a ) , ( B, b )

Có 3 mặt phẳng gồm

.
ABCD

Câu 2: Cho tứ giác lồi
và điểm S không thuộc mp (ABCD). Có nhiều nhất bao nhiêu mặt
phẳng xác định bởi các điểm A, B, C, D, S ?
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
C42 + 1 = 7
Có
mặt phẳng.
Câu 3: Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng
phân biệt từ bốn điểm đã cho ?
2.
3.
4.
6.
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ
ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn
C43 = 4.
điểm đã cho là

(α)

A B C D
, cho bốn điểm , , ,
trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm

Câu 4: Trong mp
S ∉ mp ( α )
S
. Có mấy mặt phẳng tạo bởi và hai trong số bốn điểm nói trên?
5
6
8
4
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
S
6
A B C D
Điểm cùng với hai trong số bốn điểm , , ,
tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có

6
S
cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả mặt phẳng tạo bởi và hai trong số bốn điểm nói trên.
E ∉( α )
(α)
ABCD
Câu 5: Trong mặt phẳng
cho tứ giác
, điểm
. Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi
A, B, C , D, E
ba trong năm điểm
?
6
7
8
9
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
A, B, C , D
A, B, C , D
E
Điểm
và 2 điểm bất kì trong 4 điểm
tạo thành 6 mặt phẳng, bốn điểm
tạo

thành 1 mặt phẳng.
Vậy có tất cả 7 mặt phẳng.
A B C D E
Câu 6: Cho năm điểm , , , ,
trong đó không có bốn điểm nào ở trên cùng một mặt phẳng.
Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng tạo bởi ba trong số năm điểm đã cho?
Trang 4


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
10
A. .
Hướng dẫn giải:
Chọn A.

B.

12

.

C.

8

Quan hệ song song – HH 11

.

D.

14

.

A B C D E
Cứ chọn ra ba điểm trong số năm điểm , ,
, ,
ta sẽ có một mặt phẳng. Từ năm điểm ta có
10
10
cách chọn ra ba điểm bất kỳ trong số năm điểm đã cho, nên có
phẳng tạo bởi ba trong số năm
điểm đã cho.
Câu 7: Trong các hình sau :
A
A
A(II)
A
(I)
(III)
(IV)
B

C

D
C

B

C
D

B

C

D

B

D

Hình nào có thể là hình biểu diễn của một hình tứ diện ? (Chọn Câu đúng nhất)
A. (I).
B. (I), (II).
C. (I), (II), (III).
D. (I), (II), (III),
(IV).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Hình (III) sai vì đó là hình phẳng.
Câu 8: Một hình chóp có đáy là ngũ giác có số mặt và số cạnh là :
A. 5 mặt, 5 cạnh.
B. 6 mặt, 5 cạnh.
C. 6 mặt, 10 cạnh.
D. 5 mặt, 10 cạnh.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.

Hình chóp ngũ giác có 5 mặt bên + 1 mặt đáy. 5 cạnh bên và 5 cạnh đáy.

Câu 9: Một hình chóp cụt có đáy là một n giác, có số mặt và số cạnh là :
n+2
2n
n+2
3n
A.
mặt,
cạnh.
B.
mặt,
cạnh.
n
n
n+2
3n
C.
mặt, cạnh.
D. mặt,
cạnh.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
n=3
Lấy ví dụ hình chóp cụt tam giác (
) có 5 mặt và 9 cạnh ⇒ đáp án B.
Câu 10: Trong các hình chóp, hình chóp có ít cạnh nhất có số cạnh là bao nhiêu?
3
5
6

4
A. .
B. .
C. .
D. .
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
Hình tứ diện là hình chóp có số cạnh ít nhất.

Trang 5


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

Câu 11: Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng còn có vô số điểm chung khác nữa.
B. Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
C. Hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì chúng có một đường thẳng chung duy nhất.
M , N, P
D. Nếu ba điểm phân biệt
cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt thì chúng thẳng hàng.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Hai mặt phẳng có một điểm chung thì chúng có thể trùng nhau. Khi đó, chúng có vô số đường thẳng
⇒
chung
B sai.

Trang 6


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG
Phương pháp 1

(α )

(β )

Cơ sở của phương pháp tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
và
cần thực hiện:
(
α
)
(
β
)
A
B
- Bước 1: Tìm hai điểm chung
và
của
và
.

AB
=
(α ) ∩ ( β )
AB
- Bước 2: Đường thẳng
là giao tuyến cần tìm (
).
S . ABCD
AC ∩ BD = M
AB ∩ CD = N .
Câu 1: Cho hình chóp
có
và
Giao tuyến của mặt phẳng
( SAC )
( SBD )
và mặt phẳng
là đường thẳng
SN .
SC.
SB.
SM .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
( SAC )
Giao tuyến của mặt phẳng

và mặt
( SBD )
SM .
phẳng
là đường thẳng

S . ABCD
AC ∩ BD = M
AB ∩ CD = N .
Câu 2: Cho hình chóp
có
và
Giao tuyến của mặt phẳng
( SAB )
( SCD )
và mặt phẳng
là đường thẳng
SN .
SA.
MN .
SM .
A.
B.
C.
D.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
S . ABCD

ABCD

( AB / /CD )

Câu 3: Cho hình chóp
có đáy là hình thang
. Khẳng định nào sau đây
sai?
S . ABCD
4
A. Hình chóp
có mặt bên.
( SAC ) ( SBD ) SO O
AC
BD
B. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
( là giao điểm của
và
).
( SAD ) ( SBC ) SI I
BC
AD
C. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là ( là giao điểm của
và
).
Trang 7

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

( SAB )
D. Giao tuyến của hai mặt phẳng
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

 Hình chóp

S . ABCD

có

Quan hệ song song – HH 11

( SAD )
và

là đường trung bình của

ABCD

.

( SAB ) ( SBC ) ( SCD ) ( SAD )

4

mặt bên

,
,
,
nên A đúng.
( SAC ) ( SBD )
S O
 ,
là hai điểm chung của
và
nên B đúng.
( SAD ) ( SBC )
S I
 , là hai điểm chung của
và
nên C đúng.
( SAB ) ( SAD ) SA
SA
 Giao tuyến của
và
là
, rõ ràng
không thể là đường trung bình của hình thang
ABCD
.
ABCD
O
BCD
M
Câu 4: Cho tứ diện
. Gọi

là một điểm bên trong tam giác
và
là một điểm trên
I, J
AO
BC BD
IJ
CD
IJ
K BO
E
đoạn
. Gọi
là hai điểm trên cạnh
,
. Giả sử
cắt
tại ,
cắt
tại
và cắt
( MIJ ) ( ACD )
CD
H ME
AH
F
tại ,
cắt
tại . Giao tuyến của hai mặt phẳng
và

là đường thẳng:
KM
AK
MF
KF
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
IJ
CD
K
Do là giao điểm của
và
nên

K ∈ ( MIJ ) I ( ACD )
(1)
Ta có

F

là giao điểm của

ME

và

AH

AH ⊂ ( ACD ) ME ⊂ ( MIJ )
Mà
,
nên
F ∈ ( MIJ ) I ( ACD )
(2)
Trang 8


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

( MIJ ) I ( ACD ) = KF
Từ (1) và (2) có

( ACD )
ABCD G
BCD
Câu 5: Cho tứ diện
.
là trọng tâm tam giác
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và

( GAB )
là:
AM M
AB
A.
,
là trung điểm
.
CD
AH H
B
C.
,
là hình chiếu của
trên
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.

A

( ACD )

A

( ABCD )

AN N
CD
,

là trung điểm
.
C
AK K
BD
D.
,
là hình chiếu của
trên
.
B.

( GAB )

là điểm chung thứ nhất của
và
G
BCD N
CD
N ∈ BG
N
là trọng tâm tam giác
,
là trung điểm
nên
nên
là điểm chung thứ hai của
( ACD ) ( GAB )
( ACD ) ( GAB ) AN
và

. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
.
S . ABCD
SD
J
SC
I
Câu 6: Cho hình chóp
. Gọi là trung điểm của
, là điểm trên
và không trùng
( ABCD ) ( AIJ )
SC
trung điểm
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là:
IJ
BC
IJ
AK K
AH H
AB
A.
,
là giao điểm
và
.

B.
,
là giao điểm
và
.
AG G
IJ
IJ
CD
AD
AF F
C.
,
là giao điểm
và
.
D.
,
là giao điểm
và
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

là điểm chung thứ nhất của

( AIJ )
và

Trang 9

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

IJ

CD
IJ
BC AD AB
F
F
và
cắt nhau tại
, còn
không cắt
,
,
nên
là điểm chung thứ hai của
( ABCD ) ( AIJ )
( ABCD ) ( AIJ ) AF
và
. Vậy giao tuyến của
và
là
.

( MBD )

( ABN )

Câu 7: phẳng
và
là:
MN
AM
A.
.
B.
.
BG G
ACD
ACD
AH H
C.
,
là trọng tâm tam giác
.
D.
,
là trực tâm tam giác
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
( MBD ) ( ABN )
B
là điểm chung thứ nhất của
và

.
G
∈
AN
,
G
∈
DM
G
ACD
là trọng tâm tam giác
nên
do đó
( MBD ) ( ABN )
G
là điểm chung thứ hai của
và
. Vậy giao
( MBD ) ( ABN ) BG
tuyến của hai mặt phẳng
và
là
.

M N
là hình bình hành. Gọi
, lần lượt là trung điểm
( SMN ) ( SAC )
BC
AD

và
. Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là:
SD
SO O
ABCD
A.
.
B.
, là tâm hình bình hành
.
SG G
SF F
CD
AB
C.
,
là trung điểm
.
D.
,
là trung điểm
.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 8: Cho hình chóp

S

S . ABCD

có đáy

ABCD

( SMN )
là điểm chung thứ nhất của

( SAC )
và

.

Trang 10


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
O

AC

O ∈ AC , O ∈ MN

MN

Quan hệ song song – HH 11
O

( SMN )

là giao điểm của
và
nên
do đó
là điểm chung thứ hai của
( SAC )
( SMN ) ( SAC ) SO
và
. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là
.
S . ABCD
ABCD
SA
I J
Câu 9: Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành. Gọi , lần lượt là trung điểm
SB
và
. Khẳng định nào sau đây là sai?
IJCD
A.
là hình thang.
( SAB ) ∩ ( IBC ) = IB
B.
.
( SBD ) ∩ ( JCD ) = JD

C.
.
( IAC ) ∩ ( JBD ) = AO O
ABCD
D.
, là tâm hình bình hành
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

( IAC ) ≡ ( SAC )
Ta có
( SAC ) ∩ ( SBD ) = SO

( JBD ) ≡ ( SBD )
và

trong đó
ABCD

O

.

Mà

là tâm hình bình hành

.

S

ABCD

( AD €BC )

CD
M
có đáy là hình thang
. Gọi
là trung điểm
.
( MSB ) ( SAC )
Giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là:
SI I
AC
SJ J
BM
AM
BD
A. , là giao điểm
và
.
B.
, là giao điểm
và
.
SO O

AC
SP P
CD
BD
AB
C.
,
là giao điểm
và
.
D.
,
là giao điểm
và
.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Câu 10: Cho hình chóp

S . ABCD

( MSB )
là điểm chung thứ nhất của

( SAC )
và

.

Trang 11

ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

( MSB )
I ∈ AC I ∈ BM
I
là giao điểm của
và
nên
,
do đó là điểm chung thứ hai của
và
( SAC )
( MSB ) ( SAC ) SI
. Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng
và
là .
I

AC

BM

ABCD G
BCD M
CD I
.

là trọng tâm tam giác
,
là trung điểm
, là điểm trên
( ACD ) J
AG BI
đoạn thẳng
,
cắt mặt phẳng
tại . Khẳng định nào sau đây sai?
AM = ( ACD ) ∩ ( ABG )
A J M
A.
.
B. , ,
thẳng hàng.
DJ = ( ACD ) ∩ ( BDJ )
J
AM
C. là trung điểm
.
D .
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
A ∈ ( ACD ) ∩ ( ABG )
Ta có
,
 M ∈ BG
⇒ M ∈ ( ACD ) ∩ ( ABG )


 M ∈ CD
nên
AM = ( ACD ) ∩ ( ABG )
.
AM = ( ACD ) ∩ ( ABG )
Nên
vậy A đúng.
( ACD ) , ( ABG )
A J M
A J M
, ,
cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt
nên , ,
thẳng hàng, vậy B
đúng.
AG
J
I
AM
Vì là điểm tùy ý trên
nên không phải lúc nào cũng là trung điểm của
.
S . ABCD
ABCD AD / / BC
I
Câu 12: Cho hình chóp
có đáy là hình thang
. Gọi là giao điểm của
( SAB ) J

DC M
SC DM
AB
và
,
là trung điểm
.
cắt mặt phẳng
tại . Khẳng định nào sau đây sai?
DM ⊂ mp ( SCI )
S I J
A. , , thẳng hàng.
B.
.
JM ⊂ mp ( SAB )
C.
.
D.
SI = ( SAB ) ∩ ( SCD )
.
Hướng dẫn giải:
Chọn C.
Câu 11: Cho tứ diện

Trang 12


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A







Quan hệ song song – HH 11

( SAB ) ( SCD )
S I J
, , thẳng hàng vì ba điểm cùng thuộc hai mp
và
nên A đúng.
M ∈ SC ⇒ M ∈ ( SCI )
DM ⊂ mp ( SCI )
nên
vậy B đúng.
M ∉ ( SAB )
JM ⊄ mp ( SAB )
nên
vậy C sai.
Hiển nhiên D đúng theo giải thích A.

Trang 13


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

DẠNG 2: XÁC ĐỊNH GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp

d

I

Cơ sở của phương pháp tìm giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
xảy ra:
(α )
d
∆
∆
I
- Trường hợp 1:
chứa đường thẳng và cắt đường thẳng tại .
I = d ∩ ∆ ⇒ I = d ∩ (α )
Khi đó:

(α )
- Trường hợp 2:
không chứa đường thẳng nào cắt
(β ) ⊃ d
(α ) ∩ ( β ) = ∆
+ Tìm
và
;
I = d ∩∆
+ Tìm
;
⇒ I = d ∩ (α )
.

d

(α )
là xét hai khả năng

.

A, B, C , D

AB, AD

Câu 1: Cho bốn điểm
không cùng nằm trong một mặt phẳng. Trên
lần lượt lấy các
N
MN
M
BD
I
I
điểm
và
sao cho
cắt
tại . Điểm không thuộc mặt phẳng nào sao đây:
( BCD )
( ABD )
( CMN )
( ACD )

A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.

Trang 14


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

A

M
N
B

D

I

C

I ∈ BD ⇒ I ∈ ( BCD ), ( ABD)
I ∈ MN ⇒ I ∈ (CMN )
S . ABCD
ABCD
Câu 2: Cho hình chóp tứ giác
với đáy
có các cạnh đối diện không song song với
SA
M
nhau và
là một điểm trên cạnh
.
( MCD )
SB
a) Tìm giao điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
.
E = AB ∩ CD H = SA ∩ EM
A. Điểm H, trong đó
,
E = AB ∩ CD N = SB ∩ EM
B. Điểm N, trong đó
,
E = AB ∩ CD F = SC ∩ EM
C. Điểm F, trong đó
,
E = AB ∩ CD T = SD ∩ EM
D. Điểm T, trong đó
,
( SBD )

MC
b) Tìm giao điểm của đường thẳng
và mặt phẳng
.
I = AC ∩ BD H = MA ∩ SI
A. Điểm H, trong đó
,
I = AC ∩ BD F = MD ∩ SI
B. Điểm F, trong đó
,
I = AC ∩ BD K = MC ∩ SI
C. Điểm K, trong đó
,
I = AC ∩ BD V = MB ∩ SI
D. Điểm V, trong đó
,
Hướng dẫn giải:
( ABCD )
a) Trong mặt phẳng
, gọi
E = AB ∩ CD
.
( SAB )
Trong
gọi.

Trang 15


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

N ∈ EM ⊂ ( MCD ) ⇒ N ∈ ( MCD )
Ta có
N ∈ SB

và

N = SB ∩ ( MCD )
nên
( ABCD )

.
I = AC ∩ BD

b) Trong
gọi
.
( SAC )
K = MC ∩ SI
Trong
gọi
.
K ∈ SI ⊂ ( SBD )
K ∈ MC
Ta có
và
nên
K = MC ∩ ( SBD )

.
S . ABCD M
SC N
BC
Câu 3: Cho hình chóp tứ giác
,
là một điểm trên cạnh
,
là trên cạnh
. Tìm giao
( AMN )
SD
điểm của đường thẳng
với mặt phẳng
.
K = IJ ∩ SD I = SO ∩ AM O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
A. Điểm K, trong đó
,
,
H = IJ ∩ SA I = SO ∩ AM O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
B. Điểm H, trong đó
,
,
V = IJ ∩ SB I = SO ∩ AM O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
C. Điểm V, trong đó
,
,
P = IJ ∩ SC I = SO ∩ AM O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
D. Điểm P, trong đó
,

,
Hướng dẫn giải:
( ABCD )
Trong mặt phẳng
gọi
O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD
.
( SAC )
I = SO ∩ AM
Trong
gọi
và
K = IJ ∩ SD
.
I ∈ AM ⊂ ( AMN ) , J ∈ AN ⊂ ( AMN )
Ta có
⇒ IJ ⊂ ( AMN )
.
K ∈ IJ ⊂ ( AMN ) ⇒ K ∈ ( AMN )
Do đó
.
K = SD ∩ ( AMN )
Vậy

Trang 16


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

DẠNG 3: BA ĐIỂM THẲNG HÀNG, BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY TRONG
KHÔNG GIAN
a) Để chứng minh ba điểm ( hay nhiều điểm) thẳng hàng ta chứng minh chúng là điểm chung của hai
mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường thẳng giao tuyên của hai mặt phẳng nên thẳng
hàng.

tức là:
- Tìm

d = (α ) ∩ (β )
;

- Chỉ ra (chứng minh)

d

A, B, C ⇒ A, B, C

đi qua ba điểm
thẳng hàng.
⇒
A
,
B
,
C
C
AB
Hoặc chứng minh đường thẳng

đi qua
thẳng hàng.
b) Để chứng minh ba đường thẳng đồng qui ta chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thuộc
đường đường thẳng còn lại.

Phương pháp 1
Cơ sở của phương pháp này là ta cần chứng minh đường thẳng thứ nhất qua giao điểm của hai đường
thẳng còn lại.
I = d1 ∩ d 2
- Bước 1: Tìm
.
d3
I
- Bước 2: Chứng minh
đi qua .
⇒ d1 , d 2 , d 3
I
đồng quy tại .
Phương pháp 2
Cơ sở của phương pháp là ta cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau và dôi một ở trong ba mặt phẳng
phân biệt.
- Bước 1: Xác định

Trang 17


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
d1 , d 2 ⊂ (α ); d1 ∩ d 2 = I1

d 2 , d3 ⊂ ( β ); d 2 ∩ d3 = I 2

d , d ⊂ (γ ); d ∩ d = I
3
1
3
 3 1

Quan hệ song song – HH 11

(α ) ( β ) (γ )
,
,
phân biệt
d1 , d 2 , d 3
I ≡ I1 ≡ I 2 ≡ I 3
- Bước 2: Kết luận
đồng quy tại
.
trong đó

ABCD

NQ
MP
I
Ta có
cắt
tại
 I ∈ MP  I ∈ ( ABD )
⇒
⇒

 I ∈ NQ  I ∈ ( CBD )

⇒ I ∈ ( ABD ) ∩ ( CBD )
⇒ I ∈ BD

N

(α)

MN
Câu 1: Cho tứ diện
. Gọi
, lần lượt là trung điểm
và
. Mặt phẳng
qua
NQ
BC
AD
P Q
MP
I
cắt
và
lần lượt tại , . Biết
cắt
tại . Ba điểm nào sau đây thẳng hàng?
I A C
I B D
I A B

I C D
A. , , .
B. , , .
C. , , .
D. , , .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
M

AB

CD

.

.

.
I B D
Vậy , , thẳng hàng.
SA, SB

SABC

D, E

SC

Câu 2: Cho tứ diện
. Trên

và
lấy các điểm
và
BC
J
CA
EF
FD
K
cắt
tại ,
cắt
tại .Khẳng định nào sau đây đúng?
B, J , K
A. Ba điểm
thẳng hàng
I, J, K
B. Ba điểm
thẳng hàng
I, J, K
C. Ba điểm
không thẳng hàng
I, J,C
D. Ba điểm
thẳng hàng
Hướng dẫn giải:
Ta có
I = DE ∩ AB, DE ⊂ ( DEF ) ⇒ I ∈ ( DEF ) ;

AB ⊂ ( ABC ) ⇒ I ∈ ( ABC )

J = EF ∩ BC

( 1)
.Tương tự

Trang 18

F

sao cho

DE

cắt

AB

tại

I

,


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
 J ∈ EF ∈ ( DEF )
⇒
 J ∈ BC ⊂ ( ABC )

( 2)

 K ∈ DF ⊂ ( DEF )
⇒
 K ∈ AC ⊂ ( ABC )

( 3)

Quan hệ song song – HH 11

K = DF ∩ AC

Từ (1),(2) và (3) ta

I, J, K
có
( ABC )

là điểm chung của hai mặt phẳng
( DEF )
và
nên chúng thẳng hàng.
D, E
AC , BC
SABC
G
Câu 3: Cho tứ diện
có
lần lượt là trung điểm của
và là trọng tâm của tam

(α)

ABC

AC

SE , SB

M,N

(β)

giác
. Mặt phẳng
đi qua
cắt
lần lượt tại
. Một mặt phẳng
đi qua
SD, SA
Q
P
cắt
tương ứng tại
và .
I = AM ∩ DN , J = BP ∩ EQ
a) Gọi
. Khẳng định nào sau đây là đúng?
S, I , J ,G
S, I , J ,G

A. Bốn điểm
thẳng hàng.
B. Bốn điểm
không thẳng hàng.
P, I , J
I, J,Q
C. Ba điểm
thẳng hàng.
D. Bốn điểm
thẳng hàng.
K = AN ∩ DM , L = BQ ∩ EP
b) Giả sử
. Khằng định nào sau đây là đúng?
S, K, L
S, K , L
A. Ba điểm
thẳng hàng.
B. Ba điểm
không thẳng hàng
B, K , L
C, K , L
C. Ba điểm
thẳng hàng
D. Ba điểm
thẳng hàng
Hướng dẫn giải:
S ∈ ( SAE ) ∩ ( SBD )
a) Ta có
, (1)
G ∈ AE ⊂ ( SAE )

G = AE ∩ BD ⇒ 
G ∈ BD ⊂ ( SBD )
G ∈ ( SAE )
⇒
G ∈ ( SBD )

( 2)

 I ∈ DN ⊂ ( SBD )
I = AM ∩ DN ⇒ 
 I ∈ AM ⊂ ( SAE )
 I ∈ ( SBD )
⇒
 I ∈ ( SAE )

( 3)

Trang 19

BC


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
 J ∈ BP ⊂ ( SBD )
 J ∈ ( SBD )
J = BP ∩ EQ ⇒ 
⇒
 J ∈ ( SAE )
 J ∈ EQ ⊂ ( SAE )

Quan hệ song song – HH 11

( 4)

S, I , J ,G
Từ (1),(2),(3) và (4) ta có
là điểm chung của
( SBD ) ( SAE )
hai mặt phẳng
và
nên chúng thẳng
hàng.
S . ABCD
O
AC
BD
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác
, gọi
là giao điểm của hai đường chéo
và
. Một

(α)

mặt phẳng
đúng?

SA, SB, SC , SD
cắt các cạnh bên

M , N , P, Q
tưng ứng tại các điểm

MP, NQ, SO
A. Các đường thẳng

. Khẳng định nào
MP, NQ, SO

đồng qui.

MP, NQ, SO
C. Các đường thẳng
song song.
Hướng dẫn giải:
( MNPQ )
I = MP ∩ NQ
Trong mặt phẳng
gọi
.
I ∈ SO
Ta sẽ chứng minh
.
SO = ( SAC ) ∩ ( SBD )
Dễ thấy
.
 I ∈ MP ⊂ ( SAC )

 I ∈ NQ ⊂ ( SBD )

B. Các đường thẳng

chéo nhau.
MP, NQ, SO

D. Các đường thẳng

trùng nhau.

 I ∈ ( SAC )
⇒
⇒ I ∈ SO
 I ∈ ( SBD )
MP, NQ, SO

I
đồng qui tại .
( P) ( Q)
( P)
a
Câu 5: Cho hai mặt phẳng
và
cắt nhau theo giao tuyến là đường thẳng . Trong
lấy hai
( P)
A, B
SA, SB
a
S
điểm

nhưng không thuộc và là một điểm không thuộc
. Các đường thẳng
cắt
( Q)
C, D
a
E
AB
tương ứng tại các điểm
. Gọi
là giao điểm của
và .Khẳng định nào đúng?
AB, CD
AB, CD
a
a
A.
và đồng qui.
B.
và chéo nhau.
AB, CD
AB, CD
a
a
C.
và song song nhau.
D.
và trùng nhau
Hướng dẫn giải:
S ∈ AB ⊂ ( P ) ⇒ S ∈ ( P )

S ∉ AB
Trước tiên ta có
vì ngược lại thì
Vậy

Trang 20


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

( SAB )

S , A, B
(mâu thuẫn giả thiết) do đó
không thẳng hàng, vì vậy ta có mặt phẳng
C ∈ SA ⊂ ( SAB )
C = SA ∩ ( Q ) ⇒ 
C ∈ ( Q )
Do
C ∈ ( SAB )
⇒
( 1)
C
∈
Q
(
)


 D ∈ SB ⊂ ( SAB )
D = SB ∩ ( Q ) ⇒ 
 D ∈ ( Q )

Tương tự
 D ∈ ( SAB )
⇒
 D ∈ ( Q )

( 2)
CD = ( SAB ) ∩ ( Q )

Từ (1) và (2) suy ra
.
 E ∈ AB ⊂ ( SAB )
 E ∈ ( SAB )
E = AB ∩ a ⇒ 
⇒
 E ∈ a ⊂ ( Q )
 E ∈ ( Q ) ⇒ E ∈ CD
Mà
.
AB, CD
a
E
Vậy
và đồng qui đồng qui tại .

Trang 21

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

DẠNG 4: XÁC ĐỊNH THIẾT DIỆN CỦA MỘT MẶT PHẲNG VỚI HÌNH CHÓP.
Phương pháp:

(α )

S . A1 A2 ... An

Để xác định thiết diện của hình chóp

cắt bởi mặt phẳng

(α)

phẳng

, ta tìm giao điểm của mặt

với các đường thẳng chứa các cạnh của hình chóp. Thiết diện là đa giác có đỉnh là các giao

(α)

điểm của
với hình chóp ( và mỗi cạnh của thiết diện phải là một đoạn giao tuyến với một mặt của

hình chóp)
Trong phần này chúng ta chỉ xét thiết diện của mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.

(α)

Lưu ý: Điểm chung của hai mặt phẳng

nào đó; giao điểm

và

(α)

a, b
Tìm hai đường thẳng

(β)

lần lượt thuộc

M = a ∩b

thường được tìm như sau :

(β)
và

(γ )
, đồng thời chúng cùng nằm trong mặt phẳng

(α)

chính là điểm chung của

(β)

và

.

ABCD

Câu 1: Cho
là một tứ giác lồi. Hình nào sau đây không thể là thiết diện của hình chóp
S . ABCD
?
A. Tam giác.
B. Tứ giác.
C. Ngũ giác.
D. Lục giác.
Hướng dẫn giải:
Chọn D.
S . ABCD
5
Hình chóp
có mặt nên thiết diện của hình chóp có tối đa 5 cạnh. Vậy thiết diện không
thể là lục giác.
S . ABCD

(α)

ABCD

Câu 2: Cho hình chóp
với đáy
là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng
tuỳ ý với
hình chóp không thể là:
A. Lục giác.
B. Ngũ giác.
C. Tứ giác.
D. Tam giác.
Hướng dẫn giải:
Chọn A.
Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với
mỗi mặt của hình chóp.
Hai mặt phẳng bất kì có nhiều nhất một giao tuyến.

Trang 22


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

(α)

S . ABCD

Hình chóp tứ giác

có 5 mặt nên thiết diện của
không thể là hình lục giác 6 cạnh.
S . ABCD

ABCD

với

S . ABCD

M

có không qua 5 cạnh,
SB

Câu 3: Cho hình chóp
có đáy
là hình bình hành và điểm
ở trên cạnh
. Mặt
( ADM )
phẳng
cắt hình chóp theo thiết diện là
A. tam giác.
B. hình thang.
C. hình bình hành.
D. hình chữ nhật.
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
S . ABCD

AD
P
Câu 4: Cho hình chóp tứ giác
, có đáy là hình thang với
là đáy lớn và
là một điểm
SD
trên cạnh
.
( PAB )
a) Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng
là hình gì?
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Hình bình hành
( MNP )
M,N
AB, BC
b) Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
. Thiết diện của hình chóp cắt bởi
là
hình gì?
A. Ngũ giác
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Hình bình hành
Hướng dẫn giải:
( ABCD )

a) Trong mặt phẳng
, gọi
E = AB ∩ CD
.
( SCD )
Q = SC ∩ EP
Trong mặt phẳng
gọi
.
EP ⊂ ( ABP ) ⇒ Q ∈ ( ABP )
E ∈ AB
Ta có
nên
Q = SC ∩ ( ABP )
, do đó
.
ABQP
Thiết diện là tứ giác
.

( ABCD )
b)Trong mặt phẳng

F,G
gọi

lần

MN
CD

AD
lượt là các giao điểm của
với
và
( SAD )
H = SA ∩ FP
Trong mặt phẳng
gọi
( SCD )
K = SC ∩ PG
Trong mặt phẳng
gọi
.
F ∈ MN ⇒ F ∈ ( MNP )
Ta có
,

Trang 23


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A

Quan hệ song song – HH 11

⇒ FP ⊂ ( MNP ) ⇒ H ∈ ( MNP )
 H ∈ SA
⇒ H = SA ∩ ( MNP )

 H ∈ ( MNP )

Vậy
K = SC ∩ ( MNP )
tự
.

Thiết diện là ngũ giác

MNKPH

Tương

.

C′
SC
. Điểm
nằm trên cạnh
.
( ABC ′ )
Thiết diện của hình chóp với mp
là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
3
5
4
A. .
B. .
C. .
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
Câu 5: Cho hình chóp

( ABA′)

S . ABCD

( SCD )

Xét
và
có
 A′ ∈ SC , SC ⊂ ( SCD )

 A′ ∈ ( ABA′ )
⇒ A′
Gọi

I = AB ∩ CD

là điểm chung 1.

 I ∈ AB, AB ⊂ ( ABA′ )

 I ∈ CD, CD ⊂ ( SCD ) ⇒ I

Có
⇒ ( ABA′ ) ∩ ( SCD ) = IA′

là điểm chung 2.

M = IA′ ∩ SD

Gọi
.
Có
( ABA′) ∩ ( SCD ) = A′M

( ABA′) ∩ ( SAD ) = AM

( ABA′) ∩ ( ABCD ) = AB
( ABA′) ∩ ( SBC ) = BA′
Thiết diện là tứ giác

ABA′M

.

Trang 24

D.

6

.


ST&BS: Th.S Đặng Việt Đông Trường THPT Nho Quan A
Câu 6: Cho hình chóp
của hình chóp

S . ABCD

S . ABCD

A. Tam giác

IBC.

có đáy

ABCD

cắt bởi mặt phẳng

Quan hệ song song – HH 11

là hình bình hành. Gọi

I

( IBC )

là trung điểm

SA

. Thiết diện

là:
IJCB J
SD
B. Hình thang

( là trung điểm
).
IBCD
D. Tứ giác
.

IGBC G
SB
C. Hình thang
( là trung điểm
).
Hướng dẫn giải:
Chọn B.
O
AC
CI
SO
BD G
Gọi
là giao điểm của
và
,
là giao điểm của
và
G
SAC
G
Khi đó
là trọng tâm tam giác
. Suy ra

là trọng tâm tam
SBD
giác
.
J = BG ∩ SD
J
SD
Gọi
. Khi đó là trung điểm
.
( IBC )
IJCB
Do đó thiết điện của hình chóp cắt bởi
là hình thang
(
J
SD
là trung điểm
).

S

IB G
A

O

.

J

C

D

M , N, P
S . ABCD
ABCD
O
Câu 7: Cho hình chóp
có đáy
là một hình bình hành tâm . Gọi
là ba
AD, CD, SO
( MNP )
điểm trên các cạnh
. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng
là hình gì?
A. Ngũ giác
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Hình bình hành
Hướng dẫn giải:
( ABCD)
E, K , F
Trong mặt phẳng
gọi
lần lượt là
DA, DB, DC
MN

giao điểm của
với
.
( SDB )
H = KP ∩ SB
Trong mặt phẳng
gọi
( SAB )
T = EH ∩ SA
Trong mặt phẳng
gọi
( SBC )
R = FH ∩ SC
Trong mặt phẳng
gọi
.
E
∈
MN

⇒ EH ⊂ ( MNP )

 H ∈ KP
Ta có
,
T ∈ SA
⇒ T = SA ∩ ( MNP )

T ∈ EH ⊂ ( MNP )
.

Trang 25